ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3. 4 η ΟΣΣ

Transcript

1 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3 4 η ΟΣΣ Σχόλια για τη ΓΕ3 & Συμπληρωματικές Διαφάνειες στα Κανάλια Επικοινωνίας και τους Κώδικες Διόρθωσης Σφαλμάτων Νίκος Δημητρίου ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 1

2 Σχόλια ΓΕ3 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 2

3 Για το θέμα 1 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 3

4 Για το θέμα 3 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 4

5 Για το θέμα 3 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 5

6 Για το θέμα 5 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 6

7 Για το θέμα 7 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 7

8 Κανάλια Επικοινωνίας ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 8

9 Σκοπός: Μεταφορά συμβόλων διαμέσου του καναλιού διατηρώντας την κατανομή των μεταξύ τους πιθανοτήτων p(x i ) βλ. αρχείο PLH22_OSS4_slides διαφάνειες 5-19 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 9

10 10

11 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 11

12 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / Παρατηρήσεις: Η έξοδος μπορεί να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη εάν ισχύει μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Η είσοδος είναι ομοιόμορφά κατανεμημένη και το κανάλι είναι συμμετρικό ή αθόρυβο Η είσοδος δεν είναι αναγκαστικά ομοιόμορφα κατανεμημένη αλλά το κανάλι είναι συμμετρικό με f=1/2 Το κανάλι είναι ενθόρυβο γενικής μορφής (βλ. διαφάνεια 3) και με κατάλληλους συνδυασμούς των πιθανοτήτων p(y j /x i ) και p(x i ) προκύπτουν ομοιόμορφές p(y j ) 12

13 βλ. αρχείο PLH22_OSS4_slides διαφάνειες ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 13

14 14

15 N N N ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 15

16 βλ. αρχείο PLH22_OSS4_slides διαφάνειες

17 17

18 γ) Για τον προσδιορισμό της χωρητικότητας του καναλιού θα πρέπει να βρούμε τις πιθανότητες εμφάνισης των συμβόλων της εισόδου, για τις οποίες μεγιστοποιείται η αμοιβαία πληροφορία μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του καναλιού, δηλαδή την τιμή α. Είναι C max I( X ; Y) p( x) max[ H ( Y) H ( Y / X )] max 0,66 0,8a log(0,8a ) 0,8(1 a)log(0,8(1 a)) 0,2575 p( x) max 0,8a log(0,8a ) 0,8(1 a)log(0,8(1 a)) 0,2575. p( x) p( x) 0,66) Η συνάρτηση αυτή μεγιστοποιείται όπως γνωρίζουμε για την τιμή του a που μηδενίζει την πρώτη της παράγωγο. ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 18

19 Επομένως, di( X ; Y ) da log 1 a a 0,8a log(0,8a) 0,8(1 a)log(0,8(1 a) 0,2575 0,8 ( a) log(0,8a) a(log(0,8a )) 0,8 (1 a) log(0,8(1 a)) (1 a)(log(1 a)) 0,8 log(0,8a) log(0,8(1 a)) a 0 1 a 2 1 a 1. 2 loge 1 0,8 log(0,8a) a 0,8 ( 1) log(0,8(1 a)) (1 a)( 1) loge 1 a a 0,8log(0,8 a) 0,8log e 0,8log(0,8(1 a)) 0,8log e 0 0,8a 0,8log 0,8 1 a 0 Σημείωση: Εφόσον έχουμε μερικώς συμμετρικό κανάλι μπορούσαμε να πούμε ότι η μέγιστη H(Y) που αντιστοιχεί σε ομοιόμορφα κατανεμημένες εξόδους προκύπτει από ομοιόμορφα κατανεμημένες εισόδους άρα α=1/2 χωρίς να γίνει παραγώγιση Θέτοντας ανωτέρω την τιμή αυτή του a, λαμβάνουμε τη χωρητικότητα του καναλιού C=0,8 bits/symbol. ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 19

20 ΕΞ2016Α ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 20

21 21

22 22

23 EΞ2012B Για επιπλέον παραδείγματα βλ. αρχείο PLH22_OSS4_slides διαφάνειες ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 23

24 24

25 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 25

26 p( y1, x1 ) p( y2, x1 ) p( y3, x1 ) P Y, X p( y1, x2) p( y2, x2) p( y3, x2) p ( y1, x3) p( y2, x3) p( y3, x3) p( x1 ) p( y1 / x1 ) p( x1 ) p( y2 / x1 ) p( x1) p( y3 / x1) p( x2) p( y1 / x2) p( x2) p( y2 / x2) p( x2) p( y3 / x2) p ( x3) p( y1 / x3) p( x3) p( y2 / x3) p( x3) p( y3 / x3) ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 26

27 Σημείωση: Εάν η άσκηση ζητούσε τη χωρητικότητα θα έπρεπε να γίνει διερεύνηση της μεγιστοποίησης της Ι(Χ;Υ) με παραγώγιση υποθέτοντας παραμετρικές πιθανότητες εισόδων Το κανάλι δεν έχει κάποια συμμετρία οπότε δεν συνεπάγεται ότι ομοιόμορφα καταμενημένες είσοδοι δίνουν ομοιόμορφα καταμενημένες εξόδους. ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 27

28 EΞ2011Α ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 28

29 29

30 30

31 31

32 ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 32

33 Κώδικες Διόρθωσης Σφαλμάτων ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 33

34 Μήκος Κώδικα: n Διάσταση κώδικα: k ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 34

35 35

36 36

37 Ικανότητες διόρθωσης/ανίχνευσης σφαλμάτων ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 ΕΞ2016Α ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 48

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 69

70 70

71 71

72 72

73 73

74 74

75 75

76 76

77 ΕΞ2012Β ΕΑΠ / ΠΛΗ22 /ΑΘΗ.3 / 4η ΟΣΣ / / 77

78 78