Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Transcript

1 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2008 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουνε µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών, της έννοιας του ορίου και της συνέχειά τους. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Περιεχόµενα 1 Γενικά 3 2 Ο Χώρος R Ο Χώρος R n 4 4 Γραφική Παράσταση 5 5 Επιφάνειες Επιφάνειες Πρώτου Βαθµού Επιφάνειες ευτέρου Βαθµού Σφαίρα Ελλειψοειδές Παραβολοειδές Ελλειπτικός Κώνος Υπερβολοειδές Ελλειπτικός Κύλινδρος Παραβολικός Κύλινδρος Οριο Συνάρττησης Ορισµός Ιδιότητες Επαναλητπικά Ορια Κριτήριο Παρεµβολής Συνέχεια 8

3 Κ. Κυρίτσης 3 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 1 Γενικά Πραγµατική συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών x 1, x 2,...,x n ϑα ονο- µάζεται µια απεικόνιση από κάποιο υποσύνολο του R n στο R, µε άλλα λόγια f : A R n B R. Οπως και µε τις συναρτήσεις µιας µεταβλητής και το σύνολο το οποίο απεικονίζεται ονοµάζεται πεδίο ορισµού και το σύνολο στο οποίο καταλήγει η απεικόνιση ονοµάζεται πεδίο τιµών ή εικόνα. Οταν η συνάρτηση δίνεται σαν ένας τύπος, γράφουµε y = f(x 1, x 2,...,x n ). Στην περίπτωση συναρτήσεων δύο µεταβλητών συνήθως γράφουµε z = f(x, y), ενώ στην περίπτωση συναρτήσεων τριών µεταβλητών 2 Ο Χώρος R 2 w = f(x, y, z). Θεωρούµε το σηµείο M 0 = (x 0, y 0 ) του επιπέδου R 2. Ορίζουµε σαν ανοιχτή κυκλική περιοχή να είναι π(m 0, δ) = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ}. (1) Το M 0 λέγεται κέντρο της περιοχής. Αν η περιοχή δεν περιέχει το M 0 ϑα λέγεται περιορισµένη ανοιχτή κυκλική περιοχή. Η κλειστή περιοχή ο- ϱίζεται να από την ιδιότητα (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 δ. Ορίζουµε την ανοιχτή τετραγωνική περιοχή να είναι π(m 0, δ) = {(x, y) : x x 0 < δ, y y 0 < δ}. (2) Αν εξερέσουµε το ίδιο το σηµείο από την περιοχή µιλάµε για περιορισµένη περιοχή. Οµοίως ορίζεται και η κλειστή περιοχή. Κάθε κυκλική περιοχή είναι ισοδύναµη µιας τετραγωνικής και αντίστροφα.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Θα λέµε ότι το D R 2 είναι ανοιχτό αν για κάθε σηµείο του µπορούµε να ϐρούµε ανοιχτή περιοχή που να ϐρίσκεται εξ ολοκλήρου στο D. Με άλλα λόγια, P D, δ > 0 : π(p, δ) D. Το σηµείο (x 0, y 0 ) D, ϑα λέγεται εσωτερικό σηµείο αν υπάρχει ανοιχτή περιοχή µε κέντρο το εν λόγω σηµείο που να περιέχεται εξολοκλήρου στο D. Κατά συνέπεια ανοιχτό σύνολο είναι αυτό που όλα του τα σηµεία είναι εσωτερικά. Ορίζουµε το συµπλήρωµα του D R 2 να είναι D c = {M : M / D} = R 2 D. (3) Ισχύει ότι D D c = R 2 και D D c =. Αν το D είναι ανοιχτό, το D c είναι κλειστό. Αν το D είναι κλειστό, το D c είναι ανοιχτό. Ενα σηµείο του D ϑα λέγεται οριακό σηµείο ή συνοριακό σηµείο αν κάθε περιορισµένη ανοιχτή περιοχή του περιλαµβάνει σηµεία τόσο εντός όσο και εκτός του D. Με άλλα λόγια µας ενδαιφέρει κάθε περιοχή του εν λόγω σηµείου να µην είναι εξ ολοκλήρου εντός του D (εξαιρούµε στην µελέτη το ίδιο το σηµείο). Ενα κλειστό σύνολο περιέχει όλα τα οριακά του σηµεία. Ορίζουµε σαν σύνορο του D να είναι το σύνολο των οριακών του σηµείων. Συµβολίζεται µε bd(d) ή D. Το D ϑα λέγεται ϕραγµένο αν η απόσταση µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµείων του είναι πεπερασµένος αριθµός. Θα λέγεται συννεκτικό αν δύο οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε καµπύλη. Θα λέγεται συµπαγές αν είναι ϕραγµένο και συνεκτικό. 3 Ο Χώρος R n Εδώ τα σηµεία δίνονται σαν M = (y 1, y 2,...,y n ). Η ανοιχτή κυκλική περιοχή (µπάλα) ορίζεται να είναι π(m, δ) = (x 1, x 2,...,x n ) : n (x i y i ) 2 < δ. (4) Αντίστοιχα η ανοιχτή κυβική περιοχή είναι π(m, δ) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i y i < δ, i = 1, 2,..., n}. (5) i=1 Οι έννοιες περί ανοιχτού, κλειστού συνόλου κ.λ.π. ισχύουν αυτούσιες, µε χρήση περιοχών του R n πλέον.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 4 Γραφική Παράσταση εδοµένης µιας συνάρτησης f(x, y), το σύνολο σηµείων {x, y, f(x, y)} ϑα λέγεται γράφηµα της συνάρτησης. Η επιφάνεια z = f(x, y) ϑα λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης. Οι καµπύλες f(x, y) = c ϑα λέγονται ισοϋψεις. Είναι οι καµπύλες που σχηµατίζονται από την τοµή της επιφάνειας της συνάρτησης µε το οριζόντιο επίπεδο z = c. Συνήθως απεικονίζουµε την κατακόρυφη προβολή τους στο επίπεδο xy. Για συναρτήσεις τριών και περισσοτέρων µεταβλητών, η γραφική παράσταση δεν µπορεί να γίνει. 5 Επιφάνειες Η σχέση ορίζει µια επιφάνεια στο χώρο R Επιφάνειες Πρώτου Βαθµού ίνονται από την σχέση Πρόκειται για επίπεδα στο χώρο. 5.2 Επιφάνειες ευτέρου Βαθµού ίνονται από τη σχέση F(x, y, z) = 0 (6) Ax + By + Cz + D = 0. (7) Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0. (8) Με µεταχηµατισµούς µεταφοράς και περιστροφής ανάγονται στις απλούστε- ϱες µορφές Ax 2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 (9) ή Ax 2 + By 2 + J = 0. (10) Μερικά χαρακτηριστικά παραδείγµατα είναι

6 Κ. Κυρίτσης 6 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Σφαίρα (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. (11) Το R είναι η ακτίνα της σφαίρας Ελλειψοειδές Παραβολοειδές Ελλειπτικός Κώνος Υπερβολοειδές Ενός ϕύλλου ύο ϕύλλων x 2 a + y2 2 b + z2 = 1. 2 (12) c2 x 2 x 2 a + y2 2 b = z 2 c. (13) x 2 a + y2 2 b = z2 2 c. 2 (14) a + y2 2 b z2 = 1. 2 (15) c2 z Ελλειπτικός Κύλινδρος c x2 2 a y2 = 1. 2 (16) c2 x 2 a + y2 = 1. 2 (17) b Παραβολικός Κύλινδρος y = ax 2. (18)

7 Κ. Κυρίτσης 7 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 6 Οριο Συνάρττησης 6.1 Ορισµός Θα λέµε ότι η συνάρτηση f(x, y) έχει όριο L καθώς τα (x, y) πλησιάζουν το (x 0, y 0 ) και ϑα γράφουµε f(x, y) = L εάν για κάθε ǫ > 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε (x, y) να είναι 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ όταν f(x, y) L < ǫ. Ισοδύναµα µπορούµε να απαιτήσουµε να είναι 0 < x x 0 < δ, 0 < y y 0 < δ. Για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών ο ορισµός του ορίου είναι ίδιος, απλά χρησιµοποιούµε κατάλληλης διάστασης περιοχή. 6.2 Ιδιότητες Ισχύει ότι x = x 0, (19) y = y 0, (20) k = k. (21) Αν (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = L και (x,y) (x0,y 0 ) g(x, y) = M είναι (f(x, y) ± g(x, y)) = L ± M, (22) (f(x, y) g(x, y)) = L M, (23) µε την προϋπόθεση ϕυσικά ότι M 0, f(x, y) g(x, y) = L M, (24) (kf(x, y)) = k f(x, y), (25) (f(x, y)) n n m = L m. (26) Το όριο, αν υπάρχει, είναι µοναδικό και ανεξάρτητο από τον τρόπο προσέγγισης του σηµείου.

