εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

Transcript

1 Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση που ο πεάτης φθάνοντας βρίσκει όους τους εξυπηρετητές απασχοηµένους, θα πρέπει να περιµένει σε κάποια ουρά µέχρι να εευθερωθεί κάποιος εξυπηρετητής. Στο κεφάαιο αυτό πραγµατοποιείται εισαγωγή στις βασικές έννοιες των συστηµάτων αναµονής, παρουσιάζονται εφαρµογές της θεωρίας αναµονής και ο τρόπος συµβοισµού των συστηµάτων αναµονής, αναφέρονται µέτρα των επιδόσεων και της ικανότητας ενός συστήµατος αναµονής, δηαδή τα ζητούµενα µεγέθη σε ένα πρόβηµα της θεωρίας αναµονής και τέος παρουσιάζεται η εκθετική συνάρτηση, την οποία κανείς συναντά αρκετά συχνά σε σχετικά προβήµατα.. Ορισµός συστήµατος αναµονής Στο Σχήµα παρουσιάζεται ένα γενικό σύστηµα αναµονής. Σύµφωνα µε αυτό µια ακοουθία πεατών φθάνει σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης, ο οποίος περιαµβάνει µία ή περισσότερες µονάδες εξυπηρέτησης (στην περίπτωσή µας µία). Αν ένας πεάτης, φθάνοντας στο σύστηµα βρει όους τους σταθµούς εξυπηρέτησης απασχοηµένους, τότε περιµένει στην ουρά αναµονής µέχρι να επιεχθεί η κατάηη χρονική στιγµή προκειµένου να εξυπηρετηθεί, σύµφωνα µε κάποιο αγόριθµο χρονοδροµοόγησης (quuig discipli). Τεειώνοντας η εξυπηρέτησή του, ο πεάτης αναχωρεί από το σύστηµα. ακοουθία πεατών ουρά αναµονής εξυπηρετητής Ε(s)/µ Σχήµα - Γενικό σύστηµα αναµονής Έστω πεάτες ανά δευτερόεπτο ο µέσος ρυθµός αφίξεων πεατών (βέπε Σχήµα και Σχήµα ). Αν α ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων, τότε ισχύει: Ε(α)/ Έστω µ πεάτες ανά δευτερόεπτο ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης των πεατών. Αν s ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αναχωρήσεων, τότε ισχύει: Ε(s)/µ Συστήµατα Αναµονής Σείδα από 5

2 s s s 3 α α Αφίξεις Αναχωρήσεις Σχήµα - Αφίξεις / αναχωρήσεις σε σύστηµα αναµονής Ας θεωρήσουµε ρυθµό αφίξεων 0 πεάτες/sc και ρυθµό εξυπηρέτησης πεάτες/sc. Εξασφαίζουµε καή συµπεριφορά του συστήµατος αναµονής, εφόσον: ρ/µ< όπως στο συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα. Για συστήµατα αναµονής ενός εξυπηρετητή ο όγος: /µ ή Ε(s) δηώνει την ένταση φορτίου (raffic isiy) και συνήθως εκφράζεται σε Erlags, είναι δε ίσος µε το συντεεστή χρησιµοποίησης. Η ένταση φορτίου εκφράζει το ποσοστό της εξυπηρέτησης, το οποίο απαιτεί ένας χρήστης και σύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι ίση µε: ρε(s)/ε(α) Στην περίπτωση που έχουµε δύο εξυπηρετητές τότε το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ<, ενώ στην γενική περίπτωση που έχουµε Ν εξυπηρετητές το σύστηµα είναι ευσταθές αν ρ<ν. Παράδειγµα: Έστω το τηεφωνικό δίκτυο του Πουτεχνείου, όπου ο αριθµός των εξυπηρετητών είναι 0. Εξασφαίζουµε καή συµπεριφορά του συστήµατος εάν ρ<0. Θεωρώντας Ε(s)3mi80sc, ο ρυθµός εξυπηρέτησης θα είναι µ/80 πεάτες/sc. Αυτό σηµαίνει ότι το τηεφωνικό δίκτυο θα έχει καή συµπεριφορά ακόµα και αν έχουµε αφίξεις µέχρι και 70 πεάτες/mi. Έστω ένα τηεφωνικό κέντρο, το οποίο µπορούµε να θεωρήσουµε ως σύστηµα αναµονής χωρίς χώρο αναµονής (buffr). Στην περίπτωση αυτή, αν ρ/µ η ένταση φορτίου, τότε ορίζουµε ως µέσο ρυθµό εξόδου ή ρυθµαπόδοση (hroughpu) του συστήµατος σύµφωνα µε την ακόουθη σχέση: γ(-p bl ) όπου P bl η πιθανότητα να χαθεί ένας πεάτης επειδή βρήκε το σύστηµα πήρες. Στα Ο αριθµός Erlags (ένταση κινήσεως) είναι ο µέσος αριθµός των ταυτόχρονων καταήψεων σε ένα τηεφωνικό σύστηµα κατά τη διάρκεια µιας καθορισµένης χρονικής περιόδου Τ. Σείδα από 5 Συστήµατα Αναµονής

3 τηεφωνικά κέντρα η πιθανότητα αυτή συνήθως είναι 0.0< P bl <0.00 και αποτεεί µια παράµετρο του βαθµού ποιότητας του συστήµατος (Grad of Srvic GOS). Στην περίπτωση άπειρης ουράς αναµονής δεν έχουµε απώειες και γ. Προκειµένου να έχουµε σταθερό σύστηµα θα πρέπει <µ Ν ή ρ<ν. Το γινόµενο µ Ν αποτεεί τη δυνατότητα διεκπεραίωσης του συστήµατος. Στην γενική περίπτωση δεν µπορούµε να εκµεταευτούµε ένα σύστηµα αναµονής πήρως, οπότε ισχύει <γ<µ. Ο όγος: uγ/µ ή uγ/νµ για Ν> ονοµάζεται βαθµός εκµετάευσης του συστήµατος ή βαθµός απόδοσης/ χρησιµοποίησης (uilizaio) και µας δείχνει το ποσοστό του χρόνου που ο εξυπηρετητής είναι ενεργός. Αν γ0 πεάτες/sc η ρυθµαπόδοση του συστήµατος και µ5 πεάτες/sc ο ρυθµός εξυπηρέτησης του συστήµατος, τότε η χρησιµοποίηση του συγκεκριµένου συστήµατος θα είναι u0/5. Ε(s)/µ γ A q () () s () B Σχήµα 3 - Κατάσταση της ουράς Η κατάσταση της ουράς δηαδή ο αριθµός των πεατών στο σύστηµα κάποια χρονική στιγµή, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3 ισούται µε τον αριθµό των πεατών που εξυπηρετούνται τη χρονική στιγµή συν τον αριθµό των πεατών που βρίσκονται σε αναµονή την ίδια χρονική στιγµή, () q ()+ s (). Στην περίπτωση ενός εξυπηρετητή: Ε( s ())0 Ρ 0 + Ρ 0 Ρ 0 + (-Ρ 0 )0 Ρr[()0]+ Pr[()>0] όπου Pr[()>0] είναι η πιθανότητα να υπάρχουν πεάτες στην ουρά. Στην περίπτωση ενός εξυπηρετητή η πιθανότητα αυτή ισούται µε το κάσµα του χρόνου κατά το οποίο ο εξυπηρετητής είναι ενεργός, δηαδή Pr[()>0]u. Στο Σχήµα 3 ο χρόνος που απαιτείται για να περάσει ένας πεάτης από το Α στο Β ισούται µε το άθροισµα του χρόνου αναµονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. ηαδή: Ε(())Ε( q ())+u, όπου u<. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 3 από 5

4 Για να έχουµε µια πήρη περιγραφή της κατάστασης ενός συστήµατος αναµονής θα πρέπει να γνωρίζουµε τον αριθµό των πεατών σε αναµονή, τoν αριθµό των πεατών που εξυπηρετούνται και τη διάρκεια κάθε συνδιααγής. Σε ποές περιπτώσεις χρησιµοποιείται η εκθετική κατανοµή για τον προσδιορισµό της διάρκειας µιας συνδιααγής. Η κατανοµή αυτή χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα απώειας µνήµης ή ιδιότητα Markov σύµφωνα µε την οποία για τον υποογισµό κάποιας πιθανότητας κάποια χρονική στιγµή δεν µας ενδιαφέρει η ήδη διάρκεια της συνδιααγής. Για παράδειγµα, η πιθανότητα να διαρκέσει κάποια συνδιάεξη περισσότερο από mi είναι ανεξάρτητη από την ήδη διάρκεια της συνδιάεξης.. Χαρακτηρισµός απών συστηµάτων αναµονής Προκειµένου κανείς να προσδιορίσει πήρως ένα σύστηµα αναµονής, θα πρέπει να καθορίσει µια στοχαστική διαδικασία (sochasic procss), η οποία περιγράφει τη ροή αφίξεων, όπως και τη δοµή και τις αρχές που διέπουν την εξυπηρέτηση. Γενικά, η διαδικασία αφίξεων περιγράφεται µέσω µιας κατανοµής πιθανοτήτων των χρόνων µεταξύ αφίξεων των πεατών και συµβοίζεται µε A(), όπου : A( ) Pr[ ο χρόνος µεταξύαφίξεων ] Στα συστήµατα αναµονής, πού συχνά γίνεται η παραδοχή ότι οι χρόνοι αυτοί µεταξύ των αφίξεων είναι ανεξάρτητες, οµοίως κατανεµηµένες τυχαίες µεταβητές (και κατά συνέπεια, η ροή των αφίξεων σχηµατίζει µια στάσιµη ανανεωτική διαδικασία). Συνήθως µας ενδιαφέρει µόνο η κατανοµή A() που περιγράφει τους χρόνους µεταξύ αφίξεων. Η δεύτερη στοχαστική ποσότητα που πρέπει να περιγραφεί είναι η απαίτηση εξυπηρέτησης των πεατών, η οποία συνήθως αναφέρεται ως χρόνος εξυπηρέτησης του οποίου η κατανοµή πιθανότητας συµβοίζεται ως B(x), και είναι: B( x) Pr[ χρ όνος εξυπηρέτησης x] Όπου ο χρόνος εξυπηρέτησης αναφέρεται στο χρονικό διάστηµα που ένας πεάτης ξοδεύει στη µονάδα εξυπηρέτησης. Σχετικά µε τη δοµή και τον τρόπο εξυπηρέτησης, θα πρέπει κανείς να καθορίσει επιπέον ένα σύνοο από άα στοιχεία. Τέτοια στοιχεία είναι: Το µέγεθος του χώρου αναµονής όπου οι πεάτες µπορούν να περιµένουν µέχρι να εξυπηρετηθούν. Συχνά ο χώρος αναµονής θεωρείται άπειρος. Ο αριθµός των σταθµών εξυπηρέτησης. Σε περίπτωση που αυτοί είναι περισσότεροι από ένας, τότε η κατανοµή B(x) µπορεί να διαφέρει σε κάθε έναν 3. Ο συµβοισµός Pr[A] θα συµβοίζει στη συνέχεια την πιθανότητα να συµβεί το γεγονός A. 3 Η ροή αφίξεων µπορεί και αυτή να αποτεείται από διαφορετικές κάσεις πεατών, οπότε και οι κατανοµές A() και B(x) να είναι διαφορετικές για κάθε κάση πεατών. Σείδα 4 από 5 Συστήµατα Αναµονής

5 Ο τρόπος εξυπηρέτησης, ο οποίος περιγράφει τη σειρά µε την οποία οι πεάτες περνούν από την ουρά στην εξυπηρέτηση. Συγκεντρωτικά, τα απά συστήµατα αναµονής (αυτά δηαδή που χαρακτηρίζονται από µία εξυπηρέτηση ανά πεάτη) παρουσιάζονται µε τον ακόουθο από συµβοισµό: A/B/m/K/M, όπου κάθε ένα από τα γράµµατα έχουν την ακόουθη σηµασία: A: ιαδικασία αφίξεων. Τα ακόουθα σύµβοα χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των κατανοµών. M (εκθετική), E k (Erlag-k), H k (υπερ-εκθετική τάξης k), D (σταθερή), G (γενική), GI (γενική ανεξάρτητη). B: Κατανοµή χρόνου εξυπηρέτησης. Ισχύουν τα παραπάνω σύµβοα για τις κατανοµές. m: Αριθµός σταθµών εξυπηρέτησης (παράηα) K: Χωρητικότητα της ουράς (στην περίπτωση πεπερασµένου χώρου αναµονής) M: Μέγεθος πηθυσµού Για την πήρη περιγραφή του συστήµατος αναµονής θα πρέπει να γνωρίζει κανείς επίσης τον τρόπο εξυπηρέτησης: FIFO ή FCFS, LIFO ή LCFS, Roud Robi (κυκικά), κπ. Ο τρόπος εξυπηρέτησης καθορίζει τη σειρά µε την οποία εξυπηρετούνται οι πεάτες που βρίσκονται στο σύστηµα. Ο τρόπος εξυπηρέτησης µπορεί να αναφερθεί στο τέος του συµβοισµού A/B/m/K/M, που αναφέρθηκε παραπάνω. Στην συνέχεια παραθέτονται µερικοί από τους πιο συνηθισµένους τρόπους εξυπηρέτησης: FIFO (Firs I Firs Ou) ή FCFS (Firs Com Firs Srvd): Οι πεάτες εξυπηρετούνται σύµφωνα µε την σειρά άφιξής τους. LIFO (Las I Firs Ou) ή LCFS (Las Com Firs Srvd): Κάθε φορά εξυπηρετείται ο πεάτης µε τον πιο πρόσφατο χρόνο άφιξης. FIRO (Firs I Radom Ou): Ισχύει τυχαία σειρά εξυπηρέτησης των πεατών. Χρονοδροµοόγηση µε προτεραιότητες (Prioriy Schdulig): Οι πεάτες χωρίζονται σε κατηγορίες µε διαφορετικές προτεραιότητες. ιακρίνουµε δύο γενικούς τύπους προτεραιοτήτων: Απή προτεραιότητα ή προτεραιότητα χωρίς διακοπή (o-prmpiv): µετά το τέος εξυπηρέτησης επιέγεται για την επόµενη εξυπηρέτηση ο πεάτης µε την υψηότερη προτεραιότητα (µεταξύ πεατών µε ίση προτεραιότητα ακοουθείται ο κανόνας FCFS). Απόυτη προτεραιότητα ή προτεραιότητα µε διακοπή (prmpiv): όταν ένας πεάτης που φθάνει στο σύστηµα βρίσκει ένα πεάτη µε χαµηότερη προτεραιότητα να εξυπηρετείται, το διακόπτει και αρχίζει η δική του εξυπηρέτηση. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 5 από 5

