Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος. Η μόνιμη θερμοκρασιακή κατανομή σε δύο διαστάσεις περιγράφεται από την εξίσωση: και

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ και ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Η μόνιμη θερμοκρασιακή κατανομή σε δύο διαστάσεις περιγράφεται από την εξίσωση: T T =. () x y Να υπολογισθεί η θερμοκρασιακή κατανομή μιας πλάκας με x, y και με οριακές συνθήκες T T( x, ) = T( x,) =, x = και T = y y, x =. () x = Λύση Το πεδίο ορισμού διακριτοποιείται επιλέγοντας Nx ίσα μεταξύ τους διαστήματα ( Nx κόμβους) στη x κατεύθυνση και Ny ίσα μεταξύ τους διαστήματα ( Ny κόμβους) στη y κατεύθυνση. Για απλούστευση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών επιλέγουμε Ny = Nx έτσι ώστε να δημιουργηθούν τετραγωνικά κελιά και να είναι: hx = = hy = = h. Στο Σχήμα παρουσιάζεται Nx Ny το πλέγμα για Ny =, Nx = (x=,y=) (,5) T = (,5) (3,5) (,) (,) (3,) T = x (,3) (,3) (3,3) (,) (,) (3,) T = y y (x=,y=)(,) (,) (3,) (x=,y=) T = Σχήμα : Αριθμητικό πλέγμα

2 Η Εξ. () διακριτοποιείται στον τυχαίο εσωτερικό κόμβο εκφράσεις κεντρώων πεπερασμένων διαφορών ης τάξης: (, j) χρησιμοποιώντας T T T T T T T T T T T T = =, j, j, j, j, j, j, j, j, j, j, j, j hx hy h T, j= ( T, j T, j T, j T, j ), =,..., Nx, j =,..., Ny (3) Οι οριακές συνθήκες σε διακριτή μορφή δίνουν: T( x,) = T, =, =,..., Nx () T( x, ) = T =, =,..., Nx (5) Ny, (, ) = Nx, j = ( ) y ( ) y, =,..., T y y y T j h j h j Ny (6) T Για τη συνθήκη = επιλέγεται η πιο απλή προσέγγιση, δηλαδή μία έκφραση x x = πρόδρομων πεπερασμένων διαφορών ης τάξης (αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ολόκληρο το αριθμητικό μας σχήμα να είναι πλέον ης τάξης.): T T, j, j h x = T = T, j =,,3,..., Ny (7), j, j Για τις τιμές της μεταβλητής T στους γωνιακούς κόμβους επιλέγουμε όλοι οι γωνιακοί κόμβοι να έχουν τιμή T =. Επιλύοντας το πρόβλημα με το πλέγμα του Σχήματος έχουμε το ακόλουθο σύστημα 5 εξισώσεων με 5 αγνώστους ( h = h = /): x y T, = T, = T3, = T, = T, T = T T T T T3, = hy hy T,3 = T,3 T = T T T T T3,3 = 8hy 8hy T, = T, T = T T T T T3, = 8hy hy T,5 = T,5 = T3,5 = ( ), 3,,,3, ( ),3 3,3,3,, ( ), 3,,,5,3

