Μ8 Η µερική παράγωγος

Transcript

1 Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198 Κεφ 6, 8 Μ81 Μερική παραγώγιση Η παράγωγος µιας συνάρτησης f ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως f ( d d f ( f ( (Μ81 Για συναρτήσεις δύο ή περισσότερων µεταβλητών, αντίστοιχα όρια ορίζονται ως προς οποιαδήποτε από τις µεταβλητές, µε τη συνθήκη ότι οι υπόλοιπες µεταβλητές διατηρούνται ερές Για παράδειγµα, αν η f (, είναι µια συνάρτηση των µεταβλητών και, το όριο f (, f (, ονοµάζεται µερική παράγωγος της f (, ως προς και συµβολίζεται µε Η f (, έχει δύο µερικές παραγώγους πρώτης τάξης, τις ή f (Μ8 f (, f (, και f (, f (, (Μ83 Παράδειγµα Μ81 f (, f (, 4 f (, f (, e sin ( e sin ( e cos ( e cos ( Πρόβληµα M81 Να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων f (,, z : z z / z sin z e 115

2 Μ9 Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, M A Ruderman, A C Helmholz και B J Moer, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1998 Κεφ 5 Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 6 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 198 Κεφ 7 M R Spiegel, Theor and Problems of Vector Analsis (Schaum Publishing Co 1959 κε Μ91 Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση U (,, z Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε ερά τα και z και κινηθούµε κατά απόσταση d στην κατεύθυνση, η µεταβολή στο U θα είναι, σύµφωνα µε τον ορισµό των µερικών παραγώγων, περίπου ίση µε d Η προσέγγιση γίνεται τόσο πιο καλή όσο µικρότερο είναι το d Ο συντελεστής µπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθµός µεταβολής της U ανά µονάδα µετατόπισης στην κατεύθυνση Αν τώρα η µετατόπιση συνεπάγεται µεταβολές στα, και z, δηλαδή είναι ίση µε d s dˆ d ˆ dz zˆ, και αυτή έχει ως συνέπεια να µεταβληθεί η U κατά du σε U du, τότε, για µικρή µετατόπιση, η ολική µεταβολή στο U θα είναι η επαλληλία των επιµέρους µεταβολών για τις ανεξάρτητες µετατοπίσεις d, d, dz Έτσι, du d d dz (Μ91 Αυτό είναι το ολικό διαφορικό του U Η du µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της διανυσµατικής µετατόπισης d s, αν αναγνωρίσουµε ότι το du στην (Μ91 ισούται µε το εσωτερικό γινόµενο: du ( d d dz d i j k i j k i j k s (Μ9 Ονοµάζουµε το µέγεθος i j k βαθµίδα ή κλίση της βαθµωτής συνάρτησης U, και τη συµβολίζουµε µε grad U (Μ93 Είναι η γενίκευση, σε τρεις διαστάσεις, της έννοιας της κλίσης ή του ρυθµού µεταβολής d d µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής f ( Κατ αναλογία προς τον τελεστή παραγώγισης ως d προς, θα το βρούµε χρήσιµο να ορίσουµε τον αντίστοιχο τριδιάστατο τελεστή, grad i j k (Μ94 116

3 Ο τελεστής αυτός δρα πάνω σε µια βαθµωτή συνάρτηση που θα τοποθετηθεί στα δεξιά του, δίνοντας τη βαθµίδα της συνάρτησης: U gradu Το σύµβολο ονοµάζεται ανάδελτα Έτσι, το µέγεθος U grad U i j k (Μ95 χρησιµοποιείται στον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης U σε ένα σηµείο, σε οποιαδήποτε κατεύθυνση Αν η µετατόπιση είναι di dj dzk, η µεταβολή της U θα είναι du gradu U d d dz (Μ96 εδοµένου ότι η µετατόπιση έχει µήκος du gradu U ( d ( d ( dz, το µέγεθος d d dz (Μ97 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης U σε ένα σηµείο, στην κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος sˆ Έτσι, du gradu sˆ U sˆ (Μ98 Λόγω των ιδιοτήτων του, το µέγεθος αυτό ονοµάζεται παράγωγος κατά κατεύθυνση Σε µια κατεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε το διάνυσµα U, ο ρυθµός µεταβολής του U ανά µονάδα µετατόπισης είναι [σύµφωνα µε την (Μ98]], du θ U cosθ (Μ99 Ο µέγιστος ρυθµός αύξησης του U παρατηρείται στην κατεύθυνση της βαθµίδας U, δηλαδή o o du για θ, και είναι ίσος µε U Επίσης, για θ 9 είναι, πράγµα που o 9 σηµαίνει ότι το διάνυσµα U είναι κάθετο στις γραµµές ή επιφάνειες ερού U (ισοµικές επιφάνειες - πχ ισοδυναµικές επιφάνειες αν U είναι το δυναµικό Συνοψίζοντας: Η βαθµίδα U µιας βαθµωτής συνάρτησης U είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1 Είναι κάθετο στις επιφάνειες ερού U Έχει κατεύθυνση αυτήν προς την οποίαν ο ρυθµός αύξησης του U είναι µέγιστος 3 Έχει µέτρο που είναι ίσο µε τον µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στο συγκεκριµένο σηµείο 4 Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε τον ρυθµό µεταβολής του U στην κατεύθυνση αυτή Παράδειγµα 1 Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης U (,, z z 3 Από τον ορισµό U grad U i j k, έχουµε U i ( z j ( z k ( z (4 ( ( 3 4 ( i j z k z i z j z k 117

4 Παράδειγµα Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης f (r, όπου r i j zk Από τον ορισµό f i j k Όµως η συνάρτηση f (r είναι συνάρτηση του r µόνο Έτσι, Επίσης, επειδή r z, έχουµε ( 1 z dr r f ( r κοκ Έτσι, έχουµε: z, και r r r Εποµένως, f i j k f ( r i j k z f ( r i j k f ( r rˆ r r r Γενικά, όταν υπάρχει σφαιρική συµµετρία, δηλαδή έχουµε µια συνάρτηση του r µόνο, είναι f rˆ dr Για παράδειγµα, 1 1 rˆ r r Έτσι, από το ηλεκτροστατικό δυναµικό 1 Q V, µέσω της σχέσης 4π ε r E V, βρίσκουµε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου: Q 1 1 Q E rˆ 4π ε r 4π ε r Χρησιµοποιώντας τον τελεστή ανάδελτα µπορούµε να ορίσουµε δύο µεγέθη τα οποία είναι πολύ χρήσιµα στην ανάπτυξη της θεωρίας του διανυσµατικού πεδίου: την απόκλιση και τον στροβιλισµό Μ9 Απόκλιση Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης E Ei E j Ezk ορίζεται ως E dive ( Ei E j Ezk i j k ( Ei E j Ezk (Μ91 όπου τα εσωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του E, δηλαδή E Να σηµειωθεί ότι η απόκλιση είναι ένα βαθµωτό µέγεθος z (Μ

5 Μ93 Στροβιλισµός Ο στροβιλισµός µιας διανυσµατικής συνάρτησης E Ei E j Ezk ορίζεται ως E curle rote i j k ( Ei E j Ezk (Μ91 όπου, και πάλι, τα εξωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του E, δηλαδή i j k z z E E E z z E i j k z Να σηµειωθεί ότι ο στροβιλισµός είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος (Μ913 Παράδειγµα 4 Να υπολογιστεί ο στροβιλισµός της βαθµίδας που βρέθηκε στο Παράδειγµα 1 Στο Παράδειγµα 1 βρέθηκε ότι: Έτσι, 3 3 U ( z 4 i ( z j 3z k i j k U z 4 z 3z ( 3 z ( z (4 ( 3 z ( z (4 U i j k ( ( 3 ( 3 ( ( (4 (4 U z z i j k Το αποτέλεσµα U (Μ916 ισχύει γενικά για κάθε βαθµωτή συνάρτηση U, όπως µπορείτε εύκολα να αποδείξετε 119