6 (R-R) Roud Robi: Είναι ένας από τους πιο διαδεδοµένους αγόριθµους χρονοδροµοόγησης για συστήµατα καταµερισµού χρόνου (im-sharig). Οι πεάτες εξυπηρετούνται σε διάταξη FCFS εφόσον ο χρόνος εξυπηρέτησής τους δεν ξεπερνά ένα σταθερό χρονικό διάστηµα. Όταν ο χρόνος εξυπηρέτησής τους φθάσει το διάστηµα αυτό, ο πεάτης διακόπτεται και τοποθετείται στο τέος της ουράς. Η διαδικασία επανααµβάνεται για όους τους πεάτες..3 Ζητούµενα µεγέθη Έχοντας καθορίσει τον τρόπο χαρακτηρισµού ενός συστήµατος αναµονής, µπορούµε τώρα να ονοµάσουµε µέτρα των επιδόσεων και της ικανοτήτας, τα οποία προσδιορίζονται µέσω της ανάυσης. Ένα από τα πιο σηµαντικά µεγέθη σε ένα σύστηµα αναµονής είναι ο αριθµός των πεατών στο σύστηµα, κάθε χρονική στιγµή. Σε ένα από σύστηµα αναµονής, όπως το D/D/ όπου η κατανοµή των χρόνων µεταξύ αφίξεων και η κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης είναι σταθερή, µπορούµε ιδανικά να γνωρίζουµε κάθε χρονική στιγµή το N() Σχήµα 4 - Ακριβής υποογισµός του N() σε σύστηµα D/D/ Σε πιο πούποκα συστήµατα προσπαθούµε να βρούµε την κατανοµή του N(), ενώ σε ακόµα πιο σύνθετες καταστάσεις αναγκαζόµαστε να βρούµε την οριακή κατανοµή του N(), όταν το. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η µέση τιµή της κατανοµής N(), είτε την χρονική στιγµή, είτε στην οριακή κατάσταση. Άο ενδιαφέρον µέγεθος σε ένα σύστηµα αναµονής, αποτεεί ο χρόνος παραµονής των πεατών στο σύστηµα, ο οποίος είναι ίσος µε τον χρόνο αναµονής συν τον χρόνο εξυπηρέτησης. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν ακόµα το µήκος περιόδων διαρκούς εξυπηρέτησης (busy priods) και το µήκος των περιόδων αδράνειας (idl priods). Όα τα παραπάνω µέτρα είναι τυχαίες µεταβητές και κατά συνέπεια κανείς αναζητεί για αυτές πήρη στοχαστική περιγραφή (δηαδή τη συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας). εδοµένου ότι σε ποές περιπτώσεις η πήρης περιγραφή δίνει περισσότερη πηροφορία από την απούτως απαραίτητη, µπορεί κανείς να περιγράψει τις τυχαίες µεταβητές µε κάποιες ροπές (π.χ. µέση τιµή, διασπορά, κπ.) και βέβαια µε µικρότερο κόπο και κόστος. Σείδα 6 από 5 Συστήµατα Αναµονής

7 .4 Εκθετική κατανοµή Πού συχνά στη θεωρία αναµονής χρησιµοποιείται η εκθετική κατανοµή. Μια τυχαία µεταβητή Χ έµε ότι ακοουθεί εκθετική συνάρτηση µε παράµετρο, >0, όταν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: -x ή ισοδύναµα αν η συνάρτηση κατανοµής της είναι: x F( x) f ( y) dy x, x 0 Η γεννήτρια συνάρτηση ροπών της εκθετικής συνάρτησης είναι: E[ x ] 0 x x dx Από αυτή προκύπτουν εύκοα οι ροπές της τυχαίας µεταβητής Χ: µέση τιµή / και διασπορά /. Στο Σχήµα 5 παρουσιάζουµε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανοµής και στο Σχήµα 6 τη συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας. - Σχήµα 5 - Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εκθετικής κατανοµής - - Συστήµατα Αναµονής Σείδα 7 από 5

8 Σχήµα 6 - Συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας εκθετικής κατανοµής.4. Ιδιότητα έειψης µνήµης (mmory-lss propry) Η σπουδαιότερη ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής είναι η έειψη µνήµης. Μια τυχαία µεταβητή έγεται ότι δεν έχει µνήµη (mmorylss), εάν: (.) Pr[X > s + X > ] Pr[X > s], s, > 0 Εύκοα αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει για την εκθετική κατανοµή. Έστω i η στιγµή του i-στού γεγονότος και έστω ότι έχει παρέθει διάστηµα x πριν συµβεί το επόµενο γεγονός (βέπε Σχήµα 7). X x y i i+ Σχήµα 7 - Ιδιότητα έειψης µνήµης Ενδιαφερόµαστε για την πιθανότητα το διάστηµα που υποείπεται µέχρι το επόµενο γεγονός να είναι µεγαύτερο από y, δεδοµένου ότι έχει ήδη παρέθει διάστηµα x από το τεευταίο γεγονός. Αν X ο χρόνος µεταξύ γεγονότων, θα έχουµε σύµφωνα µε τον ορισµό της πιθανότητας υπό συνθήκη: Pr[ X > x + y X > x] Pr[ X > x + y, X Pr[ X > x] > x] Pr[ X > x + y] Pr[ X > x] ( x+ y) x y Pr[ X > y] δηαδή η υπό συνθήκη κατανοµή του υποειπόµενου διαστήµατος είναι ανεξάρτητη του x και είναι ίδια µε την κατανοµή του X. Με άα όγια η κατανοµή του χρόνου µέχρι το επόµενο γεγονός δεν εξαρτάται από το πότε συνέβη το τεευταίο γεγονός. Αποδεικνύεται ότι η εκθετική κατανοµή είναι η µόνη συνεχής κατανοµή µε την ιδιότητα έειψης µνήµης. Απόδειξη: Εάν µια τυχαία µεταβητή Χ είναι εκθετικά κατανεµηµένη, τότε: Pr[X s] - ή Pr[X > s] - και Pr[ X > x + X > ] Pr[ X > x + y, X Pr[ X > x] > x] Pr[ X > x + y] Pr[ X > x] Σείδα 8 από 5 Συστήµατα Αναµονής

9 Για την απόδειξη της µοναδικότητας, έστω: τότε η (.) µας δίνει ή Pr[X>s+, X>]Pr[X>] Pr[X>s] F(s+)F(s) F() F(x)Pr[X>x] Αποδεικνύεται ότι η µόνη (µετρήσιµη) ύση της συναρτησιακής συνάρτησης αυτής είναι η: F() - που είναι η συνάρτηση κατανοµής της εκθετικής τυχαίας µεταβητής. Τα παραπάνω µπορούν να φανούν παρατηρώντας το Σχήµα 8, όπου είναι σχεδιασµένη η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) για µια εκθετική µεταβητή, -. εδοµένου ότι πέρασαν 0 sc, για να υποογίσουµε την σππ, πρέπει να άβουµε υπόψη το κοµµάτι της δεξιά του 0 (γραµµο-σκιασµένη περιοχή), αφού αυτό παριστάνει τι θα συµβεί στο µέον. Για να γίνει η γραµµοσκιασµένη περιοχή κανονική συνάρτηση κατανοµής πρέπει να µεγενθυθεί κατάηα ώστε το συνοικό εµβαδόν κάτω από αυτή να είναι ίσο µε. Η κατάηη µεγένθυση γίνεται διαιρώντας τη συνάρτηση που παριστάνει την ουρά της κατανοµής δια του εµβαδού της γραµµοσκιασµένης περιοχής, που προφανώς είναι η πιθανότητα Pr[X>]. Η πράξη αυτή ταυτίζεται µε τη δηµιουργία µιας υπό συνθήκης κατανοµής δια διαιρέσεως της από κοινού κατανοµής µε την πιθανότητα της συνθήκης. - -(-0) 0 Σχήµα 8 Ιδιότητα έειψης µνήµης εκθετικής κατανοµής Το αποτέεσµα της µεγένθυσης φαίνεται στη δεύτερη καµπύη στο Σχήµα 8. Η νέα συνάρτηση είναι ακριβές αντίγραφο της αρχικής σππ µόνο που έχει µετατοπισθεί κατά χρόνο 0 sc προς τα δεξιά. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 9 από 5

10 .4. Κατανοµή εαχίστου µεταξύ ανεξαρτήτων τυχαίων µεταβητών εκθετικά κατανεµηµένων Έστω Χ και Χ δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές κατανεµηµένες εκθετικά µε παραµέτρους, αντίστοιχα. Τα Χ, Χ µπορούν να θεωρηθούν σαν οι διάρκειες δύο διεργασιών που εκτεούνται ταυτόχρονα. Αν κάποια χρονική στιγµή καµία από τις δύο διεργασίες δεν έχει τεειώσει, µας ενδιαφέρει η κατανοµή του διαστήµατος Χ µέχρι να τεειώσει κάποια από τις δύο, ή ισοδύναµα η κατανοµή του mi(χ, Χ ) σύµφωνα µε την ιδιότητα έειψης µνήµης. Έχουµε: Pr[ X ή > x] Pr[ X > x, X > x] x x ( + ) x Pr[ X x] ( + ) x Άρα το διάστηµα X είναι κατανεµηµένο εκθετικά µε παράµετρο +. Η πιθανότητα να τεειώσει πρώτη η διεργασία θα είναι: Αντίστοιχα: x x < X ] dx /( + ) 0 Pr[ X x x < X] dx /( + ) 0 Pr[ X Η κατανοµή του διαστήµατος Xmi(X,X ) δεν εξαρτάται από το ποια διεργασία τεειώνει πρώτη. Τα αποτεέσµατα αυτά µπορούν να γενικευτούν και για οποιοδήποτε αριθµό διεργασιών. Σείδα 0 από 5 Συστήµατα Αναµονής

11 Κεφάαιο. Ανασκόπηση σχετικών εννοιών θεωρίας πιθανοτήτων στοχαστικών διαδικασιών Τα περισσότερα φαινόµενα που χαρακτηρίζουν τη συµπεριφορά των συστηµάτων αναµονής µπορούν να περιγραφούν µε τη χρήση τυχαίων µεταβητών. Στην πραγµατικότητα ενδιαφερόµαστε για την µεταβοή της συµπεριφοράς των τυχαίων µεταβητών αυτών στο χρόνο, οπότε καταήγουµε στην µεέτη µιας οικογένειας τυχαίων µεταβητών. Μια τέτοια οικογένεια τυχαίων µεταβητών ονοµάζεται τυχαία ή στοχαστική διαδικασία (sochasic procss) ή στοχαστική ανέιξη. Η θεωρία των στοχαστικών ανείξεων έχει ως αντικείµενο µεέτης οικογένειες τυχαίων µεταβητών {Χ } όπου είναι µια παράµετρος ενός διαταγµένου συνόου Τ, ενώ οι τιµές των τυχαίων µεταβητών Χ, T, θεωρούνται ορισµένες σ ένα κοινό χώρο πιθανοτήτων (S, E, P) αποτεούµενο από το δειγµατικό χώρο S, ένα σύνοο γεγονότων E και ένα µέτρο πιθανότητας P. Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουµε τον ορισµό µιας στοχαστικής διαδικασίας, κατηγοριοποίηση στοχαστικών διαδικασιών, τη διαδικασία Poisso και το θεώρηµα Lil.. Ορισµοί Θεωρούµε ένα σύστηµα πιθανοτήτων (S, E, P) αποτεούµενο από το δειγµατικό χώρο S, ένα σύνοο γεγονότων E, και ένα µέτρο πιθανότητας P. Ορισµός: Σε κάθε δείγµα ω S αντιστοιχούµε µια συνάρτηση του χρόνου X(,ω). Η οικογένεια συναρτήσεων αυτή αποτεεί µια στοχαστική διαδικασία. ιαφορετικά, θα µπορούσαµε να πούµε ότι για κάθε τιµή που ανήκει σε κάποιο δεδοµένο σύνοο τιµών επιέγουµε µια τυχαία µεταβητή X(,ω), ορίζοντας έτσι µια συογή τυχαίων µεταβητών που εξαρτώνται από το. Συνήθως µια στοχαστική διαδικασία συµβοίζεται απά σαν συνάρτηση του, X(), της οποίας οι τιµές είναι τυχαίες µεταβητές. Για να χαρακτηρίσουµε µια στοχαστική διαδικασία X(), ορίζουµε για κάθε επιτρεπτή τιµή του την συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας (PDF): F X (x;) Pr[X() x] Στην συνέχεια ορίζουµε για ένα σύνοο επιτρεπτών τιµών του, την από κοινού συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας (joi PDF): F XX... X ( x, x,..., x ;,,..., ) Pr[ X ( ) x, X ( ) x,..., X ( ) x )] και συµβοίζουµε την συνάρτηση αυτή µε τη διανυσµατική µορφή F X ˆ ( xˆ; ˆ). Για τον Συστήµατα Αναµονής Σείδα από 5

12 πήρη χαρακτηρισµό µιας στοχαστικής διαδικασίας, θα πρέπει κανείς να δώσει τη συνάρτηση F X ( xˆ; ˆ) για όα τα και όα τα δυνατά υποσύνοα τιµών {xi}, { i }, ˆ πράγµα το οποίο φαίνεται πρακτικά αδύνατο. Ευτυχώς οι περισσότερες στοχαστικές διαδικασίες που µας ενδιαφέρουν στην πράξη µπορούν να χαρακτηριστούν µε πού από τρόπο. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µιας στοχαστικής διαδικασίας ορίζεται σαν: f Xˆ F ( xˆ; ˆ) Xˆ ( xˆ; ˆ) xˆ και από αυτήν η µέση τιµή της στοχαστικής διαδικασίας: και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: R X ( ) E[ X ( )] xf x ( x; ) dx XX (, x x ) E[ X ( f ) X ( )] x (, ;, ) x x x dx dx. Ταξινόµηση στοχαστικών διαδικασιών Η ταξινόµηση των στοχαστικών διαδικασιών εξαρτάται από τρεις παράγοντες, οι οποίοι είναι:. Ο χώρος καταστάσεων, δηαδή το σύνοο των δυνατών τιµών που µπορεί να πάρουν οι τυχαίες µεταβητές X(). Ο χώρος των καταστάσεων είναι διακριτός, αν είναι πεπερασµένος ή απαριθµητός. Μια διαδικασία διακριτών καταστάσεων αναφέρεται συχνά σαν αυσίδα. ιαφορετικά, ο χώρος καταστάσεων είναι συνεχής, αν αποτεείται από ένα πεπερασµένο ή άπειρο συνεχές διάστηµα της ευθείας των πραγµατικών αριθµών (ή από ένα σύνοο τέτοιων διαστηµάτων).. Η παράµετρος του χρόνου (ή δείκτης), η οποία χαρακτηρίζεται από το σύνοο των επιτρεπτών τιµών του χρόνου για τις οποίες ορίζεται η στοχαστική διαδικασία. Όπως και ο χώρος καταστάσεων, το σύνοο αυτό µπορεί να είναι διακριτό ή συνεχές, οπότε αναφερόµαστε σε διαδικασίες διακριτής παραµέτρου ή διαδικασίες συνεχής παραµέτρου. 3. Οι στατιστικές εξαρτήσεις µεταξύ των τυχαίων µεταβητών X() για διαφορετικές τιµές της παραµέτρου, οι οποίες περιγράφονται από την από κοινού συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας ( xˆ; ˆ) των τυχαίων µεταβητών F X ˆ X ˆ ( X ( ), X ( ),..., X ( )) για όα τα ˆx ( x, x,..., x ) και ˆ (,,..., ) και όες τιµες του. Όπως αναφέρθηκε ήδη, ο καθορισµός αυτός είναι δύσκοος. Θα περιγράψουµε στην συνέχεια µερικούς συνηθισµένους τύπους στοχαστικών διαδικασιών, που Σείδα από 5 Συστήµατα Αναµονής

13 χαρακτηρίζονται από διάφορα είδη σχέσεων εξάρτησης µεταξύ των τυχαίων µεταβητών... Στάσιµες διαδικασίες Μια στοχαστική διαδικασία X() ονοµάζεται στάσιµη (saioary) όταν όες οι συναρτήσεις ( xˆ; ˆ) µένουν αµετάβητες σε µετατοπίσεις στο χρόνο, δηαδή ισχύει: F X ˆ F ( xˆ; ˆ + τ ) F ˆ X ˆ X ( xˆ; ˆ) όπου τ σταθερά και ˆ τ ( + τ, + τ,..., + ). + τ Αν µια διαδικασία είναι στατική θα ισχύει: και R XX X ( ) X (, ) R XX ( ) δηαδή η µέση τιµή είναι ανεξάρτητη του και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξαρτάται µόνο από τη διαφορά τ -. Μια στοχαστική διαδικασία X() ονοµάζεται στάσιµη µε την ευρεία έννοια (widss saioary) όταν η πρώτη και δεύτερη ροπή αυτής είναι ανεξάρτητες του χρόνου, δηαδή εάν το E[X()] είναι ανεξάρτητο του χρόνου και το E[X()X(+τ)] εξαρτάται µονάχα από το τ. Όες οι στάσιµες στοχαστικές διαδικασίες είναι στάσιµες µε την ευρεία έννοια, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει... Ανεξάρτητες διαδικασίες Η απούστερη περίπτωση στοχαστικής διαδικασίας είναι όταν οι τυχαίες µεταβητές που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές της παραµέτρου είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, οπότε θα ισχύει: f ( xˆ; ˆ) f X ( x; )... f ( x ; Xˆ X Μια τέτοια διαδικασία στερείται δοµής και αποτεεί ακραία περίπτωση, η οποία για συνεχή παράµετρο αναφέρεται σαν ευκός θόρυβος. )..3 ιαδικασίες Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αυσίδα Markov. Ένα σύνοο από τυχαίες µεταβητές {X } αποτεούν µια αυσίδα Markov όταν η πιθανότητα η επόµενη τιµή (κατάσταση) να είναι ίση µε x + εξαρτάται µονάχα από την παρούσα τιµή (κατάσταση) x και όχι από οποιαδήποτε άη τιµή του παρεθόντος. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 3 από 5

14 Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή σαν «έειψη µνήµης» (mmory-lss propry) και περιορίζει τη γενικότητα των διαδικασιών Markov. Η µεέτη των διαδικασιών αυτών, όµως, είναι βασική για τη θεωρία αναµονής και γι αυτό θα ασχοηθούµε ιδιαίτερα στην συνέχεια µε τις αυσίδες Markov διακριτής και συνεχής παραµέτρου (χρόνου)...4 ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birh-dah procsss) αποτεούν µια σπουδαία κάση αυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη η οποία ισχύει για αυτές είναι ότι µεταβάσεις µεταξύ καταστάσεων αµβάνουν χώρα µονάχα µεταξύ γειτονικών (ighborig) καταστάσεων. ηαδή στην περίπτωση αυσίδας Markov διακριτού χρόνου εάν X i, τότε X + i, i ή i+...5 ιαδικασίες Smi-Markov Στις διαδικασίες Markov η ιδιότητα έειψης µνήµης ισχύει σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Η συνθήκη αυτή επιβάει ότι το χρονικό διάστηµα µεταξύ διαδοχικών ααγών κατάστασης ακοουθεί µια κατανοµή πιθανότητας που εξασφαίζει την έειψη µνήµης. Η κατανοµή αυτή πρέπει να είναι η γεωµετρική κατανοµή για διακριτό χρόνο ή η εκθετική κατανοµή για συνεχή χρόνο. Αν ο παραπάνω περιορισµός δεν ισχύει (ο χρόνος αυτός δεν ακοουθεί τις παραπάνω κατανοµές) οδηγούµαστε σε µια διαδικασία Smi-Markov (ο χρόνος παραµονής σε κάποια κατάσταση µπορεί να ακοουθεί οποιαδήποτε κατανοµή). Στις χρονικές στιγµές ααγής κατάστασης η διαδικασία συµπεριφέρεται σαν µια κοινή διαδικασία Markov, οπότε αναφερόµαστε στην ενσωµατωµένη διαδικασία (ή αυσίδα) Markov (Embddd Markov chai). Οι διαδικασίες Markov αποτεούν υποσύνοο των διαδικασιών Smi-Markov...6 Τυχαίοι περίπατοι Μια ακοουθία τυχαίων µεταβητών {S } ονοµάζεται τυχαίος περίπατος (radom walk) αν ισχύει: S Χ + Χ Χ,,... Όπου S 0 0 και Χ, Χ,... είναι µια ακοουθία τυχαίων µεταβητών ανεξάρτητων και µε την ίδια κατανοµή πιθανότητας. Ένας τυχαίος περίπατος θα µπορούσε να θεωρηθεί σαν η κίνηση ενός σωµατιδίου σε ένα διακριτό χώρο καταστάσεων, όπου κάθε φορά η επόµενη θέση καθορίζεται από την προηγούµενη συν µια τυχαία µεταβητή. Ο δείκτης µετρά τον αριθµό των ααγών κατάστασης για την στοχαστική διαδικασία. Οι τυχαίοι περίπατοι είναι υποσύνοο των διαδικασιών Smi- Markov...7 Ανανεωτικές διαδικασίες Οι ανανεωτικές διαδικασίες (rwal procsss) µπορούν να θεωρηθούν ειδική περίπτωση των τυχαίων περιπάτων. Οι διαδικασίες αυτές περιγράφουν τον αριθµό των ααγών κατάστασης (µεταβάσεις) σαν συνάρτηση του χρόνου. Έτσι, στην εξίσωση: Σείδα 4 από 5 Συστήµατα Αναµονής

