Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε μια σ-άλγεβρα με πεδίο τιμών το, δηλαδή

Transcript

1 Τι εννοούμε με τον όρο «πιθανότητα»? Ο όρος πιθανότητα έχει δυο διαφορετικές πλην όμως σχετιζόμενες ερμηνείες. Η πρώτη είναι η καθαρά μαθηματική ερμηνεία του όρου πιθανότητα σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια συνάρτηση (μέτρο) ορισμένη σε ένα κατάλληλο χώρο. Η δεύτερη είναι η εμπειρική ερμηνεία της πιθανότητας η οποία προσπαθεί να εντοπίσει την έννοια της πιθανότητας στον εμπειρικό κόσμο. Η εμπειρική έννοια της πιθανότητας διακρίνεται σε δύο κατηγορίες, την υποκειμενική και την αντικειμενική. Μαθηματικός ορισμός: Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε μια σ-άλγεβρα με πεδίο τιμών το, δηλαδή ιδιότητες: 1.. H P θα λέγεται συνάρτηση πιθανότητας εάν πληρεί τις ακόλουθες 2. Για κάθε ακολουθία ενδεχομένων τα οποία είναι αμοιβαίως αποκλειόμενα, δηλαδή για κάθε, ισχύει ότι: Σχόλιο: Η ιδιότητα (2) ονομάζεται ιδιότητα της αριθμήσιμης προσθετικότητας. Ορισμός Χώρου Πιθανότητας: Έστω ένας δειγματικός χώρος Ω με έναν αντίστοιχο χώρο ενδεχομένων και μία συνάρτηση πιθανότητας ορισμένη στον. Η τριάδα ονομάζεται χώρος πιθανότητας. Εμπειρικός Ορισμός Υποκειμενική Ερμηνεία: «Η πιθανότητα εκφράζει βαθμό πίστης.» Αναγνωρίζουμε ως πιθανότητες τους βαθμούς πεποίθησης κατάλληλων επιστημονικών ή μη-επιστημονικών ερευνητών. Επομένως, εδώ, υπάρχουν τόσα συστήματα πιθανότητας, όσα και οι «κατάλληλοι» ερευνητές. Αυτό που πρέπει να αναρωτηθούμε είναι τι καθιστά έναν ερευνητή «κατάλληλο». Στο σημείο αυτό εισάγεται η έννοια της ορθολογικότητας. ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ:

2 1) Συνέπεια (Coherence) Το σύστημα των υποκειμενικών πιθανοτήτων του ερευνητή πρέπει να είναι συνεπές, δηλαδή πρέπει να ικανοποιεί τις απαιτήσεις του Μαθηματικού Ορισμού της πιθανότητας. Αυστηρή Συνέπεια (Strct Coherence): Οι ερευνητές δεν μπορούν να θέτουν ακραίες τιμές ( ή 1) σε πολύ αρχικές προτάσεις (olecular stateent). Από αυτήν την απαίτηση εξαιρούνται οι προτάσεις που αποτελούν λογικές αλήθειες και παίρνουν την πιθανότητα 1 και οι λογικές αντιφάσεις που παίρνουν την πιθανότητα, γιατί και οι 2 αυτοί τύποι προτάσεων δεν αποτελούν αρχικές υποθέσεις. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι ένα άτομο είναι έγκυος, τότε το ενδεχόμενο να είναι γυναίκα είναι λογική αλήθεια και παίρνει πιθανότητα 1. Η παραπάνω απάιτηση της συνέπειας δεν είναι αρκετή, γιατί δε μας λέει πώς να δώσουμε συγκεκριμένες τιμές στο πεδίο των προτάσεων δηλαδή πώς να καθορίσουμε τις πιθανότητές μας. 2) ayesan Condtonalzaton (C) Κάθε φορά που εμφανίζεται μια καινούρια πληροφορία (new evdence), το σύστημα των πεποιθήσεων του ερευνητή πρέπει να αλλάζει μέσω ενός και μόνο τρόπου, του bayesan condtonalzaton. Έστω ότι έχουμε την πρόταση H και σε αυτήν έχουμε θέσει μια πιθανότητα. Στη συνέχεια μαθαίνουμε ότι μια πρόταση είναι αληθής. Πώς θα αλλάξει η πιθανότητα που έχουμε προσάψει στη H με βάση τη γνώση που αποκτήσαμε για το ; Εναλλακτικά Όπου ο όρος λέγεται Μπεϋσιανός πολλαπλασιαστής. Εάν τότε περίπτωση κατά την οποία η πρόταση υποστηρίζει ή ενισχύει την πρόταση Η. Σχόλια:

3 Για να μπορέσει να λειτουργήσει το bayesan condtonalzaton πρέπει οι αρχικές πιθανότητες να είναι μη-μηδενικές, δηλαδή να παίρνουν τιμές στο διάστημα (,1). Η πρόταση αυτή υποστηρίζεται από την απαίτηση της αυστηρής συνέπειας. Συμπληρώνοντας την έννοια της συνέπειας και της αυστηρής συνέπειας, σύμφωνα με τον L. J. Savage, οι ερευνητές πρέπει να χαρακτηρίζονται από μια ανοιχτόμυαλη στάση (openndedness) απέναντι στις υποθέσεις που εξετάζουν, προκειμένου να λειτουργήσει πιο αποτελεσματικά το bayesan condtonalzaton. Μια βασική υπόθεση που διέπει την λειτουργία τού C είναι ότι οι αρχικές πιθανότητες και υπάρχουν στο αρχικό σύστημα των πεποιθήσεών μας (είναι pror probabltes) και δεν δημιουργούνται τη στιγμή που εμφανίζεται η νέα πληροφορία. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥ C:. Δεύτερη Εκδοχή του ayes: Υποθέτουμε ότι έχουμε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις (αυτό σημαίνει ότι μόνο μία από αυτές τις προτάσεις είναι αληθής). Έστω και ότι η πρόταση Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας: είναι αληθής. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα ολικής πιθανότητας για να βρούμε την πιθανότητα για το : Άρα πώς αλλάζει η πιθανότητά μας για την κάθε όταν μάθουμε ότι η είναι αληθής; Σχόλια: Η πιθανότητα ονομάζεται «πιθανοφάνεια της στο» Σύμφωνα με τη δεύτερη έκφραση του C υπολογίζουμε τη νέα πιθανότητα μιας υπόθεσης βασιζόμενοι στις παλιές πιθανότητες και στις πιθανοφάνειες στο.

4 . Τρίτη Εκδοχή του ayes: Έστω ότι ενδιαφερόμαστε μόνο για την υπόθεση και τη συμπληρωματική της. Η νέα πιθανότητά μας για την δίνεται από: Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε τρεις τύπους νομισμάτων που έχουν διαφορετικές πιθανότητες για το αν θα βγει κορώνα κατά τις ρίψεις. Τύπος : Το νόμισμα είναι δίκαιο με πιθανότητα να βγει κορώνα.5 Τύπος : Το νόμισμα είναι μεροληπτικό με πιθανότητα να βγει κορώνα.6 Τύπος C: Το νόμισμα είναι μεροληπτικό με πιθανότητα να βγει κορώνα.9 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα συρτάρι το οποίο περιέχει 4 νομίσματα: 2 τύπου Α, 1 τύπου και άλλο 1 τύπου C και ο ερευνητής διαλέγει τυχαία ένα νόμισμα, το ρίχνει και έρχεται κορώνα. Ποια η πιθανότητα το νόμισμα να είναι τύπου, ή C; Με βάση το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε Υπόθεση Τύποι νομισμάτων Αρχικές πιθανότητες Πιθανοφάνεια Μελλοντικές πιθανότητες C

5 Ας υποθέσουμε ότι με το ίδιο νόμισμα κάνουμε και δεύτερη ρίψη και έρχεται πάλι κορώνα. Πώς θα αλλάξουν οι παραπάνω πιθανότητες με βάση το νέο evdence; Μπορούμε να βρούμε τις νέες πιθανότητες με δύο τρόπους: a. Μπορούμε να θεωρήσουμε ως νέες pror probabltes τις προηγούμενες posteror Πάλι χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας για να βρούμε την Υπόθεση Τύποι νομισμάτων Αρχικές πιθανότητες Πιθανοφάνεια Μελλοντικές πιθανότητες C.36.9 b. Μπορούμε να κρατήσουμε τις αρχικές pror probabltes και να χρησιμοποιήσουμε στο evdence τα αποτελέσματα και από τις δύο ρίψεις του νομίσματος. Από το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας βρίσκουμε: Υπόθεση Αρχικές πιθανότητες Πιθανοφάνεια Μελλοντικές πιθανότητες

6 Τύποι νομισμάτων C Και στις δύο περιπτώσεις παρατηρούμε ότι ενισχύεται η πιθανότητα του νομίσματος τύπου C, το οποίο είναι λογικό καθώς η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι.9 Οι δύο απαιτήσεις που αναφέραμε ως τώρα είναι απαραίτητες για να χαρακτηρίσουμε έναν ερευνητή ορθολογικό. Είναι όμως αρκετές; Όχι, γιατί δεν υποχρεώνουν τον ερευνητή να υιοθετήσει την αντικειμενική πιθανότητα ως υποκειμενική. Για το λόγο αυτό χρειαζόμαστε και μία τρίτη απαίτηση, η οποία θα γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ αντικειμενικών και υποκειμενικών πεποιθήσεων. 3) Prncpal Prncple (PP) Όλη η ιδέα του Prncpal Prncple στηρίζεται στο ότι η αντικειμενική πιθανότητα, την οποία θα ονομάζουμε chance, όταν είναι γνωστή θα οδηγήσει αναγκαστικά τους ερευνητές να θέσουν τις υποκειμενικές τους πιθανότητες ίσες με αυτήν. Έστω λοιπόν ότι ο ερευνητής θέτει πάνω σε μια υπόθεση Η μια αρχική υποκειμενική συνάρτηση P και Ε το background evdence το όποιο όμως δεν περιλαμβάνει καμία επιπλέον πληροφορία πέρα από αυτήν που έχει ήδη συμπεριληφθεί για να υπολογίσουμε την αντικειμενική πιθανότητα. Δεδομένου λοιπόν, πως ο ερευνητής γνωρίζει την Επομένως η posteror πιθανότητα θα είναι ίση με: θα πρέπει να την υιοθετήσει. P( H {[ Pch ( H) p] E}) P( H [ ( H) p] E) P([ Pch ( H) p] E) p Να σημειώσουμε ότι ο ερευνητής δεν είναι υποχρεωμένος να ξέρει πάντα την αντικειμενική πιθανότητα, αλλά σε περίπτωση που την γνωρίζει, το Prncpal Prncple τον αναγκάζει να την υιοθετήσει ως υποκειμενική. Επομένως, οι 3 συνθήκες που θα πρέπει να πληρεί κάθε σύστημα πιθανοτήτων ενός επιστήμονα για να θεωρείται ορθολογικός είναι

