Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Transcript

1 Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει το Μ, και ) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό r είναι µηδέν. r e, όπου r R και όα εκτός του πού ένα Εεύθερο έγεται το πρότυπο που έχει µια τουάχιστον βάση. ( εχόµαστε ότι το µηδενικό R-πρότυπο (0) είναι εεύθερο µε µία βάση το κενό σύνοο). Για παράδειγµα, το R είναι εεύθερο R-πρότυπο µε βάση το µονοσύνοο 2 Ÿ } είναι εεύθερο µε βάση { 1, 2} (γιατί;). Ÿ [ ] = { a + b 2 a, b r R Μια οικογένεια { 1. } Το Ÿ -πρότυπο στοιχείων του Μ καείται γραµµικά εξαρτηµένη αν υπάρχουν, όπου όα εκτός του πού ένα πεπερασµένο πήθος από τα r είναι µηδέν και τουάχιστον ένα γραµµικά ανεξάρτητη. ( e ) r δεν είναι µηδέν. ιαφορετικά θα έµε ότι η οικογένεια αυτή είναι Αποδεικνύεται (β. Άσκηση 1) ότι ότι οι ακόουθες προτάσεις είναι ισοδύνµαες. Η οικογένεια ) είναι µια βάση του Μ ( e Η οικογένεια ) παράγει το Μ και είναι γραµµικά ανεξάρτητη. ( e Πρόταση Ένα R-πρότυπο Μ είναι εεύθερο αν και µόνο αν είναι ισόµορφο µε ένα πρότυπο της µορφής R, όπου R = R για κάθε Λ. Απόδειξη. Έστω ότι το Μ είναι εεύθερο µε βάση { e Λ}. Κάθε στοιχείο m M γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή m = r e όπου όα τα r είναι µηδέν εκτός το πού ένα πεπερασµένο πήθος. Άρα ορίζεται µια απεικόνιση που είναι R-ισοµορφισµός. Αντίστροφα, το φ : M m ( r ) R R σύνοο { ε Λ}, όπου είναι η ακοουθία ε ε ( ε ) µ είναι εεύθερο γιατί µία βάση του είναι το = µε ε = 0 αν µ και = 1 αν = µ. µ ε µ

2 3.1.2 Πόρισµα Κάθε R-πρότυπο Μ είναι οµοµορφική εικόνα εεύθερου R-πρότυπου. Απόδειξη. Έστω Λ ένα σύνοο γεννητόρων Μ, για παράδειγµα Λ = Μ. Κατά τον προφανή τρόπο ορίζεται ένας R επιµορφισµός R M. Ξέρουµε ότι κάθε F-διανυσµατικός χώρος, F σώµα, είναι ένα εεύθερο F-πρότυπο. Όταν ο δακτύιος R δεν είναι σώµα, υπάρχουν πρότυπα που δεν είναι εεύθερα Για παράδειγµα, το πρότυπο ( m > m 1 ) δεν είναι εεύθερο. Μια άη διαφοροποίηση είναι ότι υποπρότυπο εεύθερου πρότυπου δεν είναι αναγκαστικά εεύθερο. Για παράδειγµα, το 4 -υποπρότυπο {[0], [2]} του 4 δεν είναι εεύθερο (γιατί;). Θα δούµε όµως παρακάτω, ότι αν ο R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών τότε κάθε υποπρότυπο εεύθερου πρότυπου πεπερασµένης τάξης είναι πάι εεύθερο. Ένα χρήσιµο αποτέεσµα για την απόδειξη του θεωρήµατος αυτού είναι το ακόουθο ήµµα Πρόταση Έστω f : M F ένας επιµορφισµός προτύπων. Αν το F είναι εεύθερο, τότε υπάρχει υποπρότυπο F του Μ τέτοιο ώστε M = ker f F Απόδειξη. Έστω { e} µια βάση του F. Αφού ο f είναι επιµορφισµός υπάρχουν m M, Λ, µε την ιδιότητα f ( m ) = e. Για αυτήν την επιογή ορίζουµε έναν R- οµοµορφισµό f : F M από τις σχέσεις f ( e ) = m. (Για να ορίσουµε έναν R οµοµορφισµό πάνω σ ένα εεύθερο R πρότυπο αρκεί να οριστεί η απεικόνιση πάνω σε µία βάση και να την επεκτείνουµε γραµµικά). Προφανώς Θέτουµε F = Im f. Παρατηρούµε ότι: 1) Ισχύει F F. Πράγµατι, από τη σχέση 2) Ισχύει ker f F = {0}. Πράγµατι, αν f f x x f x 3) Ισχύει ( ( )) = 0 = 0 ( ) = 0. M f F ( ) ( ) f f =1 F έπεται ότι η = ker +. Πράγµατι, αν m M m= m f f m + f f m f είναι 1-1. f f =1 F. f ( x) ker f, όπου x F, τότε έχουµε, τότε γράφοντας ( ) ( ) έχουµε αφενός m f f( m) ker f, αφού ( ) ( ) ( ) ( 0 ( ) = 0 f m f f m = f m f f f m = f m f m ( ) Im. f f m f και αφετέρου Θθα αποδείξουµε στη συνέχεια δύο σηµαντικά αποτεέσµατα. Το πρώτο έει ότι οποιεσδήποτε δύο βάσεις ενός εεύθερου R πρότυπου, όπου R µεταθετικός δακτύιος µε µονάδα, έχουν τον ίδιο πηθικό αριθµό. Αυτό δεν ισχύει γενικά για µη µεταθετικούς δακτυίους. Το δεύτερο αποτέεσµα µας πηροφορεί ότι υποπρότυπο εευθέρου προτύπου

3 πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι εεύθερο. Αυτό δεν ισχύει για γενικούς δακτυίους. Πρώτα όµως χρειαζόµαστε την έννοια του µεγίστα ιδεώδους. 3.2 Πρώτα και Μέγιστα Ιδεώδη Θυµίζουµε εδώ τα πέον βασικά περί πρώτων και µέγιστων ιδεωδών. Υποθέτουµε εδώ ότι ο R είναι µεταθετικός δακτύιος µε µοναδιαίο στοιχείο Ορισµός Ένα ιδεώδες Ρ του R καείται πρώτο αν () P R, και () αν a, b R µε ab P τότε a P ή b P Πρόταση Έστω Ι ιδεώδες του R. Τότε το Ι είναι πρώτο αν και µόνο αν ο δακτύιος πηίκο R I είναι περιοχή. Απόδειξη. Έστω Ι πρώτο. Τότε I R και R I 0. Έστω a, b R µε την ιδιότητα ( + I)( b + I) = 0. Τότε ab + I = I και άρα ab I. Συνεπώς a I ή b I δηαδή a R I ή a + I R I b I R I = 0 + = 0. Αντίστροφα, έστω R I ακέραια περιοχή. Τότε R I 0 και άρα I R. Έστω a, b R µε ab I. Τότε ab + I = 0 R I ( a + I)( b + I) = 0 R I a + I = 0 R I ή b I = 0 a I ή b I. + R I Ορισµός Ένα ιδεώδες Μ του R ονοµάζεται µέγιστο αν () M R, και () δεν υπάρχει ιδεώδες Ι του R µε την ιδιότητα M I R Πρόταση Έστω Ι ένα ιδεώδες του R. Τότε το Ι είναι µέγιστο αν και µόνο αν ο δακτύιος πηίκο R I είναι σώµα. Απόδειξη. Έστω ότι το Ι είναι µέγιστο. Τότε I R και R I 0. Έστω a + I R I µε + I 0. Θα δείξουµε ότι το a + I είναι αντιστρέψιµο. Εφόσον + I 0 ισχύει a R I a I. Το ιδεώδες ( a ) + I περιέχει γνήσια το Ι. Αφού το Ι είναι µέγιστο έχουµε ( a ) + I = R. Άρα για κάποια a R I r R και b I ισχύει ra + b = 1. Συνεπώς ( r + 1)( a + I) = ra + I = (1 b) + I = 1+ I και το r + I είναι αντιστρέψιµο. Αντίστροφα, έστω ότι ο R I είναι σώµα. Τότε R I 0 και άρα I R. Έστω J ιδεώδες µε I J R. Θα δείξουµε ότι J = R, οπότε το Ι είναι µέγιστο. Υπάρχει a J, a I. Άρα + I 0 και, αφού το R I είναι σώµα, a R I ( a + I)( b + I) = 1+ I για κάποιο b R. Άρα ab 1 I. Εφόσον I J και a J συµπεραίνουµε ότι 1 J, δηαδή J = R.

4 3.2.5 Πόρισµα Κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο. Απόδειξη. Άµεση από τις Προτάσεις και Για παράδειγµα, το ιδεώδες (x) του Ÿ [x] είναι πρώτο, γιατί Ÿ [ x]( x) Ÿ που είναι περιοχή, και όχι µέγιστο αφού ο Ÿ δεν είναι σώµα. Το ιδεώδες ( 2, x) του Ÿ [x] είναι µέγιστο, αφού Ÿ [ ](2, x) Ÿ (γιατί;) που είναι σώµα.. x 2 Στη συνέχεια θα αποδείξουµε την ύπαρξη µεγίστου ιδεώδες σε κάθε µεταθετικό δακτύιο µε µονάδα. Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε το ήµµα του Zorn. Έστω X ένα µη κενό σύνοο. Μια σχέση στο X ονοµάζεται σχέση µερικής διάταξης αν ) x x X, ) x y, y z x z, και ) x y, y x x = y. Είναι µη κενό σύνοο εφοδιασµένο µε µία σχέση µερικής διάταξης καείται µερικά διατεταγµένο σύνοο. Ένα µερικά διατεταγµένο σύνοο X για το οποίο ισχύει η συνθήκη v) για κάθε x, y X είτε y x, ονοµάζεται οικά διατεταγµένο σύνοο. x X Έστω Y ένα υποσύνοο του µερικά διατεταγµένου συνόου ονοµάζεται άνω φράγµα του Y αν Έστω στοιχείο x X x x µε x X συνεπάγεται x = x. y x για κάθε y Y. του µερικά διατεταγµένου συνόου Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε το Λήµµα του Zorn. X. Ένα στοιχείο X ονοµάζεται µέγιστο αν Λήµµα του Zorn Έστω X ένα µερικά διατεταγµένο σύνοο που έχει την ιδιότητα ότι κάθε µη κενό οικά διατεταγµένο υποσύνοο του X έχει ένα άνω φράγµα στο X. Τότε το X έχει ένα τουάχιστον µέγιστο στοιχείο. Αποδεικνύεται στη Θεωρία Συνόων ότι το Λήµµα του Zorn είναι ισοδύναµο µε το Αξίωµα Επιογής. Βέβαια εµείς εδώ θα το δεχτούµε ως αξίωµα Πρόταση Έστω R 0 δακτύιος. Τότε ο R έχει ένα τουάχιστον µέγιστο ιδεώδες. Απόδειξη. Έστω X το σύνοο των γνήσιων ιδεωδών του R. Είναι X, αφού R {0}. Ως σχέση µερικής διάταξης θεωρούµε τη σχέση διατεταγµένο υποσύνοο του Χ. Θέτουµε J = I. I Y υποσυνόου. Έστω Υ ένα µη κενό οικά Το J είναι ιδεώδες του R. Πράγµατι αν a, b J τότε a I1, και b I 2 για κάποια I 1, I 2 Y. Αά το Υ είναι οικά διατεταγµένο. Συνεπώς I1 I 2 ή I 2 I1. Εποµένως a + b I 2 ή a + b I 1, αντίστοιχα. Άρα a + b J. Επίσης, ra I1 για κάθε r R αφού το I 1 είναι ιδεώδες. Ισχύει J X αφού το J είναι γνήσιο ιδεώδες του R, γνήσιο γιατί αν 1 J τότε

5 1 I για κάποιο I Y X που δεν ισχύει. Άρα το J είναι ένα άνω φράγµα του Y στο X. Από το Λήµµα του Zorn συµπεραίνουµε ότι το X έχει ένα µέγιστο στοιχείο Μ. Προφανώς το Μ είναι µέγιστο ιδεώδες. Η παραπάνω απόδειξη είναι η αυστηρή διατύπωση της ιδέας: Έστω γνήσιο ιδεώδες του R. Αν δεν είναι µέγιστο, τότε περιέχεται γνήσια σε κάποιο άο. Αν το I δεν είναι µέγιστο Το Λήµµα του Zorn εγγυάται ότι η διαδικασία περατούται. I 1 I Πόρισµα Κάθε γνήσιο ιδεώδες του R περιέχεται σ ένα µέγιστο ιδεώδες. Απόδειξη. Έστω I ένα γνήσιο ιδεώδες του R. Εφαρµόζουµε την Πρόταση στο δακτύιο R I οπότε υπάρχει µέγιστο ιδεώδες του R I. Όµως αυτό έχει τη µορφή όπου Μ µέγιστο ιδεώδες του R που περιέχει το Ι. M I 3.3 Πηθάριθµος Βάσης Εεύθερου Πρότυπου Θεώρηµα Έστω R {0} ένας µεταθετικός δακτύιος µε µοναδιαίο στοιχείο και εεύθερο R-πρότυπο που έχει µία πεπερασµένη βάση µε F έχει n στοιχεία. F ένα n στοιχεία. Τότε κάθε άη βάση του Απόδειξη. Έστω e,..., e } µια βάση του F (µπορούµε να υποθέσουµε n 0 δηαδή { 1 n F 0 ). Αφού R { 0}, υπάρχει µέγιστο ιδεώδες M του R (Πρόταση 3.2.7). Σύµφωνα µε την Άσκηση 7, το πρότυπο πηίκο F MF είναι ένα R M -πρότυπο, δηαδή είναι ένας R M - διανυσµατικός χώρος. Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία µία βάση του F MF. Εφόσον το σύνοο { e 1,..., e n } παράγει το e1 + MF,..., en + MF αποτεούν F ως R πρότυπο, είναι προφανές ότι τα στοιχεία e1 + MF,..., en + MF παράγουν το F MF ως R M -πρότυπο. F MF Τότε είχνουµε τώρα ότι τα πάνω από το R M e1 + MF,..., en + MF είναι γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του. Έστω r e MF. Γράφοντας ( r + M ) ( e + MF) = MF, r R. r e = ae, a M συµπεραίνουµε ότι r = a γιατί τα e, = 1,... n, είναι βάση του F. Έτσι r M και συνεπώς r + M = M για κάθε = 1,... n.

6 Αποδείξαµε οιπόν ότι: e,..., e } βάση του F { e 1 + M,..., en + M} βάση του { 1 n διανυσµατικού χώρου F MF. Επειδή τώρα κάθε δύο βάσεις ενός πεπερασµένα παραγόµενου διανυσµατικού χώρου έχουν τον ίδιο πηθάριθµο (όπως θυµόµαστε από τη Γραµµική Άγεβρα), προκύπτει το ζητούµενο Σηµείωση Το Θεώρηµα δεν ισχύει γενικά για µη µεταθετικούς δακτυίους. Το Θεώρηµα µας επιτρέπει να ορίσουµε την έννοια της τάξης εεύθερου προτύπου Ορισµός Έστω F ένα εεύθερο R -πρότυπο, όπου R {0}. Ο πηθάριθµος µιας πεπερασµένης βάσης του F ονοµάζεται τάξη του F. Αν το F δεν έχει πεπερασµένη βάση θα έµε ότι η τάξη του είναι άπειρη. Η τάξη του F συµβοίζεται rank F Λήµµα Έστω F1, F 2 εεύθερα R -πρότυπα. Τότε το F1 F2 είναι εεύθερο και rank ( F F = rank F + rank F 1 2 ) 1 2. Απόδειξη. Ασκηση Υποπρότυπα Εευθέρων Προτύπων εν αηθεύει ότι κάθε υποπρότυπο εεύθερου πρότυπου είναι εεύθερο. Για παράδειγµα, έστω R = [ x, y] και I = ( x, y). Το I δεν είναι εεύθερο R -πρότυπο (γιατί;). Η περίπτωση των περιοχών κυρίων ιδεωδών είναι πιο ευχάριστη: Θεώρηµα Έστω R περιοχή κυρίων ιδεωδών και F ένα εεύθερο R -πρότυπο µε rank F = n <. Τότε κάθε υποπρότυπο F < F είναι εεύθερο µε rank F n. Απόδειξη. Επαγωγή στο n. Για n = 1, έχουµε F R, οπότε πρέπει να δείξουµε ότι κάθε ιδεώδες του R είναι εεύθερο R -πρότυπο. Κάθε ιδεώδες του R έχει τη µορφή I = (a) για κάποιο a R. Αν a = 0, τότε I = ( 0) είναι εεύθερο µε τάξη 0. Αν a 0, τότε ως R - πρότυπα ισχύει I R, γιατί η απεικόνιση R r ra I είναι R -ισοµορφισµός. Άρα σ αυτήν την περίπτωση το I είναι εεύθερο µε τάξη 1. Υποθέτουµε τώρα n > 1 και ότι το θεώρηµα ισχύει για όα τα εεύθερα R -πρότυπα µε τάξη n 1. Έστω { e 1,..., e n } βάση του F, οπότε F = e en. Θέτουµε F = e e n. Ισχύει F F F εεύθερο µε τάξη Έστω και το F έχει τάξη n 1. Άρα το F F είναι n 1. Ισχύει F F e 1 και άρα το F F έχει τάξη 1. φ : F F F

7 ο φυσικός επιµορφισµός και ο περιορισµός του είναι εεύθερο πρότυπο τάξης 0 ή 1. φ F : F F F φ στο F. Επειδή το F F είναι εεύθερο τάξης 1, η εικόνα φ (F ) θα Από την Πρόταση έχουµε F ker φ F φ( F ). Όµως ker φ F = F F που από την επαγωγική υπόθεση είναι εεύθερο µε τάξη n 1. Έτσι F ( F F ) φ ( F ). Το δεξί µέος είναι ευθύ άθροισµα εεύθερων προτύπων και άρα εεύθερο µε rank (( F F ) φ( F )) = rank ( F F ) + rankφ( F ) n 1+ 1 = n (Λήµµα 3.3.4). Ασκήσεις Υποθέτουµε ότι ο R είναι ένας µη µηδενικός µεταθετικός δακτύιος µε µοναδιαίο στοιχείο. ( e 1. Έστω Μ ένα R-πρότυπο και ) µια οικογένεια στοιχείων του Μ. Αποδείξτε ότι οι ακόουθες προτάσεις είναι ισοδύνµαες. ( e Η οικογένεια ) είναι µια βάση του Μ ( e Η οικογένεια ) παράγει το Μ και είναι γραµµικά ανεξάρτητη. 2. Έστω k ένα σώµα. Το ιδεώδες ( x, y) του kxy (, ) δεν είναι εεύθερο ως k[ x, y] - πρότυπο. 3. Αηθεύει ότι το είναι εεύθερο Ÿ -πρότυπο; 4. Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, Μ ένα εεύθερο R-πρότυπο τάξης n, όπου και { } B = b,...,. 1 bn M n < a. Αποδείξτε ότι το B είναι βάση του Μ αν και µόνο αν το Β παράγει το Μ. b. Εξετάστε αν η πρόταση Το B είναι βάση του Μ αν και µόνο αν το Β είναι γραµµικά ανεξάρτητο είναι σωστή. 5. Τα ακόουθα είναι ισοδύναµα () R είναι σώµα. () Κάθε R -πρότυπο είναι εεύθερο. () Κάθε κυκικό R -πρότυπο είναι εεύθερο. 6. Έστω R ένας δακτύιος. Τότε κάθε ιδεώδες του R είναι εεύθερο R -πρότυπο αν και µόνο αν ο R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. 7. Έστω I ιδεώδες του R. Αν M είναι ένα R -πρότυπο, ορίζουµε IM ως το υποπρότυπο του δοµή M που παράγεται από το σύνοο { am a I, m M}. Τότε το M IM έχει τη R I -προτύπου, όπου ( r + I)( m + IM ) = rm + IM. 8. Αν κάθε πηίκο οποιουδήποτε εεύθερου R - πρότυπο είναι πάι εεύθερο, τότε ο R είναι (συµπηρώστε).

8 9. Είναι ο δακτύιος Ÿ Ÿ περιοχή κυρίων ιδεωδών; Είναι το ιδεώδες Ÿ { 0} εεύθερο Ÿ Ÿ πρότυπο; 10. Αηθεύει ότι το Ÿ -πρότυπο Ÿ [ d ] = { a + b d a, b Ÿ }, όπου d, είναι εεύθερο; Αν ναι, ποια είναι η τάξη του;