Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 8.4 Ασκήσεις Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 8.4 Ασκήσεις. Εστω g,...,g n ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες µεταβλητές σε έναν χώρο πιθανότητας Ω και έστω {e,...,e n } ορθοκανονική ϐάση του R n. (α) Εστω X = (R n, ). είξτε ότι G q := Ω n q g i (ω)e i dω i= /q = c n,q M q (X) όπου M q (X) = και υπολογίστε τις σταθερές c n, και c n,2. S n x q dσ(x) /q, (ϐ) είξτε ότι, αν k n, Ω k g i (ω)e i dω i= (γ) είξτε ότι, αν Y είναι ένας k-διάστατος υπόχωρος του X, τότε M (Y ) c n/k M (X), όπου c > 0 απόλυτη σταθερά. Ω n g i (ω)e i dω. i= 2. Εστω f : S n R Lipschitz συνεχής συνάρτηση µε σταθερά και έστω L ο µέσος Lévy της f. (α) είξτε ότι, για κάθε t > 0, (σ σ){(x, y) S n S n : f (x) f (y) t}) 2σ({x S n : f (x) L t/2}) c exp( c 2 t 2 n). (ϐ) Εστω E( f ) = f (x) S n dσ(x). είξτε ότι, για κάθε a R, exp(a 2 f (x) E( f ) 2 ) dσ(x) exp(a 2 ( f (x) f (y)) 2 ) dσ(x) dσ(y). S n S n S n (γ) είξτε ότι S n S n και, επιλέγοντας a n, δείξτε ότι exp(a 2 ( f (x) f (y)) 2 ) dσ(x) dσ(y) ca 2 te a2 t 2 ct 2n dt, S n S n όπου c,c 2 > 0 απόλυτες σταθερές. exp(a 2 ( f (x) f (y)) 2 ) dσ(x) dσ(y) c 2, 0 (δ) είξτε ότι, για κάθε t > 0, σ({x : f (x) E( f ) t}) c 3 exp( c 4 t 2 n), Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 όπου c 3,c 4 > 0 απόλυτες σταθερές. 3. Εστω X = (R n, ). Συµβολίζουµε µε b τη µικρότερη ϑετική σταθερά για την οποία η ανισότητα x b x 2 ισχύει για κάθε x R n. είξτε ότι { b } { q b } q max M,c M q max 2M,c 2 n n για κάθε q [,n], όπου c,c 2 είναι απόλυτες ϑετικές σταθερές. (α) Υπόδειξη για την δεξιά ανισότητα. Η συνάρτηση : S n R είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά b. Από τη σφαιρική ισοπεριµετρική ανισότητα έπεται ότι σ ( x S n : x M > t ) 2 exp( ct 2 n/b 2 ) για κάθε t > 0. Από την τριγωνική ανισότητα στον L q (S n ), M q M x M q. (ϐ) Υπόδειξη για την αριστερή ανισότητα. Υπάρχει z S n ώστε B X {y : y, z /b}. Συνεπώς, για κάθε t > 0. Χρησιµοποιήστε την {x S n : x t} C t := {x S n : x, z t/b} M q = q /q 0 t q σ({x : x t}) dt /q t q q σ(c t ) dt Εστω x,..., x t S n. είξτε ότι υπάρχει y S n ώστε t y, x i t. i= Υπόδειξη. Θεωρήστε όλα τα διανύσµατα της µορφής z(ε) = t i= ε i x i όπου ε i = ±, και επιλέξτε ένα µε τη µεγαλύτερη δυνατή Ευκλείδεια νόρµα. 5. Εστω X = (R n, ). Εστω t(x) ο µικρότερος ϕυσικός t για τον οποίο υπάρχουν U,...,U t O(n) ώστε ( ) για κάθε x R n. είξτε ότι 2 M x 2 t t U i (x) 2M x 2 i= t(x) 4 (b/m)2, όπου b η µικρότερη ϑετική σταθερά για την οποία η ανισότητα x b x 2 ισχύει για κάθε x R n. Υπόδειξη. Υποθέστε ότι η ( ) ισχύει για κάποιους U,...,U t O(n). Θεωρήστε x 0 S n µε x 0 = b και χρησιµοποιήστε την Ασκηση 4 για τα x i = U i (x 0 ). 6. Εστω X = (R n, ) και Y = (R n, 2 ). Υποθέτουµε ότι v(b X ) n α και v(b Y ) n β για κάποιους α, β, όπου v(p) είναι το πλήθος των κορυφών ενός πολυτόπου P. είξτε ότι d(x,y ) c α + β nlogn. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Υπόδειξη. Μπορείτε να υποθέσετε ότι n B n 2 B X B n 2 B Y nb n 2. Παρατηρήστε ότι, για κάθε U O(n), ισχύουν οι U : Y X n και U : X Y = sup x B X U(x) Y = max x ext(b X ) max U(x), y ext(b Y ) y, όπου ext(p) είναι το σύνολο των κορυφών του πολυτόπου P. Για σταθερά x, y και ε > 0 εκτιµήστε το ν({u O(n) : U(x), y ε}). 7. Εστω k n και έστω f k : S n R η συνάρτηση f k (x) = x x2 k. ηλαδή, f k (x) = P k (x) 2, όπου P k η ορθογώνια προβολή στον span{e,...,e k }. (α) είξτε ότι ο µέσος Lévy med( f k ) ικανοποιεί την med( f k ) 2 αν k Clogn, όπου C > 0 (αρκετά µεγάλη) απόλυτη σταθερά. (ϐ) Εστω u S n. είξτε ότι, για κάθε t (0,), k n ν n,k ({F G n,k : P F (u) 2 med( f k ) t med( f k )}) c exp( c 2 t 2 k). (γ) Εστω x,..., x n R n. είξτε ότι υπάρχουν k clogn (όπου c > 0 απόλυτη σταθερά) και F G n,k ώστε 2 med( f k ) x i x j 2 P F (x i ) P F (x j ) 2 2med( f k ) x i x j 2 για κάθε i, j =,...,n. 8. Εστω P ένα συµµετρικό πολύτοπο στον R n και έστω X = (R n, P ). Γράφουµε f (P) για το πλήθος των (n )-διάστατων εδρών του και v(p) για το πλήθος των κορυφών του. (α) είξτε ότι k(x) log f (P) και k(x ) logv(p). (ϐ) είξτε ότι log f (P) logv(p) cn, όπου c > 0 απόλυτη σταθερά. 9. Εστω K ένα συµµετρικό κυρτό σώµα στον R n. Υποθέτουµε ότι η B2 n και ότι ( K / B2 n )/n = A. είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K (α) είξτε ότι O(n) S n Uθ n θ n σ(dθ)ν(du) = A2n. (ϐ) Για κάθε U O(n) και θ S n ϑέτουµε N U (θ) = S n και συµπεράνατε ότι N U (θ) c A 2 για κάθε θ S n. Uθ + θ 2. είξτε ότι υπάρχει U O(n) ώστε σ(dθ) A2n [N U (θ)] 2n (γ) Αν ο U ικανοποιεί το (ϐ), δείξτε ότι B n 2 K U(K) 8A2 B n 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6