Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις...
|
|
- Αἴσων Μήτζου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 Δ2.4/2 1.1 Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1+1 διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης και χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1+1 διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης και χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις
3 Δ2.4/3 Την περίοδο αυτή βελτιώθηκε και επεκτάθηκε ο μαθηματικός φορμαλισμός της μεθόδου μετασχηματισμού Φωκά για γραμμικές ΜΔΕ με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης, ώστε η παραγόμενη αναλυτική λύση να συμπεριλάβει τη γενικευμένη περίπτωση των πολλαπλών χωρίων με ακαθόριστου πλήθους περιοχών ασυνέχειας και αρχικών πηγών καθώς και με συνεχείς χρονικά εξαρτώμενες παραμέτρους, στις διαστάσεις. Παράλληλα, ολοκληρώθηκε από την ερευνητική ομάδα του καθ. Α. Φωκά η ανάπτυξη φορμαλισμού για την αντιμετώπιση της εξίσωσης θερμότητας στις δύο διαστάσεις (βλ. [2]) και επομένως ξεκίνησε η προσπάθεια επέκτασης της μεθόδου σε προβλήματα πολλαπλών πεδίων με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης. 1+1 Κύριος στόχος της παρούσας ερευνητικής δραστηριότητας αποτελεί η επέκταση του μαθηματικού φορμαλισμού που έχουμε αναπτύξει αναφορικά με τη μέθοδο μετασχηματισμού Φωκά ώστε να καταστεί δυνατή η επίλυση γενικευμένων οικογενειών προβλημάτων πολλαπλών πεδίων τα οποία χαρακτηρίζονται από συντελεστές οι οποίοι μεταβάλλονται χρονικά. 2+1 Κύριος στόχος της παρούσας ερευνητικής δραστηριότητας αποτελεί η μελέτη της σχετικής βιβλιογραφίας για την ανάπτυξη της μεθόδου μετασχηματισμού Φωκά σε προβλήματα δύο χωρικών διαστάσεων ώστε να καταστεί δυνατή η ανάπτυξη κατάλληλου φορμαλισμού για την περίπτωση ενδιαφέροντος των προβλημάτων πολλαπλών πεδίων με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης. Ιδιαίτερη έμφαση φυσικά δίδεται στα πρόσφατα αποτελέσματα της συνεργαζόμενης ομάδας του Παν. Cambridge για την εξίσωση της θερμότητας στις δύο διαστάσεις.
4 Δ2.4/4 1+1 Η επέκταση της μεθόδου Φωκά για την επίλυση της γενικευμένης οικογένειας προβλημάτων με χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές βασίζεται στην χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών και αλλαγής μεταβλητών ώστε τα προβλήματα αυτά να μετασχηματιστούν σε προβλήματα για τα οποία η αναλυτική λύση τους μέσω του μετασχηματισμού Φωκά είναι εύκολα παραγόμενη από τα μέχρι τώρα αποτελέσματά μας για προβλήματα με χρονικά ανεξάρτητους συντελεστές. Πιο συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε το αδιάστατο Πρόβλημα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών (ΠΑΣΤ): c t = (D(x, t)c x ) x + ρ(t)c(x, t), x [a, b], t 0 c x (a, t) = 0 και c x (b, t) = 0 c(x, 0) = f(x) := M δ(x ξ i ), ξ i (a, b) i=1 όπου ο συντελεστής διάχυσης D(x, t) ορίζεται ως:, (1) D(x, t) = χ(t)γ j, x R j, j = 1,..., n + 1 (2) με R j := (w j 1, w j ) και a w 0 < w 1 < w 2 <... < w n < w n+1 b. Το πρόβλημα θεωρείται πολλαπλών πεδίων αφού σε κάθε περιοχή R j η μερική διαφορική εξίσωση που καλούμαστε να επιλύσουμε είναι διαφορετική, ενώ ο συντελεστής D(x, t) είναι χρονικά εξαρτώμενος. Στην κατεύθυνση μετατροπής του παραπάνω προβλήματος σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα με χρονικά ανεξάρτητους συντελεστές αποδεικνύουμε τα παρακάτω λήμματα: c(x, t) u(x, t) u(x, t) = e R(t) c(x, t) R(t) = u(x, t) t 0 ρ(s)ds, (3) u(x, t) = (D(x, t) u(x, t)). (4) t
5 Δ2.4/5 Παρατηρώντας ότι Ṙ(t) = ρ(t) και παραγωγίζοντας την (3) ως προς t, εύκολα βλέπουμε ότι : e R(t) t c(x, t) = u(x, t) + ρ(t)u(x, t). (5) t Πολλαπλασιάζοντας τώρα την (25) με e R(t) καταλήγουμε στην e R(t) c(x, t) = (D(x, t) u(x, t)) + ρ(t)u(x, t), (6) t η οποία συνδυαζόμενη με την σχέση (5) ολοκληρώνει την απόδειξη. Ανακαλώντας, την μορφή του D(x, t) από την (2), μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι: u(x, t) τ τ(t) = u(x, τ) t 0 χ(s)ds, (7) u(x, τ) = (D(x) u(x, τ)). (8) τ Γράφοντας D(x, t) = χ(t)d(x) η εξίσωση (4) του Λήμματος 1 γίνεται: Το γεγονός ότι : u(x, t) = χ(t) (D(x) u(x, t)). (9) t dτ u(x, t) = u(x, τ) = χ(t) u(x, τ), (10) t dt τ τ ολοκληρώνει την απόδειξη. Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω λήμματα, το ΠΑΣΤ μπορεί να γραφεί στην μορφή: u τ = (Du x ) x, x [a, b], τ > 0 u x (a, τ) = 0 και u x (b, τ) = 0 u(x, 0) = f(x) := M i=1 δ(x ξ i ), ξ i (a, b), (11) όπου η χρονική μεταβλητή τ έχει οριστεί στην (7), δ(x) δηλώνει τη συνάρτηση δ(x) του Dirac και D D(x) είναι μια ασυνεχής συνάρτηση του x που ορίζεται ως: D(x) = γ j, x R j, j = 1,..., n + 1. (12)
6 Δ2.4/6 Αν θεωρήσουμε ότι u (j) (x, τ) η λύση του προβλήματος στο διάστημα R j := [w j 1, w j ], η λύση του (11) είναι η (βλ. Τεχνική Έκθεση 2013 και τις σχετικές δημοσιεύσεις): u (j) (x, τ) = c j 2π + 1 2πc j 1 2πc j e ic jkx k 2 τ f (j) (c j k)dk + + e ic jk(x w j 1 ) k 2 τ e ic jk(x w j ) k 2 τ [ ] ũ x (j) (w j 1, k 2 ) + ic j kũ (j) (w j 1, k 2 ) dk [ ] ũ x (j) (w j, k 2 ) + ic j kũ (j) (w j, k 2 ) dk. όπου f (j) (x) είναι οι μετασχηματισμοί Fourier των συναρτήσεων f (j) (x) (13) f (j) (k) = wj w j 1 e ikx f (j) (x)dx, (14) c j είναι συνάρτηση του γ j c j = γ 1 2 j και οι ποσότητες ũ (j) (w j 1, k 2 ) για κάθε j = 1, 2,..., n + 1 ũ (j) (w j, k 2 ) για κάθε j = 1, 2,..., n + 1 ũ (j) x (w j 1, k 2 ) για κάθε j = 2, 3,..., n + 1 ũ (j) x (w j, k 2 ) για κάθε j = 1, 2,..., n. δίδονται από την λύση του συστήματος G =, (15)
7 Δ2.4/7 με G = A (1) 1 A (1) 3 A (1) A (1) 5 A (1) 7 A (1) A (2) 1 A (2) 2 A (2) 3 A (2) A (2) 5 A (2) 6 A (2) 7 A (2) A (n) 1 A (n) 2 A (n) 3 A (n) A (n) 5 A (n) 6 A (n) 7 A (n) A (n+1) 1 A (n+1) 2 A (n+1) A (n+1) 5 A (n+1) 6 A (n+1) 7, i A (j) i 1 ic j γ j ke ic jkw j 1 2 γ j 1 e ic jkw j 1 3 ic j γ j ke ic jkw j 4 γ j e ic jkw j 5 ic j γ j ke ic jkw j 1 6 γ j 1 e ic jkw j 1 7 ic j γ j ke ic jkw j 8 γ j e ic jkw j, = ũ (1) (w 0, k 2 ) ũ (1) (w 1, k 2 ) ũ (1) x (w 1, k 2 ). ũ (n) (w n, k 2 ) ũ (n) x (w n, k 2 ) ũ (n+1) (w n+1, k 2 ) και = f (1) (c 1 k) f (1) ( c 1 k) f (2) (c 2 k) f (2) ( c 2 k). f (n) (c n k) f (n) ( c n k) f (n+1) (c n+1 k) f (n+1) ( c n+1 k). Επομένως, δεδομένου ότι η συνάρτηση (7) τ(t) είναι αμφιμονοσήμαντη, η λύση
8 Δ2.4/8 του αρχικού προβλήματος (1) δίνεται από την: + c (j) (x, t) = c j (t)) 2π e R(τ e ic jkx k 2 τ 1 (t) f (j) (c j k)dk + 1 2πc j e R (τ 1 (t)) e ic jk(x w j 1 ) k 2 τ 1 (t) [ ] ũ (j) x (w j 1, k 2 ) + ic j kũ (j) (w j 1, k 2 ) dk + 1 2πc j e R(τ 1 (t)) e ic jk(x w j ) k 2 τ 1 (t) [ ] ũ (j) x (w j, k 2 ) + ic j kũ (j) (w j, k 2 ) dk. (16) Το πρόβλημα που μελέτησε η συνεργαζόμενη ομάδα του Παν. Cambridge (Φωκάς/Μαντζαβίνος) αναφέρεται στην εξίσωση της θερμότητας στις δύο διαστάσεις με πλάγιες Neumann συνοριακές συνθήκες, και πιο συγκεκριμένα (βλ. [2]): u t = u xx + u yy, x, y (0, ), t > 0 u(x, y, 0) = u 0 (x, y), x, y (0, ) cos β 1 u x (x, 0, t) sin β 1 u y (x, 0, t) = F 1 (x, t), x (0, ), t > 0 cos β 2 u x (0, y, t) sin β 2 u y (0, y, t) = F 2 (y, t), y (0, ), t > 0. (17) Η αναλυτική λύση του παραπάνω προβλήματος επετεύχθη μέσω της παρακάτω γενικής διαδικασίας (βλ. [2]): 1. Μετατροπή της εξίσωσης u t = u xx + u yy
9 Δ2.4/9 στην αποκλίνουσα μορφή: ( ) e ik 1x ik 2 y+(k1 2+k2 2 )t u t [ ] = e ik 1x ik 2 y+(k1 2+k2 2 )t (u x + ik 1 u) [ ] + e ik 1x ik 2 y+(k1 2+k2 2 )t (u y + ik 2 u) 2. Χρήση του θεωρήματος Gauss για την παραγωγή της (global relation). 3. Επίλυση της ολικής συνθήκης ως προς τον μετασχηματισμό Fourier της λύσης u(x, y, t). 4. Χρήση αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier και καθορισμό της λύσης u(x, y, t). Η ερευνητική ομάδα του Πολυτεχνείου Κρήτης σε συνεργασία με ερευνητική ομάδα του Παν. Cambridge, μελετά την δυνατότητα επέκτασης της ανωτέρω γενικής μεθόδου σε ένα πρόβλημα δυο ορθογώνιων χωρικών πεδίων, με Neumann συνοριακές συνθήκες και κατάλληλες συνθήκες συνέχειας στην διεπαφή, όπως απεικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί. u y = 0 x y u x = 0 u t = γ 1 ( u xx + u yy ) u = γ t 2 u xx + u yy ( ) u x = 0 u y = 0 Το πρόβλημα αυτό βρίσκεται σε εξέλιξη.
10 Δ2.4/10 Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε μια εφαρμογή της μεθόδου που αναπτύχθηκε σε προβλήματα ιατρικής. Η μαθηματική εξίσωση του μοντέλου διάχυσης καρκινικών όγκων στον εγκέφαλο δίνεται από τη σχέση: c t = ( D c) + ρ c, (18) όπου c(, t) είναι ο αριθμός των κυττάρων στη θέση x την χρονική στιγμή t, το ρ παριστάνει το ποσοστό της ανάπτυξης των κυττάρων συμπεριλαμβανομένου και του πολλαπλασιασμού τους και του θανάτου τους ( /day, cf. [1]), και D( ) είναι η σταθερά διάχυσης των κυττάρων στον ιστό του εγκεφάλου που δίνεται από την σχέση D g, ανήκει στην φαιά ουσία ( x Ω w ) D = D( ) = D w, ανήκει στην λευκή ουσία ( x Ω g ), (19) με D g και D w να είναι βαθμωτές ποσότητες με D w > D g. Το μοντέλο ολοκληρώνεται με zero flux συνοριακές συνθήκες που υποδηλώνουν τη μη επέκταση των καρκινικών κυττάρων εκτός της περιοχής του εγκεφάλου, και αρχική συνθήκη c(, 0) = f( ), όπου f( x) δείχνει την αρχική χωρική κατανομή των κακοηθών κυττάρων. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί μέρος μια γενικότερης κατηγορίας προβλημάτων στα οποία οι παράμετροι διάχυσης και ανάδρασης εξαρτώνται και από τον χρόνο. D( x, t) = χ( t) D( x) και ρ ρ( t), (20) όπου χ( t) 0 και ρ( t) 0 είναι συνεχείς συναρτήσεις ως προς t. Χρησιμοποιώντας τις αδιάστατες μεταβλητές (βλ. επίσης [5], [4]) ρ0 t = ρ 0 t, x = x, χ(t) = χ( ρ 0 t), γ = D g, (21) χ 0 Dw χ 0 D w όπου 1, x Ω w D D(x) =, D(x, t) = χ(t)d(x), (22) γ, x Ω g ρ ρ(t) = 1 ρ 0 ρ( ρ 0 t), f(x) = f ( ) ρ0 x χ 0 Dw, (23)
11 Δ2.4/11 και c(x, t) = χ D ( ) 0 w ρ0 c x, ρ 0 t ρ 0 N 0 χ 0 Dw, (24) με N 0 = f( x)d x να δηλώνει την αρχικό πλήθος κακοηθών κυττάρων για t 0 = 0, ρ 0 = ρ( t 0 ) και χ 0 = χ( t 0 ), καταλήγουμε στην αδιάστατη μορφή της διαφορικής εξίσωσης: c(x, t) = (D(x, t) c(x, t)) + ρ(t)c(x, t). (25) t Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό καθώς και την μεταβλητή c(x, t) = e R (t)u(x, t) όπου R(t) = τ τ(t) = t 0 χ(s)ds καταλήγουμε στην παρακάτω μορφή του μοντέλου: u t = (Du x ) x, x [a, b], t 0 t 0 ρ(s)ds u x (a, t) = 0 and u x (b, t) = 0 u(x, 0) = f(x) := M δ(x ξ i ), ξ i (a, b) i=1, (26) όπου δ(x) δηλώνει την Dirac delta συνάρτηση. Λαμβάνοντας υπόψιν την ετερογένεια του εγκεφαλικού ιστού (λευκή - φαιά ουσία), θεωρούμε ότι το διάστημα [a, b] είναι χωρισμένο σε n + 1 περιοχές R j := (w j 1, w j ), με a w 0 < w 1 < w 2 <... < w n < w n+1 b, και εάν, για κάποιο j, η R j είναι η λευκή περιοχή, τότε η R j 1 και R j+1 θα είναι η φαιά περιοχή. Συνεπώς η αδιάστατη μορφή του συντελεστή διάχυσης D(x) γίνεται: D(x) = γ j, x R j, j = 1,..., n + 1 (27) με D g /D w, όταν η R j είναι η φαιά ουσία γ j := 1, when R j είναι λευκή ουσία. (28) Στο μοντέλο 26 θεωρούμε [a, b] = [ 5, 5] και εσωτερικά σημεία [w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 ] = [ 3, 2, 1, 0, 3].
12 Δ2.4/12 Επίσης χ(t) = 0.2t, γ j = γ = D g /D w = 0.2 για κάθε j = 1, 3, 5 και ρ = 1. Στο σχήμα 1, παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της πυκνότητας των κυττάρων c(x, t) για την περίπτωση δυο αρχικών πηγών κεντραρισμένων στα ξ 1 = 4 και ξ 2 = 1, για διάφορα χρονικά βήματα t = t m (m = 0, 1,...). Δηλαδή κάθε καμπύλη στο σχήμα αναπαριστά την πυκνότητα των κυττάρων σε μια δεδομένη χρονική στιγμή c(x, t m ). Εντελώς ανάλογα στο σχήμα 2 παρουσιάζεται η περίπτωση μιας πηγής κυττάρων κεντραρισμένη στο ξ 1 = c(x; t) x Σχήμα 1: Χρονική εξέλιξη του πυκνότητας του όγκου c(x, t) για δυο πηγές c(x; t) x Σχήμα 2: Χρονική εξέλιξη του πυκνότητας του όγκου c(x, t) για μια πηγή. Παρατηρείστε ότι και στις δυο περιπτώσεις η λύση είναι συνεχής και ομαλή σε
13 Δ2.4/13 όλο το διάστημα εκτός από τα σημεία διεπαφής όπως αναμένονταν. Το σχετικό σφάλμα δίνεται από τον τύπο E N := u N i+1 u Ni u Ni+1, όπου N δηλώνει το πλήθος των σημείων ολοκλήρωσης και u N είναι η αντίστοιχη αριθμητική λύση. Από το σχήμα 3 παρατηρούμε την ταχεία πτώση του σφάλματος E N Error EN Qudrature Points N Σχήμα 3: Το σχετικό σφάλμα E N Παρουσιάσεις σε διεθνή συνέδρια ως εξής: - Α. Σηφαλάκης, M. Παπαδομανωλάκη, Ε. Παπαδοπούλου, Ι. Σαριδάκης, Fokas transform method for classes of advection-diffusion IBVPs, NUMAN 2014, CMA 2014 Η παρούσα τεχνική έκθεση. Η παρούσα έρευνα πραγματοποιήθηκε από την ερευνητική ομάδα του Πολυτεχνείου Κρήτης (ΚΕΟ 1) αποτελούμενη από τους καθ. Ι. Σαριδάκη, καθ. Ε.
14 Δ2.4/14 Παπαδοπούλου, Δρ. Σηφαλάκη Αναστάση, Δρ. Μ. Παπαδομανωλάκη σε συνεργασία με τον καθηγητή Α. Φωκά και τον Δ. Μαντζαβίνο του Παν. Cambridge. Εφαρμογή της μεθόδου σε προβλήματα εξέλιξης καρκινικών όγκων τα οποία συμπεριλαμβάνουν και πρωτόκολλα ραδιοθεραπείας και χημειοθεραπείας που επιβάλλουν και χρονικές ασυνέχειες. Εξέλιξη του φορμαλισμού στις 2+1 διαστάσεις. [1] Cook J, Woodward DE, Tracqui P και Murray JD (1995), J Neurooncol., 24, 131. [2] D. Mantzavinos and A.S. Fokas,, European Journal of Applied Mathematics, (submitted) [3] Kalimeris K. και Fokas AS, Studies in Applied Mathematics, 124, [4] Swanson KR, Alvord EC Jr και Murray JD, Cell Proliferation, 33, , [5] K. R. Swanson,, PHD Thesis, University of Washington, 1999.
Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα
Το Πρόβλημα Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα Διονύσιος Μαντζαβίνος 1, Παπαδοπούλου Έλενα 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 2, Σαριδάκης Γιάννης 2, Σηφαλάκης Τάσος 2, Ασβεστάς Μάριος 2 1 Τμήμα Εφαρμοσμένων
Διαβάστε περισσότεραΘαλής MATENVMED - ΜΙΣ Δράση Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά
Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ 379416 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά Ασβεστάς Μάριος 1, Μαντζαβίνος Διονύσιος 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 1, Παπαδοπούλου Έλενα 1, Σαριδάκης Γιάννης 1, Σηφαλάκης Τάσος 1,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για παραβολικά γραμμικά προβλήματα, με χωρικές και χρονικές ασυνέχειες, στις διαστάσεις...
Δ2.4/2 1.1 Μέθοδος Φωκά για παραβολικά γραμμικά προβλήματα, με χωρικές και χρονικές ασυνέχειες, στις 1 + 1 διαστάσεις........ 3 1.2 Εισαγωγή στις δύο χωρικές διαστάσεις και σε μη-γραμμικά προβλήματα................................
