ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Επ. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.
|
|
|
- Μαρδοχαῖος Αλεβίζος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΙΑΝΝΑΚΟΛΟΥ, Επ. Καγτής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠ ΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ ΕΠ. Το Πρόλµα τς ένεσς Επιανειακών Πλεγµάτων Η γένεσ επιανειακών πλεγµάτων (δοµµένων ή µ-δοµµένων, κατά περίπτωσ αποτελεί απαραίττ προϋπόεσ και το πρώτο ήµα για τ δµιουργία τριδιάστατων (αντίστοιχα, δοµµένων ή µ-δοµµένων πλεγµάτων. Ο έλεγχος τς ποιόττας του επιανειακού πλέγµατος είναι συνδεδεµένος µε τν ποιόττα του τριδιάστατου πλέγµατος που α δµιουργεί, επιλύοντας διαορικές εισώσεις γραµµένες για τον τριδιάστατο χώρο (αν πρόκειται για δοµµένο πλέγµα ή µε κάποια τεχνική προελαύνοντος µετώπου/ κατά Delaunay τετραεδροποίσς (αν πρόκειται για µδοµµένο πλέγµα τετραεδρικών στοιχείων. Η µέοδος που πρέπει να χρσιµοποιεί για τ γένεσ επιανειακών πλεγµάτων καορίζεται πρωταρχικά από τν επιλεγείσα ή τ διαέσιµ µέοδο περιγραής τς επιάνειας, πάνω στν οποία α δµιουργεί το πλέγµα. ια παράδειγµα, α µπορούσε επιάνεια να περιγράεται αναλυτικά µε µια συνάρτσ τς µορής (ισοδύναµ είναι κάε κυκλική εναλλαγή των συντεταγµένων στν παρακάτω σχέσ z z( x, y (ΕΠ. ή ακόµα γενικότερα ως ( x, y, z 0 (ΕΠ. Στν περίπτωσ αυτή, και µε ιδιαίτερ προσοχή όταν συντεταγµέν z δεν είναι µονότιµ συνάρτσ των συντεταγµένων x και y, µπορούν να διατυπωούν (ανάλογες των επίπεδων
2 Π- προλµάτων διαορικές εισώσεις για τ γένεσ του επιανειακού πλέγµατος. Οι εισώσεις αυτές διατυπώνονται ως προς τις συντεταγµένες x και y και στ συνέχεια το επιανειακό πλέγµα κατασκευάζεται εύκολα (ουσιαστικά υπολογίζεται τρίτ συντεταγµέν µε τ οήεια τς σχέσς (ΕΠ.. Άλλ περίπτωσ, που συχνά µπορεί να συναντεί στν πρά, είναι επιάνεια να περιγράεται µε ένα µ-δοµµένο ή δοµµένο πλέγµα (που δµιουργήκε λ.χ. µε κάποιο λογισµικό τύπου Autoca και ο χρήστς να καλείται να δµιουργήσει ένα άλλο πλέγµα τς ίδιας ή και διαορετικής κατγορίας (δοµµένο ή µ-δοµµένο, αντίστοιχα µε συγκεκριµένες απαιτήσεις ως προς τν ποιόττά του, συγκεκριµένο πλήος πλεγµατικών γραµµών, κ.λ.π. Πριν αναλυούν τεχνικές για τν επίλυσ των παραπάνω προλµάτων α παρουσιασούν ασικά στοιχεία εωρίας για τ διαχείρισ και τν παραµετροποίσ επιανειών. ΕΠ. Θεµελιώδεις Μορές Επιανειακού οµµένου Πλέγµατος Έστω ότι δµιουργείται πάνω σε µια επιάνεια ένα δοµµένο πλέγµα. Ας είναι,, (, παραµετροποίσ του επιανειακού πλέγµατος, όπως ακριώς ήταν και στα επίπεδα πλέγµατα. Θεωρούµε τν ποσόττα I οποία ορίζεται από τ σχέσ I ( ( E G (ΕΠ.3 όπου είναι το διάνυσµα έσς και E (ΕΠ.4 G Η συνάρτσ I ονοµάζεται πρώτ εµελιώδς µορή (fst funamental fom τς (,. Είναι µια οµογενής συνάρτσ πρώτου αµού ως προς και και οι συντελεστές E,, G
3 Π-3 ονοµάζονται πρώτοι εµελιώδεις συντελεστές (fst funamental coeffcents. Η σύγκρισ των (ΕΠ.3 και (ΕΠ.4 µε τν είσωσ (ΠΡ.3 και τις µέχρι τώρα γνώσεις για το συναλλοίωτο µετρικό τανυστή αποκαλύπτουν τν προανή αντιστοίχισ E,, G και για το λόγο αυτό µπορούµε να γράψουµε τν είσωσ (ΕΠ.3 ορισµού τς ποσόττας I χρσιµοποιώντας τανυστική γραή ως I (ΕΠ.3 Κατανοώντας το διάνυσµα ως µια στοιχειώδ διανυσµατική ποσόττα πάνω στο επιανειακό πλέγµα, που εκράζει τ µετακίνσ από το σµείο, ( στο, (, αναµένεται ποσόττα I να είναι αναλλοίωτ, µε τν έννοια ότι δεν α αλλάζει τιµή για οποιαδήποτε άλλ παραµετροποίσ τς επιάνειας. Αυτό µπορούµε να το αποδείουµε εύκολα ορίζοντας µιά διαορετική παραµετροποίσ (, αντί τς (,, για τν οποία πρώτ εµελιώδς µορή ας είναι, ( I. Κατά σειρά έχουµε, ( ( ( I I Η τελευταία σχέσ πιστοποιεί το ότι πρώτ εµελιώδς µορή του πλέγµατος είναι αναλλοίωτ στν παραµετροποίσ. Ορίζοντας τους αντίστοιχους πρώτους εµελιώδεις συντελεστές E *, *, G * και γράοντας ότι * * * * G E I (ΕΠ.5 µπορούµε, αντίετα, να δείουµε ότι οι πρώτοι εµελιώδεις συντελεστές δεν έχουν τν ιδιόττα του αναλλοίωτου. ια το σκοπό αυτό, είναι εύκολο να αποδειχούν οι σχέσεις
4 Π-4 E E G ϕ E ( G (ΕΠ.6 G E G που δείχνουν το µ-αναλλοίωτο των E,, G στν αλλαγή του τρόπου παραµετροποίσς. Επίσς, σµειώνεται ότι πρώτ εµελιώδς µορή I είναι ετικά ορισµέν. Είναι πάντα I 0, µε τν περίπτωσ τς ισόττας να ισχύει αν και µόνο εάν 0. Στο ίδιο επιανειακό πλέγµα ορίζουµε σε κάε σµείο του το κάετο στν επιάνεια µοναδιαίο διάνυσµα ως (ΕΠ.7 µε το διαορικό του να γράεται ως (ΕΠ.8 Χρσιµοποιώντας τν είσωσ ( ( 0 (ΕΠ.9 αποδεικνύεται καετόττα των και. Θεωρούµε τν ποσόττα ΙΙ που ορίζεται σύµωνα µε τν παρακάτω σχέσ II ( ( L M ( (ΕΠ.0 και οποία α ονοµάζεται δεύτερ εµελιώδς µορή (secon funamental fom του επιανειακού πλέγµατος (,. Οι εµπλεκόµενοι συντελεστές (που για µελλοντική χρήσ α οριστούν µε διπλό συµολισµό, και ως συνιστώσες του συµµετρικού τανυστή Ω
5 Π-5 L Ω M Ω Ω ( (ΕΠ. Ω ονοµάζονται δεύτεροι εµελιώδεις συντελεστές (secon funamental coeffcents. Η µορή ΙΙ είναι οµογενής συνάρτσ δεύτερου αµού των και, συνοπτικά α γράεται και ως ΙΙ Ω (ΕΠ.0 και µπορεί να αποδειχεί ότι είναι και αυτή αναλλοίωτ (όπως και I για οποιαδήποτε άλλ παραµετροποίσ που διατρεί όµως τ ορά του κάετου διανύσµατος. ια τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές δεν ισχύει το αναλλοίωτο κατά τν αλλαγή παραµετροποίσς και ισχύει, σε αναλογία προς τν (ΕΠ.6, σχέσ * * * L L M * * * M L M ( (ΕΠ. L * * * M Επειδή τα και είναι διανύσµατα παράλλλα στν επιάνεια και συνεπώς κάετα στο διάνυσµα, σε κάε σµείο (,, α ισχύουν οι σχέσεις ( 0 ( 0 ( 0 (ΕΠ.3 ( 0
6 Π-6 που επιτρέπουν τν εναλλακτική έκρασ των L,M, ως L M (ΕΠ.4 Ο συνδυασµός των σχέσεων (ΕΠ.4 στ σχέσ (ΕΠ.0 δίνει ότι II L M ή τελικά ότι II (ΕΠ.5 όπου nn ή συνοπτικά, (ΕΠ.6 όπου, στις τανυστικές γραές, το κόµµα ως κάτω δείκτς α σµαίνει παραγώγισ ως προς τις µεταλτές που ακολουούν (λ.χ.,. ια να υπολογιστεί το εµαδόν του επιανειακού πλέγµατος χρσιµοποιείται σχέσ ορισµού του Aea ( και µε αντικατάστασ προκύπτει ότι Aea EG n ` (ΕΠ. 7
7 Π-7 Στν τελευταία σχέσ υπόρριζος ποσόττα είναι πάντα ετική. Αυτό µπορεί να αποδειχεί µε άσ τν ιδιόττα τς ετικά ορισµένς µορής I. Έτσι I I 0 0 E( ( G 0 που για να ισχύει πρέπει να έχει αρντικό πρόσµο ορίζουσα τς, δλαδή 4 > 4EG < 0 EG (ΕΠ.8 Το αποτέλεσµα αυτό είναι σε απόλυτ συµωνία µε τ σχέσ ( ( EG και που πρακτικά καορίζει τ λεγόµεν επιανειακή Ιακωιανή J (συχνά γράεται και J s ως J EG ΕΠ.3 Περί Καµπυλόττας Σε ένα σµείο P πάνω σε µια παραµετροποιµέν κατά (, επιάνεια (δλαδή σε ένα επιανειακό πλέγµα, ας είναι k το διάνυσµα τς καµπυλόττας µιας καµπύλς C τς επιάνειας που διέρχεται από το P και το τοπικό κάετο διάνυσµα στν επιάνεια. Θυµίζουµε ότι το διάνυσµα καµπυλόττας (cuvatue vecto µιας καµπύλς C ορίζεται ως δεύτερ παράγωγος του διανύσµατος έσς ως προς το µήκος τόου τς καµπύλς C k s Ονοµάζουµε διάνυσµα κάετς καµπυλόττας (nomal cuvatue vecto το k n που ορίζεται ως k n ( k (ΕΠ.9 Παρατρούµε ότι το k n δεν εαρτάται από τ ορά του. Η κάετ καµπυλόττα κ n σε ένα σµείο µιας καµπύλς σε µια επιάνεια είναι το εσωτερικό γινόµενο (αµωτό µέγεος
8 Π-8 κ k (ΕΠ.0 n Αποδεικνύεται (για τν απόδει παραπέµπουµε σε ιλία ιαορικής εωµετρίας ότι ισχύει L M Ω E G κ n II I (ΕΠ. Η κάετ καµπυλόττα εαρτάται µόνο από τν κλίσ / τς καµπύλς και είναι αναλλοίωτ (µε τν έννοια που είναι αναλλοίωτα τα I και II σε αλλαγές παραµετροποίσς που διατρούν το πρόσµο του κάετου διανύσµατος. Επειδή το I είναι ετικά ορισµένο, κάετ καµπυλόττα κ n διατρεί το πρόσµο τς ποσόττας II. Ονοµάζουµε κάετ τοµή (nomal secton τς επιάνειας τν καµπύλ που σχµατίζεται από τν τοµή τς επιάνειας µε ένα οποιοδήποτε επίπεδο που περιέχει το κάετο διάνυσµα στο σµείο P. ια το ίδιο σµείο P, µπορούµε να ορίσουµε µια απειρία τέτοιων κάετων τοµών. Κάε κάετ τοµή έχει καµπυλόττα στο P που ταυτίζεται µε τν κύρια καµπυλόττα στο ίδιο σµείο. Από το σµείο Ρ τς επιάνειας διέρχονται δύο κάετες τοµές (µε τν έννοια που τους δώσαµε προγούµενα, που αντιστοιχούν στ µικρότερ ( κ και τ µεγαλύτερ ( κ τιµή κύριας καµπυλόττας για το ίδιο σµείο. Αυτές οι δύο κάετες τοµές είναι µεταύ τους ορογώνιες και ονοµάζονται πρωτεύουσες κατευύνσεις (pncpal ectons, ενώ οι τιµές των κ και κ λέγονται πρωτεύουσες καµπυλόττες (pncpal cuvatues. Οι πρωτεύουσες καµπυλόττες προκύπτουν ως οι δύο λύσεις τς δευτεροάµιας είσωσς (δίνεται χωρίς απόδει ( EG κ ( E GL M κ ( L M 0 Η µέσ τιµή των δύο λύσεων ονοµάζεται µέσ καµπυλόττα (mean cuvatue στο σµείο P GL M E ( EG µ Ω (ΕΠ. ενώ το γινόµενό τους ονοµάζεται καµπυλόττα Gauss (Gaussan cuvatue στο ίδιο σµείο K L M Ω Ω Ω (ΕΠ.3 EG Η µέσ καµπυλόττα και καµπυλόττα Gauss µιας επιάνειας είναι µια αναλλοίωτες ποσόττες σε σχέσ µε τους διάορους τρόπους παραµετροποίσής τς. Με άσ τ σχέσ (ΕΠ.8, ο
9 Π-9 παρονοµαστής τς (ΕΠ.3 είναι ετικός και ως εκ τούτου το πρόσµο τς καµπυλόττας Gauss είναι το πρόσµο τς ποσόττας (L-M. ΕΠ.4 Θεωρία Επιανειών. Το εώρµα των Gauss-Wenaten Οι εισώσεις των Gauss-Wenaten για τις επιάνειες είναι ανάλογες των εισώσεων enet για τις καµπύλες. Οι εισώσεις των Gauss-Wenaten εκράζουν τις παραγώγους των διανυσµάτων, και ως γραµµικούς συνδυασµούς των ποσοτήτων αυτών (των, και µε συντελεστές που εαρτώνται από τν πρώτ και δεύτερ εµελιώδς µορή I και II αντίστοιχα. Επειδή τα, και είναι γραµµικά ανεάρττα διανύσµατα ισχύει a α α (ΕΠ.4 γ γ όπου αποµένει να υπολογιστούν οι συντελεστές αναγράονται τανυστικά ως,, και γ. Οι παραπάνω εισώσεις k a k,, k a γ,, (ΕΠ.4 ια λόγους απλόττας, οι αποδείεις που ακολουούν δίνονται σε πλήρ ανάπτυ, αντί σε τανυστική µορή. Επειδή το διάνυσµα είναι µοναδιαίο και ορογώνιο ως προς τα ισχύουν οι σχέσεις και, α γ 0 γ 0
10 Π-0 Αλλά 0, 0 και οπότε καταλήγουµε στο µδενισµό των γ και γ, δλαδή γ γ 0 Χρσιµοποιώντας τις σχέσεις (ΕΠ. και (ΕΠ.3 έχουµε G M G E M E L Οι παραπάνω εισώσεις αποτελούν δυο συστήµατα µε δυο εισώσεις το καένα και αγνώστους τα, (οι πρώτες δύο εισώσεις και τα, (οι δύο τελευταίες. Επιλύοντας τα συστήµατα προκύπτουν οι εκράσεις EG E M EG MG EG ME L EG LG M (ΕΠ.5 Οι παραπάνω σχέσεις διατυπώνονται σύντοµα και στ µορή k k Ω (ΕΠ.5 Στ συνέχεια, χρσιµοποιώντας τις (ΕΠ.4 έχουµε α α L
11 Π- M α α α α καταλήγοντας στον υπολογισµό των α ως α L α M α (ΕΠ.6 δλαδή ότι a Ω (ΕΠ.6 Τέλος, χωρίς απόδει, παραέτουµε τν έκρασ των συντελεστών GE E ( EG k ως GE G ( EG G GG G ( EG E EE E ( EG (ΕΠ.7 EG E ( EG EG ( EG G ή συνοπτικά ως ( δ σδ α ασ, σ, α α, σ (ΕΠ.7 Αντικαιστώντας στις (ΕΠ.3 έχουµε τις τρείς εισώσεις Gauss στ µορή L
12 Π- M (ΕΠ.8 ή k,, k Ω (ΕΠ.8 και τις δύο εισώσεις Wenaten στ µορή (ΕΠ.9 ή b,, b (ΕΠ.9 k Οι ποσόττες λέγονται επιανειακά σύµολα Chstoffel δεύτερου είδους. Οπως παρατρούµε από τις εκράσεις (ΕΠ.7, τα σύµολα Chstoffel εαρτώνται µόνο από τους πρώτους εµελιώδεις συντελεστές E,, G και τις παραγώγους τους, σε αντίεσ µε τις ποσόττες που εαρτώνται από τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές. Ισχύει δε ε ορισµού ότι (ΕΠ.30 k k ΕΠ.5 Εισώσεις Συµιαστόττας και το εώρµα του Gauss Κάε ορά που µας δίνονται πεδία των E,, G, L, M, (δλαδή τα και τα Ω διατυπώνεται εύλογα το ερώτµα αν αυτά αντιστοιχούν σε µια επιάνεια (,, µε τν έννοια του να αποτελούν τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές τς. ενικά, απάντσ στο παραπάνω ερώτµα είναι αρντική, εκτός αν ικανοποιούνται οι λεγόµενες εισώσεις συµιαστόττας (compatblty contons, δλαδή οι εισώσεις ( ( ( ( (ΕΠ.3
13 Π-3 Αποδεικνύεται ότι οι εισώσεις (ΕΠ.3, µε τν εκτέλεσ πράεων που παραλείπονται, ισοδυναµούν (αναγκαία και ικανή συνήκ µε τν απαίτσ οι πρώτοι και δεύτεροι εµελιώδεις συντελεστές να ικανοποιούν τις (λεγόµενες και πάλι εισώσεις συµιαστόττας (compatblty equatons L M Μ L L M ( M ( (EΠ.3 και L M E {( ( {( ( } } (ΕΠ.33 Οι εισώσεις (ΕΠ.3 είναι γνωστές και ως εισώσεις των Mana-Coazz. Η (ΕΠ.3 λέγεται συνήως και απλά είσωσ του Coazz και τανυστικά γράεται ως ( Ωαγ ( Ωα γ Ω Ω (ΕΠ.3 κ κ α κγ αγ κ,, και, για µια επιάνεια αντιστοιχεί µόνο σε δύο διακριτές εισώσεις, αυτές που προκύπτουν για τις τιµές α,, γ (,, και ( α,, γ (,, ( Η είσωσ (ΕΠ.33 λέγεται συχνά και είσωσ του Gauss και τανυστικά γράεται ως ( Ω Ω Ω Ω κ λκ R αγ γλ α λ αγ (ΕΠ.33 όπου ορίσκαν τα σύµολα Remann-Chstoffel κ R αγ ως R (ΕΠ.34 δ δ δ αγ α, γ αγ, ε α δ εγ ε αγ δ ε Η είσωσ (ΕΠ.33 έχει δίνει τέσσερις διακριτές εισώσεις, για κ, α,, γ (,,,, ( κ, α,, γ (,,, ( κ, α,, γ (,,, και ( κ, α,, γ (,,, (
14 Π-4 και έχουν ειδική σµασία. Υπενυµίζεται ότι τα k είναι συναρτήσεις των E,, G και των παραγώγων τους. Άρα, από τις ίδιες ποσόττες εαρτάται και ποσόττα L M. Η καµπυλόττα Gauss δίνεται από τ σχέσ (ΕΠ. και ενώ µοιάζει να εαρτάται από τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές όπως προκύπτει τώρα εαρτάται µόνο από τους E,,G και τις παραγώγους τους. Το τελευταίο συµπέρασµα είναι ιδιαίτερα χρήσιµο κατά τ γένεσ επιανειακών πλεγµάτων. ΕΠ.6 Ελλειπτικές ιατυπώσεις για τ ένεσ οµµένων Επιανειακών Πλεγµάτων Ας συµολίσουµε µε s ( τον επιανειακό τελεστή Laplace, γνωστό και ως τελεστή Beltam (ο δείκτς s-suface δείχνει ακριώς ότι πρόκειται για τελεστή διατυπωµένο σε µια επιάνεια. Θα ισχύει, όπως για τν περίπτωσ που ο τελεστής γράεται σε ένα επίπεδο διδιάστατο χωρίο, (πάλι κάε δείκτς παίρνει τις τιµές και ότι s ( J J ( (ΕΠ.35 δ Με εαρµογή τς (ΕΠ.35 στις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες,, προκύπτει ότι δ s J J δ J δ δ δ J ( J J (ΕΠ.36 ια τν περαιτέρω επεεργασία τς τελευταίας σχέσς δίνονται, χωρίς απόδει, δύο οτικές σχέσεις για τις παραγώγους των ανταλλοίωτων µετρικών και τς ορίζουσας J. Αυτές είναι οι κ α ακ α ακ (ΕΠ.37 J J (ΕΠ.38 Αντικαιστώντας στν (ΕΠ.36 προκύπτει ότι δ s α δ α (ΕΠ.39 Στ συνέχεια, πολλαπλασιάζουµε τν είσωσ (ΕΠ.8 του Gauss µε και προκύπτει
15 Π-5 k,, k Ω (ΕΠ.40 που, µε τ οήεια τς εκρασς (ΕΠ. για τ µέσ καµπυλόττα, δίνει k, k µ (ΕΠ.4, Παράλλλα, µε εαρµογή τς (ΕΠ.35 στο διάνυσµα έσς προκύπτει ότι ( J s J,, J J ή ότι (ΕΠ.4 s, s, ή ακόµα (µε άσ τν είσωσ (ΕΠ.39 ότι (ΕΠ.43 s, α α, Συγκρίνοντας τις σχέσεις (ΕΠ.4 και (ΕΠ.43 προκύπτει και εναλλακτική γραή s µ Ν (ΕΠ.44 Οι εισώσεις (ΕΠ.4 ή (ΕΠ.43 ή (ΕΠ.44 είναι εναλλακτικές µορές τς ασικής διαορικής είσωσς που διέπει τ γένεσ επιανειακών δοµµένων πλεγµάτων, αού τόσο µέσ καµπυλόττα όσο και το κάετο µοναδιαίο διάνυσµα (άρα το δειό µέλος στο σύνολό του είναι αναλλοίωτα από τν παραµετροποίσ τς επιάνειας. Η γένεσ του επιανειακού πλέγµατος µπορεί να έχει ως αετρία τις δύο εισώσεις Posson (µε όρους πγής f και f για τις δύο καµπυλόγραµµες συντεταγµένες τς επιάνειας και, ή και που γράονται παρακάτω δ s f δ (ΕΠ.45 που, µε το συνδυασµό των σχέσεων (ΕΠ.4 και (ΕΠ.44 δίνουν τν
16 Π-6 f, µ (ΕΠ.46, Η τελευταία είσωσ αναπαριστά τρεις διακριτές εισώσεις για τις τρεις καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y,z των κόµων του πλέγµατος. ια λόγους πλρόττας υπενυµίζονται οι µετασχµατισµοί J G EG (ΕΠ.47 J EG J E EG
ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Επ. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.
ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΙΑΝΝΑΚΟΛΟΥ, Επ. Καθγτής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟ
Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων
Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων Προσδιορίστε την αναπαράσταση των τελεστών και σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Εξειδικεύστε τα αποτέλεσματά σας στις περιπτώσεις : (α) πολικών συντεταγμένων
11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός
56 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση,, Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε σταθερά τα και και
fysikoblog.blogspot.com
fysoblog.blogspot.com Πανεπιστήμιο Αηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙ: Αλλαγή Συστήματος Συντεταγμένων Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των τελεστών
Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων
Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Περιεχόµενα ενότητας: Έννοια και χρησιµότητα του µετασχηµατισµού συντεταγµένων Μητρώα µετασχηµατισµού Συντεταγµένες µοντέλου Μετασχηµατισµός µοντέλου Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ. Το δέλτα του Kronecker. Το σύµβολο µετάθεσης. Χρήσιµες σχέσεις ΟΡΙΣΜΟΙ (3.133) = 1 =+1. εijk. αν ijk = 123 ή 231 ή 312 (3.
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το δέλτα του Konece δ δ + 1 αν 0 αν (3.133 Το σύµβολο µετάεσης ε +1 ε 1 ε 0 αν 13 ή 31 ή 31 αν 13 ή 13 ή 31 αν οποιοιδήποτε δείκτες είναι ίδιοι (3.134 Χρήσιµες σχέσεις εεh
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 181 ΕΠΙΠΕ Ο ΙΟΠΤΡΟ. ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΙΑΘΛΩΣΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ: Ο τύπος των επιπέδων διόπτρων
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 8 ΕΠΙΠΕ Ο ΙΟΠΤΡΟ ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΙΑΘΛΩΣΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ: Ο τύπος των επιπέδων διόπτρων προκύπτει από τον τύπο των σφαιρικών διόπτρων όταν R=. = Από τ σχέσ αυτή φαίνεται ότι το πρόσµο του είναι
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΓΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κυριάκος Χ. Γιαννάκογλου Kαθηγητής ΕΜΠ
ΓΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΓΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Επ. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π.
ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΙΤΜΗΜΤΙΚΟ ΠΡΟΡΜΜ ΜΕΤΠΤΥΧΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΝΕΣΗ ΚΙ ΠΡΟΣΡΜΟΗ ΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΜΤΩΝ Κ.Χ. ΙΝΝΚΟΛΟΥ, Επ. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤ ΠΜ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΛΥΝΟΝΤΟΣ
Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Μ8 Η µερική παράγωγος
Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.
Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία
5 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία. Εισαγωγή Στο προγούµενο κεφάλαιο εετάσαµε πεπερασµένα στοιχεία για τα οποία οι συναρτήσεις παρεµβολής (που περιλαµβάνονται στο µτρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων H)
Διανύσματα. ! Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις. ! Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύθυνση
Επισκόπιση Θα µελετήσουµε την κίνηση σωµάτων και πώς οι αλληλεπιδράσεις τους µε άλλα σώµατα επηρεάζουν τη κίνηση αυτή Η µελέτη αυτή στηρίζεται σε µετρηµένο αριµό εµελιωδών αρχών που συσχετίζουν αιτία και
Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις
Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο
3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59
3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 6 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 64 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
website:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει
Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014
Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις
Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Ανισότητες - Ανισώσεις µε έναν άγνωστο
Ανισόττες - Ανισώσεις µε έναν άγνωστ Έναςαριθµςαλγεται ό έ µεγαλύτερςενςαριθµ ό ύβ όταν διαφράτυς α βεναι ί θετικός αριθµός. λαδήισχει ύ α> β α β> Έναςαριθµςαλγεται ό έ µικρότερςενόςαριθµύβ όταν διαφράτυς
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Η κατανόηση και ο χειρισµός ποσοτικών ή µορφολογικών αλλαγών, εντός του πεδίου βαρύτητας, µπορούν να αντιµετωπιστούν συνδυάζοντας έννοιες
Τοµέας Τοπογραίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εηκαράογου 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 08 8-99 Οι µετρήσεις των µεγεών που συνδέονται
HΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ - Λύσεις ασκήσεων στην ενότητα
HΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ - Λύσεις ασκήσεων στν ενόττα. Μια μονοφασική ήτρια περιστρέφεται από μια πετρελαιομχανή. Η ήτρια στ συνέχεια δίνει λεκτρικό ρεύμα σε έναν λεκτροκιντήρα υδραντλίας. Αν ο βαθμός απόδοσς
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια οριζόντια στροφή μιας ενικής οδού έχει ακτίνα = 95 m. Ένα αυτοκίνητο παίρνει τη στροφή αυτή με ταχύτητα υ = 26, m/s. (α) Πόση πρέπει να είναι η τιμή του συντελεστή μ s της στατικής
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί
Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.
Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου
13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Μετασχηµατισµοί 2 & 3
Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση
Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο
10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε
Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Physics by Chris Simopoulos
ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ Παρακάτω α αναέρουμε τον τρόπο που ακουούμε σε κάε άσκηση για να υπογίσουμε τη συνική δύναμη που ενεργεί σε ένα σώμα ή να αναλύσουμε τις διάορες δυνάμεις σε άλλες. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙ
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ. Ορισμοί. Εφαπτομένη οξείας γωνίας. Κλίση της ευθείας με εξίσωση y=αx
ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 5 Ορισμοί.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Εαπτομένη οξείας γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάετη πλευρά µε την προσκείμενη κάετη πλευρά μιας οξείας γωνίας
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος Άσκηση 2, Καθηγητής Σ. Τσαγγάρης ΑΣΚΗΣΗ 2
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Μηχανική των Ρευστών Ι Ακαδ. Έτος 3-4- Άσκηση, Πεδίο ταχυτήτων : u=, v=6x ΑΣΚΗΣΗ ) Ενα στοιχείο του ρευστού, κινούµενο στο πεδίο ταχυτήτων µεταφέρεται, περιστρέφεται και παραµορφώνεται
Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.
Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια οριζόντια σταερή δύναμη F, όπως στο σχήμα. i) Σε ποια διεύυνση α κινηεί το σώμα;
Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ)
ΣΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ-ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ Θέµα. Ένας αρµονικός ταλανττής µε ασθενή απόσβεση, (µάζα=, σταθερά ελατηρίου= s, συντελεστής τριβής= r διεγείρεται
Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.
7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3
11 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Αθηνών 31 Μαΐου Ιουνίου 013 ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 Δρ. Δεληβός Ιωάννης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1 1. ΣΧΕΤΙΚΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,
Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85. E y + + = sin sin z r. 1 sin sin. E r. θ θ. Σχήµα 19. Λόγω σφαιρικής συµµετρίας όµως E(r, θ, φ, t)=e(r, t).
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85 8 ΣΦΑΙΡΙΚΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ ασαιρικά κύµατα Φαντασείτε µια σηµειακή πηγή (πχ ταλαντούµενο σηµειακό ορτίο) που πάλλεται σ ένα σηµείο του χώρου Τα κύµατα που διαδίδονται προς όλες τις διευύνσεις
{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου
Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ The law of natue ae witten in the language of mathematic G.Galileo God ued beautiful mathematic in ceating the wold P.Diac ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Ροή
Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
L(t)dt = n = 2 + 2[φ], n = 2 + 2[φ], n = [λ] + 4[φ]
![L(t)dt = n = 2 + 2[φ], n = 2 + 2[φ], n = [λ] + 4[φ]](/thumbs/100/146836533.jpg "L(t)dt = n = 2 + 2[φ], n = 2 + 2[φ], n = [λ] + 4[φ]")
23/49 3η διάλεξη: Ομάδα Ανακανονικοποίησης Η διάσταση της Λαγκρανζιανής πυκνότητας είναι 4, σε μονάδες μάζας [L] = 4 μιας και η δράση S είναι αδιάστατο μέγεθος S = Ltdt = d 4 xl Επομένως, πηγαίνοντας σε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες