Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής:

Transcript

1 Κεφάλαιο Σειρές Fourier Εισαγωγή Εστω f : είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x ( x ) f f x = x x () =! σηµειακά για όλα τα x σε κάποιο διάστηµα κέντρου x Τότε η () µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Aν είναι γνωστή η τιµή f ( x ) καθώς επίσης και όλες τις τιµές των παραγώγων της f σε κάποιο σηµείο x, τότε η f ανακατασκευάζεται (µε µοναδικό τρόπο) «τοπικά» στο x µέσω της () { : } ηλαδή από το διακριτό σύνολο f ( x ) { } µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα «συνεχές», τη συνάρτηση f (τοπικά στο x ), µε σχετικά απλό τρόπο υστυχώς το πλήθος των αναλυτικών συναρτήσεων είναι «µικρό» µε την έννοια ότι η αναλυτικότητα είναι µια ισχυρή ιδιότητα Το ερώτηµα είναι αν µπορούµε να έχουµε κάτι παρόµοιο της () για κλάσεις συναρτήσεων µε ιδιότητες ασθενέστερες της αναλυτικότητας Ο J Fourier ισχυρίσθηκε ότι κάθε περιοδική συνάρτηση f µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ηµιτόνων και συνηµιτόνων, τη λεγόµενη σειρά Fourier της f Αν και ο ισχυρισµός δεν ισχύει για κάθε περιοδική συνάρτηση, εν τούτοις ισχύει για µια αρκετά µεγάλη κλάση περιοδικών συναρτήσεων όπως θα δούµε παρακάτω Το σηµαντικό δε είναι ότι οι ιδέες του Fourier γενικεύονται και σε κλάσεις µη κατ ανάγκην περιοδικών συναρτήσεων Οι σειρές Fourier µπορούν να ερµηνευθούν απ την οπτική γωνία της µετατροπής περιοδικού (και όχι µόνον) αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Μιλώντας µη αυστηρά µπορούµε να πούµε το εξής: 7

2 Υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, η γνώση µιας κατάλληλα επιλεγµένης ακολουθίας αριθµών (που οι τιµές τους εξαρτώνται από µια συνάρτηση) αρκεί για να µας εξασφαλίσει τη γνώση ολόκληρης της συνάρτησης µε κάποια έννοια Η ανάλυση Fourier θεωρείται εκ των θεµελίων της Αρµονικής Ανάλυσης, η δε ιδέα του Fourier αποτέλεσε τη βάση της σύγχρονης θεωρίας επικοινωνιών 8

3 Συντελεστές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Μια συνάρτηση f : R καλείται περιοδική µε περίοδο > αν f ( x) = f( x+ ) για κάθε x και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει αυτή η σχέση Κάθε περιοδική συνάρτηση αρκεί να µελετηθεί σε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους ίσου µε την περίοδό της Εφόσον κάθε περιοδική συνάρτηση f µπορεί να αναχθεί σε περιοδική µέσω διαστολής (µε την έννοια ότι η f ( x ) είναι περιοδική) και αντιστρόφως, στο Kεφάλαιο αυτό για απλότητα ασχολούµαστε µόνον µε περιοδικές συναρτήσεις c = c µιγαδικών αριθµών και για κάθε x καλούµε τριγωνοµετρική σειρά το ανάπτυγµα Ορισµός Για κάθε ακολουθία { } ix ce π, = P x όπου το σύµβολο δηλώνει απλά την ονοµατοδοσία του δεξιού µέλους µε P (το οποίο µπορεί να συγκλίνει ή όχι) και όχι ισότητα Το ιοστό µερικό άθροισµα της τριγωνοµετρικής σειράς P ορίζεται ως ix =, = P x c e π είναι καλά ορισµένο και για κάθε πεπερασµένη ακολουθία { c : =,, }, τα στοιχεία P ορίζουν το λεγόµενο χώρο P των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων βαθµού Προφανώς κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο P είναι περιοδική συνάρτηση, διότι όλες οι συναρτήσεις είναι περιοδικές για κάθε όπου Επίσης: και στο εξής C : C C ( ) P, = [,) ix e π = θεωρούµε το χώρο Baach όλων των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων µε τη συνήθη νόρµα 9

4 Για, το σύνολο f = su f x C x πix { :,, } Ε = e = ± ± είναι µια βάση του χώρου P (πχ δείξτε ότι η ορίζουσα Wrosky των στοιχείων του συνόλου Ε είναι µη µηδενική στο x = ) και η µοναδική ακολουθία συντελεστών { c } του πολυωνύµου P = υπολογίζεται εύκολα ως εξής ix imx πi ( mx ) P( x) = ce π P( x) e π = ce, m = = πimx πi ( mx ) πimx P x e dx c e dx c m P x e dx, = = = διότι πi ( mx ) e dx= δ, m, όπου δ είναι το σύµβολο του kroecker δ m, = m= m Eτσι κάθε στοιχείο του χώρου P γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως Eστω πix ( ) = πix () = P x P x e dx e πix { ce c } P : = : µονο για πεπερασµενο πληθος δεικτων είναι ο χώρος όλων των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων Τότε P P και ο P είναι πυκνός στο χώρο C

5 Θεώρηµα (Stoe-Weierstrass) Eστω f C ( ) Τότε, για κάθε ε > υπάρχει στοιχείο g P έτσι ώστε f g < ε C Παρατήρηση Υπάρχουν τριγωνοµετρικές σειρές ix ce π = που συγκλίνουν σηµειακά στο µηδέν αλλά η ακολουθία συντελεστών c δεν είναι µηδενική (Μeshov 96) Αρα, εν γένει δεν { } = έχουµε µοναδικότητα αναπαράστασης Απ την άλλη µεριά, τo θεώρηµα µας εξασφαλίζει ότι κάθε συνεχής -περιοδική συνάρτηση προσεγγίζεται οµοιόµορφα από µια ακολουθία τριγωνοµετρικών πολυωνύµων στο χώρο P εν είναι όµως σαφές και ούτε αληθές ότι κάθε τέτοιο πολυώνυµο είναι πάντα µερικό άθροισµα της ίδιας τριγωνοµετρικής σειράς Το ερώτηµα που προκύπτει είναι κάτω από ποιες προϋποθέσεις πάνω σε µια - περιοδική συνάρτηση f (και αν) µπορούµε να πετύχουµε µοναδική αναπαράσταση της f από µια σχέση = πix ( ) f f x e dx e = πii (που θυµίζει τη ()) και αν ναι µε ποια έννοια Η (3) υπονοεί ότι η f θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ολοκληρώσιµη στο Ορισµός Εστω f : (3) είναι µια µετρήσιµη, περιοδική και f : = και ebesgue ολοκληρώσιµη συνάρτηση, δηλαδή { x : : x { x} } = = είναι ο χώρος όλων των µιγαδικών ακολουθιών Τότε ο γραµµικός τελεστής S: : Sf = fˆ, (4) όπου { } ˆ πix f = f x e dx, (4α) Αµεση εφαρµογή για f () t F( e πit ) =

6 { } είναι καλά ορισµένος Η εικόνα Sf = f ˆ µατισµός Fourier της f Κάθε όρος καλείται µετασχη- ˆf καλείται συντελεστής Fourier της f Στο εξής θα χρησιµοποιούµε για απλότητα και το συµβολισµό fˆ: = Sf = fˆ { } Σηµείωση Στο κεφάλαιο αυτό θα θεωρούµε πάντα µετρήσιµες και -περιοδικές συναρτήσεις πάνω στο σύνολο Για απλότητα συµβολίζουµε µε : = τους χώρους των ολοκληρώσιµων -περιοδικών συναρτήσεων στο, C : = C, k =,,, τους χώρους των -περιοδικών, k k k παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε συνεχή k -παράγωγο στο (για k = C: = C( ) είναι ο χώρος των συνεχών, - περιοδικών συναρτήσεων στο όπως παραπάνω) : = τους χώρους των αθροίσιµων (φραγµένων για =) µιγαδικών ακολουθιών στο, µε τις συνήθεις νόρµες, βλέπε Κεφάλαιο Υπενθυµίζουµε ότι και C C C, < < q< k q q, < q Από τον ορισµό έπεται ότι η ακολουθία ˆf είναι φραγµένη, διότι = fˆ f x dx f Αρα: f f (5) κι έτσι η εικόνα R ( S ) του τελεστή S είναι εντός του χώρου των φραγµένων ακολουθιών Λόγω της (5), η (4) γίνεται

7 S : Πρόταση Εστω f, g Φ ( ) και Τότε: af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα) Φ Αν fτ = f ( τ ), τ, τότε ˆ i f = f e π τ (µετάθεση στο χρόνο) τ Φ3 Για m : π im i e f = f ˆ ( m) (µετάθεση στις συχνότητες) Φ4 ˆf = f x Φ5 Αν F( x) = f ( t) dt και συνεχής -περιοδική συνάρτηση και f ˆ =, τότε η F είναι απόλυτα ˆ ˆ f F =, {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο) πi Φ6 Αν f Ck, τότε: ( k ) k f ( π i) fˆ = (παράγωγοι στο χρόνο) Φ7 Εστω f g x = f x t g t dt είναι η συνέλιξη των f και g Τότε η f ebesgue ολοκληρώσιµη στο και Λήµµα (Μοναδικότητας) Αν f, g ( ) και f g = f g g είναι καλά ορισµένη και f = g, τότε f = g σπ στο 3

8 x Απόδειξη Εστω h= f g και H ( x) Ορίζουµε F = H H Τότε F =, F h h Fˆ = = για κάθε, πi = h t dt Τότε H C = σπ στο και λόγω της ιδιότητας Φ5 και της υπόθεσης Εστω P ο χώρος των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων και g P Τότε g P για κάποιο και F ( x ) g ( x ) dx= c ( g ) F ( ) = (6) Τ = Αλλά ο P είναι πυκνός στο C (βλ θεώρηµα ), συνεπώς υπάρχει ακολουθία { g k } P τέτοια ώστε lim g k k x = F x k οµοιόµορφα στο Τότε F x dx= F x F x dx= lim F x g x dx=, k λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης και της (6) Αρα F = παντού στο Τότε F = H = h= σπ στο Λήµµα (Riema-ebesgue) Αν f ( ), τότε fˆ lim = Απόδειξη Για κάθε ε > υπάρχει και τριγωνοµετρικό πολυώνυµο P P έτσι ώστε f P < ε (διότι ο P είναι πυκνός στο C, ο C είναι πυκνός στο και εφόσον C ) C Αρα για κάθε > π ( ) ˆ ix πix = + f f x P x e dx P x e dx k Χρησιµοποιώντας το γενικό θεώρηµα ότι ο χώρος C (, ) πάνω σε φραγµένο φορέα είναι πυκνός στον (, ) χώρος C ( ) των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων είναι πυκνός στον των -περιοδικών και ολοκληρώσιµων συναρτήσεων X µ των συνεχών συναρτήσεων X µ, µπορεί να δειχθεί ως άσκηση ότι ο, το χώρο 4

9 Εστω ( ) π f x P ix x e dx f P = < ε { } x x c : = c = : : lim = είναι ο χώρος όλων των µηδενικών µιγαδικών ακολουθιών, δηλαδή όλων των ακολουθιών µε όριο το µηδέν Από το Λήµµα Riema- ebesgue προκύπτει ότι ο µετασχηµατισµός Fourier f (βλέπε (4)) c = c, άρα : είναι µια ακολουθία µέσα στο χώρο S : c Επίσης απ το Λήµµα προκύπτει ότι η απεικόνιση S είναι - εν είναι όµως επί του χώρου c Με άλλα λόγια υπάρχουν ακολουθίες στο c που δεν είναι συντελεστές Fourier καµιάς ολοκληρώσιµης συνάρτησης Μια αναγκαία συνθήκη ώστε οι συντελεστές c µιας τριγωνοµετρικής σειράς να είναι συντελεστές Fourier είναι η εξής: Aν f είναι τέτοια ώστε f f =, τότε ˆ f / < Το πρόβληµα του χαρακτηρισµού της εικόνας του τελεστή S είναι εξαιρετικά δύσκολο Τέλος, από τις ιδιότητες Φ5 και Φ6 σε συνδυασµό µε το Λήµµα Riema-ebesgue έχουµε: Αν f είναι απόλυτα συνεχής, τότε fˆ ( / ) ( k ) Αν f, τότε k f ( / ) (Υπενθυµίζουµε ότι a ( b ) = = = αν a / b, ) Ετσι, το πόσο «λεία» είναι η f αντανακλάται στην τάξη µε την οποία οι συντελεστές Fourier της f τείνουν στο µηδέν Για το αντίστροφο > ισχύει ότι f C f C 5

10 3 Σειρές Fourier στον ( ) Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε ιδιότητες του µετασχη- µατισµού Fourier ˆ πix f = f ( x) e dx, Για πιο λόγο όµως να το κάνουµε αυτό και τι κερδίζουµε; Εξ υποθέσεως, η f είναι -περιοδική Οµως και οι /-περιοδικές, /3-περιοδικές,,/ -περιοδικές συναρτήσεις είναι επίσης -περιοδικές συναρτήσεις, όπως και οι γραµµικοί συνδυασµοί αυτών Γνωρίζουµε επίσης ότι συν e + e πix πix ( π x) = και ηµ ( π x) όπου οι συν ( π x), ( x) πix πix e e =,, i ηµ π είναι / -περιοδικές συναρτήσεις, δηλαδή το είναι η συχνότητα (σε Hz) που µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά sec (που θεωρούµε ως µια περίοδο) Η τιµή πix λοιπόν του f ( xe ) dx είναι ένα µέτρο της συσχέτισης της ταλάντωσης (του πραγµατικού και φανταστικού µέρους) της f στο µε την ιοστή ταλάντωση (του πραγµατικού και φανταστικού ix µέρους) της Για παράδειγµα, αν η f είναι πραγµατική e π συνάρτηση, τότε f = f ( ) και ο αριθµός ˆf ( ) µας δίνει µια ένδειξη (ένα µέτρο) του κατά πόσο η -περιοδική συνάρτηση f περιέχει ένα ουσιώδες «συστατικό» -ιοστής συχνότητας Με άλλα λόγια αναλύουµε την f στις λεγόµενες αρµονικές της ή αρµονικές συνιστώσες της Φυσικά είναι σηµαντικό να βρούµε συνθήκες ώστε να µπορούµε να ανακατασκευάζουµε µε µοναδικό τρόπο και µε κάποια έννοια την f από την ακολουθία των συντελεστών Fourier ˆf έτσι ώστε να περνάµε από το διακριτό/ψηφιακό πεδίο στο συνεχές/αναλογικό πεδίο Αυτό είναι το αντικείµενο της παραγράφου Εστω λοιπόν { } S : c : Sf = f είναι ο µετασχηµατισµός Fourier όπως παραπάνω Είδαµε ότι ο 6

11 χαρακτηρισµός της εικόνας του S είναι ουσιαστικά άλυτος Θέτουµε το πρόβληµα ως εξής: Mπορούµε να περιορίσουµε κατάλληλα το πεδίο ορισµού του S ώστε η εικόνα του S να µπορεί εύκολα να χαρακτηρισθεί και ο S να είναι αντιστρέψιµος; Aν ναι, υπάρχει και το ερώτηµα: Ποια είναι η µορφή του S ; Στην παράγραφο αυτή θεωρούµε f για να εκµεταλλευθούµε τα εργαλεία των χώρων Hilbert (για περισσότερα βλέπε την παράγραφο Β3 στο Παράρτηµα Β) Υπενθυµίζουµε ότι το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του είναι το Προφανώς: f, g = f x g x dx πi πim πi ( mx ) πi ( mx ) e, e e dx e dx = = = δ m,, άρα το σύνολο Φ = πi { e } είναι ορθοκανονικό Επίσης πi ( ) = ( Φ ) = { } i sa c e : c για πεπερασµενo πληθος, αλλιώς sa { } Φ, άτοπο λόγω του Λήµµατος Μοναδικότητας Αρα το Φ είναι µια ορθοκανονική βάση στον και συνεπώς ισχύει η ταυτότητα Parseval (βλέπε Παράρτηµα Β) f f i, e π = = Sf f (7) (βλ θεώρηµα Β4, Παράρτ Β), όπου := είναι ο χώρος Hilbert των τετραγωνικά αθροίσιµων ακολουθιών µε εσωτερικό γινόµενο cd, = cd, c= ( c), d= ( d) 7

12 Αν λοιπόν περιορίσουµε το πεδίο ορισµού του µετασχηµατισµού Fourier S στο χώρο, τότε f = Sf Με άλλα λόγια { } S : : Sg = g, και επιπλέον ο S είναι ισοµετρία (λόγω (7)), άρα είναι και - Επίσης είναι και επί του, διότι R ( S) = {} όπου R ( S ) είναι η εικόνα του S Πράγµατι, αν h R ( S), τότε για κάθε f R ( S) h, f = f h f = f h = όπου η τελευταία συνεπαγωγή προκύπτει διαλέγοντας f = δ, Συνεπώς η εικόνα R ( S ) είναι πυκνή στον και ο S είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός, άρα ορθοκανονικός (βλ Παράρτηµα Β) ηλαδή * S = S, όπου S : * είναι ο συζυγής τελεστής του S (βλέπε πρόταση Β3, Παράρτ Β), που ορίζεται µέσω της ισότητας Aλλά από την (8): * Sf, c = f, S c (8) * * Sf, c = f, S c f, c = f, S c π i i * * f c = f, Sc f, ce = f, Sc, συνεπώς: Sc * = ce π ii 8

13 Ορίζουµε τώρα τη σύνθετη απεικόνιση * * : : =, = SS SSf fe e f e π ii π ii π ii Τότε * f S Sf f f e π ii = =, όπου η σύγκλιση είναι µε τη νόρµα του Ο τελεστής S καλείται και ως τελεστής ανάλυσης και ο S * καλείται και ως τελεστής σύνθεσης ή αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f Ο σύνθετος τελεστής SS * : = f καλείται σειρά Fourier της f Ετσι δείξαµε το ακόλουθο: Θεώρηµα (Riesz-Fischer) Ο µετασχηµατισµός Fourier πix S: : f f x e dx = είναι µια ισοµετρία επί του ακολουθία { c } ( ) αντιστοιχεί µοναδική συνάρτηση ( ) τέτοια ώστε c f = για κάθε και = fˆ e π f = ii πix Το σύνολο { e : } κατά νόρµα, δηλαδή ˆ i lim f f e π i = = Με άλλα λόγια, σε κάθε ( ) f είναι µια ορθοκανική βάση του για κάθε f, g ισχύει η ταυτότητα Parseval και f, g = f, g 9

14 υστυχώς η σύγκλιση κατά νόρµα δε συνεπάγεται τη σηµειακή σύγκλιση Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση σπ αναφέρουµε χωρίς απόδειξη το πολύ σηµαντικό Θεώρηµα 3 (Carleso) H σειρά Fourier µιας συνάρτησης f συγκλίνει σηµειακά στην f σχεδόν παντού στο 3

15 4 Θεώρηµα Ηausdorff-Youg Παρεµβολή Riesz-hori Aν θέλουµε να γενικεύσουµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου σε χώρους τότε τα πράγµατα δυσκολεύουν Υπό µια έννοια χάνουµε τα εργαλεία των χώρων Hilbert τα οποία πρέπει να αντικατασταθούν µε νέα Τουλάχιστον γνωρίζουµε ότι, οπότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier είναι καλά ορισµένη στον Ισχύει όµως και κάτι περισσότερο: Θεώρηµα 4 (Ηausdorff-Youg) Eστω < < και q είναι ο συζυγής εκθέτης του Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier { } S : : Sf = f q είναι φραγµένος και fˆ q f (αλλά ο S δεν είναι επί του q ) H απόδειξη του θεωρήµατος 4 βασίζεται σ ένα σηµαντικό Θεώρηµα παρεµβολής, το Θεώρηµα Riesz-hori, η απόδειξη του οποίου παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ, ενότητα Γ Θεώρηµα 5 (Riesz-hori) Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι δυο χώροι µέτρου, ( Y ) είναι ο χώρος των µετρήσιµων µιγαδικών συναρτήσεων στο Y, ( µ ) + ( µ ) : X, X, Y είναι γραµµικός τελεστής,,, q, q και Αν t t = +,, t (,) t t = + q q q f M f f X q f M f f X q (, µ ) (, ν ) (, µ ) (, µ ) (, ν ) (, µ ), τότε και ο τελεστής : ( X, µ ) ( Y, ν ) είναι φραγµένος q 3

16 Μάλιστα f M M f = M f t t q Απόδειξη θεωρήµατος 4: Eφαρµογή του θεωρήµατος Riesz- hori για =, =, q =, q =, M = M = Πριν προχωρήσουµε αναφέρουµε µια σηµαντική εφαρµογή του Θεωρήµατος Riesz-hori: Πρόταση (Ανισότητα Υoug) Eστω qr,, [, + ] έτσι ώστε + = + Αν f ( X, µ ) q r και g ( X, µ ), τότε f g ( Χ, µ ) και q Απόδειξη Για g ( X, µ ) q r f g f g r q θεωρούµε τον τελεστή g f = f g f X µ, Από την ολοκληρωτική ανισότητα Mikowski (βλέπε Κεφάλαιο ), παίρνουµε g f = f y g x y d y d x q X X q /q µ µ /q ( ( q ) µ ) µ f y g x y d x d y X = f g X q Αρα ο g : q είναι φραγµένος τελεστής Επίσης απ την ανισότητα Holder παίρνουµε g f f g, q q δηλαδή ο : είναι φραγµένος τελεστής, όπου q είναι ο g q συζυγής εκθέτης του q Εστω 3

17 Τότε t t q t t t r q q = + και = + =, t (,) t + = + = + q q r Από το θεώρηµα Riesz-hori για =, = q, q = q, q = και M = M = g προκύπτει το ζητούµενο q 33

18 5 Προσεγγιστικές µονάδες Το θεώρηµα Ηausdorff-Youg δε µπορεί να επεκταθεί για >, f γιατί πχ υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις f µε για κάθε ε > Εµπνεόµενοι από το θεώρηµα Riesz-Fischer, δίνουµε τον ακόλουθο: { } Ορισµός 3 Εστω fˆ = fˆ ε = είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier µιας µετρήσιµης -περιοδικής συνάρτησης f ( ), όπως στην (4) Τότε η τριγωνοµετρική σειρά f = ˆ i f e π i, (9) καλείται ανάπτυγµα Fourier ή σειρά Fourier της f Το ιοστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier ορίζεται ως ix = = ˆ f x f e π Προφανώς δε γνωρίζουµε καν αν η σειρά Fourier στο δεξιό µέλος της (9) είναι καλά ορισµένη, πόσο µάλλον αν ανήκει στον, πολύ δε περισσότερο αν συγκλίνει στην f µε κάποια έννοια Για ν απαντήσουµε σ αυτά τα ερωτήµατα εργαζόµαστε κατ αρχήν µε τα µερικά αθροίσµατα f Παρατηρούµε ότι όπου, () = = ˆ π ix πiy = = ( ) = f x f e f x y e dy f D x ( + ) πix πi x πix πix πix πix e e = = + = + πix πix = = = e e D x e e e e ( + ) πix ( + ) ( + ) πix πi e e x e πi e / x πi e / x πix e πix e πix e πix e = = ηµ π x = ηµ π ( + ) ( x) 34

19 και η ακολουθία η συνάρτηση D καλείται πυρήνας Dirichlet Για κάθε, D είναι άρτια, αλλά Πράγµατι: ( x) dx= D, su D = () ( ) ( x) ( ) / ηµ π x + π / ηµ y + D ( x) dx = dx = dy / ηµ π π π / ηµ y ( y( + ) ) π y( + ) π / y ηµ / ηµ = dy π ηµ y y π y dy ( + ) π /ηµ t ( k+ ) π / ηµ t π /ηµ ( t+ kπ /) = dt dt dt k k / k π = = t π = π = t π t+ kπ / ( t+ k /) ( k + ) / / 4 + π ηµ π dt π = π π k= k= 4 + dω 4 l ( ) π = + ω π k Τελικά: D 4 l ( + ) π H σχέση () παίζει ουσιώδες ρόλο στον ακόλουθο (αληθή) ισχυρισµό: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση η σειρά Fourier της οποίας αποκλίνει σε κάποιο σηµείο της Ας µελετήσουµε (κάνοντας µια παρένθεση) τη σπουδαιότητα της ποσότητας su D Εστω { K } είναι µια ακολουθία µετρήσι- µων -περιοδικών συναρτήσεων που ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες: 35

20 K x dx=, (α) (β) su K C <, () lim x dx= για κάθε (φιξαρισµένο) < δ < (γ) K δ < x < / Καλούµε µια τέτοια ακολουθία { K } Λόγω της (), ο πυρήνας Dirichlet { } προσεγγιστική µονάδα D δεν είναι προσεγγιστική µονάδα Ας υποθέσουµε τώρα ότι f C και ας θεωρήσουµε κατ αναλογία µε τη () την ακολουθία τελεστών: U : C C : U f x = f K x (γιατί U f C ;) Τότε, λόγω της ιδιότητας (α) στη () έχουµε / = ( ) U f x f x f x y f x K y dy / y δ ( ) = f x y f x K y dy δ < y < ( ) / + f x y f x K y dy = I x + I x, f, f Σηµείωση Παραπάνω θεωρήσαµε = [ /,/] και όχι = [,] Αυτό δεν είναι πρόβληµα διότι λόγω περιοδικότητας a+ f x dx = f x dx a a Λόγω oµοιόµορφης συνεχείας της f στο, για κάθε ε > υπάρχει δ > έτσι ώστε για κάθε x και y δ να ισχύει f ( x y) f ( x) < ε Συνεπώς ( ) I x K y dy, ε ε su K < C ε f y δ 36

21 λόγω της ιδιότητας (β) στη () Οσον αφορά δε το ολοκλήρωµα I, f ( x ), λόγω της ιδιότητας (γ) στη (), υπάρχει αρκούντως µεγάλο έτσι ώστε [,] ε I x su f y K y dy f, f y / C y δ < < Τελικά, για αρκούντως µεγάλο προκύπτει U f f = su U f x f x Cε C x για κάποια σταθερά C ανεξάρτητη του x, άρα lim ( f K )( x) = f ( x) οµοιόµορφα στο Από τα παραπάνω φαίνεται καθαρά ο ρόλος της ποσότητας su K < να διασφαλίζει ότι η τιµή I ( ), f ( x ) είναι αµελητέα (αν η f είναι συνεχής) Ακόµη όµως και αν f ( ) τότε πάλι f K f = < Πράγµατι, εφόσον ο χώρος C είναι πυκνός στον δοθείσης f, υπάρχει g C έτσι ώστε <, Τότε: f g < ε f K f = f g K + g K g + g f ( f g ) K g K g g f + + K f g + g K g + g f C su K + f g + g K g < Cε C 37

22 για αρκούντως µεγάλο ώστε g K g < Cε (το οποίο C δείξαµε παραπάνω) Αναφέρουµε εδώ ότι χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα Youg, (βλ Πρόταση ) και το γεγονός ότι της ποσότητας ( f g) K ( ) Πρόταση 3 ( f g ) K f g K f f C su K < ( ) Βλέπουµε πάλι το σηµαντικό ρόλο που διασφαλιζει ότι ο όρος είναι αµελητέος Συνοψίζοντας, δείξαµε την K Εστω { } Τότε: είναι µια προσεγγιστική µονάδα όπως στη () Για κάθε f C ισχύει f K f = C Για κάθε f ( ), < ισχύει f K f = Στο ερώτηµα αν µπορεί κάποιος να βρει εύκολα προσεγγιστικές µονάδες, η απάντηση είναι καταφατική Ενδεικτικά αναφέρουµε: Τον πυρήνα Feyer { } F : + + D x D x F ( x) = = e = + + πix = + ηµ π ( x( + ) ) ( x) ηµ π P < < : Τον πυρήνα Poisso { r} r r P x = r e = < r < r πix, ( ), = rσυν ( π x) + r όπου σ αυτή την περίπτωση δεν έχουµε µια ακολουθία, αλλά µια 38

23 οικογένεια συναρτήσεων { r} r P < < µε οριακή διαδικασία r Αλλοι σηµαντικοί πυρήνες είναι ο πυρήνας Gauss, o πυρήνας De la Vallee Pussi κλπ Κλείνουµε την παρένθεση περί προσεγγιστικών µονάδων επανερχόµενοι στη σειρά Fourier (): f x = f D x H Πρόταση 3 δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σηµειακή ή την σύγκλιση της σειράς Fourier f, διότι ο πυρήνας Dirichlet D δεν είναι προσεγγιστική µονάδα Φυσικά αυτό δε σηµαίνει ότι { } η σύγκλιση της σειράς Fourier αποτυγχάνει σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις Για να µπορέσουµε να προχωρήσουµε περαιτέρω χρειαζόµαστε µια νέα ιδέα o νέο εργαλείο είναι ο µετασχη- µατισµός Hilbert 39

24 6 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Σύγκλιση κατά νόρµα σειρών Fourier στον { } Oρισµός 4 Εστω fˆ = fˆ είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier όπως στην (4) Η τριγωνοµετρική σειρά = i f Hf i sig f e π i, (3) καλείται µετασχηµατισµός Hilbert της f Υπενθυµίζουµε εδώ ότι x > sig( x) =, x =, x x < Η σειρά στο δεξιό µέλος της (3) ενδέχεται να µην είναι καλά ορισµένη, γι αυτό και χρησιµοποιούµε το συµβολισµό και όχι ισότητα Φορµαλιστικά ορίζουµε και τον τελεστή Hilbert = i f Hf i sig f e π Με προφανή τρόπο τίθεται το ερώτηµα: για ποιο λόγο οδηγούµαστε στον ορισµό (3); Μια απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι διότι µέσω αυτού του τελεστή θεµελιώνεται η κατά νόρµα σύγκλιση της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f στην f Οµως η σπουδαιότητα αυτού του τελεστή είναι µεγαλύτερη, διότι είναι: Πολλαπλασιαστής (βλέπε ορισµό 5), Iδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής, Oριακός τελεστής του πυρήνα των συζυγών αρµονικών (πραγµατικών) συναρτήσεων στο µοναδιαίο δίσκο Oρισµός 5 Εστω { λ } µιγαδικών αριθµών και fˆ = fˆ Λ: : Λ= είναι µια ακολουθία { } i είναι όπως παραπάνω Τότε 4

25 ορίζεται φορµαλιστικά ένας τελεστής Q τον οποίο καλούµε πολλαπλασιαστή έτσι ώστε i f Qf λ f e π = Η λέξη πολλαπλασιαστής είναι προφανής: Ο συντελεστής Fourier Qf ( ) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το συντελεστή Fourier f ( ) µε τον όρο λ Τέτοιοι τελεστές είναι χρήσιµοι διότι είναι τελεστές συνέλιξης Ας δούµε τώρα πως προκύπτει ο τελεστής Hilbert µε φυσικό τρόπο από την ακολουθία ( f ) των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f Προφανώς: i Αλλά: ˆ ix = = χ ˆ [, ] f x f e π = ix f e π = χ[, ] = sig( + ) sig( ) + ( χ{ } + χ{ } ), άρα ( ) ˆ f x = sig + sig f e π = ( ) π ix πix f e f e + + ix Παρατηρούµε ότι: πi( m ) x ˆ πix + = ˆ( ) sig f e sig m f m e = m= πix πimx πix πi ie i sig m f m e ie H e f x m= ˆ i = ( ) = Οµοίως: = ˆ πix πix ( πi i = ) sig f e ie H e f 4

26 Τελικά: = i i πix πi πix πi f ie H e f x ie H e f x ( ) π ix πix f e f e + + (4) Ερµηνεύουµε την ισότητα (4) ως εξής: Για να µελετήσουµε την ακολουθία τελεστών ( f ) των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier της f, αρκεί να µελετήσουµε τη συµπεριφορά ενός µόνον τελεστή, του τελεστή Hilbert Ισχύει όµως το ακόλουθο θεώρηµα, η απόδειξη του οποίου παρατίθεται στο Παράρτηµα : Θεώρηµα 6 O τελεστής Hilbert H ( ) : είναι φραγµένος για κάθε < < εν είναι φραγµένος για = ούτε για = Συνδυάζοντας το θεώρηµα 6 µε τη (4), για κάθε < < έχουµε { } f H e f + H e f + f f πi ( ) ( πi ) max, πi πi C e f + e f + f = C + f < Τότε απ την αρχή οµοιόµορφα φραγµένου (βλ Θεώρηµα Β6, Παράρτηµα Β) έχουµε su <, (5) όπου τελεστή είναι η συνήθης νόρµα (βλ Παράρτηµα Β) του : : f = f D Η ισχύς της (5) είναι ουσιώδης όσον αφορά την κατά νόρµα 4

