KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[ α, b] : y () t = f(, t y()) t, α t b. () y( α ) = y 0 Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων µελετά συνθήκες στην f που εξασφαλίζουν την ύπαρξη και µοναδικότητα της λύσης, καθώς επίσης και την εξάρτηση της λύσης από τα δεδοµένα, π.χ. εάν y y είναι µικρή, τότε η διαφορά y y πόση µικρή είναι. Ειδικά στην y t δηλαδή: περίπτωση που η f είναι πολυώνυµο ου βαθµού ως προς η δ.ε. είναι γραµµική, µε λύση y ( t) = p( t) y( t ) q( t ) t s p( t ) dt t α p( r ) dr α yt () = e y0 qse ds. α Για γενική f όµως όχι µόνο δεν µπορούµε να δώσουµε λύση σε κλειστή µορφή, αλλά ούτε να εγγυηθούµε την ύπαρξη και µοναδικότητά της. Προβλήµατα µε µη µονοσήµαντη λύση είναι δύσκολο να προσεγγισθούν αριθµητικά. Στην περίπτωση µοναδικής λύσης τα πράγµατα είναι αρκετά απλούστερα. Θεώρηµα Έστω [ α, ] f C b είναι µία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη Lipchitz δηλαδή: L 0: t [ α, b] y, y f( t, y ) f( t, y ) L y y, τότε το πρόβληµα () λύνεται µονοσήµαντα 0

2 Η συνθήκη αυτή είναι περιοριστική. Αντικαθιστώντας την µε µία «τοπική» συνθήκη Lipchitz, τα πράγµατα γίνονται καλύτερα. Έτσι: Θεώρηµα Εστω fc[ α, b] [ y c, y c ] και L 0: t [ α, b] y, y [ y c, y c ] fty (, ) fty (, ) Ly y, 0 τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών λύνεται µονοσήµαντα τουλάχιστον c στο διάστηµα [ α, ] b = mi b, α, A = max f( t, y). α) Μέθοδος Eüler b, όπου { } A α t b y c y y c Υποθέτουµε ότι το πρόβληµα των αρχικών τιµών λύνεται µονοσήµαντα. Θεωρούµε έναν οµοιόµορφο διαµερισµό α = t < t <...tn = b του [ α, b ]. Εστω y,...,y N είναι οι προσεγγίσεις των πραγµατικών τιµών y(t ), =0,...,N- της λύσης της δ.ε. (), τότε οι y,...,y N προσδιορίζονται από τον αναδροµικό τύπο: y = y hf(t,y ) =0,...,N-. Αυτό τεκµηριώνεται ως εξής: Αν h 0, τότε: f( x h) f( x) f ( x) f( x h) f( x) hf ( x), h οπότε εάν t, t,...,t N οµοιόµορφος διαµερισµός, τότε t = t h, συνεπώς χρησιµοποιώντας την παραπάνω µε ισότητα αντί γράφουµε: όπου y=yt. = = y y hy y hf t,y, =0,...,N-, Θεώρηµα 3 Αν y,...,y N είναι οι προσεγγίσεις τις οποίες δίνει η µέθοδος Eüler για τον οµοιόµορφο διαµερισµό του [ α, b ] µε βήµα b α h =, τότε: Ν M Lb ( α ) max y y( t) ( e ) h L 0

3 όπου M = max y ( t ) και L η ανισότητα στη συνθήκη Lipchitz. t [ α, b] Απόδειξη: Aπό το πολυώνυµο Taylr ου βαθµού έχουµε: άρα: h yt = yt hy ( t) y ( ξ ), ξ t, t ` h y( t = ( ) ) y y( t) y h f( t, y( t)) f( t, y) y ( ξ) Επειδή όµως: M e e hl y( x) y h M = ( ) M e e hl e h Lh e h ( ) Mh e Lh e έχουµε: δ δ e d ( δ ) d K d de K δ Lh e e e hl Mh e hl και επειδή h b c έχουµε τελικά e Mh e Lb ( α ) L. Το παραπάνω σφάλµα που υπολογίσαµε είναι το λεγόµενο ολικό σφάλµα που είναι της τάξης. Το σφάλµα: ( yt hf( t, yt )) y( t ) δ = καλείται τοπικό σφάλµα και αν αναπτύξουµε µε Taylr την () y t για t = t παίρνουµε: 03

4 ( ξ ) f ( ξ ) y δ = ( ( )) y t hf t, y t y t y ( t) h h =, δηλαδή το τοπικό σφάλµα είναι τάξης και αυτό είναι ένα γενικό φαινόµενο, διότι τα σφάλµατα συσσωρεύονται. Παράδειγµα ίνεται η διαφ. εξίσωση y(t) = t y( t), y ( 0) =. Θεωρείστε έναν οµοιόµορφο διαµερισµό του [ 0, ] µε βήµα h = 0.5 και υπολογίστε τις προσεγγίσεις της λύσης y της δ.ε. στα σηµεία του διαµερισµού µε τη µέθοδο του Eüler. Στη συνέχεια χρησιµοποιήστε την παρεµβολή Newt για να προσεγγίσετε τη λύση της δ. ε. Λύση: Eφαρµόζουµε τον αναδροµικό τύπο της µεθόδου Eüler: ( ) y = y hf t, y t = 0.5 i(i0i ) = y = y hf t, y = i(i0.5i.5 ) =.6565 y = y hf t, y = (i0.5i.6565 ) = y = y hf t, y = (i0.75i ) = και έτσι σχηµατίζουµε τον ακόλουθο πίνακα τιµών της προσεγγιστικής λύσης της δ.ε. στα σηµεία 0, 0.5, 0.5, 0.75, : t 0 t t t 3 T 4 t y y 0 y y y 3 y 4 Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την µέθοδο παρεµβολής του Newt (βλέπε Κεφ. 5) για τα προαναφερθέντα σηµεία και παίρνουµε:

5 άρα η προσεγγιστική λύση της δ.ε. είναι η ακόλουθη: y ( x) = ( x 0).5( x 0 )( x 0.5) ( x 0)( x 0.5)( x-0.5 ).64559( x 0)( x 0.5)( x 0.5)( x 0.75 ). Ευστάθεια της µεθόδου Eüler Έστω f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήµατος. Συνεπώς για δοσµένες αρχικές τιµές y, z τα προβλήµατα αρχικών τιµών: y () t = f t, y() t z () t = f t, z() t y( α) = y z( α) = z έχουν µονοσήµαντες λύσεις y, z C[ α, b ]. Έστω ε () = () () t y t z t, τότε έχουµε: () t = () t ( t) = f ( t y t ) f ( t z t ) ε y z,,, άρα: d ε ε ε ε dt () t = () t () t = () t f ( t, y( t) ) f ( t, z( t) ) Aν λοιπόν ϕ() t = ε () άρα η Lt ϕ () () t f ( t y t ) f ( t z t ) ( t) L y t z t L () t ε, (), () ε () () = ε. t, τότε: ϕ L ϕ 0 Lt ϕ () ϕ Lt d = ( Lt e t L ( t) e e ϕ() t ) 0 dt e t είναι φθίνουσα t [ α, ] b, άρα: οπότε: L α ϕ( α) e Lt ϕ t e, Lb ( α ) { Lt ( α ) et () e e ( α ) max y t z t e y z. 05

6 Η έννοια αυτή δεν είναι πολύ χρήσιµη στην πράξη. Έστω y () t = λy() t, λ < 0, t [0, ) y(0) = είναι γραµµική δ.ε. η οποία έχει µοναδική λύση t = h, τότε: λ = t 0 t y e. Έστω λt y = y hyλ = ( hλ) y = ( hλ) = e Στην πράξη οι υπολογισµοί γίνονται µε µικρό αλλά θετικό h. Έτσι: y 0 αν hλ < = < hλ < < h λ < 0 Λέµε ότι η µέθοδος είναι απόλυτα ευσταθής για h > 0, αν όταν εφαρµοσθεί σ αυτό το πρόβληµα δίνει προσεγγίσεις που τείνουν στο µηδέν όταν. Γενικότερα: Έστω το πρόβληµα λt. y = λ () t y () t, λ, Re( λ ) < 0 y(0) = () Μία αριθµητική µέθοδος επίλυσης προβλήµατος αρχικών τιµών καλείται απόλυτα ευσταθής για κάποιο h > 0 αν όταν εφαρµοσθεί στο πρόβληµα () δίνει προσεγγίσεις για τις οποίες y 0. Η περιοχή του µιγαδικού ηµιεπιπέδου S = { z :Re( z ) < 0} ώστε η µέθοδος να είναι απόλυτα ευσταθής αν hλ S καλείται περιοχή απόλυτης ευστάθειας της µεθόδου.. Μέθοδος Ruge-Kutta Η µέθοδος Eüler είναι ειδική περίπτωση της κατηγορίας Ruge-Kutta. Μία µέθοδος Ruge-Kutta µε q ενδιάµεσα στάδια, υπολογίζει το y από το y µέσω ενός τύπου: (, ) y = y h b f t y q j, j, j j = 06

7 όπου οι b ( j= ) j,..., q είναι δοσµένες σταθερές. Οι q ενδιάµεσες τιµές y,j και t,j δίνονται από τις σχέσεις q y = y h α f t, y i =,..., q i, ij, j, j j = όπου tj, = t Tjh, T j, a ij δεδοµένες σταθερές. Έτσι µία µέθοδος Ruge- Kutta µε q στάδια ορίζεται από q q σταθερές γραµµένες ως εξής: α α q T α q α qq T q b b q Η κλασσική µέθδος Ruge-Kutta ορίζεται από τις κάτωθι σταθερές: Έχουµε λοιπόν: q y = y α f t, y i =,..., q i, ij, j, j i = ft (, y,) y, y h f t, y, y 0 0 0, = y, y,3 y h f t, y,3 y,4 y f ( t h, y,4 ) άρα: 07

8 = 4 (, ) y y b f t y i, i, i i = = y f t y f t y f t y f t y (,,,) (,,, ) (,3,,3 ) (,4,,4 ) = y f ( t, y ) f t h, y 6 3 z,, h f t, y f t h, y 3 a 6,3,4. 08