Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι

Transcript

1 Συστημάτα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι Ανάλυση ροής φορτίου Υπεύθυνος μαθήματος Τομέας Ενεργειακών Συστημάτων Εργαστήριο ΣΗΕ

2 Περιεχόμενα Μαθήματος Γενικά Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου Αξιολόγηση μεθόδων Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου Παράδειγμα

3 Γενικά

4 Ροή φορτίου /1 Βασικά κριτήρια λειτουργίας ενός ΣΗΕ: - Παραγωγή = Ζήτηση + Απώλειες - Τάσεις και συχνότητα στους ζυγούς κοντά στις ονομαστικές του τιμές (εντός ορίων) - Οι γεννήτριες να λειτουργούν μέσα στα όρια ενεργού και άεργου ισχύος - Pmin P Pmax, Qmin Q Qmax - Οικονομικά βέλτιστη λειτουργία του συστήματος - Οι γραμμές μεταφοράς (ΓΜ) να μην υπερφορτίζονται και να μην λειτουργούν κοντά στο όριο ευστάθειας τους - Οι μετασχηματιστές να μην υπερφορτίζονται. - Να ικανοποιούνται υποχρεώσεις προγραμματισμού ισχύος ως προς τις γραμμές διασύνδεσης με τα γειτονικά συστήματα

5 Ροή φορτίου / Παρόλο που το δίκτυο είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, δεν μπορούμε να βρούμε τη λύση του προβλήματος με ανάλυση βρόγχων ή κόμβων. Σε ένα ηλεκτρικό δίκτυο έχουμε ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που τις λύνουμε με τη βοήθεια υπολογιστών. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε και να εξασφαλίσουμε τα προηγούμενα λέγεται ροή ισχύος ή φορτίου (power flow). Με αυτή υπολογίζουμε: - Μέτρο και γωνία τάσης σε κάθε ζυγό - Ενεργό και άεργο ισχύ σε κάθε γραμμή μεταφοράς - Απώλειες, άλλα (π.χ. tap settings) Το πρόβλημα της ροής ισχύος διαιρείται σε δύο επί μέρους προβλήματα: a) Διαμόρφωση κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου b) Επίλυση του προβλήματος με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης

6 Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου

7 Το πρόβλημα /1 Η ανάλυση ροής φορτίου είναι βασικά μια μέθοδος υπολογισμού του μέτρου της τάσης και της γωνίας σε κάθε ζυγό του συστήματος, κάτω από συμμετρικές τριφασικές συνθήκες σε σταθερή κατάσταση. Δεδομένα εισόδου: - Δεδομένα ζυγών - Δεδομένα γραμμών μεταφοράς και μετασχηματιστών - Μέγεθος, τύπος και τοποθεσία φορτίων

8 Το πρόβλημα / Κάθε ζυγός έχει τέσσερις μεταβλητές συνδεδεμένες με αυτόν: 1) Συνολική ενεργός ισχύς P (active power) ) Συνολική άεργος ισχύς Q (reactive power) 3) Μέτρο φασικής τάσης V (voltage magnitude) 4) Γωνία φασικής τάσης δ (phase angle) Για σύστημα n ζυγών: - n εξισώσεις ροής φορτίου - 4n μεταβλητές Περιορισμός μεταβλητών: - μεταβλητές ανά ζυγό είναι ανεξάρτητες μεταβλητές - Οι υπόλοιπες προκαθορίζονται I P U * jq

9 Ζυγοί του συστήματος Τύπος ζυγού Γνωστές Μεταβλητές Άγνωστες Μεταβλητές Ταλάντωσης ή αναφοράς (slack bus) Ζυγός ελεγχόμενος από τάση (PV) V=1, δ=0 ο P, Q P, V Q, δ Ζυγός φορτίων (PQ) P, Q V, δ

10 Εξισώσεις δικτύου /1 Έστω ότι έχουμε το πιο κάτω δίκτυο (για ευκολία αγνοούμε τις αντιστάσεις)

11 Εξισώσεις δικτύου / Μετατρέποντας όλες τις αντιδράσεις (impedances) σε σύνθετες αγωγιμότητες (admittances): y ij 1 1 z r jx ij ij ij

12 Εξισώσεις δικτύου /3 Εξισώσεις στους κόμβους του συστήματος: Κόμβος 1 I y V y V V y V V Κόμβος I y V y V V y V V Κόμβος 3 0 y V V y V V y V V Κόμβος 4 0 y V V

13 Εξισώσεις δικτύου /4 Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να γραφτούν και ως εξής: I y y y V y V y V Γράφοντας τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα: I y V y y y V y V y V y V y y y V y V y V y V I1 y10 y1 y13 y1 y13 0 V1 I y1 y0 y1 y3 y3 0 V 0 y13 y3 y13 y3 y34 y34 V y y V

14 Εξισώσεις δικτύου /4 Εξισώσεις του δικτύου σε μορφή πίνακα: I1 y10 y1 y13 y1 y13 0 V1 I y1 y0 y1 y3 y3 0 V 0 y13 y3 y13 y3 y34 y34 V y y V

15 Εξισώσεις δικτύου /5 Άρα, μπορούμε να βρούμε τα στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας (bus admittance matrix) χρησιμοποιώντας: n Y y, j i, self-admittance ii j0 ij Y Y y, i j, mutual admittance ij ji ij Επομένως, μπορούμε να γράψουμε σε γενική μορφή: I1 Y11 Y 1... Y1 n V1 I Y1 Y... Y n V I YV I Y Y... Y V n n1 n nn n

16 Εξισώσεις δικτύου /6 Το πρόβλημα επομένως για την περίπτωση π.χ. του ζυγού i από τους συνολικά n γράφεται: n I Y U i im m m1 Αλλιώς συναρτήσει της ισχύος: n * i i i im m m1 P jq U Y U - n εξισώσεις που απαρτίζουν ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα - για την επίλυσή του συστήματος, ανάλογα με τον τύπο του ζυγού, υπολογίζονται οι άγνωστοι με χρήση μια επαναληπτικής μεθόδου αριθμητικής ανάλυσης

17 Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος ροής φορτίου

18 Γενικά Επαναληπτικές μέθοδοι ή μέθοδοι ανακυκλώσεως: - Επαναληπτική μέθοδος Gauss - Gauss-Seidel - Newton-Raphson Επίλυση: - Προτείνεται μια αρχική λύση - Η αρχική λύση δίνει μια καλύτερη νέα λύση χρησιμοποιώντας την - Η δεύτερη λύση χρησιμοποιείται για την εύρεση τρίτης λύσης κ.τ.λ. fx 0

19 Περιοριστικά όρια: Περιορισμοί (constraints) - Τα μέτρα των τάσεων των ζυγών να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια ανοχής - Οι γωνιακές διαφορές ορισμένων ζυγών να παραμένουν κάτω από ορισμένο όριο, το οποίο υπαγορεύεται από λόγους ηλεκτρικής ευστάθειας - Οι ισχείς παραγωγής να βρίσκονται μέσα σε συγκεκριμένα όρια - Πρόσθετοι περιορισμοί ώστε το σύστημα να λειτουργεί κατά το βέλτιστο οικονομικά τρόπο (οικονομικοί περιορισμοί) U U U imin i imax δi δj δi δj P P P max G1,min G1 G1,max Q Q Q G1,min G1 G1,max

20 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /1 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε μια λύση της εξίσωσης: Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή: 3 3 f x x x x 1 0 Επομένως: x g x 3 x x x 3 1

21 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss / Για να υπολογίσουμε το x χρησιμοποιούμε επαναληπτική διαδικασία (iterative procedure) και υποθέτουμε μια αρχική τιμή x0. Άρα: Και σταματούμε όταν (κριτήριο σύγκλισης): 3 3 x n 1 x n xn 1 x x ε n1 n n x n n x x n Έστω ότι x0=0 και ε=0.01, συνεχίζοντας τη λύση προκύπτει: x =

22 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /3 Για την περίπτωση συστήματος: Πρέπει να φέρουμε το σύστημα στη μορφή: xy1 x 3y z 8 y z 5 yn 1 xn yn1 xn zn zn1 yn

23 Μέθοδος Jacobi ή Μέθοδος Gauss /4 Άρα, αν έχουμε x 0 =y 0 =z 0 =0: n xn yn zn /3-5/ yn 1 xn yn1 xn zn zn1 yn

24 Μέθοδος Gauss-Seidel Παρόμοια με την Gauss, όμως χρησιμοποιεί τις νέες τιμές των αγνώστων σε κάθε επανάληψη (iteration), αν υπάρχουν. Άρα συγκλίνει πιο γρήγορα. Το ίδιο παράδειγμα: yn 1 xn yn1 xn1 zn zn1 yn1 Έστω ότι x0=y0=z0=0 και ε=0.001 n xn yn zn

25 Μέθοδος Newton-Raphson /1 - Χρησιμοποιείται πολύ συχνά λόγω της μη γραμμικότητας του δικτύου. - Βασίζεται σε μια αρχική τιμή κοντά στη ρίζα της συνάρτησης και στη σειρά Taylor (Taylor series). - Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f(x)=0 και ότι μια από τις ρίζες της είναι η - Έστω ότι υποθέτουμε μια αρχική τιμή για το x, x0, και η διαφορά του x0 από την πραγματική ρίζα είναι Δx: xˆ x x 0 Δ f x f x0 x ˆ Δ 0 ˆx Χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor: x0 f f xˆ f x0 f x0 xˆ x0 xˆ x0! f x0 f x0 f x0 x0 Δx x0 x0 Δx x0! f x0 f x0 Δxf x0 Δx!

26 Μέθοδος Newton-Raphson / Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους: f xˆ f x Δxf x 0 Δx 0 0 f x f x Αφού x1=x0+δx, τότε το πραγματική ρίζα. 0 0 x f x xn1 xn f x 1 0 n n f x x f x 0 0 πρέπει να είναι καλύτερη προσέγγιση για την

27 Μέθοδος Newton-Raphson /3 n 0 f xn 1 B f x f x x x n n n A xn xn1 f xn

28 Παράδειγμα: Μέθοδος Newton-Raphson /4 x x 1 f x e x f x e x xn e xn x n e 1 n1 n x n x Αρχική τιμή για n=0

29 Μέθοδος Newton-Raphson /5 Αν αυτή την ιδέα τη γενικεύσουμε για την περίπτωση που έχουμε πέραν του ενός αγνώστου, δηλαδή: και έστω ότι η λύση μας είναι ώστε και τότε μπορούμε να γράψουμε τις ίδιες εξισώσεις με τη σειρά Taylor όπως και προηγουμένως:..

30 Μέθοδος Newton-Raphson /6 J(x0): Jacobian matrix (nxn) (αφού ) Για κάθε επανάληψη δημιουργείται ένας νέος Ιακωβιανός πίνακας Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να πληρωθεί το όριο ανοχής για όλες των x i Οι εκτιμήσεις αν είναι μακρυά από τη λύση μπορεί να οδηγήσουν σε μεγάλο σφάλμα διακοπής σειράς

31 Παράδειγμα: Παράδειγμα με Newton-Raphson /1 Βρείτε το x x x 1 ούτως ώστε: fx 0 Όπου: f x x x f x x x x x

32 Παράδειγμα με Newton-Raphson / Ο Ιακωβιανός πίνακας γράφεται: J x df1 x df1 x dx dx 1 1 df x df x x1 x x x 1 dx dx 1 4x x x1 x1 4x1 x f1 xn n1 n x x 1 x1 x x n n x 1 f x n 1

33 Παράδειγμα με Newton-Raphson /3 Έστω ότι (αρχικές συνθήκες): x x x και συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση

34 Αξιολόγηση μεθόδων

35 Σύγκριση μεθόδων /1 Μειονεκτήματα Newton-Raphson: Πρέπει να βρίσκουμε τον Jacobian matrix σε κάθε βήμα (χρονοβόρο) Περισσότερος χώρος μνήμης και χρόνος σε σύγκριση με τη μέθοδο Gauss- Seidel Όμως η Newton-Raphson συνήθως συγκλίνει, σε αντίθεση με την Gauss-Seidel που πολλές φορές αποκλίνει. Η Newton-Raphson προτιμάται στην ανάλυση ροής ισχύος γιατί: συγκλίνει (συνήθως σε λιγότερες από 10 επαναλήψεις) υπάρχουν τρόποι να μειώσουμε το χρόνο σε κάθε επανάληψη και να αποφύγουμε τα matrix iterations.

36 Σύγκριση μεθόδων / Τύπος προβλήματος Gauss-Seidel Newton-Raphson Συστήματα με μεγάλο φορτίο Συστήματα με αρνητικές αντιδράσεις, πχ ΜΣ τριών τυλιγμάτων Συστήματα με ζυγό ταλάντωσης σε συγκεκριμένη θέση Μακριές και κοντές γραμμές που τερματίζουν στους ίδιους ζυγούς Ακτινικό σύστημα μεγάλου μήκους Συνήθως δεν επιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Ανίκανη να τα επιλύσει Συχνά απαιτούνται δοκιμές trial & error για τον εντοπισμό του slack bus Συνήθως δεν μπορεί να το επιλύσει Δυσκολία επίλυσης Eπιλύει συστήματα με διαφορά φάσης μεγαλύτερη των 70 o Τα επιλύει με ευκολία Περισσότερο ανεκτική στη θέση του slack bus Μπορεί να έπιλύσει τα περισσότερα συστήματα Επιλύει ευρεία περιοχή τέτοιων συστημάτων Συντελεστές επιτάχυνσης Καθοριστική σημασία Δεν απαιτούνται

37 Επίλυση του προβλήματος ροής φορτίου

38 Είδαμε ότι: Για το ζυγό k: I Εφαρμογή μεθόδου NR /1 Y U k kn n n1 Η ισχύς που παράγεται από το ζυγό k είναι: N I Y U S P jq V I V Y U N * k k k k k k kn n n1 N Vk k Ykn kn Vn n n1 N V Y V k kn n k n kn n1 * *

39 Εφαρμογή μεθόδου NR / Αν ξεχωρίσουμε το πραγματικό από το φανταστικό: N P V Y V cos k k kn n k n kn n1 N Q V Y V sin k k kn n k n kn n1 Άρα, για κάθε ζυγό έχουμε δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους. Το πρόβλημα είναι ότι έχουμε να λύσουμε ταυτόχρονα ένα μεγάλο αριθμό μη γραμμικών εξισώσεων. Για να το καταφέρουμε αυτό χρησιμοποιούμε μια επαναληπτική μέθοδο, όπως τον αλγόριθμο Newton-Raphson

40 Εφαρμογή μεθόδου NR /3 Έστω ότι το slack bus είναι το bus 1 του οποίου ορίζουμε το μέτρο και τη γωνία τάσης. Άρα, οι άγνωστοι μας είναι τα μέτρα και οι γωνίες της τάσης στους υπόλοιπους (n-1) ζυγούς. δ P x PG P D δ 3 Pn δ δ x PG P n Dn n x fx V Q V x QG Q D V3 Qn x QG Q n D n V n 1 x x J x f x n 1 n n n

41 J Εφαρμογή μεθόδου NR /4 dp dp dp dp d dn d V d V n... J J dpn dpn dpn dpn d d d V d V J J dq dq dq dq d dn d V d V n... J J dqn dqn dqn dq n d dn d V d Vn n n 1 J J3 J 4

42 Εφαρμογή μεθόδου NR /5 Πρέπει να βρούμε τα στοιχεία της Jacobian: J1: N P V Y V cos k k kn n k n kn n1 N Q V Y V sin k k kn n k n kn n1 J:

43 Εφαρμογή μεθόδου NR /6 J3: J4:

44 ΔP J1 J Δδ ΔQ J J ΔV 3 4 Εφαρμογή μεθόδου NR /7 x x x n1 n Δ n επιβεβλημένη n ΔPk Pk P k Διαφορά ισχύος επιβεβλημένη n ΔQk Qk Qk δ δ Δδ V V ΔV n1 n n 1 δ δ J1 J ΔP V V J J ΔQ n1 n 3 4 n

45 Σύνοψη εφαρμογής NR για ροή φορτίου /1 1. Ορισμός προβλήματος - Slack bus: ορίζουμε τη γωνία της τάσης μηδέν μοίρες και την τάση στην επιθυμητή τάση της γεννήτριας - Ζυγοί γεννητριών: Επιθυμητή ισχύς και τάση. Γωνία μηδέν μοίρες - Ζυγοί φορτίων: Ισχύς στις επιθυμητές τιμές. Υπολογισμός διαφοράς ισχύος n n - Ζυγοί φορτίων: Υπολογίζουμε τα P k και Q k από τις εξισώσεις ροής ισχύος χρησιμοποιώντας τις γνωστές και υπολογιζόμενες τάσεις n - Ζυγοί γεννητριών: Υπολογίζουμε την P k - Υπολογίζουμε τα ΔP n και Δ n k Qk σε κάθε ζυγό. 3. Δημιουργούμε τον Jacobian από τις διαφορικές εξισώσεις Επιλύουμε την εξίσωση: ΔP J1 J Δδ Δδ J1 J ΔP ΔQ J3 J 4 ΔV ΔV J3 J 4 ΔQ Άρα υπολογίζονται τα Δδ και ΔV.

46 Σύνοψη εφαρμογής NR για ροή φορτίου / 5. Υπολογίζουμε τις νέες τιμές για το μέτρο και τη γωνία της τάσης, 6. Συνεχίζουμε τη διαδικασία από το βήμα () μέχρις ότου οι αποκλίσεις είναι μικρότερες από την προκαθορισμένη ακρίβεια ε. 7. Υπολογίζουμε τις ροές σε κάθε μεριά της γραμμής. Άρα: Επίσης, υπολογίζουμε τα: P και Q στο slack bus Q στα PV buses. ΔP n k ΔQ n k Απώλειες γραμμής Sij Sji ε ε V, δ n1 n1

47 Παράδειγμα

48 Παράδειγμα δικτύου

49 Το 1 ο βήμα είναι να βρούμε τον πίνακα αγωγιμότητας (Υbus). Μετατρέπουμε τις αντιδράσεις σε αγωγιμότητες Πίνακες αγωγιμοτήτων y y y j0 p.u. z 0. 0 j j30 p.u. z j j3 p.u. z j Σχέσεις για τα διαγώνια και τα αμοιβαία στοιχεία του πίνακα αγωγιμότητας: n Y y, j i, self-admittance ii j0 ij Y Y y, i j, mutual admittance ij ji ij

50 Παράδειγμα / y13 y1 y1 y13 0 j50 10 j0 10 j30 Ybus y1 y1 y3 y 3 10 j0 6 j5 16 j3 y13 y3 y13 y3 10 j30 16 j3 6 j Y bus

51 Παράδειγμα /3 Βήμα 1 ο : Ορισμός προβλήματος Επίσης ισχύει από τα δεδομένα: S P P B 100MVA 4 p.u. (load) δ sch p.u. (gen) δ sch 3 3 Q. 5 p.u. (load) V sch

52 Παράδειγμα /4 Βήμα ο : Υπολογισμός διαφορών ισχύος Εξισώσεις ροής ισχύος: N P V Y V cos k k kn n k n kn n1 N Q V Y V sin k k kn n k n kn n1 - Για τον υπολογισμό των αποκλίσεων στο φορτίο (bus ) θα χρειαστούμε τα P και Q. - Για τον υπολογισμό των αποκλίσεων στο ζυγό γεννήτριας (bus 3) θα χρειαστούμε το P3. - Άρα, πρέπει να βρούμε την έκφραση αυτών των ισχύων χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω σχέσεις.

53 Οι σχέσεις είναι: Παράδειγμα /4 P 3. 5 V cos V V cos Q 3. 5 V sin V V sin P cos V cos Θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο πάνω σχέσεις για να δημιουργήσουμε τον Jacobian πίνακα.

54 Βήμα 3 ο : Δημιουργία Jacobian Παράδειγμα /5 J P P P V J J P P P J3 J 4 3 V Q Q Q V 3

55 J1: P P 3 3 P P 3 3 Παράδειγμα / V sin V sin sin V sin V sin V sin. 03 3

56 P V Παράδειγμα /7 J: V 3. 5cos cos. 03 P V Q cos J3: 3. 5 V cos V cos. 03 Q 3 Q V V cos J4: V 3. 5sin sin. 03 3

57 Βήμα 4 ο : Επίλυση εξίσωσης Παράδειγμα /8 P J J 1 Q J3 J 4 V S P P B 100MVA 4 p.u. (load) δ sch p.u. (gen) δ sch 3 3 Q. 5 p.u. (load) V sch sch P P P 4 P sch P 3 P 3 P 3 P 3 Q Q Q 5. Q sch n n n Πρώτη επανάληψη: V p.u. 0 0 από τις εξισώσεις ροής ισχύος P p.u. 0 Q. 4 p.u. 0 P 1. 03p.u. 0 3

58 Παράδειγμα /9 P P Q J1 J P V J J Q V V V V Λύση πρώτης επανάληψης

59 Δεύτερη επανάληψη Παράδειγμα /10 Αντικαθιστώντας τις λύσεις της πρώτης επανάληψης στις εξισώσεις ροής ισχύος Pk και Qk παίρνουμε: ' P 3. 81p.u. P ' P p.u. P ' Q. 43p.u. Q Πρέπει να θέσουμε ένα κριτήριο σύγκλισης (tolerance). Έστω ότι: Συνεχίζουμε μέχρι τη σύγκλιση...

60 Παράδειγμα /11 Η ανάλυση ροής ισχύος γίνεται με υπολογιστές και όχι στο χέρι. Επίσης υπάρχουν τεχνικές που κάνουν το πρόβλημα πιο εύκολο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι J και J3 είναι συνήθως μικρές, επομένως λέμε ότι είναι μηδέν και το πρόβλημα μας γίνεται μη συζευγμένο (decoupled): P P Μη συζευγμένη ανάλυση ροής ισχύος: 1 Q V Q V O λόγος που οι J και J3 είναι συνήθως μικρές είναι ότι: το ΔP είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J1) και λιγότερο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J) αντίστοιχα το ΔQ είναι πιο ευαίσθητο σε αλλαγές στο μέτρο της τάσης (J4) και λιγότερο σε αλλαγές της φασικής γωνίας (J3). 1

61 Παράδειγμα /1 Αφού βρούμε τις τάσεις και τις γωνίες σε κάθε ζυγό, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροή ισχύος στην κάθε γραμμή και τις απώλειες στη γραμμή. Έστω ότι έχουμε την πιο κάτω γραμμή: Vi Vj Iij IL Iji Iio yij Ijo yio yjo

62 Παράδειγμα /13 Vi Vj Iij IL Iji Η ροή ισχύος υπολογίζεται σε κάθε Iio yij Ijo άκρο της γραμμής. yio yjo Για τη ροή από το ζυγό i στο ζυγό j: I I I y V V y V ij L io ij i j io i * * * * ij i ij i ij io i ij j S V I V y y V y V Απώλειες: S S S loss ij ji Για τη ροή από το ζυγό j στο ζυγό i: I I I y V V y V ji L jo ij j i jo j * * * * ji j ji j ij jo j ij i S V I V y y V y V

63 Πηγές - Αναφορές Μ. Παντελή, Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ισχύος, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Κύπρου Α. Σαφιγιάννη, Σημειώσεις ΣΗΕ, ΤΗΜΜΥ, ΔΠΘ. 63