Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Transcript

1 Γενικά Σκοπός των παραγοντικών πειραμάτων είναι η ταυτόχρονη μελέτη των επιδράσεων ενός αριθμού παραγόντων ώστε να προκύψει πληροφόρηση όχι μόνο για την αντίδραση του πειραματικού υλικού σε μεμονωμένους παράγοντες αλλά και στους συνδυασμούς των παραγόντων αυτών Παραγοντικό πείραμα (όχι σχέδιο): είναι η μελέτη δύο ή περισσότερων παραγόντων σε συνδυασμό Παράγοντας: το είδος της πειραματικής επέμβασης πχ. Ν-ούχος λίπανση Επίπεδο: οι διάφορες επεμβάσεις του κάθε παράγοντα πχ. 10 KgΝ/ha, 0 KgΝ/ha, 30 KgΝ/ha Κάθε επίπεδο ενός παράγοντα πρέπει να συμμετέχει στο πείραμα σε συνδυασμό με όλα τα επίπεδα των άλλων παραγόντων Τα αραγον ικά ειρά α α ε ι ρέ ουν η ελέ η ης αλληλε ίδρα ης ε αξύ ων Τα παραγοντικά πειράματα επιτρέπουν τη μελέτη της αλληλεπίδρασης μεταξύ των παραγόντων

2 Κατηγορίες παραγοντικών πειραμάτων Α. Πλήρη παραγοντικά πειράματα Διπαραγοντικά (συνδυασμοί διαφόρων επιπέδων κάθε παράγοντα) Πολυπαραγοντικά (συνδυασμοί διαφόρων επιπέδων) κ παραγοντικά (κ παράγοντες, όλοι σε δύο επίπεδα), 3 κ (κ παράγοντες, όλοι σε τρία επίπεδα), κλπ Β. Ανάμεικτα παραγοντικά πειράματα Πλήρως ανάμεικτα Μερικώς ανάμεικτα

3 Αλληλεπίδραση α) Η ανόμοια αντίδραση των επεμβάσεων ενός παράγοντα στα διάφορα επίπεδα ενός άλλου παράγοντα β) Όταν οι απλές επιδράσεις ενός παράγοντα διαφέρουν περισσότερο από ότι μπορεί να αποδοθεί στην τύχη, η διαφοποιημένη αντίδραση ονομάζεται αλληλεπίδραση γ) Η αλληλεπίδραση μεταξύ παραγόντων έχει συχνά την ίδια ή και μεγαλύτερη σημασία από τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων

4 Παραδείγματα αλληλεπίδρασης Μεταβλητή Μεταβλητή Παράγοντας Α Απουσία αλληλεπίδρασης Παράγοντας Α Αλληλεπίδραση (αποκλίνουσα) Μεταβλη ητή Μεταβ βλητή Παράγοντας Α Παράγοντας Α Αλληλεπίδραση (κατεύθυνσης) Αλληλεπίδραση (συγκλίνουσα)

5 Απλές επιδράσεις - Κύριες επιδράσεις - Αλληλεπιδράσεις A. Παράδειγμα χωρίς αλληλεπίδραση Επίδραση δύο δόσεων Ν στην απόδοση (Mg/ha) ποικιλιών κριθαριού ( x ) N-ούχος λίπανσης (B) Ποικιλία (Α) 0 kg/ha (b 0 ) 60 kg/ha (b 1 ) Αττική (a 0 ) 1.0 (a 0 b 0 ) 3.0 (a 0 b 1 ) Ελπίδα (a 1 ).0 (a 1 b 0 ) 4.0 (a 1 b 1 ) Η απλή επίδραση ενός παράγοντα είναι η διαφορά μεταξύ των δύο επιπέδων του σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο ενός άλλου παράγοντα - Απλή επίδραση του Α στο b 0 = a 1 b 0 -a 0 b 0 = -1 = 1 - Απλή επίδραση του Α στο b 1 = a 1 b 1 -a 0 b 1 = 4-3 = 1 - Απλή επίδραση του B στο a 0 = a 0 b 1 -a 0 b 0 = 3-1 = - Απλή επίδραση του Bστο a 1 = a 1 b 1 -a 1 b 0 = 4- =

6 Απλές επιδράσεις - Κύριες επιδράσεις Αλληλεπιδράσεις (Συνέχεια) Βάρος Βάρος Παράγοντας Α Παράγοντας Α H κύρια επίδραση ενός παράγοντα είναι ο μέσος όρος των απλών επιδράσεων του σε όλα τα επίπεδα του άλλου παράγοντα ½ Kύρια επίδραση του Α = (απλή επίδραση του Α στο b 0 + απλή επίδραση του Α στο b 1 ) = (1+1)/ = 1 Kύρια ρ επίδραση του B= ½ (απλή επίδραση του Β στο a 0 + απλή επίδραση του B στο a 1) = (+)/ = Η αλληλεπίδραση είναι η μέση διαφορά μεταξύ των απλών επιδράσεων του Α στα δύο επίπεδα του Β και αντίστροφα (Προσοχή: ισχύει μόνο για x παραγοντικά πειράματα) Α x Β = ½ (απλή επίδραση του Α στο b 1 - απλή επίδραση του Α στο b 0 ) = ½ (1-1) = 0 ή Α x Β = ½ (απλή επίδραση του Β στο a 1 - απλή επίδραση του B στο a 0 ) = ½ (-) = 0

7 Απλές επιδράσεις - Κύριες επιδράσεις Αλληλεπιδράσεις (Συνέχεια) Β. Παράδειγμα με αλληλεπίδραση Επίδραση δύο δόσεων Ν στην απόδοση (Mg/ha) ποικιλιών κριθαριού ( x ) N-ούχος λίπανσης (B) Ποικιλία (Α) 0 kg/ha (b 0 ) 60 kg/ha (b 1 ) Αττική (a 0 ) 1.0 (a 0 b 0 ) 1.0 (a 0 b 1 ) Ελπίδα (a 1 ).0 (a 1 b 0 ) 4.0 (a 1 b 1 ) Η απλή επίδραση ενός παράγοντα είναι η διαφορά μεταξύ των δύο επιπέδων του σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο ενός άλλου παράγοντα - Απλή επίδραση του Α στο b 0 = a 1 b 0 -a 0 b 0 = -1 = 1 - Απλή επίδραση του Α στο b 1 = a 1 b 1 -a 0 b 1 = 4-1 = 3 - Απλή επίδραση του B στο a 0 = a 0 b 1 -a 0 b 0 = 1-1 = 0 - Απλή επίδραση του Bστο a 1 = a 1 b 1 -a 1 b 0 = 4- =

8 Απλές επιδράσεις - Κύριες επιδράσεις Αλληλεπιδράσεις (Συνέχεια) Βάρος Βάρος Παράγοντας Α Παράγοντας Α H κύρια επίδραση ενός παράγοντα είναι ο μέσος όρος των απλών επιδράσεων του σε όλα τα επίπεδα του άλλου παράγοντα ½ Kύρια επίδραση του Α = (απλή επίδραση του Α στο b 0 + απλή επίδραση του Α στο b 1 ) = (1+3)/ = Kύρια ρ επίδραση του B= ½ (απλή επίδραση του Β στο a 0 + απλή επίδραση του B στο a 1) = (0+)/ = 1 Η αλληλεπίδραση είναι η μέση διαφορά μεταξύ των απλών επιδράσεων του Α στα δύο επίπεδα του Β και αντίστροφα (Προσοχή: ισχύει μόνο για x παραγοντικά πειράματα) Α x Β = ½ (απλή επίδραση του Α στο b 1 - απλή επίδραση του Α στο b 0 ) = ½ (3-1) = 1 ή Α x Β = ½ (απλή επίδραση του Β στο a 1 - απλή επίδραση του B στο a 0 ) = ½ (-0) = 1

9 Γενικά για τις αλληλεπιδράσεις 1. Η αλληλεπίδραση μεταξύ δύο παραγόντων μπορεί να υπολογισθεί μόνο εάν οι παράγοντες συμμετέχουν στο ίδιο πείραμα. Στην περίπτωση απουσίας αλληλεπίδρασης, η απλή επίδραση ενός παράγοντα είναι η ίδια για όλα τα επίπεδα των άλλων παραγόντων και ισούται με την κύρια επίδραση του παράγοντα αυτού 3. Στην περίπτωση παρουσίας αλληλεπιδράσεων, η απλή επίδραση ενός παράγοντα μεταβάλλεται με τη μεταβολή του επιπέδου των άλλων παραγόντων. Επομένως, η κύρια επίδραση του διαφέρει από τις απλές επιδράσεις του.

10 Συγκριτική Χρησιμότητα Παράδειγμα (Αντικατάσταση δύο απλών πειραμάτων με ένα διπαραγοντικό πείραμα) Α Πείραμα ποικιλιών Πηγές Πείραμα Ποικιλιών ΒΕ Επαναλήψεις 5 Ποικιλίες 3 Σφάλμα 15 Σύνολο 3 Β Πείραμα Μυκητοκτόνων Πηγές Πείραμα Μυκητοκτόνου Επαναλήψεις 6 Μυκητοκτόνο 1 Σφάλμα 6 Σύνολο 13 Συνδυασμός Α και Β σε Παραγοντικό Πείραμα ΒΕ Παραγοντικό Πηγές ΒΕ Επαναλήψεις 3 Ποικιλίες 3 Μυκητοκτόνο 1 Ποικιλίες Χ Μυκητοκτόνο 3 Σφάλμα 1 Σύνολο 31 Μικρότερη επιφάνεια (3 αντί 38 πειραματικά τεμάχια) Δυνατότητα εύρεσης πιθανής αλληλεπίδρασης ης και προσδιορισμού ρ του καλύτερου συνδυασμού ποικιλίας μυκητοκτόνου Ακόμα και σε απουσία αλληλεπίδρασης, το όφελος προέρχεται από την " κρυμμένη επανάληψη", δηλαδή την ύπαρξη 4 x 4 = 16 επαναλήψεων για κάθε μυκητοκτόνο και 4 x = 8 επαναλήψεων για κάθε ποικιλία για υπολογισμό των αντίστοιχων μέσων όρων και των τυπικών σφαλμάτων των διαφορών τους. Οι 1 ΒΕ του σφάλματος στο παραγοντικό επιτρέπουν μια καλύτερη εκτίμησή του.

11 Ανάλυση διπαραγοντικού με βάση το ΕΤΣ Το Γραμμικό Πρότυπο: Y ( ) i i ij i = 1,, a j = 1,, b k = 1,, n a a b a j ( a ) ij 0 (Πρότυπο ό Ι) i i 1 j1 i1 όπου: μ = ο μέσος των ab επεμβάσεων α i = η επίδραση του i επιπέδου του παράγοντα Α β j = η επίδραση του j επιπέδου του παράγοντα Β (αβ) ij = η αλληλεπίδραση του i επιπέδου του Α με το j επίπεδο του Β ε = η απόκλιση της Υ από το μέσο του ij πληθυσμού Αν για όλα τα επίπεδα των δύο παραγόντων ισχύει η αθροιστικότητα, τότε όλα τα (αβ) ij ισούται με μηδέν Προϋποθέσεις: τα ε είναι ανεξάρτητα, ακολουθούν κανονική κατανομή και προέρχονται από ένα πληθυσμό (κοινή διακύμανση)

12 Ανάλυση διπαραγοντικού με βάση το ΕΤΣ (Συνέχεια) Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων Τα συστατικά του προτύπου ξαναγράφονται ως εξής: Y Y Y a ( a ) i j ij α i ως Y i.. Υ... β j ως Υ. j. Y ε ως Υ Y ij.. Οπότε: Y Y... ( Y i.. Y...) ( Y. j. Y...) ( Y ij. Y. j. Y i.. Y...) ( Y Y ij. ) Άρα: a n i1 j1 k1 n a b i1 j1 ( Y ( Y ij Y...) bn a i1 ( Y i.. Y...) an i1 j1 k1 b j1 ( Y. j.. Y. j. Y i.. Y...) ( Y Y ij. ) a n Y...)

13 Ανάλυση διπαραγοντικού με βάση το ΕΤΣ (Συνέχεια) Ανάλυση της παραλλακτικότητας (Πρότυπο Ι) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ Άθροισμα Τετραγώνων Μέσο Τετράγωνο ΘΣΜΤ F A B AB Υπόλοιπο Σύνολο a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(n-1) abn-1 AT AB AT A AT B AT ATo bn i1 j1 MT A a Y i.. Y... MTA e bn a i 1 MT an b Y j. Y... j 1. B MT e an b a b MTAB e n ab n ( Y ij. Y. j. Y i.. Y...) a b n Y Y ij. i 1 j 1 k 1 a b n Y Y... i 1 j 1 k 1 MT e MT B MT MT AB MT a a a b i /( a 1) b j /( b 1) i1 j1 i1 j1 b ( ) ij /[( a 1)( b 1)]

14 Ανάλυση διπαραγοντικού με βάση το ΤΠΟ Το Γραμμικό Πρότυπο: Y ( ) i j k jk i = 1,,r j = 1,, a k = 1,, b j a j 0 και ) jk 0 k ( a ( a ) όπου: μ = ο μέσος των ab επεμβάσεων ρ i = η επίδραση της i ομάδας j k jk (Πρότυπο Ι) α j = η επίδραση του j επιπέδου του παράγοντα Α β k = η επίδραση του k επιπέδου του παράγοντα Β (αβ) jk = η αλληλεπίδραση του j επιπέδου του Α με το k επίπεδο του Β ε = η απόκλιση της Υ από το μέσο του ij πληθυσμού Αν για όλα τα επίπεδα των δύο παραγόντων ισχύει η αθροιστικότητα, τότε όλα τα (αβ) ij ισούται με μηδέν Προϋποθέσεις: τα ε είναι ανεξάρτητα, ακολουθούν κανονική κατανομή και προέρχονται από ένα πληθυσμό (κοινή διακύμανση)

15 Ανάλυση διπαραγοντικού με βάση το ΤΠΟ (Συνέχεια) Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων Τα συστατικά του προτύπου Y ( ) ξαναγράφονται ως εξής, αντικαθιστώντας με τους αντίστοιχους εκτιμητές: i j k jk Y Y... ( Y i.. Y...) ( Y. j. Y...) ( Y.. Y...) ( Y jk. Y. j. Y.. k Y...) ( Y Y i.. Y... Y.. jk k ) Άρα: i j k ar r b k a ( Y ( Y b.. k i1 j1 k1 ( Y Y...) Y...) Y i r ab a r i1 j b k ( Y ( Y i... jk... Y... Y. jk ) Y...) Y. j. br Y.. k a j ( Y. j. Y...) Y...)

16 Παράδειγμα ANOVA για ένα x παραγοντικό πείραμα (Προσοχή: για λόγους απλότητας χρησιμοποιούνται διαφορετικοί από πριν συμβολισμοί) Δεδομένα από την ανάλυση σύμφωνα με το σχέδιο ΤΠΟ Επεμβάσεις Ομάδες a 0 b 0 a 0 b 1 a 1 b 0 a 1 b 1 Y. j Y i = Y rab 4**. AT ό Yij ( ) ( * 101. j 3. AT 3. 5 ά ab )

17 Παράδειγμα ANOVA για ένα x παραγοντικό πείραμα (Συνέχεια) 4. Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων των Επεμβάσεων (ΑΒ) 4.1 Πίνακας Αθροισμάτων Επεμβάσεων a 0 a 1 ΣB b b ΣΑ Άθροισμα Τετραγώνων του Α A AT rb ( * ) 4.3 Άθροισμα Τετραγώνων του Β 4.4 Άθροισμα Τετραγώνων της Α x Β AT B B ra 18.5 ( * ) ab AT AxB r ( ) 4 5. AT 1 ί ό ά 4