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Έκθεση Μαθηματικό Μοντέλο προσομοίωσης καρκινικών όγκων στον Εγκέφαλο
Δ4.2/2 2.1 Μαθηματικό Μοντέλο προσομοίωσης καρκινικών όγκων στον Εγκέφαλο.................................. 3 2.2 Ασυνεχής Collocatlion και Αριθμητικά Σχήματα Διακριτοποίησης Χρόνου................................
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις
Διαβάστε περισσότεραMEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *
MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Έκθεση DIRK και SSP Runge-Kutta Σχήματα Δακριτοποίησης Χρόνου.. 3
Δ4.2/2 1.1 DIRK και SSP Runge-Kutta Σχήματα Δακριτοποίησης Χρόνου.. 3 1.2 Επικύρωση αποτελεσμάτων σε γενικευμένα γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1 + 1 διαστάσεις.......... 4 1.3 Επικύρωση αποτελεσμάτων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση
7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1 Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες
Διαβάστε περισσότερα( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραΤελική Τεχνική Έκθεση
Δ4.2/2 1.1 Σχήματα Χρονικής Διακριτοποίησης Runge-Kutta......... 4 1.2 Μοντέλα Βιολογικής Εισβολής Πληθυσμών και Διάχυσης Καρκινικών Όγκων στον Εγκέφαλο.................... 5 1.3 Εξέλιξη Καρκινικών Όγκων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0: Εισαγωγή
Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας
Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας
Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΔιαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Διαφοριϰές Εξισώσεις ΜΕΜ 71 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 19 Εστω η μη γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση ρώτης τάξης Α 1. Δείξτε ότι η διαφοριϰή εξίσωση δεν είναι αϰριβής. Λύση. Η αντίστοιχη διαφοριϰή μορφή είναι
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος
Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,
Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας
Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι
ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά
Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά Δομή Διάλεξης Ηλεκτρική Μετατόπιση: Ορισμός-Χρησιμότητα-Οριακές συνθήκες Γραμμικά Διηλεκτρικά: Ορισμός - Εφαρμογές Ενέργεια σε Διηλεκτρικά Δυνάμεις σε Διηλεκτρικά
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραAριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου
Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανειστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 17-18, Διδάσκων: Α.Τόγκας 3ο φύλλο ροβλημάτων Ονοματεώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ 3ο φύλλο ροβλημάτων Α. Τόγκας
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) π / ω π / ω D E = f du = ( cu ) udt = cu dt D Δ9- Απώλεια ενέργειας Η απώλεια
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11
Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 6 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραAuthor : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς
Διαβάστε περισσότεραΤεχνική Έκθεση Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις 1+1. διαστάσεις... 4
Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./2. Ανάπτυξη ddhc για μη-γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες μόνο σε μία διάσταση................ 3.2 Ανάπτυξη ddhc για γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση
Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές και της ΜΠΣ στη - διάσταση Μέχρι τώρα είδαμε την εκδοχή της ΜΠΣ (με γραμμικά πολυώνυμα βάσης) στην οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται με την εκλέπτυνση του πλέγματος δηλ 0 Κατά τη δεκαετία
Διαβάστε περισσότερα{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ])
Αναλυτικές και Αριθμητικές Λύσεις Υπερβολικών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos Ε. Α. Καλπινέλλη Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σεπτέμβριος 2011 Εισαγωγή Μέσω
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Παραμετρικές Εξισώσεις Παραμετρικές Εξισώσεις Άσκηση 1 Άσκηση 1 Λύση: (αριστερόστροφη) Άσκηση 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
Διαβάστε περισσότερα= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Αρμονικής Ανάλυσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 4: Μετασχηματισμός Fourier Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και
Διαβάστε περισσότεραΗ Φυσική των ζωντανών Οργανισμών (10 μονάδες)
Η Φυσική των ζωντανών Οργανισμών (10 μονάδες) Δεδομένα: Κανονική Ατμοσφαιρική Πίεση, P 0 = 1.013 10 5 Pa = 760 mmhg Μέρος A. Η φυσική του κυκλοφορικού συστήματος. (4.5 μονάδες) Q3-1 Στο Μέρος αυτό θα μελετήσετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 1, Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-7811 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Δευτέρα, Ιουνίου 14 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα