Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015

Transcript

1 Νικόλαος Ατρέας Aρµονική Ανάλυση ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 5 - -

2 Περιεχόµενα Περίληψη 4 Βιβλιογραφία 6 Κεφάλαιο : Χώροι L Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών 5 Ασκήσεις 7 Κεφάλαιο : Σειρές Fourier Eισαγωγή 7 Συντελεστές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων 9 L T 6 3 Σειρές Fourier στον 4 Θεώρηµα Ηausdorff-Youg Παρεµβολή Riesz-Thori 3 5 Προσεγγιστικές µονάδες και σύγκλιση 34 6 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Σύγκλιση κατά νόρµα σειρών Fourier στον L T 39 7 O τελεστής Hilbert ως ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής 46 8 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert 48 9 Ασκήσεις 5 Κεφάλαιο : Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές Εισαγωγή 58 Το Θεώρηµα Marciiewicz 59 3 Μεγιστική συνάρτηση των Hardy-Littlewood 64 4 Προσεγγιστικές µονάδες και µεγιστικοί τελεστές 67 5 Ασκήσεις 7 Κεφάλαιο 3: Ολοκλήρωµα Fourier 3 Εισαγωγή 76 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier ολοκληρ συναρτήσεων 78 L Ο µετασχηµατισµός Fourier στον 34 Ο Μετασχηµατισµός Fourier στον L Γενικευµένες συναρτήσεις 9 - -

3 35 Θεώρηµα αντιστροφής µέσω προσεγγιστικών µονάδων Ο µετασχηµατισµός Hilbert Ανάλυση Caldero-Zygmud 37 Σύγκλιση ολοκληρωµάτων Fourier στον L ( ) ( < < ) 6 38 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert 9 39 Xώροι Paley-Wieer 3 Τελεστές Caldero-Zygmud 5 3 Ασκήσεις 9 Κεφάλαιο 4: Aνάλυση χρόνου/συχνότητας 4 Εισαγωγή 5 4 Ο συνεχής µετασχηµατισµός Gabor 6 43 Ο µετασχηµατισµός Fourier βραχέος χρόνου 3 44 Aρχή αβεβαιότητας ιακριτοποίηση Ο συνεχής µετασχηµατισµός κυµατιδίων ιακριτοποίηση 46 L Ασκήσεις 6 48 Πολυδιακριτή Ανάλυση του Παράρτηµα Α Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου και Ολοκλήρωσης 6 Παράρτηµα Β Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης 76 Παράρτηµα Γ 9-3 -

4 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια εισαγωγή στην Αρµονική Ανάλυση στην πραγµατική ευθεία Αφορµή για τη συγγραφή αυτών ήταν η ανάθεση διδασκαλίας του µαθήµατος «Αρµονική Ανάλυση» του προγράµµατος µεταπτυχιακών σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΠΘ γαι το Ακαδηµαϊκό έτος 5/6 Στόχος των σηµειώσεων είναι να καταλάβει ο φοιτητής πώς δοµείται η βασική θεωρία της Αρµονικής Ανάλυσης όσον αφορά τόσο το θεωρητικό όσο και το εφαρµοσµένο κοµµάτι αυτής και να διαπιστώσει τον τρόπο µε τον οποίο η Αρµονική Ανάλυση φτάνει να αλληλεπιδρά µε άλλους κλάδους της Ανάλυσης και όχι µόνον Προφανώς υπάρχουν τµήµατα θεωρίας που δεν καλύπτουν οι σηµειώσεις, όπως πχ η θεωρία των πολλαπλασιαστών και η θεωρία Littlewood-Paley Επίσης η θεωρία ιδιαζόντων τελεστών στον και γενικότερα η θεωρία για τον Η ενασχόληση µε την πραγµατική ευθεία έγινε για δυο λόγους: για να διευκολυνθεί ο φοιτητής και για να µπορέσει πιο ώριµα να γενικεύσει στον κατανοώντας και αναγνωρίζοντας καλύτερα τις διαφορές µε τον Για παράδειγµα, στον κατ ουσίαν υπάρχει ένας µόνον ιδιάζον τελεστής, ο τελεστής Hilbert, αλλά η θεωρία των ιδιαζόντων τελεστών στον είναι πολύ πιο εκτεταµένη, πχ βλέπε δυναµικά Riesz κλπ Η δοµή του συγγράµµατος είναι η εξής: Στο Κεφάλαιο παραθέτουµε µια σύντοµη σύνοψη των χώρων L Στο Κεφάλαιο παραθέτουµε τη θεωρία των σειρών Fourier σε χώρους L Μέσω αυτής βλέπουµε τη χρήση της παρεµβολής Riesz-Thori και το φυσικό τρόπο µε τον οποίο προκύπτει ο τελεστής Hilbert ως συνδετικός κρίκος µε τους χώρους H ( T ) της µιγαδικής ανάλυσης Στο Κεφάλαιο ορίζουµε και µελετούµε µεγιστικές συναρτήσεις και τελεστές Παραθέτουµε το Θεώρηµα παρεµβολής Marciiewicz ως βασικό εργαλείο µελέτης (και) τέτοιων τελεστών Αναφέρουµε κλάσεις µεγιστικών τελεστών και αναδεικνύουµε το ρόλο τους όσον αφορά τη σύγκλιση σχεδόν παντού σε χώρους L -4 -

5 Στο Κεφάλαιο 3 µελετούµε το µετασχηµατισµό Fourier σε χώρους L ( ) ως γενίκευση των σειρών Fourier Βλέπουµε πώς προκύπτει µε φυσικό τρόπο η θεωρία των γενικευµένων συναρτήσεων, ο ιδιάζον τελεστής Hilbert, οι χώροι H και οι χώροι Paley-Wieer µε το Θεώρηµα δειγµατοληψίας του Shao Eπίσης παίρνουµε µια πρώτη γεύση της θεωρίας ιδιαζόντων τελεστών ως φυσική γενίκευση του τελεστή Hilbert Στο Κεφάλαιο 4 βλέπουµε πώς οι αδυναµίες του µετασχηµατισµού Fourier µας ωθούν να ορίσουµε νέους µετασχηµατισµούς οδηγώντας µας στην ανάλυση χρόνου/συχνότητας Μελετούµε κυρίως τον ολοκληρωτικό µετασχηµατικό Fourier βραχέος χρόνου και το µετασχηµατισµό κυµατιδίων και κάνουµε µια πολύ σύντοµη εισαγωγή σε διακριτούς µετασχηµατισµούς µέσω της πολυδιακριτής ανάλυσης κυµατιδίων που χρησιµοποιείται ευρύτατα σε πλήθος εφαρµογών της σύγχρονης τεχνολογίας επικοινωνιών -5 -

6 Βιβλιογραφία Joh Beedetto, Harmoic Aalysis ad Alicatios, CRC Press, 997 Igrid Daubechies, Te Lectures o Wavelets, CBMS Regioal Coferece series i Alied Mathematics Philadelhia, 99 3 Javier Duoadioetxea, Fourier Aalysis, Graduate Studies i Mathematics, Vol 9, AMS, 4 H Dym ad H P McKea, Fourier series ad Itegrals, Academic Press, 99 5 Louas Grafaos, Classical Fourier Aalysis, Third editio, Sriger 6 Karlheiz Grocheig, Foudatios of Time-Frequecy Aalysis, Birhauser, Bosto 7 Christoher Heil, Itroductio to Harmoic aalysis, Sriger, 8 Yitzha Katzelso, A Itroductio to Harmoic aalysis, Dover Publicatios, Ic ew Yor, Secod Editio 9 Steve Kratz, Exloratios i Harmoic Aalysis with alicatios to Comlex Fuctio Theory ad the Heiseberg Grou, 7 W Rudi, Real ad Comlex aalysis, McGraw-Hill, 3 rd Editio,987 E Stei ad R Shaarchi Fourier Aalysis: A Itroductio, Priceto Uiversity Press, 3 E Stei Harmoic Aalysis: Real variable methods, Orthogoality ad Oscillatory Itegrals 3 E C Titchmarch, Itroductio to the theory of Fourier Series ad Itegrals, Oxford uiversity Press, Secod Editio -6 -

7 Kεφάλαιο Xώρoι L Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών Εστω ( X,, µ ) είναι χώρος µέτρου Συµβολίζουµε µε (, ) L X µ, < το χώρο Baach όλων των µετρήσιµων ολοκληρώσι- µων συναρτήσεων f : X µε νόρµα Με L ( X, µ ) L / f = f dµ X συµβολίζουµε το χώρο όλων των µετρήσιµων και ουσιωδώς φραγµένων συναρτήσεων f : X, δηλαδή { : : : µ-σχεδον παντου στο } L = f X C > f x C X, µε νόρµα f = if C > : f x C µ-σχεδον παντου στο X L { } Σηµείωση (α) Στο εξής όταν ο χώρος µέτρου είναι σαφής γράφουµε απλά L ή L ( X ) αντί L ( X, µ ) Επίσης πολλές φορές θα χρησιµοποιούµε για απλότητα και το συµβολισµό : = όταν L αυτός δε δηµιουργεί παρανοήσεις (β) Αν X είναι το πολύ αριθµήσιµο σύνολο µε το σύνηθες µέτρο αθροισιµότητας (βλ Παράρτηµα, ενότητα Α) χρησιµοποιούµε X L X ) µε συνήθως το συµβολισµό (αντί f ( ) / f < X = su { f : X} = Για λόγους οµοιογένειας, πολλές φορές θα συνεχίσουµε να γράφου- L X, µ έστω κι αν το σύνολο X είναι το πολύ αριθµήσιµο, µε -7 -

8 έχοντας όµως κάθε φορά στο µυαλό µας τη σωστή ερµηνεία της νόρµας (γ) Αν X είναι µη αριθµήσιµο σύνολο, κάθε στοιχείο f L είναι στην πραγµατικότητα ένας αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας που περιλαµβάνει όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f στο X Για απλότητα θεωρούµε τον L ( X, µ ) ως χώρο συναρτήσεων αντί χώρου κλάσεων ισοδυναµίας Ετσι λοιπόν γράφουµε f L έχοντας όµως στο µυαλό µας ότι η γραφή αυτή υπονοεί όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f (δ) Με βάση τα όσα είπαµε παραπάνω εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο ( X ) είναι ο χώρος όλων των φραγµένων ακολουθιών στο X Επίσης κάθε φραγµένη συνάρτηση f είναι αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας στο χώρο L Με άλλα λόγια, αν η f είναι φραγµένη στο X τότε { } f = su f x : x X L (ε) Για κάθε < <, οι χώροι L δεν είναι χώροι Baach ως προς την, αλλά είναι οιονεί χώροι Baach (quasi Baach saces) d f g = f g είναι πλήρεις µετρικοί χώροι εν θ ασχοληθούµε µε τέτοιους χώρους Στα παρακάτω θεωρούµε πάντα Θεωρώντας ως µετρική την (, ) Oρισµός Εστω, q Οι, q καλούνται συζυγείς ή δυϊκοί εκθέτες αν + = q Ας θυµηθούµε ορισµένες χρήσιµες ανισότητες στους χώρους L Πρόταση (Aνισότητα Ηolder) Εστω, q και είναι συζυγείς εκθέτες Αν f L ( X, µ ) ( Χ, ) τότε fg L ( X µ ) και g L µ q, -8 -

9 fg f g q Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για <, q < Η περίπτωση =, q = (ή =, q = ) αφήνεται ως άσκηση Η απόδειξη βασίζεται σε µια γενίκευση της ανισότητας αριθµητικού/γεωµετρικού µέσου: Αν ab, και θ τότε θ θ ab a b ( θ ) θ + () (για θ = / παίρνουµε τη συνήθη ανισότητα αριθµητικού/γεω- µετρικού µέσου) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας θεωρούµε f και g, οπότε αρκεί να δείξουµε ότι οι συναρτήσεις f F = και f q g G = ικανοποιούν την ανισότητα FG Θέτουµε g q a= F, b= G και θ = / θ = / q στην (), οπότε q FG F G + q Με ολοκλήρωση προκύπτει το ζητούµενο Σηµείωση Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: q ( ) / / q f x g x dx f x dx f x dx Στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: q ( ) / / q f g f f Πρόταση (Aνισότητα Μiowsi) Αν και f, g L ( X, µ ), τότε: f + g f + g -9 -

10 Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για < Η περίπτωση f + g L X, µ Εστω q = αφήνεται ως άσκηση Προφανώς είναι ο συζυγής εκθέτης του όπως στον ορισµό Τότε = και ( f + g) Lq ( X, µ ) Απ την άλλη µεριά: q f + g = f + g f + g f f + g + g f + g () Εφόσον f + g L q, ολοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της () και εφαρµόζοντας την ανισότητα Holder και στους δυο όρους του δεξιού µέλους της () για τους συζυγείς εκθέτες, q, παίρνουµε Αλλά ποσότητα q q f + g f f + g + g f + g / q q f + g = f + g ιαιρώντας και τα δυο µέλη µε την f / q + g παίρνουµε το ζητούµενο Σηµείωση (α) Η ανισότητα Miowsi δεν ισχύει για < < (β) Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: ( ) ( ) / / / f x + g x dx f x dx + f x dx ενώ στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: ( ) ( ) / / / f + g f + f Η ανισότητα Miowsi έχει και την ακόλουθη «εκδοχή» που f L X, µ, καλούµε ολοκληρωτική ανισότητα Miowsi: Aν g L ( Y, ν ), τότε: / / f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X, - -

11 Aς εστιάσουµε τώρα στους χώρους L( X) : L( X, m) Μιλώντας µη αυστηρά, ο χώρος = όπου X L των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων περιλαµβάνει (µεταξύ άλλων) και συναρτήσεις µε «τοπικά απότοµες µεταβολές» (φραγµένες ή µη) που µπορεί να φθίνουν ή και να µη φθίνουν στο µηδέν όταν x Απ την άλλη µεριά ο χώρος L ( ) περιλαµβάνει πιο «οµαλές» συναρτήσεις µε την έννοια ότι παραµένουν πάντα (ουσιωδώς) φραγµένες Ετσι για < q, υπό µια έννοια µετακινούµαστε σταδιακά από τις τοπικά απότοµες προς τις πιο οµαλές περιπτώσεις Αν µ ( X ) <, τότε L ( X) L ( X), οπότε διαισθητικά αναµένουµε ότι ο L ( X ) θα πρέπει να περιέχει όλους τους «ενδιάµεσους» L Πράγµατι ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 3 Eστω X µε µ ( X ) < Για κάθε < q έχουµε X χώρους και L X L X L X L X q / / q f µ X f q Aπόδειξη Εστω f L ( X, µ ) q Θεωρούµε F = f, G = χ X και εφαρµόζουµε την ανισότητα Holder για συζυγείς εκθέτες, q µε q = > Τότε: / q χ X µ q q FG = f F = f X Αν X = ή X = µε το µέτρο αθροισιµότητας µ, τότε για κάθε < η ποσότητα x ( x ) / υπονοεί ότι x = <, άρα η x = ( x ) είναι φραγµένη κι έτσι διαισθητικά νιώθουµε ότι όλοι οι χώροι θα πρέπει να είναι µέσα στον Πράγµατι έχουµε: - -

12 Πρόταση 4 Aν X = ή X = και < q, τότε: ( X) ( X) ( X) ( X) q Aπόδειξη Εστω x ( X ) Τότε su x x Απ την άλλη µεριά q q q q q x = x x su x x x x = x x x q Aν µ ( X ) = τότε η Πρόταση 3 δεν ισχύει Με παραδείγµατα µπορούµε να δούµε ότι κανένας χώρος L ( ) δεν περιέχεται αυστηρώς εντός κάποιου χώρου L ( ) και το αντίστροφο Ισχύει όµως η ακόλουθη: Πρόταση 5 Εστω < r < q Τότε: q και + L L L L L q r q θ θ f f f, θ, r q Απόδειξη Εστω f L L µοναδικό (,) q Εφόσον > >, υπάρχει r q θ έτσι ώστε θ θ = + Μάλιστα r q θ = r q q και θ = r q Παρατηρούµε ότι ( ) rθ r θ = +, άρα οι q, rθ r εκθέτες Τότε από την ανισότητα Holder έχουµε q ( θ ) είναι συζυγείς - -

13 / r θ θ rθ r θ rθ θ / r( θ) ( θ)/ q = = r r /( rθ ) q/( r( θ )) f f f f f f f Aπ την άλλη µεριά έστω f L r ( ) και A x f ( x) θ θ q = f f { : } = Τότε Και A f = fχ x + f x = g + h χ A χ χ = < r r r g f χa x f A x f g f g L r q q r r q r h = f χ A x f A x f h f < h L q r q Τέλος, υπενθυµίζουµε ορισµένα χρήσιµα θεωρήµατα προσέγγισης στους χώρους L που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια Πρόταση 6, όπου < Τότε υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα έτσι ώστε Εστω f L ( X, µ ) φ f, Με άλλα λόγια ο χώρος των φραγµένων απλών συναρτήσεων πάνω L X, µ σε φραγµένο φορέα είναι πυκνός στον Απόδειξη Η f είναι εξ ορισµού µετρήσιµη Οπως ήδη έχουµε δείξει στο Πόρισµα Α του Παραρτήµατος, υπάρχει ακολουθία φ απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε { } φ φ + f και limφ = f σηµειακά Απ την άλλη µεριά: φ f f L X, µ Aπ το Θεώρηµα Κυριαρχούµενης σύγκλισης προκύπτει ότι φ f, - 3 -

14 Σηµείωση Αν X = µε το µέτρο Lebesgue, η παραπάνω πρόταση ισχύει αν αντί απλών συναρτήσεων χρησιµοποιήσουµε φραγµένες κλιµακωτές συναρτήσεις πάνω σε φραγµένο φορέα Eπειδή η χαρακτηριστική συνάρτηση σε φραγµένο σύνολο προσεγγίζεται από µια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ισχύει η ακόλουθη Πρόταση 7 Εστω f L ( ), όπου < Τότε υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων { g } πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε g f, Τέλος υπενθυµίζουµε την ακόλουθη σηµαντική πρόταση που σχετίζεται µε τη δυϊκότητα των χώρων L : Θεώρηµα Εστω < και, q είναι συζυγείς εκθέτες όπως στον ορισµό Τότε ο δυϊκός του χώρου L ( X, µ ) είναι ο χώρος Lq ( X, µ ) Με άλλα λόγια * L = L q µε την ακόλουθη έννοια: για κάθε φραγµένο συναρτησιακό υπάρχει µοναδικό στοιχείο g L τέτοιο ώστε q * Λ L Επιπλέον: µ X Λ f = fg d f L g q = = Λ { fgdµ } su X f = Παρατήρηση Ο δυϊκός χώρος του L δεν είναι ο L - 4 -

15 Ασκήσεις είξτε τη γενικευµένη ανισότητα Holder: Aν qr,, [, + ] µε + =, τότε: q r fg f g (, µ ) (, µ ) (, µ ) L X L X L X r q Υπόδειξη: Σχηµατίστε συζυγούς εκθέτες και εφαρµόστε την ανισότητα Holder Για, q < δείξτε την ολοκληρωτική ανισότητα Miowsi: Aν f L ( X, µ ), g L ( Y, ν ), τότε: / / f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X Yπόδειξη: Xρησιµοποιήστε την έννοια της δυϊκότητας (βλέπε Θεώρηµα παραπάνω) 3 ώστε παράδειγµα συνεχούς συνάρτησης f L ( ) µε lim f ( x) x + 4 Εστω f : 5 Εστω ab, µε a L ab, L ab, είναι οµοιόµορφα συνεχής είξτε ότι f L ( ) f ( x) lim = x + q[ ] [ ] Mε άλλα λόγια ο Lq [, ] του L [ ab, ] < b και < q είξτε µε παράδειγµα ότι ab είναι γνήσιο υποσύνολο 6 Βρείτε συνάρτηση f L ( ) έτσι ώστε f L q < q 7 Εστω, f, f L ( X, µ ) < και lim f f = lim f = f f για κάθε f σηµειακά είξτε ότι - 5 -

16 8 Αν f f στον L ( X, µ ) και g g στον Lq ( X, µ ), όπου, q συζυγείς εκθέτες, δείξτε ότι fg fg στον L ( X µ ), 9 Εστω + + =, είξτε ότι όπου i f f f f, (, µ ) L ( X µ ) (, µ ) L X, L X f είναι µετρήσιµες συναρτήσεις στον L (, ) i X µ αντιστοίχως Αν είναι µια νόρµα σε γραµµικό χώρο V, δείξτε ότι για κάθε f, g V ισχύει f g f g - 6 -

17 Κεφάλαιο Σειρές Fourier Εισαγωγή Εστω f : είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x ( x ) f f x = x x () =! σηµειακά για όλα τα x σε κάποιο διάστηµα κέντρου x Τότε η () µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Aν είναι γνωστή η τιµή f ( x ) καθώς επίσης και όλες τις τιµές των παραγώγων της f σε κάποιο σηµείο x, τότε η f ανακατασκευάζεται (µε µοναδικό τρόπο) «τοπικά» στο x µέσω της () { : } ηλαδή από το διακριτό σύνολο f ( x ) { } µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα «συνεχές», τη συνάρτηση f (τοπικά στο x ), µε σχετικά απλό τρόπο υστυχώς το πλήθος των αναλυτικών συναρτήσεων είναι «µικρό» µε την έννοια ότι η αναλυτικότητα είναι µια ισχυρή ιδιότητα Το ερώτηµα είναι αν µπορούµε να έχουµε κάτι παρόµοιο της () για κλάσεις συναρτήσεων µε ιδιότητες ασθενέστερες της αναλυτικότητας Ο J Fourier ισχυρίσθηκε ότι κάθε περιοδική συνάρτηση f µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ηµιτόνων και συνηµιτόνων, τη λεγόµενη σειρά Fourier της f Αν και ο ισχυρισµός δεν ισχύει για κάθε περιοδική συνάρτηση, εν τούτοις ισχύει για µια αρκετά µεγάλη κλάση περιοδικών συναρτήσεων όπως θα δούµε παρακάτω Το σηµαντικό δε είναι ότι οι ιδέες του Fourier γενικεύονται και σε κλάσεις µη κατ ανάγκην περιοδικών συναρτήσεων Οι σειρές Fourier µπορούν να ερµηνευθούν απ την οπτική γωνία της µετατροπής περιοδικού (και όχι µόνον) αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό Μιλώντας µη αυστηρά µπορούµε να πούµε το εξής: - 7 -

18 Υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, η γνώση µιας κατάλληλα επιλεγµένης ακολουθίας αριθµών (που οι τιµές τους εξαρτώνται από µια συνάρτηση) αρκεί για να µας εξασφαλίσει τη γνώση ολόκληρης της συνάρτησης µε κάποια έννοια Η ανάλυση Fourier θεωρείται εκ των θεµελίων της Αρµονικής Ανάλυσης, η δε ιδέα του Fourier αποτέλεσε τη βάση της σύγχρο-νης θεωρίας επικοινωνιών - 8 -

19 Συντελεστές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Μια συνάρτηση f : R καλείται περιοδική µε περίοδο T > αν f ( x) = f( x+ T) για κάθε x και ο T είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει αυτή η σχέση Κάθε περιοδική συνάρτηση αρκεί να µελετηθεί σε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους ίσου µε την περίοδό της Εφόσον κάθε T περιοδική συνάρτηση f µπορεί να αναχθεί σε περιοδική µέσω διαστολής (µε την έννοια ότι η f ( Tx ) είναι περιοδική) και αντιστρόφως, στο Kεφάλαιο αυτό για απλότητα ασχολούµαστε µόνον µε περιοδικές συναρτήσεις c = c µιγαδικών αριθµών και για κάθε x καλούµε τριγωνοµετρική σειρά το ανάπτυγµα Ορισµός Για κάθε ακολουθία { } ix ce π, = P x όπου το σύµβολο δηλώνει απλά την ονοµατοδοσία του δεξιού µέλους µε P (το οποίο µπορεί να συγκλίνει ή όχι) και όχι ισότητα Το ιοστό µερικό άθροισµα της τριγωνοµετρικής σειράς P ορίζεται ως ix =, = P x c e π είναι καλά ορισµένο και για κάθε πεπερασµένη ακολουθία { c : =,, }, τα στοιχεία P ορίζουν το λεγόµενο χώρο P των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων βαθµού Προφανώς κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο P είναι περιοδική ix συνάρτηση, διότι όλες οι συναρτήσεις e π είναι περιοδικές για κάθε Επίσης: όπου και στο εξής C : C C ( T) P, T = [,) = T θεωρούµε το χώρο Baach όλων των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων µε τη συνήθη νόρµα - 9 -

20 Για, το σύνολο f = su f x C x T πix { :,, } Ε = e = ± ± είναι µια βάση του χώρου P (πχ δείξτε ότι η ορίζουσα Wrosy των στοιχείων του συνόλου Ε είναι µη µηδενική στο x = ) και η µοναδική ακολουθία συντελεστών { c } του πολυωνύµου P = υπολογίζεται εύκολα ως εξής ix imx πi ( mx ) P( x) = ce π P( x) e π = ce, m = = πimx πi ( mx ) πimx P x e dx c e dx c m P x e dx, = = = διότι πi ( mx ) e dx= δ, m, όπου δ είναι το σύµβολο του roecer δ m, = m= m Eτσι κάθε στοιχείο του χώρου P γράφεται µε µοναδικό τρόπο ως Eστω πix ( ) = πix () = P x P x e dx e πix { ce c } P : = : µονο για πεπερασµενο πληθος δεικτων είναι ο χώρος όλων των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων Τότε P P και ο P είναι πυκνός στο χώρο C - -

21 Θεώρηµα (Stoe-Weierstrass) Eστω f C ( T ) Τότε, για κάθε ε > υπάρχει στοιχείο g P έτσι ώστε f g < ε C Παρατήρηση Υπάρχουν τριγωνοµετρικές σειρές ix ce π = που συγκλίνουν σηµειακά στο µηδέν αλλά η ακολουθία συντελεστών c δεν είναι µηδενική (Μeshov 96) Αρα, εν γένει δεν { } = έχουµε µοναδικότητα αναπαράστασης Απ την άλλη µεριά, τo θεώρηµα µας εξασφαλίζει ότι κάθε συνεχής -περιοδική συνάρτηση προσεγγίζεται οµοιόµορφα από µια ακολουθία τριγωνοµετρικών πολυωνύµων στο χώρο P εν είναι όµως σαφές και ούτε αληθές ότι κάθε τέτοιο πολυώνυµο είναι πάντα µερικό άθροισµα της ίδιας τριγωνοµετρικής σειράς Το ερώτηµα που προκύπτει είναι κάτω από ποιες προϋποθέσεις πάνω σε µια - περιοδική συνάρτηση f (και αν) µπορούµε να πετύχουµε µοναδική αναπαράσταση της f από µια σχέση = πix ( ) f f x e dx e = πii (που θυµίζει τη ()) και αν ναι µε ποια έννοια Η (3) υπονοεί ότι η f θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ολοκληρώσιµη στο T Ορισµός Εστω f : (3) T είναι µια µετρήσιµη, περιοδική και f L : = L T και Lebesgue ολοκληρώσιµη συνάρτηση, δηλαδή { x : : x { x} } = = είναι ο χώρος όλων των µιγαδικών ακολουθιών Τότε ο γραµµικός τελεστής S: L : Sf = fˆ, (4) όπου { } ˆ πix f = f x e dx, (4α) T Αµεση εφαρµογή για f () t F( e πit ) = - -

22 { } είναι καλά ορισµένος Η εικόνα Sf = f ˆ µατισµός Fourier της f Κάθε όρος καλείται µετασχη- ˆf καλείται συντελεστής Fourier της f Στο εξής θα χρησιµοποιούµε για απλότητα και το συµβολισµό fˆ: = Sf = fˆ { } Σηµείωση Στο κεφάλαιο αυτό θα θεωρούµε πάντα µετρήσιµες και -περιοδικές συναρτήσεις πάνω στο σύνολο T Για απλότητα συµβολίζουµε µε L : L = T τους χώρους των ολοκληρώσιµων -περιοδικών συναρτήσεων στο T, C : = C T, =,,, τους χώρους των -περιοδικών, παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε συνεχή -παράγωγο στο T (για = C: = C( T ) είναι ο χώρος των συνεχών, - περιοδικών συναρτήσεων στο T όπως παραπάνω) τους χώρους των αθροίσιµων (φραγµένων για : = = ) µιγαδικών ακολουθιών στο, µε τις συνήθεις νόρµες, βλέπε Κεφάλαιο Υπενθυµίζουµε ότι και C C C L L L L, < < q< q q, < q Από τον ορισµό έπεται ότι η ακολουθία ˆf είναι φραγµένη, διότι = L fˆ f x dx f Αρα: f f (5) L κι έτσι η εικόνα R ( S ) του τελεστή S είναι εντός του χώρου των φραγµένων ακολουθιών Λόγω της (5), η (4) γίνεται - -

23 S : L Πρόταση Εστω f, g L Φ ( ) T και Τότε: af + bg = afˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα) Φ Αν fτ = f ( τ ), τ, τότε ˆ i f = f e π τ (µετάθεση στο χρόνο) τ Φ3 Για m : π im i e f = f ˆ ( m) (µετάθεση στις συχνότητες) Φ4 ˆf = f x Φ5 Αν F( x) = f ( t) dt και συνεχής -περιοδική συνάρτηση και f ˆ =, τότε η F είναι απόλυτα ˆ ˆ f F =, {} (αντιπαράγωγος στο χρόνο) πi Φ6 Αν f C, τότε: ( ) f ( π i) fˆ = (παράγωγοι στο χρόνο) Φ7 Εστω T f g x = f x t g t dt είναι η συνέλιξη των f και g Τότε η f Lebesgue ολοκληρώσιµη στο T και Λήµµα (Μοναδικότητας) Αν f, g L ( T ) και f g = f g g είναι καλά ορισµένη και f = g, τότε f = g σπ στο T - 3 -

24 x Απόδειξη Εστω h= f g και H ( x) Ορίζουµε F = H H Τότε F =, F h h Fˆ = = για κάθε, πi = h t dt Τότε H C = σπ στο T και λόγω της ιδιότητας Φ5 και της υπόθεσης Εστω P ο χώρος των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων και g P Τότε g P για κάποιο και F ( x ) g ( x ) dx= c ( g ) F ( ) = (6) Τ = Αλλά ο P είναι πυκνός στο C (βλ θεώρηµα ), συνεπώς υπάρχει ακολουθία { g } P lim g x = F x οµοιόµορφα στο T Τότε τέτοια ώστε F x dx= F x F x dx= lim F x g x dx=, T T T λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης και της (6) Αρα F = παντού στο T Τότε F = H = h= σπ στο T Λήµµα (Riema-Lebesgue) Αν f L ( T ), τότε fˆ lim = Απόδειξη Για κάθε ε > υπάρχει και τριγωνοµετρικό πολυώνυµο P P έτσι ώστε f P < ε (διότι ο P είναι πυκνός L στο C, ο C είναι πυκνός στο L και Αρα για κάθε > L C εφόσον C L ) π ( ) ˆ ix πix = + T T f f x P x e dx P x e dx Χρησιµοποιώντας το γενικό θεώρηµα ότι ο χώρος C (, ) πάνω σε φραγµένο φορέα είναι πυκνός στον L (, ) χώρος C ( T ) των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων είναι πυκνός στον των -περιοδικών και ολοκληρώσιµων συναρτήσεων X µ των συνεχών συναρτήσεων X µ, µπορεί να δειχθεί ως άσκηση ότι ο L T, το χώρο - 4 -

25 Εστω ( ) π f x P ix x e dx f P L = < ε T { } x x c : = c = : : lim = είναι ο χώρος όλων των µηδενικών µιγαδικών ακολουθιών, δηλαδή όλων των ακολουθιών µε όριο το µηδέν Από το Λήµµα Riema- Lebesgue προκύπτει ότι ο µετασχηµατισµός Fourier f (βλέπε (4)) c = c, άρα : είναι µια ακολουθία µέσα στο χώρο S : L c Επίσης απ το Λήµµα προκύπτει ότι η απεικόνιση S είναι - εν είναι όµως επί του χώρου c Με άλλα λόγια υπάρχουν ακολουθίες στο c που δεν είναι συντελεστές Fourier καµιάς ολοκληρώσιµης συνάρτησης Μια αναγκαία συνθήκη ώστε οι συντελεστές c µιας τριγωνοµετρικής σειράς να είναι συντελεστές Fourier είναι η εξής: Aν f L είναι τέτοια ώστε f f =, τότε ˆ f / < Το πρόβληµα του χαρακτηρισµού της εικόνας του τελεστή S είναι εξαιρετικά δύσκολο Τέλος, από τις ιδιότητες Φ5 και Φ6 σε συνδυασµό µε το Λήµµα Riema-Lebesgue έχουµε: Αν f L είναι απόλυτα συνεχής, τότε fˆ ( / ) ( ) Αν f L T, τότε f ( / ) (Υπενθυµίζουµε ότι a ( b ) = = = αν a/ b, ) Ετσι, το πόσο «λεία» είναι η f αντανακλάται στην τάξη µε την οποία οι συντελεστές Fourier της f τείνουν στο µηδέν Για το αντίστροφο > ισχύει ότι f C f C - 5 -

26 3 Σειρές Fourier στον L ( T ) Στην προηγούµενη παράγραφο µελετήσαµε ιδιότητες του µετασχη- µατισµού Fourier ˆ πix f = f ( x) e dx, T Για πιο λόγο όµως να το κάνουµε αυτό και τι κερδίζουµε; Εξ υποθέσεως, η f είναι -περιοδική Οµως και οι /-περιοδικές, /3-περιοδικές,,/ -περιοδικές συναρτήσεις είναι επίσης -περιοδικές συναρτήσεις, όπως και οι γραµµικοί συνδυασµοί αυτών Γνωρίζουµε επίσης ότι συν e + e πix πix ( π x) = και ηµ ( π x) όπου οι συν ( π x), ( x) πix πix e e =,, i ηµ π είναι / -περιοδικές συναρτήσεις, δηλαδή το είναι η συχνότητα (σε Hz) που µετρά το πλήθος των ταλαντώσεων ανά sec (που θεωρούµε ως µια περίοδο) Η τιµή πix λοιπόν του f ( xe ) dx είναι ένα µέτρο της συσχέτισης της T ταλάντωσης (του πραγµατικού και φανταστικού µέρους) της f στο T µε την ιοστή ταλάντωση (του πραγµατικού και φανταστικού ix µέρους) της Για παράδειγµα, αν η f είναι πραγµατική e π συνάρτηση, τότε f = f ( ) και ο αριθµός ˆf ( ) µας δίνει µια ένδειξη (ένα µέτρο) του κατά πόσο η -περιοδική συνάρτηση f περιέχει ένα ουσιώδες «συστατικό» -ιοστής συχνότητας Με άλλα λόγια αναλύουµε την f στις λεγόµενες αρµονικές της ή αρµονικές συνιστώσες της Φυσικά είναι σηµαντικό να βρούµε συνθήκες ώστε να µπορούµε να ανακατασκευάζουµε µε µοναδικό τρόπο και µε κάποια έννοια την f από την ακολουθία των συντελεστών Fourier ˆf έτσι ώστε να περνάµε από το διακριτό/ψηφιακό πεδίο στο συνεχές/αναλογικό πεδίο Αυτό είναι το αντικείµενο της παραγράφου Εστω λοιπόν { } S: L c : Sf = f είναι ο µετασχηµατισµός Fourier όπως παραπάνω Είδαµε ότι ο - 6 -

27 χαρακτηρισµός της εικόνας του S είναι ουσιαστικά άλυτος Θέτουµε το πρόβληµα ως εξής: Mπορούµε να περιορίσουµε κατάλληλα το πεδίο ορισµού του S ώστε η εικόνα του S να µπορεί εύκολα να χαρακτηρισθεί και ο S να είναι αντιστρέψιµος; Aν ναι, υπάρχει και το ερώτηµα: Ποια είναι η µορφή του S ; Στην παράγραφο αυτή θεωρούµε f L L για να εκµεταλλευθούµε τα εργαλεία των χώρων Hilbert (για περισσότερα βλέπε την παράγραφο Β3 στο Παράρτηµα Β) Υπενθυµίζουµε ότι το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του L είναι το Προφανώς: f, g = f x g x dx T πi πim πi ( mx ) πi ( mx ) e, e e dx e dx T = = = δ m,, άρα το σύνολο Φ = πi { e } L είναι ορθοκανονικό Επίσης πi ( T) = ( Φ ) = { } i L sa c e : c για πεπερασµενo πληθος, αλλιώς sa { } Φ, άτοπο λόγω του Λήµµατος Μοναδικότητας Αρα το Φ είναι µια ορθοκανονική βάση στον L και συνεπώς ισχύει η ταυτότητα Parseval (βλέπε Παράρτηµα Β) f f i, e π = = Sf f L L (7) (βλ θεώρηµα Β4, Παράρτ Β), όπου := είναι ο χώρος Hilbert των τετραγωνικά αθροίσιµων ακολουθιών µε εσωτερικό γινόµενο cd, = cd, c= ( c), d= ( d) - 7 -

28 Αν λοιπόν περιορίσουµε το πεδίο ορισµού του µετασχηµατισµού Fourier S στο χώρο L, τότε f = Sf Με άλλα λόγια { } S: L : Sg = g, και επιπλέον ο S είναι ισοµετρία (λόγω (7)), άρα είναι και - Επίσης είναι και επί του, διότι R ( S) = {} όπου R ( S ) είναι η εικόνα του S Πράγµατι, αν h R ( S), τότε για κάθε f R ( S) h, f = f h f = f h = όπου η τελευταία συνεπαγωγή προκύπτει διαλέγοντας f = δ, Συνεπώς η εικόνα R ( S ) είναι πυκνή στον και ο S είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός, άρα ορθοκανονικός (βλ Παράρτηµα Β) ηλαδή * S = S, όπου S : L * είναι ο συζυγής τελεστής του S (βλέπε πρόταση Β3, Παράρτ Β), που ορίζεται µέσω της ισότητας Aλλά από την (8): * Sf, c = f, S c L (8) * * Sf, c = f, S c f, c = f, S c L π i i * * f c = f, Sc f, ce = f, Sc L L L L, συνεπώς: Sc * = ce π ii - 8 -

29 Ορίζουµε τώρα τη σύνθετη απεικόνιση * * : : =, = SS L L SSf fe e f e π ii π ii π ii Τότε * f S Sf f f e π ii = =, όπου η σύγκλιση είναι µε τη νόρµα του L Ο τελεστής S καλείται και ως τελεστής ανάλυσης και ο S * καλείται και ως τελεστής σύνθεσης ή αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της f Ο σύνθετος τελεστής SS * : = Tf καλείται σειρά Fourier της f Ετσι δείξαµε το ακόλουθο: Θεώρηµα (Riesz-Fischer) Ο µετασχηµατισµός Fourier πix S: L T : f f x e dx = T είναι µια ισοµετρία επί του ακολουθία { c } ( ) αντιστοιχεί µοναδική συνάρτηση ( T ) τέτοια ώστε c f = για κάθε και = fˆ e π f = ii πix Το σύνολο { e : } κατά νόρµα, δηλαδή ˆ i lim f f e π i = = L Με άλλα λόγια, σε κάθε ( T) f L είναι µια ορθοκανική βάση του L για κάθε f, g L ισχύει η ταυτότητα Parseval και f, g = f, g L - 9 -

30 υστυχώς η σύγκλιση κατά νόρµα δε συνεπάγεται τη σηµειακή σύγκλιση Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση σπ αναφέρουµε χωρίς απόδειξη το πολύ σηµαντικό Θεώρηµα 3 (Carleso) H σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L συγκλίνει σηµειακά στην f σχεδόν παντού στο T - 3 -

31 4 Θεώρηµα Ηausdorff-Youg Παρεµβολή Riesz-Thori Aν θέλουµε να γενικεύσουµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου σε χώρους L τότε τα πράγµατα δυσκολεύουν Υπό µια έννοια χάνουµε τα εργαλεία των χώρων Hilbert τα οποία πρέπει να αντικατασταθούν µε νέα Τουλάχιστον γνωρίζουµε ότι L L, οπότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier είναι καλά ορισµένη στον L Ισχύει όµως και κάτι περισσότερο: Θεώρηµα 4 (Ηausdorff-Youg) Eστω < < και q είναι ο συζυγής εκθέτης του Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier { } S: L : Sf = f q είναι φραγµένος και fˆ q f L (αλλά ο S δεν είναι επί του q ) H απόδειξη του θεωρήµατος 4 βασίζεται σ ένα σηµαντικό Θεώρηµα παρεµβολής, το Θεώρηµα Riesz-Thori, η απόδειξη του οποίου παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ, ενότητα Γ Θεώρηµα 5 (Riesz-Thori) Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι δυο χώροι µέτρου, ( Y ) είναι ο χώρος των µετρήσιµων µιγαδικών συναρτήσεων στο Y, ( µ ) + ( µ ) T : L X, L X, Y είναι γραµµικός τελεστής,,, q, q και Αν t t = +,, t (,) t t = + q q q Tf M f f L X Lq Tf M f f L X L q (, µ ) (, ν ) L (, µ ) (, µ ) (, ν ) L (, µ ), τότε και ο τελεστής T : L ( X, µ ) L ( Y, ν ) είναι φραγµένος Μάλιστα q - 3 -

32 Tf M M f = M f t t L L L q Απόδειξη θεωρήµατος 4: Eφαρµογή του θεωρήµατος Riesz- Thori για =, =, q =, q =, M = M = Πριν προχωρήσουµε αναφέρουµε µια σηµαντική εφαρµογή του Θεωρήµατος Riesz-Thori: Πρόταση (Ανισότητα Υoug) Eστω,, [, ] qr + έτσι ώστε q r g L X, µ f g L Χ, µ και, τότε q Απόδειξη Για g L ( X, µ ) q r + = + Αν f L L ( X µ ) f g f g r q θεωρούµε τον τελεστή g T f = f g f L X µ, και, Από την ολοκληρωτική ανισότητα Miowsi (βλέπε Κεφάλαιο ), παίρνουµε Tg f = f y g x y d y d x q X X q /q µ µ /q ( ( q ) µ ) µ f y g x y d x d y X = f g X q Αρα ο Tg : L Lq είναι φραγµένος τελεστής Επίσης απ την ανισότητα Holder παίρνουµε Tg f f g, q q δηλαδή ο T : L L είναι φραγµένος τελεστής, όπου q είναι ο g q συζυγής εκθέτης του q Εστω - 3 -

33 Τότε t t q t t t r q q = + και = + =, t (,) t + = + = + q q r Από το θεώρηµα Riesz-Thori για =, = q, q = q, q = και M = M = g προκύπτει το ζητούµενο q

34 5 Προσεγγιστικές µονάδες Το θεώρηµα Ηausdorff-Youg δε µπορεί να επεκταθεί για >, f γιατί πχ υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις f µε για κάθε ε > Εµπνεόµενοι από το θεώρηµα Riesz-Fischer, δίνουµε τον ακόλουθο: { } Ορισµός 3 Εστω fˆ = fˆ ε = είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier µιας µετρήσιµης -περιοδικής συνάρτησης f L ( T ), όπως στην (4) Τότε η τριγωνοµετρική σειρά Tf = ˆ i f e π i, (9) καλείται ανάπτυγµα Fourier ή σειρά Fourier της f Το ιοστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier ορίζεται ως ix = = ˆ T f x f e π Προφανώς δε γνωρίζουµε καν αν η σειρά Fourier στο δεξιό µέλος της (9) είναι καλά ορισµένη, πόσο µάλλον αν ανήκει στον L, πολύ δε περισσότερο αν συγκλίνει στην f µε κάποια έννοια Για ν απαντήσουµε σ αυτά τα ερωτήµατα εργαζόµαστε κατ αρχήν µε τα µερικά αθροίσµατα T f Παρατηρούµε ότι όπου, () T = = ˆ π ix πiy = = ( ) = T f x f e f x y e dy f D x ( + ) πix πi x πix πix πix πix e e = = + = + πix πix = = = e e D x e e e e ( + ) πix ( + ) ( + ) πix πi e e x e πi e / x πi e / x πix e πix e πix e πix e = = ηµ π x = ηµ π ( + ) ( x)

35 και η ακολουθία ( D ) καλείται πυρήνας Dirichlet Για κάθε, η συνάρτηση D είναι άρτια, αλλά Πράγµατι: ( x) dx= D T, su D = () L ( ) ( x) ( ) / ηµ π x + π / ηµ y + D ( x) dx = dx = dy / ηµ π π π / ηµ y T ( y( + ) ) π y( + ) π / y ηµ / ηµ = dy π ηµ y y π y dy ( + ) π /ηµ t ( + ) π / ηµ t π /ηµ ( t+ π /) = dt dt dt / π = = t π = π = t π t+ π / ( t+ /) ( + ) / / 4 + π ηµ π dt π = π π = = 4 + dω 4 l ( ) π = + ω π Τελικά: D L 4 l ( + ) π H σχέση () παίζει ουσιώδες ρόλο στον ακόλουθο (αληθή) ισχυρισµό: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση η σειρά Fourier της οποίας αποκλίνει σε κάποιο σηµείο της Ας µελετήσουµε (κάνοντας µια παρένθεση) τη σπουδαιότητα της ποσότητας su D Εστω L { K } είναι µια ακολουθία µετρήσι- µων -περιοδικών συναρτήσεων που ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες:

36 T K x dx=, (α) (β) su K L C <, () lim x dx= για κάθε (φιξαρισµένο) < δ < (γ) K δ < x < / Καλούµε µια τέτοια ακολουθία { K } Λόγω της (), ο πυρήνας Dirichlet { } προσεγγιστική µονάδα D δεν είναι προσεγγιστική µονάδα Ας υποθέσουµε τώρα ότι f C και ας θεωρήσουµε κατ αναλογία µε τη () την ακολουθία τελεστών: U : C C : U f x = f K x (γιατί U f C ;) Τότε, λόγω της ιδιότητας (α) στη () έχουµε / = ( ) U f x f x f x y f x K y dy / y δ ( ) = f x y f x K y dy δ < y < ( ) / + f x y f x K y dy = I x + I x, f, f Σηµείωση Παραπάνω θεωρήσαµε T = [ /,/] και όχι = [,] Αυτό δεν είναι πρόβληµα διότι λόγω περιοδικότητας T T a+ f x dx = f x dx a a Λόγω oµοιόµορφης συνεχείας της f στο T, για κάθε ε > υπάρ-χει δ > έτσι ώστε για κάθε x T και y δ να ισχύει f ( x y) f ( x) < ε Συνεπώς ( T) I x K y dy, ε ε su K < C ε f y δ L

37 λόγω της ιδιότητας (β) στη () Οσον αφορά δε το ολοκλήρωµα I x, λόγω της ιδιότητας (γ) στη (), υπάρχει αρκούντως µεγάλο, f έτσι ώστε [,] ε I x su f y K y dy f, f y / C y δ < < Τελικά, για αρκούντως µεγάλο προκύπτει U f f = su U f x f x Cε C x T για κάποια σταθερά C ανεξάρτητη του x, άρα lim ( f K )( x) = f ( x) οµοιόµορφα στο T Από τα παραπάνω φαίνεται καθαρά ο ρόλος της ποσότητας su K < να διασφαλίζει ότι η τιµή I L ( T), f ( x ) είναι αµελητέα (αν η f είναι συνεχής) Ακόµη όµως και αν πάλι f K f = < L f L T τότε Πράγµατι, εφόσον ο χώρος C είναι πυκνός στον δοθείσης f L, υπάρχει g C έτσι ώστε L <, Τότε: f g < ε L f K f = f g K + g K g + g f L L ( f g ) K g K g g f L L L + + K f g + g K g + g f L L C L su K + L f g + g K g < Cε L C

38 για αρκούντως µεγάλο ώστε g K g < Cε (το οποίο C δείξαµε παραπάνω) Αναφέρουµε εδώ ότι χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα Youg, (βλ Πρόταση ) και το γεγονός ότι της ποσότητας ( f g) K L ( T) Πρόταση 3 ( f g ) K f g K L L L f L f C su K < L ( T) Βλέπουµε πάλι το σηµαντικό ρόλο που διασφαλιζει ότι ο όρος είναι αµελητέος Συνοψίζοντας, δείξαµε την K Εστω { } Τότε: είναι µια προσεγγιστική µονάδα όπως στη () Για κάθε f C T ισχύει f K f = C Για κάθε f L ( T ), < ισχύει f K f = L Στο ερώτηµα αν µπορεί κάποιος να βρει εύκολα προσεγγιστικές µονάδες, η απάντηση είναι καταφατική Ενδεικτικά αναφέρουµε: Τον πυρήνα Feyer { } F : + + D x D x F ( x) = = e = + + πix = + ηµ π ( x( + ) ) ( x) ηµ π P < < : Τον πυρήνα Poisso { r} r r P x = r e = < r < r πix, ( ), = rσυν ( π x) + r όπου σ αυτή την περίπτωση δεν έχουµε µια ακολουθία, αλλά µια

39 οικογένεια συναρτήσεων { r} r P < < µε οριακή διαδικασία r Αλλοι σηµαντικοί πυρήνες είναι ο πυρήνας Gauss, o πυρήνας De la Vallee Pussi κλπ Κλείνουµε την παρένθεση περί προσεγγιστικών µονάδων επανερχόµενοι στη σειρά Fourier (): T f x = f D x H Πρόταση 3 δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σηµειακή ή την L σύγκλιση της σειράς Fourier T f, διότι ο πυρήνας Dirichlet D δεν είναι προσεγγιστική µονάδα Φυσικά αυτό δε σηµαίνει ότι { } η σύγκλιση της σειράς Fourier αποτυγχάνει σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις Για να µπορέσουµε να προχωρήσουµε περαιτέρω χρειαζόµαστε µια νέα ιδέα To νέο εργαλείο είναι ο µετασχη- µατισµός Hilbert

40 6 Ο µετασχηµατισµός Hilbert Σύγκλιση κατά νόρµα σειρών L T Fourier στον { } Oρισµός 4 Εστω fˆ = fˆ είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier όπως στην (4) Η τριγωνοµετρική σειρά = i f Hf i sig f e π i, (3) καλείται µετασχηµατισµός Hilbert της f Υπενθυµίζουµε εδώ ότι x > sig( x) =, x =, x x < Η σειρά στο δεξιό µέλος της (3) ενδέχεται να µην είναι καλά ορισµένη, γι αυτό και χρησιµοποιούµε το συµβολισµό και όχι ισότητα Φορµαλιστικά ορίζουµε και τον τελεστή Hilbert = i f Hf i sig f e π Με προφανή τρόπο τίθεται το ερώτηµα: για ποιο λόγο οδηγούµαστε στον ορισµό (3); Μια απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι διότι µέσω αυτού του τελεστή θεµελιώνεται η κατά νόρµα σύγκλιση της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f L στην f Οµως η σπουδαιότητα αυτού του τελεστή είναι µεγαλύτερη, διότι είναι: Πολλαπλασιαστής (βλέπε ορισµό 5), Iδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής, Oριακός τελεστής του πυρήνα των συζυγών αρµονικών (πραγµατικών) συναρτήσεων στο µοναδιαίο δίσκο Oρισµός 5 Εστω { λ } µιγαδικών αριθµών και fˆ = fˆ Λ: : Λ= είναι µια ακολουθία { } i είναι όπως παραπάνω Τότε - 4 -

41 ορίζεται φορµαλιστικά ένας τελεστής Q τον οποίο καλούµε πολλαπλασιαστή έτσι ώστε i f Qf λ f e π = Η λέξη πολλαπλασιαστής είναι προφανής: Ο συντελεστής Fourier Qf ( ) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το συντελεστή Fourier f ( ) µε τον όρο λ Τέτοιοι τελεστές είναι χρήσιµοι διότι είναι τελεστές συνέλιξης Ας δούµε τώρα πως προκύπτει ο τελεστής Hilbert µε φυσικό τρόπο από την ακολουθία ( T f ) των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f L Προφανώς: i Αλλά: ˆ ix = = χ ˆ [, ] T f x f e π = ix f e π = χ[, ] = sig( + ) sig( ) + ( χ{ } + χ{ } ), άρα T ( ) ˆ f x = sig + sig f e π = ( ) π ix πix f e f e + + ix Παρατηρούµε ότι: πi( m ) x ˆ πix + = ˆ( ) sig f e sig m f m e = m= πix πimx πix πi ie i sig m f m e ie H e f x m= ˆ i = ( ) = Οµοίως: = ˆ πix πix ( πi i = ) sig f e ie H e f - 4 -

42 Τελικά: = i i πix πi πix πi T f ie H e f x ie H e f x ( ) π ix πix f e f e + + (4) Ερµηνεύουµε την ισότητα (4) ως εξής: Για να µελετήσουµε την ακολουθία τελεστών ( T f ) των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier της f, αρκεί να µελετήσουµε τη συµπεριφορά ενός µόνον τελεστή, του τελεστή Hilbert Ισχύει όµως το ακόλουθο θεώρηµα, η απόδειξη του οποίου παρατίθεται στο Παράρτηµα : Θεώρηµα 6 O τελεστής Hilbert H L ( T) L : T είναι φραγµένος για κάθε < < εν είναι φραγµένος για = ούτε για = Συνδυάζοντας το θεώρηµα 6 µε τη (4), για κάθε < < έχουµε { } T f L H e f + H e f + f f L L πi ( ) ( πi ) max, πi πi L L L C e f + e f + f = C + f < L Τότε απ την αρχή οµοιόµορφα φραγµένου (βλ Θεώρηµα Β6, Παράρτηµα Β) έχουµε su T <, (5) όπου τελεστή L L L L T είναι η συνήθης νόρµα (βλ Παράρτηµα Β) του T : L L : T f = f D Η ισχύς της (5) είναι ουσιώδης όσον αφορά την κατά νόρµα - 4 -

43 σύγκλιση της σειράς Fourier Tf στην ακόλουθο f, όπως φαίνεται στο Θεώρηµα 7 Εστω T : L L : T f = f D, όπου < < Τότε lim T f f = L Απόδειξη (α) Αρχικά θα δείξουµε ότι το σύνολο είναι κλειστό Εστω { f m } δείξουµε ότι f { : lim } L A= f L T f f = A έτσι ώστε f f Αρκεί να A Για τυχαίο ε > έχουµε m L T f f = T f T f + T f f + f f L m m m m L L L L T f f + T f f + f f m m m m T f f + T f f + f f L L m L m m L m L ( ) = + T f f + T f f < Cε L L m L m m L για m αρκούντως µεγάλο έτσι ώστε fm f < ε και αρκούντως L µεγάλο ώστε T fm fm < ε ( f L m A) Αρα το A είναι κλειστό Απ την άλλη µεριά ο χώρος των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι πυκνός στον L Εστω τριγωνοµετρικό πολυώνυµο g Τότε T g = g υπό την προϋπόθεση ότι ο βαθµός του g είναι µικρότερος ή ίσος του Αρα το A περιέχει όλα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα (οποιουδήποτε βαθµού) και συνεπώς είναι πυκνό στο A Αφού το A είναι κλειστό, αναγκαστικά A = B

44 Θεώρηµα 8 Εστω ( T f ) είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fourier όπως παραπάνω Τότε: (α) Υπάρχει f L έτσι ώστε (β) Υπάρχει f C έτσι ώστε su T f = L su T f = C Απόδειξη Για το (α) έχουµε T f D f L L L άρα T µονάδων ότι Feyer Αρα D Γνωρίζουµε από τη θεωρία προσεγγιστικών L L L lim F D D =, όπου F M είναι ο πυρήνας M M L D = lim F D = lim T F lim T F L M M M M L M L M L L L = T L L Ετσι T = D (όπως δείξαµε παραπάνω) και το T T T L L L ζητούµενο προκύπτει άµεσα από την άρνηση του οµοιόµορφα φραγµένου Για το (β) µπορούµε να κατασκευάσουµε συνεχή συνάρτηση µε T g D Η κατασκευή παραλείπεται C C L Οσον αφορά τη σηµειακή σχεδόν παντού των σειρών Fourier αναφέρουµε χωρίς απόδειξη την ακόλουθη πολύ σηµαντική γενίκευση του θεωρήµατος Carleso Θεώρηµα 9 (Carleso-Hut) Για κάθε < <, η σειρά Fourier κάθε συνάρτησης f L συγκλίνει σηµειακά στην f σχεδόν παντού στο T Τέλος, όπως ήδη δείξαµε, η συνέχεια µιας συνάρτησης δεν είναι συνθήκη ικανή ώστε να διασφαλίσει τη σηµειακή σύγκλιση της

45 σειράς Fourier της f στην f παντού στο T Παρ όλα αυτά είδαµε ότι µε χρήση προσεγγιστικών µονάδων η συνέχεια της f αρκεί Μάλιστα ο πυρήνας του Feyer είναι ο µέσος όρος του πυρήνα Dirichlet Aρα ισχύει ο κάτωθι ισχυρισµός: Αν η σειρά Fourier της f συγκλίνει σηµειακά σε σηµείο x τότε το όριο της ισούται µε f ( x ) (διότι αν µια ακολουθία συγκλίνει τότε και η ακολουθία των µέσων όρων της συγκλίνει στο ίδιο όριο) Mια πολύ χρήσιµη πρόταση για τη σηµειακή σύγκλιση των σειρών Fourier είναι η ακόλουθη: Πρόταση 4 Εστω f L T είναι συνάρτηση φραγµένης µεταβολής στο T Τότε lim T f ( x) = ( + ) + ( ) f x f x σηµειακά στο T Η σύγκλιση είναι οµοιόµορφη σε κλειστά διαστήµατα του T όπου η f είναι συνεχής f L παραγωγίσιµη σπ), τότε είναι φραγµένης µεταβολής, συνεπώς ισχύει η πρόταση 4 Σηµείωση: Aν T είναι απόλυτα συνεχής (άρα και

46 7 O τελεστής Hilbert ως ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής Πέραν της χρήσης του τελεστή Hilbert ως εργαλείο για την σύγκλιση των σειρών Fourier, ο τελεστής Hilbert είναι και ένας ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής Ας εξηγήσουµε αναλυτικότερα τι εννοούµε Εστω f C T Θεωρούµε τα µερικά αθροίσµατα ˆ πix πi( x y) H f = i sig f e = i sig f ( y) e dy T = = πiy i sig f x y e dy T = = ( ) ( y) συν π y( + ) ηµ ( π y) / συν π = f x y f x+ y dy (απλές πράξεις στο µερικό άθροισµα) / / ( f ( x y) f ( x y) ) σφ ( π y) dy f ( x y) f ( x+ y) συν π ηµ ( π y) = + ( y ) dy I, f ( x) I, f ( x, ) + = + Με χρήση του Λήµµατος (Riema-Lebesgue) I, f x,,, διότι η συνάρτηση f C ( T )) Αρα ( ) ( + ) ηµ ( π y) f x y f x y είναι φραγµένη (εφόσον σφ ( π ), H f x f x y y dy (6) Τ Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση σφ( π y) έχει ανωµαλία στο µηδέν τάξης y άρα δεν είναι ολοκληρώσιµη Απ την άλλη µεριά η σφ ( y) είναι περιττή συνάρτηση Το γεγονός αυτό µας δίνει τη δυνατότητα

47 να ερµηνεύσουµε το δεξιό µέλος της (6) µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής (PV) κατά Cauchy ως εξής: T ( ) σφ ( π ) = lim ( ) σφ ( π ) f x y y dy f x y y dy (7) ε ε y / Πράγµατι: ( ) σφ ( π ) = ( ( ) ) σφ ( π ) / y / f x y y dy f x y f x y dy, ε y ε διότι η ( y) σφ π είναι περιττή Απ την άλλη µεριά f C, άρα f ( x y) f ( x) = ( y) (µε την έννοια ότι υπάρχει θετική σταθερά D ώστε f ( x y) f ( x) D y ), οπότε ( ( ) ) σφ ( π ) = ( σφ ( π )) f x y f x y dy y y dy ε y / ε y / y = συν ( π y) dy= () dy ε y / ηµ y / ( π y ε ), f x y y dy είναι καλά ορισµένη άρα η συνάρτηση ( ) σφ ( π ) ε y / Συνοψίζοντας, ο µετασχηµατισµός Hilbert µπορεί να εκφρασθεί µέσω ενός ολοκληρωτικού τελεστή ως εξής: = ( ) σφ ( π ) = ( ) σφ ( π ) Hf x PV f x y y dy lim f x y y dy, y T ε ε / υπό την προϋπόθεση ότι η f είναι µια «καλή» συνάρτηση

48 8 Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχηµατισµός Hilbert Κατ αρχήν ας θυµηθούµε τον ορισµό και ορισµένες βασικές ιδιότητες µιας αρµονικής συνάρτησης στον (ο παρακάτω ορισµός 5 γενικεύεται και στον ) : Ορισµός 5 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και u: E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών x και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης και ικανοποιεί την εξίσωση του Lalace u= uxx + uyy = x, y E Σηµείωση Aν u είναι µιγαδική συνάρτηση στο E, τότε η u καλείται αρµονική συνάρτηση αν το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της είναι αρµονικές συναρτήσεις Πρόταση 5 Εστω f : E : f = u+ i v είναι αναλυτική σε ανοικτό σύνολο E Τότε οι συναρτήσεις u και v είναι αρµονικές στο E Απόδειξη Εφόσον η f είναι αναλυτική στο E οι u και v ικανοποιούν τις συνθήκες Cauchy-Riema ux = vy και uy = vx Αρα u xx = vyx και uyy vxy = Αθροίζοντας κατά µέλη προκύπτει u u xx + = για κάθε ( x, y) yy E Ορισµός 6 Εστω uv, : E είναι πραγµατικές συναρτή-σεις σε ανοικτό σύνολο E έτσι ώστε η f = u+ iv είναι ολόµορφη στο E Τότε η v καλείται αρµονική συζυγής της u Στο ερώτηµα «αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε σύνολο A µπορούµε πάντα να βρούµε µια συζυγή αρµονική της v ώστε η f = u+ iv να είναι αναλυτική στο A» η απάντηση είναι πολύπλοκη και εξαρτάται από τη µορφή του συνόλου A Παρόλα αυτά ισχύει: Aν A είναι απλά συνεκτικός τόπος, υπάρχει µοναδική αναλυτική

49 συνάρτηση f στο A (µε προσέγγιση σταθεράς) µε u Re( f ) Πόρισµα = Αν u είναι (πραγµατική) αρµονική συνάρτηση πάνω και στο z = x, y και ακτίνας R, τότε εσωτερικό κύκλου κέντρου π iθ u( x, y) = u( z + Re ) d π θ Απόδειξη Yπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση f έτσι ώστε u = Re( f ) Για την f ισχύει το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss Εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη παίρνουµε το αποτέλεσµα Πόρισµα (Αρχή µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις) Αν u είναι πραγµατική αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E όπου E είναι µια κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u παίρνει µέγιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πόρισµα 3 Αν u είναι µια πραγµατική αρµονική συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και uxy (, ) = cπάνω στο σύνορο E όπου το E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε u( x, y) = c παντού στο E Ας δούµε τώρα πως συνδέεται ο µετασχηµατισµός Hilbert µε τις συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις Αρχικά θέλουµε να βρούµε την αρµονική επέκταση συνάρτησης f L, εντός του µοναδιαίου δίσκου D = { z: z < } πρόβληµα Dirichlet Με άλλα λόγια επιθυµούµε να λύσουµε το όπου iθ u z =, z= re D u e ii = f σ π στο [, π) u x, y = uxx + vyy (καρτεσιανες συντ/νες) ur u θθ u( r, θ ) = urr + + (πολικες συντ/νες) r r,

50 iθ Εστω z re, r [, ), θ [,π ) = Επειδή z = και z = για κάθε, ορίζουµε ως (µοναδική) λύση του παραπάνω προβλήµατος την ή ισοδύναµα = + u z f z f z = = θ u re = f r e, i i θ = διότι η u ικανοποιεί την u = στο D (οµοιόµορφα συγκλίνουσα σειρά αρµονικών συναρτήσεων στο D συγκλίνει σε αρµονική συνάρτηση στο D) και επιπλέον όπου iθ iθ = = r( θ ) = r ( θ ) u re f r e f P : P f, = iθ r Pr ( θ ) = r e =, r > = rσυνθ + r είναι η προσεγγιστική µονάδα του Poisso, συνεπώς απ την Πρόταση 3 για προσεγγιστικές µονάδες παίρνουµε i i = r =, u re f P f u e r θ θ µε την L -έννοια (ή σηµειακά σπ) για H D είναι ο χώρος Hardy όλων των αναλυτικών συναρτήσεων στο µοναδιαίο δίσκο µε νόρµα π iθ π < Εστω / = θ D < r< π u su H u re d Αποδεικνύεται (Κatzelso) ότι u H iθ θ = ii T f ( ) = για κάποια f u( e ) L u re f P r Τότε: u u ( e ii = ) = f H D L ( T) L( T) D αν και µόνον αν µε = < - 5 -

51 Ετσι µπορούµε να θεωρήσουµε τους χώρους Hardy ως κλειστούς H T υπόχωρους του L T (οπότε µιλάµε για χώρους Hardy πάνω στο µοναδιαίο κύκλο) Αν τώρα f L ( T ), είναι µια πραγµατική συνάρτηση, τότε αντιστοιχούµε σ αυτή µια αναλυτική συνάρτηση ως εξής: H συνάρτηση Pr ( θ ) είναι αρµονική και µάλιστα είναι το πραγµατικό µέρος της αναλυτικής συνάρτησης g z + z =, z D z Ετσι η συζυγής αρµονική της P r (για σταθερά ίση µε µηδέν) είναι η µε iθ + z + re rηµθ Im = Im iθ = z re rσυνθ + r θ lim Hr : r ( θ ) = σφ = H( θ ) : = H r ( θ ) Σηµειώνουµε εδώ ότι η οικογένεια { r} r µονάδα Oρίζουµε τη συνάρτηση g : : H < < δεν είναι προσεγγιστική D ( i θ g re ) f P ( θ ) i f H ( θ) P f ( θ) i H f ( θ) = + = + r r r r g H D < < Τότε η g είναι αναλυτική στο δίσκο D και Επιπλέον αποδεικνύεται ότι r ii = + = lim g re f i Hf g µε την L έννοια (ή σηµειακά σπ) για < <, όπου Hf είναι ο τελεστής Hilbert και Συνεπώς g H ( T) g f i Hf = + = f e i i Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να µελετήσουµε προβλήµατα που σχετίζονται µε πραγµατικές συναρτήσεις χρησιµοποιώντας µε µεθόδους µιγαδικής ανάλυσης εν θα επεκταθούµε περαιτέρω προς αυτή την κατεύθυνση - 5 -

52 9 Ασκήσεις Αποδείξτε τις ιδιότητες Φ-Φ7 της Πρότασης Υπολογίστε τον τύπο των συντελεστών Fourier και της σειράς Fourier για L περιοδικές ( L > ) και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις f Απ x L πi f = f ( x) e L dx L, x πi T L, f f e x LT 3 Αν f ( ) e πix / T είναι το µιγαδικό ανάπτυγµα σε σειρά Fourier µιας L περιοδικής και ολοκληρώσιµης συνάρτησης f όπως στην άσκηση, δείξτε ότι π πx πx f e = a + a συν bηµ = + L L, ix / T π x a L L = f x dx L συν L και T L π x b = f ( x) dx L ηµ L Το δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας T L καλείται και ως «πραγµατικό» ανάπτυγµα της σειράς Fourier Eπιπλέον, αν f L δείξτε την ταυτότητα Parseval όπου a = f = f ( x) dx, T f L ( ) = a + a + b = 4 Εστω f L [ /,/] είξτε ότι: (α) η f είναι άρτια (σπ) αν και µόνον αν f = f ( ), (β) η f είναι περιττή (σπ) αν και µόνον αν f = f ( ), (γ) η f είναι πραγµατική (σπ) αν και µόνον αν f ( ) = f 5 Εστω f L ( T ) και f ( t) f ( mt) είξτε ότι m = για κάποιο φυσικό αριθµό m - 5 -

53 θεωρώντας πit m f / m, = m fm =,, m f = f mt e dt T < x < 6 ίνεται η συνάρτηση f( x) = την οποία επεκτείνουµε περιοδικά Yπολογίστε τη σειρά Fourier της f Ορίστε την f < x < κατάλληλα στα σηµεία x =, x = και x = έτσι ώστε η σειρά Fourier της να συγκλίνει σηµειακά στην f για κάθε x Yπόδειξη Xρησιµοποιείστε τους τύπους της άσκησης 7 ίνεται η συνάρτηση f( x) = x, x< π την οποία επεκτείνουµε περιοδικά µε περίοδο π Με κατάλληλη χρήση της σειράς Fourier της f δείξτε ότι (i) π = και (ii) = 6 π 4 = 4 = 9 Yπόδειξη Xρησιµοποιείστε τους τύπους της άσκησης Για τη (ii) χρησιµοποιείστε την ταυτότητα του Parseval (Θεώρηµα για f = g ) 8 ίνεται η συνάρτηση f( x) = x, x /, την οποία επεκτείνουµε περιοδικά σ όλο το Με κατάλληλη χρήση της σειράς Fourier της π f δείξτε ότι = = 8 9 Υπολογίστε τη σειρά Fourier της 4-περιοδικής συνάρτησης f ( x) x, < x = 4 x, < x < 4 4 π και δείξτε ότι = 4 =

54 Εστω, q, < q και x * είξτε ότι: (α) ηµ π e πix q ( x) (β) Αν ( c ) είναι φθίνουσα και µη αρνητική ακολουθία, χρησιµοποιώντας την άθροιση κατά µέρη του Abel q q q q ab = a b ( aj aj) b = + = j= + = j+, δείξτε ότι πix ce q c ( x) ηµ π (γ) Αν ( c ) είναι φθίνουσα και µηδενική ακολουθία, τότε η ix τριγωνοµετρική σειρά ce π = συγκλίνει και µάλιστα οµοιό- µορφα σε κάθε συµπαγές σύνολο των πραγµατικών που δεν περιέχει ακέραιο αριθµό Αν f C ( T ) και αν η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στο T δείξτε ότι π f x = f e ix x T Πως διαµορφώνεται η παραπάνω αν ( T ) και η σειρά Fourier της f είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση; Eστω f C ( T ) f L (α) Αν f < για κάποιο δείξτε ότι f C (β) Εστω a a > Αν f T < C για κάποια σταθερά C δείξτε ότι f C T, όπου είναι ο µεγαλύτερος φυσικός που είναι µικρότερος του a Υπόδειξη Xρησιµοποιείστε κατάλληλα την άσκηση 3 είξτε ότι + + ηµ π x( + ) = + ηµ ( π x) D x D x, όπου

55 ix D x = e π 4 Αν f L, g L T q T όπου < και q είναι συζυγής εκθέτης του, δείξτε ότι η συνέλιξη f g είναι συνεχής συνάρτηση στο T f h+ f h για < Υπόδειξη είξτε ότι, 5 Αν f, g C ( T ), δείξτε ότι 6 Αν f L f g x = f g = f g T είναι συνάρτηση φραγµένης µεταβολής δείξτε ότι f C/, ( ) 7 Αποδείξτε την Πρόταση 4 Yπόδειξη: Kάθε συνάρτηση φραγµένης µεταβολής είναι διαφορά δυο µονοτόνων συναρτήσεων και τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι πεπερασµένα Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, αρκεί να lim f x = δείξετε την πρόταση για f πραγµατική, αύξουσα µε 8 Aν f, g C T έχουν απόλυτα συγκλίνουσες σειρές Fourier δείξτε ότι και η fg έχει απόλυτα συγκλίνουσα σειρά Fourier Eπίσης δείξτε ότι το σύνολο όλων των συναρτήσεων µε απόλυτα συγκλίνουσες σειρές Fourier είναι χώρος Βaach, συµβολικά AT µε νόρµα + x f = f ( ) AT Τέλος, δείξτε ότι ο τελεστής { } ( ) = T : AT : T f f είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός

56 9 (Βerstei) Εστω AT είναι ο χώρος της άσκ 8 Αν ( T ) για κάποιο a > / δείξτε ότι f c f f Li a είναι σταθερά που εξαρτάται µόνο απ το a και a Lia AT, όπου c a f Li a () = su f t + su t T t T, h ( + ) f t h f t h a είξτε ότι η f C T έχει απόλυτα συγκλίνουσα σειρά Fourier αν και µόνον αν η f είναι συνέλιξη δυο τετραγωνικά ολοκληρώσιµων συναρτήσεων στο T Αν f L T και, υπολογίστε την ελάχιστη τιµή του ολοκληρώµατος f it () t c e π dt T ) ως προς όλες τις µιγαδικές ακολουθίες ( c = Εστω ( K ) = στο T έτσι ώστε lim K =, ( ) Αν f K = f µε την 3 Εστω όπου { D } και { } είναι ακολουθία ολοκληρώσιµων συναρτήσεων L έννοια f L T δείξτε ότι > είξτε ότι f D f f F f, F είναι οι πυρήνες Dirichlet και Feyer 4 Αν f είναι -περιοδική συνάρτηση µε τµηµατικά συνεχή παράγωγο στο T δείξτε ότι ( x) / ηµ π lim f ( x) dx f = x 5 (Λήµµα Feyer) Αν f L ( T ) και g L = T δείξτε ότι lim f x g x dx f g T