18 Παράδειγμα ANOVA για ένα x παραγοντικό πείραμα (Συνέχεια) 6. Πηγή Παραλ/τας ΒΕ ΑΤ ΜΤ ΘΣΜΤ Ομάδες r 1=3 3,50 10,83 σ e + 4σ O Α a 1=1 930,5 930,5 σ e + 8σ Α Β b 1=1 18,5 18,5 σ e + 8σ Β ΑΧΒ (a 1)(b 1)= , ,00 σ e + 4σ ΑΒ Υπόλοιπο (r 1)(ab 1)=9 1,00,33 σ e F (Πρότυπο Ι) ΜΤ Α /ΜΤυ=398,7** ΜΤ Β /ΜΤυ=78,1** ΜΤ ΑΧΒ /ΜΤυ=1,7 17 Σύνολο rab 1= ,00 7. Υπολογισμός ΕΣΔ (0.05) MT (.33) t. 05/ ;9BE,6 1, 7 rb 4* Επέμβαση Μ.όρος a 0 17,4a a 1 3,6b MT (.33) 7. B t. 05/ ;9BE,6 1, 7 ra 4 * Επέμβαση Μ.όρος b 0 1,6a b 1 8,4b

19 Παράδειγμα ANOVA για ένα x παραγοντικό πείραμα (Συνέχεια) Επειδή η αλληλεπίδραση ηα x Β δεν είναι σημαντική, η ανάλυση τελειώνει εδώ και σχολιάζονται οι διαφορές μεταξύ των επιπέδων του παράγοντα Α ανεξάρτητα από τα επίπεδα του παράγοντα Β καθώς και οι διαφορές μεταξύ των επιπέδων του παράγοντα Β ανεξάρτητα από τα επίπεδα του παράγοντα Α (δηλαδή οι κύριες επιδράσεις των παραγόντων Α και Β). Εάν όμως η αλληλεπίδραση είναι σημαντική, τότε υπολογίζεται η ΕΣΔ για τη σύγκριση τιμών στον κορμό του πίνακα των δεδομένων (δηλαδή μεταξύ των μέσων όρων κάθε επέμβασης) Α Β a 0 a 1 b 0 13,5 9,8 b 1 1,3 35,5 MT (.33) 7.3 AxB t. 05/ ;9BE,6, 4 r 4

20 Παράδειγμα παραγοντικού πειράματος 4x3σε ΕΤΣ Πηγή Παραλ/τας ΒΕ Α a-1= 3 Β b-1= Α Χ Β (a-1)(b-1)= 6 Σφάλμα Με αφαίρεση =4 Υπόλοιπο rab-1= 35 Παράδειγμα παραγοντικού πειράματος 3 x σε ΛΤ Πηγή Παραλ/τας ΒΕ Σειρά ab-1=5 Στήλη ab-1=5 Α a-1= Β b-1=1 Α Χ Β (a-1)(b-1)= Σφάλμα (ab-1)(ab-) = 0 Υπόλοιπο (ab) -1=35

21 Παράδειγμα παραγοντικού πειράματος 4x3xσε σχέδιο ΤΠΟ Η ANOVA για 5 ομάδες έχει τη μορφή: Πηγή Παραλ/τας ΒΕ Ομάδα r-1=4 A a-1=3 B b-1= C c-1=1 A X B (a-1)(b-1)=6 ) A X C (a-1)(c-1)=3 B X C (b-1)(c-1)= A X B X C (a-1) (b-1)(c-1)=6 Σφάλμα (r-1)(abc-1)=9 Υπόλοιπο rabc-1=119 Γ λ ό Αθ ά Τ ώ Α Β CA BA CB C Για τον υπολογισμό των Αθροισμάτων Τετραγώνων για Α, Β, C, A x B, A x C, B x C και A x B x C απαιτείται ο σχηματισμός διάφορων πινάκων συνόλων επεμβάσεων

22 4x3xσε σχέδιο ΤΠΟ (Συνέχεια) Η γενική μορφή των πινάκων αυτών έχει ως εξής: 1. Αθροίσματα για τον υπολογισμό ΑΤ Α, ΑΤ Β και ΑΤ Α ΧΒ a 0 a 1 a a 3 B Υπενθύμιση: b 0 a 0 b 0 a 1 b 0... ( ab) b 1 ATAXB b rc A ΔΟ ΑΤ Α ΑΤ Β. Αθροίσματα για τον υπολογισμό ΑΤ Α, ΑΤ C και ΑΤ Α ΧC a 0 a 1 a a 3 C... Υπενθύμιση: c 0 a 0 c 0 a 1 c 0 c ( ac) 1 ATAXC A rb ΔΟ ΑΤ Α ΑΤ C

23 4x3xσε σχέδιο ΤΠΟ (Συνέχεια) 3. Αθροίσματα για τον υπολογισμό ΑΤ B, ΑΤ C και ΑΤ B ΧC b 0 b 1 b C c 0 b 0 c 0 b 1 c 0... c 1 B Υπενθύμιση: AT BXC ( bc) ra ΔΟ ΑΤ B ΑΤ C 4. Τιμές για τον υπολογισμό των ΑΤ συνόλου, ΑΤ ομάδων και ΑΤ ΑXBΧC Επανάληψη 1 Επανάληψη Επανάληψη 5 ΑΒC a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 1 a 0 b 1 c 0. a 3 b 1 c 1 Επανάλ. AT AXBXC ( abc) r ΔΟ ΑΤ A ΑΤ B ΑΤ C AT AXB AT AXC AT BXC

24 Ερμηνεία ANOVA που περιέχει αλληλεπιδράσεις Η ερμηνεία πρέπει πάντοτε να ξεκινά με τις υψηλότερης τάξης αλληλεπιδράσεις (πχ. ΑxBxC πριν τις AxB, BxC, AxC) H ερμηνεία των κυρίων επιδράσεων δεν πρέπει να γίνεται ποτέ πριν την ερμηνεία των αλληλεπιδράσεων Η δοκιμασία του F για τις αλληλεπιδράσεις μπορεί να αποβεί σημαντική για δύο λόγους: 1. Πραγματική αλληλεπίδραση. Διαφορές στο μέγεθος όταν οι αντιδράσεις είναι όμοιες αλλά οι διαφορές μεταξύ των μέσων όρων των επεμβάσεων είναι μεγάλες Παράδειγμα: Η απόδοση ενός αριθμού ποικιλιών που κατατάσσονται με την ίδια σειρά σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες που έχουν μεγάλη απόκλιση σε παραγωγικό δυναμικό λόγω των καλλιεργητικών συνθηκών (πχ. άφθονες βροχοπτώσεις vs συνθήκες ξηρασίας)

25 Αλληλεπιδράσεις και διαφορές σε μέγεθος ιαφορές μεγέθους Αλληλεπίδραση Αλληλεπίδραση Αλληλεπίδραση

26 Οδηγός Ερμηνείας ANOVA με Αλληλεπιδράσεις Μη σημαντική αλληλεπίδραση Σημαντική αλληλεπίδραση Συζήτηση των κύριων επιδράσεων Αιτία σημαντικότητας της αλληλεπίδρασης Σημαντικότητα λόγω πραγματικής αλληλεπίδρασης Σημαντικότητα λόγω διαφορών στο μέγεθος Σζή Συζήτηση της αλληλεπίδρασης λ Σζή Συζήτηση των κύριων επιδράσεων. δά Αποφυγή συζήτησης των Αποφυγή συζήτησης της κύριων επιδράσεων αλληλεπίδρασης

27 Πλεονεκτήματα παραγοντικών πειραμάτων Παρέχουν εκτιμήσεις των αλληλεπιδράσεων Πιθανή αύξηση της ακρίβειας λόγω της κρυμμένης επανάληψης Αποτελέσματα χρήσιμα για ένα μεγαλύτερο εύρος συνθηκών Μειονεκτήματα παραγοντικών πειραμάτων Μερικοί συνδυασμοί επεμβάσεων μπορεί να μην εμφανίζουν ενδιαφέρον Το πειραματικό σφάλμα μπορεί να αυξηθεί με την αύξηση του αριθμού των επεμβάσεων Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων καθίσταται δύσκολη (ειδικά για τριπλές αλληλεπιδράσεις)