|
|
|
- Ήλιόδωρος Βαρνακιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1
2 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα
3 ΘΕΜΑ 701 Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε a b c 1 6a 3b c 1 15a 10b 6c 1 Δείξτε ότι a b c 15. Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 70 Οι διαφορετικοί ανά δύο θετικοί αριθμοί a 1,a,..,a είναι τέτοιοι ώστε a a a 1 10 Δείξτε ότι κάποιος από αυτούς δεν είναι ακέραιος. ΘΕΜΑ 703 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y είναι τέτοιοι ώστε 1 y x xy. Να βρείτε την τιμή της παράστασης xy xy. ΘΕΜΑ 704 Οι θετικοί ακέραιοι k,m,n,q είναι τέτοιοι ώστε Αν οι k,mείναι πρώτοι μεταξύ τους δείξτε ότι οι μεταξύ τους. Βρείτε μια τέτοια τετράδα (k,m,n,q). q (k km) m n 013. n,k km δεν είναι πρώτοι Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 3
4 ΘΕΜΑ 705 Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) για τα οποία ο αριθμός (m 3n) m n είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 706 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,t είναι τέτοιοι ώστε 1 {x y z} {y z t} {z t x} {t x y}. Βρείτε τις δυνατές τιμές 4 του {x y z t}. ΘΕΜΑ 707 Βρείτε όλους τους ακεραίους n για τους οποίους οι αριθμοί n 3 και n 3n 3 είναι τέλειοι κύβοι. ΘΕΜΑ 708 Να λυθεί η εξίσωση [x{x[x]}] x. ΘΕΜΑ Δείξτε ότι a b c a b b c c a για κάθε a b c a,b,c (0,1]. ΘΕΜΑ 710 Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (n,p,q) ώστε p q (n ) (n 1). ΘΕΜΑ 711 Βρείτε τους πρώτους p,qώστε q p1 3p q 19. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 4
5 ΘΕΜΑ 71 Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b για τους οποίους ο αριθμός a είναι ρητός. 3 b ΘΕΜΑ Δείξτε ότι 1, για όλους τους a b b c c d d a θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d με γινόμενο 1. ΘΕΜΑ 714 Ένας τετραψήφιος αριθμός abcd με διαφορετικά ανά δύο ψηφία λέγεται καλός αν ad bc 33. Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των καλών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 11. ΘΕΜΑ 715 Αν για τα ψηφία a,b,c,d,x,y,z,tμε 0abc d ισχύει dcba abcd xyzt, να βρείτε τις δυνατές τιμές του S xyzt tzyx. ΘΕΜΑ 716 (ΛΕΩΝΙΔΑΣ) Έστω a 1,a,,a και 100 b 1,b,,b δυο μεταθέσεις των ακεραίων από το 100 1μέχρι το 100. Να δείξετε ότι μεταξύ των γινομένων a 1 b 1,a b,,a 100 b 100 υπάρχουν που έχουν ίδιο υπόλοιπο (mod100). Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 5
6 ΘΕΜΑ 717 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 718 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 3 x y x y. ΘΕΜΑ 719 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης a 1 a 1 b 3 b 1. ΘΕΜΑ 70 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 17y 50. ΘΕΜΑ 71 Αν a,bακέραιοι τέτοιοι ώστε ελάχιστη τιμή του s. 3 3 s a b 60ab(a b) 01, να βρεθεί η ΘΕΜΑ 7 Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης 4 (x 3y ) x y 4 xy. ΘΕΜΑ 73 Αν a,b,c 0 ώστε , να δείξετε ότι a b c a b b c c a Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 6
7 ΘΕΜΑ 74 Αν a,b,c τέτοιοι ώστε abc 1, τότε R a b c 3. ab 1 bc 1 ca 1 ΘΕΜΑ 75 Δείξτε ότι αν a,b,c 0 με abc 3 τότε, a (b 1) b (c 1) c (a 1). ab a b bc b c ca c a ΘΕΜΑ 76 Έστω οι ακέραιοι a,b,c,dκαι οι αριθμοί A (a b c) (b c a) (c a b) και B d(d 1)(d )(d 3) 1. Δείξτε ότι ο αριθμός ακέραιος. Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο; ( A 1) B είναι ΘΕΜΑ 77 Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ο αριθμός γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. 4 n 5n 11 δε μπορεί να ΘΕΜΑ 78 Αν a,b,c 0 ώστε a b c 3 να δείξετε ότι a b c a b c a b c a b c 6. ΘΕΜΑ 79 Οι διαφορετικοί ανά δύο και μη μηδενικοί αριθμοί x,y,zείναι τέτοιοι ώστε xy yz zx. Βρείτε τις δυνατές τιμές του xyz. yz zx xy Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 7
