Transcript

1 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

2 «Επειδή πολλοί μαθητές του Γυμνασίου ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς που γίνονται κάθε χρόνο, αλλά δεν έχουν αποκτήσει την εμπειρία σχετικά με τα θέματα που μπαίνουν, προτείνω να ξεκινήσουμε να βάζουμε θέματα που είτε έχουν τεθεί παλιά ή είναι παρόμοιου επιπέδου αρχίζοντας με εύκολα, ώστε να μπουν σιγά σιγά στο νόημα οι αρχάριοι αλλά ταλαντούχοι μαθητές». Με αυτό το μήνυμα ξεκίνησε ο Δημήτρης ΙΩΑΝΝΟΥ την πρωτοβουλία συλλογής θεμάτων για τους διαγωνισμούς της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ. Σε αυτή την προσπάθεια έδωσαν το παρόν αρκετοί συνάδελφοι, εξαίρετοι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ όπως ο Θανάσης Κοντογιώργης και πολλοί ταλαντούχοι μαθητές προτείνοντας και λύνοντας θέματα. Όλοι έχουν το ίδιο μικρόβιο, την αγάπη για τα μαθηματικά. Και φυσικά όταν έχεις το μικρόβιο, είσαι καταδικασμένος να δημιουργήσεις κάποια στιγμή όμορφα πράγματα. Ξεκίνησα την αποδελτίωση των θεμάτων πριν από ένα χρόνο με την συμπαράσταση του Μιχάλη Νάννου, ο οποίος έφτιαξε και το εξώφυλλο. Μέχρι στιγμής είναι έτοιμα τρία τεύχη από 100 ασκήσεις το καθένα (1 100, , ) και ελπίζω μέχρι το καλοκαίρι να είναι έτοιμο το τέταρτο. Επειδή όλο και κάποιο λάθος ενδέχεται να έχει ξεφύγει σας παρακαλώ να στέλνετε τις παρατηρήσεις σας στο Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

3 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 1ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

4 ΘΕΜΑ 1 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A 10 : :(3 9 3) B και ΘΕΜΑ A 1 ( 1) 0, 5. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: n 011 n ΘΕΜΑ 3 Αν x y 003, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 6 10x (4x y 3) 1 Α = 003 (x ) y. 3(x z) 3(y z) 3 ΘΕΜΑ Δίνονται οι αριθμοί: A ( ) 3 όπου n άρτιος φυσικός αριθμός. Να συγκριθούν οι αριθμοί 3 και n n 1 B 3 n 3 A, B. ΘΕΜΑ 5 n n ( ) ( ) Αν A και B όπου n θετικός ακέραιος, να βρεθεί ποιος n n 3 από τους αριθμούς A και B είναι μεγαλύτερος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0 ή 1 ή 5 ή 6, τότε κάθε δύναμη που έχει βάση τον αριθμό αυτό θα λήγει επίσης σε 0 ή 1 ή 5 ή 6αντίστοιχα. (β) Ένας φυσικός αριθμός που λήγει σε ή 3 ή 7 ή 8, δεν μπορεί να είναι τετράγωνος (δηλ. δεν μπορεί να πάρει την μορφή τετραγώνου φυσικού αριθμού). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

5 ΘΕΜΑ 6 Αν α ( ) και β , να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β. ΘΕΜΑ 7 Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 500 α 19. ΘΕΜΑ 8 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός τετράγωνο (ακεραίου). ΘΕΜΑ 9 A δεν είναι τέλειο Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού 101 α 597. ΘΕΜΑ 10 Να εξετάσετε αν ο αριθμός (α) με το. (β) με το A διαιρείται : ΘΕΜΑ 11 Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α 4, x 5y 1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Β. 6x 5y 31 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

6 ΘΕΜΑ 1 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης x 8xy 19y 6y 3, προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x,y για τις οποίες το έχουμε. ΘΕΜΑ 13 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Έστω M,N τα μέσα των πλευρών DC,AB ενός τετράπλευρου ABCD. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: (AND) (BNC) (ABM) X (ABM) (AND) (BNC) (*) όταν έχουμε ευθύγραμμο σχήμα μέσα σε παρένθεση εννοούμε το εμβαδόν του. ΘΕΜΑ 14 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Έστω a,b,c,d ώστε Να αποδειχθεί ότι : a 4a 13b 13c 9d 1(ab bc cd) πολ7. ΘΕΜΑ 15 Αν x,y,a,b 0, x y, y x, a 3b, a 3b και αν ισχύει ότι x y y x a 3b a 3b k, να αποδείξετε ότι: x y k a, x y k b. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Είναι γνωστό, ότι για να βρούμε το άθροισμα , παρατηρούμε ότι : , , ,... συνεπώς, παίρνοντας ανά ζεύγη τους πιο πάνω αριθμούς, (όπου τα ζεύγη είναι 50 στο πλήθος) βρίσκουμε το ζητούμενο άθροισμα ίσο με , δηλαδή Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

7 Γενικά, ας γνωρίζουμε ότι n (n 1) n. Στη συνέχεια, θα δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να βρούμε ένα πλήθος αριθμών, όταν κάθε ένας από αυτούς (από τον δεύτερο και μετά) είναι ίσος με τον προηγούμενό του συν ένα σταθερό αριθμό. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών: 4,9,14,...,1499. Παρατηρούμε ότι 1ος αριθμός: ος αριθμός: ος αριθμός: νιοστός αριθμός: (v 1) 5 Οπότε για να βρούμε το πλήθος v των αριθμών, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση (v 1) 5 από όπου βρίσκουμε v 300. Ας δούμε και ένα ακόμα παράδειγμα, που θα χρησιμοποιήσουμε την πιο πάνω γνώση: Να βρεθεί το άθροισμα: Έχουμε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

8 (ν 1) 4 Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ν 100. Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των παραπάνω ισοτήτων βρίσκουμε: (99 1) ( ) ΘΕΜΑ 16 Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 0 ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30. Αν το πηλίκο Α Β έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 1000 A Κ A 004 B B. ΘΕΜΑ 17 Να προσδιορίσετε το άθροισμα: A ΘΕΜΑ 18 Δίνονται οι παραστάσεις: A... και B Να βρείτε τον αριθμό: Α Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

9 Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι εύκολη και αφήνεται ως άσκηση (δείτε εξ άλλου και το επόμενο) Το γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 3 Απόδειξη: Έστω α ν(ν 1)(ν ). Από την ευκλείδεια διαίρεση του ν με τον 3, έχουμε ν 3κ υ, όπου υ 0,1,. Άρα ν 3κ ή ν 3κ 1 ή ν 3κ. 1η Περίπτωση: ν 3κ Τότε α 3κ(3κ 1)(3κ ) και άρα ο α διαιρείται με το 3. η Περίπτωση: ν 3κ 1 Τότε α (3κ 1)(3κ )(3κ 3) 3(κ 1)(3κ 1)(3κ ) και άρα ο α διαιρείται με το 3. 3η Περίπτωση: ν 3κ Τότε α (3κ )(3κ 3)(3κ 4) 3(κ 1)(3κ )(3κ 4) άρα και πάλι ο α είναι πολλαπλάσιο του 3. Γενικά, το γινόμενο ν διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται με το ν ΘΕΜΑ Αν α 1... και τον αριθμό α b b 1..., να βρείτε Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

10 ΘΕΜΑ 0 Αν για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει η ισότητα: n (n 1) n n 1, να υπολογίσετε το άθροισμα: S ΘΕΜΑ 1 α) Να αποδείξετε ότι: n (n 1) (n ) n n 1 n 1 n. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S ΘΕΜΑ Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός: A ( 13) ( 17) ( 1) ( 5)... ( 4013). ΘΕΜΑ 3 α) Να αποδείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός θετικού ακεραίου αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος. β) Ο ακέραιος a δεν διαιρείται με το 5 και ο αριθμός Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του a. a a 3 είναι άρτιος. ΘΕΜΑ 4 α) Αν με x,y 0 να αποδείξετε ότι y 3 και x y 3 9 x 3. y 3 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

11 β) Να προσδιορίσετε τους θετικούς ακέραιους x,y που ικανοποιούν τη σχέση x y 3 ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η παράσταση: P(x) (α b) x 4(α b) x c 4, όπου a,b,c είναι ακέραιοι με a,b 0 και c 0. Αν η παράσταση αυτή παίρνει την τιμή 0 για x 1, να βρεθούν οι αριθμοί a,b,c. ΘΕΜΑ 6 Πόσοι από τους αριθμούς 1,,3,...,1999 δεν διαιρούνται με το 5 ούτε με το 7 ; ΘΕΜΑ 7 Ο θετικός ακέραιος x είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο. Να βρεθεί ο x αν είναι μεταξύ των αριθμών 51 και 51. ΘΕΜΑ 8 Οι δύο διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι οι θετικοί ακέραιοι x και y. Αν αυξήσουμε την μία διάσταση κατά 1 και την άλλη κατά τότε το ορθογώνιο που προκύπτει έχει εμβαδόν διπλάσιο του αρχικού. Να βρεθούν οι διαστάσεις x και y. ΘΕΜΑ Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = a είναι ακέραιος και να βρεθεί. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

12 ΘΕΜΑ Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός b είναι ακέραιος και να βρεθεί. ΘΕΜΑ 31 Τριψήφιος αριθμός είναι μεγαλύτερος του 610 και μικρότερος του 650 και διαιρούμενος με το 7 δίνει υπόλοιπο 3. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του 5. ΘΕΜΑ 3 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός A είναι πολλαπλάσιο του [ Μια σπουδαία ισότητα (ταυτότητα) είναι η ακόλουθη (που λέγεται διαφορά τετραγώνων) x y (x y)(x y) ]. ΘΕΜΑ 33 Αν ο αριθμός n είναι θετικός ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθμός 1 A n ΘΕΜΑ 34 δεν είναι ποτέ ακέραιος. (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου n για τις οποίες ο αριθμός 3 A n n n 1 είναι πρώτος. ( Αρχιμήδης juniors) Θεωρία: Ο πρώτος αριθμός διαιρείται μόνο με τον αριθμό 1 και με τον εαυτό του. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

13 Σημείωση: Υπενθυμίζουμε τις ταυτότητες: (x y) x xy y και (x y) x xy y (x y) x 3x y 3xy y x y 3xy(x y) και (x y) x 3x y 3xy y x y 3xy(x y) Δύο επίσης χρήσιμες ταυτότητες είναι και οι εξής: 3 3 x y (x y)(x xy y ) (άθροισμα κύβων) και η 3 3 x y (x y)(x xy y ) (διαφορά κύβων) Επίσης η x y (x y) xy και (x y z) x y z xy yz xz. ΘΕΜΑ 35 α) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: x 4y. 4 4 β) Αν x,y θετικοί ακέραιοι και y να δείξετε ότι ο αριθμός σύνθετος (δηλαδή δεν είναι πρώτος). x 4y είναι 4 4 ΘΕΜΑ 36 Αν a και x είναι πραγματικοί αριθμοί και a 1 να δείξετε ότι Πότε ισχύει η ισότητα; x a x a 1. ΘΕΜΑ 37 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,a,b,y ισχύει ότι xy ab 1, να αποδειχθεί ότι: a b x y ax by 1. ΘΕΜΑ 38 Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y να αποδείξετε ότι: 3 3 x y x xy y xy. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να τονίσουμε επί πλέον ότι οι αριθμοί: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

14 x xy y, x xy y είναι μη αρνητικοί για κάθε x,y πραγματικούς αριθμούς (ενώ είναι μηδέν μόνο για x y 0). Παρακάτω θα δούμε την απόδειξη της ανισότητας: x,y. x xy y 0 για κάθε x xy y x x xy y y Έχουμε: x xy y 0 (δώστε μόνοι την εξήγηση) για κάθε x,y (όπου για να ισχύει η ισότητα, θα πρέπει να είναι x 0 και x y 0 και y 0, δηλαδή x y 0). Επειδή λοιπόν στην εκφώνηση της άσκησης μας έδιναν ότι τα x,y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, είναι φανερό ότι οι αριθμοί είναι θετικοί. x xy y, x xy y ΘΕΜΑ 39 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 3 A ( x x ) x. ΘΕΜΑ 40 (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει ότι: (β) Να αποδείξετε ότι: n n. n 1 n 1 ΘΕΜΑ 41 Εάν a,b πραγματικοί μη μηδενικοί και της παράστασης a b. b a (komi) (a b ) (a b ) να βρεθεί η τιμή Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

15 ΘΕΜΑ 4 (komi) Εάν a,b,c ακέραιοι πραγματικοί, να δείξετε ότι η παράσταση A 4abc(b c a) [(b a)(c a)] είναι τέλειο τετράγωνο. ΘΕΜΑ 43 Το άθροισμα δύο ακεραίων αριθμών είναι 6 ενώ αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 1. Να βρεθούν οι αριθμοί. ΘΕΜΑ 44 Αν a είναι περιττός ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθμός πολλαπλάσιο του a 6a 7 είναι ΘΕΜΑ 45 (ΛΩΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ) Αν a,b,c πλευρές τριγώνου και x,y,z πραγματικοί, νa δείξετε ότι: a (x y)(x z) b (y z)(y x) c (z x)(z y) 0. Πότε ισχύει η ισότητα; Προτού δώσουμε μια λύση, είναι χρήσιμο να αποδείξουμε μια ανισότητα (που καλό είναι να απομνημονευθεί). Αν κ,μ πραγματικοί αριθμοί και λ, ν θετικοί, τότε ισχύει: κ μ (κ μ) λ ν λ ν. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Επειδή τα λ, ν είναι θετικοί αριθμοί, άρα το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι λ ν (λ ν) θα είναι θετικός αριθμός. Οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της ανισότητας που ζητάμε να αποδείξουμε με το ΕΚΠ και έτσι ισοδύναμα, αρκεί να αποδείξουμε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

16 ν(λ ν)κ λ(λ ν)μ λν(κ μ) νλκ ν κ λ μ λνμ λνκ λνκμ λνμ ν κ λ μ λνκμ 0 (νκ λμ) 0, πράγμα που είναι αληθές. Άρα αληθές είναι και το ζητούμενο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (α)τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών (και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς των άλλων πλευρών). (β) Αν κ,μ πραγματικοί αριθμοί και λ, ν θετικοί, τότε ισχύει η ανισότητα: κ μ (κ μ) λ ν λ ν. (την απόδειξη, την αφήνω ως άσκηση μιας και δεν έχει ιδιαίτερη δυσκολία) (γ) Παρατηρείστε ότι αν x y ή y z ή z x τότε το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα. Θεωρείστε στη συνέχεια ότι x y z και προσπαθήστε να οδηγήσετε την άσκηση στην παρατήρηση (β) η οποία θα αποδειχθεί με την παρατήρηση (α). δ) αν ένα πολυώνυμο της μορφής f(x) ax bx c, a,b,c πραγματικοί, έχει a 0 και αρνητική Διακρίνουσα τότε f(x) 0 για κάθε πραγματικό x. ΘΕΜΑ 46 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: ΘΕΜΑ 47 3 A [1 x(1 x x )] x Δίνεται το πολυώνυμο P(x,y,z) x yz 3x y x z 6x 11xyz xz 33xy 66x α) Να γράψετε το πολυώνυμο αυτό ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων β) Για ποιες τριάδες φυσικών αριθμών (x,y,z) ισχύει ότι P(x,y,z) 00 ; Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

17 ΘΕΜΑ 48 (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ) Αν ο αριθμός p είναι πρώτος να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: n n p 198. ΘΕΜΑ 49 (Socrates) Χωρίζουμε το σύνολο A {1,,3,...,19} σε δύο μη κενά σύνολα M και N έτσι ώστε M N, M N A και για κάθε x M είναι x 10 M ή x 10 M. Αν m το άθροισμα των στοιχείων του M και n το άθροισμα των στοιχείων του N, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του m n. ΘΕΜΑ 50 (Socrates) α) Να δείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε 0 μη μηδενικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς, στη σειρά έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι θετικό, ενώ το άθροισμα οποιονδήποτε τριών διαδοχικών να είναι αρνητικό. β) Δείξτε ότι δε μπορούμε να κάνουμε το ίδιο σε ένα κύκλο. ΘΕΜΑ 51 (Socrates) 4 Α) Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς n,m αν οι αριθμοί m 3 και 4 n 5 είναι δίδυμοι πρώτοι, δηλαδή είναι πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά. 4 Β) Ποιο μπορεί να είναι το τελευταίο ψηφίο του a ; Ποιο του a ; ΘΕΜΑ 5 (Socrates) Αν x,x,...,x ακέραιοι τέτοιοι ώστε 1 n ( x1 x... x n ) x1 x... xn, να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από αυτούς ισούται με 1 ή 1. ΘΕΜΑ 53 (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ) Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που απέχει εξήντα πηδήματα από αυτόν. Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κάνει έξι πηδήματα. Αλλά τρία Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