15 S Χ + Χ Χ,,... αν οι τυχαίες µεταβητές {X } παριστάνουν τους χρόνους µεταξύ µεταβάσεων, τότε η τυχαία µεταβητή S παριστάνει τον χρόνο στον οποίο έγινε η µετάβαση. Η διαφορά µε τους τυχαίους περιπάτους είναι ότι για αυτούς η τυχαία µεταβητή S παριστάνει την κατάσταση της διαδικασίας, ενώ ο χρόνος µεταξύ µεταβάσεων είναι κάποια άη τυχαία µεταβητή..3 ιαδικασία Poisso Η διαδικασία Poisso είναι ένα µαθηµατικό µοντέο που εµφανίζεται στην περιγραφή φαινοµένων της Φυσικής (όπως η ραδιενεργός σχάση), της Βιοογίας (όπως οι γεννητικές µετααγές), των Τηεπικοινωνιών (όπως στις τηεφωνικές συνδιαέξεις), του Εµπορίου, των Ασφαιστικών Εταιριών, της Βιοµηχανίας (όπως ο στατιστικός έεγχος της ποιότητας)..3. Ορισµός διαδικασίας απαρίθµησης γεγονότων Ορισµός: Μια στοχαστική διαδικασία {N(), 0} ονοµάζεται διαδικασία απαρίθµησης (couig procss) γεγονότων εάν η N() παριστάνει τον συνοικό αριθµό «γεγονότων» που έχουν συµβεί µέχρι τη χρονική στιγµή. ηαδή για µια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων θα πρέπει να ικανοποιούνται τα ακόουθα:. N() 0.. Η N() παίρνει ακέραιες τιµές. 3. Εάν s <, τότε N(s) < N(). 4. Για s <, το N(s)-N() παριστάνει τον αριθµό των γεγονότων που έχουν συµβεί στο διάστηµα (s, ]. Ορισµός: Μια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων έµε ότι παρουσιάζει ανεξάρτητες αυξήσεις (idpd icrms) εάν οι αριθµοί των γεγονότων που αµβάνουν χώρα σε µη επικαυπτόµενα χρονικά διαστήµατα είναι µεταξύ τους ανεξάρτητοι. Για παράδειγµα, αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των γεγονότων που έχουν συµβεί µέχρι τη χρονική στιγµή (δηαδή N()) πρέπει να είναι ανεξάρτητος του αριθµού των γεγονότων που συνέβησαν µεταξύ των χρόνων και +s (δηαδή N(+s)-N()). Ορισµός: Μια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων έµε ότι παρουσιάζει στάσιµες αυξήσεις (saioary icrms), εάν η κατανοµή του αριθµού των γεγονότων που συµβαίνουν σε οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα εξαρτάται µονάχα από το µήκος του χρονικού διαστήµατος. Με άα όγια, η διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων παρουσιάζει στάσιµες αυξήσεις εάν ο αριθµός των γεγονότων σε ένα διάστηµα ( +s, +s] (δηαδή N( +s)-n( +s)) έχει την ίδια κατανοµή όπως ο αριθµός των γεγονότων στο διάστηµα (, ] (δηαδή N( )-N( )) για όα τα < και s>0. Μια από τις σπουδαιότερες διαδικασίες απαρίθµησης γεγονότων είναι η διαδικασία Poisso την οποία παρουσιάζουµε στην συνέχεια. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 5 από 5

16 .3. Ορισµοί διαδικασίας Poisso & ισοδυναµία αυτών Ορισµός: Μια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων {N(), 0} ονοµάζεται διαδικασία Poisso µε ρυθµό, >0, εάν:. N(0)0.. Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες αυξήσεις. 3. Ο αριθµός των γεγονότων σε κάθε διάστηµα µήκους ακοουθεί κατανοµή Poisso µε µέσο. ηαδή για όα τα s, 0, ( ) Pr[ N( + s) N( s) ], 0,,...! Σύµφωνα µε την τρίτη συνθήκη µια διαδικασία Poisso έχει ανεξάρτητες αυξήσεις και επίσης E[N()] το οποίο εξηγεί γιατί το ονοµάζεται ρυθµός της διαδικασίας. Προκειµένου κανείς να καθορίσει ότι µια τυχαία διαδικασία αποτεεί διαδικασία Poisso, θα πρέπει να αποδείξει ότι ικανοποιούνται και οι τρεις συνθήκες του παραπάνω ορισµού. Στην περίπτωση µιας τυχαίας διαδικασίας, είναι εύκοο να αποδείξει κανείς την ισχύ των δύο πρώτων συνθηκών, δεν ισχύει όµως το ίδιο και µε την τρίτη συνθήκη, πράγµα το οποίο περιορίζει την χρησιµότητα του παραπάνω ορισµού. Για το όγο αυτό παρουσιάζουµε στην συνέχεια ένα εναακτικό ορισµό της διαδικασίας Poisso. Αρχικά δίνουµε ένα ορισµό τον οποίο θα χρησιµοποιήσουµε στην συνέχεια. Ορισµός: Μια συνάρτηση f έµε ότι είναι o(h) εάν lim h 0 f ( h) 0 h Ο εναακτικός ορισµός της διαδικασίας Poisso έχει ως εξής: Ορισµός: Μια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων {N(), 0} ονοµάζεται διαδικασία Poisso µε ρυθµό, >0, εάν:. N(0)0.. Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες και στάσιµες αυξήσεις. 3. Pr[N(h) ] h+o(h), h 0 4. Pr[N(h) ] o(h), h 0 Οι συνθήκες και 3 ορίζουν πως σε ένα ασυµπτωτικά µικρό χρονικό διάστηµα h, µπορούν να συµβούν µόνο δύο γεγονότα: άφιξη µε πιθανότητα (h) ή καµία άφιξη Σείδα 6 από 5 Συστήµατα Αναµονής

17 µε πιθανότητα (-h). Η πιθανότητα ποαπών αφίξεων, σύµφωνα µε τη συνθήκη 4, είναι ασυµπτωτικά µηδενική. Θα αποδείξουµε στην συνέχεια την ισοδυναµία των δύο ορισµών. Θεώρηµα: Οι δύο παραπάνω ορισµοί είναι ισοδύναµοι. Απόδειξη: Θα αποδείξουµε ότι ο δεύτερος ορισµός συνεπάγεται τον πρώτο. Για το σκοπό αυτό συµβοίζουµε: P ( ) Pr[ N( ) ] Παράγουµε την ακόουθη διαφορική εξίσωση για το P 0 (): P ( + h) Pr[ N( + h) 0] 0 Pr[ N( ) 0, N( + h) N( ) 0] Pr[ N( ) 0] Pr[ N( + h) N( ) 0] P ( ) P ( h) 0 0 όπου η υπόθεση () του θεωρήµατος έχει χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή των δύο τεευταίων εξισώσεων. Κατά συνέπεια θα έχουµε: P0 ( + h) P0 ( ) P0 ( h) P0 ( ) h h Στο όριο h 0 και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι οι συνθήκες (3) και (4) του ορισµού συνεπάγονται ότι: απ όπου έχουµε: ή ισοδύναµα ή εδοµένου ότι P 0 (0), καταήγουµε στο P 0( h) h + o( h) ' 0( 0 P ) P ( ) log P 0 ( ) + c P ( ) c 0 (.) P0( ) Συστήµατα Αναµονής Σείδα 7 από 5

18 Παροµοίως, για >0, P (+h) Pr[N(+h)] Pr[N(), N(+h)-N()0] + + Pr[N()-, N(+h)-N()] + + Pr[N(+h), N(+h)-N() ] Εντούτοις σύµφωνα µε την υπόθεση (4) ο τεευταίος όρος στην τεευταία σχέση είναι o(h). Έτσι χρησιµοποιώντας την υπόθεση (): P (+h) P () P 0 (h) + P - () P (h) + o(h) (-h) P () + hp - () + o(h) Οπότε: P ( + h) P ( ) P ( ) + P h o( h h ) ( ) + Αν h 0, ' P ( ) P ( ) + P ( ) ή ισοδύναµα ' [ P ( ) + P ( )] P ( ) Οπότε: d (.) ( P ( )) P ( ) d Από την (.) έχουµε για d d ή ( P ( )) P ( ) ( + c) το οποίο αφού P (0)0 συνεπάγεται: P ( ) Προκειµένου να δείξουµε ότι: Σείδα 8 από 5 Συστήµατα Αναµονής

19 P ( ) ( )! χρησιµοποιούµε επαγωγή, υποθέτοντας αρχικά ότι ισχύει για -. Τότε από την (.) θα έχουµε: d d ( ( ) P ( )) ( )! η οποία συνεπάγεται: ( ) P ( )! + c ή δεδοµένου ότι P (0)Pr[N(0)]0, P ( ) ( )! Έτσι αποδείχτηκε ότι ο δεύτερος ορισµός συνεπάγεται τον πρώτο..3.3 Ιδιότητες διαδικασίας Poisso.3.3. Χρόνοι µεταξύ αφίξεων Θεωρείστε µια διαδικασία Poisso και έστω X η χρονική στιγµή του πρώτου γεγονότος. Έστω για, το X δείχνει το χρόνο µεταξύ του (-)-ου και του -ου γεγονότος. Η ακοουθία {X, } ονοµάζεται σειρά των χρόνων µεταξύ αφίξεων (squc of ir-arrival ims). Στην συνέχεια θα καθορίσουµε την κατανοµή της X. Κατ αρχήν παρατηρούµε ότι το γεγονός {X > } συµβαίνει µονάχα εάν δεν συµβούν γεγονότα της διαδικασίας Poisso στο διάστηµα [0,] και κατά συνέπεια: Pr[X > ]Pr[N()0] - ηαδή, η X ακοουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή /. Στην συνέχεια βρίσκουµε την υπό συνθήκη κατανοµή της X δεδοµένης της X. P{X > X s} P{0 γεγονότα στο (s, s+] X s} P{0 γεγονότα στο (s, s+]} (όγω των ανεξάρτητων αυξήσεων) - Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι κατανοµή της X είναι επίσης εκθετική µε µέση τιµή / και µάιστα ανεξάρτητη της κατανοµής της X. Μέσω επαναηπτικής χρήσης του παραπάνω επιχειρήµατος καταήγουµε στην ακόουθη πρόταση. Πρόταση: Οι X,,,... αποτεούν ανεξάρτητες, οµοίως κατανεµηµένες Συστήµατα Αναµονής Σείδα 9 από 5

20 εκθετικά, τυχαίες µεταβητές µε µέση τιµή /. Η παραπάνω πρόταση προσφέρει ένα εναακτικό δρόµο ορισµού µιας διαδικασίας Poisso. Κανείς ξεκινά µε µια ακοουθία {X, } ανεξάρτητων οµοίως κατανεµηµένων εκθετικά τυχαίων µεταβητών µε µέση τιµή /. Ορίζουµε µια διαδικασία απαρίθµησης γεγονότων έγοντας ότι το ν-οστό γεγονός της διαδικασίας αυτή συµβαίνει τη χρονική στιγµή S όπου:, X S i i Η διαδικασία απαρίθµησης που προκύπτει {N(), 0} είναι Poisso µε ρυθµό Κατανοµή χρόνου αφίξεως ν-οστού γεγονότος Στην ενότητα αυτή µας ενδιαφέρει η κατανοµή του χρόνου αφίξεως του ν-οστού γεγονότος., X S i i Το ν-οστό γεγονός συµβαίνει πριν ή τη χρονική στιγµή εάν και µόνο εάν ο αριθµός των γεγονότων που έχουν συµβεί µέχρι τη χρονική στιγµή είναι τουάχιστον. ηαδή: S N ) ( Αυτό συνεπάγεται: j j j N P S P! ) ( } ) ( { } { απ όπου µε παραγώγιση προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας της S είναι: + j j j j j j f )! ( ) ( )! ( ) (! ) ( ) ( ηαδή κατανοµή γάµα µε παραµέτρους και Κατανοµή χρόνων άφιξης υπό συνθήκη Θεωρείστε ότι ένα γεγονός µιας διαδικασίας Poisso έχει συµβεί µέχρι τη χρονική στιγµή. Αναζητούµε την κατανοµή του χρόνου που συνέβη το γεγονός. Για χρόνο s ισχύει: Σείδα 0 από 5 Συστήµατα Αναµονής

21 P{ X P{ γεγονός στο [0, s), 0 γεγονότα στο [ s, )} P{ N( ) } P{ γεγονός στο [0, s)} P{ 0 γεγονότα στο [ s, )} P{ N( ) } s s P{ X < s, N( ) } < s N( ) } P{ N( ) } ( s) ηαδή οµοιόµορφη στο [0, ]. s Άθροισµα ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso Ας θεωρήσουµε m ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές εκθετικά κατανεµηµένες µε παραµέτρους i, i,,,m τότε το mi των µεταβητών αυτών ακοουθεί επίσης εκθετική κατανοµή µε παράµετρο m. Θεωρούµε την υπέρθεση m ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso µε ρυθµούς i, i,,,m, τότε το διάστηµα από µια τυχαία χρονική στιγµή µέχρι το επόµενο γεγονός θα ισοδυναµεί µε το mi m ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών εκθετικά κατανεµηµένων µε τις αντίστοιχες παραµέτρους i. Συµπεραίνουµε ότι η διαδικασία που προκύπτει από την υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisso είναι επίσης διαδικασία Poisso µε ρυθµό το άθροισµα των ρυθµών των επί µέρους διαδικασιών (βέπε Σχήµα 9). m Σχήµα 9 - Άθροισµα ανεξαρτήτων διαδικασιών Poisso ιαχωρισµός διαδικασίας Poisso µε πείραµα Broulli Ας θεωρήσουµε την διάσπαση µιας διαδικασίας Poisso {N(), 0} σε δύο επί µέρους διαδικασίες {N (), 0} και {N (), 0}. Η διάσπαση πραγµατοποιείται µε µια ακοουθία πειραµάτων Broulli: κάθε γεγονός της διαδικασίας N ανατίθεται στη διαδικασία N µε πιθανότητα α και στην N µε πιθανότητα α (α +α ). Η από κοινού κατανοµή πιθανότητας των N (), N () θα είναι: Συστήµατα Αναµονής Σείδα από 5

22 Pr[ N ( ), N ( ) ] Pr[ N ( ), N ( ) ( + )! a!! ( a)! a a + ( ) ( + )! ( a)! / N ( ) + ] Pr[ N( ) + ] a δηαδή οι διαδικασίες που προκύπτουν από τη διάσπαση είναι επίσης Poisso µε ρυθµούς α και α και επιπέον ανεξάρτητες µεταξύ τους. Το αποτέεσµα αυτό γενικεύεται εύκοα για διάσπαση σε οποιονδήποτε αριθµό επιµέρους διεργασιών (βέπε Σχήµα 0). α m α α α α α m Σχήµα 0 - ιάσπαση διαδικασίας Poisso µε πείραµα Broulli.4 Θεώρηµα Lil Θεωρούµε συστήµατα αναµονής όπου οι πεάτες φθάνουν σε τυχαίες χρονικές στιγµές προκειµένου να εξυπηρετηθούν. Θεωρούµε ακόµα ότι οι κατανοµές των πιθανοτήτων για τους χρόνους µεταξύ διαδοχικών αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρέτησης έχουν δοθεί. Στην περίπτωση δικτύων υποογιστών, οι πεάτες αυτοί µπορεί να παριστάνουν πακέτα δεδοµένων τα οποία φθάνουν σε έναν επικοινωνιακό σύνδεσµο για µετάδοση. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης αντιστοιχούν στους χρόνους µετάδοσης των πακέτων και είναι ίσοι µε L/C όπου L είναι το µήκος του πακέτου σε ψηφία και C είναι η χωρητικότητα του επικοινωνιακού συνδέσµου σε bis/sc. Μας ενδιαφέρει ο υποογισµός ποσοτήτων όπως: (α) Ο µέσος αριθµός πεατών στο σύστηµα (β) Η µέση καθυστέρηση ανά πεάτη Συµβοίζουµε µε p () την πιθανότητα πεάτες να περιµένουν στην ουρά ή να βρίσκονται υπό εξυπηρέτηση την χρονική στιγµή. Αν µας έχουν δοθεί οι οριακές πιθανότητες p (0) και άες στατιστικές πηροφορίες είναι πιθανό να µας ζητηθούν οι πιθανότητες p () για όες τις χρονικές στιγµές. Συµβοίζοντας µε N () το µέσο αριθµό πεατών στο σύστηµα την χρονική στιγµή τότε θα ισχύει: Σείδα από 5 Συστήµατα Αναµονής

23 N ( ) p ( ) 0 Τα N () και p () εξαρτώνται από τη χρονική στιγµή όπως και από την οριακή κατανοµή πιθανότητας {p 0 (0), p (0),...}. Εντούτοις για τα συστήµατα τα οποία µας ενδιαφέρουν, τυπικά θεωρούµε ότι έχουν φθάσει στην µόνιµη κατάσταση υπό την έννοια ότι για κάποια Ν και p (ανεξάρτητα της οριακής κατανοµής πιθανότητας) ισχύει: lim p N 0 ( ) p p, 0,,... limn ( ) Στην περίπτωση που ο ρυθµός αφίξεων ξεπεράσει τον ρυθµό εξυπηρέτησης το N γίνεται άπειρο. Θεώρηµα: Ο µέσος αριθµός πεατών σε ένα σύστηµα Ν και η µέση καθυστέρηση Τ συνδέονται από µια απή εξίσωση η οποία µας επιτρέπει τον υποογισµό της µιας ποσότητας εφόσον η άη είναι γνωστή. Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως το θεώρηµα Lil (Lil Thorm) και έχει την ακόουθη µορφή: (.3) N T όπου ο µέσος ρυθµός αφίξεων πεατών στο σύστηµα, ο οποίος δίνεται από τη σχέση: Αναµενόµενος αριθµός αφίξεων στο διάστηµα lim [0, ] Στην συνέχεια θα δοθεί µια απόδειξη του παραπάνω θεωρήµατος µε γραφικό τρόπο θεωρώντας αγόριθµο εξυπηρέτησης FIFO. Έστω: α()αριθµός αφίξεων στο διάστηµα [0,] β()αριθµός αναχωρήσεων στο διάστηµα [0,] Υποθέτοντας ότι το σύστηµα ήταν άδειο στο χρόνο µηδέν ο αριθµός των πεατών στο σύστηµα το χρόνο δίνεται από τη σχέση: N()α()-β() Έστω γ() το εµβαδόν της περιοχής που ορίζεται από τις α(), β(). Η ποσότητα αυτή δίνει το συνοικό χρόνο παραµονής στο σύστηµα όων των πεατών µέχρι το χρόνο (Σχήµα ) και δίνεται από τη σχέση: (.4) γ ( ) N( τ ) dτ 0 Έστω ο µέσος ρυθµός αφίξεων πεατών στο σύστηµα στο διάστηµα [0, ]. Έχουµε: Συστήµατα Αναµονής Σείδα 3 από 5

24 (.5) α()/ Έστω T η µέση καθυστέρηση πεατών στο σύστηµα οι οποίοι εµφανίστηκαν στο διάστηµα [0, ]. Έχουµε: (.6) Τ γ()/α() δηαδή T είναι ο όγος της συνοικής καθυστέρησης όων των πεατών δια του αριθµού των πεατών. ιαδικασία αφίξεων α() ιαδικασία αναχωρήσεων β() α() Καθυστέρηση Τ β() Πεάτης Σχήµα - Γραφική απόδειξη Θεωρήµατος Lil Έστω Ν η µέση τιµή του αριθµού των πεατών στο σύστηµα στο διάστηµα [0, ]. Έχουµε από τις (.4), (.5), (.6): N N d T ( τ) τ γ ( ) γ () a () 0 Παίρνοντας τα όρια των Ν,, Τ για έχουµε τεικά την επιθυµητή σχέση (.3). Η σηµασία του Θεωρήµατος Lil είναι πού µεγάη κυρίως όγω της γενικότητας του Θεωρήµατος αυτού. Ισχύει σχεδόν για κάθε σύστηµα αναµονής το οποίο φθάνει οριακά σε µια στατιστική ισορροπία. Το σύστηµα δεν είναι απαραίτητο να αποτεείται µονάχα από µία ουρά αναµονής. Με κατάηη επεξήγηση των όρων N,, T µπορεί να κανείς να εφαρµόσει το Θεώρηµα Lil σε µια ποικιία συστηµάτων αναµονής. Για παράδειγµα, θεωρήστε ένα σύστηµα αναµονής που δέχεται πεάτες µε ρυθµό. Έστω Τ η αναµενόµενη τιµή του χρόνου καθυστέρησης των πεατών δηαδή η αναµενόµενη τιµή του χρόνου που µεσοαβεί από την άφιξη στο σύστηµα αναµονής µέχρι την οοκήρωση της εξυπηρέτησης και έστω N ο µέσος αριθµός πεατών στο σύστηµα. Τότε ισχύει το Θεώρηµα του Lil χωρίς καµιά παραπάνω υπόθεση Σείδα 4 από 5 Συστήµατα Αναµονής

25 σχετικά µε το σύστηµα, τις διαδικασίες άφιξης και εξυπηρέτησης. Αν ως σύστηµα ορίσουµε το σύστηµα αναµονής εκτός της µονάδας εξυπηρέτησης τότε θα έχουµε: N Q W όπου N Q ο µέσος αριθµός των πεατών που περιµένουν να εξυπηρετηθούν και W ο µέσος χρόνος αναµονής των πεατών για να αρχίσουν να εξυπηρετούνται. Αν ως σύστηµα ορίσουµε τη µονάδα εξυπηρέτησης θα έχουµε: p X όπου p ο συντεεστής χρησιµοποίησης (µέσος αριθµός πεατών στον εξυπηρετητή) και X η αναµενόµενη τιµή του χρόνου εξυπηρέτησης. Αν θεωρήσουµε ένα δίκτυο από συστήµατα αναµονής τότε ισχύει το Θεώρηµα του Lil όπου είναι ο συνοικός µέσος ρυθµός αφίξεων πεατών στο δίκτυο, Ν ο µέσος αριθµός πεατών σε όο το δίκτυο και T ο µέσος χρόνος καθυστέρησης ενός πεάτη στο δίκτυο..5 Ασκήσεις. Να αποδειχθεί ότι ο πρώτος ορισµός της διαδικασίας Poisso συνεπάγεται το δεύτερο ορισµό.. Θεωρείστε Κ ανεξάρτητες πηγές πεατών όπου η πηγή κ είναι µια διαδικασία Poisso µε ρυθµό κ πεάτες/sc (κ,,,κ). Θεωρείστε τη διαδικασία αφίξεων που δηµιουργείτε από την υπέρθεση των παραπάνω Κ πηγών. Αποδείξτε ότι η υπέρθεση αυτή είναι διαδικασία Poisso ρυθµού + + κ. 3. Θεωρείστε µια διαδικασία Poisso µε ρυθµό πεάτες/sc. Έστω ότι θέουµε να διαιρέσουµε τη διαδικασία αυτή σε περισσότερες από µία διαδικασίες αφίξεων και p i η πιθανότητα ένας πεάτης της αρχικής διαδικασίας να ακοουθήσει τη διαδικασία i. Εάν οι πιθανότητες p i επιέγονται ανεξάρτητα για κάθε πεάτη, αποδείξτε ότι η διαδικασία i που δηµιουργείται είναι διαδικασία Poisso ρυθµού p i. 4. Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της µικρότερης από Κ ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, κάθε µία από τις οποίες είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο. Συστήµατα Αναµονής Σείδα 5 από 5