e είναι ακέραια ρίζα του Ρ(χ), να βρεθούν

Transcript

1 Σύογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίη Ξανθόπουου Μαθηµατικά : Τάξη: Β ράµα 30 Μαρτίου 01 Θέµα Α ίνεται το πουώνυµο P ( x) = x κ x+ κ κ: θετικός ακέραιος. Α 1. Να βρεθούν οι τιµές του κ ώστε το Ρ(χ) να έχει µία τουάχιστον ακέραια ρίζα. Α. Αν το Ρ(χ) έχει µία ακέραια ρίζα, να δείξετε ότι δεν µπορεί να είναι διπή. Α 3. Αν ο αριθµός οι γωνίες φ και θ. ηµ φ+ e είναι ακέραια ρίζα του Ρ(χ), να βρεθούν Θέµα Β Θεωρούµε τα σηµεία Α(0,), Β(,0) και τις προβοές Α 1, Β 1 των Α, Β αντίστοιχα, στην µεταβητή ευθεία ε που περνά από την αρχή των αξόνων. Β 1. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µέσων των ευθυγράµµων τµηµάτων Α 1 Β 1. Β. Να αποδείξετε ότι οι κύκοι µε διάµετρο το τµήµα Α 1 Β 1, διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο. 1

2 Σύογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίη Ξανθόπουου ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Τάξη: B ράµα 30 Μαρτίου 01 Α 1. Αν ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), τότε Ρ(ρ) = 0. ρ κ ρ+ κ = 0 κ(1 ρ ) = ρ = 0 ρ = κ. Από ευκείδια διαίρεση ρ : ρ 1 προκύπτει 3 ρ ( )( ρ + ρ + ρ+ 1) κ = = = ρ + ρ + ρ+. 1 Επειδή κ είναι θετικός ακέραιος θα πρέπει Z. ηαδή το ρ 1 πρέπει να διαρεί το -1. Άρα ρ = ή ρ = 0. Για ρ =, κ = 1 και για ρ = 0, κ =. Α. Αν ρ είναι διπή ακέραια ρίζα τότε Ρ(χ) = (χ ρ) Q(χ) µε Q(χ) να είναι της µορφής χ + βχ + γ. Τότε: Ρ(χ) = (χ ρχ + ρ )( χ + βχ + γ) για κάθε χ R. Ρ(χ) = χ + βχ 3 + γχ ρχ 3 ρβχ ργχ + ρ χ + ρ βχ + ρ γ Ρ(χ) = χ + (β ρ)χ 3 + (γ ρβ + ρ )χ + (-ργ + ρ β)χ + ρ γ. Άρα θα πρέπει: β ρ = 0 β = ρ γ ρβ + ρ = 0 γ = 3ρ -ργ + ρ β = -κ -ρ3ρ + ρ ρ = - κ ρ 3 = κ ρ γ = κ ρ 3ρ = κ 3ρ = ρ 3 3ρ ρ 3 + = 0 το οποίο δεν έχει ακέραια ρίζα. ος τρόπος Για κ = 1 Ρ(χ) = (χ )(χ 3 + χ + χ 6) και το δεν είναι ρίζα του χ 3 +χ +χ 6. Για κ = Ρ(χ) = χ χ = χ(χ 3 ) µε το µηδέν µοναδική ακέραια ρίζα. Α 3. Αν κ = τότε 0 µοναδική ακέραια ρίζα. Όµως Άρα θα πρέπει κ = 1 και ακέραια ρίζα το. ηµ φ+ θ Άρα συν = ηµ φ+ e 0. e ηµ φ+ e = 1 ηµ φ+ = 0 Τεικά φ = π και θ = κπ + π µε κ, Z.

3 Β 1. Αν η ευθεία είναι παράηη στον ψ ψ τότε θα έχει εξίσωση χ=0 και θα έχουµε Α Α 1 και Β 1 Ο οπότε το µέσο του τµήµατος Α 1 Β 1 θα είναι το µέσο Ν(0,1) του ΟΑ. Αν η ευθεία ε είναι παράηη στον χ χ, τότε θα έχει εξίσωση ψ=0 και θα έχουµε Β Β 1, Α 1 Ο,εποµένως το µέσο του Α 1 Β 1 θα είναι το µέσο Λ(1,0) του ΟΒ. Σε κάθε άη περίπτωση η ευθεία ε θα έχει τη µορφή ψ=χ (1) µε R *. Οι ευθείες ΑΑ 1 και ΒΒ 1 έχουν συντεεστή διεύθυνσης τους θα είναι και οι εξισώσεις ΑΑ 1 : () ΒΒ 1 : (3) Λύνοντας τα συστήµατα των (1), (3) έχουµε άρα: 1 = x+ x = x και ψ = Άρα Β 1 (, ) Οµοίως βρίσκουµε ύνοντας το σύστηµα των (1),() ότι Α 1 ( + 1 ( + 1) Το µέσο Μ του Α 1 Β 1 είναι Μ, + 1, ) Θέτουµε χ= και ψ= τότε ψ=χ οπότε για χ 0 θα έχουµε () Η () παριστάνει κύκο κέντρου 1 1 Κ, και ακτίνας ρ=. 3

4 Τα σηµεία Ν, Λ ανήκουν επίσης στον κύκο (Κ.ρ). Αντιστρόφως αν Μ (χ,ψ) τυχαίο σηµείο του παραπάνω κύκου όπου ψ Μ Ν,Λ,Ο. θέτοντας =, και προβάοντας τα Α, Β στην ευθεία x ΟΜ το Μ θα είναι το µέσο του τµήµατος Α 1 Β 1 όγω της (). Τα Ν, Λ είναι µέσα των προβοών των Α,Β πάνω στις ευθείες ψ ψ και χ χ, ενώ το Ο είναι µέσο των προβοών των Α,Β στην ευθεία ψ=-χ. Β. Ο κύκος διαµέτρου Α 1 Β 1 έχει εξίσωση όπου R (*) Για =0 έχουµε τον κύκο (χ-1) +ψ =1 (5) για =-1 έχουµε τον κύκο χ +ψ = (6) Η ύση του συστήµατος των (5),(6) δίνει (χ,ψ)=(1,1) ή (χ,ψ)=(1,-1). Από τα παραπάνω σηµεία εύκοα επαηθεύουµε ότι µόνο το (1,1) ικανοποιεί την εξίσωση (*) για κάθε R. Έτσι όοι οι κύκοι διαµέτρου Α 1 Β 1 διέρχονται από το σταθερό σηµείο (1,1) το οποίο είναι το ίχνος της προβοής του Ο πάνω στην ΑΒ (και ταυτόχρονα στην προκειµένη περίπτωση το µέσο του τµήµατος ΑΒ). Β τρόπος Β 1. Το τετράπευρο ΑΑ 1 ΒΒ 1 είναι τραπέζιο αφού ΑΑ 1 // ΒΒ 1. Αν Η το µέσο του ΑΒ τότε ΗΜ // ΑΑ 1 εποµένως ΗΜ Α 1 Β 1. ηαδή το σταθερό τµήµα

5 ΟΗ φαίνεται από το σηµείο Μ υπό ορθή γωνία, άρα το Μ ανήκει σε κύκο διαµέτρου ΟΗ=ΝΛ. Τα µέσα Ν, Λ, Η των ΟΑ, ΟΒ, ΑΒ είναι σηµεία του ζητούµενου γ.τ. και ανήκουν επίσης στον παραπάνω κύκο. ( ως ειδικές περιπτώσεις όπου η ευθεία ε ταυτίζεται τον ψ ψ, χ χ και την ευθεία ΟΗ). Το σηµείο Ο επίσης είναι σηµείο του γ.τ. (περίπτωση όπου ε // ΑΒ ) και ανήκει στον παραπάνω κύκο. Αντίστροφα, αν Μ είναι τυχαίο σηµείο του κύκου διαµέτρου ΟΗ, διαφορετικό από τα Ο,Ν (τα οποία όπως επισηµάναµε είναι σηµεία του γ.τ) θεωρώντας την ευθεία ΟΜ και προβάοντας τα Α,Β πάνω σ αυτήν δεδοµένου ότι ΗΜ Α 1 Β 1 θα είναι ΗΜ // ΑΑ 1 οπότε η ΗΜ θα διέρχεται από το µέσο του τµήµατος Α 1 Β 1. Β. Αν ΟΗ ΑΒ θα δείξουµε ότι το σηµείο Η ανήκει πάντοτε στους κύκους διαµέτρου Α 1 Β 1. Το τετράπευρο ΑΗΑ 1 Ο είναι εγγράψιµο γιατί το ΟΑ φαίνεται υπό ορθή γωνία από τα σηµεία Α 1 και Η. Θα έχουµε οιπόν. Επίσης το τετράπευρο ΟΗΒ 1 Β είναι εγγράψιµο αφού το ΟΒ φαίνεται υπό ορθή γωνία από τα Η και Β 1. Έτσι. Έτσι Ο Α1 ΗΒ1 = 90 δηαδή το Η ανήκει στον κύκο διαµέτρου Α 1 Β 1. Αν υπήρχε και δεύτερο σταθερό σηµείο Η τότε το κέντρο Μ θα βρισκόταν στην σταθερή µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος ΗΗ πράγµα αδύνατο αφού ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι κύκος. 5