R E Z I S T E N Ţ A MATERIALELOR

Transcript

1 E 5 A Z T PAVEL TIPA E Z I S T E N Ţ A ATEIALELO ONOGAII EZAT Solă omus, dfomţ, sbl, şo, oboslă, vs d oţ, ubu u ţ goş, solă s lm d ls - Edu ITON Tmşo,

2 fnţ şnţf: Pof. unv. d. ng. Eu. Ing. Tbu BABEU mbu l Adm d Şnţ Thn dn omân Pof. unv. d. ng. Consnn CISTUINEA Thnod omuă: Pof. unv. d. ng. Pvl TIPA Ds CIP Bblo Nţonl TIPA, PAVEL snţ mllo / Pvl T Tmşo on, 999- vol; 4 m. ISBN Vol Bblog. ISBN

3 C U P I N S Pfţă SOLICITĂI COPUSE Consdţ gnl Tţun omsun xnă 9. Sâmbul nl 4.. Sâmbul nl nu sufţ dunghulă 5.. Sâmbul nl nu sufţ ulă. 6.. Sâmbul nl nu sufţ I smă Tnsun noml xm în sţun, xm funţ d lml lml sâmbulu nl. 9.4 To d snţă. Înovo u osun.4. To d snţă..4. Înovo u osun Alţ ETODE PENTU CALCULUL DEPLASĂILO.. 4. Consdţ gnl od ls nu lulul dlsălo blo d sol l înovo 4.. od dubl ngă 4.. od mlo nţl od gn onjug. 5. od sn un 6.. Podul oh xwll gul d ng Vsghn 66.4 Ssm s ndmn Alţ STABILITATEA ECHILIBULUI ELASTIC. LABAJUL Consdţ gnl Clulul foţ d flmbj l bl d vl sol l omsun xlă B ulă l mbl B înţnă l un ă ş lbă l lăll B ulă l un ă ş înţnă l lăll B înţnă l mbl.. 9. Lml d vlbl l fomul lu Eul. lmbjul ls ş ls 95.. lmbjul ls lmbjul ls. lţl Tmj Isnsk Clulul l flmbj Clulul în domnul ls ş ls Clulul l flmbj n mod ofnulu d flmbj ϕ....5 lmbjul blo sub ţun foţlo xn..6 lmbjul ll l gnlo subţ sol l înovo Alţ... 8

4 4. SOLICITĂI DINAICE.. 4. Consdţ gnl Solă n foţ d nţ Clulul blulu d snso su d m Clulul volnulu în mş d oţ Clulul b în mş d oţ în juul un x ndul lnul său Clulul bl moo 4. Solă odus d vţ d l lţ 4.. Consdţ gnl 4.. Înnd (omsun) n şo Înovo n şo Tosun n şo Clulul ulu lodl u s sâns sol l şo 4..6 Eful ms oulu lov su solă n şo 4.4 Alţ SOLICITĂI VAIABILE Clu l solălo vbl Obosl mllo snţ l oboslă. Cub lu W hl Dgml snţlo l oboslă Shm dgmlo snţlo l oboslă Shmă l dgm Hgh Shm dgm Smh o nflunţă snţ l oboslă Clulul l oboslă. Clulul ofnulu d sgunţă Clulul ofnulu d sgunţă, shm Sodbg, ul ons Clulul ofnulu d sgunţă, shm Snsn, ul ons Clulul ofnulu d sgunţă l solă vbl omus Clulul l dubl lmă Alţ CALCUL PLĂCILO PLANE IZOTOPE Consdţ gnl Clulul l înovo l lălo ul înă sm lţ în nsun ş dfomţ sf Ehlbul lmnulu d lă Clulul lă ul înăă u o snă unfom dsbuă ş însă onu Clulul lă ul înăă u o snă unfom dsbuă ş smlu mă onu Clulul lă ul înăă u o foţă onnă în nu ş 4

5 înţnă onu Clulul l înovo l lălo dunghul Clulul l şo l lălo ln Clulul oxmv l lălo ln Clulul oxmv l lă ul smlu mă onu ş înăă u o snă unfom dsbuă o sufţă ulă în juul nulu lă Clulul oxmv l lă dunghul smlu mă onu 7. VASE DE EVOLUŢIE CU PEEŢI SUBŢII. 7. Consdţ gnl Clulul vslo d voluţ u ţ subţ. 8. TUBUI CU PEEŢI GOŞI.. 8. Consdţ gnl Tubul lnd u gos suus l sun noă ş xoă 8.. Tubul lnd suus num l sun noă Tubul lnd suus num l sun xoă Tubu lnd f Tnsun m în ubul u gos. 8.5 Vs sf u ţ goş SOLICITĂI PESTE LIITA DE ELASTICITATE Consdţ gnl Shm dgmlo s Clulul în domnul lso ls C d ls Solă sml în domnul lso ls Tţun su omsun în domnul lso ls Înovo blo d în domnul lso ls Tnsun ş dfomţ mnn l înovo în domnul lso ls Tosun blo d ul în domnul lso ls Tnsun mnn în ul ăsu b d ul în domnul lso ls ăsu smlă un b d d sţun nsvslă o în domnul lso ls Tubul u gos suus l sun noă, în domnul lso ls Cd ssmlo lău dn b d, sol l înovo. 69 BIBLIOGAIE

6 Pfţă Pn lu onsu, d f, volumul II, dn snţ llo, mul volum ăând în nul 999 l Edu ITON dn Tmşo, n onbuţ luş uo. Pmul volum d snţ llo s înnd usul nouă ol: Noţun noduv (C. ), oţ no. Dgm d fou (C. ), Cs gom l sufţlo ln (C.), Cs mn l mllo (C.4), Tţun ş omsun blo d (C.5), of slo d gosm mă (C. 6), Înovo blo ln (C. 7), Tosun blo d (C. 8), Noţun d o lsăţ (C. 9). As volum s suu o nouă ol: Solă omus (C. ), od nu lulul dlsălo (C. ), Sbl hlbulu ls. lmbjul (C. ), Solă dnm (C. 4), Solă vbl (C. 5), Clulul lălo ln oo (C. 6), Vs d voluţ u ţ subţ (C.7), Tubu u ţ goş (C. 8), Solă s lm d ls (C. 9). Pn ţ s luă, uoul uş să fnl o lu, d m ul ş ns, în două volum în sun o noţunl d bă ns f însuş d ă vo ngn mn. Dn s un d vd, l două volum d snţ llo, s dsă în mul ând sudnţlo d l fulăţl d ngn mnă. El o f însă onsul ş d ă sudnţ lo fulăţ sudă dsln d snţ llo, d ă ngn dn oduţ, o su. Lu dă nu uml un gol, l uţn îngş număul luălo d snţ llo, sos în dusul nlo d ă dl dd d l Cd d snţ llo d l ul d nă dn Tmşo. În vd lboă luă d snţ llo, uoul s- b xnţ s o dn v ddă dsfăşuă u sudnţ, um ş l m nv luă dn domnu, ău în ţă l df du. 6

7 Noţunl o sun n smlu, în log lo fsă, făând sfl lu sblă unu numă m d son ş u un nvl d gă nu d. Ao o oll luă s fnlă u n uno lţ modl, sfl înâ o ug o să-ş vf nvlul unoşnţlo însuş în um ug n luă. În s lţ, nul nu s- us fu lullo num, însuş modulu d bod oblm ş ug lo d olv în odn lo fsă. Auoul s onşn d ful ă lu o f îmbunăăţă â sub sul onţnuulu â ş l nă gf, mov nu îş xmă mulţum fţă d oţ vo vn u sugs ş, în vd d nvlulu luă sub o sl sl în-o nouă dţ. Auoul 7

8 . SOLICITĂI COPUSE. CONSIDEAŢII GENEALE Dă în sţun nsvslă unu lmn d snţă ţonă un sngu fo, un în sţun s lă o sol smlă (xlă, fof, înovo, osun). Do, în l m mul u foţ ăo s ngljă, s o onsd ă înovo u foţă ăo (înovo smlă) s o sol smlă. Dă însă în sţun nsvslă lmnulu d snţă ţonă două su m mul fou, în sţun s lă o sol omusă. Sol omusă dn ţun smulnă m mulo omonn l foulo dn sţun nsvslă în df ombnţ (două,, u, n su h şs omonn). În g..- s nă s gnlă d sol omusă, ând în sţun nsvslă ţonă o omonnl foulo. T T N g..- Duă um s onsă, unl fou l sol omusă odu nsun noml (N,, ) ll (T, T, ) nsun ngnţl τ. Dă în sţun nsvslă ţonă fou odu num nsun d lş fl, sol omusă s d go I, dă odu nsun noml ş ngnţl, sol s omusă d go II-. În l d go I, s îndă sol xlă u d înovo su d 8

9 fof u d osun. În go II-, m ăsândă s înovo smlă u osun. Clulul d snţă l sol omusă, mun lulul nsunlo l m m dn sţun nsvslă, s dmnă u lţl d lul l solălo sml. În ul gnl d sol omusă, nu b dă, s d nsun în-un un l s o f onsdă o s lnă. În s, lulul d snţă s fuă duă ol sălo d nsun lmă. D smn nu sol omusă d go I, înovo oblă su ţun (omsun) u înovo, s d nsun o f onsdă lnă dă s ngljă foţ ăo, vnul u xs. A, ul să lmă ul s l d l sol d înnd su omsun smlă. În ul s vo n în onnu, s v onsd vlbl nul ndndnţ ţun foţlo, însmnă ă nsunl ş dfomţl l sol omusă d go I, s vo dmn n însum gomă nsunlo ş dfomţlo odus d f fo xsn în sţun svă. As mod d lul smlf, o f num nu bl gd, l dfomţl m odus d înăă nu modfă smnfv fom nţlă blo. Înovo oblă s un smlu d sol omusă d go I, fos n în volumul no l luă snţ llo, mov nu nu s m nă în s volum. D lfl, sudul înovo obl s un ul l lu s nă în onnu.. TACŢIUNEA-COPESIUNEA EXCENTICĂ S onsdă o bă dă solă d o foţă nomlă l lnul sţun nsvsl ă dţ nu ond u x longudnlă b (g..-). N ) N b) g..- 9

10 ţă d nul d gu l sţun nsvsl, unul d lţ l foţ xn, oodonl (, ). duând foţ xnă în nul d gu l sţun nsvsl în ţonă, s obţn osoul fom dn-o foţă xlă (N ) ş două ulu (, ). Tosoul foţlo s n în g..-. Vlo so s: N.- Dgml d fou în lungul b nu să suţ, sun n în g..-,b. + N N ) b) g..- ) Cum b sţun onsnă, foul u ş vlo în o sţun, ulă ă sţun ulosă o f o. Clulul d snţă s fuă în să sţun. D foul dn sţun ulosă sun: N.- fo odu în sţun nsvslă b nsun noml, ulând sfl o sol omusă d go I. Pnu l fou nsunl s lulă u lţl unosu d l solăl sml: N N.- A A

11 .-b I I.- I I Vţ nsunlo noml odus d l fou sun n în g..-. nd nsun d lş fl ş vând ş dţ (nomlă l sţun nsvslă), nsun ulnă în-un un l sţun nsvsl, s obţn n însum lgbă nsun noml odusă d f fo: ± A N ± I + + ± I ± N A ± I ± I.-4 În lţ.-4 smnul ± do în-un un o l sţun nsvsl, l fou o odu nsun noml d înnd (smnul +) su d omsun (smnul -). S o uşo ons ă, vţ nsun noml uln sţun s un lnă. ulând â nsun d înnd â ş d omsun, însmnă ă xsă un în sţun nsvslă în nsun s nulă. Loul gom l so un nă x nuă. Euţ x nu ulă dn lţ.-4, fnd uţ nsun uln nul: A I I În lţ.-5, ş nă oodonl unu un su x nuă. Asă uţ nă uţ un d, n gfă o f făuă n nsţ u dţl nl: nsţ u dţ G: I A.-6

12 nsţ u dţ nlă G: I A.-6b S onsă ă nsţ x nu u dţl nl l sţun nsvsl, lo snsul ngv l so. Dn s mov bu sbl snsul ov l dţlo nl d nţ. As o f fx d l înu, o oml lulul nsun noml uln, su s lg sfl înâ l să fx dnul în nsunl odus d l fou să bă lş smn, dă o să f d înnd su o d omsun. În ul nosu vom o nu d- dou vnă. Pnu oblm usă în dsuţ (g..-), dnul dmn d snsul ov l dţlo nl (dnul în o foul odu nsun d înnd, v ş g..-) ond u dnul I gonom. Poţ x nu nu ul sud, s nă în g..-. T dnul I x nuă C + mx, mx,c - g..- Poţ x nu o ul dn lţ.-4 în funţ d fou: N A I I Podând m înn, s obţn oodonl unlo d nsţ l x nu u dţl nl: nsţ u dţ nlă G:

13 I A N.-8 nsţ u dţ nlă G: I A N.-8b Anlând uţ x nu um ş oodonl unlo d nsţ l x nu u dţl nl d nţ l sţun nsvsl, ulă umăol: oţ x nu nu dnd d vlo foţ oţ x nu dnd d oţ nţlă unulu d lţ l foţ, sfl: dă unul d lţ l foţ s o d nul d gu l sţun, x nuă s îndăă d nul d gu. Când foţ s lă în nul d gu, x nuă s flă l nfn. dă unul d lţ l foţ s dăă d nul d gu l sţun, x nuă s o d nul d gu. Dă x nuă nsă dţl nl l sţun, în sţun xsă nsun â d înnd â ş d omsun. În ul în x nuă nu nsă sţun, nsunl noml dn sţun sun d lş fl, f d înnd f d omsun. ulă ă xsă o sufţă în juul nulu d gu l sţun, în dă s su unul d lţ l foţ, x nuă nu nsă sţun su s l mul ngnă l s. Asă sufţă dn juul nulu d gu în lând foţ x nuă s l mul ngnă l sţun, nă ş numul sâmbu nl. Sudul sâmbulu nl nu âv sufţ sml s f în-un gf s. Dă foţ xnă s lă o xă nlă d nţ sţun, unul dn momn s nul x nuă s llă u dţ nlă. Clulul d snţă l sol omusă d go I, sol xlă u înovo, mun lulul nsun uln mxm l înnd sv, l omsun.

14 Pnu ul nl, unul l m sol l înnd s olţul dn dnul I gonom (unul T dn g..-), l m sol l omsun s olţul dn dnul III gonom (unul C dn g..-). În s un, o l fou odu vlo mxm l nsunlo. În unul T, foul xl odu nsun mxm d înnd (d lfl lş vlo în o unl), momnl înovoo, d smn nsun mxm d înnd. În unul C, foul xl odu nsun mxm d înnd, momnl înovoo, nsun mxm d omsun. În unl l m sol ş s bu sbl, s un ondţ d snţă unosuă: mx, mx, T C.-9 und: nsun dmsblă l înnd nsun dmsblă l omsun lţl xl nu lulul d snţă sun: ± ± N A N A ± ± I I ± ± I I.- und, sv, nă oodonl unulu în s lulă nsun nomlă. Vţ sţun nsun noml uln s nă în g..-. Aul lodl u s m s o înd în sol omusă d go I, und o nsunl sun d lş fl, d ngnţl. As fos n în dul olulu d osun dn mul volum l luă.. SÂBUELE CENTAL În ul lmnlo d snţă, m ls dn onsuţ, l dn ml u snţă mă l înnd (bon sml, ă nulă, ăămdă.), s fo mon nu s îng sţun nsvslă să s oduă num nsun d omsun. În s ondţ, bu ă oţ unulu d lţ l foţ noml, sfl 4

15 sţun, nsunl noml să f d lş fl. Alfl sus, bu dmn sâmbul nl. L sbl măm sâmbulu nl, s onş d l lţl du nsţ x nu u dţl nl d nţ l sufţ sţun nsvsl (lţl.-6,b), num ă în s n nsă oodonl ( ; ) l unulu d lţ l foţ, unosând nsţ x nu u dţl nl... Sâmbul nl nu sufţ dunghulă Sufţ dunghulă sţun nsvsl d dmnsunl b, sv h, s nă în g...-. b/ Cul III Sâmbul nl h h/6 h/6 Cul IV Cul II b Cul I g...- lţl d lul ul sun lţl.-6,b: I A I A..- Cul I: Punm ondţ x nuă să f ngnă l onuul sufţ în dă. În s b/: b b I A b h I A b bh b b

16 Cul II: Punm ondţ x nuă să f ngnă l onuul sufţ în sângă ( - b/): b I A b b I A b h bh b b 6..-b Cul III: Punm ondţ x nuă să f ngnă l onuul sufţ în suoă ( h/): h h I A b h I A h bh h h 6..- Cul IV: Punm ondţ x nuă să f ngnă l onuul sufţ în nfoă ( - h/): h I A h h I A b h bh h h 6..-d Punând ondţ x nuă să f ngnă l onuul sufţ ş în l un s obţn l oodon nu unul d lţ l foţ. om ş măm sâmbulu nl obţnu nu sufţ dunghulă sun n în g Sâmbul nl nu sufţ ulă S vo sud lş u l oţ x nu fţă d onuul xo sufţ ş s ulă lş lţ s-u folos ş l sufţ dunghulă. Poţl x nu l sufţ ulă d dmu d nu l u u sun n în g

17 d/4 Cul I Cul II Cul III Cul IV Sâmbul nl d g...- Cul I: 8 d d 4 d 64 d d A I A I d d 4 π π..- Cul II: 8 d d 4 d 64 d d A I A I d d 4 π π..-b Cul III: 8 d d 4 d 64 d d A I A I d d 4 π π..- Cul IV: 7

18 d I A d d I A 4 d π 64 πd d 4 d 8..-d Punând ondţ x nuă să f ngnă l sufţă ş în l un s obţn l vlo nu oodonl unulu d lţ l foţ. În ul sţun ul s obţn o vlo d/8, însmnă ă nu sufţ ulă sâmbul nl s o sufţă ulă d dmu d/4 în juul nulu d gu. om ş măm sâmbulu nl nu sufţ ulă sun n în g Sâmbul nl l sufţ I smă C ş l sufţ dunghulă s o onsd u ngn l onu (g...-), ulând u u. Cul III h Cul II b Cul I Cul IV g...- Cul I ş II: b b I I ± ±..- A A b Punl d lţ l foţ sun unl, sv (g...-). Cul III ş IV: 8

19 h h I I ± ±..-b A A b Punl d lţ l foţ sun unl, sv (g...-). C ş l sţun dunghulă, ulă ă fom sâmbulu nl s ombul (g...-)...4 Tnsun noml xm în sţun, xm funţ d lml sâmbulu nl Pnu num lmn d snţă sol l omsun u înovo, s vnjos nsunl xm (mxm, sv mnm) să f dmn n du foţ noml în o u lml sâmbulu nl l sufţ ş nu în o u nul d gu, ş um s odă în mod un. Să onsdăm o sufţă smă în o u x G, unul d lţ B l foţ noml s su să xă (g...4-). mx h h G B N/A mn g...4- Punl xm (lmă) l sâmbulu nl l sufţ x d sm G sun l dsnţl h, sv h d x G, foţ nomlă xn GB (g...4-) oţ nomlă dusă în nul d gu l sufţ, ondu l foul: N ±,..4- Dă s onsdă foţ nomlă d înnd (l omsun s v onsd u smnul -), nsunl xm s dmnă u lţl unosu: 9

20 mn mx I A N I A N Ţnând sm d xs momnulu înovoo ş ă I A, nsunl xm (lţl..4-) o f ss ş sub fom: I N I N I N I A N I N I N I N I A N mn mx..4- Ţnând um sm d lţl (.-6,b) ondu l sbl lmlo sâmbulu nl (unul d lţ l foţ) s o s: h h h h..4-4 înlou în lţl..4- ondu l: ( ) ( ) ( ) ( ) h W N h I N h W N h I N + + mn mx..4-5 Dă s noă: ( ) ( h N h N h h ) sun momnl foţ noml în o u unl lmă l sâmbulu nl l sufţ d x d sm G, ulă ă nsunl xm dn sţun s o lul u lţl:

21 mx mn W W h h..4-7 As lţ sun smănăo u l d l sol d înovo..4 TEOII DE EZISTENŢĂ. ÎNCOVOIEE CU TOSIUNE.4. To d snţă L sol smlă d înnd su omsun, nsun nlă o v o o vlo, ondu l u un ând s ng s lmă (snţ l u). L sol două dţ, nsunl nl ş, o v d smn o nfn d vlo. Es ul d şu l vlo su l ombnţ l lo două nsun nl, s ng s lmă, s odu u. În dusul nlo, ăo u în să d un ăsuns s oblm, să oă f onfm ş d xmnlă. Asfl, în nsunl nl s-u sbl o s d lţ mm, osunăo ng să lmă. As lţ sun unosu sub df dnum: o d u, o d snţă, o l sălo lmă. Do lţl sv sun sbl b To Elsăţ, xnd lo ână l u s noă. Dn s mov dnum d o d u s mo, m ov sun dnuml d o d snţă su o l sălo lmă. No l vom num o d snţă. C s lmă s v onsd ng un num s d ml: lm d ls, lm d ooţonl, lm d ug su snţ dmsblă, ână l s o ul lţl o lsăţ. C m ulă lmă s lm d ls, o f înlouă duă u,,. omul olo d snţă s bă obsvţ ă, l înnd smlă, ng lm d ls o f onsă nv, n ng un dn măml: nsun d înnd, lung, ε / E nsun ngnţlă sţun înlnă l 45 (nsun ngnţlă mxmă), τ / ng sfă d dfomţ, U d / E

22 ng sfă modfo d fomă, U df (+ν) / E. Duă um s o ons, ol d snţă sbls lţ în nsunl nl,, ondu l ng un su l dn l n măm l sălo lmă. Cu s lţ s sblş o nsun hvlnă h să d nsun (lnă su sţlă), m om u nsun osunăo să lmă d l sol d înnd smlă,. Pnu lulul d snţă s ulă ul să lmă: h.4.- În funţ d nsunl nl, l n o d snţă nă umăol lţ: To I (o nsun noml mxm) Confom s o, s lmă s ng un ând nsun nlă mxmă dn o, ng vlo nsun osunăo să lmă d l sol d înnd smlă: hi.4.- To II- (o dfomţ sf mxm) Confom s o, s lmă s ng un ând lung sfă (lung) mxmă dn o, ng vlo lung sf (lung) osunăo să lmă d l sol d înnd smlă: E E ε mx [ ν( + )] ε.4.- Tnsun hvlnă nu o II- d snţă s: hii ( + ) ν.4.-b To III- d snţă (o nsun ngnţl mxm) Confom s o, s lmă s ng un ând nsun ngnţlă mxmă ng vlo nsun ngnţl osunăo să lmă d l sol d înnd smlă: τ mx hiii.4.-4

23 To IV- (o ng sf ol d dfomţ) Confom s o, s lmă s ng un ând ng sfă d dfomţ s glă u ng d dfomţ sfă osunăo să lmă d l înnd smlă: E d und ulă: ν ( + + ) ( + + ).4.-5 E E ( + + ) ν( + + ).4.-5b hiv To V- (o ng sf modfo d fomă) Confom s o, s lmă s ng un ând ng d dfomţ sfă modfo d fomă s glă u ng d dfomţ sfă modfo d fomă osunăo să lmă d l sol d înnd smlă: + ν 6E + ν [( ) + ( ) + ( ) ] 6E.4.-6 d und s obţn: [( ) + ( ) + ( ) ] hv.4.-6b Pnu s lnă d nsun ( ), nsun hvlnă nu l n o d snţă, ăă umăo fomă: hi hii hiii hiv hv ν + + ν.4.-7

24 În ul ul l lmnlo d snţă l xsă num nsun noml în lungul x longudnl ş nsun ngnţl τ în lnul sţun, nsunl nl, u xsl unosu:, ± + 4τ.4.-8 înlou în lţl.4.-7, ondu nu s l umăo fomă: hi τ.4.-9,5 +, τ.4.-9b hii.4.-9 hiii + 4 τ.4.-9d hiv +, 6 τ.4.-9 hv + τ Căl xmnl u dmons ă nu mll n ul m o d l l du o III- ş V- d snţă, nu mll fgl, o II- d snţă. C um, dn lţl.4.-9 ul în lull d snţă, s vo lg l m ov mlulu dn sun l lmnl sv..4. Înovo u osun Înovo u osun s un dn l m înâln solă omus. În sl s înâlnă în ul bolo. L să sol, l două fou odu nsun d nuă dfă: momnul înovoo nsun noml ; momnul d osun nsun ngnţl τ. Însmnă ă sol d înovo u osun s o sol omusă d go II-. Pnu s d sol omusă, lulul d snţă s f b olo d snţă (lţl.4.-9) mun lulul nsun hvln. Pm ă d lul mun dmn să nsunlo noml, sv ngnţl τ. As nsun o ul d l solă sml su d l solă omus (d go I): 4

25 Tnsunl noml o ă, sun: N.4.- A.4.-b W N A W l ngnţl: T S τ f.4.- b I τ su τ.4.-b W W τ τ f + τ.4.- În lulul s fuă s v ţn sm d on ş snsul (smnul) nsunlo dn unul onsd. În ul bolo d sţun ulă, solţ l înovo ş osun, noduând xsl nsunlo (lţl.4.-b, sv.4.-b) în xsl nsun hvln nu l n o d snţă (lţl.4.-9), s ăă fom (funţ d fou): (I),5 ( + + ) W.4.- (II),5 +,65 W +.4.-b (III) + W.4.- 5

26 (IV) +,65 W.4.-d (V) +,75 W.4.- lţl.4.- ul nu lulul d snţă l sol omusă d înovo u osun, smănă u lţ d l înovo smlă, dă xs d l număăo s o ombnţ în momnul înovoo ş l d osun, o f onsdă un momn hvln (n înovoo n d osun). Aşd, lul d snţă nu sol omusă d înovo u osun, o f fău b un lţ gnl d fom: h(...) W.4.-4 und: h( ) nă xs momnulu hvln, osunăo un dn ol d snţă W modulul d snţă l sţun nsvsl (nu sţunl ul s o f o, nlusv W ). Dn lţl.4.- ulă xsl momnulu hvln osunăo lo n o d snţă: (I) hi,5 ( + + ).4.-5 (II),5 +, b hii (III) hiii (IV) hiii +, d (V) hiii +, Duă um s o ons, în lulul bolo d sţun ulă solţ l înovo ş osun, ful foţ ăo fos nglj. 6

27 Clulul d dmnson l sol omusă: xlă, înovo ş osun, s dsul d dfl dn un d vd l olvă uţ s obţn. Dn s mov, l s solă, lulul d dmnson s fuă b solă d înovo ş osun, duă s fuă un lul d vf u dmnsun obţnuă d d s l sol omusă nţlă. Dă s nvo s modfă dmnsun obţnuă nţl, ână ând ondţ d vf s îndlnă..5 APLICAŢII Alţ.5.. Pnu b d fonă dn g..5.- s : ) foţ blă nu P ş -9 P, mm b) dgm d vţ nsun noml în sţun ulosă. olv: 6 g..5.- El d olv lmnlo d snţă suus l solă omus sun n în-o lă lu uoulu. înâ s du foţl l în nul d gu l sţun în l ţonă ş osoul d du obţnu s un b nă num n x s gomă (g.5.-). 6 7

28 Cu înă dn g..5.-, g..5.- s să dgml d fou (o în f lu ăo l sfl d b s ngljă). Dgml ul sun n în g N + 6 g..5.- Anlând dgml d fou s onsă ă sţun ulosă s în îns, und ţonă foul: N 5 6 To l fou odu nsun noml, însmnă ă în sţun ulosă s lă o sol omusă d go I. Poblm s d fo bl ş bu dmn unl l m înns, sv l m omm. Sudnd smnul nsun noml odusă d f fo xsn în sţun ulosă, ulă ă unul l m sol l înnd s unul T, l m sol l omsun, unul C (g..5.-4). T x nuă P + C - 6, P g

29 lţl d lul ul sun l d l sol omusă d go I (lţl.-), ul nu unul T, sv C, u fom: mx mx T C A I I A I I Dn lţl no ulă vlol nu foţ blă: ' '' 6.,8 KN KN mn ' '' (, ) 6, KN Pnu unul b), bu dmnă oţ x nu. Tăul x nu u dţl nl d nţ l sţun nsvsl, s lulă u lţl.-8,b: I A I A N N mm 4,6 mm Csl gom (A, I, I ) nu sufţ dunghulă sun dsul d uşo s dmn. Poţ x nu (nţ l mul dn) ş snsul ov l dţlo nl sun n în g Duând ll l x nuă n unl l m îndă d s ( n lş un T ş C), s o s dgm d vţ nsun noml (v g..5.-4). L vlo foţ bl obţnu, bu dmnă nsun mxmă l omsun ( dn unul C): mx C 6, A 5 6, I 6 6, 6 I 6, P 9

30 Alţ.5.. Pnu b u fom, dmnsunl ş înă dn g..5.-, s : ) vf b nu 5 P b) dgm d vţ nsun noml în sţun ulosă. 4 G 5 mm KN 4 g..5.- olv: Pnu u du foţ, bu dmnă oţ nulu d gu l sţun nsvsl. Poţ nulu d gu G s nă în g Comonnl osoulu d du sun n în g..5.- dgml d fou nu bă, în g..5.-b,. 5 + N ) b) 5 ) g..5.-

31 To sţunl sun l fl d ulos. În sţun ulosă ţonă foul: N 5 d, o sol omusă d go I. Anlând smnul nsun noml odusă d f fo în sţun, ulă unul T fnd l m sol l înnd, sv C l omsun (g..5.-). C T C -79,5 P x nuă T 46,7 P Tnsunl xm sun: g..5.- mx mx T C A A ,7 I I ,5 I I P < P < ondţ d snţă s ssfăuă. În lţl no s- vu în vd ă: A 6 mm, I 49, 4 mm 4, I, 4 mm 4. Tăul x nu u dţl nl d nţ s lulă u lţl: N I 4,6 mm A

32 N I A, mm Poţ x nu, vţ nsun noml ş vlol xm l s sun n în g Alţ.5.. Pnu gnd ulă dn g..5.-, s : ) foţ blă, nu 5 P b) dgm d vţ nsun noml în sţun ulosă. m 4 d 4 mm g..5.- Dgml d fou (N ş ) sun n în g..5.-,b. N ) / / / b) g..5.- Sţun ulosă s l îmbn b oonl u vlă. Efoul dn să sţun sun:

33 N d, sol omusă go I, d u un sngu momn înovoo. Punl l m sol sun n în g C Ax nuă T g..5.- Dn l două un, m sol s unul C, und nsun nomlă s: mx A I mx Dă s în vd ă A 4 π mm, I 4 π 4 mm 4, mx mm, ulă vlo foţ bl:,4 KN Ax nuă în s, nsă num dţ nlă G (s llă u G) l dsnţ: N I A,5 mm Poţ x nu ş vţ nsun noml sţun nsvslă b sun n în g..5.-.

34 Alţ.5.4. Pnu b d sţun dunghulă dn g..5.4-, s : ) nsunl mxm l înnd, sv l omsun b) dgm d vţ nsun noml în sţun ulosă. S unos: KN, KN, KN, mm, b mm, h mm. /4 h b g olv Tosoul d du l foţlo xo s n în g..5.4-, dgml d fou osunăo în g..5.4-b,. b/ /4 b/ /4 b/ + h N /4 + h ) b) ) g

35 Sţun ulosă s în înţn, und foul u vlol: N b + h + h 4 Punl l m sol dn sţun ulosă (T, sv C) sun nd în g T C x nuă 75 P -9 P g Tnsun nomlă dn unl T, sv C, s lulă u lţl: mx mx T C N A N A + I I b + I b I Ţnând sm d vlo mămlo dn lţl no ş ă A m, I 6666,6 m 4, I 666,6 m 4, nu l două un ulă vlol: mx mx T C 75 P 9 P Tăul x nu sun: 5

36 I A I A N N,7 mm, mm Poţ x nu ş vţ nsun sţun sun n în g Alţ.5.5. Pnu b d sţun nlă dn g..5.5-, s : ) dmnsunl (d, D) l sţun nsvsl nu 6 P ş k d/d,8 und: d dmul no, D dmul xo. L nvo s v ul o V- d snţă. D KN g olv Tosoul d du l foţlo xo ş dgml d fou sun n în g..5.5-, dgml d fou fn, în g b,,d. 5 D D/ D/ D/ N D/ ) b) 5 D ) g

37 sun: Sun două sţun l fl d ulos, foul dn să sţun N 5 D D KN ulă ă în sţun ulosă s lă o sol omusă d go II- (ţun, înovo. osun). Clulul d snţă mun dmn un nsun hvln, nsă o o d snţă. În nunţul oblm s ndă o V- d snţă. S o lu în nsun su u momnul hvln ( hv ). Oăm nu m vnă: hv + τ und τ W N A + W Condţ d snţă duă o V- s un: π D 4 + π D 4 π D 4 ( k ) ( k ) ( k ) 5 D D Duă olv uţ d m sus ş ţnând sm d vlo mămlo nvn, s obţn dmnsunl sţun nsvsl: D 57 mm d 5 mm 7

38 Alţ.5.6. Două oţ d gu G ş G sun mon un bo d sţun ulă, în g Ulând o nsunlo ngnţl mxm, să s dmn dmul bolu (d), unosând: 8 P ş G G dn. 5 dn D,5 m A D B ) 4 4 d G D/ + G D/ b) 5 dn H ) [dn m] G dn. + G 6 dn V d) [dn m] ) [dn m] g olv În g..5.6-b s nă osoul d du l foţlo xo, în g..5.6-,d dgml momnulu înovoo odus d foţl ţonă în ln oonl, sv ln vl. Dgm momnulu d osun s nă în g

39 Duă o nlă vţ foulo ulă ă sţun ulosă s în mul A, und momnul înovoo uln m m vlo. În sţun ulosă s lă o sol omusă d go II-, d ă foul: H V dn m dn m dn m omnul înovoo uln dn sţun A, s: A H + V 5. dn m momnul hvln dn ş sţun, duă o III- d snţă s: hiii A dn m Condţ d snţă duă o III- d snţă ş oblmă d dmnson s: W n d hiii π hiii π d 8 mm hiii Alţ.5.7. Să s dmnson b oă d sţun ulă dn g duă o V- d snţă dă s unos: 5 P, 5 KN, mm. g

40 olv Pnu s ssm nu s nvo d n o du foţlo xo, do l sun fx x longudnlă b o. Dgml d fou sun n în g..5.7-,b,. ) N b) ) g Sţun ulosă s în l b d lungm, und ţonă foul: N H V Sol dn sţun ulosă s omusă, d go II-. Pnu dmnson s ngljă foul xl N. Dmnson s f un num l înovo oblă ş osun und s lulă o nsun hvlnă. S mun în nunţ o V- d snţă. înâ s lulă momnul înovoo uln mxm: + 5 H V momnul hvln duă o V- d snţă s: hv +, lţ d dmnson osunăo su s: 4

41 d π hv 8 mm Do l dmnson s- nglj foul xl, duă dmn n ounj dmnsun sţun nsvsl, s mun o vf ondţ d snţă ţnând sm ş d foul xl. Num duă îndln ondţ d snţă l o foul s o dmnsun dmnă (vnul modfă). Pnu ul n, dmnsun obţnuă ssf ondţ d snţă ţnând sm ş d foul xl. Obsvţ: L o xmll n nu s- us un n dosb lulul num. A ns în mod dosb însuş modulu d bod ş lo bu us în vd olvă so u d oblmă. As nu v f l ş în ul xmllo vo f n în oll umăo. 4

42 . ETODE PENTU CALCULUL DEPLASĂILO. CONSIDEAŢII GENEALE Pnu un lmn d snţă sol l înovo ondţ d snţă s modlă. D fo mul o ssf s nu s sufnă nu bun funţon lmnulu (s) sv. În s sns, s ns ş un lul l dfomţlo su. În s sudu s ă fom o duă înovo (dfom) x gomă lmnulu d snţă. Asă xă (ln) oă numl d fbă md dfomă. În ul înovo, o sţun nsvslă, sufă o dls (g..- ), în funţ d snsul în s odu, oă df dnum: θ δ x δ v ϕ fb md dfomă g..- δ x dls xlă, fnd mă în gnl s ngljă δ v dls vlă (nsvslă) su săgă θ - dls unghulă (o) Dă dls xlă δ x s ngljă, ulă ă θ ϕ (g..-). ϕ v ϕ g..- D, o sţun un b înovo sufă două dlsă: v dls lnă numă ş săgă 4

43 ϕ - dls unghulă numă ş o. Sudul dfomţlo b onsă în unoş funţl: v f (x) ş ϕ f (x).- nu o sţun s. În-un ssm d x l dn g..-, x g..- ulă ă dv ϕ.- dx Înuâ dfomţl sun m s o onsd ă gϕ ϕ. Asă gl o f ă num nu bl u dfomţ lv m, xluându-s l u dfomţ m (ul sl, lml ls.).. ETODE CLASICE PENTU CALCULUL DEPLASĂILO BAELO DEPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIEE Pnu lulul lo două dlsă odus l sol d înovo blo d, s-u dvol m mul mod. În onnu s vo n âv dn s, d f l m ul... od dubl ngă (od uţ dfnţl fb md dfom) S onsdă ă în-o sţun ună x fb md dfomă b d ubuă ρ ( s vd înovo smlă), ă xs în gom dfnţlă s d fom umăo: d v ± dx dv + dx d ± v ρ dx..- 4

44 D l sudul înovo u s- vău ă în d ubuă fb md, momnul înovoo ş gd b EI xsă lţ: E I ρ..- ρ E I Dn lţl..- ş..- s obţn: d dx v ±..- E I Cu ssmul d x dn g..- dv d odnul do v săgţ s ngvă, momnul înovoo s ov. ulă ă lţ..- ăă fom fnlă: d v dx E I..-4 Dvând înă d două o lţ..-4, s obţn: d v dx d dx E I..-5 T E I 4 d v 4 dx d T dx E I..-5b E I E I Ingând o dă uţ fb md dfom (lţ..-4) s obţn o sţun ϕ: dv ϕ dx + C dx E I..-6 ngând dn nou s obţn săg v: v dx dx + C x + C..-6b E I 44

45 und C ş C sun două onsn d ng s dmnă dn ondţl d m ş d onnu l d l un nvl l lul. Asfl: m sml în înţn v ş ϕ..-7 v ş ϕ..-7b Pnu lulul dlsălo odus l înovo n să modă, s ndă ug umăolo : s su funţl momnulu înovoo f nvl s l b s s uţ fb md dfom nu f nvl s ngă o dă să uţ ş s obţn xs o ϕ s m ngă o dă lţ obţnuă ş ulă xs nu săg v s un o ondţl d m ş d onnu d l un nvl l lul ş s obţn onsnl d ng s su xsl fnl nu dlsă f nvl s lulă dlsăl u. Anţ: nvl s nodu două onsn d ng. As luu onsu un m nonvnn nu mod dubl ngă. Alţ: Pnu b d gd onsnă dn g...- să s lul dls (săg) mxmă ş o (dls unghulă) m. x x / / / / g...- olv Pnu să bă s dlmă două nvl s: - ş -. 45

46 S olvă oblm în ll l două nvl, umându-s l d olv omnd l fnlul nă s mod. Invlul - Invlul - x E I v' ' x E I ϕ x 4 E I v x + C + C x + C + x x E I v' ' x 4 E I ϕ x x + C 4 4 E I v x x + Cx 8 x + C x v C v ϕ x + 48C + 96C v C x / 4 () () s: Condţ d onnu l d l un nvl l lul (sţun ) ϕ x / ϕ x Dn lţ () ţnând sm d (), s obţn: C 4 48 ondţ d onnu ondu l C 6 Consnl d ng fnd dmn, lţl nu dlsă osunăo lo două nvl s u fom fnlă: Pnu nvlul -: 46

47 E I ϕ x 4 E I v x x nu nvlul -: E I ϕ x 4 E I v x x 4 8 x + 48 Aum s o lul dlsăl sol: v mx v x / v x 48 E I ϕ ϕ ϕ x ϕ x / 6 E I.. od mlo nţl (mod mlo în ogn) Când în lungul b xsă m mul nvl (mul xs nu momnul înovoo), mod dubl ngă dvn dflă, dn u mulo onsn d ng (două nu f nvl). În onnu s nă o modă unvslă nu lulul dlsălo un b d d gd onsnă, numă mod mlo nţl (mod mlo în ogn) su mod ul. În să modă nvn num două onsn d ng ş num: vlol nţl (în ogn) l săgţ ş o. S onsdă o bă dă (g...-) l nu s ă modul d m. x x b x x d 4 g x 47

48 Gnd s înăă u un momn onn, o foţă onnă ş o snă unfom dsbuă. ţă d ogn O ssmulu d fnţă foţl xo u oodonl, b, sv. Cu d s- no dsnţ d l ogn ssmulu ână l sţun în s mnă ţun sn unfom dsbu. P l u nvl funţl momnulu înovoo sun:..- ( ) x..-b ( x ) ( x )..- b 4 45 ( ) ( x b) ( x ) x..-d ( ) ( ) ( x ) ( x d) x x b +..- Duă sţun 4 und sn unfom dsbuă s mnă, s onsdă ă s onnu ână l ăul b. În lus s lă o snă glă ş d sns on u, ş ă d f d l 4 s d nu m ţonă n o snă. S o ons ă f nvl, uţ d momn s d nvlul dn lus un nou mn. S ngă lţl..-,b,,d, şnd ă: E I v' '..- To bnoml dn lţl..-,b,,d, s ngă sub foml: ( x ) ( x b) dx x dx ( x b)..- ondu num l o shmb onsnlo d ng. Ingând o snguă dă (lţl..-) s obţn xsl olo: EI ϕ C..-4 EI ϕ ( x ) + C..-4b ( ) ( x b) EI ϕ x + + C..-4 ( ) ( x b) ( x ) EI ϕ 4 x C d 48

49 ( ) ( x b) ( x ) ( x d) ϕ x EI C5 Ingând înă o dă lţl..-4, s obţn xsl nu săgţ: EI v C x D ( x ) + C x..-5b EI v + D ( x ) ( x b) EI v + + C x + D ( x ) ( x b) ( x ) EI v C 4 x + D d 4 4 ( x ) ( x b) ( x ) ( x d) EI v C5 x + D S noă u ϕ o, sv u v săg, în ogn ssmulu d oodon. Snd lţ o nu ogn (x ), ulă: EI ϕ C..-6 Snd m lţ ş dou o în sţun (nu x ) sun gl (onnu d l un nvl l lul), s obţn: ( ) + C C..-7 C C L fl, în dou ş nu x b: ( x ) + C ( b ) + ( b b) + C C C..-7b Podând m d l fl, s obţn o lţ în onsnl d ng C: C..-7 C C C 4 C5 Umând lş ţonmn nu săgţ, s obţn în fnl: D..-7d D D D 4 D5 ulă ă lţl nu dlsă s o s sub o fomă onnă (s în u onsnl d ng): 49

50 EI ϕ EIϕ EI v EIv + x + EIϕ ( ) + x + ( x b) ( x ) ( x d) 4 ( x ) ( x b) ( x ) ( x d) su sub o lă fomă: ϕ ϕ v v + + ϕ EI + ( x ) ( x b) ( x ) ( x d) + +!!! EI 4 4 ( x ) ( x b) ( x ) ( x d) + +!! 4!! 4!..-9 În lţl..-8, sv..-9, foţl xo,, nvn u smn. El u smnul + dă sun on bă ş um sun on b dn g...- su um s m nă în g...-. O x g...- Ogn ssmulu d fnţă s lg înodun în sţun m dn sâng b. Consnl d ng ϕ ş v ( sun num două) s dmnă dn ondţl d m. Duă s u fos dmn ş lţl nu dlsă sun în fom lo fnlă, s o l lulul dlsălo (săgţ su o) în o sţun b. Tbu vu în vd ful ă un ând s dmnă onsnl d ng su s lulă dlsăl, în lţl fnl nvn num mn ovn d l snl su s în sâng sţun sv. D lfl nu o sţun suă und ţonă o snă, mn dn lţ u vlo nul, nu sţun su duă sn, mn sun ngv (nu s în onsd xonnul). Asfl d mn s lmnă (nu s u în onsd). Alţ: Pnu b dă dn g...- să s lul săg ş o sţun. S unoş EI,4 KN m. 5

51 KN 4 V,5 KN n m n n/ V 7,5 KN g...- olv S lulă ţunl: V,5 KN V 7,5 KN Ogn ssmulu d fnţă s în sţun. Nu xsă dâ num sn onn. lţl nu dlsă (lţl..-8) ul nu oblm dă sun: EI ϕ EI ϕ EI v EI v V + EI ϕ ( x ) ( x n) ( x n) x V + ( x ) ( x n) ( x n) 6 + V 6 V În lţl d m sus, s vu în vd ă ϕ ϕ, v v foţ dn sţun 4 nu s- lu în onsd do l lulul dlsălo nu v v f (n v v vlo o). Condţl l lmă nu lulul mlo în ogn sun: nu x v v nu x n m v Înlound s ondţ în lţl dlsălo, ulă: 6 EI ϕ n V ( n) ( n n) Dn să lţ s lulă o în ogn: ϕ ϕ,59 d Cunosându-s um dlsăl dn ogn (m nţl) s o l lulul săgţ în sţun. Pnu s în lţ săgţ s x n m: 5

52 EI v v EI ϕ EI ϕ n V,95 n V m ( n ) ( n n) ( n n) ( n ) V 6 Pnu lulul o în sţun, în lţ o s onsdă x n ş s obţn: ϕ,97 d.. od gn onjug (o) su mod oh S onsdă o gndă smlu mă înăă u o snă dsbuă duă o lg o (x) în g...-. Sub ţun s, gnd s dfomă l înovo. N ounm să dmnăm dlsăl (săg ş o) în-o sţun o s b, sţun oţonă d oodon x. Pnu gnd dă numă gndă lă, onsdăm ă m s dgm momnulu înovoo (g...-b). Însmnă ă s o s umăol lţ (dj unosu): (x) ) v ϕ x b) (x) f (x) )? x? g...- 5

53 d v EI dx ( x)..- d ( x) T( x)..-b dx ( x) dt dx d dx ( x)..- ( x) dt( x) ( x)..-d dx S onsdă um o lă gndă numă gndă onjugă su gndă oă l ău mod d m înă nu s ă ş o înăăm u sn fvă f vă duă ş lg ş momnul înovoo (x) l gn l (g...-): ( x) ( x) f..- To măml s vo f l gnd onjugă vo u d um înn ndl f. S o s nu gnd onjugă: d f T dx d dx f f ; dtf dx dtf f dx f..- Ţnând sm d lţ..-, ulă: d v EI dx d v EI dx ( x) d dx f f..-4 Ingând o dă lţ..-4 s obţn: dv dx d C..-5 dx f EI + 5

