ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ The law of natue ae witten in the language of mathematic G.Galileo God ued beautiful mathematic in ceating the wold P.Diac ΣΥΝΤΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Ροή ανύσµατος (flu) Ο όρος «ροή» ανύσµατος σηµαίνει το «επιφανειακό ολοκλήρωµα της κάθετης προς την επιφάνεια συνιστώσας» του ανύσµατος. Η ροή Φ είναι µονόµετρο µέγεθος. Φ d d d n c Σχήµα Σχήµα.Κυκλοφορία ανύσµατος (ciculation) Ο όρος «κυκλοφορία ανύσµατος» σηµαίνει το «επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της εφαπτοµενικής συνιστώσας» του ανύσµατος κατά µήκος κλειστής καµπύλης c,που περικλείει επιφάνεια (Σχήµα ). Γ d 3.Απόκλιση ανύσµατος (divegence) Ορίζεται από τη σχέση: div lim di i i c Η απόκλιση ενός ανύσµατος σ ένα σηµείο Ρ του χώρου εκφράζει τη ροή του ανύσµατος ανά µονάδα όγκου στην περιοχή του Ρ. Η απόκλιση είναι µονόµετρο µέγεθος.σε καρτεσιανές συντεταγµένες θα έχει την έκφραση: ϑ ϑ ψ ϑ z ϑχ ϑψ ϑ z i

2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ Θεώρηµα Gau ( d ) d όπου είναι κάθε κλειστή επιφάνεια και ο όγκος που περιβάλλει. 4.Στροβιλισµός ανύσµατος (otation, cul) v cul ot n lim d i c i i Ο στροβιλισµός του κατά µια διεύθυνση $n είναι η συνιστώσα του κατά τη διεύθυνση $n. Το µέγεθος του σ ένα σηµείο Ρ, εκφράζει την κυκλοφορία του ανύσµατος ανά µονάδα επιφάνειας στην περιοχή του Ρ. Η κυκλοφορία του γύρω από την καµπύλη C εξαρτάται από τον προσανατολισµό του επιπέδου της C. Η διεύθυνση του είναι εκείνη για την οποία έχουµε τη µέγιστη κυκλοφορία. Ο στροβιλισµός είναι διανυσµατικό µέγεθος. Σε καρτεσιανές συντεταγµένες έχει την έκφραση: i$ $ j k$ z Z i$ $ j k$ z z z z Θεώρηµα Stoke Y Z Η καµπύλη c περιβάλλει την επιφάνεια. ( ) d d 5. Βαθµίδα συνάρτησης (gadient) Έστω η βαθµωτή συνάρτηση (,,z). Ορίζουµε σαν βαθµίδα της συνάρτησης αυτής, την παράσταση: gad i j z k $ $ $ Η βαθµίδα εκφράζει το χωρικό ρυθµό µεταβολής µιας βαθµωτής συνάρτησης. Είναι διανυσµατικό µέγεθος και έχει διεύθυνση, εκείνη της µέγιστης µεταβολής της συνάρτησης.ισχύει: d d d ( ) d Σχήµα 3 c b ( ) d ( b) ( a ) a και προφανώς ( ) d z dz

3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 3 6. Λαπλασιανή (Laplacian) ( ) z Ο τελεστής καλείται Laplacian και είναι µονόµετρος. Έχει τη µορφή: z Όταν ο τελεστής Laplacian εφαρµόζεται σε διάνυσµα τότε υπονοείται ότι εφαρµόζεται στις αντίστοιχες συνιστώσες του διανύσµατος. Είναι δηλαδή: (,, z) και η σχέση: z ανάγεται στις: z z z z z z z 7. Άλλες σηµαντικές ιδιότητες Αν A: A γιατί A πάντοτε Αν φ:: φ γιατί φ πάντοτε Αν τότε το πεδίο καλείται αστρόβιλο. Γενικά η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα πεδίο αστρόβιλο είναι να πληρούνται και οι τρεις παρακάτω ισοδύναµες σχέσεις: φ d Αν το πεδίο καλείται στροβιλό. Αν το εκφράζει πεδίο δυνάµεων και είναι : (αστρόβιλο) τότε το πεδίο αυτό λέγεται συντηρητικό. Στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωµα d εκφράζει έργο και συνεπώς για συντηρητικά πεδία το έργο κατά µια κλειστή διαδροµή είναι µηδέν : d. Το εκφράζεται τότε σαν φ όπου το φ λέγεται δυναµικό. (Το σηµείο (-) δεν έχει ιδιαίτερο φυσικό περιεχόµενο, αλλά εισάγεται για

