2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 79.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα προηγούμενα δεν μπορούμε να πολογίσομε µε ακρίβεια την τιμή ενός άρρητο αριθμού. Στα διάφορα προβλήματα πο θα σναντούμε άρρητος αριθμούς θα τος προσεγγίζομε με τις ρητές προσεγγίσεις δύο ή τριών δεκαδικών ψηφίων. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να πολογίσετε το εμβαδόν το σταρού το σχήματος 0 cm Γ A B ( ) 4 5 E Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο cm τρίγωνο ΑΒΓ.(ΑΒ, ΑΓ) Κάνομε τις πράξεις. Ο σταρός αποτελείται από 5 τετράγωνα πλεράς cm το καθένα. Επομένως το εμβαδόν το σταρού είναι το εμβαδόν 5 τετραγώνων πλεράς, δηλαδή 5.

2 0 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το ανάπτγμα σε χαρτόνι μιας πραμίδας αποτελείται από το τετράγωνο ΑΒΓ, πο η διαγώνιός το είναι 10 cm και τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα πο οι ίσες πλερές τος είναι cm. Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας της πραμίδας. Α Δ 10 Β Γ + 10 Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο 100 τρίγωνο ΑΔΓ.(ΑΔ,ΔΓ) 50 Κάνομε τις πράξεις. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. 50 7,07 cm Βρίσκομε την τετραγωνική ρίζα το 50 με προσέγγιση εκατοστού ,5 ( 3,535) 64 1,5 Το ανάπτγμα της πραμίδας αποτελείται από 1 τετράγωνο πλεράς 7,07 cmκαι από 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα Πρώτα βρίσκομε το ύψος ενός από τα ισοσκελή τρίγωνα για να βρούμε το εμβαδόν τος.

3 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1 51,5 Για να βρούμε το ύψος το ενός ισοσκελούς εφαρμόζομε 51,5 7,1 cm το πθαγόρειο θεώρημα σε ένα από ατά.. Επομένως το εμβαδόν της πραμίδας είναι το εμβαδόν 4 E 4. + ίσων ισοσκελών τριγώνων σν το εμβαδόν ενός τετραγώνο πλεράς. 7,07.7,1 Βρίσκομε τα παραπάνω εμβαδά χρησιμοποιώντας τος β. τύπος E και Ε αντίστοιχα. 101, ,5 cm ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 y Οι σντεταγμένες των κορφών το τριγώνο ΚΛΜ είναι Κ(0,), Λ(,3), Μ(1,0). Να εξετάσετε αν το τρίγωνο έχει ορθή γωνία. 3 1 Κ Λ 0 1 Μ 3 KM + 1 Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο KM τρίγωνο ΟΚΜ.(ΟΚ,ΟΜ1) KM 5 Ομοίως και στα άλλα δύο ορθογώνια τρίγωνα τος σχήματος ΚΛ + 1 ΚΛ 5 ΛΜ ΛΜ 10

4 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛ ΛΜ ΚΛ + ΚΜ Για να είναι ορθογώνιο το τρίγωνο πρέπει να ισχύει το ΚΜ ΛΜ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος. Πράγματι ατό ισχύει. Επομένως το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο στην γωνία Κ πο βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλερά. Δίνεται ισόπλερο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλερά 1 cm. Αν Ε είναι το μέσο της διαμέσο το Α, να πολογίσετε το μήκος ΒΕ. Α Ε Β Γ Δ ΑΔ ΑΔ ΑΔ ΑΔ ΒΕ ΒΕ ΒΕ ΒΕ ΒΕ ΑΒ ΒΔ Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο 1 6 ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ.(ΑΒ1,ΒΔ6) 10 Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ,39 cm ΕΔ ( 5,19) 6, ,94 + ΒΔ + 6 6,94 7,93 cm ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Βρίσκομε την τετραγωνική ρίζα το 10 με προσέγγιση εκατοστού. Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΔ.(ΕΔ5,19,ΒΔ6) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Οι δύο πλερές ενός τριγώνο είναι 10 cm και cm. Να βρεθεί η τρίτη πλερά το, ώστε να είναι ορθογώνιο (δύο περιπτώσεις).

5 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3 α) β) ,1cm cm 10 + α) Αν η τρίτη πλερά είναι ποτείνοσα εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Βρίσκομε την τετραγωνική ρίζα το 164 με προσέγγιση εκατοστού. β) Αν η τρίτη πλερά είναι κάθετη πλερά ε- φαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 Οι παράλληλες εθείες το παρακάτω σχήματος απέχον 1 cm οριζόντια και κατακόρφα. α) Να ενώσετε δύο κοκίδες, ώστε το μήκος το εθύγραµµο τµήµατος πο σχηματίζεται να είναι: i ) cm, ii) 5 cm, iii) 13 cm. β) Να ενώσετε τέσσερις κοκίδες, ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνο µε εμβαδόν: i) cm ii) 5 cm iii)13 cm α) i) Αν ενώσομε δύο οποιεσδήποτε κοκίδες διαγώνια τότε με εφαρμογή το πθαγορείο θεωρήματος στο σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο το μήκος της διαγώνιο είναι: cm

6 4 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ α) ii) Αν ενώσομε δύο οποιεσδήποτε κοκίδες διαγώνια όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα τότε με εφαρμογή το πθαγορείο θεωρήματος στο σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο το μήκος της διαγώνιο είναι : cm α) iii) Αν ενώσομε δύο οποιεσδήποτε κοκίδες διαγώνια όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα τότε με εφαρμογή το πθαγορείο θεωρήματος στο σχηματι- 3 + ζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο το μήκος της διαγώνιο είναι: cm β) i) Αν ενώσομε τέσσερις οποιεσδήποτε κοκίδες διαγώνια όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα τότε σύμφωνα με τα προηγούμενα το μήκος της διαγώνιο είναι και το εμβαδόν το δημιοργημένο τετραγώνο είναι Ε ( ) cm. β) ii) Αν ενώσομε δύο κοκίδες διαγώνια σύμφωνα με το ερώτημα α) ii)(πάμε δύο κοκίδες κάτω και μία δεξιά) ώστε να δημιοργηθεί διαγώνιος πλερά με μήκος 5 το εμβαδόν το δημιοργημένο τετραγώνο είναι Ε ( 5 ) 5 cm. β) iii) Ομοίως αν ενώσομε δύο κοκίδες διαγώνια σύμφωνα με το ερώτημα α) iii)(πάμε τρεις κοκίδες κάτω και δύο δεξιά) ώστε να δημιοργηθεί διαγώνιος πλερά με μήκος 13 το εμβαδόν το δημιοργημένο τετραγώνο είναι Ε ( 13 ) 13 cm. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7 Το σήμα της φωτογραφίας έχει σχήμα ισόπλερο τριγώνο µε πλερά 60 cm και στηρίζεται σε κολώνα ύ- ψος m. Να βρείτε την απόσταση της κορφής Κ της πινακίδας από το έδαφος.

7 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 5 Για να βρούμε την απόσταση της κορφής Κ από το έδαφος πρέπει να προσθέσομε στα 00 Κ cm πο είναι η απόσταση της κάτω πλεράς της πινακίδας από το έδαφος το μήκος το ύψος 60 cm ΚΝ το τριγώνο ΚΛΜ. ΚΝ ΚΜ ΜΝ Ατό είναι: ΚΝ ΚΝ ΚΝ ,96 cm Λ Ν Μ Οπότε η απόσταση είναι 00+51,9651,96 cm ή,5196 m. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Τα βέλη στην άσφαλτο αποτελούνται από ένα ορθογώνιο και ένα ισοσκελές τρίγωνο. Οι διαστάσεις το ορθογωνίο είναι 0 cm και,30 m. Το τρίγωνο έχει βάση 60 cm και ίσες πλερές,1 m. Πόσα περίπο τέτοια βέλη μπορούμε να βάψομε µε 1 κιλό κίτρινο χρώματος το οποίο μπορεί να καλύψει επιφάνεια 540dm ; Ε ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ cm 46 dm Μετατρέπομε όλες τις μονάδες σε m Βρίσκομε πρώτα το εμβαδόν το ορθογωνίο σύμφωνα με τον (,1) 0,3 τύπο 4,41 0,09 4,3 4,3,075 m Ε ΤΡΙΓΩΝΟΥ 0,6355 m Ε ΒΕΛΟΥΣ ( 0,60)(.,075) 46dm 6,36 dm 6,36 dm ,36 4,9 Βέλη 5βέλη + 10,36 dm Ε ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ β.. Κατόπιν για να βρούμε το εμβαδόν το τριγώνο πρέπει να βρούμε το μήκος το ύψος το τριγώνο. Το βρίσκομε με την βοήθεια το πθαγορείο θεωρήματος. Βρίσκομε μετά το εμβαδόν το τριγώνο και τα προσθέτομε προσέχοντας όλα τα εμβαδά να είναι στην ίδια μονάδα(dm ). Μετά διαιρούμε την τιμή της επιφάνειας πο μπορεί να καλύψει με το ένα κιλό με την τιμή της επιφάνειας πο βρήκαμε προσθέτοντας τα δύο εμβαδά.

8 6 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9 Οι μπάρες πο είναι τοποθετημένες στις δύο άκρες το δρόμο απέχον μεταξύ τος m. Ένα φορτηγό έχει περίγραµµα ορθογώνιο µε μήκος 7,5 m και πλάτος,4 m. Είναι δνατόν ο οδηγός το να εκτελέσει ελιγμούς, ώστε το φορτηγό να κάνει αναστροφή; m 7,5 m δ;,4 m δ 7,5 +,4 δ 56,5 + 5,76 δ 6,01 δ Για να βρούμε αν μπορεί να κάνει αναστροφή πρέπει να πολογίσομε την διαγώνιο το περιγράμματος το φορτηγού και αν η διαγώνιος είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την απόσταση m,μεταξύ των δύο δρόμων, τότε ατό μπορεί να γίνει. 6 7,7 m Εφαρμόζομε το πθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλερές 7,5 m και,4 m αντίστοιχα και ποτείνοσα δ. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας. Βρίσκομε την τετραγωνική ρίζα το 6 με προσέγγιση εκατοστού. Άρα το φορτηγό μπορεί να κάνει αναστροφή γιατί δ7,7m<m

9 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ποιοι από τος επόμενος δεκαδικούς αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; α) 3,1111 β) 3, γ) 3, δ) 7, α) 3,1111 β) 3, γ) 3, δ) 7, Να λύσετε την εξίσωση ( 5 3) ( 5 + 3)( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 5 3 α) Είναι άρρητος γιατί δεν μπορεί να γραφεί σαν ρητός αφού τα δεκαδικά ψηφία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. β) Επειδή είναι περιοδικός δεκαδικός (11 η περίοδος) μπορεί να γραφεί σαν ρητός. γ) Είναι άρρητος γιατί δεν μπορεί να γραφεί σαν ρητός αφού τα δεκαδικά ψηφία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά.. δ) Είναι άρρητος γιατί δεν μπορεί να γραφεί σαν ρητός αφού τα δεκαδικά ψηφία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά ( 5 3) Πολλαπλασιάζομε τος όρος το κλάσματος με την σζγή παράσταση το παρονομαστή. Κατόπιν μετά τις πράξεις απλοποιούμε το κλάσμα. Χωρίζομε γνωστούς από αγνώστος. Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα και τέλος διαιρούμε με τον σντελεστή το αγνώστο. 3. Η διαγώνιος ενός τετραγώνο είναι 4 cm. Να πολογίσετε το εμβαδόν το. + δ 16 4 E cm Έστω η πλερά το τετραγώνο. Χρησιμοποιούμε το πθαγόρειο θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα πο δημιοργούνται για να πολογίσομε την πλερά το τετραγώνο.

10 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ δ4 cm Το εμβαδόν το τετραγώνο είναι Ε Επομένως το εμβαδόν το τετραγώνο είναι η πλερά το τετραγώνο στο τετράγωνο. Άρα είναι cm. -4,4 4. Ένα τρίγωνο έχει πλερές με μήκη 5,, + 1. Αν το ικανοποιεί την σχέση ( + 1)( +) 3 +, τότε: α) Να πολογίσετε το. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε και το μήκος της ποτείνοσας. α) + 1 ( )( + ) β) Να πολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: ( ) ( ) α) γ) ( 1+ )( 1 ) 5 α) Κάνομε τις πράξεις στο πρώτο μέλος (επιμεριστική ιδιότητα).μετά κάνομε διαγραφή το και από τα δύο μέλη (ιδιότητα διαγραφής) χωρισμό γνωστών από αγνώστος βρίσκομε την λύση της εξίσωσης 1. β) Εφόσον το 1 οι τρεις πλερές το τριγώνο είναι 5,1, Εφαρμόζομε το αντίστροφο το πθαγορείο θεωρήματος και βλέπομε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Η ποτείνοσα είναι η μεγαλύτερη πλερά,δηλαδή ατή πο είναι β) ( ) ( 16) δ) α) ( 5) + ( 5) 5 + β) ( ) ( 16) ( + 4) γ) ( 1+ )( 1 ) 1 + ( ) 1 1 α) Εφαρμόζομε τις ιδιότητες των ριζών ( ) α α, α α, α > 0 β) Ομοίως και εδώ. γ) Εφαρμόζομε την επιμεριστική ιδιότητα.

11 ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 9 δ) ( 1 4) 5 + ( + 1) , ,73 6,70 + 5,196 1,51 δ) Εφαρμόζομε την επιμεριστική ιδιότητα. Αντικαθιστούμε τις ρίζες με τις προσεγγίσεις τος σε χιλιοστά. 6. Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών τος α- ριθμούς: 1, 5, 13, 1, 5, 10, 50 Μπορούμε να γράψομε όλος τος αριθμούς σε δεκαδική μορφή χρησιμοποιώντας τις ρητές προσεγγίσεις δύο ψηφίων για τος αρρήτος, οπότε έ- χομε: 4,47 5 <,4 5 < 1 < 3,16 10 < 3,61 13 < 4,4 1 < 7, ,47 -,4 3,16

12 90 ΜΕΡΟΣ Α -.3- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Να κκλώσετε τις σωστές απαντήσεις: α) Ένας αριθμός για τον οποίο είναι 36 είναι ο: Α. 1 Β. 7 Γ. -6 Δ. 1 β) Η τετραγωνική ρίζα το 36 είναι: Α. 1 Β. 7 Γ. -6 Δ. 1 γ) Στον άξονα των πραγματικών αριθμών «δεξιότερα» το 13 βρίσκεται ο αριθμός: Α. 3 Β. 10 Γ. 15 Δ. δ) Ο αριθμός είναι ίσος με: Α. 15 Β.1 Γ. 6 Δ.3 ε) Από τος επόμενος αριθμούς, άρρητος είναι ο: 36 Α. 5 Β. Γ. 1,56 Δ ΑΣΚΗΣΗ : Να χαρακτηρίσετε ως Σ (Σωστή) ή Λ (Λανθασμένη) τις επόμενες προτάσεις: α) Αν α,τότε α ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ β) Αν 0 α,τότε ( ) α α γ) Επειδή 1,731 < 3 < 1, 73, με προσέγγιση χιλιοστού έχομε: 3 1, 73 ΑΣΚΗΣΗ 3: Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλερο με πλερά α 5 cm. Να πολογίσετε το ύψος το. ΑΣΚΗΣΗ 4: Η διαγώνιος ενός τετραγώνο είναι δ 1 cm. Να πολογίσετε την πλερά το.