Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων

Transcript

1 EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες: Α. Νικολακόπουλος, Θ.Χ. Ξενίδου

2 Επισκόπηση Τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Επισκόπηση Newton Raphson και Secant Quasi Newton Γενικευμένη Secant Προβλήματα διαδοχικής αντικατάστασης & Wegstein

3 α) Βασικές μέθοδοι Επίλυση Taylor f( x) = 0 f f x f x x x x + ( ) 0 0 f x = x f x x X= X0 0 0 Newton Συνήθως, η παράγωγος υπολογίζεται αριθμητικά: f( x ) f f x = x x x 2 2 Secant Η μέθοδος Secant χρειάζεται ένα παραπάνω σημείο για να ξεκινήσει η επαναληπτική διαδικασία. Για n>, η Newton εφαρμόζεται με τον αντίστροφο πίνακα της Ιακωβιανής J

4 α) Βασικές μέθοδοι Newton Raphson (γενίκευση σε πολλές μεταβλητές) T + ( ) f x f x J x x 0 X0 0 ( k ) ( 0) k k T x = x J f x J f = = x i { Jij} j Παράδειγμα Ξεκινώντας από x = [ 2, 4] T 2 2 f x, x = 4 x x x x 3 =

5 α) Βασικές μέθοδοι Newton Raphson: παράδειγμα Ξεκινώντας από x = [ 2, 4] T 2 2 f x, x = 4 x x x x 3 = f x,x = 5 x 2 x 3 = J f f x x 2 x x 2 x x 2( x 2) 2( x 3) = = f f x x2 k x x f f

6 Γενικευμένη Secant Προσέγγιση f = J x = A x όπου η J υπολογίζεται αριθμητικά: X = X A f (), k+ k k k f = A x k k k Για να εφαρμόσουμε τη γενικευμένη secant, ξεκινάμε από το αρχικό Δx k και υπολογίζουμε διαδοχικά το Δf k (βασικές εξισώσεις) > A k (Secant) > x k+ Για ένα σύστημα 2x2, χρειαζόμαστε (2+) σημεία f = 20 x + x 30. 2

7 Γενικευμένη Secant (συνέχεια) f =,f,f = = x 0 0 = 0 x = 0 x 2 0 = f = J x = A x A = = Άρα x f = = = 3

8 α) Βασικές μέθοδοι Newton Raphson Παρατηρήσεις: ) Συγκλίνει με μεγάλες ταχύτητες 2) Εξαρτάται από το αρχικό σημείο 3) Συνήθως αποκλίνει χωρίς βοήθειες 4) Η J υπολογίζεται συνήθως αριθμητικά 5) Η αντιστροφή είναι επίπονη διαδικασία (Quasi Newton)

9 Μέθοδος Broyden Βασική ιδέα: καθώς κανείς υπολογίζει J J, J,..., J, θα ήταν χρήσιμο να συσχετίζει 2 k τους υπολογισμούς του τελευταίου = ( f J,...,J ) αλλάζοντας μόνο στήλη & k+ k γραμμή κάθε φορά k k k k uv uv n k k uv T 2 J = J + uv = k+ k k k k k uv n n Η παραπάνω εξίσωση λύνεται παράλληλα με x = J f Από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει το x 2 x = J f 2 2 Αν οι επιλογές γίνονται ώστε το x k να είναι ορθογώνιο με όλα τα προηγούμενα x k, τότε προκύπτει η μέθοδος Broyden, η οποία είναι υπολογιστικά καλύτερη, καθώς συγκεντρώνει το υπολογιστικό φορτίο σε ανεξάρτητες, κάθε φορά, κατευθύνεις, αυξάνοντας έτσι την απόδοση στους υπολογισμούς.

10 Διαδοχική αντικατάσταση - Wegstein Γενική μορφή Ουσιαστικά είναι η μορφή της εξίσωσης που διατρέχει την σειριακή προσομοίωση guess - Υποθέτουμε κάποιο y (π.χ. ανακύκλωση) y - Υπολογίζουμε μέσα από τις διαδοχικές προσομοιώσεις - σύγκριση & σύγκλιση όταν y y cal cal = y = g y guess guess f = y g( y) = 0 ή f( x) = x g( x) = 0 y cal = g y guess Η σύγκλιση προϋποθέτει πως g < g(x) g(x ) a(x)=x Στην πράξη ελέγχεται πως x 3 -x 2 < x 2 -x Με βάση τη γραμμική προσέγγιση g(x o ) x f f x y x η σύγκλιση μπορεί να γίνει αργή καθώς g x o x

11 Διαδοχική αντικατάσταση Wegstein (2) Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε αριθμητικά την παράγωγο του g Σε όρους σύγκλισης g x Ορίζοντας q s s g g x g x g g x x x x 2 0 = = = 2 0 g = g + s x x 0 0 = Γενικευμένη Wegstein Υπολόγισε για κάθε μεταβλητή s x = q g + qx 0 y y y g = = x = g x, x, x,..., x ( q ) + q x x x x 0 k+ k k k k k 2 3 n 2 i i 0

12 Συντελεστής επιτάχυνσης q σαν παράμετρος ελέγχου Σχόλια Για Για Για q= 0 0< q< q > έχουμε τη γενική μέθοδο διαδοχικής αντικατάστασης επιβράδυνση στη μέθοδο (καινούρια σημεία ανάμεσα σε παλιά) τα καινούρια σημεία είναι έξω από το διάστημα που ορίζουν τα παλαιά Σύγκλιση 0< q < i Αργή αλλά σταθερή q = i Διαδοχικά ίδια σημεία q < 0 i Επιτάχυνση. Συνήθως βάζουμε όρια (bounded Wegstein) ώστε -5 < q < 0

13 Παράδειγμα Παράδειγμα (γενικευμένη Wegstein) f = 20 x + x f == 5 x + 50 x x 0 0 = 0 x = f 0 30 = 60 f 9 = 5 Ακολουθώντας παρόμοια βήματα με Secant ( X = X A f ) k+ k k k 9 30 new x = ( 9) = new x = 2 ( 5) = x new = f = 2 Ουσιαστικά, στη μέθοδο Wegstein, χρησιμοποιούμε Secant για την κάθε μεταβλητή αδιαφορώντας για τις αλληλεπιδράσεις άλλων μεταβλητών στην Ιακωβιανή. Γι αυτό χρειαζόμαστε λιγότερα σημεία. Σύγκλιση: πολύ καλύτερη από τη γενικευμένη Secant και με λιγότερους υπολογισμούς. Γιατί;

14 Παράδειγμα (2) f = 20 x + x Αιτία Ο λόγος είναι ότι η f εξαρτάται κυρίως από το x, ενώ η f2 κυρίως από το Άρα, αν ξεχωρίσει τις μεταβλητές που επηρεάζουν την g, τότε η σύγκλιση είναι σημαντική Γενικά Σε προσομοιώσεις διεργασιών αυτή η υπόθεση είναι φυσιολογική και μπορεί να εξηγηθεί καθώς, για παράδειγμα, οι παράμετροι εισόδου - ενός αντιδραστήρα επηρεάζουν πολύ περισσότερο τον αντιδραστήρα παρά τις άλλες διεργασίες - Μιας απόσταξης επηρεάζουν πολύ περισσότερο την απόσταξη παρά άλλες διεργασίες κλπ x 2

15 Παραγωγή βενζόλιου με υδρογονο-αποαλκυλίωση Θεωρούμε την αντίδραση τουλουένιου και υδρογόνου για την παραγωγή βενζόλιου (hydrodealkylation) σύμφωνα με: C 6 H 5 CH 3 + H 2 C 6 H 6 + CH 4 Δευτερεύουσα αντίδραση μετατρέπει το παραγόμενο βενζόλιο σε διφαινυλιο παράγοντας παράλληλα υδρογόνο 2 C 6 H 6 C 2 H 0 + H 2 Η επιλεκτικότητα, S, (ποσοστό παραγόμενου βενζόλιου σε σχέση με το τολουένιο που αντιδρά) σχετίζεται με την μετατροπή, ξ, από: S = ( ξ ). Σχεδιαστικές μελέτες έχουν υποδείξει λόγο τολουένιου υδρογόνου 5: 544

16 Ροοδιάγραμμα αντίδρασης Σύσταση τροφοδοσίας: υδρογόνο (99%), μεθάνιο (%) Η αέρια τροφοδοσία είναι 20t/h αλλά το ρεύμα απομάκρυνσης είναι σχεδιαστική μεταβλητή Χαμηλή μετατροπή υδρογόνου (5%)

17 Υπολογιστικά στάδια προσομοίωσης Υποθέτουμε (R k ), υπολογίζουμε ανάμιξη, σύσταση εισόδου (X AR ) R g R,X,P k + k k k = AR R P F X g R,X,P k + k k k = AR 2 AR S3 S.. Σύσταση εξόδου σε αντίδραστήρα X AR,k διαχωρισμοί S-S3, απομάκρυνση P, ανακύκλωση R k+ υδρογόνου Yπολογισμός νέας εξόδου σε αντίδραστήρα X AR,k+, κλπ Πόσο δύσκολη γίνεται η σύγκλιση από την παρουσία της ανακύκλωσης; S2

18 Απλουστευμένη αναλυτική προσέγγιση R g R,X,P k + k k k = AR k + k k k = AR 2 AR X g R,X,P R k+ =S3-P=S(-ξX AS )-P FX + RX AF A,R = ( F+ R) ξ P F+ R { F X P A,F } R( XA,R ) = ξ + ξ g R ( A,F ) ( A,R ) + R = F ξ X P + ξ X R X k k k k k ( )( FX R X A,F A,R ) ( ξ )( FX + R X A,F A,R ) ξ + + = k AR k k Substituting ( A.R ) R + = 7.03 P + 0.5X R k k k k g = ( 0.5 XA,R ) 0.85 < < R k 0< XA,R < k k Αργή σύγκλιση καθώς s και διαδοχική αντικατάσταση είναι πολύ αργή.