Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ Δράση Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

Transcript

1 Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά Ασβεστάς Μάριος 1, Μαντζαβίνος Διονύσιος 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 1, Παπαδοπούλου Έλενα 1, Σαριδάκης Γιάννης 1, Σηφαλάκης Τάσος 1, Φωκάς Αθανάσιος 2 2 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής Πανεπιστήμιο Cambridge Cambridge CB3 0WA, UK 1 Εργαστήριο Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, Πολυτεχνείο Κρήτης Νοέμβριος 2015 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

2 Στόχος Η βασική ερευνητική δραστηριότητα που θα αναπτυχθεί στοχεύει στην μελέτη και προσαρμογή της καινοτόμου αυτής μαθηματικής μεθόδου μετασχηματισμού-φωκά για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων ΜΔΕ με ασυνεχείς συντελεστές Στην διαδικασία αυτή περιλαμβάνεται η ανάπτυξη αναλυτικών ή αριθμητικών μεθόδων επίλυσης των γενικευμένων συνθηκών ή των αντίστοιχων Dirichlet-Neumann απεικονίσεων στην περίπτωση ασυνεχών συντελεστών καθώς και η ανάπτυξη λύσεων κλειστής μορφής ως προς τον χρόνο σε ευαίσθητα εξελικτικά προβλήματα αιχμής πχ πρόβλημα εξέλιξης καρκινικών όγκων εγκεφάλου) για την άμεση παραγωγή αποτελεσμάτων στον χρόνο χωρίς ενδιάμεσα χρονικά βήματα Στόχος 1 Επέκταση μεθόδου σε ΜΔΕ με ασυνεχείς συντελεστές Στόχος 2 Αριθμητική λύση Στόχος 3 Εφαρμογή σε εξελικτικά προβλήματα Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

3 Γιατί Μέθοδος Μετασχηματισμου Φωκά? Συνεχές ΠΑΤ: q t = q xx x R, t 0, T] qx, 0) = fx) x R Λύση: qx, t) = 1 2π + e ikx k2 t fcj k)dk Αναλυτική ακριβής) λύση σε κλειστή μορφή Η λύση δεν εξαρτάται από προηγούμενα χρονικά βήματα Έχει καλή αριθμητική συμπεριφορά Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

4 Τι υπήρχε για εξελικτικές ΜΔΕ Μέθοδος Φωκά Διαφορετικές ΜΔΕ συνεχείς συντελεστές) Διαφορετικά χωρία συνεχείς συντελεστές) Καμία ΜΔΕ με ασυνεχείς συντελεστές Αριθμητική Υλοποίηση Flyer, Φωκάς 2008) σταθεροί συντελεστές) Παπαθεοδώρου - Κανδύλη 2009) σταθεροί συντελεστές) Καμία ΜΔΕ με ασυνεχείς συντελεστές Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

5 Ασυνεχές Μοντέλο c t = x Dx) c ) + ρt)cx, t), x ρ5 c x, 0) = fx) c x a, t) =c x b, t) =0 x [a, b], 0 < t T ρ4 ρ3 ρ2 D1 D2 D3 D4 D5 ρ1 a Σχήμα: Χωρικά ασυνεχής συντελεστής Dx) Σχήμα: Χρονικά ασυνεχής συντελεστής ρt) 0 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

6 Μετασχηματισμένα Συνεχή Υποπροβλήματα Χρονικοί Μετασχηματισμοί ux, t) =e Rt) cx, t) με Rt) = t 0 ρs)ds, u t = D i u xx σε κάθε i-υποχωρίο Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

7 Αντιμετώπιση Ασυνεχειών Χωρικές ασυνέχειες u j) = u j+1) D j u j) x = D j+1 u j+1) x Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

8 Αντιμετώπιση Ασυνεχειών Χωρικές ασυνέχειες u j) = u j+1) D j u j) x = D j+1 u j+1) x Χρονικές ασυνέχειες Επανεκκίνηση της μεθόδου κάθε φορά που εμφανίζεται ασυνέχεια στον χρόνο ρt)) Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

9 Συνοριακές Συνθήκες - Συνθήκες Συμβατότητας u 1 u 2 u 3 u 1x =0 u 3x =0 u 1 = u 2 u 2 = u 3 γu 1x = u 2x u 2x = γu 3x Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

10 Η Ολική Συνθήκη στην Πρώτη Περιοχή) e γk2tû 1 k, t) = f 1 k)+γe ikw 1 [ ũ 1x w1,γk 2) + ikũ 1 w1,γk 2) ] γe ika [ ũ 1x a,γk 2 ) + ikũ 1 a,γk 2 ) ] û 1 k, t) = w 1 a w 1 e ikx u 1 x, t)dx f 1 r) = e irx f 1 x) dx ũ 1,γk 2 ) = ũ 1x,γk 2 ) = a t 0 t 0 e γk2s u 1, s) ds e γk2s u 1x, s) ds Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Fourier t-μετασχηματισμός t-μετασχηματισμός Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

11 Οι Ολικές Συνθήκες α) 1η περιοχή e γk2tû 1 k, t) = f 1 k)+γe ikw 1 [ ũ 1x w1,γk 2) + ikũ 1 w1,γk 2) ] γe ika [ ũ 1x a,γk 2 ) + ikũ 1 a,γk 2 ) ] 2η περιοχή e k2tû 2 k, t) = f 2 k)+e ikw 2 [ ũ 2x w2, k 2) + ikũ 2 w2, k 2) ] e ikw 1 [ ũ 2x w1, k 2) + ikũ 2 w1, k 2) ] 3η περιοχή e γk2tû 3 k, t) = f 3 k)+γe ikb [ ũ 3x b,γk 2 ) + ikũ 3 b,γk 2 ) ] γe ikw 2 [ ũ 3x w2,γk 2) + ikũ 3 w2,γk 2) ] Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

12 Οι Ολικές Συνθήκες β) 1η περιοχή e k2tû 1 ck, t) = f 1 ck)+γe ickw 1 [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2) ] γe icka ickũ 1 a, k 2 ) 2η περιοχή e k2tû 2 k, t) = f 2 k)+e ikw 2 [ ũ 2x w2, k 2) + ikũ 2 w2, k 2) ] 3η περιοχή e ikw 1 [γũ 1x w1, k 2) + ikũ 1 w1, k 2) ] e k2tû 3 ck, t) = f 3 ck)+γe ickb ickũ 3 b, k 2 ) γe ickw 2 [ 1 γ ũ2x w2, k 2) + ickũ 2 w2, k 2) ] όπου c = γ 1/2 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

13 n Περιοχές - Γραμμικό Σύστημα 2n) 2n) A = Au=W B 1 D 1 E F 1 H 1 I B 2 C 2 D 2 E F 2 G 2 H 2 I B n 1 C n 1 D n 1 E n F n 1 G n 1 H n 1 I n B n C n D n F n G n H n B j =+ic j γ j ke icjkwj 1 C j =+γ j 1 e icjkwj 1 γ j = γ, j =1, 3, 5, D j = ic j γ j ke icjkwj E j = γ j e icjkwj γ j =1, j =2, 4, 6, F j = ic j γ j ke ic jkw j 1 G j =+γ j 1 e ic jkw j 1 w 0 = a H j =+ic j γ j ke ic jkw j I j = γ j e ic jkw j w n = b Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

14 Ολοκληρωτική Αναπαράσταση της λύσης u j) x, t) = c j 2π 1 2πc j 1 2πc j + e ic jkx k 2 t F j) c j k)dk e ic jkx w j 1 ) k 2t [ũ j) x w j 1, k 2 )+ic j kũ j) w j 1, k 2 )]dk e ic jkx w j ) k 2t [ũ j) x w j, k 2 )+ic j kũ j) w j, k 2 )]dk Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά 1)

15 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης Complex Plane C πραγματικός άξονας στο D + + Uk) dk D + Uk) dk D + D + D + πραγματικός άξονας στο D D D + Uk) dk D Uk) dk D Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

16 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης Complex Plane C πραγματικός άξονας στο D + + Uk) dk D + Uk) dk D + D + D + πραγματικός άξονας στο D D D + Uk) dk D Uk) dk D Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

17 Μονοπάτια Ολοκλήρωσης συν) Upper Complex Plane C + ike ickx a) e k2t U k) dk D + Re k 2) > 0 C Re k 2) D + < 0 Re k 2) < 0 C + e ickx a) αναλυτική για Im [k] 0 e k2t αναλυτική για Re [ k 2] 0 D = {k C : Re k 2 < 0} ike ickx a) e k2t U k) αναλυτική στο C + \ D 0 Cauchy: + =0 πράσινο Jordan: =0 μπλέ μπλέ κόκκινο Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

18 Στόχος 1 + u j) x, t) = c j e ic jkx k 2 t F j) c j k)dk 2π 1 e ic jkx w j 1) k2t [ũ j) x w j 1, k 2 )+ic j kũ j) w j 1, k 2 )]dk 2πc j D + 1 e ic jkx w j ) k2t [ũ j) x w j, k 2 )+ic j kũ j) w j, k 2 )]dk 2πc j D Μέθοδος Φωκά Επεκτείνεται αβίαστα σε προβλήματα με ασυνεχείς συντελεστές Αναλυτική λύση σε ολοκληρωτική μορφή) Δεν χρειάζεται η λύση σε προηγούμενα χρονικά βήματα Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

19 Υπερβολικά Μονοπάτια Υπερβολή D + dk Παραμετροποίηση Υπερβολή dk Imagk) D + k = kθ) =±i sinβ iθ) D Realk) Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

20 Κατάλληλη για Αριθμητική Μέθοδος R U θ) dθ U θ) dθ R Ερώτηση Πώς να επιλέξουμε το R? Linear Scale Log Scale R e ickx a) e k2t Uk)dθ R Απάντηση e k2t 10 M θ θ R = 1 2 ln 4t+8M ln 10 t Σχήμα: Πραγματικό μέρος ολοκληρωτέου Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

21 Επαναλαμβανόμενοι Υπολογισμοί R 1 u 1, t) = + cγ e ick w1) e k 2 t [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2)] dθ 2π R 1 R 2 cγ ike ick a) e k 2t ũ 1 a, k 2 ) dθ 2π R 2 R 3 u 1, t) = + cγ e ickx2 w1) e k 2 t [ ũ 1x w1, k 2) + ickũ 1 w1, k 2)] dθ 2π R 3 R 4 cγ ike ickx2 a) e k 2t ũ 1 a, k 2 ) dθ 2π R 4 Χρησιμοποιούμε κανόνα ολοκλήρωσης με τα ίδια σημεία ολοκλήρωσης για όλα τα διαφορετικά χωρικά σημεία x i, t) Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

22 Ομαλές Λύσεις Σχήμα: Αριθμητικές λύσεις Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

23 Αριθμητική Ολοκλήρωση: Σύγκλιση Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

24 Στόχος Αριθμητική Λύση Ομαλή συμπεριφορά της λύσης Λύση συνεχής παντού και λεία παντού εκτός από τα σημεία χωρικής ασυνέχειας Σχεδόν εκθετική σύγκλιση των κανόνων ολοκλήρωσης για καλές αρχικές συνθήκες) Χρόνος σε pc) τάξης milliseconds για μερικά σημεία και τάξης milliseconds/10 για τα υπόλοιπα σημεία Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

25 Εφαρμογή σε Ιατρικά Μοντέλα Εφαρμογή της μεθόδου Φωκά σε μοντέλα διάδοσης καρκινικών όγκων εγκεφάλου Σε αυτά τα μοντέλα παρουσιάζονται χρονικές ασυνέχειες λόγω της ανομοιογένειας του εγκεφαλικού ιστού και χρονικές ασυνέχειες λόγω της έναρξης και παύσης της ραδιοθεραπείας και της χημειοθεραπείας Growth! c t = D g c x ) x + ρ c c t = D w c x ) x + ρ c c t = D g c x ) x + ρ c T F!!!!!!!!Growth! Radiotherapy! c t = D g c x ) x + ρ c Gc c t = D g c x ) x + ρ c Rc Gc c t = D g c x ) x + ρ c Rc c t = D g c x ) x + ρ c c t = D w c x ) x + ρ c Gc c t = D g c x ) x + ρ c Gc c t = D w c x ) x + ρ c Rc Gc c t = D g c x ) x + ρ c Rc Gc c t = D w c x ) x + ρ c Rc c t = D g c x ) x + ρ c Rc c t = D w c x ) x + ρ c c t = D g c x ) x + ρ c x Ω g x Ω w x Ω g Chemotherapy! T N T M T R T G 0 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

26 Εφαρμογή σε Ιατρικά Μοντέλα: Αποτελέσματα α) Χωρίς θεραπεία β) Μόνο ραδιοθεραπεία Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

27 Εφαρμογή σε Ιατρικά Μοντέλα: Αποτελέσματα β) Μόνο ραδιοθεραπεία γ) Ραδιοθεραπεία και χημειοθεραπεία Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

28 Στόχος 3 Εφαρμογή Μεθόδου σε Πρόβλημα Εξέλιξης Καρκινικών Όγκων Εγκεφάλου Ομαλή συμπεριφορά της λύσης Λύση συνεχής παντού και λεία παντού εκτός από τα σημεία χωρικής ασυνέχειας Σχεδόν εκθετική σύγκλιση των κανόνων ολοκλήρωσης για καλές αρχικές συνθήκες) Ιατρικά συμπεράσματα Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

