Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Transcript

1 Περιγραφή του σχεδίου Με το μπορούμε να επιλέξουμε την παραλλακτικότητα σε δύο κατευθύνσεις Οι επεμβάσεις τοποθετούνται σε σειρές και στήλες Κάθε σειρά περιλαμβάνει όλες τις επεμβάσεις Κάθε στήλη περιέχει όλες τις επεμβάσεις Τα πιο κοινά σχέδια είναι τα 5 5 και 8 8

2 Περιγραφή του σχεδίου (Συνέχεια) Παράδειγμα τοποθέτησης τεσσάρων επεμβάσεων σε πειραματικό αγρό που αλλάζει όσον αφορά στην υγρασία και στη γονιμότητα κατά γνωστό τρόπο Πολλή υγρασία λίγη υγρασία γόνιμο Α Β Γ Δ Β Γ Δ Α Γ Δ Α Β λιγότερο γόνιμο Δ Α Β Γ

3 Περιγραφή του σχεδίου (Συνέχεια) Η τοποθέτηση των τεμαχίων στο το ένα δίπλα στο άλλο Σειρές Στήλες ΑΒΓΔ ΒΓΔΑ ΓΔΑΒ ΔΑΒΓ

4 Περιγραφή του σχεδίου (Συνέχεια) Η τοποθέτηση τριών Λατινικών Τετραγώνων σε τρεις τοποθεσίες Ι ΙΙ ΙΙΙ Α Γ Β Γ Β Α Β Α Γ Γ Α Β Β Γ Α Α Β Γ Α Β Γ Β Γ Α Γ Β Β

5 Διαδικασία τυχαιοποίησης Εξαρτάται από τον τύπο του ΛΤ Παράδειγμα τυχαιοποίησης 3 3 ΛΤ Α Β C B C A C A B Τυπικό Τετράγωνο Τυχαιοποίηση στηλών C A B Α B C B C A Τυχαιοποίηση όλων πλην της 1 ης σειράς C A B B C A Α B C 4 4 ΛΤ : διαδικασία όμοια με αυτήν του 3 3 ΛΤ 5 5 ΛΤ : τυχαιοποίηση όλων των στηλών και σειρών

6 Πλεονεκτήματα του ΛΤ Μπορούμε να ελέγξουμε την παραλλακτικότητα σε δύο κατευθύνσεις Ενδεχομένως αυξάνεται η ακρίβεια σε σχέση με το σχέδιο ΤΠΟ Μειονεκτήματα του ΛΤ Εάν ο αριθμός των επεμβάσεων είναι μεγάλος τότε το πείραμα γίνεται αναγκαστικά μέγιστο με πιθανή αύξηση του πειραματικού σφάλματος Η ανάλυση είναι περίπλοκη όταν λείπουν παρατηρήσεις Όταν οι επεμβάσεις είναι λίγες υπάρχουν πολύ λίγοι ΒΕ για το πειραματικό σφάλμα Η επίδραση του μεγέθους του ΛΤ στους ΒΕ του Σφάλματος Πηγή Παραλ/τητας ΒΕ x 3x3 4x4 5x5 8x8 Σειρές Στήλες Επεμβάσεις Σφάλμα (-1)(-) Σύνολο

7 Επαναλήψεις Λατινικών Τετραγώνων Ένας τρόπος να αυξηθούν οι ΒΕ του Σφάλματος για τα μικρά ΛΤ είναι η χρησιμοποίηση περισσότερων του ενός τετραγώνου σε ένα πείραμα Παράδειγμα : Δύο 4 4 ΛΤ * Αθροιστικά στα τετράγωνα Πηγή ΒΕ Παραλλακτικότητας Τετράγωνα sq 1 = 1 * Σειρές (Τετράγωνα) sq ( 1) = 6 * Στήλες (Τετράγωνα) sq ( 1) = 6 Επέμβαση 1= 3 Σφάλμα sq ( 1)( ) = 1 Σύνολο sq 1 = 1 Όπου sq = αριθμός των τετραγώνων

8 Το Γραμμικό Πρότυπο Υ ijk = μ + t i + β j + γ k + ε ijk i, j, k = 1,, όπου µ = ο γενικός μ.ο. των επεμβάσεων, δηλ ο μ.ο. των παρατηρήσεων t i β j γ k = η επίδραση της i-στής σειράς = η επίδραση της j-στής στήλης = η επίδραση της k-στής επέμβασης ε ij Ν (0, σ e ) Σ t i = Σ β j = Σ γ k = 0 Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τους μ.ο. υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) των Επεμβάσεων (ΜΤε) Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τις ατομικές παρατηρήσεις υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) του Σφάλματος (ΜΤυ)

9 Προϋποθέσεις της ANOVA 1. Τα πειραματικά σφάλματα είναι τυχαία, ανεξάρτητα και ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο όρο μηδέν και κοινή διακύμανση (δηλ. οι διακυμάνσεις μέσα σε κάθε επέμβαση είναι ομοιογενείς) ε ij Ν (0, σ e ). Οι πληθυσμοί από τους οποίους προήλθε κάθε επέμβαση ακολουθούν την κανονική κατανομή (γιατί σε κάθε συνδυασμό σειράς και στήλης έχουμε μόνο μία επέμβαση και όχι όλες τις επεμβάσεις). 3. Οι διακυμάνσεις των πληθυσμών αυτών είναι ίσες ή ομοιογενείς. Η ιδιότητα αυτή λέγεται ομοσκεδαστικότητα 4. Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ στηλών, σειρών και επεμβάσεων Τόσο το επίπεδο σημαντικότητας όσο και η ευαισθησία της δοκιμασίας του F επηρεάζονται εάν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, με αποτέλεσμα αύξηση των Σφαλμάτων τύπου Ι Και στην περίπτωση αυτή όμως, για τα περισσότερα βιολογικά δεδομένα, η ANOVA δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα

10 Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων Τα συστατικά του προτύπου να ξαναγραφούν ως εξής: µ ως Y... t i ως Y i.. Y γ k ως Υ.. κ Υ... Υ ijk = μ + t i + β j + γ k + ε ijk β j ως Υ. j. Y ε ως Y _ ijk Y i.. Υ. j. Y.. k + Y ij μπορούν Άρα: ( Yijκ Y... ) = ( Yi Y... ) + ( Y. j. Y... ) + ( Y.. κ Y... ) + ( ) + (.. ) ( κ Y... ) Y... Y κ Y... + Y κ Y.. i Y. j. Y.. Οπότε τελικά: i= 1 j= 1 κ = 1 ( Y Y... ) = ( Y i.. Y... ) + ( Y. j. Y... ) + ( Y Y... ) + ijκ +.. Yijκ ij + i= 1 i= 1 j= 1 κ = 1 j= 1 κ = 1 ( ) Y Y i.. Y. j. Y.. κ + Y... ijκ.. κ

11 Ανάλυση της παραλλακτικότητας (ANOVA) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ Άθροισμα Τετραγώνων Μέσο Τετράγωνο Θεωρητική σύσταση ΜΤ F Σειρές -1 Στήλες -1 Επεμβάσεις -1 Υπόλοιπο (-1)(-) Σύνολο -1

12 Παράδειγμα Απόδοση 4 ποικιλιών αραβοσίτου (χλγ/στρ) Στήλες Άθροισμα Σειρές Σειρών (Y i..) 1 1,640 (Β) 1,10 (D) 1,45 (C) 1,345 (Α) 5,60 1,475 (C) 1,185 (Α) 1,400 (D) 1,90 (Β) 5, ,670 (Α) 0,710 (C) 1,665 (Β) 1,180 (D) 5,5 4 1,565 (D) 1,90 (Β) 1,665 (Α) 0,660 (C) 5,170 Άθροισμα Στηλών (Y. j.) 6,350 4,395 6,145 4,475 1, Διαμόρφωση της υπόθεσης: H 0 : μ 1 = μ = μ 3 = μ 4 H 1 : τουλάχιστον ένας μ.ο. διαφέρει από τους υπόλοιπους. Υπολογισμός Αθροισμάτων Επεμβάσεων (Υ.. k ) Ποικιλία Α = 5,855 Ποικιλία Β = 5,885 Ποικιλία C = 4,70 Ποικιλία D = 5,355 Y = = = ΔΟ

13 Παράδειγμα (Συνέχεια) Απόδοση 4 ποικιλιών αραβοσίτου (χλγ/στρ) Στήλες Άθροισμα Σειρές Σειρών (Y i..) 1 1,640 (Β) 1,10 (D) 1,45 (C) 1,345 (Α) 5,60 1,475 (C) 1,185 (Α) 1,400 (D) 1,90 (Β) 5, ,670 (Α) 0,710 (C) 1,665 (Β) 1,180 (D) 5,5 4 1,565 (D) 1,90 (Β) 1,665 (Α) 0,660 (C) 5,170 Άθροισμα Στηλών (Y. j.) 6,350 4,395 6,145 4,475 1, AT o σ (Συνολικό) ( 1,64 + 1,10 + 1, ,66 ) = 1, 4139 = Yij ΔΟ = ΔΟ AT = 5. a (Σειρών) ( ) ΔΟ = Yi.. ΔΟ = 4 AT 6. b (Στηλών) ( 6,35 + 4, , ,475 ) = Y.j. = ΔΟ = ΔΟ 4

14 Παράδειγμα (Συνέχεια) Αθροίσματα Επεμβάσεων Ποικιλία Α = 5,855 Ποικιλία Β = 5,885 Ποικιλία C = 4,70 Ποικιλία D = 5, ΑΤ γ (Επεμβάσεων) Y.. k ( ) = = ΔΟ = ΔΟ 4 8. ΑΤ υ = ΑΤ ο ΑΤ a ΑΤ b ΑΤ γ = 0,196 (Υπολοίπου)

15 Παράδειγμα (Συνέχεια) 9. Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ ΘΣΜΤ F Σειρές 1 = σ e +4σ α Στήλες 1 = σ e +4σ b Επεμβάσεις 1 = σ e +4σ γ 6.60* Σφάλμα ( 1) ( ) = σ e Σύνολο 1 = F α; ΒΕ επεμβάσεων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ; 3,6 = 4, Εξαγωγή συμπερασμάτων Επειδή το F = 6,60 > F πιν. απορρίπτεται η H 0 σε α = 0.05 Άρα συμπεραίνουμε ότι μία τουλάχιστον διαφέρει 4,76 6,60

16 Παράδειγμα (Συνέχεια) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ ΘΣΜΤ F Σειρές 1 = σ e +4σ α Στήλες 1 = σ e +4σ b Επεμβάσεις 1 = σ e +4σ γ 6.60* Σφάλμα ( 1) ( ) = σ e Σύνολο 1 = s Y 1. * 100 %ΣΠ = = *100 = 0.15 *100 1,34 = 11% ΕΣΔ t ΜΤ ( ) 4 υ 13. = = Επεμβάσεων. a =

17 H ανάλυση ενός πειράματος με τα τρία βασικά σχέδια ΟΛΙΚΟ ΑΤ an-1 ΕΤΣ ΑΤ Επεμβάσεων a-1 ΑΤ Υπόλοιπο a(n-1) ΤΠΟ ΑΤ Επεμβάσεων a-1 ΑΤ Ομάδων b-1 ΑΤ Υπόλοιπο (a-1)(b-1) ΛΤ ΑΤ Επεμβάσεων -1 AT Σειρές -1 AT Στήλες -1 ΑΤ Υπόλοιπο (-1)(-)

18 Σχετική αποτελεσματικότητα και ακρίβεια Με δεδομένο αριθμό επεμβάσεων και επαναλήψεων, το πειραματικό σχέδιο επηρεάζει την ακρίβεια ενός πειράματος μέσω των ΒΕ του Σφάλματος. Παράδειγμα: 5 επεμβάσεις 5 επαναλήψεις Πειραματικό Σχέδιο και ΒΕ ΕΤΣ ΤΠΟ ΛΤ Πηγή Παραλ/τητας ΒΕ Πηγή Παραλ/τητας ΒΕ Πηγή Παραλ/τητας ΒΕ Eπεμβάσεις 4 Επεμβάσεις 4 Επεμβάσεις 4 Σφάλμα 0 Ομάδες 4 Σειρές 4 Σφάλμα 16 Στήλες 4 Σφάλμα 1 Σύνολο 4 Σύνολο 4 Σύνολο 4 Τα πλέον σύνθετα σχέδια έχουν λιγότερους ΒΕ Σφάλματος Είναι γενικά δύσκολο να εντοπισθούν διαφορές μεταξύ των επεμβάσεων όταν ΒΕ του σφάλματος είναι λιγότεροι από 0

19 Σχετική αποτελεσματικότητα και ακρίβεια (Συνέχεια) Σχετική αποτελεσματικότητα δύο σχεδίων : Α = ( n 1 ( n + 1)( n + 1)( n 1 + 3) s + 3) s 1 *100% Όπου s 1 και n 1 = ΜΤ και BE Σφάλματος του απλούστερου σχεδίου, αντίστοιχα s και n = ΜΤ και BE Σφάλματος του πλέον σύνθετου σχεδίου, αντίστοιχα s Εάν ΒΕ > 0 τότε: Α = *100% s 1 To πλέον σύνθετο σχέδιο θεωρείται πιο αποτελεσματικό εάν Α > 100% Η αύξηση της αποτελεσματικότητας θα πρέπει να συνεκτιμάται με την αύξηση της δαπάνης για το πλέον σύνθετο σχέδιο