Συνέχεια - Παράγωγος ως συνάρτηση. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Transcript

1 4 η Διάλεξη Συνέχεια - Παράγωγος ως συνάρτηση 27 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

2 Συνέχεια Oρισµός Σηµειακή συνέχεια Eσωτερικό σηµείο: Mια συνάρτηση y f(x) είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σηµείο c του πεδίου ορισµού της αν lim xlc f(x) f(c). Aκραίο σηµείο: Mια συνάρτηση y f(x) είναι συνεχής στο αριστερό άκρο a ή συνεχής στο δεξιό άκρο b του πεδίου ορισµού της αν lim x a f(x) = f(a) ή lim f(x) = f(b), αντίστοιχα. x b 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2

3 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3 Kριτήριο συνέχειας Mια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο x c αν και µόνο αν πληροί τους ακόλουθους τρεις όρους: 1. υπάρχει το f(c) (το c ανήκει στο πεδίο ορισµού της f ) 2. υπάρχει το lim xlc f(x) (η f έχει όριο καθώς x l c) 3. lim xlc f(x) f(c) (το όριο ισούται µε την τιµή της συναρτήσεως)

4 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 4

5 Μία συνάρτηση f(x) είναι δεξιά ή αριστερά συνεχής στο lim σηµείο c του πεδίου ορισµού της όταν: f (x) = f (c) ή x c + x c f x = f c 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5

6 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6

7 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7

8 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8 Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του διαστήµατος Συνεχής συνάρτηση καλείται µία συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της

9 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9

10 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10

11 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11 Συνεχείς συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους: πολυώνυµα ρητές συναρτήσεις συναρτήσεις µε ρίζες (y = n x, n θετικός ακέραιος µεγαλύτερος του 1) τριγωνοµετρικές συναρτήσεις αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις εκθετικές συναρτήσεις λογαριθµικές συναρτήσεις. l

12 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 12 Θεώρηµα 8 Iδιότητες συνεχών συναρτήσεων Aν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x c, τότε και οι ακόλουθοι συνδυασµοί είναι συνεχείς στο x c. 1. Aθροίσµατα: f g 2. ιαφορές: f g 3. Γινόµενα: f g 4. Σταθερά πολλαπλάσια: k f, για τυχόντα αριθµό k 5. Πηλίκα: f/ g, για g(c) 0

13 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13 l Θεώρηµα 9 Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Aν η f είναι συνεχής στο c και η g είναι συνεχής στο f(c), τότε η σύνθετη συνάρτηση g f είναι συνεχής στο c.

14 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14

15 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 Θεώρηµα 10 To θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής για συνεχείς συναρτήσεις Mια συνάρτηση y f(x) που είναι συνεχής σε κλειστό διάστηµα [a, b] παίρνει όλες τις τιµές µεταξύ των f(a) και f(b). Mε άλλα λόγια, αν y 0 είναι τυχούσα ενδιάµεση τιµή µεταξύ των f(a) και f(b), τότε y 0 f(c) για κάποιο c στο [a, b]. f(b) y y f(x) y 0 f(a) 0 a c b x

16 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 16

17 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 17 Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) ως προς x είναι η συνάρτηση f (x) που ορίζεται ως f ( x) = lim h 0 ( + ) ( ) f x h f x υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. h f ( ) f ( x) f x + Δx ( x) = lim Δx 0 Δx f ( x) = lim z x f ( z) f ( x) z x

18 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18 f (x) = x f ( x) = lim h 0 f ( x + h) f ( x) h = lim h 0 x + h x h 1 = lim h 0 h h x + h + x = 1 2 x

19 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 Συμβολισμός Παραγώγιση ή Διαφόριση y = f (x) t = χρόνος y = s(t)!y =!s(t) y = f ( x) = dy dx = df dx = d dx f (x) = D( f )(x) = D f (x) x Newton Leibniz f ( x ) 0 = dy dx x=x0 = df dx x=x0 = d dx f (x) x=x 0

20 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 20 Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο x=c υπάρχει η παράγωγος f (c) Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a,b) όταν υπάρχει η παράγωγος f (x) για κάθε a<x<b Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [a,b] όταν είναι παραγωγίσιµη στο (a,b) και υπάρχει η δεξιά παράγωγος f (a) και η αριστερή παράγωγος f (b) f (a) = lim h 0 + f ( a + h) f ( a) h δεξιά παράγωγος στο a f (b) = lim h 0 f ( a + h) f ( a) h αριστερή παράγωγος στο b

21 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 21

22 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 22

23 / / 1. a corner, where the one-sided derivatives differ. 1. a corner, where the one-sided derivatives differ. 2. a cusp, where the slope of PQ approaches 00 from one side aod - 00 from the other. 2. a cusp, where the slope of PQ approach 00 from one side aod - 00 from the othe / / 3. a vertical tangent, 4. a discontinuity (two examples shown). 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 23

24 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24 Εάν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο x=c τότε η f(x) είναι συνεχής στο x=c Αρκεί lim f (x)= f (c) lim x c h 0 f (c+ h)= f (c) το οποίο ισχύει αϕού lim h 0 f (c+ h)= lim h 0 f (c)+ = f (c)+ f (c)lim h 0 h= f (c) f (c+h) f (c) h h Εάν η συνάρτηση f(x) είναι ασυνεχής στο x=c τότε η f(x) είναι µη-παραγωγίσιµη στο x=c

25 Θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής για παραγώγους Εάν a και b είναι δύο τυχαία σηµεία ενός διαστήµατος στο οποίο η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη τότε η παράγωγος f η παίρνει όλες τις τιµές µεταξύ του f (a) και f (b) 27/09/ Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 25