6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

Transcript

1 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε ότι η f είναι αρµονική στο E αν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace f + f = για κάθε (, E yy Θεώρηµα 61 Εστω f u(, i v(, σύνολο E Τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και (, ) = + είναι αναλυτική σε ανοικτό v y είναι αρµονικές στο E Απόδειξη Εφόσον η f είναι αναλυτική στο E, τότε οι συναρτήσεις u(, y ) και v(, y ) είναι απειροδιαφορίσιµες στο E και ικανοποιούν τις συνθήκες Cauchy-Riemann u = vy και uy = v Αρα u = vy και uyy = vy και εφόσον η v έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης θα ισχύει vy = vy οπότε αθροίζοντας κατά µέλη τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι u u, y E Οµοια είναι η απόδειξη για τη v + = για κάθε yy Ορισµός 6 Αν uv, : E είναι πραγµατικές συναρτήσεις σε ανοικτό σύνολο E τέτοιες ώστε η f = u(, + iv(, να είναι αναλυτική στο E τότε οι uv, καλούνται αρµονικές συζυγείς επί του συνόλου E Επίσης η v καλείται αρµονική συζυγής της u Στο ερώτηµα «αν u είναι αρµονική συνάρτηση σ ένα σύνολο A µπορούµε πάντα να βρούµε µια συζυγή αρµονική της v ώστε η f = u+ iv να είναι αναλυτική στο A» η απάντηση είναι πολύπλοκη και εξαρτάται από τη µορφή του συνόλου A Iσχύει η ακόλουθη 168

2 Πρόταση 61 Αν u είναι αρµονική συνάρτηση σε τόπο E, τότε σε κάποια περιοχή Dε ( ) κάθε σηµείου E η u είναι το πραγµατικό µέρος κάποιας αναλυτικής συνάρτησης Επιπλέον αν ο E είναι απλά συνεκτικός τόπος, τότε υπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση f στο Ε έτσι ώστε u= Re( f ) Συνεπώς η u έχει µοναδική αρµονική συζυγή v µε προσέγγιση σταθεράς Πρόταση 6 Αν uv, είναι συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις σε τόπο E και αν οι εξισώσεις u(, = c1, v(, = c ορίζουν λείες καµπύλες, τότε αυτές οι καµπύλες τέµνονται ορθογώνια Πόρισµα 61 Αν u είναι µια αρµονική συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό κύκλου µε κέντρο = + iy και ακτίνα R, τότε 1 π u(, = u( Re ) dθ π + Απόδειξη Yπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση f έτσι ώστε u Re( f ) = Για την f ισχύει το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss Εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη παίρνουµε το αποτέλεσµα Πόρισµα 6 (αρχή µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις) Αν u είναι µια αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E, όπου E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u παίρνει µέγιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πόρισµα 63 Αν u είναι µια αρµονική συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και uy (, ) = c πάνω στο σύνορο E, όπου το E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η u(, = c παντού στο E Το πρόβληµα του Diichlet για δίσκο και ηµιεπίπεδο Εστω E είναι φραγµένος τόπος και u πάνω στο σύνορο πραγµατικής συνάρτησης, y είναι δοθείσα συνεχής συνάρτηση E Το πρόβληµα του Diichlet ασχολείται µε την εύρεση u, y τέτοιας ώστε: u να είναι αρµονική στο εσωτερικό του E και 169

3 = στο E u(, u (, Θεώρηµα 6 Εστω E είναι φραγµένος τόπος µε το σύνορο αυτού E να είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη Τότε αν υπάρχει λύση στο πρόβληµα Diichlet τότε αυτή είναι µοναδική Απόδειξη Εστω u, v είναι δύο λύσεις Θέτουµε φ = u v Τότε η φ είναι αρµονική και φ = πάνω στο E Αρα από την αρχή του µεγίστου αναγκαστικά φ = Πρόταση 63 (ολοκληρωτικός τύπος του Poisson) Εστω u ορίζεται και είναι συνεχής στον κλειστό δίσκο D ( ) { : } δίσκο D ( ) = { : < } Τότε για κάθε ρ < ισχύει = και είναι αρµονική στο 1 π ρ u( ρ, φ) = u(, θ) dθ π ρσυν θ φ + ρ Aπόδειξη Από τα παραπάνω υπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση f τέτοια ώστε u = Re( f ) επί του D έχουµε Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy ( ζ ) 1 f f = dζ πi γ ζ για κάθε = ρe D Για κάθε τέτοιο ορίζουµε ένα νέο σηµείο 1 =, το οποίο καλούµε ανάκλαση του ως προς τον κύκλο = Προφανώς το 1 1 f ( ζ ) βρίσκεται στο εξωτερικό του δίσκου D, άρα dζ πi =, οπότε γ ζ µπορούµε να γράψουµε 1 Αλλά: f ( ) f = ζ i d ζ π γ ζ ζ 1 17

4 Aρα: = = ζ ζ 1 ζ ζ ζ ζ ζ 1 ζ = = ζ ζ ζ ζ ζ 1 ζ 1 π f = f ( ζ ) dζ f ( e ) dθ πi = γ ζζ π e δηλαδή: 1 π iφ ρ f ( ρe ) = f ( e ) dθ π iφ e ρe iφ Επειδή e e ρ = ρσυν θ φ + ρ έχουµε iφ 1 ρ π ( ρ ) = f e f e dθ π ρσυν θ φ + ρ iφ Αν λοιπόν f ( ρe ) u( ρφ, ) iv( ρφ, ) παραπάνω παίρνουµε το ζητούµενο = + εξισώνοντας τα πραγµατικά µέρη της Η θετική ποσότητα P ( ρ,, φ θ) = ρ ρσυν θ φ + ρ καλείται πυρήνας του Poisson Αντίστροφα αποδεικνύεται ότι Θεώρηµα 6 Αν F ( θ ) είναι µια (τµηµατικά) συνεχής συνάρτηση στο [,π ] µε F = F( π ) τότε η συνάρτηση είναι: 1 π ρ u( ρφ, ) = F( θ) dθ, ( ρ< ) + π ρσυν θ φ ρ 171

5 (α) αρµονική στο δίσκο D και (β) lim u( ρ, θ) F( θ) ρ λύση του προβλήµατος Diichlet στο δίσκο = σε κάθε σηµείο συνέχειας της F, άρα η u είναι Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη τα ακόλουθα: D Πρόταση 64 (Oλοκληρωτικός τύπος Swchat) Αν η συνάρτηση f = uy, + ivy, είναι αναλυτική και φραγµένη στο άνω ηµιεπίπεδο Im > και στον άξονα των πραγµατικών αριθµών τότε για y > έχουµε (, ) u y ut (,) y t + y 1 = dt π Θεώρηµα 63 Αν F( ) είναι µια τµηµατικά συνεχής συνάρτηση στο έτσι a ώστε F <, ( a> ) τότε η συνάρτηση είναι: y F( t) t + y 1 u(, = dt, π (α) αρµονική στο άνω ηµιεπίπεδο Im( y ) > και (β) lim u(, F + y = σε κάθε σηµείο συνέχειας της F, άρα η u είναι λύση του προβλήµατος Diichlet στο άνω ηµιεπίπεδο Mερικές φορές η λύση ενός προβλήµατος συνοριακών τιµών µπορεί να προσδιορισθεί µε τη θεώρησή της σαν το πραγµατικό ή το φανταστικό µέρος µιας αναλυτικής συνάρτησης Η επόµενη πρόταση µας βοηθά σ αυτή την κατεύθυνση Πρόταση 65 Εστω f = uy, + ivy (, ) απεικονίζει ένα χωρίο D του επιπέδου σ ένα χωρίο D w του επιπέδου w, όπου f αναλυτική στο D και f Αν huv (, ) είναι αρµονική στο D w τότε η H(, = h u(,, v(, είναι αρµονική στο D 17

6 Λυµένες ασκήσεις 1 Αν (α) u(, = 3y, (β) v(, e ( yσυν y ηµ = +, να βρεθούν οι συζυγείς αρµονικές αυτών και η αναλυτική συνάρτηση f = u+ iv Λύση (α) Είναι εύκολο να δούµε ότι u + uyy = ( y, ), άρα η u είναι αρµονική στο Από τις συνθήκες Cauchy-Riemmann (βλέπε ορισµό συζυγούς αρµονικής συνάρτησης) έχουµε 3 vy u 3y v 3ydy a = = = + v= y + a v = uy = 3 v = 3 v = v= y + a v= y + a v= y + a 3 = = = = + v 3 a 3 a a c 3 v(, = ( y ) + c Σηµειώνουµε ότι υπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση (µε προσέγγιση 3i σταθεράς) της µορφής f = u+ iv= + ic Αυτή βρίσκεται θέτοντας + = και y = i Παρατήρηση 1 Aν οι uv, είναι συζυγείς αρµονικές σε µια περιοχή του =, τότε ένας χρήσιµος µνηµονικός κανόνας για τον υπολογισµό της αναλυτικής συνάρτησης f είναι ο εξής: (,) (,) f = u + iv (β) Είναι εύκολο να δούµε ότι v v αρµονική στο + = yy y, Από τις συνθήκες Cauchy-Riemmann έχουµε, άρα η v είναι 173

7 ( συν ηµ συν ) ( συν ηµ ) = = + = + uy = v uy = v u vy e y y y y u e y y y a y u e ( συν y yηµ a( ( ηµ ηµ συν ) + = ( συν + ηµ + ηµ ) = + e y y y y a y e y y y y ( συν ηµ ) a ( = u = e y y y + a y = ( συν ηµ ) + u e y y y c Σηµειώνουµε ότι υπάρχει µοναδική αναλυτική συνάρτηση (µε προσέγγιση σταθεράς) της µορφής f = u+ iv= e + c (βλέπε προηγούµενη παρατήρηση) Xρησιµοποιήστε τον ολοκληρωτικό τύπο του Poisson για να βρείτε το δυναµικό στο εσωτερικό κυλίνδρου + y = 1 όταν V = 1 στο 1 ο τεταρτηµόριο της επιφάνειάς του και V = στο υπόλοιπο της επιφάνειας Λύση Εχουµε 1 π 1 u(, θ ) = V( φ) dφ π 1+ συν φ θ 3 Αν H ηµιεπίπεδο 1 / d π φ θ φ τοξεφ + εφ = = π 1+ συν( φ θ) π π / θ 1 1+ θ = τοξεφ εφ τοξεφ εφ π 1 π 1 π / 1, > =, να λυθεί το πρόβληµα του Diichlet στο άνω, < Λύση Χρησιµοποιούµε τον ολοκληρωτικό τύπο του Swchat ο οποίος παίρνει τη µορφή 174

8 (, ) u y 1 y 1 t 1 π dt = = τοξεφ τοξεφ = t y y + π π y π 1 1 = τοξεφ π y Αλυτες ασκήσεις 1 Αν (α) v(, = ηµ sinhy µε f = 3, (β) v(, θ ) = 3θ µε () f 1 = 4, να βρεθούν οι συζυγείς αρµονικές αυτών και η αναλυτική συνάρτηση f = u+ iv Απάντ (α) u(, = συν coshy, f συν 4 1 f = n + 4, (β) u(, θ ) = 3 n, 3 = +, Να δειχθεί ότι η συνάρτηση u(, = συν coshy+ yηµ sinhy είναι αρµονική και να βρεθεί η συζυγής αρµονική της ώστε v (,) = Αν f ( y, ) = u+ iv να εκφρασθεί η f σαν συνάρτηση του και να υπολογισθεί το f επικαµπύλιο ολοκλήρωµα = 1 d Απάντ v(, = yσυν coshy ηµ sinhy, f = συν, π i συν1 175