ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o : Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα

2

3 . Εισαγωγή Η μετάδοση ψηφιακών δεδομένων (ακολουθιών ψηφίων ή άλλων διακριτών συμβόλων) απó την πηγή πληροφορίας στον προορισμό γίνεται με απεικονισή τους σε ακολουθίες στοιχειωδών διακριτών κυματομορφών, κατάλληλων για μετάδοση μέσω του διαθέσιμου διαύλου επικοινωνίας. Τα στοιχειώδη αυτά σήματα θα ονομάζουμε συμβατικά παλμούς, τις δε ακολουθίες των παλμών, παλμοσειρές. Εκτός από τις παλμοσειρές αυτές καθ' εαυτές, στο δέκτη είναι απαραίτητη και η πληροφορία χρονισμού για την οριοθέτηση των παλμών. Τις περισσότερες φορές η πληροφορία αυτή ενυπάρχει στις ίδιες τις παλμοσειρές απ' τον ειδικό τρόπο κατασκευής τους. Οι παλμοσειρές (μαζί με την πληροφορία χρονισμού τους) θα ονομάζονται ψηφιακές κυματομορφές (παρά την κάποια αντίφαση του όρου). Αν ο δίαυλος ήταν ιδανικός, δεν αλλοίωνε δηλαδή καθόλου τις μεταδιδόμενες κυματομορφές, ή οι όποιες αλλοιώσεις ήταν ντετερμινιστικές και άρα προβλέψιμες, θα ήταν εύκολο για το δέκτη να ανεύρει μέσα στις λαμβανόμενες κυματομορφές τα μεταδιδόμενα δεδομένα. Το πρόβλημα έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι οι εκπεμπόμενες κυματομορφές αλλοιώνονται κατά τρόπο στοχαστικό (λόγω θορύβου ή άλλης στοχαστικής συμπεριφοράς του διαύλου) και η αναγνωρισή τους στο δέκτη γίνεται με κάποια πιθανότητα λάθους. Τα δύο βασικά προβλήματα που ανακύπτουν εδώ είναι. Σχεδιασμός του πομπού, σχεδιασμός δηλαδή κυματομορφών κατάλληλων για το διαθέσιμο είδος διαύλου με γνωστές ατέλειες.. Σχεδιασμός του δέκτη. Ο δέκτης θα πρέπει να εφοδιαστεί με λειτουργίες αποκατάστασης και αναγνώρισης (detectn) ή εκτίμησης (estmatn), οι οποίες θα ανακτούν τα ψηφιακά δεδομένα από τις ψηφιακές κυματομορφές. Βασικό κριτήριο επίλυσης των παραπάνω δύο προβλημάτων είναι η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους αναγνώρισης στο δέκτη. Για το λόγο αυτό ξεκινάμε στο παρόν κεφάλαιο με τη μελέτη των βασικών λειτουργιών αναγνώρισης ή εκτίμησης, κατ' αρχήν μεμονωμένων κυματομορφών (παλμών). Στο επόμενο κεφάλαιο η μελέτη επεκτείνεται σε ακολουθίες τέτοιων παλμών (παλμοσειρές), όπου έρχεται στο προσκήνιο η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου.

4 . Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Τα προσαρμοσμένα φίλτρα (matched flters) χρησιμοποιούνται στους δέκτες συστημάτων ψηφιακής επικοινωνίας, με σκοπό την ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λανθασμένης αναγνώρισης των εκπεμπόμενων συμβόλων, όταν τα σήματα-παλμοί που τα μεταφέρουν αλλοιώνονται κατά την εκπομπή ή και κατά την επεξεργασία τους στο δέκτη (φιλτράρισμα, ενίσχυση) με λευκό αθροιστικό θόρυβο... Ορισμός ΣΠΦ Έστω G(f) η συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού φίλτρου στο δέκτη συστήματος εκπομπής-λήψης παλμών, όπως στη διάταξη του σχ..α. Αν ο εκπεμπόμενος παλμός, h(t) [διάρκειας Τ, ενέργειας Ε h ], αλλοιώνεται με λευκό αθροιστικό θόρυβο, w(t), έστω πυκνότητας (δίπλευρου) φάσματος ισχύος Ν ο /, τότε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας, t=, μεγιστοποιείται όταν: συνάρτηση μεταφοράς προσαρμοσμένου φίλτρου G( f ) ch * ( f ) e f (.) όπου H(f) ο μετασχηματισμός Furer του παλμού h(t) και c οποιαδήποτε σταθερά. Απόδειξη της (.): Κατά τη στιγμή δειγματοληψίας, t=, η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου f H f G( f ) H( f ) e df S είναι ut h ( ) [ { ( )} t ] w ut ( ) Sn ( f ) df G( f ) df Εφαρμόζοντας στον αριθμητή της παραπάνω σχέσης την ανισότητα Schwartz U( f ) V ( f ) df U( f ) df V ( f ) df U( f ), V ( f ) C, * με την ισότητα να ισχύει όταν U( f ) cv ( f ) (δηλαδή U(f) και V(f) ευθυγραμμισμένες algned), παίρνουμε Sut H( f ) df h ( t) dt ut / / max h όταν G( f ) * f ch ( f ) e

5 (α) h(t) w(t) r(t)= r (t)= h(t)+w(t) h (t)+w (t) Δίαυλος / -Fs / Fs / f ΣΠΦ G(f) * G( f ) H ( f ) e g( t) h( t) f r ( ) n w () h( t) r( t) dt σwο (β) Ν s δείγματα F s s g[ n] h[ n] s h () r [ ] h[ n] r[ n] (γ) h h ( t) dt s n h [ n] S n n h Fs h s S ut ut h Sn Fs n S n s n ΠΟΜΠΟΣ ΔΙΑΥΛΟΣ ΔΕΚΤΗΣ Σχήμα.: Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο-ΣΠΦ (α) ορισμός (β) πεδίο διακριτού χρόνου (γ) ενεργειακές σχέσεις.. Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Στο πεδίο του χρόνου η (.) γράφεται κρουστική απόκριση προσαρμοσμένου φίλτρου g( t) ch( t) (.) Η χρονική απόκριση του φίλτρου στον παλμό h(t) δίνεται από τη συνέλιξή του με την g(t) της (.): h ( t) g( ) h( t ) d c h( ) h( t ) d (.) Η χρονική απόκριση του φίλτρου (συνέλιξη με g(t)) στο θορυβώδες σήμα r(t)=h(t)+w(t) δείχνεται στο σχήμα..

6 (α) (β) (γ) Σχήμα.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου (α) θορυβώδες σήμα (β) συνέλιξη με g(τ) (γ) έξοδος.. Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Το προσαρμοσμένο φίλτρο λειτουργεί στην πραγματικότητα ως συσχετιστής, αφού η έξοδός του κατά τη στιγμή δεγματοληψίας (στο τέλος της περιόδου Τ) είναι η συχέτιση <h,r>, του λαμβανόμενου θορυβώδους σήματος με τον εν λόγω παλμό. Προφανώς, απαιτείται συγχρονισμός για να γίνει σωστά η συσχέτιση και η δειγματοληψία στο δέκτη, όπως εξηγείται αναλυτικότερα στην παράγραφο..6, απ όπου και το όνομα σύμφωνη αναγνώριση και Σύμφωνο Προσαρμοσμένο Φίλτρο-ΣΠΦ). h( t) r( t) dt h ( t) dt h( t) w( t) dt r [ ] h, r (.4) s s s h[ n] r[ n] h [ n] n n h[ n] w[ n] n

7 ..4 Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Η σηματοθορυβική σχέση κατά τη στιγμή δειγματοληψίας στην έξοδο του ΣΠΦ γίνεται μέγιστη, ίση με έξοδος ΣΠΦ για t= S ut ut max h [ ] h Sn (.5) w [ ] ανεξάρτητη από το εύρος ζώνης Fs του θορύβου που έχει υπερτεθεί. Με την υπόθεση σταθερής φασματικής πυκνότητας θορύβου, η ισχύς θορύβου είναι ανάλογη της συχνότητας δειγματοληψίας, F s, και η σηματοθορυβική σχέση αντιστρόφως ανάλογη αυτής. Ωστόσο, στην έξοδο του ΣΠΦ η σηματοθορυβική σχέση παραμένει σταθερή, σύμφωνα με τη σχέση (.5), και υπ αυτή την έννοια το ΣΠΦ παρέχει βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης κατά τον παράγοντα F s. Στο πεδίο διακριτού χρόνου, αυτό μπορεί να δειχθεί εύκολα, ως εξής: s s (.4) ut h[ n] w[ n] w k h n n { [ ]} [ ] n nsn s Sut h [ n] ( Sn s ) απ όπου προκύπτει n SR SR ut n F (.6) s s Συμπερασματικά, στην έξοδο του ΣΠΦ έχουμε ένα ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου ίσο με το Baud Rate, /, και όχι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας. Ένα σύστημα ψηφιακής μετάδοσης χρησιμοποιεί Μ διακριτούς παλμούς, σε καθέναν από τους οποίους κωδικοποιεί lgμ bts πληροφορίας. Εν γένει απαιτούνται Μ διαφορετικά προσαρμοσμένα φίλτρα, ένα για κάθε παλμό. Κατά την αποδιαμόρφωση, επιλέγεται (στο τέλος κάθε περιόδου, Τ) εκείνος ο παλμός του οποίου το αντίστοιχο φίλτρο δίνει τη μεγαλύτερη έξοδο. Η γενική προσέγγιση της επόμενης παραγράφου, ωστόσο, αποδεικνύει ότι απαιτούνται τόσα προσαρμοσμένα φίλτρα όση η διάσταση του γραμμικού σηματικού χώρου.

8 . Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Σύμφωνα με τη σχέση.4, η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας δίνει τη συσχέτιση (crrelatn) του λαμβανόμενου σήματος με τον παλμό στον οποίο είναι προσαρμοσμένο το φίλτρο, ή, αλλιώς, το εσωτερικό γινόμενο των δύο αυτών σημάτων, θεωρούμενων ως διανυσμάτων στο γραμμικό, μετρικό χώρο με μέτρο την τετραγωνική ρίζα της ενέργειας των σημάτων. Στο χώρο αυτό (που ονομάζεται και σηματικός χώρος - sgnal space) κάθε παλμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο, το δε σύνολο των σημείων-παλμών αποτελεί το σηματικό αστερισμό (sgnal cnstellatn) του συστήματος φηφιακής μετάδοσης. Οι χρησιμοποιούμενοι παλμοί δεν είναι κατ ανάγκη όλοι γραμμικά ανεξάρτητοι, οπότε το μέγεθος του σηματικού αστερισμού, Μ, μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη διάσταση του σηματικού χώρου, Ν. Τυπικά παραδείγματα τέτοιας περίπτωσης είναι όλα τα συστήματα PSK και QAM, των οποίων ο σηματικός χώρος είναι δισδιάστατος (Ν=). Στη συνέχεια διατυπώνεται συνοπτικά το πρόβλημα της κωδικοποίησηςδιαμόρφωσης και βέλτιστης αναγνώρισης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο. Θα καταστεί φανερό ότι αρκούν Ν (και όχι Μ, αν Μ>Ν) προσαρμοσμένα φίλτρα, δηλ. τόσα, όση η διάσταση του σηματικού χώρου... Ο γραμμικός σηματικός χώρος Ο χώρος των Μ διαφορετικών κυματομορφών-παλμών, { s ( t),,... M}, εφοδιασμένος με την πράξη της συσχέτισης και το αντίστοιχο μέτρο (λαμβανόμενο από τη συσχέτιση σήματος με τον εαυτό του), είναι ένας γραμμικός μετρικός χώρος, ο οποίος μπορεί να παραχθεί (be spanned) από Ν ορθοκανονικά σήματα { ( t),,... }, M. Ο χώρος διέπεται, συνεπώς, από τις παρακάτω σχέσεις: s, s s ( t) s ( t) dt, s s, s s ( t) dt (.7),,, (.8) s ( t) ( t), a s, s (.9), s s ( ) (.) k k Για τα ισοδύναμα σήματα βασικής ζώνης, ο χώρος αυτός ταυτίζεται με το μιγαδικό επίπεδο πλατώνφάσεων.