4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 4 λόγους µαθηµατικής διευκόλυνσης.) Αξίζει να αναφερθεί η περίπτωση του στατικού ηλεκτρικού πεδίου όπου ισχύουν οι εξισώσεις: ρ ε και. Από τη δεύτερη σχέση έπεται φ και αντικαθιστώντας στην πρώτη έχουµε: ( φ) ρ φ ρ (εξίσωση Poion). ε ε 8. Θεώρηµα Helmholtz Το θεώρηµα Helhmoltz διαπραγµατεύεται το θέµα της απαιτούµενης πληροφορίας για τον υπολογισµό ενός διανυσµατικού πεδίου. Η γνώση της απόκλισης και του στροβιλισµού σε µια συγκεκριµένη περιοχή, είναι γενικά επαρκής για τη γνώση του πεδίου. Με άλλα λόγια, αν για ένα πεδίο v v (,, z) ( ) (µε ( ) ), είναι γνωστές οι σχέσεις: ρ( ) και j( ), τότε το πεδίο είναι µονοσήµαντα ορισµένο από τις συναρτήσεις: ρ( )d φ( ) 4π j( )d A( ) 4π όπου οι ( ρ ) και j( ) είναι συναρτήσεις, δηλαδή ~, ε>. ε εντοπισµένες Σχήµα 4 και µπορεί να βρεθεί από τη σχέση: ( ) φ A. Αν η συνάρτηση (,, z) εκφράζει το ηλεκτρικό πεδίο, τότε οι συναρτήσεις φ και A αποτελούν αντίστοιχα το µονόµετρο και το διανυσµατικό δυναµικό του πεδίου αυτού. Β. ΧΡΗΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Η εκθετική συνάρτησηςe i Θεωρείστε τα αναπτύγµατα: 4 co...! 4! 3 5 in... 3! 5! i ( i) ( i) ( i) ( i) e i..., µε! 3! 4! 5! i ± i ιαπιστώστε ότι ισχύει: e co ± iin (τύπος του ule). Γενικά αυτός ο τύπος θεωρείται εξαιρετικά σηµαντικός στα Μαθηµατικά,αφού συνδέει την επίπεδη γεωµετρία (που αντιπροσωπεύεται εδώ µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις),µε την άλγεβρα (που αντιπροσωπεύεται εδώ µε την εκθετική συνάρτηση).

5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 5 Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: in e co n i in n (τύπος του DeMoive) i i co ( e e ) i i in ( e e ) i i e d i e i i e i i de ( ) i i e ico in d i d ( e ) i i e (co iin ) d Οι παραγωγίσεις ή οι ολοκληρώσεις της συνάρτησης e i αντιστοιχούν σε πολλαπλασιασµό µε i ή µε -i αντίστοιχα.. Το µιγαδικό επίπεδο άξονας φανταστικών P zi θ άξονας φανταστικών Κάθε µιγαδικός αριθµός zi παριστάνεται µονοσήµαντα από ένα σηµείο Ρ στο µιγαδικό επίπεδο. Εισάγοντας πολικές συντεταγµένες (,θ) µε () ½, tanθ/, ο αριθµός z γράφεται ως εξής : zicoθiinθ(coθiinθ)e iθ. Σχήµα 5 3. Μιγαδικοί αριθµοί και αρµονικές κινήσεις Μπορούµε να θεωρούµε το αρµονικό µέγεθος FF o coωt, ως το πραγµατικό µέρος της Foe iωt. Μια τέτοια µορφή συµφέρει στην περίπτωση επίλυσης γραµµικών διαφορικών εξισώσεων όπου υπάρχουν παραγωγίσεις ως προς τη µεταβλητή t. Θα εξετάσουµε σαν παράδειγµα τον αρµονικό ταλαντωτή µε απόσβεση που διέπεται από την εξίσωση: m d F t m d coω γ mω dt dt d d F dt dt m ei ω t γ ω () Αναζητούµε λύση της µορφής : e i (ω t ϕ) () F ϕ Θέτοντας τη () στην (), καταλήγουµε στη σχέση: ( ω ω ) iγω m ei, F απ όπου προκύπτει: ( ω ω ) co m ϕ

6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 6 F και γω in ϕ m Η επίλυση αυτού του αλγεβρικού συστήµατος ως προς χ ο και φ δίνει: F m γ ω tanϕ ( ω ω ) ( γ ω ) ω ω 4.Παράσταση φυσικών µεγεθών µε µιγαδικές ποσότητες Ένας µιγαδικός αριθµός zi µπορεί να παριστάνει ένα διάνυσµα µέτρου ( ) ½ και φάσης θ(γωνία ως προς τον χ- άξονα), µε tanθ /. Τότε θα ισχύει: z e iθ. Σηµειώστε ότι πολλαπλασιασµός του ανύσµατος µε i σηµαίνει στροφή κατά 9. Πράγµατι, iz e i e i π θ e i ( θ π ).Παρατηρείστε ότι η δράση του i προωθεί τη φάση του ανύσµατος κατά 9, ενώ η δράση του -i καθυστερεί τη φάση κατά 9. Όταν δύο µεγέθη, µη συγγραµικά, συνδέονται µεταξύ τους, τότε αυτή η σύνδεση µπορεί και πρέπει να εκφρασθεί µε τη βοήθεια µιγαδικού αριθµού. Ένας τέτοιος µιγαδικός αριθµός, θα αποτυπώνει τη σχέση των µέτρων τους και τη διαφορά φάσης που υφίσταται µεταξύ τους. Σαν παράδειγµα αναφέρουµε τη διάδοση ηλεκτροµαγνητικών (Η/Μ) κυµάτων µέσα σε µη τέλειο διηλεκτρικό υλικό. Εδώ τα διανύσµατα D και δεν είναι συγγραµικά και η διηλεκτρική σταθερά ε που τα συνδέει µε τη σχέση D εε,πρέπει να εκφρασθεί σαν µιγαδικός αριθµός. θ Πράγµατι τότε: ε ε iε ε ε e i και tanθ ε ε Σ αυτήν την περίπτωση ο συντελεστής του φανταστικού µέρους.έχει φυσικό περιεχόµενο σχετιζόµενος µε την εξασθένηση του Η/Μ κύµατος κατά τη διάδοσή του στο διηλεκτρικό υλικό. Ανάλογα µπορούν να ειπωθούν για το δείκτη διάθλασης. Στα αντίστοιχα κεφάλαια των σηµειώσεων υπάρχει λεπτοµερέστερη ανάλυση και φαίνεται η χρήση των µιγαδικών αριθµών στην αναπαράσταση φυσικών µεγεθών.