3 Το σύστημα επιλύεται με Mathematca ως εξής: h =.5; SolveB:T, T, T3, T T, T HT3 T T3 TL, T3 == h h, T3 T3, T3 == HT33 T3 T TL, T33 8h 8 h, T T, T == HT3 T T5 T3L, T3 8 h h, T5, T5, T35 >, 8T, T, T3, T, T, T3, T3, T3, T33, T, T, T3, T5, T5, T35<F Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα: Τ = = =3 j=5.5 j= j= j= j= Για την επίλυση του συστήματος που προκύπτει στη γενική περίπτωση των Nx Ny εξισώσεων, εφαρμόζεται η επαναληπτική μέθοδος Gauss-Sedel. Η Εξ. (3) γράφεται στη μορφή: ( k ) ( k) ( k ) ( k) ( k ) T, j = ( T, j T, j T, j T, j ), =,..., Nx, j =,..., Ny όπου ο δείκτης δηλώνει τον αριθμό της επανάληψης. ( k ) Πρόγραμμα Fortran Program GaussSedel mplct none doubleprecson,allocatable::t(:,:),told(:,:) nteger::nx,ny,,j,max,done,k doubleprecson::err,h,maxerr Nx=! Arthmos dasthmatwn (= arthmos kombwn-) Ny=*Nx! Ga na exoume Dx=Dy allocate(t(nx,ny),told(nx,ny)) max=5 err=. h=./ny!(=./nx) k= done= T(:,:)=. do whle (k<=max.and. done==) Told(:,:)=T(:,:) T(:,)= do j=,ny T(,j)=T(,j) do =,Nx T(,j)=.5*(T(,j)T(,j-)T(,j)T(-,j)) 3

4 T(Nx,j)=-* (j-)** *h***(j-)*h T(:,Ny)=! elenxos ga termatsmo maxerr=maxval(abs(t-told)) f (maxerr<err) then done= end f prnt*, k,maxerr k=k open(,fle='res_gauss.txt',recl=) do j=,ny wrte(,*) T(:,j) end Ανοίγοντας το αρχείο «res_gauss.txt» και χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Compaq Array Vewer παίρνουμε στο Σχήμ α την απεικόνι ση κατανομή της θερμοκρασίας T στην επιφάνεια της πλάκας (για Nx =, Ny = ): Σχήμα : Γραφική απεικόνιση θερμοκρασιακής κατανομής

5 ΑΣΚΗΣΗ Δίδεται η διαφορική εξίσωση: ( r ) f f = f r r r, r, > () με τις συνθήκες f =, =, r () f =, r =, > (3) f =, r =, >. () r Να εξετασθεί ο τύπος της διαφορικής εξίσωσης και στη συνέχεια να εφαρμοσθεί ένα αριθμητικό σχήμα επίλυσης του προβλήματος. Λύση r = f = f = r r=, f r = N N r=, r r r 3 r rnr r Nr r =, = Σχήμα 3: Αριθμητικό πλέγμα Για να μελετηθεί η Εξ. (), γράφεται στη μορφή Afrr Bfr Cf... = και υπολογίζεται η διακρίνουσα Δ= B AC : A B C f f f f f = r r r r ( r ) Επομένως Δ= = Άρα η Εξ. () είναι παραβολική. 5

6 Το πρόβλημα επιλύεται αρχικά με ρητό και στη συνέχεια με πεπλεγμένο σχήμα. Λόγω αξισυμμετρίας το αριθμητικό πλέγμα ορίζεται στο επίπεδο ( r, ) με r και >. Ρητό σχήμα Η Εξ. () διακριτοποιείται στον τυχαίο κόμβο (, k ) χρησιμοποιώντας το ρητό σχήμα με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης ως προς και κεντρώες πεπερασμένες διαφορές ης τάξης ως προς r : f f f f f f f k k k k k k k = ( r ) Δr r Δr Δ k k k k k k k = ( r ) Δr r Δr Δ k r r k k k = f Δ Δr Δ Δr rδr Δr rδr f f f f f f f f f f =,..., Nr, k =,,... (5) k df Ειδικά για τον κόμβο f χρησιμοποιούμε την οριακή συνθήκη =, την οποία dr r = διακριτοποιούμε χρησιμοποιώντας πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά: f f Δr k k = f = f k k (6) Επίσης είναι: r = Δ r, =,..., Nr (7) Πρόγραμμα Fortran: Program FTBS mplct none nteger,parameter:: Nr=7!Arthmos dasthmatwn. O prwtos kombos sth thesh ka o teleytaos sth thesh Nr. real,parameter::d=.! Bhma nteger,parameter::n=! Arthmos bhmatwn sthn akteythnsh real::f(:nr,:n),r(:nr) nteger::,j,k real::dr,a,b,c,d,e dr=./(nr)!bhma r do =,Nr r()=*dr 6

7 !Arxkes tmes f(:,)=. open(,fle='res_rhto.txt',recl=) do k=,n do =,Nr- a=./dr** b=(.-r()**)/d c=b-a d=./dr** -./(.*r()*dr) e=./dr**./(.*r()*dr) f(,k)=(d/b)*f(-,k-)(e/b)*f(,k-)(c/b)*f(,k-) f(nr,k)=. f(,k)=f(,k)! Orakh synthkh! Orakh syntkh symmetras do k=,n wrte(,'(<nr>(f.,x))') f(:,k) close() end program Δ Για να έχει το ρητό σχήμα ευστάθεια θα πρέπει να ισχύει <. Επιλέγοντας Δr Δ r = /6 και Δ =. προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα: k r = r = /6 r = /6 r 3 = 3/6 r = /6 r 5 = 5/6 r 6 = Πεπλεγμένο σχήμα Η Εξ. () διακριτοποιείται στον τυχαίο κόμβο ( k, ) χρησιμοποιώντας το πεπλεγμένο σχήμα με ανάδρομη πεπερασμένη διαφορά ης τάξης ως προς κεντρώες πεπερασμένες διαφορές ης τάξης ως προς r : και 7

8 f f f ( r ) r r k, r k, k, = ( ( r) ) k k k k k k k f f f f f f f Δ = Δr Δr Δr Δ k ( Δr) k k ( Δr) k f f f = Δr Δr Δr Δ Δr Δr f Δ =,..., Nr (8) Για τις οριακές συνθήκες έχουμε: f = = r f = = N r (9) f = r = > f = k = N (),,,,..., k,, N,,..., r Για r = διακριτοποιείται η Εξ. () αφού πρώτα εφαρμοσθεί η σχέση f lm r f = r r r f Επίσης, η παράγωγος = προσεγγίζεται με κεντρώες πεπερασμένες διαφορές: r k k k k f f f f f f = ( r ) = r Δr Δ k k k f f f r = () Δ Δ Δr Δ Το σύστημα είναι τριδιαγώνιο και επομένως ο αλγόριθμος Thomas είναι ο πλέον αποτελεσματικός. Βεβαίως μπορεί να επιλυθεί και με επαναληπτικές μεθόδους όπως η Gauss-Sedel. Στη συνέχεια παρουσιάζονται και οι δύο μεθόδοι ξεκινώντας με τον αλγόριθμο Thomas. Το τριδιαγώνιο σύστημα είναι της μορφής: b c f d a b c f d a b c f d = anr bnr c Nr f Nr d Nr anr b Nr f Nr d Nr με b = Δr Δ, c =, d Δ = f r Δ και k 8

9 a =, =,..., Nr Δr rδr r b =, =,..., N r Δr Δ c =, =,..., Nr Δr rδr r k d = f, =,..., Nr Δ Πρόγραμμα Fortran με αλγόριθμο Thomas: Program ThomasP mplct none nteger,parameter:: Nr=6!Arthmos dasthmatwn. O prwtos kombos sth thesh ka o teleytaos sth thesh Nr real,parameter::d=.! Bhma nteger,parameter::n=! Ο arthmos bhmatwn sthn kateythnsh real::a(:nr-),b(:nr-),c(:nr-),d(:nr-),x(:nr-) real::f(:nr,:n),r(:nr) nteger::,j,k real::dr dr=./nr do =,Nr r()=*dr open(,fle='res_thomas.txt',recl=) f(:,:)=. f(:,)=. do =,Nr r()=*dr do k=,n f(nr,k)=. B()=-./dr**-./d C()=./dr** D()=-(./d)*f(,k-) do =,Nr- A()=./dr** -./(.*r()*dr) B()=-./dr**-(.-r()**)/d C()=./dr**./(.*r()*dr) D()=-((.-r()**)/d)*f(,k-) A(Nr-)=./dr** -./(.*r(nr-)*dr) B(Nr-)=-./dr**-(.-r(Nr-)**)/d D(Nr-)=-((.-r()**)/d)*f(Nr-,k-) 9

10 call Thomas(Nr,A,B,C,D,X) f(:nr-,k)=x(:) wrte(,'(<nr>(f.,x))') f(:,k) prnt*, ' ' do =,Nr prnt '(Hx(,I3,H) =,F.5)',,f(,k)!k contans subroutne Thomas(n,a,b,c,d,x) nteger,intent(in) :: n real, INTENT(INOUT) ::a(n),b(n),c(n),d(n) real, INTENT(INOUT) ::x(n) nteger:: real ::t(n),u(n) t()=b() u()=d()/t() end do =,n t()=b()-a()*c(-)/t(-) u()=(d()-a()*u(-))/t() x(n)=u(n) do =n-,,- x()=u()-c()/t()*x() end subroutne Thomas Για Δ r = /6, Δ =. και βήματα παρακάτω αποτελέσματα: Δ στην κατεύθυνση προκύπτουν τα k r = r = /6 r = /6 r 3 = 3/6 r = /6 r 5 = 5/6 r 6 = Στη συνέχεια εφαρμόζεται για το ίδιο σύστημα η μέθοδος Gauss-Sedel. Η Εξ. (8) γράφεται στη μορφή ( n) ( ) ( ) n n k r k k r = Δr Δ Δr rδr Δr rδr Δ k f f f f και η Εξ. () στη μορφή ()

11 ( n) ( n ) k k f k f = r f Δ Δ Δr Δ όπου ( n) είναι ο δείκτης επανάληψης της Gauss-Sedel. (3) Πρόγραμμα σε Fortran με αλγόριθμο Gauss-Sedel: Program peplegmeno mplct none doubleprecson,allocatable::r(:),u(:,:),uold(:) nteger::n,n,,j,k,m,status,tmax,done,method doubleprecson::err,max,dr,dt,l doubleprecson::a,b,c,d,e,f n=6 N=3 dt=. dr=./n err=. allocate(r(:n),u(:n,:n),uold(:n)) tmax= do =,n r()=*dr open(,fle='res_pepleg.txt',recl=) u(:,:)=. u(:,)=. do k=,n!gauss-sedel m= done= u(:,k)=u(:,k-) do whle (done==) uold=u(:,k) u(n,k)=. a=./dr** b=./dt c=ab u(,k)=(a/c)*u(,k)(b/c)*u(,k-) do =,n- a=./dr** b=(.-r()**)/dt c=ab d=./dr** -./(.*r()*dr) e=./dr**./(.*r()*dr) u(,k)=(d/c)*u(-,k)(e/c)*u(,k)(b/c)*u(,k-) enddo

12 max=maxval(abs((u(:n-,k)-uold(:n-))/u(:n-,k))) prnt*,k,m,max f(max<err) then done= endf m=m enddo!gauss-sedel!k do k=n,,- wrte(,'(<>(f.,x))') u(:,k) end program Για Δ r = /6, Δ =. και βήματα παρακάτω αποτελέσματα: Δ στην κατεύθυνση προκύπτουν τα k r = r = /6 r = /6 r 3 = 3/6 r = /6 r 5 = 5/6 r 6 = Παρατηρούμε πλήρη ταύτιση με τα αντίστοιχα αποτελέσματα της μεθόδου Thomas. Τέλος, εφαρμόζοντας το πεπλεγμένο σχήμα σε ένα πυκνότερο πλέγμα με Δ r = /, Δ =. και για 3 βήματα στην κατεύθυνση παίρνουμε το ακόλουθο γράφημα: Σχήμα : Γραφική απεικόνιση θερμοκρασιακής κατανομής

13 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να μελετηθεί η ευστάθεια και συνοχή του αριθμητικού σχήματος Crank Ncolson, όταν αυτό εφαρμόζεται στην εξίσωση θερμότητας ή διάχυσης ut = u xx. Προτείνετε μεθόδους βελτίωσης της συνοχής. Λύση Ευστάθεια n n n n u u = λ( u u u ) λ( u u u ) () n n akx Θέτοντας στην Εξ. () u =Ψ e, a= βρίσκουμε n ak( xδx) n akx n ak( x Δx) λ ( Ψ e Ψ e Ψ e ) Ψ λ =Ψ ( ( Δ )) akx n akx ak ( xδ x) akx ak x x Ψ e Ψ e = λ Ψ e Ψ e Ψ e Δ ( e e ) λ ( e e ) n akδx akδx n akδx ak x Ψ Ψ = λψ Ψ ( e e ) λ( e e ) akδx akδx n akδx akδx λ Ψ ξ = = n Ψ λ Εφαρμόζοντας τη σχέση akδx akδx ( e e ) akδx akδx ( e e ) [ ] [ ] akδx akδx e e = cos( kδ x) asn( kδ x) cos( kδx) asn( kδ x) = cos( kδ x) προκύπτει ότι λ ( cos( kδx) ) ξ = λ ( cos( kδx) ) Τέλος, εφαρμόζοντας τη ταυτότητα cos x sn = x βρίσκουμε kδx kδx λ sn sn λ ξ = = kδx kδx λ sn λ sn Α Επομένως, ο λόγος ξ είναι της μορφής ξ =, όπου Α μία θετική ποσότητα. Το Α σχήμα είναι ευσταθές για ξ < : 3

14 Α Α Α< Α ξ = < < < Α< Α< Α Α Α Α< Α <, αληθές Α < Α, αληθές Επομένως, ο λόγος ξ είναι πάντα μικρότερος της μονάδος για κάθε λ, δηλαδή το σχήμα Crank Ncolson είναι πάντα ευσταθές για οποιαδήποτε Συνοχή Εξετάζεται η συνοχή του γενικότερου σχήματος ( ) ( θ) λ( ) n n n n Δ t και Δ x. u u = θλ u u u u u u, () όπου θ = / προκύπτει το σχήμα Crank-Ncolson. Αναπτύσσονται όλες οι ποσότητες της Εξ. () γύρω από τη βασική ποσότητα κρατώντας όρους μέχρι και ης τάξης: n u με σειρά Taylor 3 n n t t t t u = u Δ ut Δ utt Δ uttt Δ utttt O Δ t! 3! 8! 6 5 [ ] 3 5 u = u ut utt uttt utttt O[ Δ t ]! 3! 8! 6 3 n u± = u ±Δx u ±Δx u ±Δx u x t! x t 3! x t ±Δx u! x t u u xu u x u x u u! n ± = ±Δ x t Δ xx Δ xt tt 3 3 ±Δxuxxx 3Δ x uxxt ± 3Δx uxtt uttt 3! Δx uxxxx Δ x uxxxt 6Δx uxxtt Δ x uxttt utttt O[ Δx, ]! u± = u ±Δ x u ±Δ x u ±Δ x u x t! x t 3! x t ±Δ x u! x t

15 u = u ±Δ xu u Δ x u ± Δ x u u! ± x t xx xt tt 3 3 ±Δ x uxxx 3Δ x uxxt ± 3Δ x uxtt uttt 3! Δ x uxxxx ± Δ x uxxxt 6Δ x uxxtt ± Δ x uxttt utttt O[ Δx, ]! 8 6 Το αριστερό μέλος της Εξ. () δίνει: n n n = u u u ut! 3 t t u Δ Δ u u 3! 8! 6 tt ttt tttt n u ut ut t! 3 5 uttt utttt O[ ] 3! 8! 6 n n 3 u u =Δ tut Δ t uttt O[ 5 ] Επίσης, στο δεξιό μέλος της Εξ. () έχουμε τους όρους: u u u = u Δ xux ut Δ x uxx Δ x uxt utt! 3 3 Δ x uxxx 3Δ x uxxt 3Δ x uxtt uttt 3! Δ x uxxxx Δ x uxxxt 6Δ x uxxtt Δ x uxttt utttt! 8 6 u! 3! 8! 6 3 ut utt uttt utttt u Δ xux ut Δx uxx Δ x uxt utt! 3 3 Δ xuxxx 3Δx uxxt 3Δ x uxtt uttt 3! Δxuxxxx Δ x uxxxt 6Δx uxxtt Δx uxttt utttt O[ Δx, ]! u u u =Δ x uxx Δx Δ tuxxt Δx Δ t uxxtt Δ x uxxxx O[ Δx, 5 ] 8 και 5

16 n n n u u u = u Δxux ut Δx uxx Δ x uxt utt! 3 3 Δx uxxx 3Δ x uxxt 3Δx uxtt uttt 3! 8 Δx u Δ x u Δx u Δ x u u! 8 6 u 3 3 xxxx xxxt 6 xxtt xttt tttt 3 ut utt uttt utttt! 3! 8! 6 u Δxux ut Δ x uxx Δ x uxt utt! 3 3 Δx uxxx 3Δx uxxt 3Δx uxtt uttt 3! Δ x uxxxx Δ x uxxxt 6Δ x uxxtt Δx uxttt utttt O[ Δx, ]! 8 6 n n n 5 u u u =Δx uxx Δx Δ tuxxt Δx Δ t uxxtt Δ x uxxxx O[ Δx, 5 ] 8 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις στην Εξ. () προκύπτει: Δ tut Δ t uttt = θλ Δ xuxx ΔxΔ tuxxt ΔxΔ tuxxtt Δ xuxxxx O[ Δx, ] ( θ) λ Δxuxx ΔxΔ tuxxt ΔxΔ t uxxtt Δ xuxxxx O[ Δx, ] 8 3 Δ tut Δ t uttt = λδ x uxx ( θ ) λ Δx Δ tuxxt λ Δx ux xtt λ Δ xuxxxx λo[ Δx, ] Δx Δx ut Δ t uttt = λ uxx ( θ ) λ Δ x uxxt λ Δx Δ tuxxtt λ uxxxx 8 λ 5 5 O[ Δx, ] Εισάγονται οι σχέσεις uxxt = uxxxx και uxxtt = uttt = uxxxxxx και η παραπάνω εξίσωση ξαναγράφεται στη μορφή Δx Δx ut Δ t uxxxxxx = λ uxx ( θ ) λ Δ x uxxxx λ Δx Δ tuxxxxxx λ uxxxx 8 λ 5 5 O[ Δx, ] 6

17 Δx Δx u u x u x t t u t 8 Δ λ 5 5 O[ Δx, ] t = λ xx ( θ ) λ Δ λ xxxx λ Δ Δ Δ xxxxxx Θέτοντας λ = προκύπτει η τροποποιημένη εξίσωση Δ x ut = uxx ( θ ) Δ t Δ x uxxxx Δ t uxxxxxx O[ Δx, 3 5 ] Παρατηρούμε ότι καθώς και Δx παίρνουμε την αρχική εξίσωση και επομένως το σχήμα έχουμε συνοχή. u t = ux x 6λ Σημειώνεται ότι για θ λ αυξάνοντας την ακρίβεια του σχήματος. θ Δ t Δx = ο όρος ( ) μηδενίζεται Επίσης, για θ = / προκύπτει η τροποποιημένη εξίσωση του Crank-Ncolson u = u Δ x u Δ t u t xx xxxx xxxxxx Τέλος, για θ = και θ = προκύπτουν οι τροποποιημένες εξισώσεις του ρητού και πεπλεγμένου σχήματος αντίστοιχα. ΑΣΚΗΣΗ : Βλέπε απαντήσεις Άσκησης της ης Εργασίας του