8 Κ. Κυρίτσης 8 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 6.3 Επαναλητπικά Ορια Τα όρια και f(x, y) (27) x x 0 y y0 f(x, y) (28) y y 0 x x0 ονοµάζονται επαναληπτικά ή διαδοχικά όρια. Αν υπάρχει το (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = L, είναι f(x, y) = f(x, y) = L. (29) x x 0 y y0 y y0 x x0 εν ισχύει το αντίθετο. 6.4 Κριτήριο Παρεµβολής Αν τότε 7 Συνέχεια f(x, y) g(x, y) g(x, y) = 0 f(x, y) = 0. (30) Μια συνάρτηση f(x, y) ϑα λέγεται συνεχής στο (x 0, y 0 ) αν συντρέχουν οι εξής προϋποθέσεις. 1. Υπάρχει το όριο f(x, y) = L, 2. Υπαρχει η τιµή της συνάρτησης στο συγκεκριµένο σηµείο, ορίζεται δηλαδή το f(x 0, y 0 ), 3. Είναι f(x 0, y 0 ) = L. Οµοίως ορίζεται και η συνέχεια συνάρτησης περισσοτέρων µεταβλητών.

9 Κ. Κυρίτσης 9 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

10 Κ. Κυρίτσης 10 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

11 Κ. Κυρίτσης 11 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Γραµµικά Συστήµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συστηµάτων γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των σει- ϱών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην ϑεωρία των γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των α- κολουθιών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των διανυσµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συνδυαστική ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Συνδυαστική. Το ϕυλλάδιο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ορίζουσες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ο- ϱιζουσών και των εφαρµογών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ιδιοτιµές - Ιδιοδιανύσµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ι- διοτιµών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 5 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων Γάµµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 1 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/26

Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 1 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/26 Modular καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 1 εκεµβρίου 2014, 1/26 Το υπερβολικό επίπεδο H = {z : I(z) > 0} Το Θεώρηµα σύµµορφης απεικόνισης του Riemann (Riemann mapping

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Εισαγωγικές Ένvοιες Ι Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Θεωρία Συνόλων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 09 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµ εισαγωγή στη ϑεωρία των συνόλων και ων

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 1: Ο χώρος R n. Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός του συνόλου τιµών, κατάλληλος για τις

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Χρήστος Θ. Αναστασίου Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο:

Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο: ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Έστω οι παρακάτω περιπτώσεις τοµής ενός κώνου µε ένα επίπεδο: σχ.1 Σύµφωνα µε τη θεωρία, όταν ο κώνος κοπεί µε επίπεδο παράλληλο σε επίπεδο που περιέχει την κορυφή του και δεν τον τέµνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Παραδείγματα συνεχή/διακριτά : t t Καρδιογράφημα Σήμα φωνής Σεισμικό σήμα Παραδείγματα : Ασπρόμαυρες Εικόνες Χάρτης Θερμοκρασίας Ακτινογραφία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος 9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}.

Ασκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}. Κεφάλαιο 6 Ασκήσεις 1. (αʹ) ώστε δράση του Χ R 2 στο αφινικό επίπεδο P = {(x, y, z) R 3 : x = 2}. Επίσης, δώστε µία αφινική ϐάση τριών σηµείων (a 0, a 1, a 2 ) και ϐρείτε τις ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων

Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Δειγµατοληψία και Κβαντισµός: Μια εικόνα (µπορεί να) είναι συνεχής τόσο ως προς τις συντεταγµένες x, y όσο και ως προς το πλάτος. Για να τη µετατρέψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους Κεφάλαιο 2 Σύνοψη Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή, του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο στο επίπεδο του χάρτη.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι-Μάθημα 3o Όριο-Συνέχεια.

Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι-Μάθημα 3o Όριο-Συνέχεια. Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι-Μάθημα 3o Όριο-Συνέχεια. Ας θεωρήσουμε δύο μετρικούς χώρους (S,ds) και (Τ,dΤ). Έστω επίσης μια συνάρτηση f από το Α στο Τ με Α υποσύνολο του Τ, p σημείο συσσώρευσης και

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα