Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Transcript

1 Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα αποκοπής - truncation errors) ανακριβές εργαλείο υπολογισμού (σφάλματα στρογγύλευσης - round off errors) Διαχείριση σφαλμάτων (error handling) ταυτοποίηση ποσοτικοποίηση εκτίμηση έλεγχος ελαχιστοποίηση

2 ακρίβεια - vs- ακρίβεια (accuracy) (precision) Πόσο διαφέρει η προσέγγιση από την πραγματική τιμή Πόσο διαφέρουν οι προσεγγίσεις μεταξύ τους

3 Σφάλματα (ορισμοί) πραγματική τιμή = προσέγγιση + σφάλμα πραγματικό (true) σφάλμα, E t = πραγματική τιμή προσέγγιση συνήθως Εt : απόλυτο σφάλμα σχετικό πραγματικό σφάλμα = πραγματική τιμή προσέγγιση πραγματική τιμή σχετικό ποσοστιαίο πραγματικό σφάλμα, ε t = σχετικό πραγματικό σφάλμα x 100% Εκτίμηση σφάλματος σχετικό ποσοστιαίο σφάλμα προσέγγισης (approximation error), ε a = τρέχουσα προσέγγιση προηγούμενη προσέγγιση τρέχουσα προσέγγιση Συνήθως ε a a: approximation 100%

4 Παραδείγματα α) απόλυτο vs σχετικό σφάλμα Καρφί μήκους = 10 cm, Γέφυρα μήκους = cm Αν E t = 1 cm εr = 0,01 % για τη γέφυρα αλλά 10 % για το καρφί β) Σφάλμα προσέγγισης e x = 1 + x + x2 + x ! +xn Σειρά Maclaurin (Taylor για x = 0) n! Ζητούμενο : υπολογισμός του e 0,5 Πραγματική τιμή : e 0,5 = 1, Λύση: # όρων Εκτίμηση ε t (%) ε a (%) ,3-2 1,5 9,02 33,3 3 1,625 1,44 7,69 4 1, ,175 1,27 5 1, ,0172 0, , ,0158 Τερματισμός όταν : ε a < ε stop = 0,05 % (ενδ. τιμή)

5 Σφάλματα Στρογγύλευσης round-off errors Προέλευση Ψηφιακή αναπαράσταση αριθμών υπολογισμοί ευαίσθητοι σε σφάλματα Συστήματα αρίθμησης άνθρωπος: 0 9, δεκαδικό (base - 10) πχ: 6743,4 = 6 x x x x x 10-1 computer: 0 1, δυαδικό (binary, base-2) πχ: 101,1 = 1 x x x x 2-1 = ,5= 5,5 (base -10) positional notation representation : αναπαράσταση με βάση τη θέση

6 ακέραιοι αριθμοί (integers) μέθοδος προσημασμένου μέτρου (signed magnitude representation method) για 16-bit πρόσημο: 1 (-) 0 (+) μέτρο: 15 ψηφία μέγιστος αριθμός: 1x x 2 0 = = για υπολογιστή 16-bit : έως αλλά επειδή υπάρχει (+0) και (-0) τότε έχουμε : έως για n-bits: -2 n-1, έως 2 n-1-1

7 Αριθμοί Κινητής Υποδιαστολής (floating point numbers) Γενική μορφή: ± s x b e s: σημαντικά ψηφία (significant digits) mantissa b: βάση e: εκθέτης κανονικοποιημένη μορφή: 1 ψηφίο αριστερά της υποδιαστολής πχ 0, , x 10 0 αλλά 5,321 x 10-3 Παράδειγμα: 5-bits, base 10 1 bit πρόσημο 2 bits εκθέτης s1 d1 d2 x 10 2 bits mantissa μέγιστος αριθμός: + 9,9 x se d0 αδυναμία αναπαράστασης του A. Avogadro, Ν Α = 6,022 x μικρότερος θετικός αριθμός: + 1,0 x 10-9 αδυναμία αναπαράστασης της σταθεράς Planck, h = 6,626 x J*s

8 χαρακτηριστικά αριθμών κινητής υποδιαστολής ο εκθέτης είναι καθοριστικός για το εύρος τα σημαντικά ψηφία για την ακρίβεια Παράδειγμα: αναπαράσταση (αποθήκευση) 2-5 = 0,03125 για 5-bits, base 10 αποθηκεύεται ως 3,1 x 10-2 = 0,031 εισαγωγή σφάλματος στρογγύλευσης ποσοτικοποίηση σφάλματος, εt = (0, ,031)/0,03125 = 0,008 = 0,8 % διάστημα αναπαράστασης αριθμών κινητής υποδιαστολής για 5-bits, base 10 overflow 0 1,0 x ,9 x 10 9 overflow -9,9 x ,0 x 10-9 κενό στο (0)

9 Σύστημα ΙΕΕΕ754 (και εδώ τυποποίηση!) γενική μορφή : ±(1+F) x 2 e για base-2, 64-bit πρόσημο προσημασμένος εκθέτης mantissa άσκηση: βρείτε το μεγαλύτερο και το μικρότερο θετικό αριθμό 52 bits e : έως max: 1, x = ( ) x = = 1,7977 x min positive: 1, x = 2,2251 x o επόμενος μεγαλύτερος του αριθμού (1) είναι μεγαλύτερος κατά 2-52 = 2,22 x (epsilon)

10 πράξεις στο computer (1) πρόσθεση: α) μετατροπή ώστε να έχουν ίσους εκθέτες β) πρόσθεση των mantissas παράδειγμα: 1, ,04341 αν έχουμε σύστημα με 4 ψηφία για mantissa, 1 ψηφίο για εκθέτη 1, , ,557 x ,04341x 10 0 = 1, x 10 0 απώλεια ψηφίων

11 πράξεις στο computer (2) αφαίρεση: α) αλλαγή πρόσημου του αφαιρέτη β) πρόσθεση παράδειγμα: 36,41 26,86 αν έχουμε σύστημα με 4 ψηφία για mantissa, 1 ψηφίο για εκθέτη 3,641 x ,686 x ,955 x ,550 x 10 0 προσθήκη ψηφίου

12 πράξεις στο computer (3) αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθμών: παράδειγμα: 764,2-764,1 7,642 x ,641 x 10 2 προσθήκη ψηφίων 0,001 x ,000 x 10-1 πρόσθεση μικρών και μεγάλων αριθμών παράδειγμα: 0, ,000 x , x , x ,000 x 10 3!!!

13 συσσώρευση σφαλμάτων πολλοί, στο πλήθος, υπολογισμοί παράδειγμα: ακριβής αναπαράσταση στο δεκαδικό σύστημα 0,0001 ανακριβής αναπαράσταση στο δυαδικό σύστημα n=1 0,0001 = 0, !!!

14 αποφυγή συσσώρευσης σφαλμάτων προσθέσεις με κατάλληλη σειρά άθροισης (πχ σειρές Taylor, εσωτερικά γινόμενα) αποφυγή αφαίρεσης σχεδόν ίσων αριθμών