9 Με γνωστά τα ( t),,..., κάθε σήμα-σημείο του γραμμικού χώρου μπορεί να δοθεί από τις Ν συντεταγμένες του, {,,... }. Για κάθε σύνολο διανυσμάτων {,,... M} (άρα και για το σηματικό μας αστερισμό s { s ( t),,... M} ) μπορεί να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστημα {,,... } Ν Μ, με τον γνωστό αλγόριθμο ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt... Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gram-Schmdt (Gram-Schmdt rthgnalzatn) s s, s s, s s,, s s, s, s s, s,,... untl s s, ή Ν=Μ. Στη συνέχεια, η ανεξάρτητη μεταβλητή χρόνου, t, για τα σήματα του σηματικού αστερισμού και τα ορθοκανονικά σήματα μπορεί να παραλείπεται και οι συμβολισμοί s (t) και s θα χρησιμοποιούνται ως ταυτόσημοι... Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Υποθέτουμε ότι ένας εκπεμπόμενος παλμός s αλλοιώνεται από ανεξάρτητο, αθροιστικό θόρυβο και εκείνο που λαμβάνει ο δέκτης είναι κυματομορφή r, η οποία απέχει από την εκπεμφθείσα κατά τον όρο θορύβου w: r s w (.) Υποθέτουμε, επίσης, ότι τα w και, συνεπώς, τα r ανήκουν στο σηματικό μας χώρο, αφού κάθε άλλη συνιστώσα θα αποκοπεί από τα φίλτρα εισόδου του δέκτη. Έτσι r, r, (.) Η (.) υλοποείται ως μια συστοιχία Ν συσχετιστών (προσαρμοσμένων φίλτρων) που δίνουν τις προβολές του ληφθέντος σήματος r στα Ν ορθοκανονικά διανύσματασήματα, όπως σχηματικά δείχνεται στο σχήμα.(β). Το σχήμα.(α) δίνει την κατασκευή του σήματος s στον πομπό, σύμφωνα με τη σχέση (.9).

10 σύμβολο m ΠΡΟΣΔΙΟ- ΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕ- ΣΤΩΝ.. Χ Χ Σ s w Δίαυλος r Χ (α) r.. Χ Χ Χ dt dt dt.. ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ m προσαρμοσμένο φίλτρο στο (β) Σχήμα.: Πομπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο (α) κατασκευή παλμού στον πομπό (β )βέλτιστη αναγνώριση στο δέκτη Το πρόβλημα της αναγνώρισης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόβλημα αναγνώρισης(detectn) Από την εκτίμηση των συντελεστών {,,... } στο δέκτη (προβολές του λαμβανόμενου σήματος r στα γενετήρια διανύσματα του σηματικού χώρου) να βρεθεί ποιός από τους παλμούς { s,,... M } έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί από τον πομπό. Αναζητούμε, λοιπόν, εκείνο το για το οποίο μεγιστοποιείται η πιθανότητα να έχει εκπεμφθεί το s δεδομένου του r, ήτοι:? max p( s r) (.) Οι εκ των υστέρων πιθανότητες (a psterr prbabltes) της σχέσης (.), μπορούν να αναχθούν στις πιο εύχρηστες εκ των προτέρων πιθανότητες (a prr prbabltes) με τη βοήθεια του θεωρήματος του Bayes (εδώ εκφρασμένου για διακριτούς και συνεχείς δειγματικούς χώρους):

11 f r r s ps r p( s ) (.4) f ( r) r όπου f r s ) η υπό συνθήκη (το s ) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας r ( (prbablty densty functn) του r και f r (r) η αντίστοιχη συνάρτηση χωρίς συνθήκη. Λόγω της (.4), και με την πρόσθετη υπόθεση ότι οι παλμοί s εκπέμπονται με ίδια πιθανότητα, δηλ. p(s )=/Μ, η μεγιστοποίηση της p( s r) στην (.) ισοδυναμεί με μεγιστοποίηση της f r s ) ως προς (η συνάρτηση f r (r) είναι ανεξάρτητη του ). r ( Οι συναρτήσεις { fr ( r s ),,... M }, ονομάζονται συναρτήσεις πιθανοφάνειας (lkelhd functns), η δε αναγνώριση που βασίζεται στην εύρεση της μέγιστης εξ αυτών για ληφθέν r ονομάζεται αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας (maxmum lkelhd detectn)...4 Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό, γκαουσιανό θόρυβο Όταν ο θόρυβος είναι αθροιστικός, τύπου Gauss, οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας είναι κανονικές κατανομές με κέντρα τα αντίστοιχα s στον Ν-διάστατο χώρο. Για μονοδιάστατους αστερισμούς (διαμόρφωσης πλάτους) είναι rs ( rs ) e e f r ( r s ) (.5α) όπου έχει ληφθεί υπόψη ότι στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου και για ισχύ σήματος ανάλογη του s, η αντίστοιχη ισχύς θορύβου, σ, είναι ανάλογη του Ν ο /. Στον Ν-διάστατο χώρο οι γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας εκφράζονται ως r r s e f ( r s ) (.5β) Ο δειγματικός χώρος των s είναι διακριτός, ενώ του r συνεχής. Pr{ r r} f r ( r) r και Pr{ r r s } f ( r s ) r Εξ άλλου, λόγω Bayes, απ όπου λαμβάνεται η (.4). Pr{ r r s } Pr{ s r Pr{ r r} r r} Pr{ s }

12 Στο σχήμα.4 δείχνονται σχηματικά τέτοιες συναρτήσεις για Ν=. e f ( r s ) r rs s s 4 s Σχήμα.4: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς),περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στο δισδιάστατο σηματικό χώρο Αντί για τη μεγιστοποίηση των ίδιων των συναρτήσεων πιθανοφάνειας, μπορούμε, ισοδύναμα, να μεγιστοποιήσουμε τους φυσικούς τους λογαρίθμους:? max{ln f ( r s )} (.6) r Η (.6), συνδυαζόμενη με την (.5) για γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας, ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση αποστάσεων στον Ν-διάστατο χώρο: (.5) & (.6) mn{ r s,,... M} (.7) Επιλέγουμε, δηλαδή, εκείνο το s που βρίσκεται πλησιέστερα (πάντα κατά την έννοια της συσχέτισης) στο ληφθέν r. Έτσι ο σηματικός χώρος μπορεί να διαμεριστεί σε περιοχές απόφασης, μία για κάθε σημείο s, το δε πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε γεωμετρικό.

