[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x 4x x = b (α) ος τρόπος : Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του A είναι ο I και, χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan, από τον πίνακα [A I ] παίρνουµε τον πίνακα Σχηµατίζουµε τον πίνακα [A I ] = [I A ] 6 4 Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan, παίρνουµε ότι εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6

2 6 Εποµένως ο A είναι αντιστρέψιµος και A = 6 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η προσθέτουµε ϕορές τη η γραµµή στην η ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι det(a) = 6 4 = ( ) + ( ) + 6 ( 4) ( ) ( 4) 6 ( ) = = 8 Εφόσον det(a), ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα, παίρνουµε ότι οι συµπαράγοντές του πίνακα A είναι C = ( ) + 4 = ( ) ( 4) =,

3 C = ( ) + 6 = (6 ( ) ( )) = 6, C = ( ) = 6 ( 4) ( ) =, C = ( ) + 4 = ( ( ) ( 4)) = 6, C = ( ) + = ( ) ( ) =, C = ( ) + 4 = ( ( 4) ( )) = 6, C = ( ) + = = 9, C = ( ) + 6 = ( 6) =, C = ( ) + 6 = 6 = 8 Εποµένως ο πίνακας συµπαραγόντων του A είναι ο Άρα ο προσαρτηµένος πίνακας του A είναι ο adj(a) = t = Εφόσον από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι A = 8 A = det(a) adj(a), = Σηµείωση : () Στην πρώτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσου- µε την ορίζουσα του πίνακα A παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων : Εχουµε

4 ότι det(a) = 6 4 = = 6 ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = (6 ( ) ( )) ορίζουσα πίνακα = 8 Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί όλα τα στοιχεία της ης γραµµής εκτός από το -στοιχείο είναι () Στην πρώτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την ορί- Ϲουσα του πίνακα A µε αναγωγή γραµµών : Εχουµε ότι 6 4 = 6 εναλλάσουµε την η και τη 4 η γραµµή = 6 = ( 6) 4 4 = ( 6) 6 κοινός παράγοντας από την η γραµµή προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η = ( 6) ( ( )) ορίζουσα τριγωνικού πίνακα = 8 () Στην τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τον πίνακα συµπαραγόντων του A ως εξής : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι οι ελάσσονες ορίζουσες του πίνακα A είναι M = 4 = ( ) ( 4) =, 4

5 M = 6 = 6 ( ) ( ) = 6, M = 6 4 = 6 ( 4) ( ) =, M = 4 = ( ) ( 4) = 6, M = = ( ) ( ) =, M = 4 = ( 4) ( ) = 6, M = = = 9, M = 6 = 6 =, M = 6 = 6 = 8 Εποµένως ο πίνακας συµπαραγόντων του A είναι ο M M M ( 6) M M M = ( 6) 6 M M M 9 8 = (ϐ) ος τρόπος : Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b είναι ο A = 6 4 Από το (α) ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Εποµένως, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x x x = A b b b 5

6 Άρα Από το (α), A A = b b b = = b + b + b b b b b = b b b + b + b b b b Από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x b + b + b x b = x b b ή x = b + b + b, x = b, x = b b ος τρόπος : Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b b 6 b 4 b Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχουµε ότι b 6 b 6 b b εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή 4 b 4 b 6

7 b 6 b 4 b b 6 b b + b b 6 b b + b b 6 b b b b + b b b b b + b b b b b Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η προσθέτουµε ϕορές τη η γραµµή στην η x = b + b b x = b x = b b Άρα, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την ή x = b + b b, x = b, x = b b x = b + b + b, x = b, x = b b Σηµείωση : Στη δεύτερη και την τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε και ως εξής : Χρησιµοποιώντας απαλοιφή Gauss ϐρίσκουµε την 7

8 κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος () Εχουµε ότι b 6 b 6 b b εναλλάσουµε την η και τη η γραµµή 4 b 4 b b 6 b 4 b b 6 b b + b b 6 b b + b b 6 b b b Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστηµα πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε 6 προσθέτουµε ϕορές την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε x + x + x = b 6 x = b x = b b Λύνουµε το σύστηµα αυτό µε προς τα πίσω αντικατάσταση : Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x, x, x παίρνουµε ότι x = b 6 x x x = b x = b b Αντικαθιστώντας την η εξίσωση στην η, παίρνουµε ότι x = b + b x x = b x = b b 8

9 Αντικαθιστώντας τη η εξίσωση στην η, παίρνουµε ότι x = b + b b x = b x = b b Άρα, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την x = b + b b, x = b, x = b b ή x = b + b + b, x = b, x = b b ος τρόπος : Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος είναι ο x = b 6x + x + x = b () x 4x x = b A = 6 4 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα παίρνουµε ότι det(a) = 6 4 = ( ) + ( ) + 6 ( 4) ( ) ( 4) 6 ( ) = = 8 Εφόσον det(a), από τον κανόνα του Cramer παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την b b b b 6 b 6 b b 4 b 4 b x =, x =, x =

10 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της ορίζουσας ενός πίνακα, παίρνουµε ότι b b b 4 = = b ( ) + b + b ( 4) b b ( 4) b ( ) = 4b + 9b + + b + 6b = b + 6b + 9b, b 6 b b = = b ( ) + b ( ) + 6 b b ( ) b b 6 ( ) = 6b + + b = 6b, b 6 b 4 b = = b + b ( ) + b 6 ( 4) b ( ) b ( 4) 6 b = 6b 4b + 4b 8b = 6b 8b Από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι, για όλα τα b, b, b στο R, το σύστηµα () έχει µοναδική λύση, την ή x = b + 6b + 9b 8, x = 6b 8, x = 6b 8b 8 x = b + b + b, x = b, x = b b Σηµείωση : () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα A παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων, όπως στη Σηµείωση () του ου τρόπου του (α), ή µε αναγωγή γραµµών, όπως στη Σηµείωση () του ου τρόπου του (α) () Αν στο ερώτηµα (α) δουλέψαµε µε το ο τρόπο, ϑα µπορούσαµε στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω να πάρουµε ότι det(a) = 8 χωρίς να χρειαστεί να το ξαναϋπολογίσουµε

11 () Στην τέταρτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τις ορίζουσες b b b 4, b 6 b b b 6 b 4 b παίρνοντας ανάπτυγµα συµπαραγόντων : Εχουµε ότι b b b 4 = = b 4 = b 4, b b + b b 4 b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = b ( ( ) ( 4)) ( b b ) ορίζουσα πίνακα = b + 6b + 9b Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί το -στοιχείο είναι Προφανώς ϑα µπορούσαµε να πάρουµε και το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη Εχουµε ότι b 6 b b = = b b b 6 = b b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή = b (6 ( ) ( )) ορίζουσα πίνακα = 6b

12 Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή γιατί όλα τα στοιχεία της ης γραµµής εκτός από το -στοιχείο είναι Εχουµε ότι b 6 b 4 b = = b 4 b 6 b 4 b + ( ) b b = 6 b 4 b b b ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη = 6 (b + 4b ) (b b ) ορίζουσα πίνακα = 6b 8b Σηµειώνουµε ότι πήραµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η στήλη γιατί το -στοιχείο είναι Προφανώς ϑα µπορούσαµε να πάρουµε και το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την η γραµµή Σηµείωση : Παρατηρήστε ότι στο ο και τον ο τρόπο δεν χρησιµοποιήσαµε το αποτέλεσµα του (α) και για αυτό το λόγο χρειάστηκε να κάνουµε πολύ περισσότερη δουλειά για να καταλήξουµε στο αποτέλεσµα

13 Εστω A και B δύο n n πίνακες Αποδείξτε ότι αν το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, και τότε B = n A B(A t ) = n, ος τρόπος : Εφόσον το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων παίρνουµε ότι : () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (και (A ) = (A ) ) () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος (και (A t ) = (A ) t ) Εφόσον ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας (A t ) είναι αντιστρέψιµος (και ((A t ) ) = ((A t ) ) = ((A ) t ) ) Χρησιµοποιώντας την αντιστρεψιµότητα των πινάκων A και (A t ) και τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων, παίρνουµε ότι A B(A t ) = n (A ) (A B(A t ) ) = (A ) n (A ) (A B(A t ) ) = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T k l = m l ((A ) A )(B(A ) ) = n τα του πολλαπλασιασµού t προσεταιριστική ιδιότη- πινάκων I n (B(A t ) ) = n αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m B(A t ) = n (B(A t ) )((A t ) ) = n ((A t ) ) (B(A t ) )((A t ) ) = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε I m T = T αν ο T είναι m k πίνακας, τότε l m T = l k B((A ) ((A ) ) ) = n τα του πολλαπλασιασµού t t προσεταιριστική ιδιότη- πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m

14 B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T Σηµείωση : Προφανώς ϑα µπορούσαµε, µε την ίδια λογική, πρώτα να πολλαπλασιάσουµε από δεξιά και τα δύο µέλη της A B(A t ) = n µε ((A t ) ) και να πάρουµε ότι A B = n και κατόπιν να πολλαπλασιάσουµε από αριστερά και τα δύο µέλη της A B = n µε (A ) και να πάρουµε ότι B = n ος τρόπος : Εφόσον το σύστηµα Ax = b είναι συµβιβαστό, για όλα τα b στον R n, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων παίρνουµε ότι : () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (και (A ) = (A ) ) () Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος (και (A t ) = (A ) t ) Εφόσον ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιµος, ο πίνακας (A t ) είναι αντιστρέψιµος (και ((A t ) ) = ((A t ) ) = ((A ) t ) ) Εφόσον ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, το οµογενές σύστηµα A x = n έχει µόνο την τετριµµένη λύση Εστω y στον R n (το οποίο ταυτίζουµε µε έναν n πίνακα) Εφόσον A B(A t ) = n, χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πίνάκων παίρνουµε ότι A (B(A t ) y) = (A B(A t ) )y = n y = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων αν ο T είναι m k πίνακας, τότε l m T = l k 4

15 Εποµένως, για όλα τα y στον R n, A (B(A t ) y) = n, δηλαδή το B(A t ) y είναι λύση του οµογενούς συστήµατος A x = n Εφόσον, όπως είπαµε παραπάνω, το οµογενές σύστηµα Ax = n έχει µόνο την τετριµµένη λύση, x = n, από όσα είπαµε, παίρνουµε ότι B(A t ) y = n, για όλα τα y στον R n Εστω Εφόσον για όλα τα y στον R n, B = b b b n b b b n b n b n b nn B(A t ) y = n, B(A t ) ((At ) ) B(A t ) ((At ) ) = n, = n, B(A t ) ((At ) ) 5 = n

16 Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων κα την αντιστρεψιµότητα του (A t ), παίρνουµε ότι B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b b b n = b = b = = b n =, 6

17 B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b b b n = b = b = = b n =, 7

18 B(A t ) ((At ) ) = n B((A t ) ((A t ) ) ) = n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων BI n = n αν ο T είναι αντιστρέψιµος m m πίνακας, τότε T T = I m B = n αν ο T είναι m k πίνακας, τότε T I k = T b b b n b b b n b n b n b nn = b n b n b nn = b n = b n = = b nn = Εφόσον b ij =, για i, j n, B = 8

19 Εστω A και B δύο n n πίνακες για τους οποίους ισχύει (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n Αποδείξτε ότι οι A και B είναι αντιστρέψιµοι ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = det( I n ) det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det(i n ) αν ο T είναι m m πίνακας, τότε det(λt ) = λ m det(t ) det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det(i m ) = det((a t ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) n det((a t ) ) det(b ) det(a 5 ) det((b t ) 7 ) = ( ) n det(t T T k ) = det(t ) det(t ) det(t k ) det(a t ) det(b) det(a) 5 det(b t ) 7 = ( ) n det(t k ) = det(t ) k, για όλα τα k στο N det(a) det(b) det(a) 5 det(b) 7 = ( ) n det(t t ) = det(t ) det(a) 7 det(b) = ( ) n det(a) 7 det(b) det(a) 7 και det(b) det(a) και det(b) A αντιστρέψιµος και B αντιστρέψιµος T αντιστρέψιµος det(t ) ος τρόπος : Αν ο T είναι ένας m m πίνακας, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : () Ο T είναι αντιστρέψιµος () Υπάρχει ένας m m πίνακας S τέτοιος ώστε T S = I m () Υπάρχει ένας m m πίνακας R τέτοιος ώστε RT = I m Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ( ) ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n 9

20 ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T ((At ) (B A 5 (B t ) 7 )) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων (A t ) ( ) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n λ(t S) = T (λs) ( (A t A t ) ) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T T ( A t A ( t )) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων Εφόσον ( A t A ( t )) (B A 5 (B t ) 7 ) = I n, από την ισοδυναµία των () και () στην πρώτη παράγραφο (για T = A t και S = A ( t ) (B A 5 (B t ) 7 ) ) παίρνουµε ότι ο A t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο A t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ) ( ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T (((At ) B A 5 )(B t ) 7 προσεταιριστική ιδιότητα του ) = I n πολλαπλασιασµού πινάκων ( ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 7 = I n λ(t S) = (λt )S ( ) ((At ) B A 5 ) ((B t ) 6 B t T ) = I k+l = T k T l, για όλους τους n k, l στο N (( ) ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 B t = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων

21 Εφόσον (( ) ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 B t = I n, ( από την ισοδυναµία των () και () (για T = B t και R = ) ((At ) B A 5 ) (B t ) 6 ) στην πρώτη παράγραφο παίρνουµε ότι ο B t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο B t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο B είναι αντιστρέψιµος Σηµείωση : Θα µπορούσαµε, µε την ίδια λογική, στη δεύτερη, την τρίτη, την τέταρτη και την πέµπτη παράγραφο παραπάνω να πάρουµε το ίδιο αποτέλεσµα και µε άλλους τρόπους Για παράδειγµα στη δεύτερη και την τρίτη παράγραφο ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε ως εξής : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι (A t ) B A 5 (B t ) 7 = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( I n) ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = ( ( ) ) I n λ(µt ) = (λµ)t ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n ((At ) B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T (At A t B A 5 (B t ) 7 ) = I n T = T T (At (A t B A 5 (B t ) 7 )) = I n προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων A ( t ) (At B A 5 (B t ) 7 ) = I n λ(t S) = T (λs) Εφόσον A ( t ) (At B A 5 (B t ) 7 ) = I n, από την ισοδυναµία των () και () στην πρώτη παράγραφο (για T = A t και S = (At B A 5 (B t ) 7 )) παίρνουµε ότι ο A t είναι αντιστρέψιµος Εφόσον ο A t είναι αντιστρέψιµος, από τις ιδιότητες των αντιστρέψιµων πινάκων, παίρνουµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος

22 4 Να ϐρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ος τρόπος : Εστω ότι το E είναι το επίπεδο που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) και ότι η ax + by + cz + d = (4) είναι µία εξίσωση του E (κάθε επίπεδο έχει µία εξίσωση αυτής της µορφής) Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ϐρίσκονται στο επίπεδο E, οι συντεταγµένες τους πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (4) Εφόσον οι συντεταγ- µένες του P (,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + b + d = Εφόσον οι συντεταγµένες του Q(,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + c + d = Εφόσον οι συντεταγµένες του R(,, ) ικανοποιούν την εξίσωση (4), ϑα ισχύει ότι ή a + b + c + d = a + b + c + d = Εποµένως τα a, b, c, d ικανοποιούν τις εξισώσεις a + b + d = a + c + d = a + b + c + d = (5) Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (5) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η και ϕορά την η γραµµή στην η

23 πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η προσθέτουµε ϕορά τη η γραµµή στην η Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a + d = b = c = Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές a, b και c και παίρνουµε a = d b = c = ίνοντας την αυθαίρετη τιµή t στην ελεύθερη µεταβλητή d, παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος (5) είναι Για t =, παίρνουµε a = t, b =, c =, d = t, t στο R a =, b =, c =, d = Άρα µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) είναι η ( )x + y + z + = ή x + = Σηµείωση : () Στην τελευταία παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε αντί για t = να πάρουµε οποιοδήποτε άλλο t Η εξίσωση του επίπέδου E που παίρνουµε για αυτό το t είναι ( t)x + y + z + t = ή tx + t =

24 Προφανώς, για κάθε t, έχουµε ότι tx + t = t( x + ) = x + = () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να δουλέψουµε και ως εξής : Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (5) Ο πίνακας συντελεστών του είναι ο Με απαλοιφή Gauss ϐρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή του προσθέτουµε ϕορά την η γραµµή στη η και ϕορά την η γραµµή στην η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a + b + d = b c = c = Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές a, b και c και παίρνουµε a = d b b = c c = Αντικαθιστώντας την η εξίσωση στη η, παίρνουµε a = d b b = c = Αντικαθιστώντας τη η εξίσωση στην η, παίρνουµε a = d b = c = 4

25 ίνοντας την αυθαίρετη τιµή t στην ελεύθερη µεταβλητή d, παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος (5) είναι a = t, b =, c =, d = t, t στο R ος τρόπος : Εστω ότι το E είναι το επίπεδο που διέρχεται από τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ανήκουν στο E, τα διανύσµατα P Q και P R είναι παράλληλα στο E Εποµένως το εξωτερικό τους γινόµενο P Q P R είναι κάθετο στο E, εφόσον είναι κάθετο στο P Q και στο P R Εχουµε ότι και P Q = (,, ) = (,, ) P R = (,, ) = (,, ) Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων του -διάστατου χώρου και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι P Q P R = (,, ) (,, ) ( ) =,, = (( ), ( ), ( ) ) = (,, ) = (,, ) Άρα το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο P (,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι Προφανώς ( )(x ) + (y ) + (z ) = ( )(x ) + (y ) + (z ) = x + = Σηµείωση : () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε το εξωτερικό γινόµενο P Q P R και ως εξής : Από τη συµβολική έκφραση του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων ως ορίζουσα πίνακα, όσα γνωρίζου- µε για τον υπολογισµό οριζουσών µέσω αναπτυγµάτων συµπαραγόντων και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι P Q P R = (,, ) (,, ) 5

26 i j k = = i j + k = (( ) )i ( )j + ( ( ) )k = ( )i j + k = ( )(,, ) = (,, ) () Στην τρίτη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε επίσης να ϑεωρήσουµε ότι το E διέρχεται από το σηµείο Q ή R και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R Για παράδειγµα : Το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο R(,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι ( )(x ) + (y ) + (z ) = Προφανώς ( )(x ) + (y ) + (z ) = x + = () Στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω ϑα µπορούσαµε επίσης να ϑεωρήσουµε ότι ένα από τα παρακάτω εξωτερικά γινόµενα είναι κάθετο στο E: QP P R, P Q RP, QP RP, P R P Q, P R QP, RP P Q, RP QP, QP QR, P Q QR, QP RQ, P Q RQ, QR QP, QR P Q, RQ QP, RQ P Q, RP RQ, P R RQ, RP QR, P R QR, RQ RP, RQ P R, QR RP, QR P R Στην τρίτη παράγραφο ϑα συνεχίζαµε ϑεωρώντας ότι το E διέρχεται από ένα από τα σηµεία P, Q ή R και είναι κάθετο σε ένα από τα παραπάνω διανύσµατα Για παράδειγµα : Εφόσον τα σηµεία P (,, ), Q(,, ) και R(,, ) ανήκουν στο E, τα διανύσµατα QR και P Q είναι παράλληλα στο E Εποµένως το εξωτερικό τους γινόµενο QR P Q είναι κάθετο στο E, εφόσον είναι κάθετο στο QR και στο P Q Εχουµε ότι QR = (,, ) = (,, ) και P Q = (,, ) = (,, ) Από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων του -διάστατου χώρου και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι QR P Q = (,, ) (,, ) 6

27 ( ) =,, = ( ( ), ( ), ( ) ) = (,, ) = (,, ) (ϑα µπορούσαµε να υπολογίσουµε το QR P Q και όπως στο () παραπάνω) Άρα το επίπεδο E διέρχεται από το σηµείο Q(,, ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα QR P Q = (,, ) Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι Προφανώς (x ) + (y ) + (z ) = (x ) + (y ) + (z ) = x = x + = 7

28 5 Εξετάστε αν τα επίπεδα µε εξισώσεις x + y z + = και x + y + 8z 7 = είναι καθετα Αν το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n και το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n, τότε τα E και E είναι κάθετα αν και µόνο αν τα n και n είναι κάθετα Το επίπεδο µε εξίσωση ax + by + cz + d = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (a, b, c) Εποµένως το επίπεδο µε εξίσωση x + y z + = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (,, ) και το επίπεδο µε εξίσωση x + y + 8z 7 = είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (,, 8) Εφόσον n n = (,, ) (,, 8) = + + ( ) 8 =, τα n και n είναι κάθετα Συνδυάζοντας όσα είπαµε, παίρνουµε ότι τα επίπεδα µε εξισώσεις x + y z + = και x + y + 8z 7 = είναι καθετα 8

29 6 Εξετάστε αν το σύνολο των πινάκων της µορφής [ ] a b, b a όπου οι a και b είναι τυχαίοι πραγµατικοί αριθµοί, είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M Εστω W το σύνολο των πινάκων της µορφής [ ] a b, b a µε a και b τυχαίους πραγµατικούς αριθµούς Για να δείξουµε ότι το W είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M, αρκεί να δείξουµε ότι το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εστω [ [ ] A = x y y x ], A = x y y x δύο στοιχεία του W Από τον ορισµό της πρόσθεσης πινάκων παίρνουµε ότι [ ] [ ] x A + A = y x + y y x y x [ ] x = + x y + y ( y ) + ( y ) x + x [ ] x = + x (y + y ) (y + y ) (x + x ) Ο πίνακας [ είναι της µορφής [ x + x (y + y ) (y + y ) (x + x ) a b ] b a (µε a = x + x και b = y + y ) Άρα ο πίνακας A + A είναι στοιχείο του W Εποµένως το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Εστω [ ] x y A = y x ένα στοιχείο του W και λ ένα ϐαθµωτό Από τον ορισµό του πολλαπλασιασµού ϐαθµωτού µε πίνακα παίρνουµε ότι [ ] x y λa = λ y x 9 ]

30 [ = [ = λx λ( y) λx (λy) λ(y) λ(x) (λy) (λx) ] ] Ο πίνακας [ λx (λy) (λy) (λx) ] είναι της µορφής [ a b ] b a (µε a = λx και b = λy) Εποµένως ο πίνακας λa είναι στοιχείο του W Άρα το W είναι κλειστό ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό Εφόσον το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό, το W είναι υπόχωρος του χώρου των πινάκων M

31 7 Να ϐρεθεί µία ϐάση του επιπέδου W του R µε εξίσωση x + y z = Εφόσον + =, το επίπεδο W διέρχεται από την αρχή των αξόνων και άρα είναι υπόχωρος του R Προφανώς x + y z = z = x + y Εποµένως το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορ- ϕής t w = s, t, s στο R Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t s t + s = = t t t + + s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, s s, και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,,

32 είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ = λ λ = και = λ = ) = λ λ Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W Σηµείωση : Προφανώς υπάρχουν και άπειρες άλλες ϐάσεις του W Για παράδειγ- µα : () Οπως είπαµε στη δεύτερη παράγραφο παραπάνω, το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορφής w = t s, t, s στο R Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t s t + s = = t t ( ) t + s s + ( 9 ) s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, 9 9,

33 και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ 9 = 9λ λ 9 9 = και 9 = λ 9 = λ λ Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, 9 = ) 9 παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W () Προφανώς x + y z = y = x + z Εποµένως το επίπεδο W αποτελείται από όλα τα διανύσµατα w στον R της µορ- ϕής t w = t + s, t, s στο R s Εφόσον, για όλα τα t, s στο R, t t + s = s t t + s s

34 = t + s κάθε διάνυσµα του W γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων, και άρα τα διανύσµατα παράγουν το W Τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, εφόσον κανένα δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου (γιατί = λ = =, λ λ και = λ = λ λ = ) Εφόσον, από όσα είπαµε, το σύνολο S =, παράγει το W και είναι γραµµικά ανεξάρτητο, το S είναι µία ϐάση για το W 4

35 8 Εστω A ένας αντιστρέψιµος πίνακας Άν η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ, αποδείξτε ότι : (α) λ (ϐ) Η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ (α) ος τρόπος : Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A, υπάρχει ένα µη µηδενικό διάνυσµα y του R n τέτοιο ώστε Ay = λy Εστω ότι λ = Τότε, από τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στον R n, παίρνουµε ότι λy = y = Άρα υπάρχει ένα µη µηδενικό διάνυσµα y του R n τέτοιο ώστε Εποµένως το οµογενές σύστηµα Ay = Az = έχει µη τετριµµένες λύσεις και άρα ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Αυτό µας οδηγεί σε άτοπο, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος Άρα λ ος τρόπος : Εστω ότι ο A είναι n n Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A, det(λi n A) = Εστω ότι λ = Τότε, από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων, παίρνουµε ότι και άρα λi n A = I n A = n n A = A det( A) = Από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων και των οριζουσών παίρνουµε ότι, εφόσον ο A είναι ένας n n πίνακας, det( A) = det(( )A) = ( ) n det(a) Εποµένως det( A) = ( ) n det(a) = det(a) = 5

36 Άρα det(a) = και εποµένως ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Αυτό µας οδηγεί σε άτοπο, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος Άρα λ (ϐ) Εστω ότι ο A είναι n n Εφόσον η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ, Ax = λx Από τις ιδιότητες των πράξεων πινάκων παίρνουµε ότι, εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος και, από την (α), λ, Ax = λx A (Ax) = A (λx) (A A)x = A (λx) I n x = A (λx) x = A (λx) προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων αν ο T είναι αντιστρέψι- µος m m πίνακας, τότε T T = I m αν ο T είναι m k πίνακας, τότε I m T = T x = λ(a x) T (µs) = µ(t S) λ x = λ (λ(a x)) λ x = ( λ λ ) (A x) κ(µt ) = (κµ)t λ x = (A x) λ x = A x T = T Εφόσον το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A, x 6

37 Άρα το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα του R n τέτοιο ώστε A x = λ x Εποµένως η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ 7