Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος"

ÏἸάϊρος Βασιλικός
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (, ) Το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το στο οποίο η f είναι παντού συνεχής. Υπολογίζουμε τις παραγώγους μέχρι ης τάξης: fx x f x+ fxx 6x f 6 fx fx Οι πρώτες παράγωγοι ορίζονται σε όλο το επομένως τα κρίσιμα σημεία είναι οι λύσεις του συστήματος: f x x () f x+ () H () δίνει x (). Αντικαθιστώντας την () στην () παίρνουμε: 4 4 x+ x x+ x 4 4 x( 48 + x ) x ή 48 + x x ήx 4 Από την () έχουμε: για x και για x 4 4 Άρα τα κρίσιμα σημεία είναι, τα (,) και (4, 4) fxx fx Η εσσιανή της f δίνεται ως Hx (, ) fxx f fx fx f Υπολογίζουμε την εσσιανή στα δύο κρίσιμα σημεία: H (, ) 44 < Επομένως το σημείο (,) είναι σαγματικό σημείο.

2 4 H (4, 4) 4 > 4 ελάχιστο στο σημείο (4,4) ίσο με f (4, 4) 59 Άσκηση (Μονάδες.5) και επειδή f xx (4, 4) 4 > η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I c 8x + 6 ds όπου c είναι το άνω μισό της έλλειψης x Έστω f( x, ) 8x + 6 Η καμπύλη c σε παραμετρική μορφή γράφεται ως x cost rt ( ):, t π sin t Επομένως r'( t) sin t,cost και r'( t) sin t + cost 4sin t+ 9cos t ( ) ( ) Επίσης η εικόνα της καμπύλης μέσω της είναι η: f rt ( ()) sin t sin t 8 cos 6 sin 4 cos t+ 44sin t ( t) + ( t) sin t sin t 6 9cos 4sin 9cos t+ 4sin Επομένως ( t+ t) t

3 I f ( x, ) ds f r () t r '() t dt c ( ) π 4sin t + 9cos t dt sin t 9cos t+ 4sin π π sin t dt [ cost] π t Άσκηση (Μονάδες ) Έστω η z f( x, ) με x t, sin t. Δεδομένου ότι η f έχει συνεχείς παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, να υπολογισθούν με αλυσιδωτή παραγώγιση οι παράγωγοι dz dt και d z dt Χρησιμοποιούμε τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: dz z dx d + () dt x dt dt Είναι όμως dx d ( t ) 6t () dt dt και d d ( sin t) cost () dt dt Επομένως η () λόγω των (),() δίνει dz 6t + cost z (4) dt x Για τον υπολογισμό τώρα της δεύτερης παραγώγου της z ως προς t θα πρέπει να παραγωγίσουμε την (4) ως προς t : d z d dz d z d z z d z 6t cost 6 6t sin t cost dt dt dt dt x x dt x dt (5) Οι, όμως είναι συναρτήσεις των x, και επειδή τα x, είναι συναρτήσεις του t θα είναι και οι x, (εμμέσως) συναρτήσεις του t (δια μέσου των x,). Έτσι για τον υπολογισμό των παραγώγων x τους ως προς t θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: d z z dx z d z dx z d + + (6) dt x x x dt x dt x dt x dt

4 d dx d z dx z d + + (7) dt x dt dt x dt dt Εισάγοντας τις σχέσεις () και () στις (6) και (7) παίρνουμε: d 6t z cost z + (8) dt x x x d z 6t z + cost z (9) dt x Έτσι η (5) λόγω των (8) και (9) γίνεται τελικά: d z z z z z 6 + 6t 6 cos sin cos 6 cos t + t t + t t + t dt x x x x z z z 6 sin t + 6t + 4t cost + 4 cos t x x x Άσκηση 4 (Μονάδες ) ln Να δείξετε ότι το πεδίο (, ) ˆ x F x + x + i + + x ˆj, με x>, > είναι x συντηρητικό. Στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού f και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I F Tˆ ds όπου c η καμπύλη του σχήματος: c A c B μεταξύ των σημείων A(,) και B(,) Η F ορίζεται σε όλο το Έστω: (απλά συνεκτικό χωρίο).

5 Mx (, ) + x + x N( x, ) x ln x + Επομένως M N + x x Άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Υπολογίζουμε τη συνάρτηση δυναμικού του πεδίου: Θέλουμε να ισχύει fx + x + () x f F ln x f + x () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας το σταθερό, παίρνουμε x ln ( ) f + x + dx x + + x + h (), όπου h ( ) μία συνάρτηση μόνον του. x Για να βρούμε την h ( ) παραγωγίζουμε την () ως προς και παίρνουμε: f ln x dh( ) x + + d (4) Από τις (4) και () παίρνουμε: dh( ) d (5) Ολοκληρώνοντας την (5) ως προς έχουμε: (6) h ( ) d h ( ) + c Επομένως η () λόγω της (6) δίνει:

6 ln x x f ( x, ) + + x + + c Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων θα έχουμε: F dr f ( B) f ( A) f (,) f (,) C ln ln ln + Άσκηση 5 (Μονάδες ) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα: αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης x I x ddx + αφού προηγουμένως πραγματοποιήσετε x x x Το χωρίο ολοκλήρωσης δεν είναι οριζόντια απλό γι αυτό θα πρέπει να το σπάσουμε σε δύο υποχωρία. Επομένως: I I + I x + dxd + x + dxd Υπολογίζουμε ξεχωριστά τα ολοκληρώματα: x x x 4 5 I x + dxd + x d + d + 6 4

7 x x I x+ dxd + x d x ( ) + ( ) d d Επομένως 5 I + Άσκηση 6 (Μονάδες.5) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Green να υπολογιστεί η κυκλοφορία του πεδίου της καμπύλης R με R: { x + 4} F x, κατά μήκος R Το χωρίο ολοκλήρωσης R φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Η F και οι παράγωγοι της είναι προφανώς συνεχείς στο χωρίο R. Το χωρίο R είναι πολλαπλά συνεκτικό. To σύνορο R αποτελείται από απλές, κλειστές, τμηματικά λεία καμπύλες και θεωρούμε φορά διαγραφής αυτή που εμφανίζεται στο σχήμα. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις το θεώρημα Green ισχύει.

8 Έστω Mx (, ) Nx (, ) x Τότε N M ( ) Mdx + Nd da x + da x + da x R R R R Ροή κατ ά µ ήκος της R Μετασχηματίζουμε σε πολικές συντεταγμένες (Ιακωβιανή του μετασχηματισμού: J παίρνουμε: R π π 4 π r [ ] 45 Mdx + Nd r drdθ dθ r dr θ π 4 r ) και

Σχετικά έγγραφα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

/4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z