8 ΘΕΜΑ 730 Έστω p,q,rπρώτοι αριθμοί. Να λυθεί η εξίσωση q p p q r. ΘΕΜΑ 731 Δείξτε ότι ανάμεσα σε 05 διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους, υπάρχουν 79 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9. ΘΕΜΑ 73 Έστω a,b,c (0,1] και x,y,z 1 ώστε 1 x y z x a y b z c ( ). Δείξτε ότι x y z 6. a b c ΘΕΜΑ 733 Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού n ώστε οι αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους. n 5 1 και 39 ΘΕΜΑ 734 Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a,b) 9[a,b] 9(a b) 7ab. ΘΕΜΑ 735 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 x 1x x y ΘΕΜΑ 736 Για τους μη μηδενικούς και ανά δύο διαφορετικούς ακέραιους συντελεστές a,b,c του πολυωνύμου f(x) x ax bx c ισχύει f(a) a και f(b) b. Να βρεθούν οι a,b,c. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 8
9 ΘΕΜΑ 737 Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες λύσεις (m,p,q)της εξίσωσης όπου p και q πρώτοι αριθμοί. m 5 p 1 q ΘΕΜΑ 738 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x y y. ΘΕΜΑ 739 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι nτέτοιοι ώστε η εξίσωση να έχει x y n μοναδική λύση x,y N. ΘΕΜΑ Δίνονται οι αριθμοί A n n 1 και Bn 0 όπου n. Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, έτσι ώστε ο Aνα διαιρεί τον B. ΘΕΜΑ 741 Αν x,y,z 0με x y z 3, να αποδείξετε x yz y zx z xy ότι: 3. y zx z xy x yz ΘΕΜΑ 74 Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει xy yz zx xyz x 1 y 1 z 1 6 να αποδείξετε ότι: x y z xyz Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 9
10 ΘΕΜΑ 743 Αν a,bθετικοί πραγματικοί αριθμοί τότε a a b b a b b a ΘΕΜΑ 744 Να βρείτε όλες τις τιμές της θετικής παραμέτρου pώστε a pb b pa a b (p 1) ab για κάθε a,b 0. ΘΕΜΑ 745 Δείξτε ότι σε κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο ABCμε πλευρές a,b,cισχύει a cosa b cosb c cosc abc. ΘΕΜΑ 746 Αν A και B είναι μη κενά πεπερασμένα σύνολα πραγματικών αριθμών, συμβολίζουμε A B {a b a A,b B}. Να βρείτε i. Τον μέγιστο ακέραιο r για τον οποίο υπάρχουν A,B N έτσι ώστε A και B έχουν r στοιχεία το καθένα και AB {0,1,,...,01} και ii. Τον ελάχιστο ακέραιο n για τον οποίο υπάρχουν A,B N έτσι ώστε A και B έχουν nστοιχεία το καθένα και AB {0,1,,...,01}. ΘΕΜΑ 747 Ένα υποσύνολο E του συνόλου {1,,3,,50} λέγεται special αν δεν περιέχει υποσύνολο της μορφής {x,3x}. Ένα special σύνολο E λέγεται superspecial αν περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 10
11 Πόσα στοιχεία έχει ένα superspecial σύνολο; Πόσα superspecial σύνολα υπάρχουν; Λύση: Μια σκέψη μόνο. Σ' ένα superspecial σύνολο μπορούν να υπάρξουν όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι του 16 στο σύνολο 34 αριθμοί αφού τα τριπλάσιά τους είναι μεγαλύτερα του 50. Ακόμη, σ' αυτούς τους αριθμούς μπορούν να προστεθούν αριθμοί μικρότεροι του 16 των οποίων το τριπλάσιο είναι μικρότερο του 16, δηλαδή αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 5. Αυτοί θα είναι 4 σε πλήθος αφού Άρα ένα τέτοιο σύνολο έχει 38 στοιχεία. Για τον αριθμό των συνόλων έχω κάνει μια σκέψη αλλά είναι πολύ εκτενής και θα περιμένω καλύτερα να δω κάποια άλλη απάντηση αν δημοσιευτεί. ΘΕΜΑ 748 Να βρεθούν όλα τα x,y,z (kleovoulos) 3 Z που ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων: x+y+z=9 x +y +z = x +y +z = x +y +z = x +y +z =3369. ΘΕΜΑ 749 Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης A διαδοχικά πρόσημα διαδέχονται από δύο., όπου τρία ΘΕΜΑ 750 Έστω a b c 0. Να αποδειχθεί ότι (a b c)( ) 1. a b c Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 11
12 ΘΕΜΑ 751 Να λυθεί στο 3 R η εξίσωση xyz x y z 1. ΘΕΜΑ 75 Έστω a,b,c,d θετικοί πραγματικοί αριθμοί με cd 1. Δείξτε ότι υπάρχει ακέραιος n ώστε ab n (a c)(b d). ΘΕΜΑ 753 Να δείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς a i,b i,c i, i 1,,3, ισχύει (a b c 1)(a b c 1)(a b c 1) (a 1 b 1 c 1 )(a b c )(a 3 b 3 c 3 ). 4 ΘΕΜΑ 754 Έστω x 1,x,,x μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 1. n Έστω ακόμη F x x x (x x x x x x ). Βρείτε τα n 1 n 1 3 n 1 α) minf ; 3 β) minf ; 4 γ) minf. 5 ΘΕΜΑ 755 Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c με a b c 1 ισχύει a b c 3 b c c a a b 1 3. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1
13 ΘΕΜΑ 756 Έστω n 3 ένας ακέραιος και a 1,a,...,a θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι n ώστε a 1... an 1. Δείξτε ότι a a a a 1. a a a a a a a a a a a a n1 n n1 n 1 n 1 ΘΕΜΑ 757 α) Βρείτε όλους τους πρώτους p,q,rτέτοιους ώστε 3 pq r και οι αριθμοί pq r και pq qr rp 3 να είναι τέλεια τετράγωνα. β) Υπάρχουν πρώτοι p,q,rτέτοιοι ώστε 3 p q r και οι αριθμοί pq r και pq qr rp 3 να είναι τέλεια τετράγωνα; ΘΕΜΑ 758 Έστωp,r πρώτοι και qφυσικός. Να λυθεί η εξίσωση (p q r) p q r. ΘΕΜΑ 759 Βρείτε όλους τους πρώτους p,q ώστε ΘΕΜΑ 760 (p q) (q p) p (q1). Βρείτε όλες τις τριάδες διαδοχικών πρώτων τέτοιες ώστε το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι επίσης πρώτος. ΘΕΜΑ 761 Βρείτε όλα τα a,bn ώστε a b a b a και b a ab b. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 13
14 ΘΕΜΑ 76 Οι ακέραιοι αριθμοί a,bείναι τέτοιοι ώστε ότι ο a είναι τετράγωνο ακεραίου. a a b 8b ab 16. Δείξτε ΘΕΜΑ 763 Έστω η ακολουθία 1,4,6,38,40,5,... (α) Περιέχει τον αριθμό 01 ; (β) Δείξτε ότι δεν περιέχει τέλεια τετράγωνα. ΘΕΜΑ 764 α) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν β) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν γ) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν p qr pq p q 1. 3 p q r. δ) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν οι αριθμοί pq p q,pq p q,pq p q,pq p q είναι επίσης πρώτοι. ε) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν p q r 36r. στ) Να βρείτε τους πρώτους p ώστε p p ζ) Να βρείτε το μεγαλύτερο τριψήφιο πρώτο pγια τον οποίο η εξίσωση (1 x xy) y p έχει ακέραια ρίζα. η) Να βρείτε τους πρώτους p,q,rαν θ) Να βρείτε τους πρώτους p,qαν ι) Να βρείτε τους πρώτους p,qαν (p 011)(q 011) r (p q)(p q) (3p 5q). 3 (p q)(p q) (5p 7q). Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 14
15 ια) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν ιβ) Να βρείτε τους πρώτους p αν οι αριθμοί 5 (3q p) (p 3q). p,3p,5p 4,7p 6,9p 8,11p 10,6p 11 είναι επίσης πρώτοι. ιγ) Να βρείτε τους πρώτους p,q,rαν p q r, q r p, r p 3q. ΘΕΜΑ 765 Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c 0 με abc 1 να δείξετε ότι ( a b c ) 3. 1 a 1 b 1 c ΘΕΜΑ 766 Έστω ABCD κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1. Δείξτε ότι 0 (AB BC CD AD) (AC BD) 4. ΘΕΜΑ 767 Σε κάθε τρίγωνο ισχύει εμβαδόν του. (4a 3b) 96P, όπου a,b,c οι πλευρές και P το Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του όταν έχουμε ισότητα; ΘΕΜΑ 768 Να δείξετε ότι sinx cosx tanx cotx για κάθε x0,. ΘΕΜΑ 769 Οι θετικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε a bc b ca c ab a b c 3. Δείξτε ότι Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 15
