ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

2 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα

3

4

5

6

7

8

9 Εκπαιδευτική Ενότητα 9 η Ενεργειακή Αρχή Lagrange - Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ Α r B m B l m r, I r m l, I l A C N θ φ D k Ο F m D u m r : Μάζα μέλους OA I r : Ροπή αδράνειας μέλους ΟΑ περί το κέντρο βάρους A του OA m B : Συγκεντρωμένη μάζα στο B m l : Μάζα μέλους BD I l : Ροπή αδράνειας μέλους BD περί το κέντρο βάρους C του BD m D : Μάζα εμβόλου D Ενέργειες: T = 1 m r(x A + y A ) + 1 I rθ + 1 m B(x B + y B ) + 1 m l(x C + y C ) + 1 I lφ + 1 m Du (1) U = 1 k(u u o) () P t = Nθ Fu (3) L = T U (4) Διευκρινίσεις: u o : Αρχικό μήκος που αντιστοιχεί σε ελεύθερο ελατήριο N: Εξωτερική ροπή F: Εξωτερική δύναμη

10 Βασικές σχέσεις μηχανισμού: u = rcosθ + lcosφ (5) 0 = rsinθ lsinφ (6) Εξαρτημένες σχέσεις: x A = r cosθ (7) y A = r sinθ (8) x B = rcosθ (9) y B = rsinθ (10) x C = rcosθ + l cosφ (11) y C = rsinθ l sinφ (1) κινηματικές μεταβλητές θ, φ Από Εξ.(6) θα έχουμε: sinφ = r sinθ = λsinθ (13) l λ = r l (14) cosφ = (1 λ sin θ) 1 (15) Από την Εξ.(15) 1 Β.Ε.: η γωνία θ Παραγωγίσεις ως προς το χρόνο: Από την Εξ.(13) φ cosφ = λθ cosθ φ = λθ cosθ cosφ (16) x A = r θ sinθ x A = r 4 θ sin θ (17) y A = r θ cosθ y A = r 4 θ cos θ (18)

11 Προσθέτωντας τις Εξ.(17),(18) θα έχουμε: Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: x A + y A = r 4 θ (19) Ομοίως θα έχουμε: x B + y B = r θ (0) x C = rθ sinθ l φ sinφ = rθ sinθ l sinφλθ cosθ cosφ x C = rθ (sinθ + 1 cosθtanφ) (1) y C = rθ cosθ l φ cosφ = rθ cosθ l cosφλθ cosθ cosφ y C = rθ (cosθ 1 cosθ) = 1 rθ cosθ () Προσθέτωντας τα τετράγωνα των Εξ. (1),() θα έχουμε: x C + y C = r θ (sin θ cos θtan φ + sinθcosθtanφ cos θ) x C + y C = r θ [sin θ (1 + tan φ)cos θ + sinθcosθtanφ] x C + y C = r θ [sin θ + 1 cos θ 4 cos + sinθcosθtanφ] (3) φ u = rθ sinθ lφ sinφ = rθ sinθ lsinφλθ cosθ cosφ u = rθ sinθ rθ cosθtanφ = rθ (sinθ + cosθtanφ) u = r θ (sinθ + cosθtanφ) (4) Από την Εξ.(1) T = 1 Ι (θ)θ I (θ) = I r + r 4 m r + r m B + I l λ cos θ cos φ + +r m l [sin θ cos θ cos φ + sinθcosθtanφ] + r m D (sinθ + cosθtanφ) (5)

12 Ενεργειακή Αρχή Lagrange για q 1 = θ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: t ( L ) L θ = P t (6) L = T U = 1 Ι (θ)θ 1 k[u(θ) u o ] (7) P 1 = P θ = L = I(θ)θ (8) Μ 11 = Μ θθ = I (θ) (9) d dt ( L = I (θ)θ + I (θ) θ ) = I (θ)θ + di (θ) θ = dt dθ dt θ = I (θ)θ + Ι (θ)θ (30) L θ = 1 I (θ) θ θ + k(u uo ) u θ L θ = 1 Ι (θ)θ + k(u uo ) u (θ) (31) P t = Ν F u = Ν + F r (sinθ + cosθtanφ) (3) Έτσι, αντικαθιστώντας στην Εξ.(6) τις Εξ.(30), (31), (3) θα έχουμε: I (θ)θ + 1 Ι (θ)θ + k(u u o ) u (θ) = Ν + F r (sinθ + cosθtanφ) (33) u (θ) = rsinθ + l cosφ θ = rsinθ + l (1 λ sin θ) 1 ( rλ sinθcosθ) = = rsinθ λ lsinθcosθ (1 λ sin 1 = r κ(θ) (34) θ) κ(θ) = sinθ + λsinθcosθ (1 λ sin 1 (35) θ) Ομοίως, το Ι (θ) προκύπτει από την παραγώγιση της Εξ.(5), ως προς θ

13 ΑΣΚΗΣΗ Β Y m, I l D Β δ C r R k N θ φ Α d m: Μάζα μέλους BD I: Ροπή αδράνειας μέλους BD περί το κέντρο βάρους C του BD Ενέργειες: T = 1 m(x C + y C ) + 1 Iδ (1) U = 1 k {[(x E x B ) + y B ] 1 l o } () P t = Nθ (3) Διευκρινίσεις: l o : Αρχικό μήκος ελατηρίου N: Εξωτερική ροπή Βασικές σχέσεις μηχανισμού: d = rcosθ + lcosδ Rcosφ (4) 0 = rsinθ + lsinδ Rsinφ (5)

14 Εξαρτημένες σχέσεις: x B = rcosθ (6) y B = rsinθ (7) x C = rcosθ + l cosδ (8) y C = rsinθ + l sinδ (9) 1 Β.Ε., η γωνία θ: Από την Εξ. (4) Rcosφ = rcosθ + lcosδ d } Από την Εξ. (5) Rsinφ = rsinθ + lsinδ R = (rcosθ + lcosδ d) + (rsinθ + lsinδ) R = r cos θ + l cos δ + d rdcosθ ldcosδ + +rlcosθcosδ + r sin θ + l sin δ + rlsinθsinδ R = r + l + d rdcosθ ldcosδ + rlcosθcosδ + rlsinθsinδ rlsinθsinδ = R (r + l + d ) + rdcosθ + ldcosδ rlcosθcosδ (rlsinθ) (1 cos δ) = [R (r + l + d ) + rdcosθ + ldcosδ rlcosθcosδ] αcos δ + βcosδ + γ = 0 δ = Δ(θ) (10) Ομοίως, θα έχουμε: φ = Φ(θ) (11) Από την Εξ.(4) rθ sinθ lδ sinδ + Rφ sinφ = 0 (1) Από την Εξ.(5) rθ cosθ + lδ cosδ Rφ cosφ = 0 (13)

15 Πολλαπλασιάζουμε την Εξ.(11) επί cosφ και την Εξ.(1) επί sinφ και προσθέτουμε κατά μέλη: rθ sinθcosφ lδ sinδcosφ + rθ cosθsinφ + lδ cosδsinφ = 0 lδ (cosδsinφ sinδcosφ) = rθ (cosθsinφ sinθcosφ) δ = r l θ cosθsinφ sinθcosφ cosδsinφ sinδcosφ = r θ sin(θ φ) l sin(δ φ) (14) x C = rθ sinθ l δ sinδ x C = rθ sinθ + l r θ sin(θ φ) l sin(δ φ) sinδ x C = rθ [ sinθ + sin(θ φ) sin(δ φ) sinδ] = rθ p x (θ) (15) p x (θ) = [ sinθ + sin(θ φ) sinδ] (16) sin(δ φ) y C = rθ cosθ + l δ cosδ y C = rθ cosθ l r θ sin(θ φ) l sin(δ φ) cosδ y C = rθ [cosθ sin(θ φ) sin(δ φ) cosδ] = rθ p y (θ) (17) p y (θ) = [cosθ sin(θ φ) cosδ] (18) sin(δ φ) Από την Εξ.(1) T = 1 mr θ [Px (θ) + P y (θ)] + 1 I (r l ) sin θ (θ φ) sin (δ φ) T = 1 Ι (θ)θ (19) I (θ) = mr [P x (θ) + P y (θ)] + I ( r l ) sin (θ φ) sin (δ φ) (0)

16 L = I (θ)θ t ( L ) = I (θ)θ + I (θ)θ (1) L θ = k(l B l o ) l B θ 1 I (θ) θ θ () l B = [(x E x B ) + y B ] 1 = [(d rcosθ) + (rsinθ) ] 1 (3) Ι (θ) = I (θ) θ (4) l B θ = 1 [(d rcosθ) + (rsinθ) ] 1 [(d rcosθ)(rsinθ) + (rsinθ)(rcosθ)] l B θ = (d rcosθ)(rsinθ)+(rsinθ)(rcosθ) = rdsinθ = b(θ) (5) l B l B I (θ) = di (θ) dt = I (θ) θ dθ I (θ) = Ι (θ)θ (6) dt Ενεργειακή Αρχή Lagrange t ( L ) L θ = P t (7) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(6) τις Εξ.(3)(1),() θα έχουμε: I (θ)θ + 1 Ι (θ)θ + k(l B l o )b(θ) = N (8)

17 ΑΣΚΗΣΗ Γ Y I b B Β F A m,l F B C Α O θ B X I k B,l B h A b Α C mg h k A,l A D E m: Μάζα μέλους AB I: Ροπή αδράνειας μέλους AB περί το κέντρο βάρους C του AB Ενέργειες: T = 1 m(x C + y C ) + 1 Iθ (1) U = 1 k A(l A l o ) + 1 k B(l B l o ) + mgy C () P t = F A y A + F B y B (3) Διευκρινίσεις: l o : Αρχικό μήκος ελατηρίου l A : Μήκος ελατηρίου Α l Β : Μήκος ελατηρίου Β F A, F B διατηρούν σταθερή κατεύθυνση κατά OY I

18 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ x A = b A cosθ (4) y A = b A sinθ (5) x B = b B cosθ (6) y B = b B sinθ (7) x C = Ccosθ (8) y C = Csinθ (9) x D = b A (10) y D = h (11) x E = b B (1) y E = h (13) l A = [(x A x D ) + (y A y D ) ] 1 (14) l B = [(x B x E ) + (y B y E ) ] 1 (15) 1 Β.Ε., η γωνία θ: x C = θ Csinθ (16) y C = θ Ccosθ (17) x C + y C = θ C (18) y A = b A θ cosθ (19) y B = b B θ cosθ (0) l A = [b A (1 cosθ) + (h b A sinθ) ] 1 (1)

19 l B θ = 1 [b A (1 cosθ) + (h b A sinθ) ] 1 {b A (1 cosθ)sinθ + (h ba sinθ)( b A cosθ)} l B θ = b A sinθ ba cosθsinθ hba cosθ+b A sinθcosθ l A l B θ = b A(b A sinθ hcosθ) l A = b A p A (θ) () p A (θ) = (b Asinθ hcosθ) l A (3) l B = [b B (1 cosθ) + (h + b A sinθ) ] 1 () l B θ = 1 [b B (1 cosθ) + (h + b A sinθ) ] 1 {b B (1 cosθ)sinθ + (h + ba sinθ)b A cosθ} l B θ = b B sinθ bb cosθsinθ+hba cosθ+b A sinθcosθ l A l B θ = b B(b B sinθ+hcosθ) l A = b B p B (θ) (3) p B (θ) = (b Bsinθ+hcosθ) l A (4) T = 1 (mc + I)θ = 1 I θ (5) I = mc + I (6)

20 L = I θ (7) t ( L ) = I θ (8) L θ = k A(l A l o ) l A θ + k B(l B l o ) l B θ + mg y C θ L θ = k A(l A l o )b A p A (θ) + k B (l B l o )b B p B (θ) + mgcsinθ (9) P t = F A y A + F B y B = F A b A cosθ + F B b B cosθ (30) Ενεργειακή Αρχή Lagrange t ( L ) L θ = P t (31) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(31) τις Εξ.(8)(9),(30) θα έχουμε: I θ + k A b A (l A l o )p A (θ) + k B b B (l B l o )p B (θ) + mgcsinθ = ( F A b A + F B b B )cosθ (3)