NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

Transcript

1 NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) 5 ( ) Como se manexa k? Simplifica. a) + 8 b) c) a) b) c) ( ) Unidade. Números complexos

2 Expresións do tipo a + b Simplifica as seguintes sumas: a) ( + 5 ) + ( ) ( ) b) ( 5)(5 + ) ( ) a) ( + 5 ) + ( ) ( ) 5 b) ( 5)(5 + ) ( ) Efectúa as seguintes operacións combinadas: a) ( ) ( + 7 ) b) 8(5 ) + ( + ) a) ( ) ( + 7 ) 8 5 b) 8(5 ) + ( + ) Multiplicacións Efectúa as seguintes multiplicacións: a) ( ) b) (5 + ) 8 c) (5 + )(7 ) d) (5 + )(5 ) a) ( ) ( ) ( ) + b) (5 + ) ( ) + 0 c) (5 + )(7 ) ( ) 5 + d) (5 + )(5 ) ( ) Ecuacións de segundo grao Resolve: a) x + 0x b) x a) x 0 ± 00 0 ± 0 ± + 0x x x ± x 5 b) x x 9 8 x ± 9 ± x x Unidade. Números complexos

3 UNIDADE Páxina 9. Representa graficamente os seguintes números complexos e di cales son reais, cales imaxinarios e, destes, cales son imaxinarios puros: 5 i; + 5 i; 5i; 7; i; 0; i; 7; i Reales: 7, 0 y 7 5 Imaginarios: 5 i, + i, 5i, i, i, i Imaginarios puros: 5i, i, i Representación: i 7 i i i + 5 i 7 5 i 5i. Obtén as solucións das seguintes ecuacións e represéntaas: a) z + 0 b) z + z c) z d) z 7 0 ± ±i a) z ± i z i, z i i i ± 0 ± b) z ± i ± i; z i, z + i + i i Unidade. Números complexos

4 i c) z 9 8 z ± 9 ±i z i, z i i d) z 9 8 z ± z, z. Representa graficamente o oposto e mais o conxugado de: a) 5i b) 5 + i c) i d) + i e) 5 f) 0 g) i h) 5i a) Opuesto: + 5i Conjugado: + 5i + 5i + 5i 5i b) Opuesto: 5 i Conjugado: 5 i 5 + i 5 i 5 i Unidade. Números complexos

5 UNIDADE c) Opuesto: + i Conjugado: + i + i + i i d) Opuesto: i Conjugado: i + i i i e) Opuesto: 5 Conjugado: f) Opuesto: 0 Conjugado: 0 g) Opuesto: i Conjugado: i 0 i i h) Opuesto: 5i Conjugado: 5i 5i 5i Unidade. Números complexos 5

6 . Sabemos que i. Calcula i, i, i 5, i, i 0, i, i, i. Dá un criterio para simplificar potencias de i de expoñente natural. i i i i 5 i i i 0 i i i i i CRITERIO: Dividimos el exponente entre y lo escribimos como sigue: i n i c + r i c i r (i ) c i r c i r i r i r Por tanto, i n i r, donde r es el resto de dividir n entre. Páxina 5. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado: a) ( 5i) + ( i) ( 5 + i) b) ( i) (5 + i) + ( i) c) ( + i) ( i) d) ( + i) (5 i) e) ( i + ) ( i) ( + i) + i i f) g) h) i + i 5 + i + 5i i) l) m) i + i ( n) 5 + i ñ) 5 ) ( i) ( i) + i a) ( 5i) + ( i) ( 5 + i) 5i + i + 0 i 8 8i b) ( i) (5 + i) + ( i) i 5 i + i 9i c) ( + i) ( i) i + 8i i + i + + i d) ( + i) (5 i) 0 i + 5i 8i 0 + i i + i + 5i i i e) ( i + ) ( i) ( + i) ( i + i + i) ( + i) ( 5i) ( + i) ( 5i) ( + i) + i 5i 5i + 5 i i + i ( + i) ( + i) 8 + i + i + 8i 0i 0i f ) i i ( i) ( + i) i + 0 g) i ( i) ( i) i i + i i i + i ( + i) ( i) 9 i i 0 0 Unidade. Números complexos

7 UNIDADE h) + i ( + i) ( 5i) 0i i 0i i i ( + 5i) ( 5i) 9 5i i 8 i i 7 7 i) 5 + i (5 + i) ( + i) 0 + 5i i + i 0 + i + i i ( i) ( + i) i 5 5 l) + 5i ( + 5i) ( i) i + 5i 0i + i i ( + i) ( i) 9 i i + i i ( i) ( i) m) i + i i i i i ( i) n) ( 5 + ) i i 9 + i 5 5 ñ) ( i) ( i) 9i ( i) 9 ( i) 9 + 8i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( 9 + 8i) ( i) 8 + 8i + i i 8 + 5i + ( + i) ( i) i i i + i Obtén polinomios cuxas raíces sexan: a) + i e i b) i e i c) + i e i (Observa que só cando as dúas raíces son conxugadas, o polinomio ten coeficientes reais). a) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) ( i ) x x + i x x + + x x + 7 b) [x ( i)] [x i] [x + i] [x i] x 9i x + 9 c) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) (x ) + (x ) i (x ) i 8i x x + + (x x + )i + 8 x x + + (x + )i x x + + ix + i x + ( + i)x + ( + i) Unidade. Números complexos 7

8 . Canto debe valer x, real, para que (5 xi) sexa imaxinario puro? (5 xi) 5 + x i 50xi (5 x ) 50xi Para que sea imaginario puro: 5 x 0 8 x 5 8 x ± 5 ±5 Hay dos soluciones: x 5, x 5. Representa graficamente z + i, z + 5i, z + z. Comproba que z + z é unha diagonal do paralelogramo de lados z e z. z + z 5 + 7i 7i z + z 5i z i z 5 Páxina 5. Escribe en forma polar os seguintes números complexos: a) + i b) + i c) + i d) 5 i e) i f) 5 a) + i 0 b) + i 0 c) + i 5 d) 5 i 9 7' e) i 90 f) 5 5. Escribe en forma binómica os seguintes números complexos: a) 5 (π/) rad b) 5º c) 95º d) 0º e) 5 80º f) 90º π π a) 5 (π/) 5 ( cos + i sen ) 5 ( + i ) + i 5 b) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i 5 8 Unidade. Números complexos

9 UNIDADE c) i d) 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i e) f) 90 i. Expresa en forma polar o oposto e o conxugado do número complexo z r a. Opuesto: z r 80 + a Conjugado: z r 0 a. Escribe en forma binómica e en forma polar o complexo: z 8(cos 0º + i sen 0º) z (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) + i + i Sexan os números complexos z 0º e z 0º. a) Expresa z e z en forma binómica. b) Calcula z z e z /z, e pasa os resultados a forma polar. c) Compara os módulos e os argumentos de z z e z /z cos de z e z e intenta encontrar relacións entre eles. a) z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i i 9i i i + i ( ( 70 i) ( i) i) ( + i) ( + i)( i) b) z z ( + i ) ( i ) z z i + 9i + i + i + i i + ( ) 50 c) z z 0 0 ( ) z z 0 ( ) 0 0 ( ) 50 0 Unidade. Números complexos 9

10 Páxina 55. Efectúa estas operacións e dá o resultado en forma polar e en forma binómica: a) 50º 5 0º b) 5º : 5º c) 0º 0º 70º d) 5 (π/)rad : 0º e) ( i) 5 f ) ( + i) + ( + i) a) b) 5 : 5 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i c) (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i d) 5 (π/)rad : : (cos 0 + i sen 0 ) 5 ( + i ) + i e) ( i ) 5 ( 00 ) (cos 0 + i sen 0 ) f) i 90º ( + i ) i. Compara os resultados en cada caso: a) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ) b) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ), ( 0 ) a) ( 0º ) 0º 8 90º ( 50º ) 50º 8 50º 8 90º ( 70º ) 8 70º 8 80º 8 90º b) ( 0º ) 0º 0º ( 50º ) 00º 0º ( 70º ) 080º 0º ( 0º ) 0º 0º. Dados os complexos z 5 5º, w 5º, t i, obtén en forma polar: a) z t, b) z z w c) z d) w t t w z 5 5 w 5 t i 90 0 Unidade. Números complexos

11 UNIDADE a) z w 0 0 b) z z ( 5 )5 w z c) ( ) 0 ( )00 w t 0º z w d) t Expresa cos a e sen a en función de sen a e cos a utilizando a fórmula de Moivre. Ten en conta que: (a + b) a + a b + ab + b ( a ) (cos a + i sen a) cos a + i cos a sen a + i cos a sen a + i sen a cos a + cos a sen a i cos a sen a i sen a (cos a cos a sen a) + ( cos a sen a sen a)i Por otra parte: ( a ) a cos a + i sen a Por tanto: cos a cos a cos a sen a sen a cos a sen a sen a Páxina 57. Calcula as seis raíces sextas de. Represéntaas e exprésaas en forma binómica. 0 (0 k)/ 0 k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: i 0 + i 80 0 i 00 i Representación: Unidade. Números complexos

12 . Resolve a ecuación z Representa as súas solucións. z z 7 ( n)/ n ; n 0,, z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i z z z. Calcula: + i a) i b) i c) 5 d) + i a) i ( k)/ ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 + i 70 b) i (0 + 0 k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 ( + i ) + i 0 ( + i ) + i 0 ( i ) i 0 00 ( i ) i Unidade. Números complexos

13 UNIDADE c) 5 5 ( k)/ k ; k 0, 5 80 Las dos raíces son: i; i d) ( k)/ k ; k 0,, + i 85 + i 75 0 Las tres raíces son: 5 ; 5 ; 5. Resolve as ecuacións: a) z + 0 b) z + 0 a) z z ( k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 5 + i; 5 + i; 5 i; 5 i b) z z ( k)/ k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: 0 ( + i ) + 90 i ( + i ) + i 0 ( i ) i i 0 ( i ) i 5. Comproba que se z e w son dúas raíces sextas de, daquela tamén o son os resultados das seguintes operacións: z w, z/w, z, z z y w raíces sextas de 8 z, w (z w) z w 8 z w es raíz sexta de. z ( ) z z 8 es raíz sexta de. w w w z (z ) z (z ) 8 z es raíz sexta de. z (z ) z 8 z z (z ) z 8 z es raíz sexta de. Unidade. Números complexos

14 . O número + i é a raíz cuarta dun certo número complexo, z. Calcula as outras tres raíces cuartas de z. + i 5 5' Las otras tres raíces cuartas de z serán: 5 5' ' + i 5 5' ' i 5 5' ' i 7. Calcula as seguintes raíces e representa graficamente as súas solucións: a) 9 b) 7 c) i 5 d) e) f ) + i i a) 9 ( k)/ k ; k 0, 9 80 i 8i Las dos raíces son: 90 i; 70 i i i 7 80 b) 7 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z 80 z 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i ) i z z z Unidade. Números complexos

15 UNIDADE c) i 8 (5 + 0 k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 05 0,7 +,7i z 5 ( i ) i z 5,7 0,7i z z i i z d) ( k)/ k ; k 0,, i 5 + i 70 5 Las tres raíces son: i 90 i 0 i 0 i 0 0 e) ( i) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, i i ( i) Las cinco raíces son: z 8,9 + 0,i z 90 i z,9 + 0,i z,,i z 5 0,,i z z z z z f) 8i (90º + 0º k)/ 0º + 0º k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0º z 50º z 70º z z z Unidade. Números complexos 5

16 Páxina 58 LINGUAXE MATEMÁTICA. Pon a ecuación ou inecuación que caracteriza os seguintes recintos ou liñas: a) b) c) d) e) Describe con palabras cada unha das familias ( son os números complexos cuxa parte real vale ) e dá un representante de cada unha delas. a) Re z b) Ì Im z < c) z d) z > e) Arg z 90. Representa: a) Re z b) Im z 0 c) < Re z 5 d) z e) Arg z 80 a) b) c) d) e) Unidade. Números complexos

17 UNIDADE Páxina EXERCICIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS PARA PRACTICAR Números complexos en forma binómica Calcula: a) ( + i) ( i) ( i) ( i) b) + i( + i) (5 i) c) i ( i)5i d) ( i) ( + i) ( i) a) ( + i) ( i) ( i) ( i) i + i i + i + i i i + i + + i + i i b) + i ( + i) (5 i) i + i 5 + i i 5 + i + i c) i ( i)5i i 0i + 5i i 5 5 i d) ( i) ( + i) ( i) (i) 9i + i i 8 + i Calcula en forma binómica: ( + i) ( i) + i a) b) i ( + i) ( + i) + 5i + i c) ( i) d) + i i i + i a) ( + i) ( i) i + i i 8 + i (8 + i) ( + i) i i i ( i) ( + i) + i + i + 8i i b) + i + i + i ( + i) ( i) ( + i) ( + i) + i i + i ( + i) ( i) + i 8i + 8 i 9 7i 9 7 i c) + 5i i + 5i i (7 + i) ( + i) ( i) i i i ( i) ( + i) + i + 9i 5 + i 5 + i 9 + Unidade. Números complexos 7

18 + i i ( + i) ( + i) ( i) ( i) d) + + i + i ( i) ( + i) ( + i) ( i) + i + i + 9i i + i 9 + 7i i 9 + 7i 7 + i 7 + i Dados os números complexos z i, w + i, t i, calcula: w a) zwt b) zt w(t + z) c) t z z t z + it d) e) w f) w z wt z i; w + i; t i a) zwt ( i) ( + i) ( i) ( + i +9i i )( i) ( + i) ( i) i i i b) zt w(t + z) ( i) ( i) ( + i) ( i + i) ( i +i ) ( + i) ( 5i) ( i) ( + i) ( 5i) ( i) ( + 5i +i 0i ) ( i) (7 + 7i) 9i w + i i i ( + i)( + i) c) t ( i) z i i (i) + i +i +8i + 8i i z t ( i) ( i) i +i ( i) d) w + i + i ( ) (i) i i 9 + z + it ( i) +i( i) 9i + e) w ( + i) ( + i) ( ) 5 0 i ( + i) 5 + i +9i i 7 + i f) z wt ( i) ( + i) ( i) i + 9i ( + i)( ) 8 i + 8i 0 + i 0 + i 8 Unidade. Números complexos

19 UNIDADE Calcula: a) i 7 b) i c) i 7 d) i e) i a) i 7 i i b) i i c) i 7 i 7 i i d) i i 0 e) i i i 0 5 Dado o número complexo z + i, proba que: a) + z + z 0 b) z z a) z ( + i ) + i i i i i + z + z + ( + i ) + ( i ) + i i 0 ( i ) b) z + i + ( + i) ( + i i i) ( i ) ( i ) i i + z i (lo habíamos calculado en a) Por tanto: z z Igualdade de números complexos Calcula m e n para que se verifique a igualdade ( + mi) + (n + 5i) 7 i. ( + mi) + (n + 5i) 7 i ( + n) + (m + 5)i 7 i 8 + n 7 m + 5 n 5 m 7 Unidade. Números complexos 9

20 k + i 7 Determina k para que o cociente sexa igual a i. + i k + i + i (k + i) ( i) k ki + i + (k + ) + ( k)i ( + i) ( i) + k + ( ) + ( ) i i 8 Por tanto, k. k k + k 8 k 8 k 8 Calcula a e b de modo que se verifique: (a + bi) + i Desenvolve o cadrado; iguala a parte real a, e a parte imaxinaria a. (a + bi) + i a + bi + abi + i a b + abi + i 8 b a a a b ab a a ( ) 8 a 8 a a 8 a a 0 a ± 9 + a 8 b a 8 b a ± 5 a 8 a ± a (no vale) 9 Dados os complexos ai e bi, calcula a e b para que o produto sexa igual a 8 + i. ( ai) ( bi) 8 + i bi ai + abi 8 + i bi ai ab 8 + i ( ab) + ( b a)i 8 + i ab 8 b a b + a 0 Unidade. Números complexos

21 UNIDADE a ( ) a + a + a ± + 8 a 8 a + a 8 a + a 0 0 Calcula o valor de a e b para que se verifique: + bi a i 5 i (a i) (5 i) + bi 5a ai 5i 9 + bi (5a 9) + ( a 5)i + bi 5a 9 a 5 b ± 8 a /5 b 08/5 a + a a 8 b a 8 b a i + bi 5 i Calcula o valor de b para que o produto ( i) ( + bi) sexa un número: a) Imaxinario puro. b) Real. ( i) ( + bi) + bi i + b ( + b) + (b )i a) + b 0 8 b b) b 0 8 b 8 Determina a para que (a i) sexa un número imaxinario puro. (a i) a + i ai (a ) ai Para que sea imaginario puro, ha de ser: a 0 8 a ± 8 a, a Calcula x para que o resultado do produto (x + + ix) (x i) sexa un número real. (x + + ix) (x i) x xi + x i + x i xi x xi + x i + ix + x (x + x) + (x x )i Para que sea real, ha de ser: x ± + 8 x 0 8 x ± x x Unidade. Números complexos

22 Números complexos en forma polar Representa estes números complexos, os opostos e os conxugados. Exprésaos en forma polar. a) i b) + i c) + i d) i e) f ) i g) i h) + i a) i 5 Opuesto: + i 5 Conjugado: + i 5 + i + i i b) + i 5 Opuesto: i 5 + i Conjugado: i 5 i i c) + i 0 Opuesto: i 0 Conjugado: i 0 i + i i d) i 0 Opuesto: + i 0 Conjugado: + i 50 + i i + i e) 80 Opuesto: 0 Conjugado: 80 f) i 90 i Opuesto: i 70 Conjugado: i 70 i Unidade. Números complexos

23 UNIDADE g) i ( )70 Opuesto: i ( )90 i/ i/ Conjugado: i ( )90 h) + i 0 Opuesto: i 0 + i Conjugado: i 00 i i 5 Escribe en forma binómica os seguintes números complexos: a) 5º b) (π/) c) 80º d) 7 0º e) (π/) f) 5 70º g) 50º h) 00º a) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i b) (π/) ( cos + i sen ) ( + i ) + i c) 80 π π (cos 80 + i sen 80 ) ( + i 0) d) e) (π/) cos π + i sen π i f) i g) 50 cos 50 + i sen 50 + i + i h) 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( 0,7 + i 0,98) 0,9 +,9i Unidade. Números complexos

24 Dados os números complexos: calcula: z 70, z 0 ; z 5 a) z z b) z z c) z z z d) e) f) z g) z z z h) z i) z z z z a) z z 8 0º b) z z 75º c) z z 5º z d) z,5 5º e) z 50º 0º f) z,5 05º z z g) z 80º h) z 0º i) z 8 80º z 7 Expresa en forma polar e calcula: a) ( i) 5 b) i c) d) 8i e) ( + i) f ) ( i) a) ( i) 5 ( 5 )5 5 5 ( + i) + i b) i ( n)/ n ; n 0,,, Las cuatro raíces son: c) (0 k)/ 0 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i 8 90 d) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 50 + i 70 i e) ( + i ) ( 50 ) f) ( i) (5 0 5' ) 5 90 ' 5 00 ' Unidade. Números complexos

25 UNIDADE 8 Calcula e representa graficamente o resultado: i + i a) ( ) b) + i i i a) ( ) ( 5 ) + i 0 (( ) 85 ) ( ) 855 ( ) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i + i b) + i ( + i) ( + i) + i + i i ( i) ( + i) ( k 0,, )(7 ' + 0 k)/ ( ) 5 7 ' 5 5 5' + 0 k; Las tres raíces son: 5 5' 0, ,7i i 5 5' 0,9 + 0,5i 5 5' 0,09 0,85i 9 Calcula e representa as solucións: a) i b) c) 8i a) i ( k)/ k ; k 0,, 8 00 Las tres raíces son: 00 0,5 +,97i 0,5,i 0,88 0,8i Unidade. Números complexos 5

26 80 b) ( k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 5 + i 5 + i 5 i 5 i 8 90 c) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 50 + i 70 i Páxina 0 Calcula pasando a forma polar: a) ( + i ) 5 b) ( i ) ( i) c) 8 d) e) f) i ( i) 5 i g) i h) + i a) ( + i ) 5 ( 0 ) 5 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i) i b) ( i ) ( i ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) i c) + i (0 + 0 k)/ k k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 + i 0 + i 0 i 00 i + i Unidade. Números complexos

27 UNIDADE 8 ( i) 5 d) ( ) 5 ( ) 5 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( i ) i e) ( k)/ k ; k 0,,,,, ( 5 ) Las seis raíces son: 0 + i 90 i 50 + i 0 i 70 0 i f ) i (5 + 0 k)/ 0' + 80 k ; k 0, 5 Las dos raíces son: 0' 0, +,i 9 0' 0,,i g) i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i 5 ( k 0, ) k; i 5 h) ( ) + i 80 ( )( k)/ Las dos raíces son: ( i ( i )90 )70 Expresa en forma polar z, o oposto z, e o conxugado z en cada un destes casos: a) z i b) z i c) z + i a) z i 00 ; z + i 0 ; z + i 0 b) z i 5 ; z + i 5 ; z + i 5 c) z + i 50 ; z i 0 ; z i 0 Unidade. Números complexos 7

28 Representa os polígonos regulares que teñen por vértices os afixos das seguintes raíces: 5 a) i b) c) + i 5 5 a) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: Representación del polígono (pentágono): 80 b) ( k)/ k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: Representación del polígono (hexágono): c) + i (0 + 0 k)/ 7 0' + 90 k ; k 0,,, 0 Las cuatro raíces son: 7 0' 97 0' 87 0' 77 0' Representación del polígono (cuadrado): 8 Unidade. Números complexos

29 UNIDADE Ecuacións e sistemas en Ç Resolve as seguintes ecuacións e expresa as solucións en forma binómica: a) z + 0 b) z + z + 0 c) z + z d) z z + 0 a) z z 8 z ± ±i z i, z i b) z ± ± 5 + z z ± 5i 5 5 z i, z + i c) z ± 9 8 ± 9 + z z ± 9i 9 9 z i, z + i d) z ± ± z z z i, z + i ± i Resolve as ecuacións: a) z b) iz 7 0 c) z + 8i 0 d) iz + 0 a) z z z 80 ( k)/5 + 7 k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: b) iz z + 7i 0 8 z 7i z 7i 7 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: c) z + 8i 0 8 z 8i 8 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i Unidade. Números complexos 9

30 d) iz z i 0 8 z i 90 z i ( k)/ 0' + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0', + 0,5i 0' 0,5 +,i 0 0', 0,5i 9 0' 0,5,i 5 Resolve as seguintes ecuacións en Ç : a) z + i 0 b) z z c) z d) z + z + 0 a) z + i 0 8 z i 8 z i 8 z ( k)/ ; k 0, 70 z 5, z 5 b) z ± 0 ± ± i z z ± i z i, z + i c) z z 0 8 z 5 8 z ± 5 i z 5 i, z 5 i d) z + z + 0 z t t + t + 0 ± 9 t z 8 z ±i z 9 8 z ±i ± 5 t t 9 Las soluciones son: i 90º ; i 70º ; i 90º ; i 70º Obtén as catro solucións das seguintes ecuacións: a) z 0 b) z + 0 c) z 8z 0 a) z 0 8 z 8 z 0 k/ 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i b) z z 8 z ( k)/ k ; k 0,,, Unidade. Números complexos

31 UNIDADE Las cuatro raíces son: 5 + i 5 + i 5 i 5 i c) z 8z 0 8 z (z 8) z 0 z 8 (0 k)/ 0 k ; k 0,, Las soluciones de la ecuación son: i 0 i 7 Calcula os números complexos z e w que verifican cada un destes sistemas de ecuacións: z + w + i z + w + i a) b) z w + i iz + w 5 + 5i z + w + i a) Sumando miembro a miembro: z w + i z + i 8 z + i w ( + i) ( + i) i Solución: z + i; w i z + w + i b) Multiplicamos por la. a ecuación y sumamos: iz + w 5 + 5i z + w + i iz w 0 0i 8 9i ( i)z 8 9i 8 z 5i i + i ( 5i) i w i Solución: z 5i; w i PARA RESOLVER 8 Calcula m para que o número complexo mi teña o mesmo módulo ca 5 + 5i. mi 9 + m 9 + m m 5 8 m i 5 m ± Hay dos posibilidades: m y m Unidade. Números complexos

32 9 Calcula dous números complexos tales que o seu cociente sexa, a suma dos seus argumentos π/, e a suma dos seus módulos 8. Chámalles r a e s b e escribe as ecuacións que os relacionan: r a π 0º (0º é o argumento do cociente, a b 0º); r + s 8 e a + b. s b r s r + s 8 a + b π a b 0 Hallamos sus módulos: r r s s r + s 8 s + s 8; s 8; s ; r Hallamos sus argumentos: a + b a b 0 π a b; b π ; b π ; a π Los números serán: π/ y π/ 0 O produto de dous números complexos é 90 e o cubo do primeiro dividido polo outro é (/) 0. Determínaos. Llamamos a los números: z r a r s r a s b 90 a + b 90 y w s b (r a ) s b ( ) 0 r /s a b 90 r s r s r s s r r r 8 r 8 r 8 s (no vale) a + b 90 a b 0 8 a k k 8 a, k 0,,, b 90 a Unidade. Números complexos

33 UNIDADE Hay cuatro soluciones: z 0' 8 w z 7 0' 7 0' z 0' 8 w 7 0' z 0 0' 8 w 07 0' 7 0' z 9 0' 8 w 877 0' 57 0' O produto de dous números complexos é 8 e o primeiro é igual ao cadrado do segundo. Calcúlaos. z w 8 z w w w 8 ( k)/ k ; k 0,, Hay tres soluciones: w 0 8 z 0 w 80 8 z 0 w 00 8 z 00 0 De dous números complexos sabemos que: Teñen o mesmo módulo, igual a. Os seus argumentos suman 7π/. O primeiro é oposto do segundo. Cales son eses números? Llamamos a los números: z r a y w s b Tenemos que: r s a + b 7π 8 a 7π + π8 a π8 b π π π Por tanto, los números son: π/ y π / ; o bien π/ y π / Calcula cos 75º e sen 75º mediante o produto 0º 5º cos 75 + i sen (cos 0 + i sen 0 ) (cos 5 + i sen 5 ) ( + i) ( + i) + + i + i + i Por tanto: + cos 75 sen 75 Unidade. Números complexos

34 Calcula as razóns trigonométricas de 5º se coñeces as de 5º e as de 0º mediante o cociente 5º : 0º. 5 : 0 5 cos 5 + i sen 5 / + i ( + i 5 cos 5 + i sen 5 /) cos 0 + i sen 0 / + i (/) 0 + i i + i i ( + i ) ( i ) + Por tanto: + cos 5 sen 5 x i 5 Para que valores de x é imaxinario puro o cociente? x + i x i x + i (x i) (x i) x 5x + i (x + i) (x i) x + x + Para que sea imaginario puro, ha de ser: x x + ( + i ) ( i ) 0 8 x 0 + xi Calcula, en función de x, o módulo de z. xi Demostra que z para calquera valor de x. z + xi + x xi + x O bien: + xi ( + xi) + ( + xi) x x z + xi + x i xi ( xi) ( + xi) + x + x + x ( ) + ( ) x x x z x + x x + x x + x + + x + x ( + x ) ( + x ) ( + x ) ( + x ) 7 Calcula x para que o número complexo que obtemos ao dividir estea representado na bisectriz do primeiro cuadrante. x + i i Para que a + bi estea na bisectriz do primeiro cuadrante, debe ser a b. x + i (x + i) ( + i) x + xi + 8i x x i i ( i) ( + i) Unidade. Números complexos

35 UNIDADE Ha de ser: x x x x + 8 ò x 5 5 Páxina 8 Calcula dous números complexos conxugados cuxa suma é 8 e a suma dos módulos é 0. z + z 8 z + z 0 Como z z ò z 5 Si llamamos: z a + bi 8 z a bi z + z a + bi + a bi a 8 8 a z z a + b + b b 5 8 Hay dos soluciones: z + i 8 z i z i 8 z + i 8 b 9 8 b ± 9 ± 9 A suma de dous números complexos é + i. A parte real do primeiro é, e o produto dos dous é un número real. Determínaos. Llamamos z a + bi y w c + di Tenemos que: z + w + i a 8 c z w ( + bi) ( + di) + di + bi + bdi ( bd) + (d + b)i Para que z w sea un número real, ha de ser d + b 0. Por tanto, b + d b + d 0 a + c b + d d b Los números son: z + i; w i 0 Representa graficamente os resultados que obteñas ao calcular i e indica tamén o lado do triángulo que se forma ao unir eses tres puntos. i 8 (5 + 0 k)/ k Las tres raíces son: z 75 z 95 z 5 Unidade. Números complexos 5

36 z z 0 l z Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno: l ( ) + ( ) cos 0 + ( ) + l Os afixos das raíces cúbicas de 8i son os vértices dun triángulo equilátero. Compróbao. Determinan o mesmo triángulo os afixos de 8i, 8 ou 8? Representa graficamente eses catro triángulos que obtiveches. 8i 8 90 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 50 z 70 Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 0, el triángulo que determinan es equilátero. 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 90 z 0 z k/ 0 k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 0 z 0 8 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 80 z 00 Unidade. Números complexos

37 UNIDADE Representación: z z z z z z z z z z z z 8i 8i 8 8 Poden ser z + i, z + i, z i e z i, as raíces dun número complexo? Xustifica a resposta. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre cada dos de ellas un ángulo de 90 ; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica: i Calcula os números complexos que corresponden aos vértices destes hexágonos:. er hexágono: z 0 z 0 + i z 0 + i z 80 z 5 0 i z 00 i. hexágono: z 0 + i z 90 i z 50 + i z 0 i z 5 70 i z 0 i Unidade. Números complexos 7

38 Poden ser as raíces dun número complexo, z, os números 8º, 00º, 7º, º e º? En caso afirmativo, calcula z. Comproba se o ángulo que forman cada dúas delas é o dun pentágono regular Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta cualquiera de ellas: z ( 8 ) O número complexo 0º é vértice dun pentágono regular. Calcula os outros vértices e o número complexo cuxas raíces quintas son eses vértices. Para obter os outros vértices podes multiplicar cada un por 7º. Los otros vértices serán: El número será: z ( 0 ) 5 Unha das raíces cúbicas dun número complexo z é + i. Calcula z e mais as outras raíces cúbicas. Ten en conta que se z + i 8 z ( + i). + i 5 Las otras raíces cúbicas son: Hallamos z: z ( + i) ( 5 ) (cos 5 + i sen 5 ) ( ) + i 8 + i 7 Escribe unha ecuación de segundo grao que teña por solucións + i e i. Mira o exercicio resolto da páxina 5. [x ( + i)] [x ( i)] x ( i)x ( + i)x + ( + i) ( i) x ( i + + i)x + ( i ) x x Unidade. Números complexos

39 UNIDADE 8 Escribe unha ecuación de segundo grao cuxas solucións sexan: a) 5i e 5i b) i e + i a) (x 5i) (x + 5i) 0 x 5i 0 x b) [x ( i)] [x ( + i)] [(x ) + i] [(x ) i] (x ) (i ) x x + 9i x x Resolve os seguintes sistemas de ecuacións: z + w + i z w 5 i a) b) iz + ( i)w + i ( + i )z + iw i a) Multiplicamos por i la primera ecuación: iz iw i + iz + ( i)w + i Sumamos miembro a miembro: iw + ( i)w i i 8 ( i)w + i + i ( + i)( + i) 5 + 0i w + i i i 5 z + i w + i + i 0 Solución: z 0; w + i b) Multiplicamos por i la primera ecuación: zi wi 5i + ( + i)z + wi i + i ( + i)( i) 8i z i + i i 8 w z 5 + i i 5 + i + i Solución: z i; w + i Sumamos miembro a miembro: zi + ( +i)z 5i + + i 8 ( + i)z + i Interpretación gráfica de igualdades e desigualdades entre complexos 50 Representa. a) Re z b) Im z c) Re z Ì 0 d) Ì Im z Ì e) < Re z < 5 f) z Ì g) Arg z 5 h)0 Ì Arg z Ì 90 Unidade. Números complexos 9

40 a) b) c) d) 0 e) f) 5 g) h) 5 5 Representa os números complexos z tales que z + z. Escribe z en forma binómica, súmalle o seu conxugado e representa a condición que obtés. Llamamos z x + iy Entonces: z x iy Así: z + z x + iy + x iy x 8 x 0 Unidade. Números complexos

41 UNIDADE Representación: x 5 Representa os números complexos que verifican: a) z z b) z + z c) z z a) z x + iy 8 z x iy z z 8 x iy x iy 8 x 0 8 x 0 (es el eje imaginario) Representación: x 0 b) z + z x + iy + x iy x z + z x x 8 x / x 8 x / Representación: x x c) z z x + iy z + iy yi z z yi y Representación: y 8 y y 8 y Unidade. Números complexos

42 5 Escribe as condicións que deben cumprir os números complexos cuxa representación gráfica é a seguinte: a) b) c) d) e) f) En a), b) e f) é unha igualdade. En c) e d), unha desigualdade. En e), dúas desigualdades. a) Re z b) Im z c) Ì Re z d) 0 Ì Im z < < Re z < e) < Im z < f) z Páxina 5 CUESTIÓNS TEÓRICAS 5 Pódese dicir que un número complexo é real se o seu argumento é 0? No, también son reales los números con argumento 80 (los negativos). 55 Se z r a, que relación teñen con z os números r a + 80º e r 0º a? r a + 80 z (opuesto de z) r 0 a z (conjugado de z) 5 Comproba que: a) z + w z + w b) z w z w c) kz k z, con k é Á z a + bi r a 8 z a bi r 0 a w c + di r' b 8 w c di r' 0 b a) z + w (a + c) + (b + d )i 8 z + w (a + c) (b + d)i z + w a bi + c di (a + c) (b + d)i z + w Unidade. Números complexos

43 UNIDADE b) z w (r r') a + b 8 z w (r r')0 (a + b) z w (r r') 0 a + 0 b (r r') 0 (a + b) z w c) kz ka + kbi 8 kz ka kbi k z ka kbi kz 57 Demostra que: z z z 0 r a r r z ( ) a ( ) 0 a 8 r z 58 O produto de dous números complexos imaxinarios, pode ser real? Aclárao cun exemplo. Sí. Por ejemplo: z i, w i z w i i i é Á 59 Representa o número complexo z i. Multiplícao por i e comproba que o resultado que obtés é o mesmo que se lle aplicas a z un xiro de 90º. iz i i + i + i 90 i 0 Que relación existe entre o argumento dun complexo e o do seu oposto? Se diferencian en 80. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es: 80 + a Unidade. Números complexos

44 Que condición debe cumprir un número complexo z a + bi para que z? z Calcula, e iguala a a bi. z z a bi a bi a bi a + bi (a + bi) (a bi) a + b a a + b b a + b a a a + b 8 a + b (módulo ) a b Ha de tener módulo. PARA AFONDAR Un pentágono regular con centro na orixe de coordenadas ten un dos seus vértices no punto (, ). Calcula os outros vértices e a lonxitude do lado. El punto (, ) corresponde al afijo del número complejo z + i 5. Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 7 : z 7 0,9 +,78i z 89,97 0,i z 0,,97i z 5,78 0,9i Los otros cuatro vértices serán: ( 0,9;,78) (,97; 0,) ( 0,;,97) (,78; 0,9) Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno: 7 l l + cos 7 l + 0, l 8, l,7 l, unidades Unidade. Números complexos

45 UNIDADE Se o produto de dous números complexos é 8 e dividindo o cubo dun deles entre o outro obtemos de resultado, canto valen o módulo e o argumento de cada un? z r a w r' b r a r' b (r r') a + b r r' 8 a + b 80 (r a ) r' b Así: r r' 8 r r' r a a + b 80 a b r ( ) a b 0 8 r' b 8 r' r r' r r' 8 r r r' a b 0 r r 8 r 8 r' a + a 80 8 a 80 8 a 5 b 5 Por tanto: z 5, w 5 Calcula o inverso dos números complexos seguintes e representa graficamente o resultado que obteñas: a) π/ b) i c) + i Que relación existe entre o módulo e o argumento dun número complexo e do inverso? 0 a) ( ) π/ ( ) 5π/ π/ π/ π/ π/ (/ π/ ) π/ i b) i i ( ) 70 i /i Unidade. Números complexos 5

46 c) + i 5 + i 0 ( ) 5 ( ) 5 i 5 + i + i Si z r a, entonces z ( r ) 0 a 5 Representa graficamente as igualdades seguintes. Que figura se determina en cada caso? a) z ( + i) 5 b) z (5 + i) a) Circunferencia con centro en (, ) y radio 5. 5 (, ) b) Circunferencia de centro en (5, ) y radio. (5, ) 5 Escribe a condición que verifican todos os números complexos cuxos afixos estean na circunferencia de centro (, ) e raio. z ( + i) Unidade. Números complexos

47 UNIDADE AUTOAVALIACIÓN. Efectúa. ( i) ( + i)( i) + i ( i) ( + i)( i) + i 9 + i i ( i +i i ) 5 i i + i + i ( i)( i) + i i + 9i ( + i)( i) 9 i 9 + 7i i Calcula z e expresa os resultados en forma binómica. z ( + i i ) z Pasamos numerador y denominador a forma polar: + i i z + i i 8 90 ( ) ( 0 ) 0 8 z (cos 0 + i sen 0 ) z ( i ) i r ( ) + tg a 8 a 50. Calcula a e b para que se verifique a igualdade: 5(a i) ( + i)(b i) 5a 0i b i i + bi 8 5a 0i b + + ( + b)i 5a b + Igualando las componentes 8 b 7, a 0 + b Unidade. Números complexos 7

48 . Resolve a ecuación: z 0z ± 0 ± i z z 5 + i z 5 i Soluciones: z 5 + i, z 5 i x + i 5. Calcula o valor que debe tomar x para que o módulo de sexa igual a. i x + i i (x +i)( + i) x +i + xi + i x + (x + )i x x + + i ( i)( + i) i + ( ) + ( ) x x + x x + Módulo x x x Hay dos soluciones: x, x x. Calcula o lado do triángulo cuxos vértices son os afixos das raíces cúbicas de i. z i Expresamos i en forma polar: r ( ) +( ) 8 tg a 8 a z k i 8 0 z 0 z 0 z 50 A z O B z C z En el triángulo AOB conocemos dos lados, OA OB, y el ángulo comprendido, 0. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, AB: AB + cos 0 8 AB u 8 Unidade. Números complexos

49 UNIDADE 7. Representa gráficamente. a) Ì Im z Ì 5 b) z c) z + z a) 5 b) c) a + bi + a bi 8 a 8 a 8. Calcula dous números complexos tales que o seu cociente sexa 50 e o seu produto r a r 50 8 ; a b 50 s b s r a s b r s 8; a + b 90 Resolvemos los sistemas: r/s r s 8 Obtenemos: r s a b 50 a + b 90 a 0 b 0 0 Los números son 0 y 0. Otra posible solución es: 00 y 50. Unidade. Números complexos 9

50 9. Demostra que z z z. z a + bi z a bi z z (a + bi)(a bi) a b i a + b z a + b 8 z z (a + b ) a + b z ( a + b ) a + b z z z 0. Calcula cos 0 e sen 0 a partir do produto (cos 90 + i sen 90 ) (cos 0 + i sen 0 ) i + i ( + i ) (cos 0 + i sen 0 ) + i 8 8 cos 0 ; sen 0. Calcula o número complexo z que se obtén ao transformar o complexo + i mediante un xiro de 0º con centro na orixe. + i Multipicamos por 0 (cos 0 + i sen 0 ). z ( + i) 0 ( + i) ( + i ) z + i + i + i + z + i 50 Unidade. Números complexos