13 ..5 Ανάλυση σφάλματος Ας συμβολίσουμε με S την περιοχή απόφασης του παλμού s και με συμπληρωματική της στο σηματικό μας χώρο, S. Έτσι είναι S την S, S S S (.8) S Η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου, P e, δίνεται από τη σχέση P e M Pr{ s r S } η οποία, για ισοπίθανα s, γίνεται M Pr{ s }Pr{ r S s } M Pr{ s } S f ( r s ) dr r P e M M S f ( r s ) dr r (.9) Η δυσκολία με τη σχέση (.9) έγκειται στο ότι η ολοκληρούμενη ποσότητα είναι, e x για γκαουσιανό θόρυβο, της μορφής και δεν ολοκληρώνεται σε κλειστή μορφή. Σε ειδικές περιπτώσεις (π.χ. για μονοδιάστατο σηματικό χώρο) μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια της συμπληρωματικής συνάρτησης λάθους (cmplementary errr functn), η οποία οριζεται ως x erfc x e x ( ) dx (.) και δίνεται σε πίνακες ή με προσεγγιστικούς τύπους (βλ. Παράρτημα Π.). Για σηματικό αστερισμό δύο σημείων, με s s d και s s d /, και γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας όπως στη σχέση (.5α), η (.9) γίνεται: d P e( M ) erfc erfc (.) Στο παράδειγμα. θα υπολογισθεί η πιθανότητα λάθους για σηματικό αστερισμό > σημείων σε μονοδιάστατο σηματικό χώρο (-ASK). Υπολογισμός άνω φράγματος της πιθανότητας λάθους στον Ν-διάστατο χώρο Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα της (.9) με βάση τις σχέσεις

14 f ( r s ) dr M Pr{ r S s } M Pr{ r s r s s } erfc r k k S k k k k k k M d k οπότε P e M M M erfc k k d k (.) με την ισότητα ισχύει όταν Μ=, ταυτιζόμενη με τη σχέση (.). Τέλος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις αποστάσεις d k στην (.) με την ελάχιστη εξ αυτών d mn, και να πάρουμε ένα ακόμη απλούστερο (όμως χονδροειδέστερο) άνω φράγμα της πιθανότητας λάθους: P e M d erfc mn (.) Από τη σχέση (.) είναι φανερό ότι, για δεδομένη πυκνότητα ισχύος θορύβου Ν ο, έχουμε ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους (ή, έστω, ενός άνω φράγματος αυτής) όταν μεγιστοποιηθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του σηματικού αστερισμού. Για δεδομένη ισχύ πομπού (δηλαδή δεδομένη μέγιστη απόσταση των σημείων από την αρχή των αξόνων), αυτό συμβαίνει όταν τα σημεία κατανεμηθούν ομοιόμορφα στην υπερσφαίρα που αντιστοιχεί στην ισχύ αυτή...6 Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Το επικοινωνιακό σύστημα του σχήματος. βασίζεται στην υπόθεση ότι στο δέκτη υπάρχει η δυνατότητα της απόλυτα πιστής αναπαραγωγής των ορθοκανονικών σημάτων (t), που χρησιμοποιούνται στον πομπό σαν συναρτήσεις βάσης των κυματομορφών s (t). Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται για όλες τις παραμέτρους εκτός της καθυστέρησης ή αντίστοιχα της φάσης των αρμονικών συναρτήσεων που είτε χρησιμοποιούνται αυτούσιες είτε συμβάλουν στην δημιουργία των (t), σε σχέση με τις λαμβανόμενες κυματομορφές. Η καθυστέρηση, έστω μόνον λόγω διάδοσης, μεταξύ πομπού-δέκτη είναι κατά κανόνα άγνωστη και μεταβλητή λόγω πολλαπλών ανακλάσεων, διακυμάνσεων των διηλεκτρικών και διαμαγνητικών σταθερών του μέσου κλπ. Όπως θα φανεί ευθύς αμέσως, το σύστημα του σχήματος. αποδίδει μόνον με την προϋπόθεση πιστής αναπαραγωγής της φάσης των (t) στον δέκτη και ονομάζεται για το λόγο αυτό σύμφωνο. Η αναπαραγωγή αυτή γίνεται με διάφορες τεχνικές, η απλούστερη των οποίων είναι η παράλληλη εκπομπή σήματος-πιλότου που διέρχεται ακριβώς από τον ίδιο δίαυλο και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν αναφορά στον δέκτη. Εν γένει το πρόβλημα της συμφωνίας στον δέκτη είναι δύσκολο και 'ακριβό' στις τεχνικές επιλυσής του. Αφού λοιπόν δούμε στην παρακάτω κάπως

15 ειδικότερη περίπτωση, πώς η λειτουργία του σύμφωνου δέκτη πραγματικά καταρρέει με την ασυμφωνία της φάσης, θα δούμε τις εναλλακτικές υλοποιήσεις ασύμφωνου δέκτη, καθώς και την αναπόφευκτη αυξημένη επίδραση του θορύβου που την συνοδεύει. Στο σχήμα.5(α) δίδονται τα γενετήρια διανύσματα,, ενός συστήματος Δυαδικής Μεταλλαγής Συχνότητας (Bnary Shft Keyng-BFSK), για το οποίο είναι Μ=Ν=. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο σήματα που κατασκευάζει ο πομπός κατά το σχήμα.(α) είναι συγγραμμικά των και. Υποθέτουμε επιπλέον ότι τα σήματα αυτά φθάνουν στο δέκτη με άγνωστη ή/και τυχαία μεταβαλλόμενη φάση θ στο διάστημα [, π], ενώ αγνοούμε προς το παρόν την επίδραση του θορύβου, δηλαδή r ( t) cs( ft ),,, t (.4) Για τον δέκτη ΣΠΦ του σχήματος.(β) έχομε cs(f t ) cs(f t) dt,,,, (.5) Οι συντελεστές εξαρτώνται από το θ, όπως φαίνεται στο σχήμα.5(β) και είναι φανερό ότι η άγνοια ή/και τυχαία μεταβολή της φάσης θ καταστρέφει την λειτουργία του δέκτη. Οι καμπύλες του σχ..5(β) αναφέρονται στη μέση τιμή των συντελεστών, Ε{ }, για να καλύψουν και την περίπτωση παρουσίας αθροιστικού θορύβου. ( t) ( t) α π/ a a α { }, { } π π Σχήμα.5: (α) Γενετήρια διανύσματα σηματικού χώρου ΒFSK ( Ν=Μ=, f =/), =, (β) Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ

16 Είναι φανερό ότι το κλείδωμα και ως εκ τούτου ο συσχετισμός του σήματος με τους παλμούς αναφοράς του δέκτη δεν είναι εύκολα σε κλίμακα του διαστήματος [,Τ]. Η (.4) γράφεται και ως r ( t) [cs cs(f t) sn sn(f t)],,, t (.6) και η σύμφωνη διάταξη του συσχετιστή διασπάται τώρα στην ασύμφωνη που περιέχει δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες d, q για το σήμα αναφοράς, όπως στο σχήμα.6(β). Με τον εγκάρσιο (quadrature) αυτό συσχετιστή του δέκτη παίρνομε σαν ολοκληρώματα στο διάστημα [,Τ] τις ποσότητες / cs και / sn, απ' όπου εύκολα παίρνομε σαν υποτείνουσα την ποσότητα που εξαρτάται μόνο από την ενέργεια Ε του σήματος, χωρίς καμμία επίδραση της φάσης. Η ερμηνεία των παραπάνω με αναφορά στο σχήμα.5 είναι ότι: για τις τεταγμένες a και a οποιωνδήποτε σημείων με απόσταση π/ ισχύει η σχέση (ανεξάρτητο του θ). Εύκολα επίσης συνάγεται ότι για την άλλη συχνότητα, ο εγκάρσιος συσχετιστής δίνει. Μ' αυτόν τον τρόπο, βλέπομε ότι ο εγκάρσιος (ασύμφωνος - nn-cherent) συσχετιστής λύνει το πρόβλημα της άγνωστης φάσης θ. Η ισοδυναμία συσχετιστή και προσαρμοσμένου φίλτρου, όπως παρατηρήθηκε στην ενότητα. για το ΣΠΦ, ισχύει και εδώ, έτσι ώστε οι δύο εγκάρσιοι συσχετιστές του Σχήματος.6(β) να μπορούν να αντικατασταθούν με προσαρμοσμένα φίλτρα. Πιο ενδιαφέρουσα είναι η ισοδυναμία σε κλίμακα όχι του καθ'αυτό σήματος αλλά της περιβάλλουσάς του, με το λεγόμενο ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο (nncherent matched flter) κατά το σχήμα.6(γ). Με κρουστική απόκριση g ( t) / cs[ f ( t)], που είναι προσαρμοσμένη μόνον για τη φάση θ=, και είσοδο r ( t) / cs( ft ), παίρνομε ως απόκριση του φίλτρου y ( t) όπου Y( t)cs(f ), cs ft csf ( t), (.7α) t, t t Y ( t) ( ), t, t (.7β) Για τις παραπάνω σχέσεις έχομε υποθέσει ότι f k, k.

17 ( t) cs f t (t) r Χ dt (α) Συσχετιστής σε σύμφωνο δέκτη ( t) cs f t (t) r Χ / dt y d (. ) Σ,, Χ dt y q (. ) (β) Εγκάρσια διάταξη συσχετιστή σε ασύμφωνο δέκτη (t) r Φίλτρο, κρ. απ. g( t) ( t) Ανιχνευτής περιβάλλουσας δειγμάτιση t,, (γ) Ασύμφωνο προσαρμοσμένο φίλτρο Σχήμα.6: Μετάβαση από τον σύμφωνο (α) στον ασύμφωνο (β,γ) δέκτη

18 Σχηματικά, η διαδικασία της συνέλιξης της σχέσης.7α φαίνεται στο Σχήμα.7: η γραμμική αύξηση/μείωση της περιβάλλουσας της συνάρτησης είναι αυτή που ενδιαφέρει και προέρχεται από την πεπερασμένη διάρκεια των ταλαντώσεων της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης. Για t= η περιβάλλουσα παίρνει τη μέγιστη τιμή. Εξ άλλου, η έξοδος της διάταξης του σχήματος.6(β) είναι Y ( ) I,, (.8) Αρκεί λοιπόν η ανίχνευση της περιβάλλουσας του σήματος (.7) (ανόρθωση και βαθυπερατό φίλτρο, μαζί με δειγματισή της στο μέγιστο, t=), έτσι ώστε η χρήση του ασύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου να αποτελεί μια ισοδύναμη δυνατότητα πραγματοποίησης του δέκτη κατά το Σχήμα.6(γ). νίζεται εδώ ότι κάθε μια από τις διατάξεις του σχήματος.6 αντιστοιχεί μόνον σε έναν κλάδο, τον, του δέκτη στο σχήμα.(γ). r ( t) cs( f t ) ( t) ( t) 4 r ( t) ( t) 4 Σχήμα.7: Συνέλιξη και περιβαλλουσά της

19 ..7 Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Είδαμε ότι ο ασύμφωνος δέκτης είναι τεχνολογικά απλούστερος, καθ'όσον δεν απαιτεί εκπομπή σήματος αναφοράς ή κατ' άλλο τρόπο ανακατασκευή της φάσης της εκπεμπόμενης κυματομορφής. Σαν επακόλουθο όμως της λιγότερης πληροφορίας που χρειάζεται ή λαμβάνεται υπ' όψη στον δέκτη, έχομε δυσμενέστερη συμπεριφορά του δέκτη ως προς το θόρυβο, όπως θα φανεί καθαρά με τη σύγκριση των σχημάτων (σύμφωνης) BPSK και ασύμφωνης BFSK σε επόμενο κεφάλαιο. Η ανάλυση της επίδοσης του ασύγγρονου δέκτη παρουσία θορύβου [ΗΑΥΚ88, Chap 7] δίνει τα εξής άνω φράγματα για την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, κατ αντιστοιχία των σχέσεων (.) και (.): Πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης Δυαδικής FSK P e e (.9) Άνω φράγμα πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου Ασύμφωνης MFSK P e M e (.)

20 .4 Επεξεργασμένα παραδείγματα.4. Παράδειγμα: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Έστω ότι χρησιμοποιούνται δύο ημιτονικοί παλμοί, s και s, μιάς και δύο πλήρων περιόδων, αντίστοιχα (δυαδική μεταλλαγή συχνότητας). Α. Να γραφεί πρόγραμμα με την εξής λειτουργία I. Για δεδομένη ακολουθία δυαδικών ψηφίων b[k], k=,...κ=, παράγει παλμοσειρά S[ k] [ s ], {, }, σύμφωνα με την αντιστοιχία s, s. Η II. III. S[k] είναι πίνακας [ s xk ], του οποίου κάθε στήλη είναι παλμός s στο διακριτό πεδίο (δείγματα πλήθους s ). Παράγει και υπερθέτει στην ψηφιακή παλμοσειρά λευκό, γκαουσιανό θόρυβο, για δεδομένη σηματοθορυβική σχέση. Υπολογίζει και σχεδιάζει τις αποκρίσεις των προσαρμοσμένων φίλτρων στη θορυβώδη παλμοσειρά εισόδου, με ενδείξεις επί του σχήματος για τις χρονικές στιγμές δειγματοληψίας καθώς και τα κωδικοποιημένα δυαδ. ψηφία. Αυτό να γίνει για δύο τιμές σηματοθορυβικής σχέσης: (α) SR= db (b) SR=-db. Β. Μιά άλλη έκδοση του παραπάνω προγράμματος και για μιά μεγάλη ακολουθία εισόδου b[k] (μήκους π.χ. Κ=5) να επαληθεύσει ότι η βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης ισούται με το πλήθος, s, των δειγμάτων των παλμών s (εντός της βασικής περιόδου Τ). Υλοποίηση Κώδικες. και..

21 Α. % Απόκριση Προσαρμοσμένων Φίλτρων - 4 % Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς διαφορετικών συχνοτήτων 5 clear all; clse all; 6 b=[ ]; % η δυαδική ακολουθία προς μετάδοση 7 t=[:.:*p]'; % το χρονικό πλέγμα μιας βασικής περιόδου, Τ 8 s=length(t); 9 s=sn(t); s=sn(*t); % οι δύο παλμοί =sum(s.^); =sum(s.^); % η ενέργεια των παλμών fr =:s- g(s-)=s(+); % προσαρμοσμένο # g(s-)=s(+); % προσαρμοσμένο # 4 end 5 SRdb=5; SRn=^(SRdb/); % επιθυμητό SR 6 Sn=/*(+)/s; % (μέση) ισχύς σήματος εισόδου 7 n=sn/srn; % ισχύς θορύβου 8 fr k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλμό 9 f b(k)== s=s; else s=s; end w=wgn(s,,*lg(n)); % λευκός γκαουσ. θορύβος ισχύος n r=s+w; % θορυβώδες σήμα 4 S(:,k)=s; R(:,k)=r; 5 h=cnv(g,r); H(:,k)=h(:s); 6 h=cnv(g,r); H(:,k)=h(:s); 7 clear s h; 8 end 9 %%%%% plts m=max([max(max(h)); max(max(h))]); H=*H/m; H=*H/m; fgure; ylm([-,]); hld; fr k=:length(b) 4 t=t//p+(k-); 5 tmax=t(length(t)); 6 lne(t,s(:,k),'clr','black','newdth', ); 7 plt(t,r(:,k),'k'); 8 lne([tmax,tmax], 9 [-,],'Clr','black','nestyle',':','newdth',); 4 text(tmax-.5,,ntstr(b(k)),'fntsze',4); 4 end 4 ttle(['θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn=',numstr(SRdb), ' db']); 4 xlabel('x','fntsze',); 44 hld; fgure; 45 ylm([-4,4]); hld; 46 fr k=:length(b) 47 t=t//p+(k-); 48 tmax=t(length(t)); 49 plt(t,h(:,k),'clr', 'black','newdth',); 5 plt(t,h(:,k),'clr', 'black','nestyle','--','newdth',); 5 lne([tmax,tmax],[-,], 'Clr', 5 'black','nestyle',':','newdth',); 5 text(tmax-.5,,ntstr(b(k)),'fntsze',4); 54 text(t(length(t)-),.,'\dwnarrw','fntsze',); 55 end 56 text(t(length(t))/,.7,'στιγμές δειγματοληψίας','fntsze',8); 57 ttle(['έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn=',numstr(SRdb), ' db']); 58 xlabel('x','fntsze',); 59 hld; Κώδικας.: Εξομοίωση προσαρμοσμένων φίλτρων για θορυβώδη ημιτονικά σήματα μιας και δύο περιόδων

22 Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn= db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn= db στιγμές δειγματοληψίας x x Θορυβώδες σήμα εισόδου -- SRn=- db 4 Έξοδος προσαρμοσμένων φίλτρων -- SRn=- db στιγμές δειγματοληψίας / x (α) x (β)!!! λάθος Σχήμα.8: Εξαγόμενa Κώδικα.. (α) θορυβώδες σήμα εισόδου (β) αποκρίσεις προσαρμοσμένων φίλτρων

23 Β. % Εκτίμηση βελτίωσης SR προσαρμοσμένου φίλτρου 4 clear all; 5 b=randnt(,5); % το δυαδικό σήμα προς μετάδοση 6 t=[:.:*p]; % χρονικό πλέγμα βασικής περιόδου, 7 s=length(t); 8 s=sn(t); % παλμός # 9 s=sn(*t); % παλμός # =sum(s.^); % ενέργεια παλμού # =sum(s.^); % ενέργεια παλμού # SRdb=; % επιθυμητό SR εισόδου, σε db SRn=^(SRdb/); 4 Sn=/*(+)/s; % μέση ισχύς σήματος εισόδου 5 n=sn/srn; % ισχύς θορύβου εισόδου 6 fr k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επέλεξε αντίστοιχο παλμό 7 f b(k)== s=s; 8 else s=s; 9 end w=randn(,s)*sqrt(n); % θόρυβος εισόδου W(k)=sum(w.^)/s; r=s+w; H(k)=sum(s.^); % σήμα εξόδου, h(), σε χρόνους t=k 4 W(k)=sum(s*r')-H(k); % θόρυβος εξόδου 5 clear s w; 6 end 7 n_measured=sum(w)/length(w); 8 SRut=sum(H.^)/sum(W.^); 9 SRn_measured=*lg(Sn/n_measured) SR_mprvement=SRut/SRn s Κώδικας.: Εκτίμηση της βελτίωσης της σηματοθορυβικής σχέσης με χρήση προσαρμοσμένου φίλτρου Με τα δεδομένα του παραπάνω παραδείγματος παίρνουμε απόκριση παρόμοια με την ακόλουθη SRn_measured =.46 SR_mprvement = 6.6 s =6 (db) Κάθε ανεξάρτητη εκτέλεση του προγράμματος θα μας δίνει ενδεχομένως ελαφρώς διαφοροποιημένα αποτελέσματα. Αυτό είναι φυσικό, λόγω των διαφορετικών, κάθε φορά, στιγμιότυπων θορύβου. Επαληθεύεται συνεπώς ότι η βελτίωση του σηματοθορυβικού λόγου με το ΣΠΦ είναι περίπου ίση με το Ν s. Να σημειωθεί ότι δεν απαιτείται η συνθήκη Γκαουσιανής κατανομής για την αλήθεια του συμπεράσματος αυτού, παρά μόνον ότι ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός, στατιστικά ανεξάρτητος του σήματος (θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί π.χ. ομοιόμορφη κατανομή).

24 .4. Παράδειγμα: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων -ASK Α. Έστω αστερισμός σημείων, κείμενων επί ευθείας γραμμής στις θέσεις,,..., (. ) Για ισοπίθανα σύμβολα, να υπολογιστεί θεωρητικά η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου (ή το Symbl rrr Rate - SR) για λευκό αθροιστικό θόρυβο Gauss, συναρτήσει των και b, av. Β. Να γραφεί πρόγραμμα-συνάρτηση σε MAAB με την εξής λειτουργία: a) Παράγει σήμα εκ τυχαίων συμβόλων, με ορθογωνικούς παλμούς διάρκειας Τ και πλάτους εκ του συνόλου A, A,..., ( ) A, υπερθέτει δε θόρυβο b, av AWG συγκεκριμένου ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου,. b) Εξομοιώνει δέκτη σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου για τη φώραση της ως άνω παλμοσειράς και υπολογίζει το ρυθμό εσφαλμένων συμβόλων (SR). Γ. Να σχεδιαστούν θεωρητικές καμπύλες BR για =4,8,6 και, με χρήση της συνάρτησης εξομοίωσης του ερωτήματος Β.b και του bertl του MAAB, να υπολογιστούν και υπερτεθούν σημεία εξομοίωσης για διάφορες τιμές του στην περιοχή,... db. b, av Υλοποίηση: Α. Στο σχήμα.9 έχει σχεδιαστεί ο σηματικός χώρος συγγραμμικών σημείων και έχουν υπερτεθεί γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας. Λόγω του αθροιστικού (ανεξάρτητου από το σήμα) θορύβου, οι συναρτήσεις αυτές είναι ίδιου εύρους και, συνεπώς, τέμνονται στα μεσοδιαστήματα των σημείων του αστερισμού, ορίζοντας έτσι ίσα διαστήματα απόφασης γύρω από τα σημεία.

25 Με τους συμβολισμούς p : η πιθανότητα εκπομπής του συμβόλου s, I=,, p e, : η πιθανότητα σφάλματος, δεδομένου ότι εστάλει το σύμβολο s η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, P e, εκφράζεται ως εξής: e e erfc erfc erfc p p P, (.) Η μέση ενέργεια συμβόλου εκφράζεται, συναρτήσει των Ε και, ως εξής Μέση ενέργεια συμβ. -ASK ) ( ) ( / p av (.) και ανηγμένη ανά bt lg lg, av av b Λύνοντας την τελευταία σχέση ως προς Ε και αντικαθιστώντας στην (.) παίρνουμε Πιθανότητα Εσφαλμένου Συμβόλου -ASK (.) av b e erfc P, lg -(-) - (-) x περιοχή απόφασης Σχήμα.9: Αστερισμός συγγραμμικών σημείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας

26 B. Η ζητούμενη συνάρτηση MAAB δίνεται από τον κώδικα.. Σε σχέση με τη γενικότερη διατύπωση του ερωτήματος (Α) και με τους εξής πρόσθετους συμβολισμούς Τ: η διάρκεια κάθε παλμού, nsamp: ο αριθμός δειγμάτων σήματος στη διάρκεια Τ ενός παλμού. εδώ είναι Ε =Α Τ. Στον κώδικα. και χωρίς βλάβη της γενικότητας, έχει ληφθεί το πλάτος του μικρότερου παλμού, Α, ίσο με. Αφού παραχθεί διάνυσμα συμβόλων (τυχαίων τιμών, ομοιόμορφα κατανεμημένων στα πλάτη), έστω x(xκ), δημιουργείται αντίστοιχο διάνυσμα σήματος ορθογωνικών παλμών, y(xnsamp.k), με επανάληψη κάθε συμβόλου του x, nsamp φορές [με χρήση της rectpulse(x, nsamp)]. Η ισχύς θορύβου, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε δείγμα του y ώστε να εξασφαλισθεί συγκεκριμένη τιμή ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου, b,av /, υπολογίζεται ως εξής, λαμβανομένου υπόψη ότι το μέγιστο εύρος ζώνης (σήματος και θορύβου) είναι ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας F samp /: nsamp Fsamp, / nsamp samp η δε σηματοθορυβική σχέση είναι lg nsamp nsamp nsamp S S av b, av Δεδομένου ότι η ισχύς της παλμοσειράς είναι (λόγω της.5) S / A, av ο συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει Ισχύς διακριτού θορύβου (προστίθεται σε κάθε δείγμα) ( ) lg A nsamp b, av Η συνάρτηση του κώδικα. μπορεί να κληθεί για διάφορες τιμές των k και b για τον υπολογισμό και σχεδιασμό καμπυλών BR-b/. Αυτό μπορεί να γίνει και μέσω του ειδικού εργαλείου του MAAB, BROO, με τη βασική του συνάρτηση υπολογισμού του ΒΕR να διαμορφώνεται όπως στον Κώδικα.4. Με bld δείχνονται τα τμήματα κώδικα που εισάγονται στο έτοιμο template του BROO:

27 . functn [errrs, symbls]=ask_errrs(k,m,nsamp,b). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση. % θορυβώδους σήματος -ASK και μετρά τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων. 4. % Υπολογίζει επίσης τη θεωρητική πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, Pe. 5. % Επιστρέφει τον αριθμό των εσφαλμένων συμβόλων, καθώς και τον συνολικό 6. % αριθμό των συμβόλων που παρήχθησαν. 7. % k είναι ο αριθμός των bts/σύμβολο, ώστε =^k, 8. % M ο αριθμός των παραγόμενων συμβόλων (μήκος ακολουθίας -ASK) 9. % nsamp ο αριθμός των δειγμάτων ανά σύμβολο (versamplng rat). % b είναι ο λόγος b/, σε db. =^k;. SR=b-*lg(nsamp//k); % SR ανά δείγμα σήματος. % Διάνυσμα τυχαίων ακεραίων {±, ±,... ±(-)}. Να επαληθευθεί 4. x=*flr(*rand(,m))-+; 5. Px=(^-)/; % θεωρητική ισχύς σήματος 6. sum(x.^)/length(x); % μετρούμενη ισχύς σήματος (για επαλήθευση) 7. y=rectpulse(x,nsamp); 8. n=wgn(,length(y),*lg(px)-sr); 9. ynsy=y+n; % θορυβώδες σήμα. y=reshape(ynsy,nsamp,length(ynsy)/nsamp);. matched=nes(,nsamp);. z=matched*y/nsamp;. l=[-+::-]; 4. fr =:length(z) 5. [m,]=mn(abs(l-z())); 6. z()=l(); 7. end 8. err=nt(x==z); 9. errrs=sum(err);. symbls=length(err);. end Κώδικας.: Υπολογισμός πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου σύμφωνης ASK, με ορθογωνικούς παλμούς το μεν (Α) για την αρχικοποίηση των παραμέτρων (k, symb, nsamp), το δε (Β) για την κλήση της συνάρτησης υπολογισμού των λαθών (ask_errrs του κώδικα.) για συγκεκριμένη ακολουθία συμβόλων. Η συνάρτηση αυτή καλείται επαναληπτικά, έως ότου είτε ο σωρρευτικός αριθμός των λαθών που έχουν καταμετρηθεί ξεπεράσει ένα ελάχιστο όριο (maxumrrs), είτε ο αριθμός των bts που «έτρεξαν» με την εξομοίωση φθάσει ένα μέγιστο όριο (maxumbts). Και τα δύο όρια τίθενται εξ αρχής στο ειδικό GUI του BROO. Οι λαμβανόμενες καμπύλες δείχνονται στο σχ.. (οι θεωρητικές παίρνονται με την επιλογή PAM από το BROO). Ας σημειωθεί ότι για κωδικοποίηση Gray ισχύει SR : αριθμός BR, k lg k bts ανά σύμβολο. Πρέπει να διευκρινιστεί επίσης ότι αυτό που υπολογίζεται στην πραγματικότητα είναι η πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου ή εσφαλμένου bt που εκ παραδρομής έχει επικρατήσει να ονομάζεται SR ή BR. Για να πάρουμε ρυθμό λαθών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις ως άνω πιθανότητες με τον αντίστοιχο ρυθμό εκπομπής (συμβόλων ή δ.ψ.).

28 functn [ber,numbts] = ask_ber_func(b, maxumrrs, maxumbts) % Imprt Java class fr BRl. mprt cm.mathwrks.tlbx.cmm.brl; % Intalze varables related t ext crtera. ttrr = ; % umber f errrs bserved numbts = ; % umber f bts prcessed % Α. --- Set up parameters. --- % --- ISR YOUR COD HR. k=; % number f bts per symbl symb=; % number f symbls n each run nsamp=6; % versamplng,.e. number f samples per % Smulate untl number f errrs exceeds maxumrrs % r number f bts prcessed exceeds maxumbts. whle((ttrr < maxumrrs) && (numbts < maxumbts)) % Check f the user clcked the Stp buttn f BRl. f (BRl.getSmulatnStp) break; end % Β. --- ISR YOUR COD HR. errrs=ask_errrs(k,symb,nsamp,b); % Assume Gray cdng: symbl errr ==> bt errr ttrr=ttrr+errrs; numbts=numbts + k*symb; end % nd f lp % Cmpute the BR ber = ttrr/numbts; Κώδικας.4:Συνάρτηση εκτίμησης λαθών καλείται από το BROO Σχήμα.: Πιθανότητα εσφαλμένου bt για την -ASK με ορθογωνικούς παλμούς

29 .5 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση. (να εκτελεστεί στο εργαστήριο) I. Να επαληθευθεί, με υπολογισμό και προβολή σχετικού ιστογράμματος, ότι τα στοιχεία του διανύσματος x της εντολής 4 του Κώδικα. ακολουθούν πράγματι την ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο των ακεραίων {±, ±,... ±(-)}. II. Να επαληθευθεί η ορθή λειτουργία του βρόχου 4-7 του Κώδικα. ως ανιχνευτή ελάχιστης απόστασης για την -ASK. III. Να επαληθευθεί η καμπύλη του σχήματος. για την 8-ASK με κλήση της συνάρτησης ask_errrs() του Kώδικα., (α) μέσα από δικό σας κύριο πρόγραμμα, (β) μέσα από το BROO του MAAB. Να υπερτεθεί και η θεωρητική καμπύλη με χρήση της σχέσης (.) και την προσέγγιση BR P e /lg. Άσκηση. Να διατυπωθούν αναλυτικά οι κρουστικές αποκρίσεις των δύο ΣΠΦ, του παραδείγματος.4. καθώς και η απόκριση του καθενός στον αντίστοιχο παλμό (στον οποίο είναι προσαρμοσμένο). Άσκηση. Δίνεται σηματικός αστερισμός 4 σημείων (QPSK) ως εξής: s ( t) Acs( fct ),, (8 ), 6 a) Να ευρεθεί και σχεδιαστεί συναρτήσει της γωνίας θ μια καλή προσέγγιση της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου, P e, με την υπόθεση λευκής ακολουθίας εισόδου, δέκτη προσαρμοσμένου φίλτρου και λευκό αθροιστικό θόρυβο, με ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο Ε/Ν ο 6 db. b) Με τα δεδομένα του ερωτήματος (a) να ευρεθούν τα ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο) της P e και οι αντίστοιχες τιμές της γωνίας θ. Άσκηση.4 Εξειδικεύοντας το Παράδειγμα.4. με =4, να υποτεθεί ότι τα μεγαλύτερα κατ απόλυτη τιμή πλάτη εμφανίζονται με πιθανότητα /8 το καθένα, ενώ τα άλλα δύο με πιθανότητα /8, αντίστοιχα. Εξ άλλου, η ισχύς θορύβου κατά τη μετάδοση των δύο μεγαλύτερων πλατών είναι διπλάσια αυτής που αντιστοιχεί στα άλλα δύο πλάτη (Ν ο, έναντι Ν ο ), ενώ σε κάθε περίπτωση ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός. (Ι) Να προσδιοριστούν οι περιοχές απόφασης στο σηματικό χώρο. (ΙΙ) Να εκφρασθεί η πιθανότητα λάθους συναρτήσει του (ΙΙΙ) Να εξομοιωθεί ο δέκτης ΣΠΦ και να εκτιμηθεί το SR.

30 .6 Παράρτημα Π. Συνάρτηση λάθους (errr functn) erf ( x) x e z dz Συμπληρωματική συνάρτηση λάθους (cmplementary errr functn): erfc( x) x e z dz erf ( x) Η συμπληρωματική συνάρτηση λάθους, erfc(x), μπορεί να βρεθεί από πίνακες ή με χρήση προσεγγιστικών αναπτυγμάτων σε σειρές. erfc( x) x e x x. (x )..5 (x ) Για μεγάλα θετικά x, μπορούμε να πάρουμε τα άνω φράγματα: erfc( x) e x x e x u erf(u) u erf(u)