ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o : Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της βέλτιστης αναγνώρισης παλμών, οι οποίοι φέρουν ψηφιακά δεδομένα και έχουν αλλοιωθεί κατά τη μετάδοση με λευκό, αθροιστικό θόρυβο. Η μέθοδος υλοποιείται με το ονομαζόμενο «προσαρμοσμένο φίλτρο» (matched flter), το οποίο είναι κατά βάση ένας συσχετιστής σημάτων (crrelatr). Στο δέκτη, μια σειρά από προσαρμοσμένα φίλτρα (αντίστοιχα των διαφορετικών, γραμμικώς ανεξάρτητων παλμών του συμφωνημένου ρεπερτορίου μετάδοσης) υπολογίζουν τη συσχέτιση του παλμού τους με κάθε εισερχόμενο παλμό (γινόμενο και ολοκλήρωμα στη βασική περίοδο, Τ). Το φίλτρο με τη μεγαλύτερη τιμή εξόδου υποδεικνύει τον παλμό με τη μέγιστη «πιθανοφάνεια» (δηλ. τη μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί, υπό τη συνθήκη του ληφθέντος σήματος). Αφού παρουσιαστούν τα βασικά χαρακτηριστικά των προσαρμοσμένων φίλτρων, γίνεται γενίκευση στους Ν-διάστατους γραμμικούς σηματικούς χώρους. Γίνεται εν συντομία η ανάλυση σφάλματος και δίνονται επεξεργασμένα παραδείγματα αναγνώρισης ημιτονικών παλμών (FSK) και παλμών διαμορφωμένων κατά πλάτος (PAM ή ASK).

2 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 3 3. Εισαγωγή Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Ορισμός ΣΠΦ Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Ο γραμμικός σηματικός χώρος Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt (Gram-Schmdt rthgnalzatn) Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό γκαουσιανό θόρυβο Ανάλυση σφάλματος Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Επεξεργασμένα παραδείγματα Παράδειγμα 3.: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Παράδειγμα 3.: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων L-ASK Ασκήσεις προς εκτέλεση Παράρτημα Π Βιβλιογραφία Αναφορές... 34

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Πλαίσια Κεφαλαίου 3 Πλαίσιο 3.: Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ: (α) ορισμός, (β) πεδίο διακριτού χρόνου, (γ) ενεργειακές σχέσεις... 6 Πλαίσιο 3.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου: (α) θορυβώδες σήμα, (β) συνέλιξη με g(τ), (γ) έξοδος... 7 Πλαίσιο 3.3: Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt... Πλαίσιο 3.4: Πομπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο: (α) κατασκευή παλμού στον πομπό, (β )βέλτιστη αναγνώριση στον δέκτη... Πλαίσιο 3.5: Το θεώρημα του Bayes στον υπολογισμό των εκ των υστέρων πιθανοτήτων... 3 Πλαίσιο 3.6: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς), περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στον δισδιάστατο σηματικό χώρο... 4 Πλαίσιο 3.7: (α) Γενετήρια διανύσματα σηματικού χώρου ΒFSK (Ν=Μ=, f =/), =, (β) Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ 8 Πλαίσιο 3.8: Μετάβαση από τον σύμφωνο (α) στον ασύμφωνο (β,γ) δέκτη... Πλαίσιο 3.9: Συνέλιξη και περιβάλλουσά της... Πλαίσιο 3.: Εξαγόμενα Κώδικα 3.: (α) θορυβώδες σήμα εισόδου, (β) αποκρίσεις προσαρμοσμένων φίλτρων... 4 Πλαίσιο 3.: Αστερισμός L συγγραμμικών σημείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας... 7 Πλαίσιο 3.: Πιθανότητα εσφαλμένου bt για την L-ASK με ορθογωνικούς παλμούς... 3 Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 3 Κώδικας 3.: Εξομοίωση προσαρμοσμένων φίλτρων για θορυβώδη ημιτονικά σήματα μιας και δύο περιόδων... 3 Κώδικας 3.: Εκτίμηση της βελτίωσης της σηματοθορυβικής σχέσης με χρήση προσαρμοσμένου φίλτρου... 5 Κώδικας 3.3: Υπολογισμός πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου σύμφωνης ASK, με ορθογωνικούς παλμούς... 9 Κώδικας 3.4: Συνάρτηση εκτίμησης λαθών καλείται από το bertl... 3

4 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3. Εισαγωγή Η μετάδοση ψηφιακών δεδομένων (ακολουθιών ψηφίων ή άλλων διακριτών συμβόλων) απó την πηγή πληροφορίας στον προορισμό γίνεται με απεικόνισή τους σε ακολουθίες στοιχειωδών διακριτών κυματομορφών, κατάλληλων για μετάδοση μέσω του διαθέσιμου διαύλου επικοινωνίας. Τα στοιχειώδη αυτά σήματα θα ονομάζουμε συμβατικά παλμούς, τις δε ακολουθίες των παλμών παλμοσειρές. Εκτός από τις παλμοσειρές αυτές καθαυτές, στον δέκτη είναι απαραίτητη και η πληροφορία χρονισμού για την οριοθέτηση των παλμών. Τις περισσότερες φορές η πληροφορία αυτή ενυπάρχει στις ίδιες τις παλμοσειρές από τον ειδικό τρόπο κατασκευής τους. Οι παλμοσειρές (μαζί με την πληροφορία χρονισμού τους) θα ονομάζονται ψηφιακές κυματομορφές (παρά την κάποια αντίφαση του όρου). Αν ο δίαυλος ήταν ιδανικός, δεν αλλοίωνε δηλαδή καθόλου τις μεταδιδόμενες κυματομορφές, ή οι όποιες αλλοιώσεις ήταν ντετερμινιστικές και άρα προβλέψιμες, θα ήταν εύκολο για τον δέκτη να ανεύρει μέσα στις λαμβανόμενες κυματομορφές τα μεταδιδόμενα δεδομένα. Το πρόβλημα έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι οι εκπεμπόμενες κυματομορφές αλλοιώνονται κατά τρόπο στοχαστικό (λόγω θορύβου ή άλλης στοχαστικής συμπεριφοράς του διαύλου), και η αναγνώρισή τους στον δέκτη γίνεται με κάποια πιθανότητα λάθους. Τα δύο βασικά προβλήματα που ανακύπτουν εδώ είναι:. Σχεδιασμός του πομπού, σχεδιασμός δηλαδή κυματομορφών κατάλληλων για το διαθέσιμο είδος διαύλου με γνωστές ατέλειες.. Σχεδιασμός του δέκτη. Ο δέκτης θα πρέπει να εφοδιαστεί με λειτουργίες αποκατάστασης και αναγνώρισης (detectn) ή εκτίμησης (estmatn), οι οποίες θα ανακτούν τα ψηφιακά δεδομένα από τις ψηφιακές κυματομορφές. Βασικό κριτήριο επίλυσης των παραπάνω δύο προβλημάτων είναι η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους αναγνώρισης στον δέκτη. Για τον λόγο αυτόν ξεκινάμε στο παρόν κεφάλαιο με τη μελέτη των βασικών λειτουργιών αναγνώρισης ή εκτίμησης, καταρχήν μεμονωμένων κυματομορφών (παλμών). Στο επόμενο κεφάλαιο η μελέτη επεκτείνεται σε ακολουθίες τέτοιων παλμών (παλμοσειρές), όπου έρχεται στο προσκήνιο η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου. Για τα προσαρμοσμένα φίλτρα υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία. Ο αναγνώστης ενδεικτικά παραπέμπεται στο [HAYK, ενότ. 8.].

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Τα προσαρμοσμένα φίλτρα (matched flters) χρησιμοποιούνται στους δέκτες συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας, με σκοπό την ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λανθασμένης αναγνώρισης των εκπεμπόμενων συμβόλων, όταν τα σήματα-παλμοί που τα μεταφέρουν αλλοιώνονται κατά την εκπομπή ή και κατά την επεξεργασία τους στον δέκτη (φιλτράρισμα, ενίσχυση) με λευκό αθροιστικό θόρυβο. 3.. Ορισμός ΣΠΦ Έστω G(f) η συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού φίλτρου στον δέκτη συστήματος εκπομπής-λήψης παλμών, όπως στη διάταξη του σχ. 3.α. Αν ο εκπεμπόμενος παλμός h(t) [διάρκειας Τ, ενέργειας Εh] αλλοιώνεται με λευκό αθροιστικό θόρυβο w(t), έστω πυκνότητας (δίπλευρου) φάσματος ισχύος Νο/, τότε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας t= μεγιστοποιείται όταν: συνάρτηση μεταφοράς προσαρμοσμένου φίλτρου G( f ) ch * ( f ) e f (3.) όπου H(f) ο μετασχηματισμός Furer του παλμού h(t) και c οποιαδήποτε σταθερά. Απόδειξη της (3.): Κατά τη στιγμή δειγματοληψίας t= η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου είναι f [ { ( )} ] G( f ) H ( f ) e Sut h ( ) H f t ut Ew ( ) Sn( f ) df G( f ) df Εφαρμόζοντας στον αριθμητή της παραπάνω σχέσης την ανισότητα Schwartz U ( f ) V ( f ) df U ( f ) df V ( f ) df df U ( f ), V ( f ) C, * με την ισότητα να ισχύει όταν U ( f ) cv ( f ) (δηλαδή U(f) και V(f) ευθυγραμμισμένες algned), παίρνουμε Sut H( f ) df h ( t) dt E ut / / max h όταν G( f ) * f ch ( f ) e

6 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (α) h(t) w(t) r(t)= r(t)= h(t)+w(t) h(t)+w(t) Δίαυλος / ΣΠΦ G(f) n -Fs / Fs / f w() σwο (β) Ν s δείγματα h() (γ) ΠΟΜΠΟΣ ΔΙΑΥΛΟΣ ΔΕΚΤΗΣ Πλαίσιο 3.: Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ: (α) ορισμός, (β) πεδίο διακριτού χρόνου, (γ) ενεργειακές σχέσεις 3.. Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Στο πεδίο του χρόνου η (3.) γράφεται: κρουστική απόκριση προσαρμοσμένου φίλτρου g( t) c. h( t) (3.) Η χρονική απόκριση του φίλτρου στον παλμό h(t) δίνεται από τη συνέλιξή του με την g(t) της (3.): h ( t) g( ) h( t ) d c h( ) h( t ) d (3.3) Η χρονική απόκριση του φίλτρου (συνέλιξη με g(t)) στο θορυβώδες σήμα r(t)=h(t)+w(t) δείχνεται στο σχήμα 3.(γ).

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 (α) r( t) h( t) w( t) t' t (β) r ( t' ) g( ) t' τ (γ) h ( ) h ( ) d r ( t') g( ) r( t' ) d t' t Πλαίσιο 3.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου: (α) θορυβώδες σήμα, (β) συνέλιξη με g(τ), (γ) έξοδος 3..3 Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Το προσαρμοσμένο φίλτρο λειτουργεί στην πραγματικότητα ως συσχετιστής, αφού η έξοδός του κατά τη στιγμή δειγματοληψίας (στο τέλος της περιόδου Τ) είναι η συσχέτιση <h,r> του λαμβανόμενου θορυβώδους σήματος με τον εν λόγω παλμό. Προφανώς, απαιτείται συγχρονισμός για να γίνει σωστά η συσχέτιση και η δειγματοληψία στον δέκτη, όπως εξηγείται αναλυτικότερα στην παράγραφο 3.3.6, εξού και το όνομα σύμφωνη αναγνώριση και Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο ΣΠΦ). h( t) r( t) dt h ( t) dt h( t) w( t) dt r [ ] h, r (3.4) s s s h[ n] r[ n] h [ n] h[ n] w[ n] n n n

8 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3..4 Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Η σηματοθορυβική σχέση κατά τη στιγμή δειγματοληψίας στην έξοδο του ΣΠΦ γίνεται μέγιστη, ίση με: έξοδος ΣΠΦ για t= S ut ut max h [ ] Eh Sn (3.5) Ew [ ] Και είναι ανεξάρτητη από το εύρος ζώνης Fs του θορύβου που έχει υπερτεθεί. Με την υπόθεση σταθερής φασματικής πυκνότητας θορύβου, η ισχύς θορύβου είναι ανάλογη της συχνότητας δειγματοληψίας Fs, και η σηματοθορυβική σχέση αντιστρόφως ανάλογη αυτής. Ωστόσο, στην έξοδο του ΣΠΦ η σηματοθορυβική σχέση παραμένει σταθερή, σύμφωνα με τη σχέση (3.5), και υπό αυτήν την έννοια το ΣΠΦ παρέχει βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης κατά τον παράγοντα. F s Στο πεδίο διακριτού χρόνου, αυτό μπορεί να δειχτεί εύκολα, ως εξής: s s (3.4) ut E h[ n] w[ n] E w k h n n { [ ]} [ ] n n Sn s S ut h [ n] ( Sn s ) από όπου προκύπτει n SR SR ut n F (3.6) s s Συμπερασματικά, στην έξοδο του ΣΠΦ έχουμε ένα ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου ίσο με το Baud Rate /, και όχι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας. Ένα σύστημα ψηφιακής μετάδοσης χρησιμοποιεί Μ διακριτούς παλμούς, σε καθέναν από τους οποίους κωδικοποιεί lgμ bts πληροφορίας. Εν γένει απαιτούνται Μ διαφορετικά προσαρμοσμένα φίλτρα, ένα για κάθε παλμό. Κατά την αποδιαμόρφωση επιλέγεται (στο τέλος κάθε περιόδου Τ) εκείνος ο παλμός του οποίου το αντίστοιχο φίλτρο δίνει τη μεγαλύτερη έξοδο. Η γενική προσέγγιση της επόμενης παραγράφου, ωστόσο, αποδεικνύει ότι απαιτούνται τόσα προσαρμοσμένα φίλτρα όση η διάσταση του γραμμικού σηματικού χώρου.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Σύμφωνα με τη σχέση (3.4), η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας δίνει τη συσχέτιση (crrelatn) του λαμβανόμενου σήματος με τον παλμό στον οποίο είναι προσαρμοσμένο το φίλτρο ή, αλλιώς, το εσωτερικό γινόμενο των δύο αυτών σημάτων, θεωρούμενων ως διανυσμάτων στον γραμμικό, μετρικό χώρο με μέτρο την τετραγωνική ρίζα της ενέργειας των σημάτων. Στον χώρο αυτόν (που ονομάζεται και σηματικός χώρος sgnal space) κάθε παλμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο, το δε σύνολο των σημείων-παλμών αποτελεί τον σηματικό αστερισμό (sgnal cnstellatn) του συστήματος ψηφιακής μετάδοσης. Οι χρησιμοποιούμενοι παλμοί δεν είναι κατ ανάγκη όλοι γραμμικά ανεξάρτητοι, οπότε το μέγεθος του σηματικού αστερισμού Μ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη διάσταση του σηματικού χώρου Ν. Τυπικά παραδείγματα τέτοιας περίπτωσης είναι όλα τα συστήματα PSK και QAM, των οποίων ο σηματικός χώρος είναι δισδιάστατος (Ν=). Στη συνέχεια διατυπώνεται συνοπτικά το πρόβλημα της κωδικοποίησης διαμόρφωσης και βέλτιστης αναγνώρισης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο. Θα καταστεί φανερό ότι αρκούν Ν (και όχι Μ, αν Μ>Ν) προσαρμοσμένα φίλτρα, δηλ. τόσα, όση η διάσταση του σηματικού χώρου Ο γραμμικός σηματικός χώρος Ο χώρος των Μ διαφορετικών κυματομορφών-παλμών, { s ( t),,... M}, εφοδιασμένος με την πράξη της συσχέτισης και το αντίστοιχο μέτρο (λαμβανόμενο από τη συσχέτιση σήματος με τον εαυτό του), είναι ένας γραμμικός μετρικός χώρος ο οποίος μπορεί να παραχθεί ( be spanned ) από Ν ορθοκανονικά σήματα { ( t),,... }, M. Ο χώρος διέπεται, συνεπώς, από τις παρακάτω σχέσεις: s, s s ( t) s ( t) dt, s s, s s ( t) dt (3.7),,, (3.8) s ( t) s ( t), a s, (3.9), s s ( ) (3.) k k Για τα ισοδύναμα σήματα βασικής ζώνης, ο χώρος αυτός ταυτίζεται με το μιγαδικό επίπεδο πλατών φάσεων (βλ. και το σχετικό παράδειγμα).

