Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Transcript

1 Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

2 Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1, ,400.0 x ,340.0 x ,234.0 x x x x x 10 4

3 Μέρη πραγµατικού κινητής υποδιαστολής x 10-3 Εκθέτης Πρόσηµο Δεκαδικό σηµείο Σηµαινόµενο τµήµα Πρόσηµο εκθέτη Βάση

4 IEEE 754 Standard Απλή ακρίβεια (Single precision): 32 bits Πρόσηµο (Sign bit) (1 bit) Εκθέτης (Exponent) (8 bits) Σηµαινόµενο τµήµα (Mantissa) (23 bits) Διπλή ακρίβεια (Double precision): 64 bits Sign bit (1 bit) Exponent (11 bits) Mantissa (52 bits)

5 Απλή ακρίβεια 32 bits Mantissa (23 bits) Exponent (8 bits) Sign of mantissa (1 bit)

6 Διπλή ακρίβεια 64 bits Mantissa (52 bits) Exponent (11 bits) Sign of mantissa (1 bit)

7 Κανονικοποίηση Το σηµαινόµενο τµήµα κανονικοποιείται Έχει ένα υποδηλούµενο δεκαδικό σηµείο στα αριστερά του Έχει ένα υποδηλούµενο 1 αριστερά του δεκαδικού σηµείου Π.χ. Mantissa: Δεκαδικός : =

8 Παράσταση πλεονάσµατος (Excess notation) Για να περιλάβουµε και τους θετικούς και τους αρνητικούς εκθέτες χρησιµοποιούµε παράσταση πλεονάσµατος ( excess-n ) ως ακολούθως: Απλή ακρίβεια: πλεόνασµα 127 Διπλή ακρίβεια: πλεόνασµα 1023 Η τιµή του εκθέτη που καταχωρείται είναι µεγαλύτερη από τον πραγµατικό εκθέτη κατά το συµπλήρωµα Π.χ. πλεόνασµα 127, Εκθέτης: Παράσταση : (= ) = 8 (τιµή)

9 Παράσταση πλεονάσµατος (Excess notation) - Παράδειγµα - Παράσταση εκθέτη14 10 σε µορφή πλεονάσµατος 127 : = = Αναπαράσταση =

10 Παράσταση πλεονάσµατος (Excess notation) - Παράδειγµα - Παράσταση εκθέτη σε µορφή πλεονάσµατος 127 : = = Αναπαράσταση =

11 Απλή ακρίβεια Παράδειγµα = = 3 0 = positive mantissa = 14.0

12 Άσκηση 1 Ποια είναι η δεκαδική τιµή που παριστάνει ο επόµενος πραγµατικός σε µορφή 32-bit κινητής υποδιαστολής ; Απάντηση:

13 Άσκηση απάντηση Ποια είναι η δεκαδική τιµή που παριστάνει ο επόµενος πραγµατικός σε µορφή 32-bit κινητής υποδιαστολής ; Απάντηση:

14 ΒΗΜΑ-ΒΗΜΑ Σε δεκαδική µορφή = * = ( αρνητικός )

15 ΒΗΜΑ-ΒΗΜΑ: ΛΥΣΗ Σε δεκαδική µορφή = Shift Point ( αρνητικός )

16 Άσκηση 2 Εκφράστε το 3.14 σαν 32-bit πραγµατικό κινητής υποδιαστολής Answer: (Σηµ : χρησιµοποιείστε µόνο 10 σηµαντικά ψηφία για την mantissa)

17 Άσκηση 2 Εκφράστε το 3.14 σαν 32-bit πραγµατικό κινητής υποδιαστολής Answer: Απάντηση (Σηµ : χρησιµοποιείστε µόνο 10 σηµαντικά ψηφία για την mantissa)

18 ΒΗΜΑ-ΒΗΜΑ: 3.14 σε IEEE απλής ακρίβειας 3.14 µετατροπή στο (2) (προσεγγιση): Κανονικοποίηση προσοχή Εκθέτης (Exponent) = Τιµή θετική: Πρόσηµο (Sign bit) =

19 παράδειγµα Να γίνει παράσταση του επόμενου κανονικοποιημένου αριθμού σε απλή ακρίβεια : x Λύση Το πρόσημο είναι θετικό. Το συμπλήρωμα (πόλωση) ως προς 127 του εκθέτη είναι 133. (127= , 6=110, 133= ) Προσθέτεις επιπλέον 0s στα δεξιά για να γίνει 23 bits. Ο αριθμός καταχωρείται σαν πρόσημο εκθέτης σημαινόμενο τμήμα

20 παράδειγµα Να βρεθεί ο 32-bit floating-point σε κανονική μορφή: Λύση Το πρόσημο είναι αρνητικό. Ο εκθέτης είναι 3 ( ). Ο αριθμός μετά την κανονικοποίησή του είναι: -2-3 x

21 Πρόσθεση/αφαίρεση Floating point Ελέγχονται τα πρόσηµα. Αν τα πρόσηµα είναι τα ίδια, προστίθενται οι αριθµοί και αντιστοιχίζεται το πρόσηµο στο αποτέλεσµα. Αν τα πρόσηµα είναι διαφορετικά, συγκρίνονται οι απόλυτες τιµές, αφαιρείται η µικρότερη από τη µεγαλύτερη, και χρησιµοποιείται το πρόσηµο της µεγαλύτερης στο αποτέλεσµα. Μετακινούνται οι υποδιαστολές ώστε να εξισωθούν οι εκθέτες. Αυτό σηµαίνει ότι αν οι εκθέτες δεν είναι ίδιοι, µετατίθεται προς τα αριστερά η υποδιαστολή του αριθµού µε τον µικρότερο εκθέτη ώστε οι εκθέτες να εξισωθούν. Προστίθενται ή αφαιρούνται τα δεκαδικά µέρη σηµαινόµενα τµήµατα (τόσο συµπεριλαµβάνοντας το ακέραιο µέρος όσο και το κλασµατικό µέρος). Κανονικοποιείται το αποτέλεσµα, πριν από την αποθήκευσή του στη µνήµη. Γίνεται έλεγχος για υπερχείλιση.

22 Πρόσθεση/αφαίρεση Floating point Προσθέστε δύο αριθµούς κινητής υποδιαστολής Λύση Ο εκθέτης του πρώτου αριθµού είναι , δηλαδή 5. Ο εκθέτης του δεύτερου αριθµού είναι , δηλαδή 3. Άρα οι αριθµοί έχουν ως εξής: , ,011

23 Πρόσθεση/αφαίρεση Floating point Εξισώνουµε τους εκθέτες: , , ,00001 Τώρα κανονικοποιούµε το αποτέλεσµα: , O αριθµός αποθηκεύεται στον υπολογιστή µε την εξής µορφή:

24 Άθροισμα πραγματικών κινητής υποδιαστολής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Στην παράσταση κινητής υπ/λής με 8 ψηφία για το συντελεστή και 4 ψηφία για τον εκθέτη, ο αριθμός x = 16,125(10) παριστάνεται ως 0, άρα x= ο αριθμός y = 4,3125(10) παριστάνεται ως 0, άρα y= Πρώτα μετατρέπουμε τον αριθμό με το μικρότερο εκθέτη, που είναι ο y. Αυξάνουμε τον εκθέτη του κατά 2 και ολισθαίνουμε το συντελεστή του προς τα αριστερά κατά 2 ψηφία : y= Στη συνέχεια προσθέτουμε τους δύο αριθμούς, και έχω x+y= Το άθροισμα δε χρειάζεται κανονικοποίηση, άρα είναι και το τελικό αποτέλεσμα. Η τιμή του είναι 0, , δηλαδή 20,375. Το σωστό αποτέλεσμα της πρόσθεσης όμως είναι 20,4375. Το σφάλμα οφείλεται στη μετατροπή του y ώστε να έχει τον ίδιο εκθέτη με το x.