18 πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς. Μετά από πόσα πηδήματα θα φτάσει ο σκύλος την αλεπού? ΘΕΜΑ 54 (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ) Έστω x πραγματικός αριθμός. Αν οι αριθμοί αποδειχθεί ότι ο x είναι ρητός. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 3 x x και Για να την λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο ότι : x x είναι ρητοί, να Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο ρητών, είναι ρητός (αρκεί στο πηλίκο, ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός) ΘΕΜΑ 55 Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 18 ισούται με το τετράγωνο του αριθμού. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός. ΘΕΜΑ 56 Δείξτε ότι η εξίσωση x x n 1, όπου n είναι φυσικός αριθμός, έχει πραγματικές ρίζες. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν είναι δυνατόν οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι ακέραιες (για κάποιονn φυσικό αριθμό) ΘΕΜΑ 57 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: A a 10ab 7b 8b 8. Για ποιες τιμές των a,b λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή της παράστασης A ; ΘΕΜΑ 58 Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου x για την οποία ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό 500!. (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: n! 1... (n 1) n ) x 13 ΘΕΜΑ 59 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ x, ΑΓ x και ΒΓ 10. Αν ισχύει ότι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

19 (x ) x 8, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία Α. ΘΕΜΑ 60 ότι Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει ότι xyz 1, να αποδείξετε y z x y 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 ΘΕΜΑ 61 (ΜΠΑΜΠΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ όπου ΑΒ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε αποδειχθεί ότι η γωνία ΑΜ Γ 150 MBΓ 30 ο. ΑΓ με o και o και σημείο Μ B 30 3 M AB BAΓ 4. Να ΘΕΜΑ 6 (Socrates) Αν x,y,z [ 1, ) ώστε 1 x 1 y 1 z να δείξετε ότι x y z. Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 63 (Socrates) Να βρείτε τους πρώτους αριθμούς x,y αν ισχύει 3 3 x y 6y y 3 xy x y 3x x. ΘΕΜΑ 64 Αν a,b 0 να δείξετε ότι Πότε ισχύει η ισότητα; (Socrates) a b a b (a b) 1 a b 1 a 1 b a b. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

20 ΘΕΜΑ 65 Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές ΑΒ α, ΑΔ β και ΓΔ γ. Οι αριθμοί α,β,γ είναι ακέραιοι και ανάλογοι προς τους αριθμούς 1,,3 αντίστοιχα και έχουν άθροισμα 30. Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ. ΘΕΜΑ 66 Αν a,b,x,y 0 και a b 1 τότε: 1 a x β y ax by. Πότε ισχύει το ίσον; ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (1): Για κάθε x,y R (δηλαδή για κάθε x,y που είναι πραγματικοί αριθμοί) ισχύει: x y xy. Η ισότητα ισχύει όταν x y. ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν x,y 0 να αποδείξετε ότι x y xy ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Στην βασική ανισότητα (1) βάλτε στην θέση του x το στη θέση του y το y. x και ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (): Για κάθε x,y R ισχύει: Ας δούμε μια απόδειξη: x y xy. x y xy (x y ) xy x y x y xy 0 x y (x y) 0. Τούτο όμως ισχύει, οπότε θα ισχύει και το ζητούμενο ΣΗΜ: Η ισότητα ισχύει όταν x 0, y 0, x y 0 δηλ. όταν x y 0. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 0

21 ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (3): Για κάθε x,y,z R ισχύει : x y z xy xz zy. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1ος Τρόπος: Από την ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (1) έχουμε: x y xy z y zy x z xz Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών, έχουμε: x y z xy xz zy x y z xy xz zy ος Τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ζητούμενης ανισότητας με το, και με διασπάσεις και μεταφορά στο πρώτο μέλος, καταλήγουμε σε άθροισμα τριών τετραγώνων μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν, πράγμα που αληθεύει. ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (4): Αν x,y 0 τότε x y. y x (Η απόδειξη είναι εύκολη, αν πολλαπλασιάσουμε ισοδύναμα τα μέλη της αποδεικτέας με το x y). ΘΕΜΑ 67 Για κάθε x,y,z 0 να αποδειχθεί ότι: x y x z y z 6 y x z x z y ΘΕΜΑ 68 Για κάθε x,y,z 0 πραγματικούς αριθμούς ότι (x y)(y z)(z x) 8xyz. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

22 ΘΕΜΑ 69 Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι: a b b c a c ab( c) bc( a) ca( b) 0. Να αποδειχθεί ότι a b c. ΘΕΜΑ 70 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση: x x x (1 x) 4(3x x) ΘΕΜΑ 71 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε 4 μικρότερα ορθογώνια με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία από αυτά τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά 10,18 και 5 τετραγωνικές μονάδες. Να βρεθεί το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου. ΕΜΑ 7 Οι αριθμοί m,n είναι ακέραιοι. (α) Να βρεθούν τα ζεύγη (m,n) που επαληθεύουν την εξίσωση : 3 3 m 4mn 8n m n. (β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα που επαληθεύουν την εξίσωση m n 3. ΘΕΜΑ 73 (Ferma_96) Να εξεταστεί κατά πόσο ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να έχει την ρίζα του στους ρητούς αλλά όχι και στους ακέραιους αριθμούς. (είναι διάσημο πρόβλημα, οπότε μάλλον πολλοί θα το ξέρετε). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

23 ΘΕΜΑ 74 Να λυθεί το σύστημα: ΘΕΜΑ x x y y 91 x xy y 7 (ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΛΥΡΑΣ). Να λυθεί η εξίσωση: ΘΕΜΑ 76 x x 4. x x 1 Στον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" της ΕΜΕ συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" (με ηλικία κάτω των 15 ετών) και στους "μεγάλους". Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" αποτελούν το 55% αυτών που συμμετέχουν. Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με τον λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων". Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών" κοριτσιών. ΘΕΜΑ 77 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς , 3 3 λαμβάνοντας σοβαρά υπ όψη ότι το εμφανισιακά μεγάλο δεν είναι πάντα και το μεγαλύτερο. ΘΕΜΑ 78 Στην προηγούμενη μαθηματική Ολυμπιάδα, για ένα από τα προβλήματα που τέθηκαν, στο οποίο η μέγιστη βαθμολογία ήταν 5, είχαμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Ο μέσος όρος των βαθμών των αγοριών ήταν 4, ο μέσος όρος των βαθμών των κοριτσιών ήταν 3,5 και ο μέσος όρος των βαθμών του συνόλου των μαθητών ήταν 3,6. Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια πήραν μέρος, αν ο αριθμός του συνόλου των μαθητών ήταν μεταξύ 30 και 50. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

24 ΘΕΜΑ Δίνονται οι αριθμοί A, B 8, C 4, D 3. α) Να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος. β) Να εκφράσετε το άθροισμα A B C D ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΘΕΜΑ 80 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός n 1 διαιρεί τον αριθμό n n. ΘΕΜΑ 81 (qwerty) Δείξτε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα: 5 3 3n 3n (Θαλής 1996) ΘΕΜΑ 8 (Socrates) Τοποθετούμε τους αριθμούς 1,,3,...,49 στα κελιά μιας 7x7 σκακιέρας, έναν σε κάθε κελί. Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης. Κάποια από αυτά τα 14 αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια περιττοί. Έστω A το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και B το άθροισμα των άρτιων. Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει A B; ΘΕΜΑ 83 (Socrates) Αν a,b,c θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε αριθμός b c είναι πολλαπλάσιο του 4. b c (a 1) (a 5) να δείξετε ότι ο ΘΕΜΑ 84 (Socrates) Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα (a,b,c) (0,0,0) παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα (a b,b c,c a). Δείξτε ότι αν με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

25 ΘΕΜΑ 85 (ΛΩΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ) Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην περιφέρεια ενός κύκλου. Να δείξετε ότι υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18. ΘΕΜΑ 86 (Grigoris K.) Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) τα οποία ικανοποιούν την εξής σχέση: x 5 4 y y x. y xy x xy ΘΕΜΑ 87 (Grigoris K.) Σε μια σκακιέρα 6x6 έχουν τοποθετηθεί φυσικοί αριθμοί. Κάθε κίνηση συνίσταται στην επιλογή ενός τετραγώνου μεγαλύτερου από 1x1( το οποίο αποτελείται από "κουτάκια" της σκακιέρας ) και στην αύξηση όλων των φυσικών αριθμών που βρίσκονται στο επιλεγμένο τετράγωνο κατά 1. Είναι πάντα εφικτό να κάνουμε κάποιες κινήσεις ώστε να οδηγηθούμε σε μια κατάσταση όπου όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαιρετοί από το 3 ; ΘΕΜΑ 88 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αν a,b,c 0, να αποδείξετε ότι: Ισχύει η ταυτότητα: a b c a b b c c a a b a b 3 a b c a b b c c a. Είναι κατανοητό ότι με βάση τη ταυτότητα αυτή η άσκηση επιλύεται αμέσως. ΘΕΜΑ 89 (CARANUS) Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b διάφοροι του μηδενός, τέτοιοι ώστε: ab a b 3. (ΘΑΛΗΣ 006) 3 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

26 ΘΕΜΑ 90 (CARANUS) b c a Αν a,b,c 0, να αποδειχθεί ότι: (a )(b )(c ) 8. ca ab bc Να αποδειχθεί πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 91 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση: 3 7a x (x a), a R *. ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (Ανισότητα των μέσων: ΑΜ GM HM) Επειδή πολύ συχνά οι μαθητές μας για να λύσουν κάποια ανισότητα χρησιμοποιούν την ανισότητα με τον αριθμητικό, γεωμετρικό και αρμονικό μέσο, ήρθε η ώρα να την κάνουμε γνωστή και στους υπόλοιπους μαθητές που δεν την γνωρίζουν Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι: a b c 3 1 abc a b c Έτσι όταν βλέπουμε κάπου να γράφει "από ΑΜ GM" σημαίνει ότι χρησιμοποιεί την ανισότητα: a b c abc 3 θέσουμε όπου a το 3 ή την ισοδύναμή της a b c 3 abc. Παρατήρηση: 3 a, όπου b το a b c 3 abc και αν σε αυτήν 3 b και όπου c τοc 3 έχουμε την ανισότητα α) Η ανισότητα αυτή γενικεύεται και για περισσότερους (n στο πλήθος) θετικούς αριθμούς. β) Η ισότητα ισχύει μόνο όταν οι αριθμοί αυτοί είναι ίσοι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

27 ΘΕΜΑ 9 Αν a,b,c 0, να αποδειχθεί ότι (CARANUS) (a b c)( ) 9. a b c Λύση: Από ΑΜ ΓΜ παίρνω: 3 a b c 3 abc και a b c abc Με πολλαπλασιασμό των σχέσεων προκύπτει η ζητούμενη. (Μπορεί να λυθεί πιο απλά με CS). Β τρόπος από AM HM έχουμε a b c a b c (a b c)( ) 9 a b c να προσθέσω στην ανισότητα AM GM HM και το RMS a b c 3 για το οποίο ισχύει RMS AM GM HM. Γ τρόπος κάνουμε χρήση της C S (a b c) ( ) (a b c ) a b c a b c RHS 3 9 που είναι και το ζητούμενο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

28 Η άσκηση 9 μπορεί να γενικευτεί ως εξής: (x x... x )(... ) n 1 n x x x 1 n και αποδεικνύεται άμεσα από Cauchy Schwartz αφού n x )(... ) x n 1 n j x x x. 1 n j1 x j (x x Ανισότητα των Buniakowski Cauchy Schwarz (B-C-S) Έστω τα σύνολα των πραγματικών αριθμών {x,x,...,x }, {y,y,...,y } 1 n 1 n τότε ισχύει ότι : (x x x ) (y y y ) (x y x y x y ) 1 n 1 n 1 1 n n με την ισότητα να ισχύει όταν, R, x1 y1 και x y και...xn yn. ΘΕΜΑ 93 (CARANUS) Έστω a,b,c και οι τρεις αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Αν οι αριθμοί ab,bc και ac είναι ρητοί, τότε και ο αριθμός k a b c είναι ρητός. ΘΕΜΑ 94 (CARANUS) Δίνονται οι αριθμοί a n(n 1) και b (n 1), όπου n θετικός ακέραιος. Να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί a και b έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων. Ευκλείδης "Αν οι αριθμοί a και b έχουν το ίδιο άθροισμα ψηφίων, τότε η διαφορά τους διαιρείται με το 3." Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

29 ."Το υπόλοιπο που αφήνει ένας αριθμός a διαιρούμενος με τον 3 είναι το ίδιο με αυτό που αφήνει ο αριθμός που είναι το άθροισμα των ψηφίων του a διαιρούμενο με τον 3 " ΘΕΜΑ 95 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αν a,b,c,d 0 και a b c d 1 τότε να αποδείξετε ότι a b b c c d d a Μεθοδολογικές αναφορές: α) Όταν μάς δώσουν ότι ένας αριθμός, έστω ο x είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ή μηδέν τότε μπορούμε να εμφανίσουμε με θετικό μέρος δηλαδή να λάβουμε υπ όψη ότι: xr xr και x x. β) Όταν μας πουν ότι ένας αριθμός, έστω x είναι ΘΕΤΙΚΟΣ μας δίνουν το ελεύθερο να γράψουμε x x, με ότι αυτό συνεπάγεται. Ας δούμε, κάτω από αυτό το πρίσμα, το γνωστό παράδειγμα που ακολουθεί: a,a,...,a 0 (a a... a )(... ) 1 n 1 n a a a 1 n α α... α n... α α αn a1 a... an n. a1 a a n Ανισότητα των Buniakowski Cauchy Schwarz (B C S) και μεθοδικές πινελιές. Επειδή ο στόχος της στήλης αυτής είναι διδακτικός προς την κατεύθυνση να διδαχθούν οι juniors παντού σε όλη την Πατρίδα και όχι μόνο ελάχιστοι εντός των πυλών Θεωρία και Μεθοδολογία του είδους, ας ήμαστε όσο μπορούμε κατατοπιστικοί προς αυτή τη κατεύθυνση της παρουσίασης των λύσεων μας. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

30 Σκέψη: Εδώ μας δίνουν την πληροφορία της θετικότητας των αριθμών. Άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνεπαγωγή: x 0 x x, που οδηγεί στο ΠΙΘΑΝΟ ενδεχόμενο εφαρμογής της βασικής ανισότητας B C S. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μία ανισότητα ένας τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της ΑΝΑΛΥΣΗΣ, δηλαδή να θεωρήσουμε ότι πράγματι ισχύει, έστω A Bκαι να παράξουμε Αληθείς προτάσεις συνδεόμενες με το ρήμα ΑΡΚΕΙ (αφού μας ενδιαφέρει η «λογική νομιμοποίηση» της αντίστροφης πορείας προς την A B), έως ότου φτάσουμε σε ΑΛΗΘΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. Λύση: Με βάση την υπόθεση a,b,c,d 0 και, a b c d 1 έστω ότι ισχύει a b b c c d d a 8, αρκεί a b b c c d d a 8, a b b c c d d a αρκεί a b b c c d d a, a b b c c d d a 16, BCS αρκει , που είναι πρόταση ΑΛΗΘΗΣ. ΦΥΣΙΚΑ πρέπει να κάνουμε μετά και Σύνθεση δηλαδή ουσιαστικά να "αντιγράψουμε" την αντίθετη πορεία. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 30

31 Για παράδειγμα: Αν a b a x y * Aν x,y με x y 1,a,b * τότε, ισχύει ότι. b Για να μην έχουμε λύση χωρίς να φαίνεται το πώς μας έκοψε, κάνουμε πρώτα Ανάλυση Έστω ότι με βάση τις (*) ισχύει η Για να ισχύει αυτή Αρκεί να ισχύει: a x b a b. y a b x y a b, αρκεί να ισχύει x y a b x y a b, x y a b a b, που είναι αληθής. αρκεί να ισχύει Σύνθεση. Γράφουμε την τελευταία και φτάνουμε με τις προφανής συνεπαγωγές (αφού λειτουργήσαμε Μαθηματικά Λογικά το ρήμα Αρκεί κατά την διαδικασία της Ανάλυσης) στην σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31

32 ΘΕΜΑ 95Α (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αν x,y 0 και 5x 6y 7 να υπολογιστεί το maximum (= Μέγιστο) της παράστασης A 3 x y. ΘΕΜΑ 96 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Οι αριθμοί: a,a,...,a είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύουν: 1 7 a a... a 333 Να αποδείξετε ότι το πηλίκο δύο τουλάχιστον εξ αυτών ανήκει στο διάστημα:, 5. ΘΕΜΑ 97 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύουν: abc 1 και ab bc ca a b c. Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το 1. ΘΕΜΑ 98 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Να εξεταστεί αν ο συλλογισμός που ακολουθεί είναι ΣΩΣΤΟΣ ή ΛΑΘΟΣ δίνοντας πλήρη εξήγηση της απάντησης σας. «Υπάρχει τουλάχιστον μία τριάδα φυσικών αριθμών k,,m με (k )( m)(m k) 0 τέτοιοι ώστε: k m» ΘΕΜΑ 99 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Δίνονται τρείς περιττοί φυσικοί αριθμοί. Υπάρχει ένας άλλος περιττός φυσικός αριθμός, ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων αυτών αριθμών να είναι επίσης τέλειο τετράγωνο; ΘΕΜΑ 100 (ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x,y,z και w, για τις οποίες ισχύουν: x 7y 35z 10w 839, x 4, y 5 και z 6. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3