29 Μέθοδος Φωκά για Προβλήματα με Ασυνεχείς Συντελεστές Συμπεράσματα Επεκτείνεται αβίαστα σε προβλήματα με ασυνεχείς συντελεστές Αναλυτική λύση Δεν χρειάζεται η λύση σε προηγούμενα χρονικά βήματα Ομαλή συμπεριφορά της αριθμητικής λύσης Σχεδόν εκθετική σύγκλιση των κανόνων ολοκλήρωσης Μελοντικά Η μή επανεκκίνηση στις χρονικές ασυνέχειες Βελτίωση σύγκλισης για τυχαίες αρχικές συνθήκες Επέκταση και σε πιο σύνθετα μοντέλα Επέκταση σε παραπάνω χωρικές διαστάσεις Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

30 Παραδοτέα Παπαδομανωλάκη Μαρία, Η μέθοδος Collocation για παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης: στην κατεύθυνση προσομοίωσης καρκινικών όγκων εγκεφάλου Διδακτορική Διατριβή 2012 Δ Μαντζαβίνος, Μ Παπαδομανωλάκη, Ι Σαριδάκης, Α Σηφαλάκης Fokas transform method for a brain tumor invasion model with heterogeneous diffusion in 1+1 dimensions, Applied Numerical Mathematics, doi:101016/japnum Μ Ασβεστάς Εφαρμογή της μεθόδου Φωκά στο μαθηματικό μοντέλο διάχυσης των καρκινικών κυττάρων σε n+1 εγκεφαλικές περιοχές, Μεταπτυχιακή Διατριβή 2013 Μ Ασβεστάς, Α Σηφαλάκης, Ε Παπαδοπούλου, Ι Σαριδάκης, Fokas method for a multi-domain linear reactiondiffusion equation with discontinuous diffusivity, 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences 2013 Μ Ασβεστάς, Ε Παπαδοπούλου, Α Σηφαλάκης, Ι Σαριδάκης The Unified Transform for a Class of Reaction- Diffusion Problems with Discontinuous Time Dependent Parameters, World Congress of Engineering 2015 Α Σηφαλάκης, Μ Παπαδομανωλάκη, Ε Παπαδοπούλου και Ι Σαριδάκης, The Fokas Method for Heterogeneous Reaction-Diffusion Brain Tumor Models that Incorporate Radiotherapy and Chemotherapy, extended version - submitted Α Φωκάς, Α Χειμωνάς και Δ Μαντζαβίνος, The non-linear Schrödinger equation on the half-line, Transactions of the American Mathematical Society accepted) Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

31 Παραδοτέα Παπαδομανωλάκη Μαρία, Η μέθοδος Collocation για παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης: στην κατεύθυνση προσομοίωσης καρκινικών όγκων εγκεφάλου Διδακτορική Διατριβή 2012 Δ Μαντζαβίνος, Μ Παπαδομανωλάκη, Ι Σαριδάκης, Α Σηφαλάκης Fokas transform method for a brain tumor invasion model with heterogeneous diffusion in 1+1 dimensions, Applied Numerical Mathematics, doi:101016/japnum Μ Ασβεστάς Εφαρμογή της μεθόδου Φωκά στο μαθηματικό μοντέλο διάχυσης των καρκινικών κυττάρων σε n+1 εγκεφαλικές περιοχές, Μεταπτυχιακή Διατριβή 2013 Μ Ασβεστάς, Α Σηφαλάκης, Ε Παπαδοπούλου, Ι Σαριδάκης, Fokas method for a multi-domain linear reactiondiffusion equation with discontinuous diffusivity, 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences 2013 Μ Ασβεστάς, Ε Παπαδοπούλου, Α Σηφαλάκης, Ι Σαριδάκης The Unified Transform for a Class of Reaction- Diffusion Problems with Discontinuous Time Dependent Parameters, World Congress of Engineering 2015 Α Σηφαλάκης, Μ Παπαδομανωλάκη, Ε Παπαδοπούλου και Ι Σαριδάκης, The Fokas Method for Heterogeneous Reaction-Diffusion Brain Tumor Models that Incorporate Radiotherapy and Chemotherapy, extended version - submitted Α Φωκάς, Α Χειμωνάς και Δ Μαντζαβίνος, The non-linear Schrödinger equation on the half-line, Transactions of the American Mathematical Society accepted) Τέλος The End!!! Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά