ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
|
|
- Μαργαρίτες Σπυρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τµ. Επιστήµης των Υλικών
2 ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k
3 ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k Επ. ειγµατοληψία ιακεκριµένα Σφαιρίδια Μη ιακεκριµένα Σφαιρίδια Με Περιορισµούς n! Χωρίς Περιορισµούς n 1!n 2!...n k! k n ( n 1 ) Με Περιορισµούς k 1 Χωρίς Περιορισµούς ( n+k 1 ) n
4 Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Σύµφωνα µε τις διαθέσεις της κυβέρνησης, 118 υπάλληλοι του Π.Π. τίθενται σε διαθεσιµότητα. Αν για αυτούς τους υπαλλήλους υπάρχουν τρεις ισοπίθανες περιπτώσεις, είτε να υπηρετήσουν άλλες ακαδηµαϊκές µονάδες, είτε να µετατεθούν σε άλλες υπηρεσίες του κράτους, είτε να απολυθούν, τότε 1 υπολογίστε την πιθανότητα 52 υπάλληλοι να υπηρετήσουν σε άλλη ακαδηµαϊκή µονάδα, 40 υπάλληλοι να µετατεθούν σε άλλη υπηρεσία του κράτους και οι υπόλοιποι να απολυθούν. 2 Ποια είναι η πιθανότητα το πολύ 10 να απολυθούν;
5 εσµευµένες Πιθανότητες Ορισµός Τα σύνολα A 1, A 2,...,A n,... αποτελούν µια διαµέριση του συνόλου Ω, εάν αυτά είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο (δηλ. A i A j =, i j) και j=1aj = Ω. Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας (Θ.Ο.Π.) Εστω {A j, j = 1, 2,...} µια διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε για κάθε σύνολο Β του δειγµατοχώρου ισχύει η σχέση P(B) = P(A j)p(b A j). j=1 Θεώρηµα Bayes Υπό τις προϋποθέσεις του Θ.Ο.Π. και εφ οσον P(B) > 0, P(A j B) = P(Aj)P(B Aj) P(B) όπου P(A j) ονοµάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα και P(A j B) ονοµάζεται εκ των υστέρων πιθανότητα., j = 1, 2,...,
6 Παραδείγµατα Παράδειγµα 2 Μετά το δεύτερο µεγάλο σεισµό στο Ληξούρι της Κεφαλλονιάς, το 30% των σπιτιών κρίθηκαν µη κατοικίσηµα, οπότε το 40% των κατοίκων, όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως µη κατοικίσηµο, έφυγαν από το νησί, όπως έφυγαν και το 25% των κατοίκων, όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως κατοικίσηµο. 1 Υπολογίστε το ποσοστό των κατοίκων του Ληξουρίου που έφυγε από το νησί. 2 Για τον κάτοικο του Ληξουρίου, ο οποίος δεν έφυγε από το νησί, υπολογίστε την πιθανότητα, το σπίτι του να έχει κριθεί ως κατοικίσηµο.
7 ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) n f(x) = P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,...,n, 0 < p < 1. x Συµβολικά: X B(n, p). EX = np, VarX = np(1 p).
8 ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) n f(x) = P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,...,n, 0 < p < 1. x Συµβολικά: X B(n, p). Poisson κατανοµή EX = np, VarX = np(1 p). Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη Poisson κατανοµή ή X είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = P(X = x) = e λλx x! Συµβολικά: X P(λ). EX = VarX = λ., x = 0, 1,..., λ > 0.
9 ιακριτές Κατανοµές Υπεργεωµετρική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη υπεργεωµετρική κατανοµή ή X είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή, εάν ( m ( n ) f(x) = P(X = x) = x) ), x = 0, 1,... min{m, r}, m, n, r Z +. r x ( m+n r Συµβολικά: X H(x : n, m, r).
10 ιακριτές Κατανοµές Αρνητική ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x, x = 0, 1,..., 0 < p < 1. x Συµβολικά: X NB(r, p).
11 ιακριτές Κατανοµές Αρνητική ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x, x = 0, 1,..., 0 < p < 1. x Συµβολικά: X NB(r, p). Παρατήρηση Για r = 1, P(X = x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... και η κατανοµή ονοµάζεται γεωµετρική κατανοµή ή κατανοµή του Pascal. Συµβολικά: X Ge(p). EX = 1 p p, VarX = 1 p p 2.
12 Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Συµβολικά: X N(µ,σ 2 ). EX = µ, VarX = σ 2.
13 Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Συµβολικά: X N(µ,σ 2 ). EX = µ, VarX = σ 2. Παρατήρηση Για µ = 0, σ 2 = 1 f(x) = 1 2π e x2 /2, x R ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή. Συµβολικά: X N(0, 1). και η κατανοµή
14 Συνεχείς Κατανοµές Οµοιόµορφη κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή ή X είναι µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή, εάν 1, x [a,β] f(x) = β a 0, x [a,β] Συµβολικά: X U(a,β). EX = a +β 2, VarX = β a)2. 12
15 Συνεχείς Κατανοµές Γάµµα κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = Συµβολικά: X G(a,β). 1 Γ(a)β a xa 1 e x/β, x > 0, a,β > 0. EX = aβ, VarX = aβ 2.
16 Συνεχείς Κατανοµές Γάµµα κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = Συµβολικά: X G(a,β). Εκθετική κατανοµή 1 Γ(a)β a xa 1 e x/β, x > 0, a,β > 0. EX = aβ, VarX = aβ 2. Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή ή X είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = λ e λx, x > 0, λ > 0. Συµβολικά: X E(λ) G(a = 1,β = 1/λ). EX = 1 λ, VarX = 1 λ 2.
17 Παραδείγµατα Παράδειγµα 3 Θεωρούµε ότι το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από ένα ταµείο ενός supermarket είναι µια Poisson τ.µ., µε µέση τιµή 20 πελάτες την ώρα. 1 Υπολογίστε την πιθανότητα να εξυπηρετηθούν τουλάχιστον 2 πελάτες τα επόµενα 15 λεπτά. 2 Για τις επόµενες 2 ώρες, ποια είναι η πιθανότητα για µισή ώρα (από αυτές τις δύο ώρες) να εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο ταµείο τουλάχιστον 2 πελάτες το 15λεπτο; 3 Ο διευθυντής του supermarket καταγράφει ανά 15λεπτο, το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο ταµείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο λεπτο αυτής της καταγραφής να εξυπηρετούνται τουλάχιστον 2 πελάτες;
18 Τυχαία ιανύσµατα Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 (x 1 ) = x 2 f(x 1, x 2 ), = (X 1, X 2 ) διακριτό τ.δ. X + f(x 1, x 2 )dx 2, = (X 1, X 2 ) συνεχές τ.δ. X
19 Τυχαία ιανύσµατα Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 (x 1 ) = x 2 f(x 1, x 2 ), = (X 1, X 2 ) διακριτό τ.δ. X + f(x 1, x 2 )dx 2, = (X 1, X 2 ) συνεχές τ.δ. X εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 X 2 (x 1 x 2 ) = f(x 1, x 2 ) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X 1 δοθείσης f X2 (x 2 ) της X 2. f X2 X 1 (x 2 x 1 ) = f(x 1, x 2 ) f X1 (x 1 ) της X 1. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X 2 δοθείσης
20 εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2 E(X 1 X 2 ) = x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2 ), X 1 διακριτή τ.µ. + x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2 )dx 1, X 1 συνεχής τ.µ. εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1 E(X 2 X 1 ) = x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1 ), X 2 διακριτή τ.µ. + x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1 )dx 2, X 2 συνεχής τ.µ.
21 Συντελεστής Συσχέτισης ύο Τυχαίων Μεταβλητών Συντελεστής Συσχέτισης = E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] Var(X1 )Var(X 2 ) E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) ονοµάζεται συνδιασπορά των τ.µ. X 1 και X 2. Παρατήρηση Ο συντελεστής συσχέτισης (όπως και η συνδιασπορά) µας λένε αν και πως σχετίζονται γραµµικά µεταξύ τους οι δύο τυχαίες µεταβλητές. 1 1 = 1, έχουµε αυστηρά ϑετική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 1, έχουµε αυστηρά αρνητική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 0, οι τ.µ. X 1 και X 2 ονοµάζονται ασυσχέτιστες.
22 Παραδείγµατα Παράδειγµα 4 Το τυχαίο διάνυσµα (X, Y) είναι οµοιόµορφο στον χώρο που περικλείεται από τις ευθείες X Y = 2, X = 0, Y = 0. 1 Να ϐρεθεί η πυκνότητα πιθανότητας του τ.δ. (X, Y). 2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y. 3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y. 4 Υπολογίστε την P(X > 1 Y < 1/2).
23 Παραδείγµατα Παράδειγµα 5 ίνεται η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X και Y, f X,Y (x, y) = { c x 3 y 3, x > y > 1. 0, διαφορετικά. 1 Να προσδιοριστεί η σταθερά c. 2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y. 3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y. 4 Υπολογίστε την E(X Y = 2).
24 Στοχαστική Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία τ.µ. Οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2,...,X k ονοµάζονται ανεξάρτητες P(X 1 A 1, X 2 A 2,...,X k A k ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 )...P(X k A k ) Παραγοντικό Θεώρηµα k X 1, X 2,...,X k ανεξ. τ.µ. F X (x ) = F X1 (x 1 )...F Xk (x k ) = F Xi (x i ) f X (x ) = f X1 (x 1 )...f Xk (x k ) = i=1 k f Xi (x i ) i=1 Παρατήρηση Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. Var(X 1 + X X k ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X k ).
25 Αναπαραγωγικές Ιδιότητες Θεωρούµε X 1, X 2,...,X k ανεξάρτητες τ.µ. k k 1 X i B(n i, p), i = 1, 2,...,k X i B( n i, p) i=1 i=1 k k 2 X i P(λ i ), i = 1, 2,...,k X i P( λ i ) i=1 i=1 k k k 3 X i N(µ i,σi 2), i = 1, 2,...,k X i N( µ i, σ 2 i ) i=1 i=1 i=1 i=1 k k 4 X i G(a i,β), i = 1, 2,...,k X i G( a i,β) k 5 X i E(λ) G(1, 1/λ), i = 1, 2,...,k X i G(n,λ) i=1 i=1
26 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) Κ.Ο.Θ. Εστω X 1, X 2,...,X n ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, µε E(X i ) = µ και VarX i = σ 2, i = 1, 2,...,n, τότε n n X i E( X i ) i=1 i=1 n Var( X i ) i=1 Z N(0, 1).
27 Παραδείγµατα Παράδειγµα 6 Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα για έναν νέο επιστήµονα να µεταναστεύσει στο εξωτερικό είναι 1/3. 1 Ρωτάµε 1800 νέους επιστήµονες αν πρόκειται να µεταναστεύσουν, υπολογίστε την πιθανότητα, µέσω Κ.Ο.Θ., όπως το πολύ 640 από αυτούς να ϕύγουν για το εξωτερικό. 2 Ρωτάµε νέους επιστήµονες αν πρόκειται να ϕύγουν για το εξωτερικό. Ποιο ϑα είναι το αναµενόµενο πλήθος των ερωτηθέντων, έτσι ώστε η διαδικασία αυτή να σταµατήσει όταν ϕτάσουµε στο 500 οστό άτοµο που δηλώνει ότι πρόκειται να ϕύγει για το εξωτερικό. Χρησιµοποιήστε την 1η ταυτότητα του Wald.
28 Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T.
29 Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T. Αν t [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Αν t = 0, 1, 2,..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο.
30 Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T. Αν t [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Αν t = 0, 1, 2,..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Εστω Ε το πεδίο τιµών της τ.µ. X(t) (ή X n ), τότε το Ε ονοµάζεται χώρος καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε διακριτό χώρο καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα διάστηµα ή το R, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε συνεχή χώρο καταστάσεων.
31 Στοχαστικές ιαδικασίες Ταυτότητα του Wald Αν X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε EX i <, i = 1, 2,... και N είναι τ.µ. που αναπαριστά τη στιγµή τερµατισµού της ακολουθίας των τ.µ. τότε, N E( X i ) = (EX)(EN) i=1 όπου X είναι τ.µ. ισόνοµη µε τις X 1, X 2,...
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Διαβάστε περισσότεραΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ
1 1. Εστω Y, W, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(3θ), P(4θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (Y,W,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ
Διαβάστε περισσότεραII. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραP (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότερα0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων
. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Βασικές Αρχές Αρχή της Απαρίθµησης Εστω ότι ϑέλουµε να εκτελέσουµε ένα έργο Τ και το έργο εκτελείται σε κάποιες ϐαθµίδες, οι οποίες ϐαθµίδες εκτελούνται σε υποέργα, T j, j = 1,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13
Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραΗ «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Η «ύλη» του προπτυχιακού µαθήµατος Βασικές έννοιες Πείραµα τύχης ειγµατοχώρος Ενδεχόµενα Πιθανότητα εσµευµένη πιθανότητα Ανεξαρτησία Βασικά ϑεωρήµατα Θεώρηµα ολικής πιθανότητας Θεώρηµα Bayes
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης
Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραn i P(x i ) P(X = x i ) = lim
Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Στατιστική ΙΙ Ενότητα 2: ειγµατοληψία Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Περιεχόµενα ειγµατοληψία Κατανοµές ειγµατοληψίας Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Τι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.
Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραP (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ
Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραεσµευµένες Πιθανότητες-Λυµένα Παραδείγµατα 3. Επιλέγουµε έναν που δεν είναι άνεργος. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι πτυχιούχος; = 0.
Τµήµα Επιστήµης των Υλικών Μάθηµα: Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες ιδάσκων: Κ. Πετρόπουλος εσµευµένες Πιθανότητες-Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα. Το 0% του ενεργού πληθυσµού (εργαζόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΚατανομές Πιθανοτήτων. Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ.
Κατανομές Πιθανοτήτων Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος 2018-2019 1 Περιεχόμενα Ενότητας Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης
Διαβάστε περισσότερα