16 ΘΕΜΑ 770 Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 771 a b 1 a 1 b b a, για κάθε a 0,0 b 1. Δείξτε ότι για κάθε x,y R ισχύει Γενικεύστε. Είναι (x y ) (xy) (x y ). Λύση: (x y ) x 5x y 10x y 10x y 5x y y και (x y ) x x y y οπότε αρκεί να είναι x y x y x y x y 6x y. Αυτό προκύπτει από την ΑΜ ΓΜ γράφοντας Γενίκευση: n n n n (x y ) (xy) (x y ), n N. Απόδειξη όπως παραπάνω x y x y x y... κτλ. ΘΕΜΑ 77 Οι θετικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε abc abc. Δείξτε ότι a b c. b 1 c 1 a 1 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 16
17 ΘΕΜΑ 773 Οι αριθμοί a,b,c 1 είναι τέτοιοι ώστε a b c 3. b c 1 c a 1 a b 1 a b c 3. Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 774 Δείξτε ότι για τους μη αρνητικούς αριθμούς x,y ισχύει (x y) (x 7y ) 64x y. ΘΕΜΑ 775 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Πάνω στην πλευρά Oy, γωνίας xoy 45 o, παίρνουμε ένα τυχαίο τμήμα AB. Αν C,D είναι οι προβολές των A,B επί την Ox και αν η μεσοκάθετος της AB τέμνει την Ox στο K, να αποδείξετε ότι (ABK) (ABDC). ΘΕΜΑ 776 (Socratis Lyras) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a 1,a,...,a n,n 3 για τους οποίους ισχύουν : n i1 a i n n i1 a n i Να αποδείξετε ότι maxa 1,a,...,an. ΘΕΜΑ 777 Αν οι ακέραιοι m,s είναι τέτοιοι ώστε mx sy 3 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 001 ms 000, τότε η εξίσωση Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 17
18 ΘΕΜΑ 778 (Socratis Lyras) Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους : 3 x 7 y. ΘΕΜΑ 779 (Αργύρης Καρανικολάου) Δείξτε για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d ότι a b c d a b c d ΘΕΜΑ 780 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) x y z w 4 Να λυθεί το σύστημα: xy zw. xz yw ΘΕΜΑ 781 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους m και κάθετες πλευρές με μήκη b,c. Nα αποδείξετε ότι: b mc c mb m ΘΕΜΑ 78 Υπάρχουν ακέραιοι a,b,c τέτοιοι ώστε οι αριθμοί να είναι τέλεια τετράγωνα; a bc, ab c, abc ΘΕΜΑ 783 Να βρεθούν οι x N, y Q ώστε x y 3 y 1. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 18
19 ΘΕΜΑ 784 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Αν x και * n N, να αποδείξετε ότι: n n n (x ) ( x) 4. ΘΕΜΑ 785 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αναλύστε σε γινόμενο τεσσάρων παραγόντων η παράσταση: b c b c c a c a a b a b. ΘΕΜΑ 786 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Αν a,b,c είναι πλευρές τριγώνου και αν b c bc ca ab 0, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό, δεν μπορεί να είναι οξυγώνιο. ΘΕΜΑ 787 Υπάρχουν πρώτοι p1 p... p ώστε οι αριθμοί 99 p1 p,p p 3,...,p 98 p 99,p99 p να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων; 1 ΘΕΜΑ 788 Αν a,b,c 0, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 789 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) a b c. b c a c a b (Cretanman) Αν a,b,c μη μηδενικοί πραγματικοί να βρείτε τις λύσεις του συστήματος των εξισώσεων: a b c. b c a Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 19
20 ΘΕΜΑ 790 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Ο αριθμός 53abc είναι πολλαπλάσιο του 7, του 8 και του 9. Βρείτε τα ψηφία a,b,c. ΘΕΜΑ 791 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Δείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι a,bπου να ικανοποιούν την εξίσωση: a 5ab b 3b 7. ΘΕΜΑ 79 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί x,y,z, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι: x y z ΘΕΜΑ 793 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Να λυθεί το σύστημα x!y! 6! y!z! 7!. z!x! 10! ΘΕΜΑ 794 Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς a 1,a,a 3,...,a αν ισχύουν 011 a1 a... a και a1 a a a 3... a 011 a 1. ΘΕΜΑ 795 Να δείξετε ότι x y z x y z, xy yz yz zx zx xy x y z xyz για κάθε 0 x,y,z 1. Πότε ισχύει η ισότητα; Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 0
21 ΘΕΜΑ 796 Βρείτε τους πρώτους q 1,q,...,q ώστε 6 q q... q. 1 6 ΘΕΜΑ 797 Πόσοι το πολύ διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή όπου x,yακέραιοι; x y, 3 ΘΕΜΑ 798 Θεωρούμε το σύστημα: x 1(x x3 x4 x 5) 1 x (x x x x ) x 3(x1 x x4 x 5) 1. x 4(x1 x x3 x 5) 1 x 5(x1 x x3 x 4) 1 Ποιες οι δυνατές τιμές του x ; 1 ΘΕΜΑ 799 Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y) ώστε (xy 1) (x y). ΘΕΜΑ 800 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Να γραφεί ο αριθμός ως άθροισμα δύο τετραγώνων. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1
22 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα
Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 2 24 : : 2, : και να τις συγκρίνετε.
Τηλ. 6165-617784 - Fa: 64105 Tel. 6165-617784 - Fa: 64105 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 5 5 4 : 6 5 8 8:, 11 : 1 11 7 και να τις συγκρίνετε. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 4ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 301-400 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 3645 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : ifo@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.
Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης
Τηλ 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 Tel 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 ΣΒΒΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 B τάξη υμνασίου Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης ( 00 :8 1 100) 00 : ( 8 ) 76
Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε
Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχει τα δυσκολότερα θέµατα. Άλλοι διαγωνισµοί µε σειρά
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 «Επειδή πολλοί μαθητές του Γυμνασίου ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς που γίνονται κάθε χρόνο, αλλά δεν έχουν αποκτήσει την εμπειρία σχετικά με τα θέματα που μπαίνουν, προτείνω
β =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι
2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 3ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 201-300 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr 34, Panepistimiou (Εleftheriou
2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.
Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις
Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,
Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός Απριλίου 2015
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
2. Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί και x, y είναι θετικοί πραγματικοί διαφορετικοί από το 0, να δείξετε ότι: x β 2 α β
Ευκλείδης Ά Λυκείου 1994-1995 1. Έχουμε στο επίπεδο 4 διαφορετικές ευθείες. Είναι γνωστό ότι κάθε άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου τέμνει ή ή 4 από τις ευθείες. Να βρείτε πόσες από τις ευθείες είναι παράλληλες..
: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :
Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΣΑΒΒΑΤΟ,14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές. 2.
Να αποδείξετε ότι αυτή η τοποθέτηση των ακεραίων είναι δυνατή αν και μόνο αν οι ευθείες δεν είναι όλες παράλληλες.
η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ BMO 004 Μάιος 004, Πλέβεν Βουλγαρία Επιμέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Ανδρέας Σαββίδης Πρόβλημα. Η ακολουθία πραγματικών αριθμών a0, a, a, ικανοποιεί την σχέση am+ n+ am n m+
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fa: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 β + α 500 11 18 α β Α= β 3 β, α αν δίνεται ότι: 10 β =.. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να αφαιρεθούν από το σύνολο Α= { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18,
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors)
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors) Δάτης Καλάλη Στον παππού και στην γιαγιά μου Πρόλογος Οι διαγωνισμοί των μαθηματικών διοργανώνονται στις περισσότερες χώρες σε εθνικό και διεθνή
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα. "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ΒΑΓ = 10. Αν Δ είναι το μέσον της
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 011 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x =
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
f(x - 2) + f(x + 2) = 3 f(x).
Θαλής Γ' Λυκείου 1995-1996 1. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης: με x 1, y 1. Π x, y = xy x 1 y y 1 x 1 x 1 y. Έστω η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε για κάθε x R να ισχύει ότι: Να δείξετε ότι η f είναι
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-ail : ifo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistiiou (Εleftheriou Veizelou)
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x = xy 6.
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Tel. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 10 4. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : ifo@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Paepistimiou (Εleftheriou Veielou) Street
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μεγάλων τάξεων Ενδεικτικές λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-al : fo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepstou (Εleftherou Vezelou) Street
x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k
Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά
( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - Fax: 605 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Α τάξη Λυκείου ( ) 2. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 Α τάξη Λυκείου Πρόβλημα Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση όπου mακέραιοι, και, m
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1. (α) Να βρεθούν όλα τα μη μηδενικά κλάσματα α β, με αβ, μη αρνητικούς ακέραιους και
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. (α) Να βρεθούν όλα τα μη μηδενικά κλάσματα α β, με αβ, μη αρνητικούς ακέραιους και α + β = 4. (β) Για το μικρότερο από τα κλάσματα του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την τιμή της παράστασης:
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB
Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 1ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1101-100 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
: :
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 19 Οκτωβρίου 013 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 16 1 74 3 1 : 4 53 3 4 :. 9 8 9 Πρόβλημα Ένας οικογενειάρχης πήρε
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 17 Ιανουαρίου 2015 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 0 7 Απριλίου 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες p n όπου p πρώτος και αρνητικοί ακέραιοι που είναι λύσεις της εξίσωσης: p n Λύση Η δεδομένη εξίσωση
!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί α = 0, 2 και β = 0, 3.. (α) Να γράψετε τους αριθμούς α και β σε κλασματική μορφή. (β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2015 2 2 ( 3 5 ) ( 18 ) 2016
Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996
Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06
Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α= = Επομένως έχουμε:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 7ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 601-700 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.
Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Αρχιμήδης Μικροί Θεωρούμε τους αριθμούς. A= : : και B= 2 25 : Ποιος είναι μεγαλύτερος;
Αρχιμήδης Μικροί 1994-1995 Θεωρούμε τους αριθμούς Ποιος είναι μεγαλύτερος; A= 2 0 8 21 :16 15 6 27 10 :81 7 63 και B= 2 25 :2 52 1 54 2. Θεωρούμε 6 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Έστω α το άθροισμα των
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες
Διανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 24 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ Α τάξη Λυκείου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Ο Νίκος Ζανταρίδης προτείνει... οι λύσεις τους
Ο Νίκος Ζανταρίδης προτείνει... 40 Συστήματα οι λύσεις τους πηγή: http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=09&t=97 40 Συστήματα - 76 λύσεις - 74 Σελίδες - λύτες η έκδοση 09-0-0 Συμμετείχαν στις
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 32 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 28 Φεβρουαρίου 2015 Θέματα μικρών τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79 - Athens
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα