ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου

2 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Ομοτ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής Βαρβακείου Πειραματικού Λυκείου Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. Καθηγητής ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π.Ι. Σκούρας Αθανάσιος Πολύζος Γεώργιος Σύμβουλος του Π.Ι. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Ελευθερόπουλος Ιωάννης Ζώτος Ιωάννης Καλλιπολίτου Ευρυδίκη Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι. Καθηγητής Μαθηματικών, Αποσπασμένος στο Π.Ι. Καθηγήτρια Μαθηματικών, Αποσπασμένη στο Π.Ι. Με απόφαση της Ελληνικής Κυβερνήσεως τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν.

3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑIΔΑΓΩΓΙΚΟ IΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ Β. ΚΑΤΣΑΡΓΥΡΗΣ Σ. ΠΑΠΑΣΤΑΥΡΙΔΗΣ Γ. ΠΟΛΥΖΟΣ Α. ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

4

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη της Άλγεβρας που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Α τάξης του Γενικού Λυκείου. Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση της Α έκδοσης (990) του βιβλίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ, του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούσαν οι Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Σβέρκος Ανδρέας, ενώ, την ομάδα κριτών αποτελούσαν οι Αχτσαλωτίδης Χριστόφορος, Δικαιάκου- Μαυρουδαία Καλλιόπη, Καλομητσίνης Σπύρος, Κουζέλης Ανδρέας και Παντελίδης Γεώργιος. Στην αναμόρφωση του βιβλίου, που έγινε από την ίδια συγγραφική ομάδα με απόφαση και εποπτεία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, ελήφθησαν υπόψη: Οι οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου, οι οποίες αναφέρονταν στην αναδιάταξη των περιεχομένων και στη διδακτική μεθοδολογία. Τα νέα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών και τα νέα διδακτικά βιβλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου και Ο τρόπος αξιολόγησης των μαθητών Λυκείου στα Μαθηματικά, όπως αυτός ορίζεται από το Π.Δ 60/006. Κρίθηκε αναγκαίο να προηγηθεί της διδακτέας ύλης του βιβλίου ένα εισαγωγικό κεφάλαιο με τα απολύτως απαραίτητα στοιχεία από τη μαθηματική λογική και τη θεωρία συνόλων, τα οποία θεωρούνται χρήσιμα για τη σαφέστερη διατύπωση των μαθηματικών εννοιών, των προτάσεων κτλ. Τα στοιχεία αυτά, που ήταν διάσπαρτα στην Α έκδοση του βιβλίου, παρουσιάζονται στην αναμορφωμένη έκδοση με οργανωμένο τρόπο. Το περιεχόμενο του βιβλίου, που αποτελεί και την διδακτέα ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, έχει σε γενικές γραμμές έχει ως εξής:. Στο ο Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, συμπληρώνονται και επεκτείνονται τα βασικά στοιχεία του αλγεβρικού λογισμού που διδάχτηκαν οι μαθητές στο Γυμνάσιο.. Στο ο Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται και εξετάζονται συστηματικότερα όσα ήταν γνωστά από το Γυμνάσιο για τις εξισώσεις ου βαθμού, τις εξισώσεις ου βαθμού, καθώς και για εξισώσεις που η επίλυσή τους ανάγεται σε εξισώσεις ου και ου βαθμού.

6 . Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η επίλυση ανισώσεων ου και ου βαθμού, καθώς και ανισώσεων που η επίλυσή τους ανάγεται σε ανισώσεις ου και ου βαθμού. Με τη διδασκαλία των τριών πρώτων κεφαλαίων ολοκληρώνεται ο αλγεβρικός λογισμός στο βαθμό που είναι απαραίτητος όχι μόνο για την απρόσκοπτη συνέχεια της διδασκαλίας Άλγεβρας, αλλά και για την εξυπηρέτηση των συναφών μαθημάτων. 4. To 4 ο Κεφάλαιο αναφέρεται στις συναρτήσεις. Η συνάρτηση είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες των Μαθηματικών, η οποία είναι το εργαλείο έκφρασης ενός μεγάλου φάσματος φαινομένων της φύσης και της κοινωνίας. Η έννοια της συνάρτησης θα είναι αντικείμενο συστηματικής μελέτης και εμβάθυνσης σε όλο το Λύκειο. 5. Στο 5 ο Κεφάλαιο γίνεται κατ αρχήν η μελέτη των συναρτήσεων και y α α y και ακολουθεί η μελέτη της συνάρτησης τριώνυμο y α β γ, που αποτελεί τον κεντρικό στόχο του κεφαλαίου αυτού. 6. Στο 6 ο Κεφάλαιο κατ αρχήν επαναλαμβάνονται και συμπληρώνονται όσα διδάχτηκαν οι μαθητές στο Γυμνάσιο για γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους και στη συνέχεια επιλύονται γραμμικά συστήματα με τρεις αγνώστους, καθώς και μη γραμμικά συστήματα. Για την παρουσίαση των εννοιών του κεφαλαίου αυτού χρησιμοποιήθηκαν αναπαραστάσεις από τα κεφάλαια των συναρτήσεων. 7. Στο 7 ο Κεφάλαιο, που είναι και το τελευταίο του βιβλίου, επαναλαμβάνονται και επεκτείνονται οι γνωστές από το Γυμνάσιο έννοιες των τριγωνομετρικών αριθμών και των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων και παρουσιάζεται η αναγωγή του υπολογισμού τριγωνομετρικών αριθμών στο ο τεταρτημόριο. Εκτιμούμε ότι η παρούσα αναμορφωμένη έκδοση του βιβλίου θα συμβάλει στην αναβάθμιση της διδασκαλίας της Άλγεβρας στο Λύκειο. Ωστόσο, για περαιτέρω βελτίωση του βιβλίου, οποιοσδήποτε μαθητής, καθηγητής ή ενδιαφερόμενος για την παιδεία στον τόπο μας θέλει να κάνει σχόλια, παρατηρήσεις ή κρίσεις για το βιβλίο αυτό, παρακαλείται να τις στείλει στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 96, 50 Αγία Παρασκευή. Δεκέμβριος 009 Οι Συγγραφείς

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε Το Λεξιλόγιο της Λογικής 9 Ε Σύνολα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Οι Πραγματικοί Αριθμοί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 9. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 0. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 7.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις. Εξισώσεις ου Βαθμού 55 v. Η Εξίσωση α 6. Εξισώσεις ου Βαθμού 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ανισώσεις. Ανισώσεις ου Βαθμού 77. Ανισώσεις ου Βαθμού 8. Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 4. Η Έννοια της Συνάρτησης Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 04 f α β 4. Η Συνάρτηση 4.4 Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων f α Μελέτη της Συνάρτησης : 5. Μελέτη της Συνάρτησης: f 5. Μελέτη της Συνάρτησης: Σελ. α 46 f α β γ 5

8 Σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Γραμμικά Συστήματα 6. Γραμμικά Συστήματα Μη Γραμμικά Συστήματα 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνομετρία 7. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Αναγωγή στο ο Τεταρτημόριο 96 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 05 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ 7

9 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο. Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι: Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι: Αν ο ισχυρισμός «α β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α β» θα είναι αληθής. Γι αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α β» συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α β Γενικά:» και γράφουμε: a β a β. Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής (). () Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή «P Q» να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή «P Q» είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή.

10 0 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές: και α βα β () α βαγ β γ (), που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς α, β και γ. Παρατηρούμε ότι: Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή α β α β για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α Γενικά Αν και β, αφού για παράδειγμα είναι, ενώ. Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: α γ βγα β Γι αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε: α β αγ β γ. P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P, να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q, να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο P είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P Ο ισχυρισμός «P Q «P αν και μόνο αν Q». Ο σύνδεσμος «ή» Γνωρίζουμε ότι: Q.» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν. Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους α και β είναι ίσος με το μηδέν, γράφουμε α 0 ή β 0. Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία α β 0α0 ή β 0 Γενικά

11 Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P ή Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Ο ισχυρισμός «P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q. Για παράδειγμα η εξίσωση 0 αληθεύει, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει η διάζευξη: και 0 ή 0. Παρατηρούμε εδώ ότι: Για αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, ενώ Για 0 αληθεύει μόνο η πρώτη και για αληθεύει μόνο η δεύτερη. Ο σύνδεσμος «και» Γνωρίζουμε ότι: α και β είναι διάφορο του μηδε- «Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών νός, αν και μόνον αν και οι δύο αριθμοί νός». α και βείναι διάφοροι του μηδε- Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός γράφουμε α 0 και β 0 Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία α β 0α0και β 0 Γενικά Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Ο ισχυρισμός «P και Q» λέγεται σύζευξη των P και Q. Για παράδειγμα, ο ισχυρισμός ( ) 0 και ( )( ) 0 αληθεύει για εκείνα τα για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για.

12 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.. α 9α Α Ψ. α α α Α Ψ. α αα Α Ψ 4. α α 4 Α Ψ 5. α α 4 Α Ψ 6. αα 4 Α Ψ 7. α 4α Α Ψ 8. α 4α Α Ψ 9. α και β αβ 6 Α Ψ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό από τη ομάδα Β. Α ΟΜΑΔΑ 0 Β ΟΜΑΔΑ Α 0 και 0 Β 4 4 Γ ή 4 και 0 Δ 0 0 και 0 Ε 0 ή και 0 Ζ

13 Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα Ε. ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Πολλοί άνθρωποι συνηθίζουν να συλλέγουν διάφορα πράγματα, όπως π.χ. γραμματόσημα, νομίσματα, πίνακες ζωγραφικής, εφημερίδες, βιβλία κτλ. Οι περισσότεροι συλλέκτες ταξινομούν τις συλλογές τους σε κατηγορίες, π.χ. «γραμματόσημα που προέρχονται από την ίδια χώρα», «νομίσματα του περασμένου αιώνα», «πίνακες της αναγέννησης» κτλ. Επίσης από αρχαιοτάτων χρόνων οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τους αριθμούς και τους ταξινόμησαν σε κατηγορίες, όπως είναι π.χ. «οι άρτιοι αριθμοί», «οι πρώτοι αριθμοί» κτλ. Συλλογές ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω ή ακόμη ομάδες αντικειμένων, ο- μοειδών ή όχι, που μπορούμε με κάποιο τρόπο να τα ξεχωρίσουμε, ονομάζονται στα Μαθηματικά σύνολα. Σύμφωνα με τον μεγάλο μαθηματικό Cantor: Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. ΣΧΟΛΙΟ Ένα σύνολο πρέπει να είναι, όπως συνηθίζουμε να λέμε, «καλώς ορισμένο». Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία του μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Για παράδειγμα δεν μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των μεγάλων πραγματικών αριθμών. Αυτό δεν είναι σύνολο, με τη μαθηματική έννοια του όρου, διότι δεν υπάρχει κανόνας που να καθορίζει αν ένας πραγματικός αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος. Αν όμως θεωρήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του , τότε αυτοί αποτελούν σύνολο. Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε ένα από τα κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου, ενώ για τα στοιχεία του χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα αυτών. Για παράδειγμα: με συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, με το σύνολο των ακεραίων αριθμών, με το σύνολο των ρητών αριθμών και με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

14 4 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τα σύμβολα και Για να δηλώσουμε ότι το είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε Α και διαβάζουμε «το ανήκει στο Α», ενώ για να δηλώσουμε ότι το δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε Α και διαβάζουμε «το δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγμα 5, 5,,, κτλ. Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους: α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. Έτσι π.χ., αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθμούς, 4 και 6, γράφουμε: Α, 4, 6 Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έναν παρόμοιο συμβολισμό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας μερικά μόνο από αυτά και α- ποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται. Έτσι για παράδειγμα το σύνολο Β των ακεραίων από το μέχρι το 00 συμβολίζεται ως εξής Β,,,..., 00, ενώ το σύνολο των κλασμάτων της μορφής, όπου ν θετικός ακέραιος, συμ- v βολίζεται ως εξής: Γ=,,,,... 4 Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του». β) Αν από το σύνολο των πραγματικών αριθμών επιλέξουμε εκείνους που έ- χουν την ιδιότητα να είναι θετικοί, τότε φτιάχνουμε το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με: 0 και διαβάζεται «Το σύνολο των, όπου 0». Ομοίως το σύνολο των άρτιων ακεραίων συμβολίζεται άρτιος

15 Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα 5 Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται με: Ω έχει την ιδιότητα Ι και διαβάζεται «Το σύνολο των, όπου έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου µε περιγραφή των στοιχείων του». Ίσα σύνολα Ας θεωρήσουμε τώρα τα σύνολα: Α, και Β= ( )( ) 0 Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης ( )( ) 0 είναι οι αριθμοί και, το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία µε το Α. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα. Γενικά Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Με άλλα λόγια: «Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α». Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α=Β. Υποσύνολα συνόλου Ας θεωρήσουμε τα σύνολα Α=,,,..., 5 και Β=,,,..., 00 Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β. Γενικά Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α Β. Άµεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι: i) Α Α, για κάθε σύνολο Α. ii) Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. iii) Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β.

16 6 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το κενό σύνολο Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση είναι αδύνατη στο. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ή { }. Δηλαδή: Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Διαγράμματα Venn Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Για παράδειγμα, τα σύνολα, και, είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω=. Το βασικό σύνολο συμβολίζεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός βασικού συνόλου παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Αν Α Β, τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Β. Πράξεις με σύνολα Έστω Ω,,,...,0 ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του: Α,,, 4 και Β, 4,5,6. Το σύνολο,,, 4,5, 6, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

17 Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα 7 Γενικά: Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Δηλαδή είναι: ΑΒ Ω Α ή Β Το σύνολο, 4 που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και Β λέγεται τομή των Α και Β. Γενικά: Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α Β Δηλαδή είναι: ΑΒΩ Α και Β Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν ΑΒ, τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους. Το σύνολο 5,6,7,8,9,0 που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α. Γενικά: Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α. Δηλαδή είναι: Α Ω Α

18 8 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I.. Στους παρακάτω πίνακες να συμπληρώσετε με το σύμβολο εκείνα τα τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.. Πώς ονομάζονται οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα τετραγωνάκια μόνο της τελευταίας γραμμής;. Να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα του Venn για να παραστήσετε τις διαδοχικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων,, και και να τοποθετήσετε μέσα σε αυτά τους αριθμούς αυτούς.,5 0 0 π, II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Αν Α= διαιρέτης του 6και Β= διαιρέτης του 4,τότε: α) Α Β=... β) Α Β=.... Ας θεωρήσουμε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του και Β= Ω σύμφωνο Α= Ω φωνήεν Τότε: α) Α Β=... β) Α Β=... γ) Α =.... δ) B =... III. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλο τις σωστές απαντήσεις.. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: α) ΑΑ Β β) ΒΑ Β γ) Α Β Α δ) ΑΒ Β. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: α) ΑΑ Β β) ΑΒ Β γ) ΑΒ Α δ) ΑΒ Β IV. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω.Τότε: α) = β) Ω = γ) (Α ) =... Έστω Α Β.Τότε α) ΑΒ β) Α Β=.

19 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Εισαγωγή Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών. Θυμίζουμε ότι: Κάθε ρητός αριθμός έχει (ή μπορεί να πάρει) κλασματική μορφή, δηλαδή τη μορφή α β, όπου α, β ακέραιοι, με β 0. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή. Για παράδειγμα, 4,8 5, 9 60, 5, 5,45 8, 5 0,5 και, Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς. Υπάρχουν όμως και αριθμοί, όπως οι,,, κτλ., που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή α β, όπου α, β ακέραιοι, με β 0(ή, με άλλα λόγια, δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί). Οι αριθμοί αυτοί λέγονται άρρητοι αριθμοί.

20 0. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και, με τη βοήθειά τους, η αφαίρεση και η διαίρεση. Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα, οι οποίες και αποτελούν τη βάση του αλγεβρικού λογισμού. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α β β α αβ = βα Προσεταιριστική α β γ α β γ α βγ Ουδέτερο Στοιχείο Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού αβ γ α 0 α α α α α 0 Επιμεριστική α β γ αβ αγ α, α 0 α Στον πίνακα αυτόν, αλλά και στη συνέχεια του βιβλίου, τα γράμματα που χρησιμοποιούνται παριστάνουν οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, ε- κτός αν δηλώνεται διαφορετικά. Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμενος σε οποιονδήποτε αριθμό δεν τον μεταβάλλει. Επίσης ο αριθμός λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, διότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με αυτόν δεν μεταβάλλεται. ΣΧΟΛΙΟ Η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης έχουν ως συνέπεια, κάθε άθροισμα με περισσότερους από δυο προσθετέους, να ισούται με οποιοδήποτε άλλο άθροισμα που σχηματίζεται από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. Για παράδειγμα, Ομοίως, ένα γινόμενο με περισσότερους από δυο παράγοντες ισούται με ο- ποιοδήποτε άλλο γινόμενο που μπορεί να σχηματισθεί από τους ίδιους αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. Για παράδειγμα,

21 . Οι πράξεις και οι ιδιότητές του (Η απόδειξη των παραπάνω ισχυρισμών είναι αρκετά πολύπλοκη και παραλείπεται). Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως ως εξής: α α β α β και α: β α ( β 0) β β Δηλαδή: Για να βρούμε τη διαφορά, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου, ενώ για να βρούμε το πηλίκο α β, με β 0, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επειδή διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται, όπου στο εξής συναντάμε το πηλίκο α β, εννοείται ότι β 0 και δεν θα τονίζεται ιδιαίτερα. Για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο:. α β και γδ α γ β δ δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη.. και α β γδ αγ βδ δηλαδή, δυο ισότητες μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη.. α β α γ β γ δηλαδή, μπορούμε και στα δυο μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό. 4. Αν γ 0, τότε: α β αγ βγ δηλαδή, μπορούμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. 5. α β 0α 0 ή β 0

22 . ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν. Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ακόλουθη: α β 0α0 και β 0 ΣΧΟΛΙΟ Όταν από την ισότητα αγβ γ ή από την ισότητα α γβ γ μεταβαίνουμε στην ισότητα α β, τότε λέμε ότι διαγράφουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο παράγοντα αντιστοίχως. Όμως στην περίπτωση που διαγράφουμε τον ίδιο παράγοντα πρέπει να ελέγχουμε μήπως ο παράγοντας αυτός είναι ίσος με μηδέν, οπότε ενδέχεται να οδηγηθούμε σε λάθος, όπως συμβαίνει στο ακόλουθο παράδειγμα. Έστω α. Τότε έχουμε διαδοχικά: α ααα α α α α α α 0 α α α Όμως έχουμε και α, οπότε το θα είναι ίσο με το 0. Οδηγηθήκαμε στο λανθασμένο αυτό συμπέρασμα, διότι στην ισότητα α α α διαγράψαμε τον παράγοντα α ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήταν ίσος με μηδέν. Δυνάμεις Είναι γνωστή από το Γυμνάσιο η έννοια της δύναμης αριθμού με εκθέτη α- κέραιο. Συγκεκριμένα, αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: ν α α ααα, για ν και ν παράγοντες α α, για ν. Αν επιπλέον είναι α 0, τότε ορίσαμε ότι: 0 α και α ν ν α

23 . Οι πράξεις και οι ιδιότητές του ΣΧΟΛΙΟ Ενώ είναι φανερό ότι, αν α β, τότε α φού για παράδειγμα είναι, αλλά. ν ν β, δεν ισχύει το αντίστροφο, α- Στον επόμενο πίνακα συνοψίζονται οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται. κ λ κ λ α α α κ κ α β αβ κ α κ λ α κλ α α κ λ α β κ κ α κλ κ α β Αξιοσημείωτες ταυτότητες Η έννοια της ταυτότητας είναι γνωστή από το Γυμνάσιο. Συγκεκριμένα, κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρονται οι γνωστές μας πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες: α β α αβ β α β α αβ β α β α β α β α β α α βαβ β α β α α βαβ β α β α β α αβ β α β α β α αβ β α βγ α β γ αββγ γα

24 4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μέθοδοι απόδειξης η ) Ευθεία Απόδειξη Έστω ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει η συνθήκη αβγ 0 και θέλουμε να αποδείξουμε ότι α β γ αβγ, δηλαδή έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή: Επειδή α β γ 0 «Αν α βγ 0, τότε α β γ αβγ»., είναι α β γ, οπότε θα έχουμε: α β γ βγ β γ βγ β γ β β γβγ γ β γ βγβγ βγβ γ αβγ, αφού β γ α. Για την απόδειξη της παραπάνω συνεπαγωγής ξεκινήσαμε με την υπόθεση αβγ 0 και με διαδοχικά βήματα καταλήξαμε στο συμπέρασμα α β γ αβγ. Μια τέτοια διαδικασία λέγεται ευθεία απόδειξη. ΣΧΟΛΙΑ ο ) Ευθεία απόδειξη χρησιμοποιήσαμε και στο Γυμνάσιο για την απόδειξη των γνωστών μας ταυτοτήτων. Για παράδειγμα, για την απόδειξη της α β α αβ β, με αβ, R, έχουμε διαδοχικά: ταυτότητας αβ αβαβ ααββαβ α αβ βα β α αβ β Ορισμός δύναμης Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Αναγωγή όμοιων όρων ο ) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός είναι αληθής, μερικές φορές με διαδοχικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε έναν λογικά ισοδύναμο ισχυρισμό που είναι αληθής. Έτσι συμπεραίνουμε ότι και ο αρχικός ι- σχυρισμός είναι αληθής. Για παράδειγμα, έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς α, β,, y θέλουμε να αποδείξουμε την ταυτότητα:

25 . Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 5 Έχουμε διαδοχικά: α β y α + βy αy β α β y α + βy αy β α α y β β y α αβy β y α y αβy β α α y β β y α α y β β y, που ισχύει. ο ) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα. Έτσι ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής, αφού για «για κάθε α 0 ισχύει η ) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο α έχουμε α Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό: α» α, δηλαδή 4 α α. «Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος», δηλαδή «Αν ο α είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός» Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής: Έστω ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε ο α θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη μορφή ακ, όπου κ ακέραιος, οπότε θα έχουμε: α κ 4κ 4κ κ κ λ (όπου λ κ κ). Δηλαδή α λ, λ, που σημαίνει ότι ο α είναι περιττός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι ο α είναι άρτιος. Επομένως, η παραδοχή ότι α δεν είναι άρτιος είναι λανθασμένη. Άρα ο α είναι άρτιος. Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να α- ποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο.

26 6. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η μέθοδος αυτή απόδειξης χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Αρχαίους Έλληνες και λέγεται απαγωγή σε άτοπο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών: α γ i) αδ βγ εφόσον βδ 0 β δ α γ α β ii) εφόσον βγδ 0 β δ γ δ α γ α β γδ iii) εφόσον βδ 0 β δ β δ α γ α γ α γ iv) εφόσον βδβ δ 0 β δ β δ β δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Για βδ 0 έχουμε: α γ α γ βδ βδ αδ βγ. β δ β δ ii) Για βγδ 0 έχουμε: α γ αδ βγ α β αδ βγ. β δ γδ γδ γ δ iii) Για βδ 0 έχουμε: α γ α γ α β γ δ β δ β δ β δ α γ iv) Για βδ β δ 0, αν θέσουμε λ, έχουμε: β δ α λβ και γ λδ, οπότε αγ λ( βδ). αγ α γ αγ Επομένως, λ, δηλαδή βδ β δ βδ η Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι άρρητος. Στη συνέχεια, με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη, να παρασταθούν οι και στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

27 . Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 7 ΑΠΟΔΕΙΞΗ κ Έστω ότι ο είναι ρητός. Τότε μπορούμε να γράψουμε, όπου κ, λ είναι λ φυσικοί αριθμοί και κ λ ανάγωγο κλάσμα (δηλαδή κλάσμα στο οποίο έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις). Τότε έχουμε διαδοχικά: κ λ κ λ κ λ που σημαίνει ότι ο κ είναι άρτιος, οπότε (σελ. 5) και ο κ είναι άρτιος, δηλαδή είναι της μορφής κ=μ. Τότε έχουμε διαδοχικά: κ λ μ λ 4μ λ λ μ Που σημαίνει ότι ο λ είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος. Αφού λοιπόν οι κ, λ είναι άρτιοι, το κλάσμα κ λ δεν είναι ανάγωγο (άτοπο). Στο σημείο Α του πραγματικού άξονα που παριστάνει τον αριθμό υψώνουμε κάθετο τμήμα ΑΒ με μήκος. Τότε η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος ίσο με. Στη συνέχεια με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΒ = γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τον άξονα στα σημεία Μ και M που παριστάνουν τους α- ριθμούς και αντιστοίχως.

28 8. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 4.. Δίνεται η παράσταση Α y y i) Να δείξετε ότι y 9 9 Α y. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης για 00 και y. 00. Να βρείτε την τιμή της παράστασης 7 Α : 0, 4 και y,5. y y για. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i) ii) 99 0 iii) 7, 4,, i) Να δείξετε ότι α β αβ 4αβ. ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: i) Να αποδείξετε ότι α α α ii). Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:,65 0,65, Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δυο διαδοχικών φυσικών αριθμών (του μικρότερου από του μεγαλύτερου) ισούται με το άθροισμα τους. 7. Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός ν ν ν είναι πολλαπλάσιο του 7.

29 . Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 9 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) α α α α α ii) α α α. α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) α α α α α ii) α α α α α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) y y ii) y y y y. 4. Να δείξετε ότι y : y. y y 5. Έστω α, β και γ τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Αν α β γ. β γ α ii) Αν α-β β-γ γ-α. 6. Να δείξετε ότι, αν ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο L 4α και εμβαδόν E α, τότε το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο με πλευρά ίση με α. 7. Να δείξετε ότι: i) Αν α ρητός και β άρρητος, τότε α β άρρητος. ii) Αν α ρητός, με α 0, και β άρρητος, τότε α β άρρητος.

30 . ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έννοια της διάταξης Οι έννοιες «μεγαλύτερος από», «μικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο, ορίστηκαν ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε α β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε β α Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει αμέσως ότι: Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. Έτσι ο αρχικός ορισμός γράφεται ισοδύναμα: α β α β 0 Γεωμετρικά η ανισότητα α β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β. Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει α β ή α β, τότε γράφουμε α β και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β». Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτει ότι: α0 και β 0 α β 0 α0 και β 0 α β 0 α α, β ομόσημοι αβ 0 0 β α α, β ετερόσημοι αβ 0 0 β

31 . Διάταξη πραγματικών αριθμών α 0, για κάθε α Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α 0 Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι ισοδυναμίες: α β α και β α β α ή β Ιδιότητες των ανισοτήτων Στηριζόμενοι στην ισοδυναμία α β α β 0, μπορούμε να αποδείξουμε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων:. και α β β γ α γ α β αγ β γ. Αν γ 0, τότε: α β αγ β γ Αν γ 0, τότε: α β αγ β γ και α β γδ αγ β δ. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: α β και γδ αγ β δ Η ιδιότητα. ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Συγκεκριμένα: α β και α β και...και α β α α... α β β... β ν ν ν ν Αν, επιπλέον, τα μέλη των ανισοτήτων είναι θετικοί αριθμοί, τότε: ν ν ν ν α β και α β και...και α β α α... α β β... β (*) Στη συνέχεια θα αποδείξουμε και την παρακάτω ιδιότητα. 4. Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: ν ν α β α β

32 . ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α β. Τότε, από τη (*), για α α... αν α 0 και β β... βν β 0, προκύπτει ότι: α ν ν β. Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της ν ν απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α β και α β. Τότε: ν αν ήταν α β, από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε α β (άτοπο), ενώ ν αν ήταν α β, θα είχαμε α Άρα, α β. ν β ( άτοπο). ν Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι: Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: ν ν α β α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προηγουμένως, ότι α β ν ν. Άρα, α Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της ν ν απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α β και α β. Τότε: ν ν αν ήταν α β, λόγω της (4), θα είχαμε α β (άτοπο), ενώ αν ήταν α β, λόγω της (4), θα είχαμε β. α ν ν β (άτοπο). ΣΧΟΛΙΑ ο Σύμφωνα με την ιδιότητα, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 0 6 και 7, αλλά o Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θετικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είναι

33 . Διάταξη πραγματικών αριθμών Διαστήματα και 6, αλλά. 6 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών με α β λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με [ α, β ]. Αν τώρα από το κλειστό διάστημα [ α, β ] παραλείψουμε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστημα από το α μέχρι β που συμβολίζεται με α, β. Οι αριθμοί α και β λέγονται άκρα των διαστημάτων αυτών και κάθε α- ριθμός μεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σημείο αυτών. Η διαφορά δηλαδή μεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήματος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει. Άλλες μορφές διαστημάτων είναι: Το ανοικτό δεξιά διάστημα [ α, β ) που αποτελείται από τους αριθμούς για τους οποίους ισχύει α β και Το ανοικτό αριστερά διάστημα ( α, β ] που αποτελείται από τους α- ριθμούς με για τους οποίους ισχύει α β. Τέλος, υπό μορφή διαστήματος, Το σύνολο των αριθμών για τους οποίους ισχύει α συμβολίζεται με [ α, ), ενώ Το σύνολο των αριθμών για τους οποίους ισχύει α συμβολίζεται με (, α]. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα διαστήματα ( α, ) και (, α). Τα σύμβολα και, που διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντιστοίχως, δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι μορφές διαστημάτων πραγματικών αριθμών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους:

34 4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ α β [ α, β ] α β [ α, β ) α β ( α, β ] α β ( α, β ) α [ α, ) α ( α, ) α (, α] α (, α) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να αποδειχθεί ότι : i) Αν α, β ομόσημοι αριθμοί, τότε α β α β ii) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει iii) Αν α 0, τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ α α α β αβ i) Αφού αβ, είναι ομόσημοι αριθμοί έχουμε αβ 0. Επομένως ισχύει: α β α β. αβ αβ β α α β ii) Έχουμε: α β αβ α β αβ α β 0 0, που ισχύει iii) Έχουμε: α α α α α 0α 0, που ισχύει. α

35 . Διάταξη πραγματικών αριθμών 5 η Αν και 4 5 y, να αποδειχθεί ότι: 6 8 y 7 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από την ανισότητα έχουμε διαδοχικά: () 5 Ομοίως από την y έχουμε διαδοχικά: 6 5 y 6 8 y<0 8y 0 0 y<8 () Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις ανισότητες () και (), που έχουν την ίδια φορά, και έχουμε: 4 8y 4, οπότε θα ισχύει: 4 8y 4 Άρα 8y 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι: i) α 96α ii) α β α β. Να αποδείξετε ότι α β α 0. Πότε ισχύει η ισότητα;. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Αν y 0 ii) Αν y y 4 50

36 6. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Αν 4,5 4,6 και 5, y 5, 4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: i) y ii) y iii) y iv) y 5. Το πλάτος και το μήκος y ενός ορθογωνίου ικανοποιούν τις ανισότητες και y 5. Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά 0, και ελαττώσουμε το μήκος κατά 0,, να βρείτε τις δυνατές τιμές: i) της περιμέτρου ii) του εμβαδού του νέου ορθογωνίου. 6. Αν 0 α β, να δείξετε ότι α β α β. 7. Να βρείτε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς: Έστω 5 Β ΟΜΑΔΑΣ. Τότε έχουμε διαδοχικά Δίνονται ένα κλάσμα α β με θετικούς όρους και ένας θετικός αριθμός γ. Να αποδείξετε ότι: i) α Αν, τότε β ii) α Αν, τότε β α γ α β γ β α γ α β γ β. Αν α β, να αποδείξετε ότι α β αβ.. Αν αβ, θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι α β 4. α β 4. Να αποδείξετε ότι: i) α αβ β 0 ii) α αβ β 0

37 . ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός της απόλυτης τιμής Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο ότι η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με α. Από τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάστηκε ο άξονας προκύπτει ότι:,, και γενικά: α α, για κάθε α Δηλαδή: Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.,, και γενικά: α α, για κάθε α Δηλαδή: Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του Επομένως, έχουμε τον ακόλουθο αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού. ΟΡΙΣΜΟΣ Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και ορίζεται από τον τύπο: α, αν α 0 α α, αν α 0

38 8. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε αμέσως ότι: α α 0 α α και α α α α Για παράδειγμα, 5 5 ή 5 Αν θ 0, τότε: θ θ ή θ α α ή α α β αβ α β αβ ή α β βα 4 α β ή α β Ιδιότητες των απόλυτων τιμών Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών, προκύπτουν για τις απόλυτες τιμές οι ακόλουθες ιδιότητες:. α β α β. α β α β. α β α β Οι ιδιότητες αυτές, όμως, μπορούν να αποδειχθούν και με τη βοήθεια των προηγούμενων συμπερασμάτων. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας α β α β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά: αβ α β αβ α β. Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο. αβ α β αβ α β, που ισχύει.

39 . Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 9. Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας α β α β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά: α β α β α β α β α β α β α β α β αβ α β αβ αβ αβ, που ισχύει. Είναι φανερό ότι η ισότητα αβ αβ ισχύει αν και μόνο αν αβ 0, δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητα αβ α β ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Συγκεκριμένα: α α... αν α α... αν Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι α α... αν α, έχουμε: ν α α Η ανισότητα α β α β ισχύει και για περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμένα: α α... α α α... α Απόσταση δυο αριθμών ν Ας πάρουμε τώρα δυο αριθμούς, για παράδειγμα τους και, που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως. ν ν Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών και. Παρατηρούμε ότι ΑΒ 5. Γενικότερα, ας θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.

40 40. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με, d αβ και είναι ίση με α β. Είναι δηλαδή: Προφανώς ισχύει d αβ, d βα, d αβ, α β. Στην περίπτωση μάλιστα που είναι α β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β α και λέγεται μήκος του διαστήματος [ α, β ]. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα διάστημα [ α, β ] και ας ονομάσουμε Α και Β τα σημεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως. Αν Μ 0 είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε ( MA) ( MB) d, α d, β Ο αριθμός α β α 0 β 0 α β 0 0 α β α β 0, αφού α β που αντιστοιχεί στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ λέγεται κέντρο του διαστήματος [ α, β ], ενώ ο αριθμός του [ α, β ]. Ως μήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστημάτων 0 β α ρ λέγεται ακτίνα α, β, [ α, β ) και ( α, β ] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος [ α, β ]. Έστω τώρα ότι θέλουμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει.

41 . Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 4 Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε: d, <+, Γενικά: Για 0 και ρ 0, ισχύει: 0 ρ 0 ρ, 0 ρ ρ ρ 0 0 Δηλαδή, οι αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση 0 ρ είναι τα σημεία του διαστήματος 0 ρ, 0 ρ που έχει κέντρο το 0 και ακτίνα ρ. Στην ειδική περίπτωση που είναι 0 0, έχουμε: ρ ρ, ρ ρ ρ. Για παράδειγμα,,. Έστω, τώρα, ότι θέλουμε να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει. Από τον ορισμό της απόστασης έχουμε: d, Γενικά: ή,,.

42 4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Για και ρ 0, ισχύει: 0,, ρ ρ ρ ρ ή ρ 0 0 Δηλαδή οι αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση 0 ρ αντιστοιχούν σε Μ του άξονα σημεία μεγαλύτερη του ρ. που απέχουν από το σημείο Κ απόσταση 0 Στην ειδική περίπτωση που είναι 0 0,η τελευταία ισοδυναμία παίρνει τη μορφή: ρ ρ ή ρ Για παράδειγμα: ή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i) π ii) π 4 iii) π 4 π iv).. Αν 4, να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση 4. Να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση 4, όταν: i) ii) 4.

43 . Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 4 4. Αν α β, να βρείτε την τιμή της παράστασης α β β α. 5. Αν 0 και y 0, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση Α y y 6. Η διάμετρος ενός δίσκου μετρήθηκε και βρέθηκε,7dm. Το λάθος της μέτρησης είναι το πολύ 0,005dm. Αν D είναι η πραγματική διάμετρος του κύκλου, τότε: i) Να εκφράσετε την παραπάνω παραδοχή με τη βοήθεια της έννοιας της απόστασης ii) Να βρείτε μεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η τιμή D. 7. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραμμή του. ΠΙΝΑΚΑΣ Απόλυτη Τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση διαστημάτων 4 d(,4), d(,5) d(, ) d(,5) d(, ), 5,,,, 5,

44 44. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Β ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι α β αγ γ β.. Αν α β, να δείξετε ότι: i) α β α β α ii) α β αβ β. Τι σημαίνει για τους αριθμούς και y : i) Η ισότητα y 0 ; ii) Η ανισότητα y 0 ; 4. Έστω 0 α β. i) Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς α β, και β α. ii) Να δείξετε ότι στον πραγματικό άξονα ο αριθμός α β βρίσκεται πλησιέστερα στο από ότι ο αριθμός β α. 5. Αν 0, και y 4 0,, να εκτιμήσετε την τιμή της περιμέτρου των παρακάτω σχημάτων:

45 .4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού Στο Γυμνάσιο μάθαμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού α- ριθμού και τις ιδιότητές της. Συγκεκριμένα μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ H τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α 0, η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης α. Για τις τετραγωνικές ρίζες μη αρνητικών αριθμών γνωρίσαμε τις παρακάτω ιδιότητες: α α α β α β α β α β ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κυβική δεξαμενή χωρητικότητας 64 κυβικών μέτρων και ζητάμε την πλευρά της. Αν μέτρα είναι η πλευρά της δεξαμενής, τότε ο όγκος της θα είναι κυβικά μέτρα και επομένως θα ισχύει: 64. Αναζητούμε λοιπόν έναν αριθμό που, όταν υψωθεί στον κύβο, θα μας δώσει 64. Ο αριθμός αυτός, αφού παριστάνει μήκος, πρέπει να είναι θετικός. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι ο ζητούμενος

46 46. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ αριθμός είναι ο 4, διότι Ο αριθμός 4 λέγεται τρίτη ρίζα του 64 και συμβολίζεται με 64. Δηλαδή 64 =4. Η τρίτη ρίζα ενός αριθμού λέγεται και κυβική ρίζα του αριθμού αυτού. Γενικεύοντας τώρα τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με ν α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός () που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α. Επίσης γράφουμε α α και α α. Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α 0, τότε η ν α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης ν α. ΣΧΟΛΙΟ Είναι , οπότε Είναι επίσης και Όμως, δεν επιτρέπεται να γράφουμε , αφού, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η είναι η μη αρνητική λύση της εξίσωσης Ιδιότητες των ριζών Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α, συμπεραίνουμε αμέσως ότι: Αν α 0, τότε: ν ν α α και ν ν α Αν α 0 και ν άρτιος, τότε: ν ν α α. α () Αποδεικνύεται ότι υπάρχει και είναι μοναδικός.

47 .4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 47 Για παράδειγμα: 6 6, ενώ 6 6. Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας: Αν αβ, 0, τότε:. ν α ν β ν α β ν α α. ν (εφόσον β 0) ν β β. 4. μ ν α νρ α μρ μν ν α α μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Έχουμε: ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν α ν β α β α α αβ α α αβ. Αποδεικνύεται όπως και η.. Έχουμε: 4. Έχουμε: μ ν μν αβ αβ, που ισχύει. μν μ ν μν μ ν μ ν α α α α α α νρ μν ν ν α α, που ισχύει. μρ ν ρ μρ ν ρ μ ρ ν μ α α α α ν ΣΧΟΛΙΟ Η ιδιότητα. ισχύει και για περισσότερους από δυο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς α, α,..., ακ ισχύει: α α... α α α... α ν ν ν ν κ κ

48 48. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι α α... α α 0, ισχύει: α ν κ ν κ α, οπότε, λόγω της ιδιότητας, για αβ, 0έχουμε ν ν αβ α ν β. κ Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής a, όπου α 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τις οποίες θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές μας ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη. 5 Τι θα πρέπει, για παράδειγμα, να σημαίνει το ; Αν απαιτήσουμε να ισχύει p η ιδιότητα q pq α a και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θα είναι μ ν Άρα πρέπει ο Δηλαδή πρέπει να είναι να είναι λύση της εξίσωσης. Γενικά: 5. ΟΡΙΣΜΟΣ Αν a 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: μ Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε 0 ν 0. Για παράδειγμα: a μ ν ν α μ και Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι έχουμε για παράδειγμα είναι: α α α α α α α.

49 .4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 49 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Αν a και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να αποδειχθεί η ισοδυναμία: ν ν a β α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: ν ν ν ν α ν β α β α β, που ισχύει. ν η Να τραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες, χωρίς ριζικά στους παρονομαστές: i) `ii) 5 iii) 7 5. ΛΥΣΗ Έχουμε ii) iii) iv) η Να αποδειχθεί ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε:

50 50. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε τις ρίζες: i) 00, 000, , ii) 4, 8, 4 6, 5. iii) 0,0, 0,00, 4 0,000, 5 0, Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά i) π 4 ii) 0 iii) iv) 4. Να αποδείξετε ότι: Να αποδείξετε ότι: 5. Να αποδείξετε ότι: i) ii) Να αποδείξετε ότι: i) ii) Να αποδείξετε ότι: i) ii) Να αποδείξετε ότι: i) iii) 4 ii) Να αποδείξετε ότι: 5 i) 0 ii)

51 .4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 5 0. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρονομαστές: i) 5. Να αποδείξετε ότι ii) 7 5 iii) i) 6 ii), αφού αναλύσετε τα υπόριζα σε γινόμενα πρώτων παραγόντων. Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Να αποδείξετε ότι 5 6 ii) Αν α, β 0 να αποδείξετε ότι α α β β ( α β) αβ. α β. i) Να βρείτε τα αναπτύγματα των 7 και 7 ii) Να αποδείξετε ότι: i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ρητός. ii) Αν α θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι ο α α είναι ρητός. 4. Να αποδείξετε ότι i) ii) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές του είναι ΑΒ α ΑΓ β. i) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. ii) Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι: α β α β. iii) Για μη αρνητικούς αριθμούς α και β, να αποδείξετε ότι α β α β. Πότε ισχύει η ισότητα; και

52 5. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.. ( α β και γ δ) αγ β δ. Α Ψ. Αν. α αβ, τότε α β. Α Ψ ( α β) α β. Α Ψ 4. Το άθροισμα α β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι άρρητος αριθμός 5. Το γινόμενο α β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι άρρητος αριθμός. 6. Αν α β και γδ, τότε αγ β δ. Α Ψ 7. Αν α αβ, τότε α β. Α Ψ α 8. Αν β, τότε α β. Α Ψ 9. Αν α β και α β, τότε α 0. Α Ψ 0. Αν α, τότε α. α Α Ψ. Αν α β 0, τότε α β. Α Ψ. Αν α και β, τότε αβ 6. Α Ψ. Αν α και β, τότε αβ 6. Α Ψ 4. 4α 0αβ 5β 0. Α Ψ 5. α α 0. Α Ψ 6. α a 0. Α Ψ α β αβ 0 α β 0. Α Ψ Αν αβ 0, τότε α β α β. Α Ψ 9. Αν α β, τότε α β. Α Ψ Α Α Ψ Ψ 0. α α. Α Ψ

53 .4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 5. Αν α 0, τότε α α. Α Ψ. Αν αβ 0, τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε αβ α β. Α Ψ. Αν β 0, τότε α β α β. Α Ψ 4. α β α β. Α Ψ 5. Αν α 0, τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε 6 α α. 6. Μπορούμε πάντοτε να γράφουμε 4 α Α Ψ α. Α Ψ Α Ψ 8.. Α Ψ II. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις.. Αν 5 τότε η παράσταση 5 είναι ίση με: Α) 7 Β) 7 Γ) Δ) Αν 0 0 τότε η τιμή της παράστασης είναι ίση με: 0 0 Α) Β) Γ) 0 Δ) 0.. Αν α 6 0, β και γ τότε: Α) α β γ Β) α γ β Γ) γ α β Δ) β γ α. 4. Ο αριθμός είναι ίσος με: Α) 5 Β) 4 5 Γ) 5 Δ) 4 5. III. Στον παρακάτω άξονα τα σημεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 0,, α και β αντιστοίχως, με 0 α και β, ενώ τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν του αριθμούς α, β, α, β, α και β, όχι όμως με την σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ με τους αριθμούς που παριστάνουν. Γ Δ Ε Ζ Η Θ

54 54. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο «διπλασιασμός του τετραγώνου», δηλαδή η κατασκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου, μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική» κατασκευή. Λέγοντας «γεωμετρική» κατασκευή εννοούμε κατασκευή με χάρακα και διαβήτη. Ωστόσο, η πλευρά β, του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό, δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλαπλασιασμό επί ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα (ως μονάδα μέτρησης) με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τα δυο αυτά τμήματα, πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου. Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας: 6 ος π. Χ. αιώνας). Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μια βαθειά πίστη ότι πάντοτε δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι αυτό, στα πλαίσια της εποχής εκείνης, η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόταση, αλλά σήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση. Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος γύρω στα 450 π.χ., έγραφε: «Πραγματικά το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό (δηλαδή φυσικό). Αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το ένα είναι η αρχή του παντός». Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά, όπως η υποτείνουσα τετραγώνου, τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσικών αριθμών, θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Χαρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που περιβάλλουν το γεγονός αυτό. Κατά έναν από αυτούς, η ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών έγινε από τον πυθαγόρειο Ίπασσο, όταν αυτός και άλλοι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω. Η υπέρβαση των «δυσκολιών» που φέρνει στα Μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών, κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο (60π.Χ.) με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων». Η απόδειξη για το ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι άρρητος είναι ένα πρόβλημα που απαιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς.

55 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α β 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α β 0 για συγκεκριμένους αριθμούς αβ,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την βοήθεια των ιδιοτήτων των πράξεων, επιλύουμε την παραπάνω εξίσωση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι αριθμοί αβ., Έχουμε λοιπόν α β 0 α β β β α β Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν α 0 τότε: β α β a Επομένως, αν α 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την Αν α 0, τότε η εξίσωση α β γίνεται 0 β, η οποία: β. a i) αν είναι β 0 δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη, ενώ ii) αν είναι β 0 έχει τη μορφή 0 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό δηλαδή είναι ταυτότητα. Η λύση της εξίσωσης α β 0 και γενικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. Για παράδειγμα Για την εξίσωση 4( 5) 5 έχουμε:

56 56. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4( 5) Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την =5. Για την εξίσωση Έχουμε 0 που είναι αδύνατη. Για τη εξίσωση 4( 5) 0 έχουμε που είναι ταυτότητα. ΣΧΟΛΙΟ Όπως βλέπουμε στα παραπάνω παραδείγματα, κάθε φορά καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής α β 0, της οποίας οι συντελεστές α και β είναι συγκεκριμένοι αριθμοί και μπορούμε αμέσως να δούμε ποια από τις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο, αν οι συντελεστές α και β της εξίσωσης α β 0 εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι, η εξίσωση λέγεται παραμετρική και η εργασία που κάνουμε για την εύρεση του πλήθους των ριζών της λέγεται διερεύνηση. Για παράδειγμα η εξίσωση λ λ0, λ έχει παράμετρο το λ και γράφεται ισοδύναμα λ λ0 λ λ λλ λ Επομένως Αν λκαι λ, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την λ λ λ λ Αν λ, η εξίσωση γίνεται 0 και είναι αδύνατη. Αν λ, η εξίσωση γίνεται 0 0 και είναι ταυτότητα.

57 . Εξισώσεις ου βαθμού 57 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ένας ποδηλάτης πήγε από μια πόλη Α σε μία πόλη Β και επέστρεψε από τον ίδιο δρόμο. Στην μετάβαση οδηγούσε με μέση ταχύτητα 5km/h και ξεκουράστηκε ενδιάμεσα ώρα. Στην επιστροφή οδηγούσε με μέση ταχύτητα 0 km/h και δεν έκανε καμία στάση. Αν ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν 0 ώρες, να υπολογιστεί το μήκος της διαδρομής ΑΒ. ΛΥΣΗ Αν km είναι η απόσταση ΑΒ, τότε ο ποδηλάτης χρειάστηκε 5 ώρες για να πάει από το Α στο Β και ώρες για να επιστρέψει. Αφού ξεκουράστηκε και ώρα, 0 ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν 5 0 Επειδή ο χρόνος αυτός είναι 0 ώρες έχουμε την εξίσωση: Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε: Άρα το μήκος της διαδρομής είναι 00 km. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού Στην συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, πώς μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις οι οποίες δεν είναι μεν εξισώσεις ου βαθμού, αλλά, με κατάλληλη διαδικασία, ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Η εξίσωση αυτή ορίζεται για κάθε. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε:

58 58. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 0 0, αφού. Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών έχουμε: ή Όμως: 4 4 ( ). Επομένως η εξίσωση έχει δυο λύσεις, τους αριθμούς 4 και. ΣΧΟΛΙΟ Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε κάθε εξίσωση της μορφής f ( ) g( ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Επειδή το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι μη αρνητικό, για να έχει λύση η εξίσωση αυτή πρέπει και το δεύτερο μέλος της να είναι μη αρνητικό. Δηλαδή, πρέπει: 0 () Με αυτόν τον περιορισμό, λόγω των ιδιοτήτων των απόλυτων τιμών, έχουμε:

59 . Εξισώσεις ου βαθμού 59 ή ή ή 55 ή Από τις παραπάνω λύσεις δεκτή είναι μόνο η, διότι μόνο αυτή ικανοποιεί τον περιορισμό (). ΣΧΟΛΙΟ Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε εξισώσεις της μορφής f ( ) g( ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) iii) ii) iv). Να λύσετε τις εξισώσεις i) 4 ii) ,,5,5 8, Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. i) λ λ ii) λ λ iii) λ λ λ iv) λ λ λ λ 4. Στο διπλανό ορθογώνιο τραπέζιο να βρεθεί η θέση του σημείου Μ στην ΑΔ ώστε για τα εμβαδά Ε ( ΜΔΓ), Ε ( ΜΑΒ) και Ε ( Μ ΒΓ) ισχύει: i) Ε Ε Ε ii) Ε Ε 5. Από κεφάλαιο 4000 ένα μέρος του κατατέθηκε σε μια τράπεζα προς 5% και το υπόλοιπο σε μια άλλη τράπεζα προς %. Ύστερα από χρόνο εισπράχθηκαν συνολικά 75 τόκοι. Ποιο ποσό τοκίστηκε προς 5% και ποιο προς %; να

60 60. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6. Να επιλυθούν οι παρακάτω τύποι ως προς την αναφερόμενη μεταβλητή: i) v v0 αt, α 0 ως προς το t ii) (ως προς το R ). R R R 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) 0 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε τις εξισώσεις i) 0 ii) 0.. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) 0.. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 4 ii) iii) 4 iv).. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους τέτοιους ώστε το άθροισμα τους να ισούται με το γινόμενο τους. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 ii) 4 iii) iv).

61 . Εξισώσεις ου βαθμού 6 5..Να λύσετε τις εξισώσεις 4 4 i), ii) 5 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 4 ii) Β ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: i) α β αα β ii) α β β α έχουν πάντα λύση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί αβ.,. Ποιοί περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα αβ,, ώστε να έχει λύση η εξίσωση ; α β. Πόσο καθαρό οινόπνευμα πρέπει να προσθέσει ένας φαρμακοποιός σε 00ml διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 5%, για να πάρει διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας %; 4. Ένα αυτοκίνητο Α κινείται με 00km/h. Ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β που κινείται με 0km/h προσπερνάει το Α. Σε πόσα λεπτά τα δυο αυτοκίνητα θα απέχουν km; 5. Να λύσετε την εξίσωση α α α για όλες τις τιμές του α. 6. Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση. 8. Να λύσετε την εξίσωση 5.

62 . Η ΕΞΙΣΩΣΗ v α Έστω η εξίσωση 8. Όπως αναφέραμε στον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού, η εξίσωση 8 έχει ακριβώς μια θετική λύση, την 8. Η εξίσωση αυτή δεν έχει μη αρνητικές λύσεις, γιατί, για κάθε 0 ισχύει 0. Επομένως η εξίσωση 8 έχει ακριβώς μια λύση, την 8. Γενικότερα: Η εξίσωση v ακριβώς μια λύση την v α. Έστω η εξίσωση α, με α 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει 4 6. Όπως και προηγουμένως η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς μια θετική λύση την 4 6. Η εξίσωση αυτή όμως έχει ως λύση και την , αφού Επομένως η εξίσωση την 4 6. Γενικότερα: 4 6 έχει ακριβώς δύο λύσεις, την 4 6 και Η εξίσωση v ακριβώς δύο λύσεις τις v α και α, με α 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει v α. Έστω η εξίσωση 8 Έχουμε διαδοχικά: Επομένως η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς μια λύση, την 8 Γενικότερα: Η εξίσωση v ακριβώς μια λύση την v a. α, με α 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει Έστω η εξίσωση είναι αδύνατη. Γενικότερα: 4 4. Επειδή για κάθε ισχύει 4 0, η εξίσωση Η εξίσωση αδύνατη. v α, με α 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι

63 . Η εξίσωση ν =α 6 Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση v v α, με ν, έχει προφανή λύση την α, προκύπτει ότι: v Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση v α έχει μοναδική λύση, την α v v Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση α έχει δύο λύσεις, τις α και α. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ ή 8 0 ή 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 0 ii). Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 0 ii). Να λύσετε τις εξισώσεις i) 64 0 ii) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 i) 8 0 ii) iii) iii) iii) 4 0 iii) Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο 8m και διαστάσεις, και. Να βρείτε τις διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου. 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 64 ii) 4 iii)

64 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α β γ α 0, 0 Η λύση πολλών προβλημάτων της Γεωμετρίας, της Φυσικής καθώς και άλλων επιστημών ανάγεται στην επίλυση μιας εξίσωσης της μορφής: α β γ0, με α 0 () η οποία λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Για παράδειγμα, έστω ο τύπος S v0t γt, όπου S το διάστημα που διανύει κινητό σε χρόνο t, με αρχική ταχύτητα v 0 και επιτάχυνση γ. Αν θεωρή- σουμε ως άγνωστο τον χρόνο t, τότε προκύπτει η εξίσωση: 0 0 γt v ts, η οποία είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού. Στη συνέχεια θα επιλύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού στη γενική της μορφή με τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Έχουμε: β γ 0 0 [αφoύ 0 ] α α β γ α α β γ α α α β γ α β β γ β α 4α α 4α β β 4αγ α 4α Αν θέσουμε Δ β 4αγ, τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: β Δ α 4α Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: Αν Δ 0, τότε έχουμε: β Δ β Δ ή α α α α ()

65 . Εξισώσεις ου βαθμού 65 δηλαδή β Δ β Δ ή α α Επομένως η εξίσωση (), άρα και η ισοδύναμή της (), έχει δύο λύσεις άνισες τις: β Δ β Δ και α α Για συντομία οι λύσεις αυτές γράφονται, β Δ. α Αν Δ 0, τότε η εξίσωση () γράφεται: β β β 0 0 α α α β β =0 ή =0 α α β β ή α α Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την β. α Αν Δ 0, τότε η εξίσωση (), άρα και η ισοδύναμή της (), δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή είναι αδύνατη στο. Η αλγεβρική παράσταση αγ, από την τιμή της οποίας εξαρτάται το Δ β 4 0, 0, ονομάζεται διακρί- πλήθος των ριζών της εξίσωσης νουσα αυτής. α β γ α Τα παραπάνω συμπεράσματα συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: Δ β 4 αγ Η εξίσωση α β γ α 0, 0 β Δ 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις, α Δ 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη β α Δ Δ 0 Είναι αδύνατη στο. Για παράδειγμα

66 66. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η εξίσωση 0 έχει ρίζες τις και. Η εξίσωση Δ 4 0, οπότε έχει δυο 44 0 έχει Δ , οπότε έχει μια δι- 4 πλή ρίζα την. Η παραπάνω εξίσωση λύνεται σύντομα ως εξής: 440 ( ) 0 (διπλή ρίζα). Η εξίσωση 4 0 έχει πραγματικές ρίζες. έχει Δ 44 0, οπότε δεν Στην περίπτωση που η εξίσωση α β γ α,, έχουμε: β Δ β Δ β β και α α α α 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες β Δ β β 4αγ β Δ β Δ 4αγ γ α α 4α 4α 4α α Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα και με P το γινόμενο, τότε έχουμε τους τύπους: β S και α που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. γ P α Η εξίσωση α β γ 0, με την βοήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής: β γ α β γ 0 0 α α 0 SP0 Η τελευταία μορφή της εξίσωσης α β γ 0 μας δίνει τη δυνατότητα να την κατασκευάσουμε, όταν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της. Για παράδειγμα η εξίσωση με άθροισμα ριζών και γινόμενο είναι η 0

67 . Εξισώσεις ου βαθμού 67 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να λυθεί η εξίσωση 4 0 ΛΥΣΗ Η διακρίvoυσα είναι Δ Επομένως η εξίσωση έχει δύο ρίζες τις, 4 η Ένας βράχος βρίσκεται στην κορυφή της χαράδρας ενός ποταμού, η οποία έχει βάθος 00m. Πόσος χρόνος απαιτείται μέχρι τη στιγμή, που ο βράχος θα αγγίξει το νερό του ποταμού, αν ο βράχος i) πέσει από την κορυφή; ii) εκσφενδονιστεί κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα 50 m/sec; Δίδεται ότι g 0 m/sec. ΛΥΣΗ i) Είναι γνωστό από την Φυσική ότι το διάστημα S που διανύει ένα σώμα στην ελεύθερη πτώση σε χρόνο t sec είναι: S gt m Επειδή S 00m και g 0, έχουμε: sec t t t 60 t 60 t 7,75 Η αρνητική ρίζα δεν είναι αποδεκτή, διότι ο χρόνος στο συγκεκριμένο πρόβλημα δεν μπορεί να είναι αρνητικός. Άρα t 7,75sec. ii) Όταν το σώμα έχει αρχική ταχύτητα v 0, το διάστημα που διανύει σε χρόνο t sec είναι S v0t γ t. m Επειδή v0 50 και t 0 θα έχουμε: sec t t t 50 t 00 0 t 0t , 4 t 4, sec. Άρα, ο ζητούμενος χρόνος είναι περίπου 4, sec.

68 68. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΟ Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, όπως είδαμε και παραπάνω, δεν πρέπει να ξεχνάμε να ελέγχουμε, αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι εύλογες. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, πώς μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις οι οποίες δεν είναι μεν ου βαθμού, αλλά, με κατάλληλη διαδικασία, ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Να λυθεί η εξίσωση 0. ΛΥΣΗ Επειδή Αν θέσουμε, η εξίσωση γράφεται: 0 ω, τότε η εξίσωση γίνεται ω ω 0. Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες τις ω και ω. Από αυτές δεκτή είναι μόνο η θετική, αφού ω 0. Επομένως, που σημαίνει ή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Να λυθεί η εξίσωση:. ΛΥΣΗ Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει 0 και 0, δηλαδή 0και. Με αυτούς τους περιορισμούς του έχουμε: 4 0

69 . Εξισώσεις ου βαθμού 69 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες και. Από αυτές, λόγω του περιορισμού, δεκτή είναι μόνο η. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Να λυθεί η εξίσωση: () ΛΥΣΗ Αν θέσουμε Η εξίσωση y η εξίσωση γίνεται: y 7y 4 0 y y () έχει ρίζες τις y 4 και y Επειδή y 0, δεκτή είναι μόνο η y 4. Επομένως, οι ρίζες της () είναι οι ρίζες της εξίσωσης και. 4, δηλαδή οι ΣΧΟΛΙΟ Η μέθοδος που ακολουθήσαμε στο παραπάνω παράδειγμα εφαρμόζεται και για την επίλυση κάθε εξίσωσης της μορφής: 4 α β γ0, με α 0 Οι εξισώσεις της μορφής αυτής ονομάζονται διτετράγωνες εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 0 ii) 69 0 iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: i), 69 0 ii) 0,5 0 iii) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες: λ λ 0, λ 0 α α β β 0, α 0. i) ii) 4. Να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες η εξίσωση μ μ μ 0, 0 έχει διπλή ρίζα.

70 70. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. Αν α β, να δείξετε ότι είναι αδύνατη στο η εξίσωση α β α β 0. Να εξετάσετε την περίπτωση που είναι α β. 6. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς i) και. ii) και iii) 5 6 και Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i) Άθροισμα και γινόμενο 5. ii) άθροισμα 9 και γινόμενο Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) Να λύσετε την εξίσωση αβ,. α β a, για τις διάφορες τιμές των 0. Να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου με περίμετρο 68cm και διαγώνιο 6cm.. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 7 0 ii) 5 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση Να λύσετε τις εξισώσεις i) 6 ii) Να λύσετε τις εξισώσεις 4 i) ii) iii)

71 . Εξισώσεις ου βαθμού 7 Β ΟΜΑΔΑΣ. Δίνεται η εξίσωση 4 α α α α 0, με 0. i) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 4α. ii) α α Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και. α a. Δίνεται η εξίσωση i) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ ii) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και.. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση α α α έχει διπλή ρίζα Αν ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης α β γ 0, με αγ 0, να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης γ β α Να λύσετε τις εξισώσεις: i) α, α 0 α ii) α α β, αβ α β α, Δίνεται η εξίσωση λ 8 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. ii) Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τετράγωνο της άλλης, τότε να βρεθούν οι ρίζες και η τιμή του λ. 7. Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι που να είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 8. Η σημαία. του διπλανού σχήματος έχει διαστάσεις 4m και m αντιστοίχως. Να βρείτε πλάτος d του σταυρού, αν γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το εμβαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας.

72 7. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9. Μια κατασκευαστική εταιρεία διαθέτει δυο μηχανήματα Α και Β. Το μηχάνημα Β χρειάζεται ώρες περισσότερο από ότι το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δυο μηχανήματα μαζί είναι 8 ώρες. Να βρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης 0 α 0 είναι ο αριθμός. Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ.. Η εξίσωση ( α ) αα ( ) έχει μοναδική λύση την α. Α Ψ. H εξίσωση 0. H εξίσωση 0 4. H εξίσωση 0 είναι αδύνατη. Α Ψ έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ έχει δύο πραγματικές ρίζες. Α Ψ 5. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Α Ψ 6. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση. Α Ψ 7. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης α β γ 0 είναι ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. 8. Αν δύο εξισώσεις ου βαθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων του των εξισώσεων αυτών είναι ίσοι. Α Α Ψ Ψ 9. Η εξίσωση άνισες. 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και α α Α Ψ

73 . Εξισώσεις ου βαθμού 7 0. Η εξίσωση 4α 4α 0, με α 0, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Α Ψ α α 0, με α 0, δεν έχει πραγματι-. Η εξίσωση κές ρίζες. Α Ψ. Η εξίσωση α α 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Α Ψ. Η εξίσωση α 0 α και αντίστροφες πραγματικές ρίζες., με α 0, έχει δύο άνισες Α Ψ 4. Οι εξισώσεις ίδιες λύσεις. 0 και 0 έχουν τις Α Ψ 5. Οι εξισώσεις 5 έχουν τις ίδιες λύσεις. και ( ) 5( ) Α Ψ 6. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S 0 και γινόμενο P Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S 0 και γινόμενο P 5. Α Α Ψ Ψ 8. Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και y που να έχουν άθροισμα S και γινόμενο P. Α Ψ II. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:. Η εξίσωση ()( ) ( )( ) γράφεται ισοδύναμα: ()( ) ( )( ) 4 4. Όμως και ο αριθμός επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ή ή. Όμως καμία από τις τιμές αυτές του δεν επαληθεύει τη δοθείσα εξίσωση.

74 74. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Από τα αρχαία χρόνια οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν διάφορες τεχνικές για να λύσουν μια εξίσωση ου βαθμού. Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν γεωμετρικές μεθόδους, ίσως λόγω των δυσκολιών που είχαν με τους άρρητους αριθμούς, αλλά και λόγω πρακτικών δυσκολιών που προέκυπταν από τα ελληνικά ψηφία. Οι Ινδοί και οι Άραβες χρησιμοποίησαν μια μέθοδο όμοια με τη σημερινή διαδικασία «συμπλήρωσης τετραγώνου», περιγράφοντας όμως λεκτικά τον τρόπο εύρεσης των λύσεων. Αυτοί θεωρούσαν ως διαφορετικού τύπου κάθε μία από τις εξισώσεις p q, p q, p q. Σήμερα όμως γράφουμε τις εξισώσεις αυτές με τη γενική μορφή α β γ 0 Ο σύγχρονος συμβολισμός άρχισε να εμφανίζεται περί το 500 µ.χ, και οι δυνατότητες χρησιμοποίησης αρνητικών ριζών και ακόμα μιγαδικών ριζών προτάθηκαν από τους Cardano και Girard. Η γεωμετρική παράσταση των αρνητικών ριζών από τον Descartes και των μιγαδικών αριθμών από τούς Wessel, Argand και Gauss έκαμε τους αριθμούς αυτούς περισσότερο αποδεκτούς ως ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Όμως η ποικιλία των επιλύσεων που αναπτύχθηκε τα αρχαία χρόνια μας ενέπνευσε να αναπτύξουμε μερικούς τρόπους εξαγωγής του τύπου β β 4αγ, α που δίνει τις ρίζες της γενικής εξίσωσης ου βαθμού α β γ 0, α 0. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τρεις μεθόδους επίλυσης μίας εξίσωσης ου βαθμού. Μέθοδος των Ινδών Η επίλυση αυτή που επινοήθηκε στην Ινδία, αποδίδεται στον Sridhara (05 μ.χ. περίπου). Έχουμε διαδοχικά: α β γ 0 α β γ Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 4α και ύστερα προσθέτουμε το β και στα δύο μέλη, για να προκύψει ένα «τέλειο» τετράγωνο στο αριστερό μέλος. Δηλαδή

75 . Εξισώσεις ου βαθμού 75 4α 4αβ 4αγ 4α 4αβ β β 4αγ α β β 4αγ α β β 4 αγ, εφόσον β 4αγ 0. β β 4αγ Έτσι προκύπτει ότι: α Σχόλιο: Η απλότητα της μεθόδου των Ινδών χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το κλάσμα δεν εμφανίζεται. παρά μόνο στο τελευταίο βήμα. Μέθοδος του Vieta Η εξίσωση ου βαθμού α β γ 0, α 0 μπορεί να λυθεί ευκολότερα, αν δεν περιέχει τον πρωτοβάθμιο όρο β, πράγμα που μπορεί εύκολα να επιτευχθεί με την αντικατάσταση β y () α β β Τότε η εξίσωση γίνεται: α y β y γ 0 η οποία όταν απλοποιηθεί α α γίνεται: β4αγ αy 0. 4α β 4αγ Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι y εφόσον β 4αγ 0 α Για να βρούμε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης αντικαθιστούμε την παραπάνω τιμή του y στην () και έχουμε: Οπότε β β 4αγ β y α α α β β 4αγ. α Σχόλιο: Η μέθοδος αυτή του Vieta είναι ενδιαφέρουσα, γιατί είναι ο προάγγελος της τεχνικής για την επίλυση της γενικής τριτοβάθμιας καθώς και της διτετράγωνης εξίσωσης. Για παράδειγμα, το πρώτο βήμα στην επίλυση της εξίσωσης α β γ δ 0, είναι η αντικατάσταση β y που απαλ- α λάσσει την εξίσωση από το δευτεροβάθμιο όρο.

76 76. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μέθοδος του Harriot Ο μαθηματικός Thomas Harriot (560-6) εφάρμοσε τη μέθοδο της παραγοντοποίησης, για να βρει τις λύσεις μιας εξίσωσης ου βαθμού, στο μεγάλο έργο του για την άλγεβρα «Artis Analytical Prais». Η τεχνική του είναι η εξής περίπου: Υποθέτουμε ότι και είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης α β γ 0, α 0 (). Σχηματίζουμε τώρα μία εξίσωση με ρίζες και. Αυτή είναι η 0 ή,ισοδύναμα, η 0 () Με διαίρεση των μελών της () με α 0, βρίσκουμε: β γ 0 α α () Επειδή οι εξισώσεις () και () είναι ίδιες, οι αντίστοιχοι συντελεστές πρέπει να είναι ίσοι. Επομένως: β γ και (4) α α 4 σε συνδυασμό με την (4) δίνει Η ταυτότητα β 4αγ, [εφόσον β 4αγ 0] (5) α Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4) και (5) έχουμε: β β 4αγ β β 4αγ και α α Σχόλιο: Είναι αρκετό να θεωρήσουμε μόνο τη θετική τετραγωνική ρίζα της (5). Η αρνητική ρίζα απλώς εναλλάσσει τη διάταξη των και.

77 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς. Γενικότερα έχουμε: α β 0 α β β β α β Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: Αν α 0, τότε: α β α β α α β α Αν α 0, τότε: α β α β α α β α Αν α 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0 β, η οποία αληθεύει για κάθε, αν είναι β 0, ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β 0. Για παράδειγμα: Η ανίσωση 4 8γράφεται:

78 78. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Επομένως η ανίσωση αυτή αληθεύει για (, ) Η ανίσωση 4 8γράφεται: Επομένως η ανίσωση αυτή αληθεύει για (, ). Η ανίσωση 0 αληθεύει για κάθε, ενώ η ανίσωση 0 είναι αδύνατη. ΕΦΑΡΜΟΓΗ i) Να λυθούν οι ανισώσεις: ii) και 4 6 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων. ΛΥΣΗ i) Για την πρώτη ανίσωση έχουμε: Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό 5. Για τη δεύτερη ανίσωση έχουμε: Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό

79 . Ανισώσεις ου βαθμού 79 ii) Επειδή η πρώτη ανίσωση αληθεύει για 5 και η δεύτερη για, οι ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε πραγματικό αριθμό με 5, δηλαδή οι ανισώσεις συναληθεύουν όταν,5. Για τον προσδιορισμό των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων μας διευκολύνει να παραστήσουμε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα (Σχήμα), απ όπου προκύπτει ότι 5 Ανισώσεις με απόλυτες τιμές Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της απόλυτης τιμής και της έννοιας της απόστασης δύο αριθμών, μπορούμε να επιλύουμε ανισώσεις που περιέχουν απόλυτες τιμές. Στη συνέχεια θα δούμε μερικά παραδείγματα επίλυσης τέτοιων ανισώσεων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η ανίσωση:. ΛΥΣΗ Η επίλυση της ανίσωσης, με τη βοήθεια της ιδιότητας 0 ρ 0 ρ 0 ρ γίνεται ως εξής: 5 Μπορούμε όμως να λύσουμε την παραπάνω ανίσωση και με τη βοήθεια της ιδιότητας ρρ ρ ως εξής: 5.. Άρα η ανίσωση αληθεύει για,5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η ανίσωση: 5.

80 80. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΛΥΣΗ Από την ιδιότητα ρ ρ ή ρ έχουμε : 5 5 ή 5 4 ή 6 ή Άρα η ανίσωση αληθεύει για,,. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) 4 6 iii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5 και.. Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις: και. 4. Να βρείτε τα για τα οποία συναληθεύουν οι ανισώσεις: και Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) 4 iii) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) 4 iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 6 6 ii).

81 . Ανισώσεις ου βαθμού 8 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 5 ii) ii). 9. Να λύσετε την ανίσωση Να βρείτε την ανίσωση της μορφής 0 ρ, που έχει ως λύσεις τους α- ριθμούς του διαστήματος 7,.. Η σχέση που συνδέει τους βαθμούς Κελσίου C F είναι η 9 F C. Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πό- 5 λη κυμάνθηκε από 4 F θερμοκρασίας σε C. Β ΟΜΑΔΑΣ με τους βαθμούς Φαρενάϊτ μέχρι 50 F. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της. Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει: i) 4 6 ii) 4.. Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει: i) 4 ii) Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 5 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. i) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; ii) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης 5 και να βρείτε τις λύσεις της. iii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας. 4. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 7 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. i) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; ii) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης 7 6 και να βρείτε τις λύσεις της. iii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας, αφού προηγουμένως συντάξετε πίνακα προσήμου των παραστάσεων και 7.

82 . ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Μορφές τριωνύμου α β γ, α 0 λέγεται τριώνυμο ου βαθμού ή, πιο απλά, Η παράσταση τριώνυμο. Η διακρίνουσα Δ της αντίστοιχης εξίσωσης α β γ 0 λέγεται και διακρίνουσα του τριωνύμου. Οι ρίζες της εξίσωσης Δ α β γ 0, δηλαδή οι β Δ και β ονομάζονται α α και ρίζες του τριωνύμου. Το τριώνυμο α β γ, α 0 μετασχηματίζεται ως εξής: β γ α α α β γ α β β β γ α α α α α β 4αγ β α. α 4α Επομένως: β Δ α β γ α α 4α Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: Δ 0. Τότε ισχύει Δ Δ, οπότε έχουμε: β Δ α β γα α α β Δ β Δ α α α α α β Δ β Δ α α α. Επομένως: α β γ α, όπου, οι ρίζες του τριωνύμου. ().

83 . Ανισώσεις ου Βαθμού 8 Άρα, όταν Δ 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο πρωτοβάθμιους παράγοντες. Δ 0. Τότε από την ισότητα () έχουμε: β α β γ α α. Άρα, όταν Δ 0, τότε το τριώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί ένα τέλειο τετράγωνο. Δ 0. Τότε ισχύει Δ Δ, οπότε έχουμε: β Δ α β γ α α 4α Επειδή για κάθε, η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική, το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για τις μορφές του τριωνύμου α β γ, α 0 με διακρίνουσα Δ έχουμε: Αν Δ 0,τότε:, α β γ α όπου, οι ρίζες του τριωνύμου. Αν Δ 0, τότε: Αν Δ 0, τότε: Για παράδειγμα: Το τριώνυμο. Επομένως: α β γ α α β γ α β α. β Δ. α 4α έχει Δ και ρίζες και. 9 9 β Το τριώνυμο έχει Δ 94 0 και α. Επομένως:

84 84. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Το τριώνυμο έχει Δ= 4 0. Επομένως: Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου Για να μελετήσουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου α β γ, α 0, θα χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του ανάλογα με τη διακρίνουσα. Αν Δ 0, τότε,όπως είδαμε προηγουμένως, ισχύει: α β γα. Υποθέτουμε ότι και τοποθετούμε τις ρίζες σε έναν άξονα. Παρατηρούμε ότι: Αν (Σχήμα), τότε 0 και 0., οπότε 0 Επομένως, λόγω της, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α. Αν (Σχήμα), τότε 0 και 0., οπότε 0 Επομένως, λόγω της, το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α. Αν (Σχήμα), τότε 0 και 0., οπότε 0 Επομένως, λόγω της, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α. Αν Δ 0, τότε ισχύει: β α β γα. α Επομένως, το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε πραγματικό β α, ενώ μηδενίζεται για β. α

85 . Ανισώσεις ου Βαθμού 85 Αν Δ 0, τότε ισχύει: β Δ α β γα. α 4α Όμως η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι θετική για κάθε πραγματικό αριθμό. Επομένως το τριώνυμο είναι ομόσημο του α σε όλο το. Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα: Το τριώνυμο α β γ α, 0 γίνεται: Ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0 και για τις τιμές του, που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. Μηδέν, όταν η τιμή του είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου. Ομόσημο του α σε κάθε άλλη περίπτωση. Ανισώσεις της μορφής α +β+γ > 0 ή α +β+γ < 0 Τα προηγούμενα συμπεράσματα χρησιμοποιούνται στην επίλυση ανισώσεων της μορφής α β γ 0 ή α β γ 0, a 0, τις οποίες ονομάζουμε ανισώσεις δευτέρου βαθμού. Ο τρόπος επίλυσης αυτών φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθούν οι ανισώσεις i) 0 (ii) 0 ΛΥΣΗ Ζητάμε τις τιμές του, για τις οποίες το τριώνυμο είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii). Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς και και, επειδή α 0, το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. f ( ) 0 0

86 86. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι: i) Η ανίσωση 0 έχει λύσεις τα για τα οποία ισχύει ή, δηλαδή τα,,. Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ii) Η ανίσωση 0 έχει λύσεις τα για τα οποία ισχύει, δηλαδή τα,. Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί η ανίσωση. 0 ΛΥΣΗ Ζητάμε τις τιμές του, που είναι λύσεις της ανίσωσης 0 ή ρίζες της εξίσωσης 0. Επομένως σύμφωνα με το ο παράδειγμα οι λύσεις της ανίσωσης 0 είναι τα, με, δηλαδή τα,. Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθούν οι ανισώσεις i) 0 (ii) 0 ΛΥΣΗ Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ 0, οπότε έχει διπλή ρίζα την. Άρα το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό, για κάθε με.

87 . Ανισώσεις ου Βαθμού 87 Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης (i) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, με, ενώ η ανίσωση (ii) είναι αδύνατη. Οι λύσεις της (i) εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 ο Να λυθεί η ανίσωση 0 ΛΥΣΗ Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ 0, οπότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό, για κάθε. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 45 0 και 6 0. ΛΥΣΗ Λύνουμε κάθε ανίσωση χωριστά και μετά βρίσκουμε τις κοινές λύσεις. Έχουμε: ή Άρα οι ανισώσεις συναληθεύουν για,5. η Δίνεται η εξίσωση α α4 0, α i) Να βρεθεί η διακρίνουσα της εξίσωσης και να μελετηθεί το πρόσημό της. ii) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες; iii) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; iv) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση είναι αδύνατη στο ; ΛΥΣΗ i) Έχουμε:

88 88. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Δ α 4 α 4 α α 5. Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα είναι ένα τριώνυμο του α με διακρίνουσα Δ Επομένως η διακρίνουσα Δ έχει ρίζες: 8 8 α 5 και α. και το πρόσημο της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. α 5 Δ 0 0 Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι: ii) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες αν Δ 0, δηλαδή αν α ή α 5. iii) Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα αν Δ 0, δηλαδή αν α ή α 5. iv) Η εξίσωση είναι αδύνατη αν Δ 0, δηλαδή α 5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: i) ii).. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i). ii) iii) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i) 5 ii) iii) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: i) 4 ii) 9 6 iii).

89 . Ανισώσεις ου Βαθμού Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 0 ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 4 4 ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 5 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση 0. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει:. 4. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις 65 0 και Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τις παραστάσεις: α αβ β και α αβ 6β. ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση α αββ α αβ6β.. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο β α αβ.. Να απλοποιήσετε την παράσταση α β αβ α α.

90 90. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4. Δίνεται η εξίσωση λ λλ50, λ. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: i) έχει ρίζες ίσες ii) έχει ρίζες άνισες iii) είναι αδύνατη. 5. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε. λ λ 0 6. Δίνεται το τριώνυμο λ λ λ, λ. i) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση Δ 0. ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ λ λ0, λ αληθεύει για κάθε. 7. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Να βρείτε τις θέσεις του σημείου Μ πάνω στη διαγώνιο ΑΓ για τις οποίες το άθροισμα των εμβαδών των σκιασμένων τετραγώνων είναι μικρότερο από i) Να αποδείξετε ότι α αβ β 0 για όλα τα α, β με α, β 0. ii) Να καθορίσετε το πρόσημο της παράστασης Α α β β α για τις διάφορες τιμές των α, β 0.

91 . ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Πρόσημο γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P Α Β... Φ Α, Β,, Φ είναι ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες της μορφής α β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής α β γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P, όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του το πρόσημο του γινομένου P 6. ΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: Επειδή 0, το είναι θετικό για, μηδέν για και αρνητικό για. Επειδή 60 0 ή, το 6 είναι θετικό για και για, μηδέν για και για και αρνητικό για. Επειδή το έχει διακρίνουσα Δ 87 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων P Ώστε το γινόμενο P είναι θετικό για και για, ενώ είναι αρνητικό για και για. Τέλος είναι μηδέν για, για και για.

92 9. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις της μορφής Α Β... Φ 0 ( 0)... 0 ( 0), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής Α Β Φ 6 0 Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του είναι για τις οποίες το γινόμενο P 6 αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν,,. Ανισώσεις της μορφής Α 0 ( 0) Β P Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως: Α 0 Α Β 0 Β Α Β αφού, καμία από τις λύσεις της Α Β 0 και της μηδενίζει το Β. 0 Α Β 0, Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση 0. 6 Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την 6 0, Α Β 0 δεν δηλαδή με την P 0, η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P αληθεύει όταν,,. ΣΧΟΛΙΟ Α Μία ανίσωση της μορφής 0 αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύουν Β συγχρόνως και Α Β 0 Β 0.

93 . Ανισώσεις γινόμενο & Ανισώσεις πηλίκο 9 4 Έστω για παράδειγμα η ανίσωση 0. Έχουμε: και Οι ρίζες του τριωνύμου 4 είναι οι και 4. Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου: 4 είναι οι και, ενώ του τριωνύμου P ( ) P ( ) Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν, 4,. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P.. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου 4 P.. Να λύσετε την ανίσωση Να λύσετε την ανίσωση Να λύσετε την ανίσωση Να λύσετε την ανίσωση 0.

94 94. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 7. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση 0. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 4 ii) Να λύσετε την ανίσωση Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) Να λύσετε την ανίσωση. 5. Μία εταιρεία παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες. Για ένα συγκεκριμένο τύπο λαμπτήρων το τμήμα έρευνας αγοράς της εταιρείας εκτιμά ότι αν η τιμή πώλησης των λαμπτήρων είναι ευρώ ανά λαμπτήρα, τότε το εβδομαδιαίο κόστος Κ και τα αντίστοιχα έσοδα Ε (σε χιλιάδες ευρώ) δίνο- νται από τους τύπους Κ 7 και Ε 5. Να βρείτε τις τιμές πώλησης των λαμπτήρων για τις οποίες η εταιρεία έχει κέρδος. 6. Ένα φάρμακο είναι αποτελεσματικό αν η συγκέντρωσή του στο κυκλοφορικό σύστημα υπερβαίνει μία ορισμένη τιμή, που καλείται ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο. Υποθέτουμε ότι η συγκέντρωση σ ενός φαρμάκου, t 0t ώρες ύστερα από τη λήψη του, δίνεται από τον τύπο σ mgr / lt. t 4 Αν για το συγκεκριμένο φάρμακο το ελάχιστο θεραπευτικό επίπεδο είναι 4 mgr / lt, να βρείτε πότε η συγκέντρωσή του θα ξεπεράσει το επίπεδο σ.

95 . Ανισώσεις γινόμενο & Ανισώσεις πηλίκο 95 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.. Αν η ανίσωση γ 0 είναι αδύνατη τότε: Α) γ Β) γ Γ) γ Δ) γ.. Αν η ανίσωση γ 0 αληθεύει για κάθε, τότε: Α) γ Β) γ Γ) γ Δ) γ.. Αν η ανίσωση λ λ 0 αληθεύει για κάθε, τότε: Α) λ 0 Β) λ 0 Γ) λ Δ) λ Η εξίσωση 5 4 αληθεύει αν και μόνο αν: Α) Β) 5 Γ) 5 Δ) Η εξίσωση : Α) Είναι αδύνατη Β) Έχει μοναδική λύση τη Γ) Έχει άπειρες λύσεις Δ) Είναι ταυτότητα. II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Η ανίσωση λ λ 0, με λ 0, αληθεύει για όλα τα.. Η ανίσωση λ 4λ 5 0, με λ 0, αληθεύει για όλα τα.. Οι ανισώσεις ( ) 0 και 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. 4. Οι ανισώσεις ( ) 0 και 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. 5. Οι ανισώσεις και έχουν τις ίδιες λύσεις. 6. Οι ανισώσεις 0 και 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. 7. Οι ανισώσεις τις ίδιες λύσεις. 0 και 0 έχουν Α Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

96 96. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 8. Οι ανισώσεις 0 και ( )( ) 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. 9. Οι ανισώσεις 0 και ( )( ) 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. 0. Οι ανισώσεις και έχουν τις ίδιες λύσεις. Α Α Α Ψ Ψ Ψ III. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα τριώνυμα της Α ομάδας με την ισοδύναμη μορφή του από τη Β ομάδα. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ Α Β Γ Δ 6 4 IV. Να εντοπίσετε το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:. Η ανίσωση 6 0 γράφεται ισοδύναμα: και 0 και. Όμως ο αριθμός 0, αν και είναι μικρότερος του, επαληθεύει τη δοθείσα ανίσωση. 4. Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα: Όμως ο αριθμός, αν και είναι μεταξύ του και του, δεν επαληθεύει τη δοθείσα ανίσωση.. Η ανίσωση ( ) ( ) 0 γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( ) 0 0. Όμως ο αριθμός, αν και είναι μικρότερος του, επαληθεύει τη δοθείσα ανίσωση.

97 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εισαγωγή Σε πολλά καθημερινά φαινόμενα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται έτσι, ώστε η τιμή του ενός να καθορίζει την τιμή του άλλου. Η διαδικασία με την οποία κάθε τιμή του ενός μεγέθους αντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του άλλου μεγέθους, πολλές φορές περιγράφεται από ένα μαθηματικό τύπο, όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα.. Ο τόκος Τ σε ευρώ που αποδίδει κεφάλαιο 5000 ευρώ σε ένα έτος με ε ετήσιο επιτόκιο ε%, δίνεται κατά τα γνωστά από τον τύπο Τ Ο τύπος αυτός περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του ε αντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του Τ. Για παράδειγμα, αν ε, τότε Τ 50, ενώ αν ε 5, τότε Τ 50 κτλ.. Το διάστημα S σε km που διανύθηκε από ποδηλάτη σε χρονικό διάστημα h, με μέση ταχύτητα υ σε km/h, δίνεται από τον τύπο S υ. Ο τύπος αυτός περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του υ α- ντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του S. Για παράδειγμα, αν υ 60, τότε S 0, ενώ αν υ 70, τότε S 40, κτλ.. Το εμβαδό Ε ενός κύκλου ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο Ε πρ. Ο- μοίως και ο τύπος αυτός περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του ρ αντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του Ε. Για παράδειγμα αν ρ, τότε Ε π, ενώ αν ρ, τότε Ε 4π κτλ. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου η διαδικασία αντιστοίχισης ανάμεσα στις τιμές δύο μεγεθών δεν περιγράφεται ή έστω δεν γνωρίζουμε αν περιγράφεται από κάποιο τύπο. Για παράδειγμα: Οι ώρες της ημέρας και οι αντίστοιχες θερμοκρασίες τους.

98 98 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οι μέρες του έτους και οι τιμές ενός ξένου νομίσματος (π.χ. του δολαρίου). Παρατηρούμε ότι σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα υπάρχει κάποια διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Μια τέτοια διαδικασία λέγεται συνάρτηση από το Α στο Β. Δηλαδή: ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της f. Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f, g, h κτλ. του Λατινικού αλφαβήτου. Αν με μια συνάρτηση f από το Α στο Β, το Α αντιστοιχίζεται στο y Β, τότε γράφουμε: y f και διαβάζουμε «y ίσον f του». Το f λέγεται τότε τιμή της f στο. Τo γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της f, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το σύνολο, που έχει για στοιχεία του τις τιμές f ( ) για όλα τα Α, λέγεται σύνολο τιμών της f και το συμβολίζουμε με f Α. Η παραπάνω συνάρτηση συμβολίζεται ως εξής: f : Α Β f( ) Έτσι π.χ. η συνάρτηση f, με την οποία κάθε μη αρνητικός αριθμός αντιστοιχίζεται στην τετραγωνική του ρίζα, συμβολίζεται ως εξής: f :0, Για καλύτερη κατανόηση του παραπάνω ορισμού ας δούμε τα παραδείγματα που ακολουθούν: ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω f η συνάρτηση με την οποία κάθε ημέρα μιας ορισμένης εβδομάδας ενός μήνα αντιστοιχίζεται στην υψηλότερη θερμοκρασία της.

99 4. Η έννοια της συνάρτησης 99 Για τη συνάρτηση αυτή, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Α,,,4,5,6,7}, ενώ το σύνολο τιμών το σύνολο f (Α) 9,,,, 5 Β Με αφορμή το παράδειγμα αυτό τονίζουμε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης f :Α Β. Κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Μερικά στοιχεία του Β μπορεί να μην αποτελούν τιμές της f (π.χ. 8 0 ). Δύο ή περισσότερα στοιχεία του Α μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του Β (π.χ. τα και 7 αντιστοιχίζονται στο ). ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρούμε τα σύνολα Α={α, β, γ} και Β={,,, 4, 5}, καθώς επίσης και τα παρακάτω σχήματα (βελοδιαγράμματα). Παρατηρούμε ότι: Το σχήμα (α) παριστάνει συνάρτηση, αφού κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το σχήμα (β) δεν παριστάνει συνάρτηση, αφού το σε δύο στοιχεία του Β. Το σχήμα (γ) δεν παριστάνει συνάρτηση, αφού το γ Α δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του Β. Το σχήμα (δ) δεν παριστάνει συνάρτηση. Πρώτον διότι το α Α αντιστοιχίζεται αντιστοιχίζεται σε κανένα στοιχείο του Β και δεύτερον διότι το αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του Β. γ Α δεν α Α

100 00 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ Σχήμα δ Συντομογραφία συνάρτησης Είδαμε παραπάνω ότι, για να οριστεί μια συνάρτηση f, πρέπει να δοθούν τρία στοιχεία: Το πεδίο ορισμού της Α Το σύνολο Β και Το f για κάθε Α Οι συναρτήσεις, με τις οποίες θα ασχοληθούμε στο βιβλίο αυτό, είναι της μορφής f :Α Β, όπου Α και Β, είναι δηλαδή, όπως λέμε, πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Πολλές φορές αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνον τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f. Λέμε π.χ. δίνεται «η συνάρτηση f, με f 4» ή, πιο σύντομα, «η συνάρτηση 4 «η συνάρτηση y 4». Σε μια τέτοια περίπτωση θα θεωρούμε συμβατικά ότι: f» ή, ακόμα, Το πεδίο ορισμού Α της f είναι το «ευρύτερο» από τα υποσύνολα του στα οποία το f έχει νόημα. Το σύνολο Β είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έτσι για τη συνάρτηση f 4 το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Α, 4, αφού πρέπει 4 0, ενώ το σύνολο Β είναι όλο το.

101 4. Η έννοια της συνάρτησης 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Πολλές φορές μια συνάρτηση περιγράφεται με έναν τύπο που έχει κλάδους, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση:, αν 0 f., αν 0 Για να υπολογίσουμε τις τιμές της f στα σημεία, 0 και εργαζόμαστε ως εξής: Για 0 Για 0, από τον κλάδο f, έχουμε: f., από τον κλάδο f f 0 0. Τέλος, για 0, έχουμε:, από τον κλάδο f f 0., έχουμε: ΣΧΟΛΙΟ Αν και, γενικά, χρησιμοποιούμε το γράμμα f για τα συμβολισμό μιας συνάρτησης και το γράμμα για το συμβολισμό του τυχαίου στοιχείου του πεδίου ορισμού της, ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα. Έτσι για παράδειγμα οι f 47, gt t 4t7 και hs s 4s 7 ορίζουν την ίδια συνάρτηση. Επομένως το στον τύπο μιας συνάρτησης θα παίζει το ρόλο μιας «άδειας θέσης». Με αυτό το σκεπτικό, η παραπάνω συνάρτηση θα μπορούσε να έχει τη μορφή f 4 7, όπου οι παρενθέσεις έχουν πάρει τη θέση ενός γράμματος. Έτσι για να υπολογίσουμε το f απλά τοποθετούμε το στις θέσεις, που ορίζουν οι παρενθέσεις: Ομοίως, έχουμε f f Υπάρχει όμως και μια παραπέρα απλοποίηση των εκφράσεών µας που σχετίζονται µε συναρτήσεις. Πολλές φορές αντί να λέμε «η συνάρτηση

102 0 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ s t gt», θα λέµε «η συνάρτηση s gt», δηλαδή γράφουμε s υπονοώντας το s(t). Αυτή η απλοποίηση γίνεται συχνότατα σε διάφορες επιστή- μες, που χρησιμοποιούν τη μαθηματική γλώσσα και τα μαθηματικά εργαλεία, όπως η φυσική, η χημεία κτλ. Συνήθως στις περιπτώσεις αυτές υπάρχει κάποιο πείραμα, όπου το t είναι η τιμή ενός μεγέθους, που υπεισέρχεται στο πείραμα, και το s(t) η αντίστοιχη τιμή κάποιου άλλου μεγέθους. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνα μόνο τα για τα οποία ισχύει ή, ισοδύναμα, για 0 και 0 και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α,, (Σχήμα) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f 4 5 ii) f 6 4 iii) f iv) f

103 4. Η έννοια της συνάρτησης 0. Ομοίως των συναρτήσεων: i) f ii) f iii) f 4 iv) f 4. Δίνεται η συνάρτηση f, αν 0, αν 0 Να βρείτε τις τιμές f 5, f 0 και 6 f. 4. Μια συνάρτηση f ορίζεται ως εξής: Σκέψου έναν φυσικό αριθμό, πρόσθεσε σ αυτόν το, πολλαπλασίασε το άθροισμα με 4 και στο γινόμενο πρόσθεσε το τετράγωνο του αριθμού. i) Να βρείτε τον τύπο της f και στη συνέχεια τις τιμές της για = 0,, και. Τι παρατηρείτε; ii) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει f( ) 6, f( ) 49, f( ) 00 και f( ) Δίνονται οι συναρτήσεις: i) f 4 5, ii) g 6 4 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: i) f( ) 7 ii) g ( ) και iii) και iii) h. h ( ). 5

104 4. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Καρτεσιανές συντεταγμένες Η παράσταση ενός σημείου του επιπέδου με ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, βοήθησε στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με αλγεβρικές μεθόδους. Η παράσταση αυτή, όπως μάθαμε σε προηγούμενες τάξεις, γίνεται ως εξής: Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες ' και yy ' με κοινή αρχή ένα σημείο Ο. Από αυτούς ο οριζόντιος ' λέγεται άξονας των τετμημένων ή άξονας των, ενώ ο κατακόρυφος yy ' άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y. Όπως είναι γνωστό, σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου των αξόνων μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος ( αβ, ) πραγματικών αριθμών και αντιστρόφως, σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος ( αβ, ) πραγματικών αριθμών, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα: Οι αριθμοί α, β λέγονται συντεταγμένες του Μ. Ειδικότερα ο α λέγεται τετμημένη και ο β τεταγμένη του σημείου Μ. Το σημείο Μ που έχει συντεταγμένες α και β συμβολίζεται με Μαβ (, ) ή, απλά, με ( αβ., ) Επειδή η ιδέα της χρησιμοποίησης ζευγών για την παράσταση σημείων του επιπέδου ανήκει στον Καρτέσιο, το παραπάνω ζεύγος των αξόνων το λέμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε Οy, ενώ το επίπεδο στο οποίο ορίστηκε το σύστημα αυτό το λέμε καρτεσιανό επίπεδο. Αν επιπλέον οι μονάδες των αξόνων έχουν το ίδιο μήκος, το σύστημα Οy λέγεται ορθοκανονικό. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στα επόμενα, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, όταν λέμε καρτεσιανό σύ-

105 4. Γραφική παράσταση συνάρτησης 05 στημα συντεταγμένων, θα εννοούμε ορθοκανονικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σύστημα Oy συντεταγμένων στο επίπεδο. Τότε: Τα σημεία του άξονα ' και μόνο αυτά έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν, ενώ τα σημεία του άξονα yy ' και μόνο αυτά έχουν τετμημένη ίση με το μηδέν Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια, που είναι τα εσωτερικά των γωνιών Oy, yo ', ' Oy ' και yo ' και ο- νομάζεται ο, ο, ο και 4 ο, τεταρτημόριο, α- ντιστοίχως. Τα πρόσημα των συντεταγμένων των σημείων τους φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Αν Ααβ, είναι ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, με τη βοήθεια της συμμετρίας ως προς άξονα και ως προς κέντρο, διαπιστώνουμε ότι: είναι το σημείο Δα, β Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα ' που έχει ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη (Σχ. α ). Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα ' που έχει ίδια τεταγμένη και αντίθετη τετμημένη (Σχ. α )., yy είναι το σημείο B αβ,, Το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Γ α, β, που έχει αντίθετες συντεταγμένες (Σχ. α ). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων είναι το σημείο Α' β, α που έχει τετμημένη την τεταγμένη του Α και τεταγμένη την τετμημένη του Α (Σχ. β ). Σχήμα α Σχήμα β

106 06 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απόσταση σημείων Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και, Α y και Β, y δύο σημεία αυτού. Θα δείξουμε ότι οι απόστασή τους δίνεται από τον τύπο: ΑΒ y y ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΒ του διπλανού σχήματος έχουμε: ( ΑΒ) ( ΚΑ) ( ΚΒ) οπότε: y y y y ΑΒ y y. Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που η ΑΒ είναι παράλληλη με τον άξονα ' (Σχήμα γ ) ή παράλληλη με τον άξονα yy ' (Σχήμα δ ). Σχήμα γ Σχήμα δ Για παράδειγμα, αν Α (,), Β (,5) και Γ (-,) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε θα είναι: ( ΑΒ) (-) (5) 4 4 ( ΑΓ) (--) ( ) 4 4 ( ΒΓ) (--) (5) Αφού, λοιπόν, είναι ( ΑΒ) ( ΑΓ ), το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και επειδή επιπλέον ισχύει ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ), το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ορ- θογώνιο.

107 4. Γραφική παράσταση συνάρτησης 07 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω C o κύκλος με κέντρο την αρχή O των αξόνων και ακτίνα ρ. Να αποδειχτεί ότι ένα σημείο Μ, y ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ισχύει y ρ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι προφανές ότι ένα σημείο Μ y, ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ισχύει ΟΜ ρ. Όμως ΟΜ y, οπότε έχουμε: ΟΜ ρ y ρ y ρ Επομένως το σημείο Μ y, ανήκει στο κύκλο C Ο, ρ, αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση y ρ () Η εξίσωση (), που ικανοποιείται από τις συντεταγμένες των σημείων του κύκλου C Ο, ρ και μόνο από αυτές, λέγεται εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Για παράδειγμα, η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι η y. Ο κύκλος αυτός λέγεται και μοναδιαίος κύκλος. Γραφική παράσταση συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M ( y, ) για τα οποία ισχύει y f( ), δηλαδή το σύνολο των σημείων M (, f( )), A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C f. Η εξίσωση, λοιπόν, y f( ) επαληθεύεται από τα σημεία της C f και μόνο από αυτά. Επομένως, η y f( ) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f. Για το λόγο αυτό, τη γραφική παράσταση C f της f τη συμβολίζουμε, πολλές φορές, απλά με την εξίσωσή της, δηλαδή με y f( ). Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. α ). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. β ).

108 08 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σχήμα α Σχήμα β Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, παίρνοντας τη συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τον άξονα και τούτο διότι η γραφική παράστασης της f αποτελείται από τα σημεία M (, f( )) που είναι συμμετρικά των σημείων M (, f( )) της γραφικής παράστασης της f ως προς τον άξονα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g, που είναι ορισμένες σε όλο το. i) Να βρείτε τις τιμές της f στα σημεία:,,, 0, και ii) Να λύσετε τις εξισώσεις: f( ) 0, f( ) & f( ) g( ). iii) Να λύσετε τις ανισώσεις: f( ) 0 και f( ) g( ). ΛΥΣΗ i) Είναι: f, f 0, f, f 0, f 0 και f. ii) Οι ρίζες της εξίσωσης f 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της f και του άξονα και. ', δηλαδή οι αριθμοί

109 4. Γραφική παράσταση συνάρτησης 09 Οι ρίζες της εξίσωσης f είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που έχουν τεταγμένη, δηλαδή οι αριθμοί και. Οι ρίζες της εξίσωσης f g( ) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g, δηλαδή οι αριθμοί, 0 και. iii) Οι λύσεις της ανίσωσης f 0 είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα τα (, ) (,. ) ', δηλαδή όλα Οι λύσεις της ανίσωσης f g( ) είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, δηλαδή όλα τα (, ) (0,). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να σημειώσετε σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τα σημεία: Α,,, 4 0,0 Γ, 0, 0, 5 Β, Ο,. Ένα σημείο Μ y, κινείται μέσα στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος. Ποιοι περιορισμοί ισχύουν για τα, y ;. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α,, i) ως προς τον άξονα ' ii) ως προς τον άξονα y ' y iii) ως προς τη διχοτόμο της γωνίας iv) ως προς την αρχή O των αξόνων. Ο y Δ και, Ε. 4. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων: 4, i) 0,0 Ο και Α, ii) Α, και, 4 Β, iii) Α, και Β,, iv) Α, και, 4 Β.

110 0 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5. Να αποδείξετε ότι: i) Τα σημεία Α,, Β 4,- και,5 τριγώνου. ii) Τα σημεία Α,, Β, και 4, τριγώνου. Γ είναι κορυφές ισοσκελούς Γ είναι κορυφές ορθογωνίου 6. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο με κορυφές τα σημεία:,5 5,, Δ, Α, Β, Γ, και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι αυτό είναι ρόμβος. 7. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την τιμή του k για την οποία το σημείο Μ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. i) f k, Μ,6 ii) g k, Μ,8 iii) h k,,8 Μ. 8. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις, να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες. i) f 4 ii) g iii) h( ) iv) q v) φ vi) ψ Δίνεται η συνάρτηση f. Να βρείτε: i) Τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. ii) Τις τετμημένες των σημείων της ξονα '. C f που βρίσκονται πάνω από τον ά- 0. Δίνεται οι συναρτήσεις f 5 4 και g 6 i) Τα κοινά σημεία των C f και C g. ii) Τις τετμημένες των σημείων της. Να βρείτε: C f που βρίσκονται κάτω από την C g.

111 4. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: f ( ) α β Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα στο σημείο Α. Τη γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Α, όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά () μέχρι να πέσει πάνω στην ευθεία ε, τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα ή συμπίπτει με αυτόν, τότε λέμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω 0. Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0 ω 80. Ως συντελεστή διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας ε συμβολίζεται συνήθως με λε ή απλά με λ. Είναι φανερό ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι θετικός, αν η γωνία ω είναι οξεία, αρνητικός, αν η γωνία ω είναι αμβλεία και μηδέν, αν η γωνία ω είναι μηδέν. Στην περίπτωση που η γωνία ω είναι ίση με 90, δηλαδή όταν η ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα, δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την ε. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) α β Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f ( ) 0,5. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο Γυμνάσιο, η γραφική παράσταση της f είναι ευθεία γραμμή με εξίσωση y 0,5 (Σχήμα). () Ως θετική φορά περιστροφής εννοούμε τη φορά κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ο ημιάξονας Ο για να συμπέσει με τον ημιάξονα Οy, αφού προηγουμένως διαγράψει γωνία 90 0.

112 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ευθεία αυτή: Τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(-,0), αφού για y 0 βρίσκουμε, και τον άξονα yy ' στο σημείο Β(0,), αφού για 0 βρίσκουμε y και Έχει κλίση: (ΟΒ) λεφω 0,5 (ΟΑ) Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας y 0,5 είναι ίση με το συντελεστή του. Γενικά, όπως θα αποδείξουμε στην Β Λυκείου, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) α β είναι μία ευθεία, με εξίσωση y α β, η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ α. Είναι φανερό ότι: αν α 0, τότε 0 ω 90 αν α 0, τότε 90 ω 80 αν α 0, τότε ω 0. Στην περίπτωση που είναι α 0, η συνάρτηση παίρνει την μορφή f( ) β και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία Α(, y ) και Β(, y ) της ευθείας y α β.

113 4. Η συνάρτηση f()=α+β Τότε θα ισχύει: y α β και y α β, οπότε θα έχουμε: y y ( α β) ( α β) α( ). Επομένως θα είναι: y y α Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(,) και B (,6) 6 έχει κλίση α 0,75. Επομένως, η ευθεία αυτή σχηματίζει με τον ( ) άξονα γωνία ω με εφω 0,75, οπότε θα είναι ω 6,87. Η συνάρτηση f( ) α Αν β 0, τότε η f παίρνει τη μορφή f( ) α, οπότε η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y α και περνάει από την αρχή των αξόνων. Ειδικότερα: Για α έχουμε την ευθεία y=. Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα, ισχύει εφω α, δηλαδή ω 45 ο. Επομένως η ευθεία y είναι η διχοτόμος των γωνιών Oy ˆ και Oy ˆ των αξόνων. Για α έχουμε την ευθεία y. Για τη γωνία ω, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα, ισχύει εφω α, δηλαδή ω 5 ο. Επομένως η ευθεία y είναι η διχοτόμος των γωνιών yo ˆ και yo ˆ των αξόνων. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε και ε με εξισώσεις y α β και y α β αντιστοίχως και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα γωνίες ω και ω αντιστοίχως. Αν α α, τότε εφω εφω, οπότε ω ω και άρα οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Ειδικότερα :

114 4 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν α ακαι β β, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Σχ. α ), ενώ Αν α α και β β, τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Αν α α, τότε εφω εφω, οπότε ω ω και άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται. (Σχ. β ) Σχήμα α Σύμφωνα με τα παραπάνω συμπεράσματα: Οι ευθείες της μορφής y α, με α, όπως είναι για παράδειγμα οι ευθείες: y, y, y κτλ., διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο, το σημείο του άξονα yy ' Γενικά, οι ευθείες της μορφής y α β, όπου β σταθερό και α μεταβλητό διέρχονται όλες από το Σχήμα β σημείο β του άξονα yy. ' Οι ευθείες της μορφής y β, β, όπως είναι για παράδειγμα οι ευθείες: y, y, y κτλ., είναι παράλληλες μεταξύ τους, αφού έχουν όλες κλίση α= Γενικά, οι ευθείες της μορφής y α β, όπου α σταθερό και β μεταβλητό, είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους.

115 4. Η συνάρτηση f()=α+β 5 Η συνάρτηση f Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε:, αν 0 f, αν 0 Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τις δύο ημιευθείες: y, με 0 και y, με 0 που διχοτομούν τις γωνίες ' Oy ˆ και Oy ˆ αντιστοίχως. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σε όλο το. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β και στη συνέχεια να δείξετε ότι η ευθεία αυτή διέρχεται και από το σημείο Γ. ii) Να λύσετε γραφικά την ανίσωση f( ) 0,5. ΛΥΣΗ i) Η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση της μορφής y α β και επειδή διέρχεται από τα σημεία Α,0 και Β 0, θα ισχύει: 0α β και α0 β, οπότε θα έχουμε: α 0,5 και β Άρα η εξίσωση της ΑΒ είναι: y 0,5. Για να δείξουμε τώρα ότι το σημείο Γ

116 6 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ανήκει στην ευθεία ΑΒ, αρκεί να δείξουμε ότι το ζεύγος, των συντεταγμένων του επαληθεύει την εξίσωση αυτής, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι 0,5, που ισχύει. ii) Οι λύσεις της ανίσωσης f 0,5 είναι οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από την ευθεία με εξίσωση y 0,5, δηλαδή πάνω από την ευθεία ΑΒ. Επομένως, η ανίσωση αυτή αληθεύει για,0,. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα ' η ευθεία: i) y ii) y iii) y iv) y.. Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία: i) A (, ) και B (,) ii) A (, ) και B (,) iii) A (,) και B(,) iv) A (, ) και B (,).. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία: i) Έχει κλίση α και τέμνει τον άξονα y ' y στο σημείο B(0, ). ii) Σχηματίζει με τον άξονα y ' y στο σημείο B (0,). ' γωνία ω 45 και τέμνει τον άξονα iii) Είναι παράλληλη με την ευθεία y και διέρχεται από το σημείο A (,).

117 4. Η συνάρτηση f()=α+β 7 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία: i) A (, ) και B (,) ii) A (, ) και B (,) iii) A (,) και B(,) iv) A (, ) και B (,). 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας C σε βαθμούς Celsius και της θερμοκρασίας F σε βαθμούς Fahrenheit είναι η 5 C = ( F- ) 9 Γνωρίζουμε ότι το νερό παγώνει σε 0 o C ή ο F και βράζει σε 00 o C ή ο F. Υπάρχει θερμοκρασία που να εκφράζεται και στις δύο κλίμακες με τον ίδιο αριθμό; 6. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: ì- +, αν < 0 f( ) = ï í, αν 0 < ï ïî +, αν 7. Στο διπλανό σχήμα δίνονται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σε όλο το και η ευθεία y=. Να λύσετε γραφικά: i) Τις εξισώσεις: f( ) και f ( ). ii) Τις ανισώσεις: f( ) και f ( ). 8. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και g= ( ) και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις: και. ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούμενο ερώτημα.

118 8 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Β ΟΜΑΔΑΣ. Η πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔΕ του παρακάτω σχήματος είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη στο διάστημα 6,5. i) Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης f σε κάθε ακέραιο [ 6,5]. ii) Να λύσετε τις εξισώσεις: f( ) 0, f( ) και f( ) iii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΔ και στη συνέχεια να λύσετε γραφικά την ανίσωση f ( ) 0,5.. Μια φωτεινή ακτίνα κινείται κατά μήκος της ευθείας y και ανακλάται στον άξονα '. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας κατά μήκος της οποίας κινείται η ανακλώμενη ακτίνα.. Σε μια δεξαμενή υπάρχουν 600 λίτρα βενζίνης. Ένα βυτιοφόρο που περιέχει 000 λίτρα βενζίνης αρχίζει να γεμίζει τη δεξαμενή. Αν η παροχή του βυτιοφόρου είναι 00 λίτρα το λεπτό και η δεξαμενή χωράει όλη τη βενζίνη του βυτιοφόρου: i) Να βρείτε τις συναρτήσεις που εκφράζουν, συναρτήσει του χρόνου t, την ποσότητα της βενζίνης: α) στο βυτιοφόρο και β) στη δεξαμενή. ii) Να παραστήσετε γραφικά τις παραπάνω συναρτήσεις και να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το βυτιοφόρο και η δεξαμενή έχουν την ίδια ποσότητα βενζίνης. 4. Στο διπλανό σχήμα το σημείο Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το Α προς το Β. Συμβολίζουμε με το μήκος της διαδρομής ΑΜ του σημείου Μ και με f ( ) το εμβαδόν του τριγώνου Μ ΓΔ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης E= f( ) και στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά.

119 4. Η συνάρτηση f()=α+β 9 5. Δύο κεριά Κ και Κ, ύψους 0cm το καθένα, άρχισαν να καίγονται την ίδια χρονική στιγμή και το πρώτο κερί κάηκε σε ώρες, ενώ το δεύτερο κάηκε σε 4 ώρες. Τα ύψη των κεριών Κ και Κ, συναρτήσει του χρόνου t, κατά το χρονικό διάστημα που καθένα από αυτά καιγόταν, παριστάνονται με τα ευθύγραμμα τμήματα k και k του παρακάτω σχήματος. i) Να βρείτε τις συναρτήσεις h h () t και h () h t που εκφράζουν, συναρτήσει του χρόνου t, τα ύψη των κεριών Κ και Κ αντιστοίχως. ii) Να βρείτε πότε το κερί Κ είχε διπλάσιο ύψος από το κερί Κ. iii) Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα και στη γενική περίπτωση που το αρχικό ύψος των κεριών ήταν ίσο με υ. Τι παρατηρείτε;

120 4.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f. Επειδή, αν 0 f,, αν 0 η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, θα α- ποτελείται από τις ημιευθείες y, με 0 και y, με 0, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα yy ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' Oy ˆ και Oy ˆ από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της φ (Σχήμα). φ Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της κατακόρυφα () και προς τα πάνω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει : που σημαίνει ότι για κάθε το του φ. Γενικά: f φ, για κάθε, f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f φ c, όπου c 0, είναι κατά μονάδα μεγαλύτερο προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α ) () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y ' y.

121 4.4 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Σχήμα α β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f f η γραφική παράσταση της f, θα αποτελείται από τις ημιευθείες y, με 0 και. Επειδή, αν 0,, αν 0 y, με 0, που έχουν αρχή το σημείο - του άξονα yy ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' Oy ˆ και Oy ˆ από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της φ (Σχήμα). φ Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f ισχύει : που σημαίνει ότι για κάθε το φ. του Γενικά:. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού f φ, για κάθε, f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f φ c, όπου c 0, είναι κατά μονάδα μικρότερο προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω (Σχήμα β )

122 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σχήμα β Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f. Επειδή f η γραφική παράσταση της f, θα αποτελείται από τις ημιευθείες y, με και, αν,, αν y, με, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' Oy ˆ και Oy ˆ από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της φ (Σχήμα). φ Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της οριζόντια () και προς τα δεξιά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f φ, για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ Γενικά: στη θέση. () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα '.

123 4.4 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με: f φ c, όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά (Σχήμα γ ). Πράγματι επειδή f φ c, η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση c, που βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα γ ). Σχήμα γ β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f. Επειδή, αν f,, αν η γραφική παράσταση της f, θα αποτελείται από τις ημιευθείες y, με και y, με, που έχουν αρχή το σημείο - του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' Oy ˆ και Oy ˆ από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της φ (Σχήμα). φ Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της οριζόντια και προς τα αριστερά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γρα-

124 4 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ φική παράσταση της f. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f φ, για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση. Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f φ c, όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά (Σχήμα δ ). Πράγματι επειδή f φ c, η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση c, που βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα δ ). Σχήμα δ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f( ). ΛΥΣΗ Αρχικά χαράσσουμε την y, που όπως είδαμε προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της y κατά μονάδες προς τα αριστερά. Στη συνέχεια χαράσσουμε την y,που όπως είδαμε προκύπτει από μια κα-

125 4.4 Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 5 τακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της y κατά μονάδες προς τα πάνω. Επομένως, η γραφική παράσταση της f( ) προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της συνάρτησης y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουμε για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής: f( ) φ( c) d, με cd, 0 Δηλαδή, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ. Ομοίως για τις συναρτήσεις: φ f g., και, h. Ομοίως για τις συναρτήσεις: φ F και q. G., και

126 6 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που αποτελείται από την διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο που ορίζουν τα σημεία O (0,0) και A (,0). Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( ) = φ( ) + και g ( ) = φ( ) - ii) h ( ) = φ( + ) και q ( ) = φ( - ) iii) F( ) = φ( + ) + και G ( ) = φ( -)-. 5. Δίνεται η συνάρτηση φ ( ). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ: i) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδα προς τα πάνω. ii) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω. iii) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα πάνω. iv) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα κάτω.

127 4.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονοτονία συνάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T f t που εκφράζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας t 0 μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας t 4. α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα 4,6 η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται.

128 8 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία αυξάνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t 4,6 με t t ισχύει: f t f t Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T f t είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4,6. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: f f Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. Πράγματι έστω,,με. Τότε έχουμε: f f Γενικά: Η συνάρτηση f α β, με α 0 είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Στο ίδιο σχήμα, παρατηρούμε επιπλέον ότι στο διάστημα 6,4 η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας κατέρχεται.

129 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης 9 Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία μειώνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t 6,4 με t t ισχύει: f t f t Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T f t είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 6,4. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: f f Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ Για παράδειγμα, η συνάρτηση f 5 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Πράγματι έστω,, με. Τότε έχουμε: 5 5 f f Γενικά: Η συνάρτηση f α β, με α 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης Ας θεωρήσουμε και πάλι τη γραφική παράσταση της συνάρτησης T f t.

130 0 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παρατηρούμε ότι: α) Τη χρονική στιγμή t 4 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει την ελάχιστη τιμή της, που είναι η f 4 βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f t f 4, για κάθε t 0,4 T f t f 4. Γενικά: Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση λάχιστο, το ΟΡΙΣΜΟΣ παρουσιάζει στο t 4 ε- Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 Α (ολικό) ελάχιστο όταν: f f 0, για κάθε Α Το 0 Α λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το 0 ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με min f. 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f 4 0, για κάθε, θα είναι 4 0, για κάθε, οπότε θα έχουμε 4, για κάθε. Επομένως: f f 0, για κάθε Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 0 f 0, το f ολικό ελάχιστο ή απλώς. Επειδή β) Τη χρονική στιγμή t 6 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει τη μέγιστη τιμή της, που είναι η T 6 βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f t f 6, για κάθε t 0,4 Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T f t μέγιστο, το f 6. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ παρουσιάζει στο t 6 Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 Α (ολικό) μέγιστο όταν f f 0, για κάθε Α

131 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης Το 0 Α λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f 0 ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της f και το συμβολίζουμε με ma f. 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f θα είναι οπότε θα έχουμε 4 0, για κάθε, 4 0, για κάθε, 4, για κάθε. Επομένως: f( ) f 0, για κάθε Άρα, η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 0 f 0., το. Επειδή Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής. ΣΧΟΛΙΟ: Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει και μέγιστο και ελάχιστο (Σχ. α) ή μόνο ελάχιστο (Σχ. β ) ή μόνο μέγιστο (Σχ. γ ) ή να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο (Σχ. δ ). Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ Σχήμα δ

132 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άρτια συνάρτηση α) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς τον άξονα y' y ανήκει στην C f. Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M ( y, ) της C f ως προς τον άξονα y' y είναι το σημείο M '( y, ) και επειδή τα σημεία M ( y, ) και M '( y, ) ανήκουν στην C f, θα ισχύει y f και y f, οπότε θα έχουμε: f f Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέμε λέγεται άρτια. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε Α ισχύει: Α f f και Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y 4 Για παράδειγμα, η συνάρτηση f είναι άρτια συνάρτηση, αφού έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: 4 4 f f Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. ' Περιττή συνάρτηση β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς την αρχή των αξόνων ανήκει στην C f.

133 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M ( y, ) της C f ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο M '(, y) και επειδή τα σημεία M ( y, ) και M '(, y) ανήκουν στην C f, θα ισχύει y f, οπότε θα έχουμε: f f Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται περιττή. Γενικά: y f και ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε Α ισχύει: Α και f f Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f είναι περιττή συνάρτηση, διότι έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: f f Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο όρος άρτια προέκυψε αρχικά από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις y, 4 6 y, y κτλ., που έχουν άρτιο εκθέτη, έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα yy, ' είναι δηλαδή άρτιες συναρτήσεις, ενώ ο όρος περιττή προέρχεται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις y, y, y κτλ., που έ- 5 χουν περιττό εκθέτη, έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, είναι δηλαδή περιττές συναρτήσεις. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορισμένα τμήματα της γραφικής παράστασης μιας άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ 6,6]. Να χαραχθούν και τα υπόλοιπα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής:

134 4 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f : i) είναι γνησίως αύξουσα, ii) είναι γνησίως φθίνουσα iii) είναι σταθερή. β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f, καθώς επίσης οι θέσεις των ακροτάτων αυτών. ΛΥΣΗ Επειδή η συνάρτηση f είναι άρτια, η γραφική της παράσταση θα έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. ' Επομένως, αν πάρουμε τα συμμετρικά ως προς τον άξονα yy ' των δοθέντων τμημάτων της γραφικής παράστασης της f, θα έχουμε ολόκληρη τη γραφική παράσταση της f, που είναι η πολυγωνική γραμμή Α Β Γ ΟΓΒΑ (Σχήμα). Από την παραπάνω γραφική παράσταση προκύπτει ότι: α) Η συνάρτηση f : i) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [0,] και [5,6], ii) είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [-,0] και [-6,- 5], τα οποία είναι συμμετρικά ως προς το Ο των διαστημάτων [0,] και [5,6] αντιστοίχως στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα [-5,- ] και [,5] τα οποία είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το Ο.

135 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης 5 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν το πάρει τις τιμές - 6 και 6. Δηλαδή ισχύει: ma f( ) f( 6) f(6) 4 Η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 0 και παρουσιάζεται όταν το πάρει την τιμή 0. Δηλαδή ισχύει: min f( ) f(0) 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι: α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα. ) Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. ) Να δείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ii) Η συνάρτηση g ( ) f( ) 6 0 παρουσιάζει ελάχιστο για. παρουσιάζει μέγιστο για. 4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές: 4 i) f 5 ii) f iii) f 5 iv) f4 v) f5 vi) f6.

136 6 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5) Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f iv) f ii) f iii) 4 v) f5 vi) f f ( ) 6 = -. 6) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. 7) Ομοίως για τις παρακάτω γραμμές 8) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης.

137 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση, Β,. διέρχεται από τα σημεία Α και. Οι ευθείες y α και y τέμνονται. Α Ψ. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. 4. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. Α Ψ 5. Υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση που διέρχεται από,, Γ,. τα σημεία Α, Β και 6. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και έχει ρίζα τον αριθμό, τότε θα ισχύει f (0) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α, και Β,5, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. 8. Αν η μέγιστη τιμή μιας συνάρτησης f είναι ίση με, τότε η εξίσωση f( ) είναι αδύνατη. 9. Η συνάρτηση f :-, με f Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ είναι άρτια. Α Ψ 0. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό ρ.. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Α Ψ. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή. Α Ψ II) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για την παρακάτω συνάρτηση f. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ 4, μιας οριζόντιας κατά μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω, έχει τύπο: 4 4 Α) f ( ) Β) f ( ), 4 4 Γ) f ( ) Δ) f ( ) Α Ψ

138 8 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η ιδέα της χρησιμοποίησης διατεταγμένων ζευγών για τα σημεία ενός επιπέδου και της περιγραφής καμπύλων με εξισώσεις, ανήκει στον Rene Descartes ( ) και στον Pierre de Fermat (60-665). Ο Descartes (Καρτέσιος) γεννήθηκε στη La Haye (σημερινή Ντερκατ) της Touraine και πέθανε στη Στοκχόλμη. Σε ηλικία 0 χρόνων εγγράφηκε στο Βασιλικό Κολλέγιο της La Fleche, όπου δίδασκαν Ιησουίτες. Από εκείνη τη στιγμή αρχίζει και το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά. Στη ζωή του υπήρξε φιλόσοφος, αλλά ένα μεγάλο μέρος του χρόνου του το διέθετε για τα μαθηματικά. Τα αποτελέσματα και οι μέθοδοί του, που δημοσίευσε το 67 στο βιβλίο του Le Geometrie, δημιούργησαν ένα νέο κλάδο των μαθηματικών που αργότερα ονομάστηκε Αναλυτική Γεωμετρία. Ο Καρτέσιος διείδε τη δύναμη της Άλγεβρας για τη λύση γεωμετρικών προβλημάτων και η σκέψη του αντιπροσώπευε μια ριζική απόκλιση από την μέχρι τότε επικρατούσα άποψη για τη Γεωμετρία. Ο όρος «Καρτεσιανές συντεταγμένες», οφείλεται στο όνομά του. Ο Fermat, που έζησε στην Toulouse της νότιας Γαλλίας, αν και ήταν νομικός στο επάγγελμα, υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 7ου αιώνα. Τις ιδέες του για συντεταγμένες στη Γεωμετρία, τυποποίησε στις αρχές του 69 και τις κυκλοφόρησε με αλληλογραφία, αλλά δεν δημοσιεύτηκαν πριν από το 679. Ο Fermat συνέδεσε το όνομά του με τον ισχυρισμό: «Για κάθε ν είναι αδύνατο να βρούμε θετικούς ακέραιους α, β, γ που ν ν ν να ικανοποιούν την σχέση a β γ» που είναι γνωστός ως το «τελευταίο θεώρημα του Fermat». Τον ισχυρισμό του αυτόν έγραψε ο Fermat στο περιθώριο ενός βιβλίου του προσθέτοντας και τα εξής: «Έχω βρει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη την οποία το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να χωρέσει». Ο ισχυρισμός αυτός του Fermat αποδείχτηκε αληθής το 994 από τον Άγγλο μαθηματικό Α. Wiles, αφού υπήρξε για 50 χρόνια ένα από τα διασημότερα άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών.

139 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f ( ) α, f α ( ), ( ) α f και f α β γ ( ). 4 Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται μελέτη συνάρτησης και περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.. Προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης.. Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της ( οριακές τιμές κτλ.). 4. Συντάσσουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης και, με τη βοήθεια αυτού και των προηγούμενων συμπερασμάτων, χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση. ΣΧΟΛΙΟ Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy, ενώ αν είναι περιττή, έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης αρκεί να περιοριστούμε στα A, με 0 και να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο σύνολο αυτό. Στη συνέχεια θα πάρουμε το συμμετρικό της καμπύλης που χαράξαμε ως προς τον άξονα yy αν η συνάρτηση είναι άρτια και ως προς την αρχή των αξόνων αν η συνάρτηση είναι περιττή και θα βγάλουμε τα σχετικά συμπεράσματα. Γι αυτό, συνήθως, πριν προχωρήσουμε στα βήματα έως 4, ελέγχουμε από την αρχή αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.

140 40 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f α Η συνάρτηση g Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή, έχει πεδίο ορισμού όλο το και είναι άρτια, διότι για κάθε ισχύει : g g Επομένως, η γραφική παράσταση της g έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. ' Άρα, σύμφωνα με όσα αναφέραμε προηγουμένως, αρχικά θα μελετήσουμε και θα παραστήσουμε γραφικά την g στο διάστημα 0,. Έχουμε λοιπόν: Μονοτονία: Έστω τυχαία, 0, με. Τότε θα είναι, οπότε θα έχουμε g g. Άρα η συνάρτηση g 0,. είναι γνησίως αύξουσα στο Ακρότατα: Για κάθε 0, ισχύει: g g 0 0. Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει στο 0 0 ελάχιστο, το g 0 0. Συμπεριφορά της g για μεγάλες τιμές του : Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για πολύ μεγάλες τιμές του : 0 0 g Παρατηρούμε ότι, καθώς το αυξάνεται απεριόριστα, ή όπως λέμε τείνει στο, το αυξάνεται και αυτό απεριόριστα και μάλιστα γρηγορότερα και άρα τείνει στο. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της g προεκτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω, καθώς το απομακρύνεται προς το.

141 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α 4 Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και παίρνοντας ένα πίνακα τιμών της g για μη αρνητικές τιμές του, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα 0,. Αν τώρα πάρουμε το συμμετρικό της παραπάνω καμπύλης ως προς τον άξονα yy, ' τότε θα έχουμε τη γραφική παράσταση της g( ) σε όλο, από την οποία συμπεραίνουμε ότι: Η συνάρτηση g : Είναι γνησίως φθίνουσα στο,0 και γνησίως αύξουσα στο 0, Παρουσιάζει ελάχιστο για 0, το g(0) 0. Έχει γραφική παράσταση που προεκτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω, καθώς το τείνει είτε στο, είτε στο. Η συνάρτηση h Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση h ( ). Παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει h g Άρα, όπως μάθαμε στην 4., η γραφική παράσταση της h είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της g ως προς τον άξονα '. h : Επομένως η συνάρτηση Είναι γνησίως αύξουσα στο,0 0,. και γνησίως φθίνουσα στο, το Παρουσιάζει μέγιστο για 0 h 0 0 Έχει γραφική παράσταση που προεκτείνεται απεριόριστα προς τα κάτω, καθώς το τείνει είτε στο είτε στο. Η συνάρτηση f α Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν α 0, τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση g και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:

142 4 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 0 f( ) α α 0 Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης f α για α 0,5, α και α. Αν α 0, τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση h και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: 0 f( ) α α 0 Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης f α για α 0,5, α, α.

143 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α, με α 0, είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα yy. ' Στα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: Όταν το α είναι θετικό, τότε η παραβολή είναι ανοικτή προς τα πάνω, ενώ όταν το α είναι αρνητικό, τότε η παραβολή είναι ανοικτή προς τα κάτω. Καθώς η α μεγαλώνει, η παραβολή γίνεται όλο και πιο κλειστή, δηλαδή πλησιάζει τον άξονα yy. ' ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση h α. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση hα, με α 0, είναι περιττή, διότι: h h ( ) ( ) ( ) Επομένως, αρκεί να τη μελετήσουμε και να την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα 0, και στη συνέχεια να βγάλουμε τα σχετικά συμπεράσματα για όλο το. Αν εργαστούμε με τρόπο ανάλογο με εκείνο με τον οποίο εργαστήκαμε για τη μελέτη της συνάρτησης f α, συμπεραίνουμε ότι: Η συνάρτηση hα, με α 0 : Αν α 0, Είναι γνησίως αύξουσα στο. Έχει γραφική παράσταση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ε- κτείνεται απεριόριστα προς τα πάνω, όταν το τείνει στο και απεριόριστα προς τα κάτω όταν το τείνει στο. Αν α 0, Είναι γνησίως φθίνουσα στο

144 44 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έχει γραφική παράσταση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ε- κτείνεται απεριόριστα προς τα κάτω, όταν το τείνει στο και απεριόριστα προς τα πάνω όταν το τείνει στο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του διπλανού σχήματος.. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ 0,5, f 0,5 και g 0,5 i) ii) ψ 0,5, h 0,5 και q 0,5.. Ομοίως τις συναρτήσεις: i) φ 0,5, f 0,5 και g0,5 ii) ψ 0,5, h0,5 και q 0,5. 4. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και g= ( ) και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις: και. ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: f.

145 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α 45. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:, 0 f( ), 0 και με τη βοήθεια αυτής να βγάλετε τα συμπεράσματα τα σχετικά με τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f.. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ( ), g( ), h ( ) και φ( ) στο διάστημα 0,, τις οποίες χαράξαμε με τη βοήθεια Η/Y. i) Να διατάξετε από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη τις τιμές,, και των συναρτήσεων f, g, h και φ : α) για 0 και β) για. ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματα στα οποία καταλήξατε προηγουμένως. 4. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο OAB είναι ισόπλευρο. Να βρεθεί η τετμημένη του σημείου Α.

146 5. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f α Η συνάρτηση g Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g. Παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το (,0) (0, ) και είναι περιττή, διότι για κάθε ισχύει : g g Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα 0,. Έχουμε λοιπόν: Μονοτονία: Έστω τυχαία, (0, ) με. Τότε θα ισχύει, οπότε θα έχουμε g g. Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ). Πρόσημο των τιμών της g: Για κάθε (0,+ ) ισχύει g ( ) 0. Επομένως, στο διάστημα (0, ) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα των. Συμπεριφορά της g για μικρές τιμές του : Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για πολύ μικρές τιμές του : g Παρατηρούμε ότι, καθώς το μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, τείνει στο 0, το αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το πλησιάζει το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συ-

147 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α/ 47 μπέσει με τον ημιάξονα Oy. Γι αυτό ο άξονας yy ' λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω. Συμπεριφορά της g για μεγάλες τιμές του : Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για πολύ μεγάλες τιμές του : 0 0 g Παρατηρούμε ότι, καθώς το αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο, το μειώνεται απεριόριστα και τείνει στο 0. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το απομακρύνεται προς το, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα O. Γι αυτό ο άξονας ' λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα δεξιά. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και παίρνοντας ένα πίνακα τιμών της g για θετικές τιμές του, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα (0, ). Αν τώρα πάρουμε το συμμετρικό της παραπάνω καμπύλης ως προς την αρχή των αξόνων, τότε θα έχουμε τη γραφική παράσταση της g σε όλο το, από την οποία συμπεραίνουμε ότι: Η συνάρτηση g : Είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και (0, ). Έχει γραφική παράσταση η οποία: αποτελείται από δύο κλάδους, έναν στο ο και έναν στο ο τεταρτημόριο, έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες y και y, που διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων και τέλος

148 48 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ' και κατακόρυφη ασύ- έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα μπτωτη τον άξονα yy. ' Η συνάρτηση h Ας θεωρήσουμε τώρα τη συνάρτηση h. Παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει h g. Επομένως, η γραφική παράσταση της h είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της g ως προς τον άξονα ', οπότε, η συνάρτηση h : Είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και (0, ). Έχει γραφική παράσταση η οποία: αποτελείται από δύο κλάδους, έναν στο ο και έναν στο 4 ο τεταρτημόριο, έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, έχει άξονες συμμετρίας τις ευθείες y και y, που διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων και τέλος ' και κατακόρυφη ασύ- έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα μπτωτη τον άξονα yy. ' Η συνάρτηση f α Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν α 0, τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση g και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. α Στο σχήμα α δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της f για α 0,5, α και α.

149 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α/ 49 Σχήμα α Σχήμα β Αν α 0, τότε εργαζόμαστε όπως εργαστήκαμε για τη συνάρτηση h και καταλήγουμε στα ίδια συμπεράσματα. α Στο σχήμα β δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της f για α 0,5, α και α. α Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με α 0, λέγεται ισοσκελής υπερβολή με κέντρο την αρχή των αξόνων και ασύμπτωτες τους άξονες ' και yy. ' ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο διπλανό σχήμα το σημείο Μ κινείται στο ο τεταρτημόριο του συστήματος συντεταγμένων, έτσι ώστε το εμβαδόν του ορθογώνιου ΟΑΜΒ να παραμένει σταθερό και ίσο με τ.μ. Να αποδειχτεί ότι το σημείο Μ διαγράφει τον έναν κλάδο μιας ισοσκελούς υπερβολής. ΛΥΣΗ Αν με συμβολίσουμε το μήκος και με y το πλάτος του ορθογωνίου, επειδή το εμβαδόν του είναι ίσο με τμ, θα ισχύει y και y, 0, οπότε θα έχουμε: y, με 0 Άρα το σημείο Μ θα διαγράφει τον κλάδο της υπερβολής y που βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο.

150 50 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής του διπλανού σχήματος.. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) φ, f και g ii) ψ, h και q.. Ομοίως τις συναρτήσεις: i) φ f ii) ψ, h, και g και q. 4. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) και g= ( ) και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις: και ii) Να επιβεβαιώσετε και αλγεβρικά τα παραπάνω συμπεράσματα. 5. Ομοίως για τις συναρτήσεις f( ) = και g( ) > και = και τις ανισώσεις: 6. Οι κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ μεταβάλλονται έτσι, ώστε το εμβαδόν του να παραμένει σταθερό και ίσο με τετραγωνικές μονάδες. Να εκφράσετε το μήκος y της ΑΓ συναρτήσει του μήκους της ΑΒ και στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή.

151 5. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: f α β γ g 0 που είναι ειδι- Θα μελετήσουμε αρχικά τη συνάρτηση κή περίπτωση της f α β γ με α 0. Για τη μελέτη της συνάρτησης g μετασχηματίζουμε τον τύπο της ως εξής: g 0 60 Έτσι έχουμε 0 g Επομένως, για να παραστήσουμε γραφικά την g, χαράσσουμε πρώτα την y που προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της y κατά μονάδες προς τα αριστερά, και στη συνέχεια χαράσσουμε την που προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφι- y κής παράστασης της y Άρα, η γραφική παράσταση της g προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω. Είναι δηλαδή μια παραβολή ανοικτή προς τα άνω με κορυφή το σημείο Κ(,) και άξονα συμμετρίας την ευθεία. κατά μονάδες προς τα πάνω. Θα μελετήσουμε τώρα τη συνάρτηση f α β γ, με α 0. Όπως είδαμε στην. (μορφές τριωνύ- μου), η f παίρνει τη μορφή:

152 5 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ β Δ f α α 4α Επομένως η γραφική της παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y α, μιας οριζόντιας και μιας κατακόρυφης, έτσι β Δ ώστε η κορυφή της να συμπέσει με το σημείο Κ,. Συνεπώς είναι α 4α β Δ και αυτή μια παραβολή, που έχει κορυφή το σημείο Κ, α 4α και β άξονα συμμετρίας την ευθεία. α Άρα, η συνάρτηση f α β γ : Αν α 0, και γνησίως αύ- Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, β ξουσα στο διάστημα,. α β α β β Δ Παρουσιάζει ελάχιστο για, το f. α α 4α Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. β α f( ) α β γ α 0

153 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α +β+γ 5 Αν 0 f α β γ : α, η συνάρτηση Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, β στο διάστημα, α β α, γνησίως φθίνουσα Παρουσιάζει μέγιστο για β α,το β Δ f. α 4α Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον πίνακα. β α f( ) α β γ α 0 Τέλος η γραφική παράσταση της f είναι μια παραβολή που τέμνει τον άξονα yy ' στο σημείο Γ0,γ, διότι f 0 γ, ενώ για τα σημεία τομής της με τον άξονα ' παρατηρούμε ότι: Αν Δ 0, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες και και επομένως η παραβολή και Β,0 Α,0 α β γ y α β γ τέμνει τον άξονα ' σε δύο σημεία, τα (Σχ. α ). Αν Δ 0, το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα την λέμε ότι η παραβολή εφάπτεται του άξονα (Σχ. β ). β. Στην περίπτωση αυτή α β ' στο σημείο Α,0 α Αν Δ 0, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες. Επομένως η παραβολή δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα ' (Σχ. γ ). Η γραφική παράσταση της f εξαρτάται από το πρόσημο των α και Δ και φαίνεται κατά περίπτωση στα παρακάτω σχήματα:

154 54 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ Σχήμα α Σχήμα β Σχήμα γ Τα συμπεράσματα της. για το πρόσημο του τριωνύμου προκύπτουν άμεσα και με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση f f 4 είναι 4 β Δ β α 0, και f f, α 4α α Επομένως έχουμε τον πίνακα μεταβολών: f ( ) 4

155 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α +β+γ 55 Δηλαδή η συνάρτηση f, Είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο Παρουσιάζει για ελάχιστο, το f. Επιπλέον, η γραφική παράσταση της f είναι μια παραβολή η οποία: Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία και,, Τέμνει τον άξονα ' στα σημεία με τετμημένες και αντιστοίχως, που είναι οι ρίζες του τριωνύμου 4, και τον άξονα y ' y στο σημείο με τε- ταγμένη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Να γράψετε τη συνάρτηση f( ) 4 5 στη μορφή f( ) α( p) q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. ii) Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση f( ) 8 9, θεωρώντας ως g την g( ).. Να βρείτε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: α) f 6 και β) g 5.

156 56 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις α) f 4 και β) g Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις επτά τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y α β γ. Να συμπληρώσετε τις στήλες του πίνακα που ακολουθεί με το πρόσημο των συντελεστών και της διακρίνουσας των αντίστοιχων τριωνύμων. Τριώνυμο f f f f 4 f 5 f 6 f 7 α β 0 γ Δ Β' ΟΜΑΔΑΣ. Δίνεται η παραβολή y ( k ) k τις οποίες η παραβολή: i) Εφάπτεται του άξονα '. ii) Έχει τον y ' y άξονα συμμετρίας.. Να καθορίσετε τις τιμές του k, για iii) Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 4. Ποια είναι η τετμημένη της κορυφής;. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ενός τριωνύμου Pα β γ. Να βρείτε: i) Το πρόσημο του α. ii) Το πρόσημο της διακρίνουσας Δ και iii) Τους συντελεστές του τριωνύμου, αν δίνεται ότι β 6.

157 5. Μελέτη της συνάρτησης f()=α +β+γ 57. Οι διαστάσεις, y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμετρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 0 μ. i) Να εκφράσετε το y συναρτήσει του και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο Ε = f ( ) που δίνει το εμβαδόν E του ορθογωνίου συναρτήσει του. ii) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για = 5 και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. 4. 'Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 6cm. Με πλευρές τα ΜΑ και ΜΒ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ελάχιστο; 5. Ένας κτηνοτρόφος έχει σύρμα 00m και θέλει να περιφράξει δύο συνεχόμενους ορθογώνιους υπαίθριους χώρους με διαστάσεις και y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για ποιες τιμές των και y το εμβαδόν και των δύο χώρων μεγιστοποιείται; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν η παραβολή y α, α 0 διέρχεται από το σημείο A (, ), τότε βρίσκεται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο.. Αν το τριώνυμο f( ) α β γ, α 0 έχει ρίζες τους αριθμούς και, τότε έχει άξονα συμμετρίας την Α Ψ ευθεία.. Για οποιουσδήποτε αβ, η παραβολή y α και η υ- β Α Ψ περβολή y έχουν ένα και μοναδικό κοινό σημείο. 4. H υπερβολή y και η ευθεία y τέμνονται. Α Ψ Α Ψ

158 58 5. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω δύο περιπτώσεις με τα σύμβολα της ισότητας ή της ανισότητας. f β γ έχει ρίζες τους αριθμούς και. Αν το τριώνυμο, τότε θα ισχύει: f 5 0,. Αν το τριώνυμο, θα ισχύει: 5 f 0, 5 f β γ f 0, f 0, 5 III. Δίνεται το τριώνυμο f α β γ f 0, γ 0 β 4. έχει ρίζες τους αριθμούς και f 0, γ 0, β., α 0. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:. Αν α και το τριώνυμο f έχει κορυφή το σημείο Κ, Α) f Β) f Γ) f Δ) f. Αν f 0, f 0 και f 5 0, τότε., τότε Α) Δ 0 και α 0 Β) Δ 0 και α 0 Γ) Δ 0 και α 0.. Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ, και α 0, τότε: Α) Δ 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) γ Αν το τριώνυμο έχει κορυφή το σημείο Κ, 0, τότε Α) β 0 Β) Δ 0 Γ) Δ 0 Δ) Δ 0. IV. Οι παρακάτω καμπύλες C, C, C και C 4 είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( ) 4 γ, f( ) 8 γ, f( ) 4 γ και f4( ) 8 γ4, όχι όμως με την ίδια σειρά. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις παραπάνω συναρτήσεις με τη γραφική της παράσταση. f f f f 4

159 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση α βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση α βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν β 0, τότε η εξίσωση γράφεται: α βy γ βy α γ α γ y, β β Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή α διεύθυνσης λ και τέμνει τον άξονα yyστο ' σημείο γ β β. Σχήμα α Σχήμα β Ειδικότερα: Αν α 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α ), ενώ

160 60 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ γ Αν α 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y και επομένως β παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' yy στο σημείο γ β (Σχ. β ). Αν β 0 (οπότε α 0 ), τότε η εξίσωση γράφεται γ α γ. α Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα yy ' και τέμνει τον άξονα Για παράδειγμα: γ ' στο σημείο. α Η εξίσωση y παίρνει τη μορφή y η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και τέμνει τον άξονα yy ' στο σημείο. Η εξίσωση y παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα yyστο ' σημείο. Η εξίσωση παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα yy ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο. Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης.

161 6. Γραμμικά Συστήματα 6 Για παράδειγμα, το ζεύγος 4, είναι λύση της εξίσωσης y 6, αφού 4( ) 4 6. Διαπιστώνουμε, όμως, ότι και τα ζεύγη 6,5, ( 0, 8) είναι λύσεις της εξίσωσης και γενικά ότι κάθε ζεύγος της μορφής k, k, k είναι λύση της εξίσωσης. Γραμμικό σύστημα Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις α βy γ και α β y γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε α βy γ α β y γ Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος. Στο Γυμνάσιο μάθαμε μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο γραμμικό σύστημα το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Τα δύο αυτά συστήματα λέγονται ισοδύναμα συστήματα. Η μετατροπή ενός συστήματος σε ισοδύναμό του γίνεται συνήθως µε έναν από τους εξής δύο τρόπους: Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), µε την εξίσωση «λε λ ε» που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα µε λ 0, προσθέσουμε τα µέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα µε λ'. Η εξίσωση λε λ ε λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε'). Η απόδειξη του ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα στηρίζεται στις παρακάτω ιδιότητες της ισότητας που είδαμε στο ο κεφάλαιο: Αν γ 0, τότε: α β αγ βγ Αν α β και γ δ, τότε α γ β δ. Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα:

162 6 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ y6 4y 8 Θα λύσουμε το σύστημα με τις δύο μεθόδους που μάθαμε στο Γυμνάσιο, τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών (ή μέθοδο της απαλοιφής) Μέθοδος της αντικατάστασης Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την () ως προς. Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το y6 4y8 Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει y64y86y84y 8 0y 0 y Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το y 6 y Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο: 6 4 Άρα λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 4,. ΣΧΟΛΙΟ Επειδή κάνουμε πολλά βήματα μέχρι να λύσουμε ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να κάνουμε λάθος στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Για το λόγο αυτό είναι σκόπιμο να αντικαθιστούμε τις τιμές των αγνώστων που βρήκαμε στις αρχικές εξισώσεις του συστήματος και να ελέγχουμε αν τις επαληθεύουν, δηλαδή να κάνουμε επαλήθευση του συστήματος. Στο συγκεκριμένο σύστημα, για 4 και y, έχουμε: η εξίσωση: 4 ( ) 6 η εξίσωση: Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι:

163 6. Γραμμικά Συστήματα 6 y6 4y 8 ή ισοδύναμα 6y 8. 4y 8 Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε: 6y4y880y 0 y. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου: ( ) Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 4, (η ίδια φυσικά που βρέθηκε και με την προηγούμενη μέθοδο). Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος y 6 4y 8 που λύσαμε προηγουμένως παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος. Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα α βy γ α β y γ με το να σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και να βρούμε, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους. Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής

164 64 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί να τέμνονται ή να είναι παράλληλες ή ακόμα και να συμπίπτουν. Για παράδειγμα: y y Το σύστημα γράφεται και έχει μοναδική 49y 4 y 9 9 λύση, αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του τέμνονται, επειδή έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης. Αν χαράξουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις, βλέπουμε ότι προσεγγιστικά η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, 0,). Αν ό- μως λύσουμε το σύστημα αλγεβρικά, θα βρούμε ότι η ακριβής λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ). y Το σύστημα γράφεται 4y5 y, οπότε είναι αδύνατο, 5 y 4 αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του είναι παράλληλες. y Το σύστημα γράφεται 4y y, οπότε έχει άπειρο πλήθος y λύσεων, αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος συμπίπτουν. Προφανώς κάθε λύση του συστήματος είναι της μορφής k,k, k. Γενικά, από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος αναμένουμε μια μόνο από τις περιπτώσεις:

165 6. Γραμμικά Συστήματα 65 Το σύστημα να έχει μοναδική λύση Το σύστημα να είναι αδύνατο Το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Λύση διερεύνηση γραμμικού συστήματος Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος στη γενική του μορφή. Έστω λοιπόν το γραμμικό σύστημα α βy γ α β y γ Αρχικά θα εξετάσουμε την περίπτωση που είναι β 0 και β 0. Τότε το σύστημα γράφεται: α γ y ε β β α γ y ε β β και οι εξισώσεις του παριστάνουν ευθείες ε και ε με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ και λ. α α β β α α Αν β β, δηλαδή αν αβ α β 0, τότε οι ευθείες ε και ε έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης, οπότε τέμνονται σε ένα σημείο του οποίου η τετμημένη προσδιορίζεται από την λύση της εξίσωσης α γ α γ α α γ γ β β β β β β β β αβ α β γβ γ β γβ γ β αβ α β Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι: α γβ γ β γ αγβ αβγ γαβ γα β y β αβ α β β β αβ α β βαγ ( α γ) βαβ ( - αβ ) Επομένως αγ α γ y αβ α β

166 66 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρα, στην περίπτωση αυτή, το σύστημα έχει μοναδική λύση την γβ γ β αγ α γ y,, αβ α β αβ α β α α Αν β β, δηλαδή αν αβ α β 0, τότε οι ευθείες ε και ε έ- χουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε ή είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει ά- πειρες λύσεις αντιστοίχως. Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και στην περίπτωση που είναι β 0 ή β 0. Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για το γραμμικό σύστημα α βy γ α β y γ Έχουμε: Αν αβ α β 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση την γβ γ β αγ α γ y,, αβ α β αβ α β Αν αβ α β 0το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι αδύνατο. Συνήθως η παράσταση αβ α β, συμβολίζεται με α β D α β και λέγεται ορίζουσα του συστήματος Δηλαδή: α β D αβ α β α β. Την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στην θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: γ β D γβ γ β γ β. Ομοίως, την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: α γ D y αγ α γ α γ.

167 6. Γραμμικά Συστήματα 67 Τα προηγούμενα συμπεράσματα τα οποία αφορούν στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος συνοψίζονται, με την βοήθεια των οριζουσών, ως εξής: Το γραμμικό σύστημα α βy γ α β y γ D αν D 0, έχει μοναδική λύση, την, y με D αν D 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. και D y y D Για παράδειγμα: y 6 Το σύστημα έχει 4y 8 D , 4 οπότε έχει μοναδική λύση. Επειδή 6 6 D και Dy έχουμε: D 40 D 4 και y 0 y. D 0 D 0 y, 4,. Άρα, η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος y 40 Το σύστημα έχει 46y 80 D και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει ά- πειρο πλήθος λύσεων. Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το, τότε το σύστημα γράφεται y 40, y 40 δηλαδή έχει μόνο μία εξίσωση την y 40. Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις του συστήματος είναι οι λύσεις της εξίσωσης 40 y 40 y.

168 68 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής k 40 k,, k y Το σύστημα έχει 9y6 D και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει ά- πειρο πλήθος λύσεων. Το σύστημα αυτό γράφεται y y που είναι προφανώς αδύνατο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ η Να λυθεί το σύστημα λ y λ λ y λ ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι του συστήματος δεν είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί, αλλά εξαρτώνται από το λ. Πρέπει επομένως για τις διάφορες τιμές του λ, να εξετάσουμε πότε προκύπτει σύστημα που έχει μοναδική λύση την οποία και να βρούμε ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή σύστημα με άπειρες λύσεις. Όπως και στις εξισώσεις, ο λ λέγεται παράμετρος και η εργασία αυτή λέγεται διερεύνηση. Έχοντας υπόψη τον παραπάνω πίνακα, ακολουθούμε την εξής πορεία. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D, D. Έχουμε: λ D λλ λ λ λ λ D ( λ ) λ λ λ λ λ Dy λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) y

169 6. Γραμμικά Συστήματα 69 Βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου, για τις οποίες είναι D 0. Έχουμε: D 0 λλ ( ) 0 λ 0 ή λ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν D 0, δηλαδή αν λ 0 και λ, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, y, με: D λ ( λ) και D λ( λ) λ( λ) λ Dy λ ( λ) λ ( λ) y λ. D λλ ( ) λλ ( ) Δηλαδή, για λ 0 και λ, η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, λ λ. Αν D 0, δηλαδή αν λ 0 ή λ, τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Συγκεκριμένα: Αν λ 0, τότε το σύστημα γράφεται 0 y y 0 y 0 y 0 και άρα είναι αδύνατο. Αν λ, τότε το σύστημα γράφεται Γραμμικό Σύστημα y y 4 y y και άρα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Επειδή y y, Οι λύσεις του συστήματος είναι όλα τα ζεύγη της μορφής k,k, k. Μία εξίσωση της μορφής α βy γz 0, με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση yz 6είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους και η τριάδα,,5 είναι μια λύση της εξίσωσης, αφού 5 6.

170 70 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους: α βy γz δ, α βy γz δ και α βy γz δ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε α βy γz δ α βy γz δ α βy γz δ Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα yz 9 y z 0 y z 8 Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο, π.χ. την () ως προς z, και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο. Έτσι έχουμε: yz 8 z y 8 (4) οπότε οι εξισώσεις () και () γράφονται: yz 9 y y8 9y 5 (5) yz 0 y y8 0 y (6) Οι (5), (6) ορίζουν το γραμμικό σύστημα y 5, y από την επίλυση του οποίου βρίσκουμε ότι και y. Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και y στην (4) και βρίσκουμε z. Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι η τριάδα,,. ΣΧΟΛΙΟ Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, όπως είδαμε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

171 6. Γραμμικά Συστήματα 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ y 4. Να λύσετε το σύστημα y i) αλγεβρικά ii) γραφικά.. Να λύσετε τα συστήματα y i) 7 8 y 45. Να λύσετε τα συστήματα: ii) y 4 4 y 8 i) 5 y y6 8 ii) y 4 4 y 4. Να λύσετε τα συστήματα: y i) y ii) y y0 5. Να λύσετε τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών: i) y 7 5y 4 ii) y 8 y 0 6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστημάτων, χωρίς να τα λύσετε. i) 5y 4 67y 00 ii) y y 80 iii) y 9 y 7. Να λύσετε τα συστήματα: i) y y ii) 4y 7 y

172 7 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8. Να λύσετε τα συστήματα: i) Β ΟΜΑΔΑΣ yω 5yω 5 yω ii) 5 yω 4 yω yω. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε και ε του διπλανού σχήματος. ii) Ποιο σύστημα ορίζουν οι ε και ε και ποια είναι η λύση του συστήματος; iii) y ω y ω 5 5 yω 6. Ένα ξενοδοχείο έχει 6 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει, 5 και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4. Τον αγώνα παρακολούθησαν 00 άτομα και εισπράχτηκαν Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα. 4. Η αντίσταση R ενός σύρματος ως συνάρτηση της θερμοκρασίας T μπορεί να βρεθεί με τον τύπο R αt β. Αν στους 0 C η αντίσταση ήταν 0, 4 Ω και στους 80 C η αντίσταση ήταν 0,5 Ω, να βρείτε τα α και β. 5. Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 00 ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ; 6. Δίνονται οι ευθείες ε : 4y και ε : y α, α. i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε και ε. ii) Υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέμνονται; iii) Για ποιες τιμές της παραμέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες;

173 6. Γραμμικά Συστήματα 7 7. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α τα κοινά σημεία των ευθειών: i) ε : α y α και ε : αy. ii) ε : α y α και ε4 : αy. 8. Να λύσετε τα συστήματα: i) λ y, λ 4 λ y ii) μ 5y 5, μ μ y 5 9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει ΟΟ 6, ΟΟ και ΟΟ 7. Να υπολογίσετε τις 5 ακτίνες των τριών κύκλων. 0. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σημεία Δ, Ε και Ζ. Nα υπολογίσετε τα τμήματα ΑΖ, BΔ y και ΓΕ z, συναρτήσει των πλευρών α, β και γ.. Ένας χημικός έχει τρία διαλύματα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ, το δεύτερο 0% οξύ και το τρίτο 0% οξύ. Ο χημικός θέλει να παρασκευάσει 5 lit διάλυμα περιεκτικότητας % σε οξύ, χρησιμοποιώντας και τα τρία διαλύματα και μάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύματος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύματος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυμα θα χρησιμοποιήσει.. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y α β γ. Να βρείτε τα τριώνυμα αυτά.

174 6. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές. Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δυο αριθμούς με άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων 89. Αν, y είναι οι δύο αριθμοί, τότε πρέπει y και y 89. Επειδή ζητάμε και κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα: y () y 89 () Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Επιλύουμε την (), ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς, και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε Επομένως y y (). ( ) Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού με διακρίνουσα Δ 9. Επομένως: 8 5 Από την (), για 8 έχουμε y 5, ενώ για 5 έχουμε y 8. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (8, 5) και (5, 8). Η απάντηση βέβαια στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8. Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο Να λυθεί το σύστημα y 5. y 6

175 6. Μη γραμμικά συστήματα 75 ΛΥΣΗ α τρόπος Επιλύουμε την () ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε: y 5 y 5 (). Επομένως y 6 (5 ) ή. Από την () για έχουμε y, ενώ για έχουμε y. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (, ) και (, ). β τρόπος Εξετάζοντας το σύστημα βλέπουμε ότι αναζητούμε δύο αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6. Επομένως, από τους τύπους του Vieta οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης ω 5ω6 0. Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι και οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (,)και (,). ΣΧΟΛΙΟ Η πρώτη εξίσωση του συστήματος y 5παριστάνει ευθεία, ενώ η δεύτερη εξίσωση y 6 παριστάνει την υπερβολή y. Επομένως οι συντεταγ- 6 μένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος.

176 76 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα σημεία τομής είναι τα Α(,) και Β (, ). Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (,)και (,). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : y 6 () Να λυθεί το σύστημα y () ΛΥΣΗ Λύνουμε την () ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε οπότε η () γίνεται: 6 y 6 y 6 y ( ) Η εξίσωση αυτή είναι διτετράγωνη. Αν θέσουμε ω, τότε η εξίσωση γίνεται ω ω6 0, της οποίας οι λύσεις είναι η ω 9 και η ω 4. Για ω 9 έχουμε 9 ή Από την () για παίρνουμε y και για παίρνουμε y. Για ω 4έχουμε 4 ή. Από την () για παίρνουμε y και για παίρνουμε y. Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (,), (, ), (,) και (, ). ΣΧΟΛΙΟ Η πρώτη εξίσωση του συστήματος y 6παριστάνει την υπερβολή ενώ η δεύτερη εξίσωση 6 y, y παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο (0,0) και

177 6. Μη γραμμικά συστήματα 77 ακτίνα ρ. Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και του κύκλου θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε το σύστημα: y y y.. Να λύσετε τα συστήματα: y y 9 i) ii) y 4 y 0 και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτελέσματα. iii) y y 5. Από τους τύπους B ΟΜΑΔΑΣ S υ t αt 0 και 0 υ υ αt, να δείξετε ότι S υ υ 0 t.. Να λύσετε τo σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτέλεσμα. y y 0 5

178 78 6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Να λύσετε το σύστημα: y 4 y y 5y 0. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 0cm. Αν η μία διάσταση του ορθογωνίου αυξηθεί κατά cm, ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά cm, τότε το εμβαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Δίνεται η παραβολή y και η ευθεία, y k k. Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. 5. Να λύσετε τo σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτέλεσμα. y y μ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: y y 4y y (Σ ): 4y 0, (Σ ): y 4, (Σ ): y, (Σ 4 ): α y με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων. (Σ ) (Σ ) (Σ ) (Σ 4 ) II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων.. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D 0, τότε το σύστημα είναι κατ ανάγκη αδύνατο. y. Το σύστημα είναι αδύνατο. Α Ψ y 0 4. Ο κύκλος y και η παραβολή y δεν έχουν κοινά σημεία. Α Ψ Α Α Ψ Ψ

179 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) 7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις κάθετες MM και NN προς την άλλη πλευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και ONN θα είναι όμοια, οπότε θα ισχύει: ( MM) ( NN) ( OM) ( ON) ( MM) ( NN), και ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON ) Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα ( MM ) ( ) ( OM ) ( ) OM, OM ( MM) και ( OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως. Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο MOM, ισχύει: ημω ( MM ) απέναντι κάθετη ( OM ) υποτείνουσα

180 80 7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ( OM) προσκείμενη κάθετη συνω ( OM ) υποτείνουσα ( MM) απέναντι κάθετη εφω ( OM) προσκείμενη κάθετη Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο ( OM) προσκείμενη κάθετη σφω ( MM) απέναντι κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0 ω 60 Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα O αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την η- μιευθεία Ot (Σχ. α, β ). Ο θετικός ημιάξονας O λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω. Σχήμα α Σχήμα β Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(, y ) και φέρνουμε την κάθετη MΜ στον άξονα ' (Σχ. α και β ). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α ), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: (ΜM) (OΜ ) (ΜM) (OΜ ) ημω, συνω, εφω και σφω (OM) (OM) (OΜ ) (Μ M) y ρ. Επομένως, οι πα- Όμως (OΜ ), (MM) y και ραπάνω ισότητες γράφονται: y ημω, ρ συνω, ρ y εφω και (ΟΜ) 0 σφω, όπου ρ y y 0.

181 7. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 8 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β ). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε: y y ημω, εφω ρ εφόσον 0 συνω, σφω ρ y εφόσον y 0 ρ y, όπου 0 όπου (, y ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και από το Ο. ρ y 0 η απόσταση του Μ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 60 ο αρνητικών γωνιών Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας O ενός συστήματος συντεταγμένων O περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου 0, τότε λέμε ότι ο O έχει διαγράψει γωνία ω και Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 60, δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ων60 μ, όπου ν και 0 μ 60 Αν τώρα ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου 0, τότε λέμε ότι ο ημιάξονας O έχει διαγράψει αρνητική γωνία ή αλλιώς γωνία:

182 8 7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ω (60 0 ) 90. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω ν60 μ, όπου ν και 0 μ 60 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 60, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0 μέχρι 60. Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: y y ημω, εφω εφόσον 0 ρ συνω, σφω εφόσον y 0 ρ y ρ y, όπου 0 όπου (, y ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και από το Ο. ρ y 0 η απόσταση του Μ Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα O. Αν ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν60 ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω. Αν όμως ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν60 ω, που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την ω. Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k 60 ω, k, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Επομένως, για κάθε k θα ισχύει: 60, 60 60, 60 ημ k ω ημω εφ k ω εφω συν k ω συνω σφ k ω σφω

183 7. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 8 Ο τριγωνομετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε τον λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους. Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ γράψουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνίας ω=5 ο, τέμνει τον κύκλο αυτό αβ. στο σημείο Ν, Επειδή ημ5 β ρ και ρ θα ισχύει ημ5 β 0,57. Ομοί- α ως, επειδή συν5 και ρ, θα ισχύει συν5 = α 0,8. ρ Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό Μ, y, τότε ισχύει: κύκλο στο σημείο συνω τετμημένη του σημείου Μ ημω y τεταγμένη του σημείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας ' λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας yy ' λέγεται και άξονας των ημίτονων. Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με. Δηλαδή ισχύει: συνω και ημω