54 S un um ondţ gnd onjugă să f sfl mă înâ onsn d ng C. Cu să ondţ, lţ..-5 dvn: dv dx d und ulă xs nu o: d Tf..-6 dx f EI EI ϕ T f ϕ..-7 E I Ingând înă o dă lţ..-4 (su lţ..-6) s obţn xs săgţ: EI v f f v..-8 EI Ş l să ng s mun ondţ d m sfl înâ onsn d ng să f nulă. odul d m nu gnl onjug l âov gn l, sfl înâ onsnl d ng să f nul sun n în g...-. ) GINDA EALĂ ϕ v ϕ v GINDA CONJUGATĂ T f f T f f b) ϕ v ϕ v T f f T f f ) ϕ v ϕ v ϕ v T f f T f f T f f g

55 În ă s înâlns mul suţ ând bl u sţun vblă (momnul d nţ I l sţun nsvsl nu s onsn în lungul b). od gn onjug s dosb d lll mod u fos n, o f ulă ş nu b u sţun vblă. L lulul dlsălo în s s onş d l uţ fb md dfom, domnl (nvll) b s sbls â în funţ d snl l â ş d vţ momnulu d nţ I (x). Alând mod dubl ngă, uţ fb md dfom s: E v' ' ( x) ( x)..-9 I Pn două ngă susv s jung l xs o, sv săgţ: ( x) dx C I ( x) ( ) + + ( ) x dx dx Cx I x E ϕ +..- E v C..-b S nodu um noţun d momn înovoo dus ( d ). D smn, s fxă un momn d nţ I fţă d s fuă onvnţonl o du. omnul d nţ I s unul dn momnl d nţ l b, d ob d nvlul osunăo momnulu înovoo mxm su m mă vlo momnulu d nţ d bă. Exs fb md dfom (lţ..-9) s înmulţş u I ş ulă: EI I ( x)..- v' ' d I ( x) Ingând d două o lţ..- s obţn: EI ϕ ddx + C..- ( dx) d dx + Cx + EI..-b v C În lţl..-,..-,b, d s momnul înovoo dus în oul momnlo d nţ I / I (x): 55

56 I d ( x)..- I ( x) Aum dlsăl s lulă u lţl: ϕ v T f E I E I f..-4 Pnu lulul dlsălo în ul blo u sţun vblă, s ug lş ş l b d sţun onsnă, num ă duă s dgm momnulu înovoo s să dgm momnulu înovoo dus d ş gnd onjugă s înă u să dgmă. Pnu lulul dlsălo n mod gn onjug l bl d d sţun onsnă, s ug umăol : s să dgm d momn înovoo nu gnd lă (gnd dă) s nă gnd lă făă sn (d u m) s fomă gnd onjugă gn l (v ul dn g...-) s înă gnd onjugă u dgm momnulu înovoo l gn l (s- obţnu sfl un ssm fv) nu lulul dlsălo în-o sţun, d ssmul fv s dmnă duă foţ ăo fvă (T f ) su momnul înovoo fv ( f ) ş s lă lţl..-7 su

57 Alţ n.: Pnu gnd d gd onsnă dn g...- să s lul ϕ ş v 4. 4 ) 4 / b) ) f f f 4 f d) f f f 4f / V f / olv g...- Dgm momnulu înovoo nu gnd lă s să n suun d f ş s nă în g...-b. În g...- s nă gnd onjugă gn l. Gnd onjugă s înăă u dgm d momn înovoo obţnându-s ssmul fv (g...-d). Pnu lulul o în sţun (gnd lă) bu dmnă foţ ăo dn sţun f. Asă foţă ăo s om ţun V f dn sţun f. Duă lul s obţn: T f Vf T f ϕ EI E I 57

58 Pnu lulul săgţ dn sţun 4 (gnd lă) s lulă momnul înovoo fv dn sţun 4 f ( 4f ). Pnu xmlul sud s obţn: 4f 8 4 v 4 4 8E I Alţ n.: Să s lul o ş dls sţun nu b d gd vblă dn g I I g...-4 olv înâ s să dgm momnulu înovoo. Ş d să dă, dgm momnulu înovoo s să n suun d f (g...-5). 4 ) 4 / b) / /4 ) f f f 58

59 d) V f / /4 V f 5 / 6 f f f 4 g...-5 L s d bă bu să dgm d momn înovoo dus. omnul înovoo dus s lulă în sţunl s l b u lţ: d I I Pnu xmlul n s- onsd ă I I (momnul d nţ l mulu nvl, nvlul -). Însmnă ă s nvl dgm lă momnulu înovoo ond u dusă (nu s modfă), însă nvlul - s s du (s mşoă). Dgm momnulu înovoo dus d s nă în g...-5b. Gnd onjugă gn l s nă în g Gnd onjugă înăă u dgm momnulu înovoo dus s nă în g...-5d, obţnândus ş numul ssm fv. Aum s o lul dlsăl u. Pnu lulul so s nvo d lulul l uţn un ţun. S- lul ţun dn mul f (g...-5d). oţ ăo fvă dn sţun f s: T T f ϕ f 4 EI 4 EI momnul înovoo fv dn ş sţun s: f 7 4 v EI f 7 4 EI 59

60 . ETODA SACINII UNITAE (ETODA OH-AXWELL) În domnul ls d sol, luul mn l foţlo xo s gl u l l foţlo no (foulo). As nu s unosu sub numl d nul lu Clon. und: L L.- n m L δ + jϕ j.- j u foţl xo l j momnl xo l δ dlsăl sţunlo în ţonă foţl xo ϕ j ol sţunlo în ţonă momnl xo. Luul mn l foţlo no (s ngljă foul ăo) s d d xsl dj unosu: L N l N dx E A.- l L l L E I G I dx dx.-b.- odl d lul s bă ng d dfomţ sun mod ng. În snţ llo s unos m mul mod ng u juoul ăo s o dmn dlsăl lmnlo d snţă. od sn un su mod oh - xwll s un dn s mod. S v sud să modă do s o modă lv smlă ş s o l făă sţ dosb. E o f lă blo d, ub u sţun onsnă su vblă. 6

61 .. od oh xwll (od sn un) Dmons su odu dn mod sn un s f nu o bă dă solă l înovo. N nsă nu înu săg δ odusă în-o sţun ună gn (g...-). Asu gn ţonă un ssm d foţ nsvsl onn n în dul lo odu b dlsăl δ δ n (g...-). În lş m, doă dfomă, în gndă lu nş un momn înovoo. Confom nulu lu Clon, s o s: δ l E I dx..- Înlăuăm um o foţl xo l, în sţun în dom să lulăm săg, lăm o foţă nsvslă onnă f (g...- b). Sub ţun s gnd s dfomă în s s dvolă momnul înovoo m. În sţun în ţonă sn f, săg s δ. Pnul lu Clon în s ondu l: f δ l m E I dx..- n ) δ δ δ n δ f b) ) δ f n δ δ δ δ δ n g...- 6

62 nţnând foţ f bă (g...-) s şă dn nou ssmul d foţ n suţ în în bă xsă momnl înovoo + m. Alând nul lu Clon, s o s: δ + f δ + f δ l ( + m ) E I dx..- În lţ..- l mnul fδ nu / do foţ f ug dls δ u îng s nns, fnd dj bă ând s- l ssmul d foţ xo. Înlound mn dn sâng lţ..- în funţ d fou (lţl..-,...) s o s: l EI l dx + dx + f δ dx + dx + m EI Duă du mnlo, ulă: l δ l EI m l m EI l m E I f..-4 E I Dă lu f s bu vlo ună (unu), lţ..-4 ondu l lţ d lul săgţ un sţun: l δ m E I..-5 În lţ..-5: funţ momnulu înovoo f nvl, odus d foţl xo d l m funţ momnulu înovoo lş nvl, d odus d o snă ună onnă ţonă în sţun în s doş s lul săg. Asă foţă ună bu să bă ş dţ u dţ s lulă săg. Dă s doş s dmn o un sţun l sol d înovo s odă nlog u obsvţ ă în sţun svă s un un momn un onn. Aun, o sţun o f lulă u lţ: 6

63 ϕ l m E I..-6 und: m funţ momnulu înovoo f nvl, odus d momnul un onn us în sţun în s doş lulul o. Dă s ţn sm ş d l fou, lţl..-5,..-6 s omlă u mn d l s fou: δ ϕ N n + dx + E A N n l l m + dx + E A E I m E I l l G I m G I m..-7 und: N, funţl foulu xl, sv momnulu d osun f nvl l b, odus d foţl xo d l n, m funţl foulu xl, sv l momnulu d osun f nvl, odus d foţ ună şă în sţun în s lulă săg n, m - funţl foulu xl, sv l momnulu d osun f nvl, odus d momnul un ş în sţun în s lulă o. Obsvţ: Invl s s l nvl l b o foul nă lş funţ ş gd s onsnă. L sbl nvllo s în vd ş sţunl în umă s lul dlsăl. Exmll vo um n vo lud m bn s s. 6

64 Alţ: Pnu b d sţun vblă dn g...- să s lul dls oonlă ş vlă sţun ş o sţun. I ) b) ) d) I 4 g...- olv B nă nvl: -, -, -4. Pml două u gd l înovo EI, ulmul, EI. înâ s su funţl momnulu înovoo odus d snl l, l nvl: nvlul - x / nvlul - nvlul -4 + x Pnu lulul dlsă oonlă, b lbă d snl l, în sţun s un o foţă ună onă oonlă (g...-b). Pnu s ssm s su funţl momnulu înovoo: nvlul - m H nvlul - m H x x nvlul -4 m H ( + x) + x S lulă um dls oonlă sţun, u lţ: x m H x ( + x) ( + x) δh dx dx + dx + 4 E I E I (x) E I E I E I dx Pnu lulul dlsă sţun vlă, b lbă d snl l, în sţun s un vlă o foţă ună (g...- ). Pnu s ssm, s su funţl momnulu înovoo: 64

65 nvlul - nvlul - nvlul -4 m V x x m V m V Dls vlă sţun, s lulă u lţ: x m V ( + x) δv dx dx + dx + 9 E I 4 E I (x) x E I E I E I dx Pnu lulul o sţun, b lbă d snl l, în sţun s un un momn înovoo un (g...-d). Pnu s ssm s su funţl momnulu înovoo: nvlul - m nvlul - m nvlul -4 m o sţun s lulă u lţ: m ( + x) ϕ dx dx + dx + 7 E I E I (x) x E I E I E I dx Cunosându-s dls oonlă ş vlă sţun, s o dmn dls olă s sţun. Dls olă s lulă u lţ: δ δ + δ o H V 65

66 .. gul d ng Vşghn (odul Vşghn) Duă um s unoş, nu dmn dlsălo n mod sn un, bu fu ngl. Nu odun, s ngl sun uşo d fu. Dn s mov, Vşghn dvol o modă gfonlă folosnd însă o mod sn un. Asă modă î oă numl. C um s m o să s dnumsă odu ş nu modă, do sbl l nu s o nouă modă, mod fnd sn un. Dn ă s odu nu l o ul d b o f ul. S onsdă o oţun dn-o bă dă nă dgm d momn înovoo dn g...-. Pn înlău snlo d l ş un sn un în sţun în umă s dmn dls, lş nvl, v ul nu s ssm o vţ lnă momnulu înovoo (g...-b). x x ) b) x dω x x C dx Ω x x + b x m + b x g...- Punul C nă nul d gu l dgm d momn înovoo odus d snl d l. Ingll d oh-xwll folos nu lulul dlsălo în mod sn un o f ss sfl: x x x x x m dx m ( dx) ( + b x) dω dω + b x x x x x Ω + b Ω x Ω ( + b x ) Ω m x dω D s- obţnu: 66

67 x x m δ Ω Ω E I m m..- În lţ..-: Ω dgm d momn înovoo odus d snl d l m vlo momnulu înovoo odus d foţ ună, dn sţun osunăo nulu d gu C l dgm momnulu înovoo l snlo d l (l sufţ Ω ) Anlog, o s o dmn u lţ: x x m ϕ Ω Ω E I m m..- und: m - vlo momnulu înovoo odus d momnul un, dn sţun osunăo nulu d gu C l dgm momnulu înovoo l snlo d l (l sufţ Ω ) Obsvţ. Duă um s o ons, în s odu nu s m olvă ngl, în shmb s să dgm d fou. L sufţl dgmlo d fou bu unosuă ş oţ nulu d gu l so sufţ. Dn s onsdn, s omnd dgml d fou să f s n suun d f, sfl s obţn sufţ sml l s unoş ş oţ nulu d gu. În g...-, s nă âv sufţ ds înâln în lulul dlsălo, u lţ ş oţ nulu d gu. b b/ b/ h A b h h b A b h / b/ b/ 67

68 b b/4 b/4 h A b h / A b h / b/8 5b/8 g...- Podul Vşghn s o ul num nvll d l b. Alţ: Pnu b oă d gd onsnă, dn g...-, lând odul Vşghn, s : ) dls vlă ş oonlă sţun b) o sţun g...- olv Pnu lulul dlsălo, odul Vşghn, mun s dgmlo d fou l snlo d l. Ş în s s v lu în onsd num momnl. Pnu s xmlu, momn d osun nu xsă. Dgm momnulu înovoo l foţ l s nă în g ) b) ) d) g

69 Pnu lulul dlsă sţun oonlă, în sţun s un o foţă ună oonlă ş s să dgm momnulu înovoo (g...-4b). Cu dgml dn g...-4 d und s sufţ Ω ş l dn g...-4b d und s momnul m dn sţun osunăo nulu d gu l sufţ Ω, s lulă dls oonlă sţun : EI δ H δ H + E I + Pnu lul dlsă sţun vlă, în sţun s un o foţă ună vlă ş s să dgm momnulu înovoo (g...-4). Cu dgml dn g...-4 d und s sufţ Ω ş l dn g...-4 d und s momnul m dn sţun osunăo nulu d gu l sufţ Ω, s lulă dls vlă sţun : EI δ δ V V + + E I 6 + Pnu lul o sţun, în sţun s un un momn un ş s să dgm momnulu înovoo (g...-4d). Cu dgml dn g...-4 d und s sufţ Ω ş l dn g...-4d d und s momnul m dn sţun osunăo nulu d gu l sufţ Ω, s lulă o sţun : EIϕ + + ϕ E I 6 Obsvţ: P nvll und dgml momnulu înovoo l snlo d l ş l l snlo un sun ăţ ous, odusul Ω m s ngv ( smnul -). În dgml snlo un, momnl m, sv m sun îngoş. 69

70 .4. SISTEE STATIC NEDETEINATE Un ssm s s ndmn un ând număul nunosulo (ţun ş fou) s m m dâ număul uţlo d hlbu s o s nu l ssm. Dfnţ dn număul nunosulo ş l l uţlo d hlbu ndă gdul d ndmn (n) l ssmulu. Când nunosul sun ţun (g..4-) ssmul s s ndmn xo, ând nunosul sun fou (g..4-b) ssmul s s ndmn no, ând nunosul sun â ţun â ş fou (g..4-) ssmul s s ndmn xo ş no ( o no ş o dă xo). n n ) b) n 4 ) g..4- O ulţ mşoă gdul d ndmn u o un. Dă în-o ulţ s înâlns b, gdul d ndmn sd u două unăţ. În gnl, dă în-o ulţ s înâlns s b, fţă d l unosu, gdul d ndmn sd u s unăţ. S onsdăm un ssm s ndmn d n o. Înlăuând d ssmul l (s ndmn) o snl l ş lgăul sulmn (număul lo s gl u gdul d ndmn) s obţn ş numul ssm d bă (SB). Dă d ssmul l s înlăuă num lgăul sulmn, ş s s înlous u foţl osunăo lgăulo înlău, s obţn un ssm hvln (SE). Dsgu, s ssm s hvln u l l, num dă dlsăl ssmulu obţnu n înlou lgăulo sulmn u foţl osunăo sun lş u l l ssmulu l (s ndmn). Aşd, în loul lgăulo sulmn ş înlău, bu nodus foţ d lgăuă su fou (duă ) să bă o sfl d vlo înâ îmună u snl d l să oduă ssmulu lş dlsă (ln su oţ) în ul ssmulu s ndmn (ssmul l). În gnl, s dlsă sun nul. L înu s înă ssmul d bă ( s un ssm s dmn ş nînă) num u snl d l. În sţunl und s- 7

71 u înlău lgău, s odu dlsăl: δ, δ δ n. Înăând um ( ând) ssmul d bă u foţl d lgăuă X, X, X n, s vo odu în sţunl sv dlsăl δ X, δ X δ Xn. Sum dlsălo foţlo d l ş lo d lgăuă bu să f nulă: δ δ... δ n + δ + δ + δ X X nx + δ + δ + δ X X nx δ δ δ X n X nx n n.4- Dă s lă nu foţ X foţ un ş unosând ă dlsăl sun ooţonl u foţl un (su ulu un) l: δ δ X.4- X j j j ssmul d uţ (lţl.4-) s o s sub fom: δ δ... δ n + δ + δ + δ n X X X + δ + δ + δ n X X X δ n δ δ n nn X n X X n n.4- und: δ j dls dţ odusă d foţ ună ţonă dţ j δ dls dţ odusă d snl d l. Ssmul d uţ (lţl.4-4) nă ssmul d uţ non nu ssmul s ndmn. olvând s ssm d uţ, s dmnă foţl d lgăuă sulmn l ssmulu s ndmn. Pnu dmn ofnţlo ssmulu d uţ non ( sun dlsă) s omndă ug umăolo : 7

72 s sblş gdul d ndmn n l ssmulu l (S) s sblş ul ndmnă s: xo, no su no-xo Pnu lulul dlsălo s odă în flul umăo: dn S s fomă ssmul hvln SE, l m onvnbl dn SE s fomă ssmul d bă SB osunăo gdulu d ndmn, s s ssmul d uţ non (lţl.4-) Pnu ul ând n, ssmul d uţ non (d ondţ) s d fom: δ δ δ + δ + δ + δ X X X + δ + δ + δ X X X + δ + δ + δ X X X s SB ş s înă ând: m înâ u snl d l ş în funţ d odul ls (oh- xwll su Vşghn) s su funţl d fou su s să dgml d fou, s noă u N,, u nunosul X, X X n ş nu f sfl d înă, funţ d odul ls, s su funţl d fou su s să dgml d fou, s noă u: (n, m, m ), (n, m, m ) (n n, m n, m n ) u N,, ş (n, m, m ), (n, m, m ) (n n, m n, m n ) s lulă ofnţ ssmulu d uţ non. Ind, j so ofnţ ndă ş funţl su dgml s ulă nu lulul ofnţlo unosându-s ofnţ ssmulu, s s olvă ş s obţn nunosul X, X, X n SE s înlous nunosul X, X, X n u vlol ş snsul lo l, obţnându-s sfl un ssm s dmn nu ssmul s dmn sfl obţnu, s o fu lul d snţă su d dlsă olv unu ssm u un gd m d ndmn, s o oţ dflă, doă â unu numă m d ofnţ (dlsă) â ş olvă unu ssm ln onţn un numă m d uţ. În lţl dn onsuţ d mşn, s înâlns ssm d b u un gd m d ndmn. D mul o s nă sm, înă d l înu, m dmn su unoş uno nunosu, f ă l sun nul, f ă sun gl h. Cunoş so nunosu du număul uţlo non ş smlfă mul lulul. Asfl nu un lmn d snţă ln ş sm: înă sm, în sţunl uns în lnul d sm s unoş foul ăo. Dă în sţunl dn lnul d sm nu xsă foţ 7

73 ăo (nsvsl) onn, în s sţun, foul ăo s nul g..4-), dă xsă o foţă ăo onnă, un s s dsbu l două fţ l sţun, în mod gl (g..4-b). Pnu lmnl d snţă sm înă sm, foul xl ş momnul înovoo sun sm, foul ăo s nsm. X X X X S X / SE ) b) g..4- înă nsm, în sţunl uns în lnul d sm, s unos foul xl ş înovoo. Dă în s sţun nu xsă l foţă xlă su momn înovoo, în s sţun foul xl ş l înovoo sun nul (g..4-). Dă însă în s sţun xsă foţ xl su momn onn, foul xl ş momnul înovoo dn s sţun s dsbu l două fţ l sţun dn lnul d sm, în mod gl. Pnu ssml sm înă nsm dgm foulu xl ş momnulu înovoo sun nsm, foţ ăo s smă. X S SE g..4- Ssml sm înă sm su nsm nă ş vnjul ă s o onsd num jumă dn ssm. L ssml dublu sm, lulul s smlfă ş m mul. 7

74 .5 APLICAŢII Alţ.5.. Să s d ndmn să nu b d gd onsnă dn g g..5.- olv Ssmul 4 ţun ş fnd ln s o s uţ d hlbu. ulă ă ssmul s o dă s ndmn xo (lgău sulmnă s o foţă d lgăuă). O vnă ssmulu hvln SE s nă în g..5.-, ssmul d bă SB s nă în g..5.-b. X SE SB ) b) g..5.- Ssmul d uţ non nu s onţn o snguă uţ: δ X X + δ δ δ Pnu lulul ofnţlo s uţ s odă sfl: ssmul d bă SB s înă u snl d l ş s să dgm d momn înovoo, noă u (s- o nu odul Vşghn). S obţn ssmul dn g..5.- ssmul d bă SB s înă u nunosu X ş s să dgm momnulu înovoo m (g..5.-b) 74

75 / m X ) g..5.- s lulă ofnţ ssmulu d uţ non. Pnu δ s luă u dgm (d und s sufţ Ω) ş u dgm m d und s vlo m b) EI δ δ E I + 6 EI δ + 6 δ Cu vlol dmn nu ofnţ, ulă vlo nunosu: X Ssmul s dmn ul, s n în g / SE g

76 Pnu s ssm s o fu um lulul d snţă su d dlsă, duă gull unosu. Alţ.5.. Să s d ndmn nu b d gd onsnă dn g g..5.- olv Ssmul s d o s ndmn xo ( 6 ţun ş uţ d hlbu). Ssmul hvln SE ş l d bă SB sun n în g..5.-,b. X X X Ssmul d uţ non osunăo gdulu d ndmn s: δ δ δ X X X ) b) g δ + δ + δ X X X + δ + δ + δ X X X + δ + δ + δ Pnu lulul ofnţlo ssmulu, s să dgml momnulu înovoo nu ssmul d bă înă u sn dsbuă (g..5.-) ş u nunosul X, X, X (g..5.-b,,d). ) X m b) 76

77 X X m m ) d) g..5.- Cu noţl dn g..5.- l dgmlo momnulu înovoo, nd ofnţlo ssmulu d uţ non, ndând dgml u s luă, s obţn: EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ + EI δ Cofnţ ssmulu d uţ non fnd dmnţ, s o lul măm nunosulo. S obţn vlol: X X X 9 77

78 Ssmul s dmn s n în g..5.-4, o f lul m d. / / 9 / g Alţ.5.. Să s d ndmn nu dul d gd onsnă dn g g..5.- olv Ssmul s s ndmn no d o, d s sm, înă sm. Însmnă ă în sţunl uns în x d sm s unoş măm foulu ăo. Pnu dul nosu, în s sţun foul ăo s nul (nu xsă foţă ăo onnă în s sţun). Ssmul hvln ş l d bă sun n în g..5.-,b. SE ) SB b) X X g

79 Ssmul d uţ non nu s ssm (sun num două nunosu) s: δ δ X X + δ + δ X X + δ + δ Pnu dmn ofnţlo, s să dgml momnulu înovoo nu ssmul d bă înă u foţl l (g..5.-), sv nu nunosul X, X (g..5.-b,). S ulă num o jumă dn ssmul d bă. m m X X ) b) ) g..5.- Cu dgml dn g..5.-, s o dmn ofnţ ssmulu d uţ non: EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ Duă olv ssmulu d uţ non, s obţn: X X Vlo nulă foulu xl dn sţun suă x d sm ( onsdă) u f nă. 79

80 Ssmul s dmn um fom (g..5.-4): / g Alţ.5.4. Pnu dul d gd onsnă dn g s să s d ndmn să. g olv Cdul s s ndmn d 6 o ( xo ş no). onu ln înhs nodu nunosu (fou). Duă um s obsvă, ssmul nl s sm înă nsm. În sţunl uns în lnul d sm s unos foul xl ş momnul înovoo. În s, l sun nul. S v onsd num o jumă d du. Ssmul hvln SE ş ssmul d bă SB ul sun n în g..5.4-,b. / X / X SE ) b) g SB 8

81 Ssmul d uţ non nu gdul do d ndmn s: δ δ X X + δ + δ X X + δ + δ Dgml snlo l ş lo un s nă în g / / X / / / X m / m / / g Cu dgml dn g s dmnă ofnţ ssmulu d uţ non. EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ EI δ Cu s vlo dmn nu ofnţ ssmulu d uţ d ondţ ş duă olv su, nu nunosul X ş X s obţn vlol: X,745 X 4 7 4,8 8

82 Ssmul s dmn ul s n în g /,745 / /,8 / g Es dsul d uşo d s um dgml d fou nu îng dul. S să m înâ nu o jumă d du. Pnu llă jumă s să n sm, sv nsm. S ş ă l un ssm sm înă nsm, foul ăo s sm, foul xl ş momnul înovoo sun nsm. Dgml d fou nu dul dn g sun n în g ,745 /,745 / N T,8 /,96 /,8,87,9,9 g

83 O ssm o f dsomus în-un ssm sm ş unul nsm. Un xmlu smlu s ă în g / / / / g

84 . STABILITATEA ECHILIBULUI ELASTIC. LABAJUL. CONSIDEAŢII GENEALE S onsdă o bă vlă (lungm m în o u dmnsunl nsvsl) solă l omsun d o foţă xlă (g..-). L înu vlo foţ s lv mă. Sub ţun s foţ b s suă d ămân dă. Dă b s lă ll o foţă *, b s dfomă ll, d duă înlău foţ vn md l oţ dă vuă no. * g..- În s, s sun ă b s în hlbu ls sbl. S măş foţ l un momn d, l l foţ ll * b s dfomă însă duă înlău s, b nu m vn l fom dă vuă înn d l foţ xl. B s flă în hlbu ls nsbl. Vlo foţ nu b u în hlbu nsbl, s o vlo ă, foţ s numş foţă ă ş s noă u. nomnul d l un b dn hlbu sbl în unul nsbl, oă numl d flmbj. L ş m l foţ xl l s, dfom llă b ş fo mul. În ul în un lmn d snţă ş- du sbl, s o v lo în domn: domnul ls, ând duă înlău sn xl, b vn l fom nţlă, dă dă domnul lso-ls, suţ în, duă înlău sn xl, b îş m dmnuă dn dfom, d nu vn l fom nţlă domnul ls, ând b ămân l fom dfomă ş duă înlău sn xl. Pnu un lmn d snţă să-ş îndlnsă olul funţonl, s ns, lângă ll, să nu-ş dă sbl lsă. Pd sblăţ ls, nă şd, o s lmă nu bu nsă în-un 84

85 lmn d snţă. Dă ouş s fnomn lo, s d f să s oduă în domnul ls, do în s, înlău mdă sn ovo flmbjul, ondu l f fom nţl lmnulu d snţă. Pd sblăţ ls lmnlo d snţă o v lo în m mul suţ, nu num l o sol xlă d omsun. S vo n âv sfl d u, s înâlns m ds în ă.. CALCULUL OŢEI CITICE DE LABAJ LA BAELE DEPTE ZVELTE SOLICITATE LA COPESIUNE AXIALĂ (OULA LUI EULE) Pnu lmnl d snţă susbl d îş d sbl, s dosb d mon să s unosă vlo foţ d flmbj, dă vlo foţ xl d omsun l s îş d sbl. S vo sud u vn, vându-s în vd ful ă foţ ă d flmbj s în m olţ u modul d m l b... B ulă l mbl S onsdă o bă dă vlă su ă ţonă l omsun om foţ ă (g...-). v x x l g...- Sub ţun foţ b s dfomă ll. L o dsnţă x d mul, foţ ă dmnă un momn înovoo :..- Euţ fb md dfom nu s ondu l : d dx..- E I E I 85

86 Noând u..- E I lţ..- dvn: d dx d + dx..-4 s o uţ dfnţlă Eul, ă soluţ s d fom: A sn x + Bos x..-5 Dmn onsnlo A, sv B, s f unând ondţl d m: Pnu x B Asn x..-6 Pnu x l Asnl..-7 Cum A, ulă ă sn l, d und: su l k π (u k,,...) E I l k π d und ulă xs foţ d flmbj: k π l E I Do dn mulţm osblă vlolo ul nsă vlo mnmă l s odu flmbjul, s v onsd ul nu k ş I I mn. Cu s ă, foţ mnmă ă d flmbj s dă d lţ: 86