27 σύγκλιση της σειράς Fourier f στην f, όπως φαίνεται στο ακόλουθο Θεώρηµα 7 Εστω : : f = f D, όπου < < Τότε lim f f = Απόδειξη (α) Αρχικά θα δείξουµε ότι το σύνολο είναι κλειστό Εστω { f m } δείξουµε ότι f { : lim } A= f f f = A έτσι ώστε f f Αρκεί να A Για τυχαίο ε > έχουµε m f f = f f + f f + f f m m m m f f + f f + f f m m m m f f + f f + f f m m m m ( ) = + f f + f f < Cε m m m για m αρκούντως µεγάλο έτσι ώστε fm f < ε και αρκούντως µεγάλο ώστε fm fm < ε ( f m A) Αρα το A είναι κλειστό Απ την άλλη µεριά ο χώρος των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι πυκνός στον Εστω τριγωνοµετρικό πολυώνυµο g Τότε g = g υπό την προϋπόθεση ότι ο βαθµός του g είναι µικρότερος ή ίσος του Αρα το A περιέχει όλα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα (οποιουδήποτε βαθµού) και συνεπώς είναι πυκνό στο A Αφού το A είναι κλειστό, αναγκαστικά A = B 43

28 Θεώρηµα 8 Εστω ( f ) είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier όπως παραπάνω Τότε: (α) Υπάρχει f έτσι ώστε (β) Υπάρχει f C έτσι ώστε su f = su f = C Απόδειξη Για το (α) έχουµε f D f άρα µονάδων ότι Feyer Αρα D Γνωρίζουµε από τη θεωρία προσεγγιστικών lim F D D =, όπου F M είναι ο πυρήνας M M D = lim F D = lim F lim F M M M M M M = Ετσι = D (όπως δείξαµε παραπάνω) και το ζητούµενο προκύπτει άµεσα από την άρνηση του οµοιόµορφα φραγµένου Για το (β) µπορούµε να κατασκευάσουµε συνεχή συνάρτηση µε g D Η κατασκευή παραλείπεται C C Οσον αφορά τη σηµειακή σχεδόν παντού των σειρών Fourier αναφέρουµε χωρίς απόδειξη την ακόλουθη πολύ σηµαντική γενίκευση του θεωρήµατος Carleso Θεώρηµα 9 (Carleso-Hut) Για κάθε < <, η σειρά Fourier κάθε συνάρτησης f συγκλίνει σηµειακά στην f σχεδόν παντού στο Τέλος, όπως ήδη δείξαµε, η συνέχεια µιας συνάρτησης δεν είναι συνθήκη ικανή ώστε να διασφαλίσει τη σηµειακή σύγκλιση της 44

29 σειράς Fourier της f στην f παντού στο Παρ όλα αυτά είδαµε ότι µε χρήση προσεγγιστικών µονάδων η συνέχεια της f αρκεί Μάλιστα ο πυρήνας του Feyer είναι ο µέσος όρος του πυρήνα Dirichlet Aρα ισχύει ο κάτωθι ισχυρισµός: Αν η σειρά Fourier της f συγκλίνει σηµειακά σε σηµείο x τότε το όριο της ισούται µε f ( x ) (διότι αν µια ακολουθία συγκλίνει τότε και η ακολουθία των µέσων όρων της συγκλίνει στο ίδιο όριο) Mια πολύ χρήσιµη πρόταση για τη σηµειακή σύγκλιση των σειρών Fourier είναι η ακόλουθη: Πρόταση 4 Εστω f ( ) είναι συνάρτηση φραγµένης µεταβολής στο Τότε lim f ( x) = ( + ) + ( ) f x f x σηµειακά στο Η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη σε κλειστά διαστήµατα του όπου η f είναι συνεχής f παραγωγίσιµη σπ), τότε είναι φραγµένης µεταβολής, συνεπώς ισχύει η πρόταση 4 Σηµείωση: Aν είναι απόλυτα συνεχής (άρα και 45

30 7 O τελεστής Hilbert ως ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής Πέραν της χρήσης του τελεστή Hilbert ως εργαλείο για την σύγκλιση των σειρών Fourier, ο τελεστής Hilbert είναι και ένας ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής Ας εξηγήσουµε αναλυτικότερα τι εννοούµε Εστω f C Θεωρούµε τα µερικά αθροίσµατα ˆ πix πi( x y) H f = i sig f e = i sig f ( y) e dy = = πiy i sig f x y e dy = = ( ) ( y) συν π y( + ) ηµ ( π y) / συν π = f x y f x+ y dy (απλές πράξεις στο µερικό άθροισµα) / ( ) σφ ( π ) = f x y f x+ y y dy ( ) ( + ) ηµ ( π y) / f x y f x y συν π + = + ( y( )) dy I, f ( x) I, f ( x, ) Με χρήση του Λήµµατος (Riema-ebesgue) I, f x,,, διότι η συνάρτηση f C ( )) Αρα ( ) ( + ) ηµ ( π y) f x y f x y είναι φραγµένη (εφόσον σφ ( π ), H f x f x y y dy (6) Τ Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση σφ( π y) έχει ανωµαλία στο µηδέν τάξης y άρα δεν είναι ολοκληρώσιµη Απ την άλλη µεριά η 46

31 σφ ( y) είναι περιττή συνάρτηση Το γεγονός αυτό µας δίνει τη δυνατότητα να ερµηνεύσουµε το δεξιό µέλος της (6) µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής (PV) κατά Cauchy ως εξής: ( ) σφ ( π ) = lim ( ) σφ ( π ) f x y y dy f x y y dy (7) ε ε y / Πράγµατι: ( ) σφ ( π ) = ( ( ) ) σφ ( π ) / y / f x y y dy f x y f x y dy, ε y ε διότι η ( y) σφ π είναι περιττή Απ την άλλη µεριά f C, άρα f ( x y) f ( x) = ( y) (µε την έννοια ότι υπάρχει θετική σταθερά D ώστε f ( x y) f ( x) D y ), οπότε ( ( ) ) σφ ( π ) = ( σφ ( π )) f x y f x y dy y y dy ε y / ε y / y = συν ( π y) dy= () dy ε y / ηµ y / ( π y ε ), f x y y dy είναι καλά ορισµένη άρα η συνάρτηση ( ) σφ ( π ) ε y / Συνοψίζοντας, ο µετασχηµατισµός Hilbert µπορεί να εκφρασθεί µέσω ενός ολοκληρωτικού τελεστή ως εξής: = ( ) σφ ( π ) = ( ) σφ ( π ) Hf x PV f x y y dy lim f x y y dy, y ε ε / υπό την προϋπόθεση ότι η f είναι µια «καλή» συνάρτηση 47

32 8 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχηµατισµός Hilbert Κατ αρχήν ας θυµηθούµε τον ορισµό και ορισµένες βασικές ιδιότητες µιας αρµονικής συνάρτησης στον (ο παρακάτω ορισµός 5 γενικεύεται και στον ) : Ορισµός 5 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και u: E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών x και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης και ικανοποιεί την εξίσωση του alace u= uxx + uyy = x, y E Σηµείωση Aν u είναι µιγαδική συνάρτηση στο E, τότε η u καλείται αρµονική συνάρτηση αν το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της είναι αρµονικές συναρτήσεις Πρόταση 5 Εστω f : E : f = u+ i v είναι αναλυτική σε ανοικτό σύνολο E Τότε οι συναρτήσεις u και v είναι αρµονικές στο E Απόδειξη Εφόσον η f είναι αναλυτική στο E οι u και v ικανοποιούν τις συνθήκες Cauchy-Riema ux = vy και uy = vx Αρα u xx = vyx και uyy vxy = Αθροίζοντας κατά µέλη προκύπτει u u xx + = για κάθε ( x, y) yy E Ορισµός 6 Εστω uv, : E είναι πραγµατικές συναρτήσεις σε ανοικτό σύνολο E έτσι ώστε η f = u+ iv είναι ολόµορφη στο E Τότε η v καλείται αρµονική συζυγής της u Στο ερώτηµα «αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε σύνολο A µπορούµε πάντα να βρούµε µια συζυγή αρµονική της v ώστε η f = u+ iv να είναι αναλυτική στο A» η απάντηση είναι πολύπλοκη και εξαρτάται από τη µορφή του συνόλου A Παρόλα αυτά ισχύει: Aν A είναι απλά συνεκτικός τόπος, υπάρχει µοναδική αναλυτική 48

33 συνάρτηση f στο A (µε προσέγγιση σταθεράς) µε u Re( f ) Πόρισµα = Αν u είναι (πραγµατική) αρµονική συνάρτηση πάνω και στο z = x, y και ακτίνας R, τότε εσωτερικό κύκλου κέντρου π iθ u( x, y) = u( z + Re ) d π θ Απόδειξη Yπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση f έτσι ώστε u = Re( f ) Για την f ισχύει το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss Εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη παίρνουµε το αποτέλεσµα Πόρισµα (Αρχή µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις) Αν u είναι πραγµατική αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E όπου E είναι µια κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u παίρνει µέγιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πόρισµα 3 Αν u είναι µια πραγµατική αρµονική συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και uxy (, ) = c πάνω στο σύνορο E όπου το E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε u( x, y) = c παντού στο E Ας δούµε τώρα πως συνδέεται ο µετασχηµατισµός Hilbert µε τις συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις Αρχικά θέλουµε να βρούµε την αρµονική επέκταση συνάρτησης f, εντός του µοναδιαίου δίσκου D = { z: z < } πρόβληµα Dirichlet Με άλλα λόγια επιθυµούµε να λύσουµε το όπου iθ u z =, z= re D u e ii = f σ π στο [, π) u x, y = uxx + vyy (καρτεσιανες συντ/νες) ur u θθ u( r, θ ) = urr + + (πολικες συντ/νες) r r, 49

34 = Επειδή z = και z = για κάθε, ορίζουµε ως (µοναδική) λύση του παραπάνω προβλήµατος την iθ Εστω z re, r [, ), θ [,π ) ή ισοδύναµα = + u z f z f z = = θ u re = f r e, i i θ = διότι η u ικανοποιεί την u = στο D (οµοιόµορφα συγκλίνουσα σειρά αρµονικών συναρτήσεων στο D συγκλίνει σε αρµονική συνάρτηση στο D) και επιπλέον όπου iθ iθ = = r( θ ) = r ( θ ) u re f r e f P : P f, = iθ r Pr ( θ ) = r e =, r > = rσυνθ + r είναι η προσεγγιστική µονάδα του Poisso, συνεπώς απ την Πρόταση 3 για προσεγγιστικές µονάδες παίρνουµε i i = r =, u re f P f u e r θ θ µε την -έννοια (ή σηµειακά σπ) για H D είναι ο χώρος Hardy όλων των αναλυτικών συναρτήσεων στο µοναδιαίο δίσκο µε νόρµα π iθ π < Εστω / = su θ D < r< π u u re d H Αποδεικνύεται (Κatzelso) ότι u H iθ θ = ii f ( ) = για κάποια f u( e ) u re f P r Τότε: u u ( e ii = ) = f H D ( ) ( ) D αν και µόνον αν µε = < 5

35 Ετσι µπορούµε να θεωρήσουµε τους χώρους Hardy ως κλειστούς H υπόχωρους του (οπότε µιλάµε για χώρους Hardy πάνω στο µοναδιαίο κύκλο) Αν τώρα f ( ), είναι µια πραγµατική συνάρτηση, τότε αντιστοιχούµε σ αυτή µια αναλυτική συνάρτηση ως εξής: H συνάρτηση Pr ( θ ) είναι αρµονική και µάλιστα είναι το πραγµατικό µέρος της αναλυτικής συνάρτησης g z + z =, z D z Ετσι η συζυγής αρµονική της P r (για σταθερά ίση µε µηδέν) είναι η µε iθ + z + re rηµθ Im = Im iθ = z re rσυνθ + r θ lim Hr : r ( θ ) = σφ = H( θ ) : = H r ( θ ) Σηµειώνουµε εδώ ότι η οικογένεια { r} r µονάδα Oρίζουµε τη συνάρτηση g : : H < < δεν είναι προσεγγιστική D ( i θ g re ) f P ( θ ) i f H ( θ) P f ( θ) i H f ( θ) = + = + r r r r g H D < < Τότε η g είναι αναλυτική στο δίσκο D και Επιπλέον αποδεικνύεται ότι r ii = + = lim g re f i Hf g µε την έννοια (ή σηµειακά σπ) για < <, όπου Hf είναι ο τελεστής Hilbert και Συνεπώς g H ( ) g f i Hf = + = f e i i Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να µελετήσουµε προβλήµατα που σχετίζονται µε πραγµατικές συναρτήσεις χρησιµοποιώντας µε µεθόδους µιγαδικής ανάλυσης εν θα επεκταθούµε περαιτέρω προς αυτή την κατεύθυνση 5

36 9 Ασκήσεις Αποδείξτε τις ιδιότητες Φ-Φ7 της Πρότασης Υπολογίστε τον τύπο των συντελεστών Fourier και της σειράς Fourier για περιοδικές ( > ) και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις f Απ x πi f = f ( x) e dx, x πi, f f e x 3 Αν f ( ) e πix / είναι το µιγαδικό ανάπτυγµα σε σειρά Fourier µιας περιοδικής και ολοκληρώσιµης συνάρτησης f όπως στην άσκηση, δείξτε ότι π πx πx f e = a + aσυν + bηµ, ix / = όπου π x a = f = f ( x) dx, a = f ( x) dx συν και π x b = f ( x) dx ηµ Το δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας καλείται και ως «πραγµατικό» ανάπτυγµα της σειράς Fourier Eπιπλέον, αν f δείξτε την ταυτότητα Parseval f ( ) = a + a + b = 4 Εστω f [ /,/] είξτε ότι: (α) η f είναι άρτια (σπ) αν και µόνον αν f = f ( ), (β) η f είναι περιττή (σπ) αν και µόνον αν f = f ( ), (γ) η f είναι πραγµατική (σπ) αν και µόνον αν f ( ) = f 5 Εστω f ( ) και fm ( t) f ( mt) είξτε ότι = για κάποιο φυσικό αριθµό m 5

37 θεωρώντας πit m f / m, = km fm =, k, km f = f mt e dt < x < 6 ίνεται η συνάρτηση f( x) = την οποία επεκτείνουµε περιοδικά Yπολογίστε τη σειρά Fourier της f Ορίστε την < x < f κατάλληλα στα σηµεία x =, x = και x = έτσι ώστε η σειρά Fourier της να συγκλίνει σηµειακά στην f για κάθε x Yπόδειξη Xρησιµοποιείστε τους τύπους της άσκησης 7 ίνεται η συνάρτηση f( x) = x, x< π την οποία επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο π Με κατάλληλη χρήση της σειράς Fourier της f δείξτε ότι (i) π = και (ii) = 6 π 4 = 4 = 9 Yπόδειξη Xρησιµοποιείστε τους τύπους της άσκησης Για τη (ii) χρησιµοποιείστε την ταυτότητα του Parseval (Θεώρηµα για f = g ) 8 ίνεται η συνάρτηση f( x) = x, x /, την οποία επεκτείνουµε περιοδικά σ όλο το Με κατάλληλη χρήση της σειράς Fourier π της f δείξτε ότι = = 8 9 Υπολογίστε τη σειρά Fourier της 4-περιοδικής συνάρτησης f ( x) x, < x = 4 x, < x < 4 4 π και δείξτε ότι = 4 = 96 53

38 Εστω,, q < q και x * είξτε ότι: (α) ηµ π e πikx k q ( x) (β) Αν ( c ) είναι φθίνουσα και µη αρνητική ακολουθία, χρησιµοποιώντας την άθροιση κατά µέρη του Abel q q q q ab k k = a b k ( aj aj) b k= + k= j= + k= j+ k, δείξτε ότι πikx ce k q k c ( x) ηµ π (γ) Αν ( c ) είναι φθίνουσα και µηδενική ακολουθία, τότε η ix τριγωνοµετρική σειρά ce π = συγκλίνει και µάλιστα οµοιό- µορφα σε κάθε συµπαγές σύνολο των πραγµατικών που δεν περιέχει ακέραιο αριθµό Αν f C ( ) και αν η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στο δείξτε ότι π f x = f e ix x Πως διαµορφώνεται η παραπάνω αν ( ) και η σειρά Fourier της f f είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση; Eστω f C ( ) (α) Αν k f < για κάποιο k δείξτε ότι f C k (β) Εστω a a > Αν f < C για κάποια σταθερά C δείξτε ότι f C k, όπου k είναι ο µεγαλύτερος φυσικός που είναι µικρότερος του a Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την άσκηση 3 είξτε ότι + + ηµ π x( + ) = + ηµ ( π x) D x D x, όπου 54

39 ikx D x = e π k 4 Αν f, g όπου < και q είναι συζυγής q εκθέτης του, δείξτε ότι η συνέλιξη f g είναι συνεχής συνάρτηση στο Υπόδειξη είξτε ότι f ( h ) f, h 5 Αν f, g C ( ), δείξτε ότι 6 Αν f + για < f g x = f g = f g είναι συνάρτηση φραγµένης µεταβολής δείξτε ότι f C/, ( ) 7 Αποδείξτε την Πρόταση 4 Yπόδειξη: Kάθε συνάρτηση φραγµένης µεταβολής είναι διαφορά δυο µονοτόνων συναρτήσεων και τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι πεπερασµένα Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, αρκεί να lim f x = δείξετε την πρόταση για f πραγµατική, αύξουσα µε 8 Aν f, g C + x έχουν απόλυτα συγκλίνουσες σειρές Fourier δείξτε ότι και η fg έχει απόλυτα συγκλίνουσα σειρά Fourier Eπίσης δείξτε ότι το σύνολο όλων των συναρτήσεων µε απόλυτα συγκλίνουσες σειρές Fourier είναι χώρος Βaach, συµβολικά A µε νόρµα f = f ( ) A Τέλος, δείξτε ότι ο τελεστής { } ( ) = : A : f f είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός 55

40 9 (Βerstei) Εστω A είναι ο χώρος της άσκ 8 Αν ( ) για κάποιο a > / δείξτε ότι f c f f i a A είναι σταθερά που εξαρτάται µόνο απ το a και a ia, όπου c a f i a () = su f t + su t t, h ( + ) f t h f t h a είξτε ότι η f C έχει απόλυτα συγκλίνουσα σειρά Fourier αν και µόνον αν η f είναι συνέλιξη δυο τετραγωνικά ολοκληρώσιµων συναρτήσεων στο Αν f και, υπολογίστε την ελάχιστη τιµή του ολοκληρώµατος () πit f t c e dt ) ως προς όλες τις µιγαδικές ακολουθίες ( c = Εστω ( K ) = στο έτσι ώστε lim K =, ( ) Αν f K = f µε την 3 Εστω όπου { D } και { } είναι ακολουθία ολοκληρώσιµων συναρτήσεων έννοια f δείξτε ότι > είξτε ότι f D f f F f, F είναι οι πυρήνες Dirichlet και Feyer 4 Αν f είναι -περιοδική συνάρτηση µε τµηµατικά συνεχή παράγωγο στο δείξτε ότι ( x) / ηµ π lim f ( x) dx f = x 5 (Λήµµα Feyer) Αν f ( ) και g = lim f x g x dx f g δείξτε ότι 56

41 6 Εστω f ( ) είναι a ischitz σε σηµείο F είναι η προσεγγιστική µονάδα του Feyer, δείξτε ότι όπου Ca F f ( x) f ( x), a x µε < a < Αν C a είναι σταθερά που εξαρτάται µόνο απ το a Αν a =, τότε Clog F f ( x) f ( x) = 7 Εστω : ( ) ( ) ( ) : f = f, δείξτε ότι ο : q f f για κάθε [, ], όπου, q συζυγείς δείκτες q πixy f x f y e dy δείξτε ότι 8 Αν < c f f Αν είναι φραγµένος και c < Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε την αρχή οµοιόµορφα φραγµένου 9 Εστω K ( ) µε K < οθείσης g και άγνωστης συνάρτησης f ( ), δείξτε ότι η εξίσωση f K f = g έχει λύση µε ( ) f = K g = 3 Εστω f, g f K g q όπου < < και q είναι συζυγής εκθέτης του είξτε την ταυτότητα τύπου Parseval f x g x dx f g = 3 Εστω H : ( ) και * H = H είναι ο τελεστής Hilbert είξτε ότι Hf = f f 57