ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6

Transcript

1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα Το δυαδικό σύστημα επιτρέπει την κατασκευή εξαρτημάτων που έχουν 2 μόνο καταστάσεις - υψηλή / χαμηλή τάση (chips) - φορά μαγνητικού πεδίου (δίσκοι) - ανάκλαση ή όχι φωτεινής δέσμης (CD-ROM, DVD κτλ) - παρουσία ή όχι ηλεκτρικού φορτίου (flash) Η πληροφορία αποθηκεύεται και επεξεργάζεται σαν bits. Byte: 8 bits που λειτουργούν σαν ενιαία μονάδα Είναι η βασική μονάδα επεξεργασίας και αποθήκευσης (μνήμης) 2 8 = 256 τιμές: μικροί ακέραιοι (0-255), χαρακτήρες (ASCII) 2 bytes μαζί μεγαλύτερη χωρητικότητα 2 bytes (16 bits) 2 16 = 65,536 τιμές (Unicde, μεγαλύτεροι ακέραιοι, χαρακτήρες) 4 bytes μαζί 32 bits 2 32 = 4,294,967,296 τιμές (μεγαλύτεροι ακέραιοι, πραγματικοί, διευθύνσεις μνήμης) κτλ. Οι σύγχρονοι υπολογιστές: 64-bit (8 bytes) > 18.4 πεντάκις εκατομμύρια τιμές! ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 1

2 Δεκαδικό σύστημα Βάση το ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ένα δεκαδικό ψηφίο εκφράζει μία από δέκα πιθανές επιλογές (μετράει 10 πράγματα, έχει 10 διακριτές τιμές) δύο δεκαδικά ψηφία εκφράζουν μία από 100 πιθανές επιλογές κτλ. π.χ., 1932 = = Δυαδικό σύστημα Βάση το 2 2 ψηφία: 0, 1 (bits) ένα δυαδικό ψηφίο εκφράζει μία από δύο πιθανές επιλογές (μετράει 2 πράγματα, έχει 2 διακριτές τιμές) δύο δυαδικά ψηφία εκφράζουν μία από 4 πιθανές επιλογές κτλ. π.χ., = = = 25 (στο δεκαδικό) Μετατροπή βάσης: Δεκαδικοί σε δυαδικούς 1) Ανάλυση σε δυνάμεις του 2: π.χ., 42 = = = = ) Διαδοχικές διαιρέσεις με το 2 (μόνο για ακέραιους) Πηλίκο Υπόλοιπο (δηλαδή, τα υπόλοιπα σε αντίστροφη σειρά από αυτή που προκύπτουν) ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 2

3 Άλλα συστήματα αριθμών Οι δυαδικοί αριθμοί είναι «ογκώδεις» για ανθρώπινη χρήση (για τους προγραμματιστές). - Οκταδικοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 ψηφία) - Δεκαεξαδικοί: 0-9, A, B, C, D, E, F (16 ψηφία) Βάσεις που είναι δυνάμεις του 2, για ευκολότερη μετατροπή σε δυαδικούς. Οκταδικοί 2-δικό 8-δικό: κάθε δυαδική τριάδα αντιστοιχεί σε ένα οκταδικό στοιχείο και το αντίστροφο. Δυαδική τριάδα Οκταδικό στοιχείο Π.χ. Δυαδικό: (αν δεν υπάρχει πλήρης 3άδα συμπληρώνουμε με 1 ή 2 μηδενικά αριστερά) Οκταδικό: Οκταδικό: Δυαδικό: δικό 10-δικό: = = = = δικό 8-δικό: Διαδοχικές διαιρέσεις με το 8: Πηλίκο Υπόλοιπο Δεκαεξαδικοί 2-δικό 16δικό: κάθε δυαδική τετράδα αντιστοιχεί σε ένα δεκαεξαδικό στοιχείο και το αντίστροφο. Δυαδική 4άδα δικός Α Β C D E F Π.χ. Δυαδικό: (αν δεν υπάρχει πλήρης 3άδα συμπληρώνουμε με 1 ή 2 μηδενικά αριστερά) Δεκαεξαδικό: 7 Β Α 3 Δεκαεξαδικό: 3 2 C F Δυαδικό: ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 3

4 16-δικό 10-δικό: 4F3 16 = = = = δικό 16-δικό: Διαδοχικές διαιρέσεις με το 16: Πηλίκο Υπόλοιπο F δικό 8-δικό (και αντίστροφα): Με ενδυάμεση μετατροπή σε δυαδικό Δεκαεξαδικό: 3 2 C F Δυαδικό: Δυαδικό (σε 3άδες): Οκταδικό: Αριθμητική στο δυαδικό σύστημα (γενικά) Η πρόσθεση στηρίζεται στους κανόνες: = 0, = 1, = 1, και = 10 π.χ (κρατούμενο - carry) Ο πολλαπλασιασμός γίνεται όπως και στο δεκαδικό σύστημα: 1001 x Υπολογιστική αναπαράσταση ακεραίων α) Προσημασμένο μέγεθος Πρόσημο: το πρώτο bit: 0: +, 1: Τα υπόλοιπα m-1 bits για το μέγεθος του αριθμού (απόλυτη τιμή) ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 4

5 Για m=8 (όλα τα υπόλοιπα περί υπολογιστικής αναπαράστασης, υποθέτουν ότι χρησιμοποιούμε 8 bits, δηλ. m = 8): π.χ = 42 10, = Δύο μηδενικά: και (Δεν ισχύει η συμβατική πρόσθεση μεταξύ θετικών και αρνητικών) β) Συμπλήρωμα ως προς ένα (ne s cmplement) Πρόσημο: το πρώτο bit: 0: +, 1: Ο αντίθετος: αντικατάσταση των 0 με 1 και των 1 με 0 (bit swapping) π.χ = 42 10, = Δύο μηδενικά: και (Ισχύει) γ) Συμπλήρωμα ως προς δύο (tw s cmplement) Πρόσημο: το πρώτο bit: 0: +, 1: Ο αντίθετος: όπως στο ne s cmplement (bit swapping) + 1 (τυχόν κρατούμενο στο αριστερό bit αγνοείται) π.χ = 42 10, (*) = (*) (bit swapping) (μονάδα) Ένα μηδέν: (γιατί με bit-swapping συν 1 έχουμε πάλι ) Όμως: πλήθος αρνητικών = πλήθος θετικών (Ισχύει, το τελικό κρατούμενο αγνοείται) ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 5

6 δ) Πλεόνασμα (excess) κατά 2 m-1 Κάθε αριθμός παριστάνεται με το άθροισμα της πραγματικής του τιμής με το 2 m-1. π.χ., για m = 8, 2 7 = 128, οι αριθμοί από -128 έως 127 απεικονίζονται στους 0 έως 255 (δηλαδή και οι αρνητικοί αριθμοί απεικονίζονται σε θετικούς). Άρα, ο γίνεται = = ενώ ο γίνεται = Παρατηρούμε ότι στην ουσία είναι το tw s cmplement με το πρόσημο αντεστραμμένο (Ισχύει, το τελικό κρατούμενο αγνοείται) Προφανώς, εάν θέλουμε να αναπαραστήσουμε αριθμούς μικρότερους του -128 και μεγαλύτερους του 127, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε περισσότερα των 8 bits. Η αφαίρεση δυαδικών αριθμών πραγματοποιείται με πρόσθεση του αντίθετου του αφαιρετέου. Αριθμητική στους δυαδικούς με συγκεκριμένη αναπαράσταση (για m =8) Δεκαδικό ne s cmplement tw s cmplement = Στο ne s cmplement τυχόν κρατούμενο στο αριστερό bit προστίθεται ξανά στο αποτέλεσμα. Στο tw s cmplement τυχόν κρατούμενο στο αριστερό bit αγνοείται. Υπερχείλιση και υπεκχείλιση Έστω ότι ένας υπολογιστής χειρίζεται μόνο 3ψήφιους θετικούς ακέραιους. Τότε, στις ακόλουθες πράξεις έχουμε: = 1200 υπερχείλιση = -3 υπεκχείλιση Αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Π.χ, για υπολογισμούς με πολύ μεγάλους και πολύ μικρούς αριθμούς μάζα ηλεκτρονίου: gr μάζα ήλιου: gr ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 6

7 Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής ( fixed-pint): Για τους παραπάνω αριθμούς: ακέραιο μέρος δεκαδικό μέρος υποδιαστολή Ανάγκη για σύστημα αναπαράστασης όπου το εύρος των αριθμών είναι ανεξάρτητο από το πλήθος των σημαντικών ψηφίων: αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής (flating-pint) Αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής: 34 ψηφία 28 ψηφία Από εκθετική μορφή: n = f 10 e με 0.1 f < 1 ή f = 0 όπου f συντελεστής ή κλάσμα (mantissa), e εκθέτης (expnent) Για το f: Χρειάζεται αποθήκευση μόνο των δεκαδικών του ψηφίων (σαν ακέραιος). Άρα, για την αναπαράσταση ενός πραγματικού, χρησιμοποιούνται 2 ακέραιοι: f και e. π.χ., ο = και αποθηκεύεται σαν f = και e = +1. Έστω αναπαράσταση με 3-ψήφιο f και 2-ψήφιο e: Αναπαράσταση μεγεθών από έως (με 5 ψηφία (3+2) και 2 πρόσημα). 3 5 Μεγάλοι αρνητικοί αριθμοί < Αρνητικοί αριθμοί από έως Μικροί αρνητικοί αριθμοί με μέτρο < Το μηδέν Μικροί θετικοί αριθμοί με μέτρο < ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 7

8 Θετικοί αριθμοί ανάμεσα σε και Μεγάλοι θετικοί αριθμοί > Οι περιοχές 1, 3, 5, 7 δεν έχουν υπολογιστική αναπαράσταση. IEEE 754 Standard για αναπαράσταση / υπολογισμούς κινητής υποδιαστολής Δύο ακρίβειες: 32-bit: 64-bit: Ειδικά σύμβολα: -Inf, +Inf: περιοχές 1 και 7 αντίστοιχα NaN: για αδύνατες πράξεις, π.χ. 0 / 0, 0, / Αναπαράσταση χαρακτήρων Κωδικοποιούνται σαν ακέραιοι: χαρακτήρας ακέραιος Υπάρχουν διάφορα σύνολα χαρακτήρων: ASCII, Unicde, κτλ. ASCII (American Standard Cde fr Infrmatin Interchange): Unicde: Έχει 256 χαρακτήρες απεικόνιση στους ακέραιους π.χ., a 97, B 66, Οι πρώτοι 128 χαρακτήρες είναι οι πιο σημαντικοί : μη λατινικά αλφάβητα και γραφικά σύμβολα χαρακτήρες. Οι 128 πρώτες θέσεις είναι ίδιες με του ASCII. ver Τμήμα Διοικησης Επιχειρησεων - Εις. Κατευθυνση Διοικησης Τουριστικων Επιχειρησεων Και Επιχειρησεων Φιλοξενιας 8