Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 7 Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα 4 7. Απόσταση Baach-Mazur Φραγµένοι τελεστές Απόσταση Baach-Mazur Γεωµετρική ερµηνεία της απόστασης Baach-Mazur Η απόσταση Baach-Mazur σε χώρους πεπερασµένης διάστασης Το Λήµµα του Auerbach Το Baach-Mazur compactum Ελλειψοειδές µέγιστου όγκου ενός κυρτού σώµατος Το ϑεώρηµα του Joh: στοιχειώδης απόδειξη Σηµεία επαφής και η αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης Λήµµατα Dvoretzky-Rogers Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 7 Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα 7. Απόσταση Baach-Mazur 7.. Φραγµένοι τελεστές Εστω X και Y δύο χώροι µε νόρµα. Ενας γραµµικός τελεστής T : X Y λέγεται ϕραγµένος αν υπάρχει σταθερά c > 0 ώστε (7..) T x c x για κάθε x X. Αν ο T είναι ϕραγµένος, ορίζουµε τη νόρµα T του T σαν τη µικρότερη σταθερά c για την οποία η (7..) ισχύει για κάθε x X. Τότε, (7..2) T = sup x0 T x x = sup T x = sup T x. x x = Εστω B(X,Y ) το σύνολο των ϕραγµένων τελεστών T : X Y. Ο B(X,Y ) είναι γραµµικός χώρος, και η : B(X,Y ) R µε T T είναι νόρµα. Ο δυϊκός χώρος του X είναι ο γραµµικός χώρος X των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών x : X R. ηλαδή, X = B(X,R). Ο T : X Y λέγεται ισοµορφισµός αν είναι γραµµικός, ένα προς ένα και επί τελεστής, και οι T : X Y, T : Y X είναι ϕραγµένοι τελεστές. Ο T : X Y λέγεται ισοµετρικός ισοµορφισµός αν είναι ισοµορφισµός και, επιπλέον, για κάθε x X ισχύει T x = x. ύο χώροι X και Y µε νόρµα λέγονται ισοµετρικά ισόµορφοι αν υπάρχει ισοµετρικός ισοµορφισµός T : X Y. Από τη σκοπιά της Συναρτησιακής Ανάλυσης, δύο ισοµετρικά ισόµορφοι χώροι ταυτίζονται: έχουν την ίδια γραµµική και µετρική δοµή. Πρόταση 7... Εστω X ένας -διάστατος χώρος µε νόρµα. Μπορούµε να ορίσουµε νόρµα στον R έτσι ώστε ο X να είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον (R, ). Απόδειξη. Εστω η νόρµα του X, και έστω {x,..., x } µία ϐάση του. Ορίζουµε T : X R, µε (7..3) T (t x + + t x ) = t e + + t e, όπου {e,...,e } η συνήθης ϐάση του R. Ο T είναι γραµµικός ισοµορφισµός. Ορίζουµε στον R, ϑέτοντας (7..4) t e + + t e = t x + + t x. Η είναι νόρµα στον R, και (7..5) T x = x για κάθε x X. Αρα, ο T είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός µεταξύ των X και (R, ). Μπορούµε λοιπόν πάντα να ταυτίζουµε έναν -διάστατο χώρο µε νόρµα µε έναν χώρο της µορφής X = (R, ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 7..2 Απόσταση Baach-Mazur Η έννοια της απόστασης Baach-Mazur εµφανίζεται στο ϐιβλίο του Baach «Théorie des opératios liéaires» (932). Εστω X και Y δύο χώροι µε νόρµα, άπειρης ενδεχοµένως διάστασης, και ας υποθέσουµε ότι ο X είναι ισόµορφος µε τον Y (γράφουµε X Y ). Ορίζουµε την απόσταση Baach-Mazur των X και Y ως εξής: (7..6) d(x,y ) := if{ T T T : X Y ισοµορφισµός}. Αν οι X και Y δεν είναι ισόµορφοι (X Y ), ϑέτουµε d(x,y ) = +. Οι ϐασικές ιδιότητες της απόστασης Baach-Mazur περιγράφονται στην επόµενη Πρόταση. Πρόταση Εστω X,Y, Z χώροι µε νόρµα. Τότε, (i) d(x,y ). (ii) d(x,y ) = d(y, X). (iii) d(x,y ) d(x, Z) d(z,y ). (iv) Αν οι X και Y είναι αυτοπαθείς, τότε d(x,y ) = d(x,y ). Απόδειξη. (i) Εστω I X : X X ο ταυτοτικός τελεστής. Για κάθε ισοµορφισµό T : X Y ισχύει (7..7) = I X = T T T T, εποµένως, (7..8) d(x,y ). (ii) Είναι προφανές ότι ο T : X Y είναι ισοµορφισµός αν και µόνο αν ο T : Y X είναι ισοµορφισµός, και (T ) = T. Από τον ορισµό της απόστασης ϐλέπουµε ότι d(x,y ) = d(y, X). (iii) Εστω T : X Z και T : Z Y ισοµορφισµοί. Τότε, ο T = T T : X Y είναι ισοµορφισµός, άρα d(x,y ) T T = T T (T ) (T ) T (T ) T (T ). Αφού το παραπάνω ισχύει για κάθε T, T, έπεται ότι (7..9) d(x,y ) d(x, Z) d(z,y ). (iv) Εστω T : X Y ισοµορφισµός. Τότε, ο συζυγής τελεστής T : Y X του T, που ορίζεται από την T (y ) = y T για κάθε y Y, είναι ισοµορφισµός και ικανοποιεί τις T = T, και (T ) = (T ). Αρα, (7..0) T T = T (T ) d(x,y ), και αφού ο T ήταν τυχών, συµπεραίνουµε ότι (7..) d(x,y ) d(x,y ). Ας υποθέσουµε τώρα ότι οι X και Y είναι αυτοπαθείς. Από το προηγούµενο κοµµάτι της απόδειξης έχουµε d(x,y ) d(x,y ). Οµως, ο X είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον X, δηλαδή d(x, X ) =. Οµοια, d(y,y ) =. Επεται ότι d(x,y ) d(x, X )d(x,y )d(y,y ) = d(x,y ) d(x,y ), και συνδυάζοντας µε την προηγούµενη ανισότητα ϐλέπουµε ότι d(x,y ) = d(x,y ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 7..3 Γεωµετρική ερµηνεία της απόστασης Baach-Mazur Η γεωµετρική ερµηνεία της απόστασης Baach-Mazur δίνεται στην επόµενη Πρόταση: η απόσταση δύο χώρων X και Y είναι µικρή αν υπάρχει γραµµικός µετασχηµατισµός της µοναδιαίας µπάλας του X που «µοιάζει» µε τη µοναδιαία µπάλα του Y (περιέχει την B Y και περιέχεται σε «µικρό» πολλαπλάσιο της B Y ). Πρόταση Εστω X και Y ισόµορφοι χώροι µε νόρµα. Τότε, (7..2) d(x,y ) = if{d > 0 T : X Y : B Y T (B X ) d B Y }. Απόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι d(x,y ) < d < +. Από τον ορισµό της απόστασης, υπάρχει ισοµορφισµός T : X Y µε T T < d. Από τον ορισµό της νόρµας τελεστή ϐλέπουµε ότι: (α) Για κάθε x B X έχουµε T x Y T x X T, άρα (7..3) T (B X ) T B Y. (ϐ) Για κάθε y B Y έχουµε T y X T y Y T, άρα (7..4) T (B Y ) T B X, ή, ισοδύναµα, (7..5) B Y T T (B X ). Αν ϑέσουµε S = T T, τότε, από το (α) έχουµε S(B X ) T T B Y, και από το (ϐ) έχουµε B Y S(B X ). ηλαδή, υπάρχει S : X Y που ικανοποιεί την (7..6) B Y S(B X ) d B Y. Αντίστροφα, αν B Y S(B X ) db Y για κάποιον S : X Y, τότε S d και S. Αρα, d(x,y ) S S d Η απόσταση Baach-Mazur σε χώρους πεπερασµένης διάστασης Υποθέτουµε τώρα ότι dim X = dimy =. Ξέρουµε ότι ο X είναι ισόµορφος µε τον Y. Σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση Baach-Mazur των X και Y «πιάνεται» για κάποιον ισοµορφισµό T : X Y : Πρόταση Αν dim X = dimy =, τότε (7..7) d(x,y ) = mi{ T T T : X Y ισοµορφισµός}. Απόδειξη. Από τον ορισµό του if, υπάρχει ακολουθία ισοµορφισµών S m : X Y ώστε (7..8) S m S m d(x,y ). Θεωρούµε την ακολουθία T m = S m S m. Τότε, T m = και (7..9) T m = T m T m = S m S m d(x,y ). Λόγω της συµπάγειας της µοναδιαίας µπάλας του B(Y, X), µπορούµε να ϐρούµε υπακολουθία Tk m S, όπου S B(Y, X) µε S =. Η { T km } είναι ϕραγµένη, άρα υπάρχει υπακολουθία T λkm T, όπου T B(X,Y ). Επίσης, I Y = T λkm Tλ km T S Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 και I X = T λ km T λkm S T, άρα οι S, T είναι ισοµορφισµοί και S = T. Τέλος, (7..20) T S = lim m T λ km T λ km = d(x,y ). ηλαδή, T T = d(x,y ). Πόρισµα Αν dim X = dimy = τότε, d(x,y ) = αν και µόνο αν ο X είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον Y. Απόδειξη: Εστω ότι d(x,y ) =. Από την Πρόταση 7..4, υπάρχει ισοµορφισµός T : X Y ώστε T T = d(x,y ) =. Αρα, T = / T. Εστω x X. Τότε, x = T T x T T x = T x T T x = x. T Αρα, ο T = T/ T : X Y είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός. Το αντίστροφο είναι προφανές: αν ο T : X Y είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός, τότε d(x,y ) T T =. 7.2 Το Λήµµα του Auerbach Ορισµός 7.2. (διορθογώνιο σύστηµα). Εστω X χώρος µε νόρµα. Ονοµάζουµε διορθογώνιο σύστηµα στον X µία ακολουθία Ϲευγαριών (x i, x i ) i I X X που ικανοποιεί τις (7.2.) x i (x j) = δ i j για κάθε i, j I. Αν, επιπλέον, ικανοποιούνται οι (7.2.2) x i X = xi X = για κάθε i I, τότε το σύστηµα λέγεται νορµαρισµένο. Το λήµµα του Auerbach εξασφαλίζει την ύπαρξη νορµαρισµένου διορθογώνιου συστήµατος σε κάθε -διάστατο χώρο µε νόρµα. Θεώρηµα (λήµµα του Auerbach). Εστω X χώρος µε νόρµα διάστασης. Μπορούµε να ϐρούµε διανύσµατα x,..., x X και x,..., x X που ικανοποιούν τις x i =, x i = και x i (x j) = δ i j. Απόδειξη. Εστω e,e 2,...,e µία ϐάση του X. Κάθε y X γράφεται µονοσήµαντα στη µορφή y = i= y i e i. Για κάθε επιλογή διανυσµάτων y,..., y X, γράφουµε (7.2.3) y k = y ki e i, (k =,...,). i= Τότε, τα y,..., y είναι γραµµικά ανεξάρτητα αν και µόνο αν (7.2.4) det(y ki ) i,k= > 0. Θεωρούµε τη µοναδιαία σφαίρα S X = {x X : x = }, ορίζουµε F : X X R µε (7.2.5) F(y, y 2,..., y ) = det(y ki ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 και γράφουµε f για τον περιορισµό της F στο S X S X. Η f είναι -συνεχής: Αν y (m) k y k 0, τότε η ισοδυναµία της µε την Ευκλείδεια νόρµα δείχνει ότι y (m) k S X, και (7.2.6) (y ki y (m) )e ki i c i= i= /2 y ki y (m) 2 ki για κάποια σταθερά c > 0 που εξαρτάται µόνο από τα e i, άρα y (m) ki y ki για κάθε i, k. Τότε, (7.2.7) f (y (m),..., y (m) ) = det(y (m) ) det(y ki ki ) = f (y,..., y m ). Επεται ότι η f παίρνει µέγιστη τιµή σε κάποια -άδα (x,..., x ) S X S X. Η f είναι περιττή ως προς κάθε y k, και προφανώς υπάρχουν γραµµικά ανεξάρτητες -άδες (y,..., y ) στο πεδίο ορισµού της. Αρα, στο σηµείο µεγίστου έχουµε (7.2.8) f (x,..., x ) > 0 και f (y,..., y ) f (x,..., x ) για κάθε y,..., y S X. Για i =,..., ορίζουµε (7.2.9) xi (x) := F(x,..., x i, x, x i+,..., x ). f (x,..., x ) Παρατηρούµε ότι ο παρονοµαστής είναι σταθερός και διάφορος του µηδενός, ενώ ο αριθµητής είναι ορίζουσα µε µεταβλητή τη στήλη του x (άρα, τα x i είναι γραµµικά συναρτησοειδή). Επίσης, (α) x i (x j) = δ i j, άρα x i x i (x i) =, και (ϐ) Αν x =, τότε (7.2.0) x i (x) = f (x,..., x i, x, x i+,..., x ) f (x,..., x ), άρα x i. Τα (α) και (ϐ) δίνουν το Ϲητούµενο. Με τη ϐοήθεια του Λήµµατος του Auerbach, µπορούµε να δώσουµε µία πρώτη εκτίµηση για την απόσταση Baach-Mazur µεταξύ ενός χώρου X διάστασης και του l. Θεώρηµα Για κάθε -διάστατο χώρο µε νόρµα X ισχύει η (7.2.) d(x,l ). Απόδειξη. Εχουµε δεί ότι κάθε -διάστατος χώρος µε νόρµα είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε χώρο της µορφής (R, ), µπορούµε λοιπόν να υποθέσουµε ότι X = (R, ). Από το Λήµµα του Auerbach, υπάρχουν x,..., x X και x,..., x X µε x i =, x i = και x i (x j) = δ i j. Από την τελευταία ιδιότητα έπεται (άσκηση) ότι τα x,..., x σχηµατίζουν ϐάση του R. Επίσης, για κάθε t,...,t R έχουµε (7.2.2) t i x i i= t i i= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 και για κάθε j ισχύει (7.2.3) συνεπώς, (7.2.4) t i x i i= x j t i x i = t j, i= t i x i max t j j i= t i. Ορίζουµε T : l X µε T (e i) = x i. Τότε, για κάθε y = t i e i l έχουµε (7.2.5) T (y) = t i x i i= και (7.2.6) T (y) = t i x i i= ηλαδή, για κάθε y l έχουµε (7.2.7) i= i= t i = y l i= t i = y l. i= y l T y y l. Από την πρώτη ανισότητα ϐλέπουµε ότι T, ενώ από τη δεύτερη ότι T. Αυτό αποδεικνύει το Ϲητούµενο. Το Θεώρηµα και η πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα για την απόσταση Baach-Mazur δίνουν ένα άνω ϕράγµα για την απόσταση οποιωνδήποτε -διάστατων χώρων X και Y. Πόρισµα Αν X και Y είναι -διάστατοι χώροι µε νόρµα, τότε d(x,y ) 2. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι d(x,y ) d(x,l ) d(l,y ) = Το Baach-Mazur compactum Το γεγονός ότι ο λογάριθµος της απόστασης Baach-Mazur µοιάζει πολύ µε µετρική, οδηγεί στην ιδέα να ορίσουµε τον «µετρικό χώρο των -διάστατων χώρων». Εστω N και B η κλάση όλων των -διάστατων χώρων µε νόρµα. Ορίζουµε µία σχέση ισοδυναµίας στην B, ϑέτοντας (7.3.) X Y d(x,y ) =, δηλαδή αν ο X είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον Y. Συµβολίζουµε (πάλι) µε B το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας ως προς την, και ορίζουµε τη µετρική ρ που επάγεται από την logd στο B B : Αν [X],[Y] είναι οι κλάσεις ισοδυναµίας των X και Y, ϑέτουµε (7.3.2) ρ([x],[y]) = log 0 d(x,y ). Η ρ είναι καλά ορισµένη και ικανοποιεί τα αξιώµατα της µετρικής. Ο µετρικός χώρος (B, ρ) ονοµάζεται Baach-Mazur compactum. Στη συνέχεια ταυτίζουµε την [X] µε τον X, γιατί σε όλα τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν, ισοµετρικά ισόµορφοι χώροι ουσιαστικά συµπίπτουν. Ο όρος compactum δικαιολογείται από την επόµενη πρόταση: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Πρόταση Το Baach-Mazur compactum (B, ρ) είναι συµπαγής µετρικός χώρος. Απόδειξη. Το Λήµµα του Auerbach εξασφαλίζει ότι για κάθε [X] B υπάρχει X = (R, ) [X] ώστε (7.3.3) x l x x l για κάθε x R. Γράφουµε Φ για το σύνολο όλων των νορµών στον R που ικανοποιούν την (7.3.3) και ϑέτουµε (7.3.4) A = { f = F Sl F Φ }, το σύνολο των περιορισµών των F Φ στη µοναδιαία σφαίρα του l. Σε κάθε f A, αντιστοιχεί ένας χώρος (R, F) που ανήκει σε κάποια κλάση [X] F B. Θεωρούµε το A σαν υποσύνολο του C(S l ) µε τη συνήθη µετρική f g. Θα δείξουµε ότι το A είναι ισοσυνεχές, οµοιόµορφα ϕραγµένο και κλειστό υποσύνολο του C(S l ). (α) Το A είναι ισοσυνεχές: Εστω ε > 0. Παίρνουµε δ = ε. Αν x, y S l µε x y l < δ και f A, τότε f = Sl για κάποια Φ. Αρα, (7.3.5) f (x) f (y) = x y x y x y l < δ = ε. (ϐ) Το A είναι οµοιόµορφα ϕραγµένο: Εστω f A. Τότε, υπάρχει νόρµα l ώστε f = Sl, άρα (7.3.6) max x S l f (x) = max x S l x max x S l x l =. Εύκολα ελέγχουµε ότι το A είναι κλειστό, άρα το Θεώρηµα Ascoli µας εξασφαλίζει ότι το A είναι συµπαγές. Ορίζουµε τώρα µία απεικόνιση ϕ : A B ως εξής: αν f A, τότε υπάρχει f στον R ώστε f Sl = f και l f l. Θέτουµε ϕ( f ) = [X f ], όπου X f = (R, f ). Παρατηρούµε ότι η ϕ είναι επί. Αφού ο A είναι συµπαγής µετρικός χώρος µε τη µετρική που επάγεται από την, αν δείξουµε ότι η ϕ είναι συνεχής, ϑα συµπεράνουµε ότι ο ϕ(a ) = B είναι συµπαγής µετρικός χώρος. Για το σκοπό αυτό, υποθέτουµε ότι f m, f A και ότι f m f οµοιόµορφα στην S l. δείξουµε ότι X f m X f ως προς την απόσταση Baach-Mazur. Θέλουµε να Θεωρούµε τον ταυτοτικό τελεστή I m : (R, m ) (R, ) και τυχόν ε > 0. Αφού η m συγκλίνει οµοιόµορφα στην στην S l, υπάρχει m 0 (ε) N ώστε, για κάθε m m 0 και κάθε x S l, x m x < ε. Αρα, (7.3.7) x x m + ε x m + ε x m = ( + ε) x m και (7.3.8) x m x + ε ( + ε) x. Αν x R, τότε (7.3.9) x x l S l, οπότε για κάθε m m 0 έχουµε x ( + ε) x x l m = x ( + ε) x m. x l Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0

11 ηλαδή, I m + ε. Οµοια, x m ( + ε) x, άρα (7.3.0) I m ( + ε). Επεται ότι (7.3.) d( m, ) I m I m ( + ε) 2 για κάθε m m 0. Αρα, (7.3.2) d( m, ), όταν το m. 7.4 Ελλειψοειδές µέγιστου όγκου ενός κυρτού σώµατος Ορισµός Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώµα της µορφής (7.4.) E = x R : x,v i 2 α 2 i= i, όπου {v,...,v } είναι ορθοκανονική ϐάση του R και α,...,α είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί (οι διευθύνσεις και τα µήκη των ηµιαξόνων του E αντίστοιχα). Πρόταση Ενα κυρτό σώµα E στον R είναι ελλειψοειδές αν και µόνο αν υπάρχει αντιστρέψιµος γραµµικός µετασχηµατισµός T (T GL()) ώστε E = T (B 2 ). Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι το E είναι ελλειψοειδές, δηλαδή ορίζεται από την (7.4.) για κάποια ορ- ϑοκανονική ϐάση {v,...,v } του R και κάποιους α,...,α > 0. Εστω T ο γραµµικός µετασχηµατισµός του R που ορίζεται από τις T (v i ) = α i v i, i =,...,. Ο T είναι προφανώς αντιστρέψιµος, και x T (B2 ) αν και µόνο αν υπάρχει y = t j v j B2 µε x = T y. Τότε όµως, η ισότητα j= (7.4.2) x,v i 2 α 2 i= i = j= t j α j v j,v i 2 α 2 i= i = i= t 2 i δείχνει ότι x T (B 2 ) αν και µόνο αν x E, δηλαδή E = T (B 2 ). Αντίστροφα, έστω T GL() και E = T (B 2 ). Αν γράψουµε S = T, έχουµε (7.4.3) x 2 E = x 2 S (B 2 ) = Sx 2 2 = Sx, Sx = S Sx, x. Ο S S είναι συµµετρικός και ϑετικά ορισµένος, άρα γράφεται στη µορφή U DU όπου D διαγώνιος πίνακας µε διαγώνια στοιχεία α 2,...,α 2 (όπου α i ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί) και ο U είναι ορθογώνιος πίνακας. Θεωρούµε το διαγώνιο πίνακα D = D µε διαγώνια στοιχεία τα α,...,α. Αφού ο U είναι ορθογώνιος, έχουµε S S = A 2, όπου A = U D U. ηλαδή, (7.4.4) x E 2 = A2 x, x = Ax 2 2 = D U x 2 2 = U x,e i 2 α 2 i= i = x,v i 2, i= α 2 i Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 όπου τα v i = U e i αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του R. Επεται ότι x E αν και µόνο αν ικανοποιείται η (7.4.) για τα συγκεκριµένα v i και α i, δηλαδή το E είναι ελλειψοειδές. Παρατήρηση. Από την απόδειξη είναι ϕανερό ότι ο όγκος του E ισούται µε (7.4.5) E = B2 α i. i= Θεωρούµε τώρα ένα συµµετρικό κυρτό σώµα K στον R και την οικογένεια E(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχονται στο K. Ο F. Joh (948) έδειξε ότι υπάρχει µοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχεται στο K και έχει τον µέγιστο δυνατό όγκο. Θα λέµε ότι το E είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K. Θα δούµε ταυτόχρονα ότι υπάρχει µοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχει το K και έχει ελάχιστο όγκο: Θεώρηµα Εστω K συµµετρικό κυρτό σώµα στον R. Υπάρχει µοναδικό ελλειψοειδές E K µε ελάχιστο όγκο. Απόδειξη. Θεωρούµε την οικογένεια F (K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχουν το K και ορίζουµε (7.4.6) V = if{ E : E F (K)} > 0. Υπάρχει ακολουθία T m GL() για την οποία έχουµε E m = T m (B 2 ) K και (7.4.7) E m = B 2 det(t m ) V. Αφού T m : X K l 2 για κάθε m N, µπορούµε να ϐρούµε υπακολουθία {T k m } και S L(R ) µε T km S. Τότε, (7.4.8) det(s) = B2 /V > 0, άρα S GL(). Ορίζουµε E = S (B2 ). Τότε, (7.4.9) S : X K l 2 = lim m T k m : X K l 2, άρα E K. Αφού E = V, το E είναι ένα ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει τον ελάχιστο δυνατό όγκο. είχνουµε τώρα ότι υπάρχει ένα µόνο ελλειψοειδές µε αυτή την ιδιότητα. Εστω ότι τα E και E 2 περιέχουν το K και έχουν ελάχιστο όγκο. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι E = B 2 είναι η Ευκλείδεια µοναδιαία µπάλα, και (7.4.0) E 2 = x R : x,v i 2 /αi 2. i= Θεωρούµε ένα τρίτο ελλειψοειδές, το (7.4.) F = x R : i= ( + α 2 i ) x,v i 2. 2 Αφού F E E 2 K, έχουµε (7.4.2) F E = E 2 = B 2, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

13 άρα α α =. Παίρνοντας υπόψιν την (7.4.5), γράφουµε την (7.4.2) στη µορφή = i= 2 α i = = i= i= 2 + α 2 i 2α 2 i + αi 2 2α i + αi 2. Οµως, 2α i + αi 2 για κάθε i =,..., µε ισότητα µόνο αν α i =. Αρα, α i =, i =,...,. Επεται ότι E = E 2. Το Θεώρηµα και ένα απλό επιχείρηµα δυϊσµού εξασφαλίζουν την ύπαρξη και τη µοναδικότητα του ελλειψοειδούς µέγιστου όγκου του K. Θεώρηµα Εστω K συµµετρικό κυρτό σώµα στον R. Υπάρχει µοναδικό ελλειψοειδές E E(K) µε µέγιστο όγκο. Απόδειξη. Από το Θεώρηµα υπάρχει µοναδικό ελλειψοειδές F ελάχιστου όγκου του K. Θεωρούµε το E = F. Τότε E K, το E είναι ελλειψοειδές (άσκηση) και αν E είναι ένα άλλο ελλειψοειδές µε E K, τότε E K, άρα E F. Τότε, (7.4.3) E = B 2 2 E B 2 2 F i= = E. Ισότητα µπορεί να ισχύει µόνο αν E = F, δηλαδή E = E. Αρα, το E είναι το µοναδικό ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K. 7.5 Το θεώρηµα του Joh: στοιχειώδης απόδειξη Ο F. Joh (948) έδειξε ότι αν η µοναδιαία Ευκλείδεια µπάλα B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το συµµετρικό κυρτό σώµα K στον R, τότε B2 K. Αµεση συνέπεια αυτού του ισχυρισµού είναι ένα άνω ϕράγµα για την απόσταση Baach-Mazur τυχόντος -διάστατου χώρου µε νόρµα από τον l2. Θεώρηµα Για κάθε -διάστατο χώρο µε νόρµα X έχουµε d(x,l 2 ). Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι X = (R, ). Θεωρούµε τη µοναδιαία µπάλα B X του X και το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου E της B X. Υπάρχει T GL() ώστε E = T (B 2 ). Τότε, T (B X ) B 2 και η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του T (B X ). Αν δεχτούµε το ϑεώρηµα του Joh, τότε (7.5.) Επεται ότι B 2 T (B X ) B 2. (7.5.2) T : X l 2 T : l 2 X =, άρα, d(x,l 2 ). Το Θεώρηµα 7.5. και η πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα για την d µας δίνουν ένα άνω ϕράγµα για τη διάµετρο του Baach-Mazur compactum. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 Θεώρηµα Αν X και Y είναι δύο -διάστατοι χώροι µε νόρµα, τότε d(x,y ). ίνουµε τώρα µία στοιχειώδη απόδειξη του Θεωρήµατος του Joh: Θεώρηµα Εστω K συµµετρικό κυρτό σώµα στον R. Υποθέτουµε ότι η Ευκλείδεια µοναδιαία µπάλα B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K. Τότε, (7.5.3) B 2 K. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι το συµπέρασµα δεν ισχύει. Τότε, υπάρχει x στο σύνορο του K το οποίο είναι εσωτερικό σηµείο της (/ )B2. Αλλάζοντας συντεταγµένες αν χρειαστεί, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το εφαπτόµενο υπερεπίπεδο του K στο x είναι παράλληλο µε το {x : x = 0}. ηλαδή, { (7.5.4) K P = x R : x }, c όπου c >. Για κάθε a, b > 0 ορίζουµε το ελλειψοειδές (7.5.5) E a,b = x R : a 2 x 2 + b2 xi 2. i=2 Ισχυρισµός. Αν a2 b 2 c 2 + b 2, τότε K E a,b. Πράγµατι: αν y K, τότε y P B 2. Αρα, (7.5.6) y c και yi 2. i= Επεται ότι a 2 y 2 + b2 yi 2 = (a 2 b 2 )y 2 + b2 i=2 a2 b 2 c 2 + b 2. i= y 2 i ηλαδή, y E a,b. Ο όγκος του E a,b ισούται µε E a,b = B2 /(ab ). Αν λοιπόν ab >, τότε E a,b < B2. Με την υπόθεση ότι c >, ϑα δείξουµε ότι υπάρχουν a, b > 0 που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις (7.5.7) ab > και a 2 b 2 c 2 + b 2. Αυτό είναι άτοπο, γιατί ϑα έχουµε ϐρεί ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει όγκο γνήσια µικρότερο από τον όγκο της B 2. Για κάθε ε (0,/2), ϑέτουµε b ε = ε και a ε = ( + ε + 2ε 2 ). Τότε, (7.5.8) a ε b ε = [( ε)( + ε + 2ε 2 )] = ( + ε 2 2ε 3 ) >. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Επίσης, aε 2 b 2 ε c 2 + b 2 ε = ( + ε + 2ε2 ) 2( ) c 2 + ( c ) 2 ( ε) 2 = c 2 [ + 2( )ε + O(ε2 )] + ( c ) 2 ( 2ε + ε 2 ) ( ) = + 2ε c 2 + O(ε 2 ). Αφού (/c 2 ) < 0, είναι ϕανερό ότι η ποσότητα αυτή γίνεται µικρότερη από αν αφήσουµε το ε 0 +. Για µικρό λοιπόν ε > 0, το ελλειψοειδές E aε,b ε µας οδηγεί σε άτοπο. 7.6 Σηµεία επαφής και η αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης Υποθέτουµε ότι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K είναι η B2. Το u R λέγεται σηµείο επαφής των K και B2 αν u 2 = u K =, δηλαδή αν x bd(k) bd(b2 ). Η «πλήρης έκδοση» του ϑεωρήµατος του Joh περιγράφει την κατανοµή των σηµείων επαφής πάνω στη µοναδιαία σφαίρα S. Θεώρηµα Εστω K συµµετρικό κυρτό σώµα στον R. Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K, τότε υπάρχουν λ,..., λ m > 0 και σηµεία επαφής u,...,u m των K και B2 ώστε (7.6.) x = λ j x,u j u j j= για κάθε x R. Παρατηρήσεις. Το Θεώρηµα 7.6. λέει ότι η ταυτοτική απεικόνιση I του R αναπαρίσταται στη µορφή (7.6.2) I = λ j u j u j, όπου u j u j είναι η προβολή στην διεύθυνση του u j : (u j u j )(x) = x,u j u j. Από την (7.6.) έπεται ότι, για κάθε x R, (7.6.3) x 2 2 = x, x = λ j x,u j 2. j= Επίσης, παίρνοντας x = e i, i =,...,, όπου {e,...,e } η συνήθης ορθοκανονική ϐάση του R, έχουµε i= i= j= e i 2 2 = λ j e i,u j 2 = = j= λ j u j 2 2 = λ j. j= j= λ j j= i= e i,u j 2 ηλαδή, (7.6.4) λ j =. j= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Απόδειξη του Θεωρήµατος. Από την (7.6.4), αν υπάρχει η Ϲητούµενη αναπαράσταση ϑα πρέπει να ισχύει (λ j /) =. Αυτό λοιπόν που χρειάζεται να δείξουµε είναι ότι ο I/ γράφεται σαν κυρτός συνδυασµός προβολών της µορφής u u, όπου u σηµείο επαφής των K και B 2. Ορίζουµε (7.6.5) T = {u u : u 2 = u K = }, και ϑα δείξουµε ότι I/ cov(t). Παρατηρήστε ότι το cov(t) είναι κλειστό υποσύνολο του R 2 και ότι T : αν η B2 δεν ακουµπούσε το σύνορο του K, ϑα µπορούσαµε να ϐρούµε r > ώστε rb 2 K, οπότε η B2 δεν ϑα ήταν το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K. Εστω ότι I/ cov(t). Από διαχωριστικό ϑεώρηµα, µπορύµε να ϐρούµε ϕ R 2 και r R ώστε (7.6.6) ϕ, I/ < r ϕ, A για κάθε A cov(t). Ειδικότερα, για κάθε σηµείο επαφής u των K και B 2 έχουµε (7.6.7) ϕ, I/ < r ϕ,u u. Οι πίνακες I/ και u u είναι συµµετρικοί, οπότε παίρνοντας τον ψ = (ϕ + ϕ )/2 αντί του ϕ έχουµε ότι ο ψ είναι συµµετρικός και εξακολουθεί να ικανοποιεί την (7.6.8) ψ, I/ < r ψ,u u για κάθε u u T. Εστω β = tr(ψ)/. Αφού tr(i/) = και tr(u u) = u 2 i =, ϐλέπουµε ότι ψ βi, I/ = ψ, I/ β = 0 < r β ψ βi,u u για κάθε u u T. Παίρνοντας B = ψ βi και s = r β, έχουµε: Λήµµα Αν I/ cov(t), τότε υπάρχουν s > 0 και B συµµετρικός µε tr(b) = 0 µε την ιδιότητα (7.6.9) B,u u s για κάθε u u T. Για δ > 0 αρκετά µικρό, ϑεωρούµε το ελλειψοειδές (7.6.0) E δ = {x R : (I + δb)x, x }. [Παρατηρήστε ότι αν M = max{ Bx, y : x 2 = y 2 = } και 0 < δ < /M, τότε ο I + δb είναι συµµετρικός και ϑετικά ορισµένος, άρα έχει συµµετρική ϑετική τετραγωνική ϱίζα S δ. Αφού E δ = Sδ (B 2 ), το E δ είναι ελλειψοειδές.] Ορισµός (ακτινική συνάρτηση). Για κάθε θ S ϑέτουµε (7.6.) ρ K (θ) = max{t > 0 : tθ K}. Η ρ K : S R + λέγεται ακτινική συνάρτηση του K: «µετράει» την απόσταση του συνόρου του K από το 0 στη διεύθυνση του θ. Αφού ρ K (θ)θ bd(k), έχουµε (7.6.2) ρ K (θ) θ K =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 Θα δείξουµε ότι E δ K αν το δ είναι µικρό, δείχνοντας ότι ρ Eδ (v) ρ K (v) για κάθε v S : η Περίπτωση: Εστω U το σύνολο των σηµείων επαφής των K και B 2. Αν u U και v S µε u v 2 < s/2m, τότε από το Λήµµα 7.6.2, (7.6.3) (I + δb)u,u + δs, ενώ v + δbv,v u + δbu,u = δ Bv,v Bu,u δ Bv,v u + δ Bu,u v 2Mδ u v 2 < δs. Αρα, αν η απόσταση του v S από το U είναι µικρότερη από s/2m, τότε (7.6.4) (I + δb)v,v > + δs δs =, δηλαδή v E δ. Οµως, v B 2 K για κάθε v S. Αρα, σε αυτή την περίπτωση έχουµε (7.6.5) ρ Eδ (v) < ρ K (v). 2η Περίπτωση: Εστω V το σύνολο των v S για τα οποία d(v,u) s/2m. Τότε, το V είναι συµπαγές και r = max{ v K : v V } <. Θέτουµε λ = mi{ Bv,v : v V }. Αν 0 < δ < ( r 2 )/ λ, τότε (7.6.6) (I + δb)(v/ v K ),v/ v K = + δ Bv,v v 2 K + δλ r 2 >, δηλαδή v/ v K E δ. Αυτό σηµαίνει ότι ρ Eδ (v) v K Συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουµε στο εξής: = ρ K (v). Λήµµα Υπάρχει δ 0 > 0 τέτοιο ώστε E δ K για κάθε 0 < δ < δ 0. Μπορούµε τώρα να καταλήξουµε σε άτοπο: Παίρνουµε δ > 0 αρκετά µικρό ώστε ο I + δb να είναι ϑετικά ορισµένος και το ελλειψοειδές E δ να περιέχεται στο K. Αφού η B2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K, έχουµε E δ B2. Οµως, (7.6.7) E δ = Sδ (B 2 ) = B 2 / det(i + δb). Αρα, det(i + δb). Από την άλλη πλευρά, η ανισότητα αριθµητικού-γεωµετρικού µέσου µας δίνει (7.6.8) [det(i + δb)] / tr(i + δb) = + δ tr(b) αφού tr(b) = 0. Για να ισχύουν τα παραπάνω, πρέπει να έχουµε ισότητα στην ανισότητα αριθµητικούγεωµετρικού µέσου. Τότε όµως, όλες οι ιδιοτιµές του I + δb είναι ίσες, δηλαδή I + δb = µi. Επεται ότι ο B είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα, και αφού tr(b) = 0 παίρνουµε B = 0. Αυτό είναι άτοπο, γιατί από το Λήµµα έχουµε Bu,u s > 0, u U. Συνεπώς, I/ cov(t) και η απόδειξη είναι πλήρης. =, Μπορούµε τώρα να δώσουµε µία δεύτερη απόδειξη για το ϑεώρηµα του Joh: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Πρόταση Αν B 2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K, τότε K B 2. Απόδειξη: Θεωρούµε την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης (7.6.9) x = λ j x,u j u j j= του Θεωρήµατος Αφού u j S, έχουµε (7.6.20) = u j,u j u j K u j K = u j K για κάθε j =,...,m. Από την άλλη πλευρά, σε κάθε u j τα K και B2 έχουν το ίδιο εφαπτόµενο υπερεπίπεδο µε κάθετο διάνυσµα το u j (για τη µπάλα, το εφαπτόµενο υπερεπίπεδο σε κάθε σηµείο u S έχει κάθετο διάνυσµα το u). Εποµένως, για κάθε x K έχουµε x,u j, και λόγω συµµετρίας του K, (7.6.2) x,u j για κάθε x K. ηλαδή, (7.6.22) u j K = u j K = u j 2 = για κάθε j =,...,m. Εστω τώρα x K. Από τις (7.6.3), (7.6.4) και (7.6.2) παίρνουµε (7.6.23) x 2 2 = λ j x,u j 2 j= λ j =. j= ηλαδή, x 2. Αρα, B 2 K B 2. Παρατήρηση Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K, τότε η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Επίσης, η (7.6.22) δείχνει ότι κάθε σηµείο επαφής των K και B2 είναι σηµείο επαφής των K και B2. Αρα, αλλάζοντας τους ϱόλους των K και K, ϐλέπουµε ότι η αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης µέσω σηµείων επαφής εξασφαλίζεται και στην περίπτωση του ελλειψοειδούς ελάχιστου όγκου. 