10 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Με γνωστά τα { ( t),,... } (= βάση του γραμμικού χώρου), κάθε σήμασημείο του χώρου μπορεί να δοθεί από τις Ν συντεταγμένες του, {,,... }. Παράδειγμα: Τα σήματα, γραφόμενα και ως, απαρτίζουν δισδιάστατο σηματικό χώρο με βάση: και συντεταγμένες: ( t) t sn( ) ( t) (t) s t cs( ) 3.3. Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt (Gram-Schmdt rthgnalzatn) Για κάθε σύνολο διανυσμάτων {,,... M} (άρα και για τον σηματικό αστερισμό s { s ( t),,... M} ) μπορεί να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστημα {,,... } Ν Μ, με τον γνωστό αλγόριθμο ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt [SRA988]: Με αφετηρία το u s, επιλέγουμε διαδοχικά u s,,3,...,, κάθε φορά από το σύνολο των απομεινάντων s, έτσι ώστε να προκύπτει μη μηδενικό u u u,,, u u u, 3 u3 u3, u3, u u, u, 3 3 3,... μέχρι, για όλα τα εναπομείναντα s, ή αν Ν=Μ. s s (δείτε, π.χ., [SRA993], σ. ) Πλαίσιο 3.3: Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt Στη συνέχεια, η ανεξάρτητη μεταβλητή χρόνου t για τα σήματα του σηματικού αστερισμού και τα ορθοκανονικά σήματα μπορεί να παραλείπεται και οι συμβολισμοί s(t) και s θα χρησιμοποιούνται ως ταυτόσημοι Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Υποθέτουμε ότι ένας εκπεμπόμενος παλμός s αλλοιώνεται από ανεξάρτητο, αθροιστικό θόρυβο και εκείνο που λαμβάνει ο δέκτης είναι κυματομορφή r, η οποία απέχει από την εκπεμφθείσα κατά τον όρο θορύβου w:

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- r s w (3.) Υποθέτουμε, επίσης, ότι τα σήματα w και, συνεπώς, τα r ανήκουν στον σηματικό μας χώρο, αφού κάθε άλλη συνιστώσα θα αποκοπεί από τα φίλτρα εισόδου του δέκτη. Έτσι: r, r, (3.) Η (3.) υλοποιείται ως μια συστοιχία Ν συσχετιστών (προσαρμοσμένων φίλτρων) που δίνουν τις προβολές του ληφθέντος σήματος r στα Ν ορθοκανονικά διανύσματασήματα, όπως σχηματικά δείχνεται στο σχήμα 3.4(β). Το σχήμα 3.4(α) δίνει την κατασκευή του σήματος s στον πομπό, σύμφωνα με τη σχέση (3.9). σύμβολο m ΠΡΟΣΔΙΟ- ΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕ- ΣΤΩΝ.. Χ Χ Σ s w Δίαυλος r Χ (α) r.. Χ Χ Χ dt dt dt.. ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ m προσαρμοσμένο φίλτρο στο (β) Πλαίσιο 3.4: Πομπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο: (α) κατασκευή παλμού στον πομπό, (β )βέλτιστη αναγνώριση στον δέκτη

12 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Το πρόβλημα της αναγνώρισης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόβλημα αναγνώρισης (detectn) Από την εκτίμηση των συντελεστών {,,... } στον δέκτη (προβολές του λαμβανόμενου σήματος r στα γενετήρια διανύσματα του σηματικού χώρου) να βρεθεί ποιος από τους παλμούς { s,,... M } έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί από τον πομπό. Αναζητούμε, λοιπόν, εκείνο το για το οποίο μεγιστοποιείται η πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί το s δεδομένου του r, ήτοι:? max p( s r) (3.3) Οι εκ των υστέρων πιθανότητες (a psterr prbabltes) της σχέσης (3.3) μπορούν να αναχθούν στις πιο εύχρηστες εκ των προτέρων πιθανότητες (a prr prbabltes) με τη βοήθεια του θεωρήματος του Bayes (εδώ εκφρασμένου για διακριτούς και συνεχείς δειγματικούς χώρους): f r r s ps r p( s ) (3.4) f ( r) r όπου f r s ) η υπό συνθήκη (το s) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας r ( (prbablty densty functn) του r και f r (r) η αντίστοιχη συνάρτηση χωρίς συνθήκη (βλέπε σχετικό Πλαίσιο 3.5). Λόγω της (3.4), και με την πρόσθετη υπόθεση ότι οι παλμοί s εκπέμπονται με ίδια πιθανότητα, δηλ. p(s)=/μ, η μεγιστοποίηση της p( s r) στην (3.3) ισοδυναμεί με μεγιστοποίηση της f r s ) ως προς (η συνάρτηση f r (r) είναι ανεξάρτητη του ). r ( Οι συναρτήσεις { fr ( r s ),,... M } ονομάζονται συναρτήσεις πιθανοφάνειας (lkelhd functns), η δε αναγνώριση που βασίζεται στην εύρεση της μέγιστης εξ αυτών για ληφθέν r ονομάζεται αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας (maxmum lkelhd detectn).

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Το θεώρημα (ή ο κανόνας) του Bayes συνδέει τις πιθανότητες δύο ενδεχομένων, Α και Β (με και χωρίς συνθήκη), ως εξής: Pr{ A} Pr{ A B} Pr{ B A} Pr{ B} Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής του με το ακόλουθο πείραμα: Επιλέγουμε με ίσες πιθανότητες ένα από 4 ζάρια, εκ των οποίων το ένα δεν είναι καθαρό και φέρνει το με πιθανότητα /3. Ας συμβολίσομε το ζάρι αυτό με K, από το Κάλπικο. Ζητάμε την πιθανότητα Pr{" " ""}, δηλαδή την πιθανότητα να είχαμε διαλέξει το K, με δεδομένο ότι φέραμε. Pr{"K"} / 4 Είναι Pr{" " ""} Pr{"" "K"} Pr{""} 3 (/ 4)(/ 3) (3/ 4)(/ 6) 5 Στην περίπτωσή μας, επειδή ο δειγματικός χώρος των s είναι διακριτός, ενώ του r συνεχής, εργαζόμαστε με στοιχειώδεις πιθανότητες ως εξής: Pr{ r r} f r ( r) r και Pr{ r r s } f ( r s ) r Εξάλλου, λόγω Bayes, Pr{ s} Pr{ s r r} Pr{ r r s} Pr{ r r} από όπου λαμβάνεται η (3.4). r r Πλαίσιο 3.5: Το θεώρημα του Bayes στον υπολογισμό των εκ των υστέρων πιθανοτήτων Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό γκαουσιανό θόρυβο Όταν ο θόρυβος είναι αθροιστικός, τύπου Gauss, οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας είναι κανονικές κατανομές με κέντρα τα αντίστοιχα s στον Ν-διάστατο χώρο. Για μονοδιάστατους αστερισμούς (διαμόρφωσης πλάτους) είναι rs ( rs ) e e f r ( r s ) (3.5α) όπου έχει ληφθεί υπόψη ότι στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου και για ισχύ σήματος ανάλογη του s η αντίστοιχη ισχύς θορύβου σ είναι ανάλογη του Νο/. Στον Ν-διάστατο χώρο οι γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας εκφράζονται ως

14 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο r r s e f ( r s ) (3.5β) Στο Πλαίσιο 3.6 δείχνονται σχηματικά τέτοιες συναρτήσεις για Ν= s s 4 s Πλαίσιο 3.6: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς), περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στον δισδιάστατο σηματικό χώρο Αντί για τη μεγιστοποίηση των ίδιων των συναρτήσεων πιθανοφάνειας, μπορούμε, ισοδύναμα, να μεγιστοποιήσουμε τους φυσικούς τους λογαρίθμους:? max{ln f ( r s )} (3.6) r Η (3.6), συνδυαζόμενη με την (3.5) για γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας, ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση αποστάσεων στον Ν-διάστατο χώρο:

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 (3.5) & (3.6) mn{ r s,,... M} (3.7α) ή, ισοδύναμα, mn{ ( a a ),,... M} n n n (3.7β) Επιλέγουμε, δηλαδή, εκείνο το s που βρίσκεται πλησιέστερα (πάντα κατά την έννοια της συσχέτισης) στο ληφθέν r. Έτσι ο σηματικός χώρος μπορεί να διαμεριστεί σε περιοχές απόφασης, μία για κάθε σημείο s, το δε πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε γεωμετρικό Ανάλυση σφάλματος Ας συμβολίσουμε με S την περιοχή απόφασης του παλμού s και με συμπληρωματική της στον σηματικό μας χώρο, S. Έτσι είναι: S την S S, S S S (3.8) Η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου Pe δίνεται από τη σχέση: P e M Pr{ s r S } M η οποία, για ισοπίθανα s, γίνεται: Pr{ s }Pr{ r S s } M Pr{ s } S f ( r s ) dr r P e M M S f ( r s ) dr r (3.9) Η δυσκολία με τη σχέση (3.9) έγκειται στο ότι η ολοκληρούμενη ποσότητα είναι, για γκαουσιανό θόρυβο, της μορφής και δεν ολοκληρώνεται σε κλειστή μορφή. Σε ειδικές περιπτώσεις (π.χ. για μονοδιάστατο σηματικό χώρο) μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της συμπληρωματικής συνάρτησης λάθους (cmplementary errr functn), η οποία ορίζεται ως: y erfc( x) e dy (3.) x και δίνεται σε πίνακες ή με προσεγγιστικούς τύπους (βλ. Παράρτημα Π3.). e x Για σηματικό αστερισμό δύο σημείων, με s s d και s s E d / (αντίποδα σήματα) και γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας όπως στη σχέση (3.5α), η (3.9) γίνεται: Πιθανότητα εσφαλμένου d E PeM ( ) erfc erfc (3.) συμβόλου, αντίποδα σήματα

16 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Στο παράδειγμα 3. θα υπολογιστεί η πιθανότητα λάθους για σηματικό αστερισμό L> σημείων σε μονοδιάστατο σηματικό χώρο (L-ASK). Υπολογισμός άνω φράγματος της πιθανότητας λάθους στον Ν-διάστατο χώρο Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα της (3.9) με βάση τις σχέσεις M Pr{ r S k s } M Pr{ r s r s s } erfc k k k k k k S f ( r s ) dr r k M d k οπότε M M d k Pe erfc (3.) M k k με την ισότητα να ισχύει όταν Μ=, ταυτιζόμενη με τη σχέση (3.). Τέλος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις αποστάσεις dk στην (3.) με την ελάχιστη εξ αυτών dmn, και να πάρουμε ένα ακόμη απλούστερο (όμως χονδροειδέστερο) άνω φράγμα της πιθανότητας λάθους: P M d erfc mn e (3.3) Από τη σχέση (3.3) είναι φανερό ότι, για δεδομένη πυκνότητα ισχύος θορύβου Νο, έχουμε ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους (ή, έστω, ενός άνω φράγματος αυτής) όταν μεγιστοποιηθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του σηματικού αστερισμού. Για δεδομένη ισχύ πομπού (δηλαδή δεδομένη μέγιστη απόσταση των σημείων από την αρχή των αξόνων), αυτό συμβαίνει όταν τα σημεία κατανεμηθούν ομοιόμορφα στην υπερσφαίρα που αντιστοιχεί στην ισχύ αυτή Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Το επικοινωνιακό σύστημα του Πλαισίου 3.4 βασίζεται στην υπόθεση ότι στον δέκτη υπάρχει η δυνατότητα της απόλυτα πιστής αναπαραγωγής των ορθοκανονικών σημάτων (t), που χρησιμοποιούνται στον πομπό ως συναρτήσεις βάσης των κυματομορφών (t). Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται για όλες τις παραμέτρους s εκτός της καθυστέρησης ή αντίστοιχα της φάσης των αρμονικών συναρτήσεων που είτε χρησιμοποιούνται αυτούσιες είτε συμβάλλουν στη δημιουργία των (t), σε

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 σχέση με τις λαμβανόμενες κυματομορφές. Η καθυστέρηση, έστω μόνο λόγω διάδοσης, μεταξύ πομπού-δέκτη είναι κατά κανόνα άγνωστη και μεταβλητή λόγω πολλαπλών ανακλάσεων, διακυμάνσεων των διηλεκτρικών και διαμαγνητικών σταθερών του μέσου κ.λπ. Όπως θα φανεί ευθύς αμέσως, το σύστημα του Πλαισίου 3.4 αποδίδει μόνο με την προϋπόθεση πιστής αναπαραγωγής της φάσης των στον δέκτη και ονομάζεται για τον λόγο αυτόν σύμφωνο. Η αναπαραγωγή αυτή γίνεται με διάφορες τεχνικές, η απλούστερη των οποίων είναι η παράλληλη εκπομπή σήματος-πιλότου που διέρχεται ακριβώς από τον ίδιο δίαυλο και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αναφορά στον δέκτη. Εν γένει το πρόβλημα της συμφωνίας στον δέκτη είναι δύσκολο και «ακριβό» στις τεχνικές επίλυσής του. Αφού λοιπόν δούμε στην παρακάτω κάπως ειδικότερη περίπτωση πώς η λειτουργία του σύμφωνου δέκτη πραγματικά καταρρέει με την ασυμφωνία της φάσης, θα εξετάσουμε τις εναλλακτικές υλοποιήσεις ασύμφωνου δέκτη, καθώς και την αναπόφευκτη αυξημένη επίδραση του θορύβου που τη συνοδεύει. Στο σχήμα 3.7(α) (Πλαίσιο 3.7) δίνονται τα γενετήρια διανύσματα,, (t) ενός συστήματος Δυαδικής Μεταλλαγής Συχνότητας (Bnary Frequency Shft Keyng-BFSK), για το οποίο είναι Μ=Ν=. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο σήματα που κατασκευάζει ο πομπός κατά το σχήμα 3.5(α) είναι συγγραμμικά των και. Υποθέτουμε επιπλέον ότι τα σήματα αυτά φθάνουν στον δέκτη με άγνωστη ή/και τυχαία μεταβαλλόμενη φάση θ στο διάστημα [, π], ενώ αγνοούμε προς το παρόν την επίδραση του θορύβου, δηλαδή E r ( t) cs( ft ),,, t (3.4) Για τον δέκτη ΣΠΦ του σχήματος 3.5(β) έχουμε E cs( f t )cs( f t) dt,,,, (3.5) Οι συντελεστές εξαρτώνται από το θ, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7(β), και είναι φανερό ότι η άγνοια ή/και τυχαία μεταβολή της φάσης θ καταστρέφει τη λειτουργία του δέκτη. Οι καμπύλες του σχ. 3.7(β) αναφέρονται στη μέση τιμή των συντελεστών Ε{ }, για να καλύψουν και την περίπτωση παρουσίας αθροιστικού θορύβου.

18 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) ( t) (α) α π/ a a E α E{ }, E{ } π π (β) Πλαίσιο 3.7: (α) Γενετήρια διανύσματα σηματικού χώρου ΒFSK ( Ν=Μ=, f =/), =, (β) Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ Είναι φανερό ότι το κλείδωμα και ως εκ τούτου ο συσχετισμός του σήματος με τους παλμούς αναφοράς του δέκτη δεν είναι εύκολα σε κλίμακα του διαστήματος [,Τ]. Η (3.4) γράφεται και ως E r ( t) [cs cs( f t) sn sn( ft)],,, t (3.6) και η σύμφωνη διάταξη του συσχετιστή διασπάται τώρα στην ασύμφωνη που περιέχει δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες d, q για το σήμα αναφοράς, όπως στο σχήμα 3.8(β). Με τον εγκάρσιο (quadrature) αυτόν συσχετιστή του δέκτη παίρνουμε σαν ολοκληρώματα στο διάστημα [,Τ] τις ποσότητες E / cs και E / sn, από όπου εύκολα παίρνουμε ως υποτείνουσα την ποσότητα E που εξαρτάται μόνο από την ενέργεια Ε του σήματος, χωρίς καμία επίδραση της φάσης. Η ερμηνεία των παραπάνω με αναφορά στο σχήμα 3.7β είναι ότι: για τις τεταγμένες a και a οποιωνδήποτε σημείων με απόσταση π/ ισχύει η σχέση E (ανεξάρτητο του θ). Εύκολα επίσης συνάγεται ότι, για την άλλη συχνότητα, ο

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9 εγκάρσιος συσχετιστής δίνει. Με αυτόν τον τρόπο, βλέπομε ότι ο εγκάρσιος (ασύμφωνος nn-cherent) συσχετιστής λύνει το πρόβλημα της άγνωστης φάσης θ. Η ισοδυναμία συσχετιστή και προσαρμοσμένου φίλτρου, όπως παρατηρήθηκε στην ενότητα 3. για το ΣΠΦ, ισχύει και εδώ, έτσι ώστε οι δύο εγκάρσιοι συσχετιστές του σχήματος 3.8(β) να μπορούν να αντικατασταθούν με προσαρμοσμένα φίλτρα. Πιο ενδιαφέρουσα είναι η ισοδυναμία σε κλίμακα όχι του καθαυτό σήματος αλλά της περιβάλλουσάς του, με το λεγόμενο ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο (nncherent matched flter) κατά το σχήμα 3.8(γ). Με κρουστική απόκριση g ( t) / cs[ f ( t)], που είναι προσαρμοσμένη μόνο για τη φάση θ=, και είσοδο r ( t) E/ cs( f t ) παίρνουμε ως απόκριση του φίλτρου: y ( t) όπου Y( t)cs( f ), E cs ft csf ( t) (3.7α), t E, t t Y ( t) E ( ), t (3.7β), t Για τις παραπάνω σχέσεις έχουμε υποθέσει ότι f k, k. Σχηματικά, η διαδικασία της συνέλιξης της σχέσης (3.7α) φαίνεται στο σχήμα 3.9: η γραμμική αύξηση/μείωση της περιβάλλουσας της συνάρτησης είναι αυτή που ενδιαφέρει, και προέρχεται από την πεπερασμένη διάρκεια των ταλαντώσεων της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης. Για t= η περιβάλλουσα παίρνει τη μέγιστη τιμή. Εξάλλου, η έξοδος της διάταξης του σχήματος 3.8(β) είναι: Y ( ) I, E, (3.8) Αρκεί λοιπόν η ανίχνευση της περιβάλλουσας του σήματος (3.7) (ανόρθωση και βαθυπερατό φίλτρο, μαζί με δειγματισμό της στο μέγιστο t=), έτσι ώστε η χρήση του ασύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου να αποτελεί μια ισοδύναμη δυνατότητα πραγματοποίησης του δέκτη κατά το σχήμα 3.8(γ). νίζεται εδώ ότι καθεμία από τις διατάξεις του Πλαισίου 3.6 αντιστοιχεί μόνο σε έναν κλάδο, τον, του δέκτη στο σχήμα 3.5(γ).

20 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) csf t (t) r Χ dt (α) Συσχετιστής σε σύμφωνο δέκτη ( t) csf t (t) r Χ / dt y d (. ) Σ E,, Χ dt y q (. ) (β) Εγκάρσια διάταξη συσχετιστή σε ασύμφωνο δέκτη (t) r Φίλτρο, κρ. απ. g( t) ( t) Ανιχνευτής περιβάλλουσας δειγμάτιση t E,, (γ) Ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο Πλαίσιο 3.8: Μετάβαση από τον σύμφωνο (α) στον ασύμφωνο (β, γ) δέκτη

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- r ( t) cs(f t ) ( t) ( t) r ( t) ( t) Πλαίσιο 3.9: Συνέλιξη και περιβάλλουσά της Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Είδαμε ότι ο ασύμφωνος δέκτης είναι τεχνολογικά απλούστερος, καθόσον δεν απαιτεί εκπομπή σήματος αναφοράς ή κατ άλλο τρόπο ανακατασκευή της φάσης της εκπεμπόμενης κυματομορφής. Ως επακόλουθο όμως της λιγότερης πληροφορίας που χρειάζεται ή λαμβάνεται υπόψη στον δέκτη, έχουμε δυσμενέστερη συμπεριφορά του δέκτη ως προς τον θόρυβο, όπως θα φανεί καθαρά με τη σύγκριση των σχημάτων (σύμφωνης) BPSK και ασύμφωνης BFSK σε επόμενο κεφάλαιο. Η ανάλυση της επίδοσης του ασύγγρονου δέκτη παρουσία θορύβου [ΗΑΥΚ88, κεφ. 7] δίνει τα εξής άνω φράγματα για την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, κατ αντιστοιχία των σχέσεων (3.) και (3.3): Πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης Δυαδικής FSK (3.9) P e e E Άνω φράγμα πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης MFSK P e E M e (3.3)

22 3- Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3.4 Επεξεργασμένα παραδείγματα 3.4. Παράδειγμα 3.: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Έστω ότι χρησιμοποιούνται δύο ημιτονικοί παλμοί, s και s, μίας και δύο πλήρων περιόδων αντίστοιχα (δυαδική μεταλλαγή συχνότητας). Α. Να γραφεί πρόγραμμα με την εξής λειτουργία: I. Για δεδομένη ακολουθία δυαδικών ψηφίων b[k], k=,...κ=, παράγει παλμοσειρά S[ k] [ s ], {, }, σύμφωνα με την αντιστοιχία s, s. Η II. III. S[k] είναι πίνακας [ s xk ], του οποίου κάθε στήλη είναι παλμός s στο διακριτό πεδίο (δείγματα πλήθους s). Παράγει και υπερθέτει στην ψηφιακή παλμοσειρά λευκό γκαουσιανό θόρυβο, για δεδομένη σηματοθορυβική σχέση. Υπολογίζει και σχεδιάζει τις αποκρίσεις των προσαρμοσμένων φίλτρων στη θορυβώδη παλμοσειρά εισόδου, με ενδείξεις επί του σχήματος για τις χρονικές στιγμές δειγματοληψίας, καθώς και τα κωδικοποιημένα δυαδικά ψηφία. Αυτό να γίνει για δύο τιμές σηματοθορυβικής σχέσης: (α) SR= db, (b) SR=-db. Β. Μιά άλλη έκδοση του παραπάνω προγράμματος και για μια μεγάλη ακολουθία εισόδου b[k] (μήκους π.χ. Κ=5) να επαληθεύσει ότι η βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης ισούται με το πλήθος s των δειγμάτων των παλμών s (εντός της βασικής περιόδου Τ). Υλοποίηση Κώδικες 3. και 3..

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Α. 3 % Απόκριση Προσαρμοσμένων Φίλτρων - 4 % Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς διαφορετικών συχνοτήτων 5 clear all; clse all; 6 b=[ ]; % η δυαδική ακολουθία προς μετάδοση 7 t=[:.:*p]'; % το χρονικό πλέγμα μιας βασικής περιόδου, Τ 8 s=length(t); 9 s=sn(t); s=sn(*t); % οι δύο παλμοί E=sum(s.^); E=sum(s.^); % η ενέργεια των παλμών fr =:s- g(s-)=s(+); % προσαρμοσμένο # 3 g(s-)=s(+); % προσαρμοσμένο # 4 end 5 SRdb=5; SRn=^(SRdb/); % επιθυμητό SR 6 Sn=/*(E+E)/s; % (μέση) ισχύς σήματος εισόδου 7 n=sn/srn; % ισχύς θορύβου 8 fr k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλμό 9 f b(k)== s=s; else s=s; end w=wgn(s,,*lg(n)); % λευκός γκαουσ. θορύβος ισχύος n 3 r=s+w; % θορυβώδες σήμα 4 S(:,k)=s; R(:,k)=r; 5 h=cnv(g,r); H(:,k)=h(:s); 6 h=cnv(g,r); H(:,k)=h(:s); 7 clear s h; 8 end 9 %%%%% plts 3 m=max([max(max(h)); max(max(h))]); 3 H=3*H/m; H=3*H/m; 3 fgure; ylm([-3,3]); hld; 33 fr k=:length(b) 34 t=t//p+(k-); 35 tmax=t(length(t)); 36 lne(t,s(:,k),'clr','black','lnewdth', ); 37 plt(t,r(:,k),'k'); 38 lne([tmax,tmax], 39 [-3,3],'Clr','black','Lnestyle',':','Lnewdth',); 4 text(tmax-.5,,ntstr(b(k)),'fntsze',4); 4 end 4 ttle(['θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn=',numstr(SRdb), ' db']); 43 xlabel('x','fntsze',); 44 hld; fgure; 45 ylm([-4,4]); hld; 46 fr k=:length(b) 47 t=t//p+(k-); 48 tmax=t(length(t)); 49 plt(t,h(:,k),'clr', 'black','lnewdth',); 5 plt(t,h(:,k),'clr', 'black','lnestyle','--','lnewdth',); 5 lne([tmax,tmax],[-3,3], 'Clr', 5 'black','lnestyle',':','lnewdth',); 53 text(tmax-.5,,ntstr(b(k)),'fntsze',4); 54 text(t(length(t)-3),3.,'\dwnarrw','fntsze',); 55 end 56 text(t(length(t))/,3.7,'στιγμές δειγματοληψίας','fntsze',8); 57 ttle(['έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn=',numstr(SRdb), ' db']); 58 xlabel('x','fntsze',); 59 hld; Κώδικας 3.: Εξομοίωση προσαρμοσμένων φίλτρων για θορυβώδη ημιτονικά σήματα μίας και δύο περιόδων

24 3-4 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3 Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn= db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn= db στιγμές δειγματοληψίας x x 3 Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn=- db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn=- db στιγμές δειγματοληψίας 3 / x (α) x (β)!!! λάθος Πλαίσιο 3.: Εξαγόμενα Κώδικα 3.: (α) θορυβώδες σήμα εισόδου, (β) αποκρίσεις προσαρμοσμένων φίλτρων

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 Β. 3 % Εκτίμηση βελτίωσης SR προσαρμοσμένου φίλτρου 4 clear all; 5 b=randnt(,5); % το δυαδικό σήμα προς μετάδοση 6 t=[:.:*p]; % χρονικό πλέγμα βασικής περιόδου, 7 s=length(t); 8 s=sn(t); % παλμός # 9 s=sn(*t); % παλμός # E=sum(s.^); % ενέργεια παλμού # E=sum(s.^); % ενέργεια παλμού # SRdb=; % επιθυμητό SR εισόδου, σε db 3 SRn=^(SRdb/); 4 Sn=/*(E+E)/s; % μέση ισχύς σήματος εισόδου 5 n=sn/srn; % ισχύς θορύβου εισόδου 6 fr k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλμό 7 f b(k)== s=s; 8 else s=s; 9 end w=randn(,s)*sqrt(n); % θόρυβος εισόδου W(k)=sum(w.^)/s; r=s+w; 3 H(k)=sum(s.^); % σήμα εξόδου h() σε χρόνους t=k 4 W(k)=sum(s*r')-H(k); % θόρυβος εξόδου 5 clear s w; 6 end 7 n_measured=sum(w)/length(w); 8 SRut=sum(H.^)/sum(W.^); 9 SRn_measured=*lg(Sn/n_measured) 3 SR_mprvement=SRut/SRn 3 s Κώδικας 3.: Εκτίμηση της βελτίωσης της σηματοθορυβικής σχέσης με χρήση προσαρμοσμένου φίλτρου Με τα δεδομένα του παραπάνω παραδείγματος παίρνουμε απόκριση παρόμοια με την ακόλουθη: SRn_measured =.46 SR_mprvement = s =63 (db) Κάθε ανεξάρτητη εκτέλεση του προγράμματος θα μας δίνει ενδεχομένως ελαφρώς διαφοροποιημένα αποτελέσματα. Αυτό είναι φυσικό, λόγω των διαφορετικών κάθε φορά στιγμιότυπων θορύβου. Επαληθεύεται συνεπώς ότι η βελτίωση του σηματοθορυβικού λόγου με το ΣΠΦ είναι περίπου ίση με το Νs. Ας σημειωθεί ότι δεν απαιτείται η συνθήκη γκαουσιανής κατανομής για την αλήθεια του συμπεράσματος αυτού, παρά μόνο ότι ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός, στατιστικά ανεξάρτητος του σήματος (θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, π.χ., ομοιόμορφη κατανομή).

26 3-6 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 3.4. Παράδειγμα 3.: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων L- ASK Α. Έστω αστερισμός L σημείων, κείμενων επί ευθείας γραμμής στις θέσεις E, 3 E,..., ( L E. ) Για ισοπίθανα σύμβολα, να υπολογιστεί θεωρητικά η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου (ή το Symbl Errr Rate - SER) για λευκό αθροιστικό θόρυβο Gauss, συναρτήσει των L και E b, av. Β. Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MALAB με την εξής λειτουργία: a) Παράγει σήμα εκ τυχαίων συμβόλων, με ορθογωνικούς παλμούς διάρκειας Τ και πλάτους εκ του συνόλου A, 3A,..., ( L ) A, και υπερθέτει θόρυβο AWG συγκεκριμένου ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου E b, av b) Εξομοιώνει δέκτη σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου για τη φώραση της ως άνω παλμοσειράς και υπολογίζει τον ρυθμό εσφαλμένων συμβόλων (SER). Γ. Να σχεδιαστούν θεωρητικές καμπύλες BER για L=4,8,6 και, με χρήση της συνάρτησης εξομοίωσης του ερωτήματος Β.b και του bertl του MALAB, να. υπολογιστούν και υπερτεθούν σημεία εξομοίωσης για διάφορες τιμές του στην περιοχή,... db. E b, av Υλοποίηση: Α. Στο Πλαίσιο 3. έχει σχεδιαστεί ο σηματικός χώρος συγγραμμικών σημείων και έχουν υπερτεθεί γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας. Λόγω του αθροιστικού (ανεξάρτητου από το σήμα) θορύβου, οι συναρτήσεις αυτές είναι ίδιου εύρους και, συνεπώς, τέμνονται στα μεσοδιαστήματα των σημείων του αστερισμού, ορίζοντας έτσι ίσα διαστήματα απόφασης γύρω από τα σημεία.

27 3-7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Πλαίσιο 3.: Αστερισμός L συγγραμμικών σημείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας Με τους συμβολισμούς: p : η πιθανότητα εκπομπής του συμβόλου s, =,, L e p, : η πιθανότητα σφάλματος, υπό συνθήκη ότι εστάλη το σύμβολο s η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Pe εκφράζεται ως εξής: L L e e E erfc L L E erfc E erfc L p p P, (3.3) Η μέση ενέργεια συμβόλου εκφράζεται, συναρτήσει των Ε και L, ως εξής: Μέση ενέργεια συμβ. L-ASK 3 ) ( ) ( / L E L E E p E L L av και ανηγμένη ανά bt 3 lg lg, L L E L E E av av b. (3.3) Λύνοντας την τελευταία σχέση ως προς Ε και αντικαθιστώντας στην (3.3), παίρνουμε: Πιθανότητα Εσφαλμένου Συμβόλου L-ASK (3.33) av b e E L L erfc L L P, 3lg -(L-) - 3 (L-) x περιοχή απόφασης

28 3-8 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο B. Η ζητούμενη συνάρτηση MALAB δίνεται από τον Κώδικα 3.3. Σε σχέση με τη γενικότερη διατύπωση του ερωτήματος (Α) και με τους εξής πρόσθετους συμβολισμούς: Τ: η διάρκεια κάθε παλμού, nsamp: ο αριθμός δειγμάτων σήματος στη διάρκεια Τ ενός παλμού, εδώ είναι Ε=Α Τ. Στον Κώδικα 3.3, και χωρίς βλάβη της γενικότητας, έχει ληφθεί το πλάτος του μικρότερου παλμού Α ίσο με. Αφού παραχθεί διάνυσμα συμβόλων (τυχαίων τιμών, ομοιόμορφα κατανεμημένων στα L πλάτη), έστω x(xκ), δημιουργείται αντίστοιχο διάνυσμα σήματος ορθογωνικών παλμών y(xnsamp.k), με επανάληψη κάθε συμβόλου του x, nsamp φορές [με χρήση της rectpulse(x,nsamp)]. Η ισχύς θορύβου, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε δείγμα του y ώστε να εξασφαλιστεί συγκεκριμένη τιμή ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου Eb,av/, υπολογίζεται ως εξής, λαμβανομένου υπόψη ότι το μέγιστο εύρος ζώνης (σήματος και θορύβου) είναι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας Fsamp/: nsamp Fsamp, / nsamp samp η δε σηματοθορυβική σχέση είναι S S E E av lg L b, av. nsamp nsamp nsamp Δεδομένου ότι η ισχύς της παλμοσειράς είναι (λόγω της 3.5): L S E / A, av 3 ο συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει: Ισχύς διακριτού θορύβου (προστίθεται σε κάθε δείγμα) A ( L ) / 3 lg L E b, av nsamp Η συνάρτηση του Κώδικα 3.3 μπορεί να κληθεί για διάφορες τιμές των k και Eb για τον υπολογισμό και σχεδιασμό καμπυλών BER<->Eb/. Αυτό μπορεί να γίνει και μέσω του ειδικού εργαλείου του MALAB, bertl, με τη βασική του συνάρτηση υπολογισμού του ΒΕR να διαμορφώνεται όπως στον Κώδικα 3.4. Με bld δείχνονται τα τμήματα κώδικα που εισάγονται στο έτοιμο template του bertl, το μεν (Α) για την αρχικοποίηση των παραμέτρων (k, symb, nsamp), το δε (Β) για την κλήση της συνάρτησης υπολογισμού των λαθών (ask_errrs του Κώδικα 3.3) για συγκεκριμένη ακολουθία συμβόλων. Η συνάρτηση αυτή καλείται επαναληπτικά, έως ότου είτε ο σωρρευτικός αριθμός των λαθών που έχουν καταμετρηθεί ξεπεράσει ένα ελάχιστο όριο (maxumerrs) είτε ο αριθμός των bts που

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9. functn errrs=ask_errrs(k,m,nsamp,eb). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους σήματος L-ASK και μετρά τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων. 4. % Υπολογίζει επίσης τη θεωρητική πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, Pe. 5. % Επιστρέφει τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων, καθώς και τον συνολικό 6. % αριθμό των συμβόλων που παρήχθησαν. 7. % k είναι ο αριθμός των bts/σύμβολο, ώστε L=^k, 8. % M ο αριθμός των παραγόμενων συμβόλων (μήκος ακολουθίας L-ASK) 9. % nsamp ο αριθμός των δειγμάτων ανά σύμβολο (versamplng rat). % Eb είναι ο λόγος Eb/, σε db. L=^k;. SR=Eb-*lg(nsamp//k); % SR ανά δείγμα σήματος 3. % Διάνυσμα τυχαίων ακεραίων {±, ±3,... ±(L-)}. Να επαληθευτεί 4. x=*flr(l*rand(,m))-l+; 5. Px=(L^-)/3; % θεωρητική ισχύς σήματος 6. sum(x.^)/length(x); % μετρούμενη ισχύς σήματος (για επαλήθευση) 7. y=rectpulse(x,nsamp); 8. n=wgn(,length(y),*lg(px)-sr); 9. ynsy=y+n; % θορυβώδες σήμα. y=reshape(ynsy,nsamp,length(ynsy)/nsamp);. matched=nes(,nsamp);. z=matched*y/nsamp; 3. l=[-l+::l-]; 4. fr =:length(z) 5. [m,]=mn(abs(l-z())); 6. z()=l(); 7. end 8. err=nt(x==z); 9. errrs=sum(err); 3. end Κώδικας 3.3: Υπολογισμός πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου σύμφωνης ASK με ορθογωνικούς παλμούς «έτρεξαν» με την εξομοίωση φθάσει ένα μέγιστο όριο (maxumbts). Και τα δύο όρια τίθενται εξαρχής στο ειδικό GUI του bertl. Οι λαμβανόμενες καμπύλες δείχνονται στο σχ. 3. (οι θεωρητικές παίρνονται με την επιλογή PAM από το bertl). Ας σημειωθεί ότι για κωδικοποίηση Gray ισχύει SER BER, k lg L k : αριθμός bt ανά σύμβολο. Πρέπει να διευκρινιστεί επίσης ότι αυτό που υπολογίζεται στην πραγματικότητα είναι η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου ή εσφαλμένου bt που εκ παραδρομής έχει επικρατήσει να ονομάζεται SER ή BER. Για να πάρουμε ρυθμό λαθών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις ως άνω πιθανότητες με τον αντίστοιχο ρυθμό εκπομπής (συμβόλων ή δ.ψ.).

30 3-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο functn [ber,numbts] = ask_ber_func(eb, maxumerrs, maxumbts) % Imprt Java class fr BERl. mprt cm.mathwrks.tlbx.cmm.berl; % Intalze varables related t ext crtera. tterr = ; % umber f errrs bserved numbts = ; % umber f bts prcessed % Α. --- Set up parameters. --- % --- ISER YOUR CODE HERE. k=3; % number f bts per symbl symb=; % number f symbls n each run nsamp=6; % versamplng,.e. number f samples per % Smulate untl number f errrs exceeds maxumerrs % r number f bts prcessed exceeds maxumbts. whle((tterr < maxumerrs) && (numbts < maxumbts)) % Check f the user clcked the Stp buttn f BERl. f (BERl.getSmulatnStp) break; end % Β. --- ISER YOUR CODE HERE. errrs=ask_errrs(k,symb,nsamp,eb); % Assume Gray cdng: symbl errr ==> bt errr tterr=tterr+errrs; numbts=numbts + k*symb; end % End f lp % Cmpute the BER ber = tterr/numbts; Κώδικας 3.4: Συνάρτηση εκτίμησης λαθών καλείται από το bertl Πλαίσιο 3.: Πιθανότητα εσφαλμένου bt για την L-ASK με ορθογωνικούς παλμούς

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 3. (να εκτελεστεί στο εργαστήριο) I. Να επαληθευτεί, με υπολογισμό και προβολή σχετικού ιστογράμματος, ότι τα στοιχεία του διανύσματος x της εντολής 4 του Κώδικα 3.3 ακολουθούν πράγματι την ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο των ακεραίων {±, ±3,... ±(L- )}. Χρησιμοποιήστε k=md(nnnnn,3)+, όπου nnnnn το τελευταίο 5-ψήφιο τμήμα του αριθμού μητρώου σας. Υπόδειξη: Να παραχθούν (με την εντολή 4) τουλάχιστον τυχαίοι ακέραιοι, και να χρησιμοποιηθεί η εντολή hst(x,a) για τον υπολογισμό και την προβολή του ιστογράμματος, όπου Α το διάνυσμα των L διαφορετικών τιμών αυτών των ακεραίων. Υποβολή: Να γραφούν σε αρχείο (wrd ή συμβατό) οι γραμμές κώδικα που θα χρησιμοποιήσετε, καθώς και το σχήμα ιστογράμματος που θα παραχθεί. Ονομάστε το αρχείο σας lab3_nnnnn.dc, όπου nnnnn τα 5 τελευταία ψηφία του αριθμού μητρώου σας. Στο ίδιο αρχείο θα γραφούν οι απαντήσεις και των υπόλοιπων ερωτημάτων της άσκησης. II. Να εξηγηθεί η λειτουργία του βρόχου 4-7 του Κώδικα 3.3 ως ανιχνευτή ελάχιστης απόστασης για την L-ASK. Υποβολή: Γράψτε την απάντησή σας στο αρχείο lab3_nnnnn.dc. III. Να επαληθευτεί η καμπύλη του σχήματος στο Πλαίσιο 3. των σημειώσεων για την L-ASK, με L= k, k=md(nnnnn,3)+, όπου nnnnn το τελευταίο 5-ψήφιο τμήμα του αριθμού μητρώου σας, με κλήση της συνάρτησης ask_errrs() του Kώδικα 3.3. Το παραπάνω να γίνει με δύο τρόπους: (α) μέσα από δικό σας κύριο πρόγραμμα, (β) μέσα από το bertl του MALAB. Να υπερτεθεί και η θεωρητική καμπύλη, τόσο με χρήση της σχέσης (3.33) των σημειώσεων και την προσέγγιση BER Pe/lgL, όσο και με το bertl. Υποδείξεις: (α) Καλέστε την ask_errrs(), μία φορά για κάθε διαφορετική τιμή του Eb, με επαρκώς υψηλή τιμή του Μ (π.χ. ) και υπολογίστε τη συχνότητα λαθών. (β) Στο current flder (ή σε flder το οποίο βρίσκεται στο path) του MALAB πρέπει να έχετε τόσο το αρχείο ask_errrs.m, όσο και το ask_ber_func.m με τον κώδικα 3.4. Ο τελευταίος θα πρέπει να τροποποιηθεί για την τιμή του k που θα χρησιμοποιήσετε. Στο bertl (καλείται με bertl από το cmmand lne) θα πρέπει να επιλέξετε: υπολογισμό heretcal (για τη θεωρητική καμπύλη) ή Mnte Carl (για εξομοίωση), Channel type AWG, Mdulatn type PAM (είναι το ASK), και κατάλληλο Mdulatn rder (ίσο με L). Υποβολή: Να γράψετε στο αρχείο απαντήσεων (lab3_nnnnn.dc) τόσο τον κώδικά σας του ερωτήματος (α) όσο και το σχήμα ή τα σχήματα που θα παραγάγετε στα ερωτήματα (α) και (β). Να υποβάλετε το αρχείο σας στο ste του μαθήματος.

32 3-3 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Άσκηση 3. Να διατυπωθούν αναλυτικά οι κρουστικές αποκρίσεις των δύο ΣΠΦ του παραδείγματος 3., καθώς και η απόκριση του καθενός στον αντίστοιχο παλμό (στον οποίο είναι προσαρμοσμένο). Άσκηση 3.3 Δίνεται σηματικός αστερισμός 4 σημείων (QPSK) ως εξής: s ( t) Acs( f ct ),, (8), 3 6 a) Να βρεθεί και σχεδιαστεί σαν συνάρτηση της γωνίας θ μια καλή προσέγγιση της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου Pe, με την υπόθεση λευκής ακολουθίας εισόδου, δέκτη προσαρμοσμένου φίλτρου και λευκό αθροιστικό θόρυβο, με ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο Εb/Νο 6 db. b) Με τα δεδομένα του ερωτήματος (a) να βρεθούν τα ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) της Pe και οι αντίστοιχες τιμές της γωνίας θ. Άσκηση 3.4 Εξειδικεύοντας το Παράδειγμα 3.4. με L=4, να υποτεθεί ότι τα μεγαλύτερα κατ απόλυτη τιμή πλάτη εμφανίζονται με πιθανότητα /8 το καθένα, ενώ τα άλλα δύο με πιθανότητα 3/8, αντίστοιχα. Εξάλλου, η ισχύς θορύβου κατά τη μετάδοση των δύο μεγαλύτερων πλατών είναι διπλάσια αυτής που αντιστοιχεί στα άλλα δύο πλάτη (Νο, έναντι Νο), ενώ σε κάθε περίπτωση ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός. (Ι) Να προσδιοριστούν οι περιοχές απόφασης στον σηματικό χώρο. (ΙΙ) Να εκφραστεί η πιθανότητα λάθους συναρτήσει του. (ΙΙΙ) Να εξομοιωθεί ο δέκτης ΣΠΦ και να εκτιμηθεί το SER.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα Παράρτημα Π3. Συνάρτηση λάθους (errr functn) erf ( x) x e z dz Συμπληρωματική συνάρτηση λάθους (cmplementary errr functn): erfc( x) x e z dz erf ( x) Η συμπληρωματική συνάρτηση λάθους erfc(x) μπορεί να βρεθεί από πίνακες ή με χρήση προσεγγιστικών αναπτυγμάτων σε σειρές. erfc( x) x e x x.3 (x ).3.5 (x ) 3 Για μεγάλα θετικά x, μπορούμε να πάρουμε τα άνω φράγματα: erfc( x) e x x e x u erf(u) u erf(u)

34 3-34 Ν. Μήτρου - ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Βιβλιογραφία Αναφορές [HAYK] Haykn, S. and Mher, M., Συστήματα Επικοινωνιών, Παπασωτηρίου, (πρωτότυπη έκδοση: Cmmuncatn Systems, Jhn Wley 9). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Dgtal Cmmuncatns, nd ed., Prentce Hall ). [SRA993] Strang, G., Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 993, (πρωτότυπη έκδοση: Lnear Algebra and ts Applcatns, 3 rd edtn, Academc Press, 988).