7 1. Να είναι Coherent, δηλαδή συνεπής με τις μαθηματικές απαιτήσεις της πιθανότητας 2. Όταν εμφανίζεται νέο evdence, το σύστημα των πεποιθήσεων θα πρέπει να αλλάζει με ένα και μόνο ένα συγκεκριμένο τρόπο, το ayesan Condtonalzaton 3. Να υπακούει στο Prncpal Prncple Το ερώτημα είναι αν και οι τρεις υποθέσεις είναι αναγκαίες ή αν η παρουσία κάποιας καθιστά τις υπόλοιπες περιττές. Prncpal Prncple Ένας επιστήμονας θέλει να προσάψει πιθανότητα στο ενδεχόμενο Η. Αν γνωρίζει ότι η αντικειμενική της πιθανότητα του είναι και πως τα evdence E δεν έχουν καμία επιπλέον πληροφορία πέρα από αυτή που ήδη έχει συμπεριληφθεί για τον υπολογισμό της αντικειμενικής πιθανότητας, τότε, θα πρέπει να θέσει την υποκειμενική του πιθανότητα ίση με την αντικειμενική. Δηλαδή σύμφωνα με το ΡΡ οι ερευνητές, είναι αναγκασμένοι να θέσουν την υποκειμενική τους πιθανότητα για το Η ίση με την αντικειμενική πιθανότητα για το Η. n p p Για παράδειγμα, αν γνωρίζει ότι το νόμισμα είναι δίκαιο, θα πρέπει να θέσει την υποκειμενική του πιθανότητα να έρθει κορώνα ίση με,5. Για πολλούς ερευνητές η προϋπόθεση ότι όταν γνωρίζουν την αντικειμενική πιθανότητα της υπόθεσής τους θα πρέπει να θέτουν την υποκειμενική τους πεποίθηση ίση με την αντικειμενική πιθανότητα θεωρείται αυτονόητο και περιττό να ειπωθεί. Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις όπου οι agents, παρόλο που γνωρίζουν την αντικειμενική πιθανότητα της υπόθεσής τους, επιλέγουν να την αγνοήσουν. Επιστημικός ορθολογισμός είναι να πιστεύουμε μια θεωρία ως ορθή όταν υποστηρίζεται από όλα τα διαθέσιμα στοιχεία, ενώ απορρίπτουμε μια θεωρία η οποία είναι απίθανη με βάση τα διαθέσιμα στοιχεία. Παραδείγματα όπου αγνοείται η αντικειμενική πιθανότητα. 1. Μετά από ιατρικές εξετάσεις αν ο γιατρός μας, που είναι ειδικός και του οποίου την άποψη δεχόμαστε ως σωστή χωρίς δεύτερη σκέψη, πει ότι η πιθανότητα να ζήσουμε μέχρι τα 1 είναι μικρότερη από το 1% είναι πολύ πιθανό ότι θα δεχτούμε την άποψη του. Αντίθετα, αν μας πει ότι η πιθανότητα να ζήσουμε μέχρι τα 1 είναι 99% τότε πιθανότατα θα τον αγνοήσουμε τελείως και θα υιοθετήσουμε μια δική μας υποκειμενική πιθανότητα για το

8 ενδεχόμενο να ζήσουμε μέχρι τα 1, παρόλο που η άποψη του γιατρού μας στηρίζεται απ όλα τα διαθέσιμα στοιχεία. 2. Ένας άνδρας που έχει ενδείξεις ότι η γυναίκα του τον απατάει είναι επιστημικά ορθολογικό, δηλαδή στηρίζεται από όλα τα διαθέσιμα στοιχεία, να θεωρεί ότι η γυναίκα του τον απατάει, αλλά είναι ορθολογικό για τον ίδιο να μην θέλει να το πιστέψει και να προσάπτει μια πολύ χαμηλή πιθανότητα στο ενδεχόμενο. Βλέπουμε λοιπόν ότι η γνώση και μόνο της αντικειμενικής πιθανότητας δεν συνεπάγεται ότι οι ερευνητές θα υιοθετήσουν αυτή την πιθανότητα ως την υποκειμενικής τους. Καμία αρχή δεν τους εμποδίζει από το να απορρίψουν τελείως την αντικειμενική πιθανότητα και να υιοθετήσουν μια διαφορετική υποκειμενική. Τέλος αξίζει να σημειώσουμε ότι η PP επιβάλει κάποιους συγκεκριμένους περιορισμούς στο αρχικό μας σύστημα πιθανοτήτων δηλαδή στα pror probabltes. Ποιοι είναι οι περιορισμοί αυτοί? Ας τους δούμε αναλυτικά. Από τη στιγμή που ο ερευνητής καλείται να αναθεωρήσει την πιθανότητα που προσάπτει στην Η με βάση τη νέα πληροφορία που έχει δηλαδή τις προτάσεις και E, θα πρέπει να το κάνει σύμφωνα με το C, δηλαδή, n p Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να ανατρέξει στο αρχικό του σύστημα πιθανοτήτων (pror probabltes) και να εξετάσει τι pror πιθανότητα είχε προσάψει στη σύνθετη πρόταση (H E) όπως και στη πρόταση ( Ε) και να πάρει το λόγο αυτών των δύο πιθανοτήτων, δηλαδή n p p q1 p q2 Αυτός ο λόγος μπορεί (χωρίς τον περιορισμό που θέτει η PP στο αρχικό σύστημα πιθανοτήτων) κάλλιστα να είναι διάφορος της αντικειμενικής πιθανότητας p. Κατά συνέπεια η ΡΡ σημαίνει ότι οι pror πιθανότητες των παραπάνω προτάσεων δεν μπορεί να έιναι αυθαίρετες αλλά τέτοιες ώστε να συνάδουν με τις ταυτόχρονες απαιτήσεις των C και PP. Συνοπτικά, η PP επιβάλλει τον ακόλουθο περιορισμό στο αρχικό σύστημα πιθανοτήτων, q q 1 2 p ayesan Condtonalzaton και Prncpal Prncple Άλλη μία συχνή ερώτηση είναι αν το ΡΡ καθιστά το C περιττό. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι η εξής: Η PP είναι διατυπωμένη σε όρους condtonal πιθανότητας,

9 δηλαδή μας λέει ότι η δεσμευμένη pror πιθανότητα του agent με δέσμευση την γνώση της αντικειμενικής πιθανότητας είναι ίση με την αντικειμενική πιθανότητα. Αυτή η συνθήκη όμως δεν μας εξασφαλίζει ότι η νέα πιθανότητα του agent θα είναι ίση με την αντικειμενική. Μόνο αν ο agent υπακούει στο C η νέα του πιθανότητα θα ισούται με την δεσμευμένη του pror. Δηλαδή, n p Με άλλα λόγια το κλειδί για να εξισώσει ο agent την νέα του πιθανότητα με την αντικειμενική είναι το C. Coherence Η υπόθεση του coherence είναι απαραίτητη προκειμένου να επιβεβαιώσουμε ότι η αρχική κατανομή των πεποιθήσεων του ερευνητή σε ολόκληρο των χώρο ενδεχομένων, άρα και οι πιθανότητες p και p που χρησιμοποιούνται στο C, είναι σωστά ορισμένες. Δηλαδή, χωρίς την υπόθεση του coherence δεν θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες του μαθηματικού ορισμού της πιθανότητας. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝIKΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ Το ερώτημα που καλούμαστε να απαντήσουμε είναι αν δύο αρχικά διαφωνούντες επιστήμονες θα οδηγηθούν σε συμφωνία για την πιθανότητα ενός ενδεχομένου που θέλουν να εξετάσουν, ασυμπτωτικά, οδηγούμενοι από τη συσσωρευμένη πληροφορία και κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί να γίνει κάτι τέτοιο. Οι Υποθέσεις Θεωρούμε ότι έχουμε δύο ερευνητές Α και Β οι οποίοι δεν επικοινωνούν μεταξύ τους και έχουν τελείως διαφορετικά συστήματα πιθανοτήτων, ας θεωρήσουμε. Και τα δύο συστήματα πληρούν τις 3 συνθήκες ορθολογικότητας, είναι δηλαδή: Coherent, Το σύστημα των πεποιθήσεων αλλάζει μόνο μέσω του τρόπου του ayesan Condtonalzaton και Υπακούουν στο Prncpal Prncple. Οι δύο αυτοί ερευνητές θέλουν να βρουν την πιθανότητα για ένα ενδεχόμενο C.

10 Υποθέτουμε ότι κάνουν ένα parttonng του χώρου σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις όπου = 1, 2,.., (μία μόνο από αυτές είναι η σωστή) οι οποίες ακολουθούν την απαίτηση της αυστηρή συνέπειας (δηλαδή καμία δεν παίρνει τιμές πιθανοτήτων και 1). Επίσης οι υποθέσεις αυτές συνεπάγονται λογικά και τις αντικειμενικές κατανομές τους. Αν και οι δύο ερευνητές γνώριζαν την αντικειμενική πιθανότητα του C τότε και οι δύο, υπακούοντας στο ΡΡ θα όριζαν την υποκειμενική τους πιθανότητα ίση με την αντικειμενική και. Επειδή, όμως δεν την γνωρίζουν, ακολουθούν μια διαδικασία δύο βημάτων η οποία βασίζεται σε μια διαρκή μεταβολή των πιθανοτήτων που προσάπτουν στις υποθέσεις καθώς λαμβάνουν νέο evdence. Βήμα 1: Βρίσκουν ασυμπτωτικά ποια είναι η αληθής υπόθεση. Βήμα 2: Αφού εντοπίσουν την αληθή υπόθεση υπολογίζουν την πιθανότητα της C με βάση την αντικειμενική κατανομή της αληθούς υπόθεσης Αρχικά λοιπόν στο αρχικό σύστημα πιθανοτήτων και πριν οι δύο agents λάβουν οποιοδήποτε evdence ισχύουν τα εξής: C C 1 C C 1 Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν διότι οι pror πιθανότητες και των δύο agents είναι coherent πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να επικαλεστούμε το θεώρημα της ολικής πιθανότητας Στη συνέχεια, έρχεται το evdence E. Οι δύο agents θα διαμορφώσουν τις νέες τους πιθανότητες με βάση το C. Λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε C C C C, C C C C, Οι τελευταίες ισότητες προκύπτουν από το γεγονός ότι το E είναι adssble nforaton. Αυτό σημαίνει ότι η γνώση για την είναι πιο ισχυρή από τη γνώση

11 του Ε, γιατί αν θεωρούν σωστή την για παράδειγμα, τότε γνωρίζουν όλη την αντικειμενική της κατανομή και, δεν παίζει ρόλο τι πληροφορία τους δίνει το Ε. Στη συνέχεια ας στρέψουμε την προσοχή μας στις πιθανοφάνειες των Ε. Έχουμε, ως προς το Επομένως, οι παραπάνω σχέσεις γίνονται 1 1 C C 1 C C 1 Το πολύ σημαντικό εδώ είναι ότι οι πιθανοφάνειες C, C και,, λόγω του ΡΡ, πρέπει να τεθούν ίσες με τις αντικειμενικές πιθανότητες. Άρα για τους δύο ερευνητές 1. C C C 2.. Εδώ αρχίζει να εμφανίζεται μια πηγή σύγκλισης για τις πιθανότητες των 2 ερευνητών. Αν κάνουν άπειρες επαναλήψεις του πειράματος, στο τέλος η μία υπόθεση θα έχει πιθανότητα 1 ή περίπου ίση με το 1 και όλες οι υπόλοιπες. Αυτό συμβαίνει, γιατί η πληροφορία που παίρνουμε από κάθε επανάληψη του πειράματος στηρίζει την μία από όλες τις υποθέσεις, της οποίας την πιθανότητα αυξάνει σταδιακά, ενώ των υπολοίπων την μειώνει. Και στους δύο ερευνητές, η ίδια υπόθεση είναι αυτή που θα λάβει την στήριξη από την συσσωρευόμενη πληροφορία. Άρα, ανεξάρτητα από τις αρχικές τους πιθανότητες, οι 2 ερευνητές θα καταλήξουν στο ίδιο συμπέρασμα για το ποια είναι η σωστή υπόθεση. Ας θεωρήσουμε ότι αυτή είναι η 1. Τότε και οι δύο ερευνητές θα θέσουν τις υποκειμενικές τους πιθανότητες για την πρόταση C (που ηταν και το αρχικό ζητούμενο) ίσες με την αντικειμενική πιθανότητα για την C που δίνει η αντικειμενική κατανομή πιθανότητας που συνεπάγεται η 1.

12 ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ Η ΦΥΣΗ ΤΟΥ CONVERGENCE Στις τρεις απαιτήσεις ορθολογικότητας που ορίσαμε παίρνουμε ως δεδομένο ότι έχουμε ένα σύνολο που αποτελείται από αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις. Σε καμία όμως από αυτές τις τρεις απαιτήσεις ορθολογικότητας δεν ζητάται από τον επιστήμονα να χωρίσει τον χώρο σε αυτές τις υποθέσεις. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου C, στηριζόμενοι στο συσσωρευμένο evdence Ε χωρίς να έχουμε κάνει ένα partton του χώρου σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις. Άρα αν οι υποκειμενικές μας πεποιθήσεις είναι συνεπείς με τον μαθηματικό ορισμό της πιθανότητας, αλλάζουν μόνο μέσω του ayesan Condtonalsaton και υπακούουν στο PP τότε Όπου είναι η πιθανοφάνεια του C στο Ε, την οποία παίρνουμε ίση με την αντικειμενική πιθανότητα να έρθει Ε του δεδομένου ότι το C είναι αληθής. Όμως εδώ δεν έχουμε κάποιον/ κάποια δύναμη να μας δείξει ως προς την πιθανότητα που μπορούμε να προσάψουμε στο, άρα θα θέσουμε κάτι τελείως υποκειμενικό. Από την ανάλυση αυτή βλέπουμε ότι χωρίς το partton του κόσμου σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις δεν μπορούν να εισέλθουν στον κόσμο των υποκειμενικών πεποιθήσεων οι αντικειμενικές πιθανότητες και άρα δεν πρόκειται να έχουμε σύγκλιση των πεποιθήσεων δύο ερευνητών με διαφορετικές αρχικές υποκειμενικές πεποιθήσεις. 4 Η ΑΠΑΙΤΗΣΗ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑΣ Επομένως, προκειμένου να έχουμε σύγκλιση των δύο επιστημόνων δεν αρκούν μόνο οι τρεις απαιτήσεις της ορθολογικότητας, αλλά χρειαζόμαστε και μία τέταρτη, που θα είναι το parttonng του κόσμου σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις. Υπάρχουν δύο διαφορετικές περιπτώσεις ως προς την φύση του agent. Ο agent μπορεί να είναι ή επιστήμονας ή μη- επιστήμονας.. Επιστήμονας Αν είναι επιστήμονες, τότε παίρνουν και μία τρίτη απαίτηση, αυτή του Scentfc Knowledge. Βρίσκει ένα φαινόμενο το οποίο θέλει να ελέγξει, και χωρίζει τον κόσμο με βάση την επιστημονική του γνώση σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις όπου η κάθε μία συνεπάγεται μια αντικειμενική συνάρτηση κατανομής evdence. και σταδιακά συλλέγει Η διαδικασία που θα εφαρμόσει θα είναι ίδια με αυτή που παρουσιάστηκε παραπάνω.. Μη Επιστήμονας

13 Όταν δεν είναι επιστήμονες, τότε δεν γνωρίζουν πώς να χωρίσουν κατά επιστημονικό τρόπο τον χώρο σε αμοιβαίως αποκλειόμενες και πλήρεις υποθέσεις όπου η κάθε μία να συνεπάγεται μια αντικειμενική συνάρτηση κατανομής. 1) Scentfc Equvalence Η μία περίπτωση που θα μπορέσει να λύσει το ζήτημα της σύγκλισης είναι να κάνουν οι ίδιοι ένα parttonng του χώρου σε εμπειρία του. Σε αυτές πρέπει να υπάρχει ένα είναι η αληθής υπόθεση. ' j μη επιστημονικές υποθέσεις, που βασίζονται στην j τέτοιο ώστε ' Το scentfc equvalence θεωρεί ότι ο μη-επιστήμονας περνάει μέσα από μια διαδικασία learnng and adaptaton η οποία τον οδηγεί στη σωστή υπόθεση και βρίσκει την αντικειμενική κατανομή της. ' j όπου το Χρησιμοποιεί δηλαδή την ίδια διαδικασία με τον επιστήμονα, αλλά βασίζεται σε μη επιστημονικές υποθέσεις. Έτσι δύο διαφορικοί agents θα καταλήξουν στην ίδια αντικειμενική κατανομή, θα βρουν την αντικειμενική πιθανότητα που προσάπτει στο ενδεχόμενο C που ψάχνουν και την υιοθετούν λόγω το PP ως υποκειμενική. 2) Epstec Deference Εδώ, επειδή ο agent δεν είναι επιστήμονας, απευθύνεται σε έναν expert ο οποίος θα του πει ποια είναι η αντικειμενική πιθανότητα και αυτός θα την υιοθετήσει χωρίς δεύτερη σκέψη. Έτσι δύο διαφορετικοί agents θα καταλήξουν στην ίδια υποκειμενική πιθανότητα για το ενδεχόμενο που εξετάζουν.

14