7.7 Λήµµατα Dvoretzky-Rogers Σε αυτή την Παράγραφο υποθέτουµε ότι το συµµετρικό κυρτό σώµα K έχει σαν ελλειψοειδές µέγιστου ή ελάχιστου όγκου την Ευκλείδεια µοναδιαία µπάλα B2. Στην 7.6 αποδείξαµε το ϑεώρηµα του Joh για την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης: υπάρχουν σηµεία επαφής u,...,u m των K και B2, και ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί λ,..., λ m ώστε (7.7.) I = λ j u j u j. Συνέπειες της (7.7.) είναι οι εξής: για κάθε x R, (7.7.2) x 2 2 = λ j x,u j 2 j= j= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 και (7.7.3) λ j =. j= Χρησιµοποιώντας την (7.7.) µπορούµε να δείξουµε ότι υπάρχουν πολλά σηµεία επαφής ανάµεσα στο K και στην B 2. Πρόταση Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου ή µέγιστου όγκου του K, τότε για κάθε γραµµικό µετασχηµατισµό T του R υπάρχει σηµείο επαφής των K και B2 µε την ιδιότητα: (7.7.4) u,tu trt. Απόδειξη. Από την (7.7.) έχουµε (7.7.5) trt = T, I = λ j T,u j u j. j= Παίρνοντας υπόψιν και την λ j =, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει j m µε την ιδιότητα (7.7.6) u j,tu j = T,u j u j trt. Το συµπέρασµα προκύπτει αν πάρουµε u = u j. Οι Dvoretzky και Rogers έδειξαν ακριβή αποτελέσµατα γιά την κατανοµή των σηµείων επαφής του K µε την B2. Ολα τους εκφράζουν µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο την αρχή ότι υπάρχουν πολλές και «αρκετά ορθογώνιες» διευθύνσεις στις οποίες οι δύο νόρµες K και 2 συγκρίνονται καλά. Πρόταση Αν B2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K, υπάρχει ορθοκανονική ακολουθία y,..., y στον R µε την ιδιότητα (7.7.7) ( ) /2 i + y i K y i 2 = για κάθε i =,...,. Απόδειξη. Ορίζουµε τα y i επαγωγικά. Σαν y µπορούµε να πάρουµε οποιοδήποτε σηµείο επαφής των K και B 2. Ας υποθέσουµε ότι έχουν επιλεγεί τα y,..., y i. Θέτουµε F i = spa{y,..., y i }. Τότε, tr(p F i ) = i +, και από την Πρόταση 7.7. υπάρχει σηµείο επαφής u i ώστε (7.7.8) P F i u i 2 2 = u i, P F i u i i +. Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα έπεται ότι (7.7.9) P Fi u i K P Fi u i 2 (i )/. Ορίζουµε y i = P F i u i / P F i u i 2. Τότε, (7.7.0) = y i 2 y i K u i, y i = P F i u i 2 και το συµπέρασµα προκύπτει από την (7.7.8). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

20 Πόρισµα Υποθέτουµε ότι η B2 είναι το ελλειψοειδές µέγιστου όγκου του K. Αν k = [/2] +, µπορούµε να ϐρούµε ορθοκανονικά διανύσµατα y,..., y k ώστε (7.7.) για κάθε j =,..., k. 2 y j Το επόµενο λήµµα «τύπου Dvoretzky-Rogers» αποδείχθηκε από τους Szarek και Talagrad (988). Πρόταση Υποθέτουµε ότι η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Για κάθε k, µπορούµε να ϐρούµε σηµεία επαφής y,..., y k των K και B2, µε την εξής ιδιότητα: Αν j {,..., k} και F j = spa{y i : i j}, τότε (7.7.2) P F j (y j ) k + για κάθε j =,..., k. Απόδειξη. Εστω k. Υπάρχουν σηµεία επαφής u,...,u m των K και B 2, και λ,..., λ m > 0 ώστε (7.7.3) I = λ j u j u j. j= Από όλες τις k-άδες που µπορούµε να επιλέξουµε µέσα από το {u,...,u m }, επιλέγουµε εκείνα τα y = u i,..., y k = u ik για τα οποία µεγιστοποιείται ο k-διάστατος όγκος cov{±u i,...,±u ik }. Αν ϑέσουµε F j = spa{y i : i j}, τότε (7.7.4) P F j (y j ) 2 P F j (u i ) 2 για κάθε j =,..., k και i =,...,m. Οµως, από την Πρόταση 7.7., υπάρχει i m ώστε (7.7.5) P F j (u i ) 2 2 = u i, P F j (u i ) Αρα, tr(p F j ) = k +. (7.7.6) P F j (y j ) 2 = max i m P F j για κάθε j =,..., k. (u i ) 2 k + Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 20