2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1

Transcript

1 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός οὐκ οἴεται θεοὺς εἶναι ὁ ἄθεος, ὁ δὲ δεισιδαίμων οὐ βούλεται, πιστεύει δ ἄκων φοβεῖται γὰρ ἀπιστεῖν.

2 2 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 1. Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: { 3 f() = 2 1, < , 2 Η f() είναι συνεχής στο (, 2) ως πολυωνυμική. Επίσης, για τον ίδιο λόγο είναι συνεχής στο (2, + ). Αρκεί λοιπόν να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια στο σημείο 0 = 2. Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο σημείο αυτό: lim f() = lim 1) = (32 lim 2 f() = lim + +(3 + 1) = 2 2 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, οπότε η f() δεν είναι συνεχής στο 0 = Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: 2 1 1, < 1 f() = 3, = > 1 Η f είναι συνεχής (ως λόγος συνεχών συναρτήσεων) στο (, 1). Επίσης είναι συνεχής στο (1, + ) ως πολυωνυμική. Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε τη συνέχειά της στο 0 = 1.

3 Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια: ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3 Παρατηρούμε ότι lim f() = 3 2 = lim f() = 1 3 = f(1) 1 + οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0 = Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: { ημ f() = 1, < 0 συν, 0 Η f είναι συνεχής στο (, 0) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, η f είναι συνεχής στο (0, + ) (γνωστό από τη θεωρία).αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την f ως προς τη συνέχεια στο σημείο 0 = 0. Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια: lim f() = lim συν = συν 0 = ( ημ ) lim f() = lim 1 Παρατηρούμε ότι lim f() lim f() + = 1 1 = 0 οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0 = 0.

4 4 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 4. Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: 3 ημ 1, < 0 2 f() = 0, = 0 εφ2 2, > 0 Η f είναι συνεχής στο (, 0) ως γινόμενο συνεχούς επί σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, η f είναι συνεχής στο (0, + ) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε τη συνέχεια της f στο σημείο 0 = 0. Υπολογίζουμε πλευρικά όρια: lim f() = lim (γινόμενο φραγμένης επί μηδενική). ( εφ 2 lim f() = lim + + Παρατηρούμε ότι ( 2ημ 2 = lim + 2 lim ( 3 ημ 1 ) = 0 2 ) 2 = ) 1 συν 2 2 = 0 f() = lim f() = f(0) + άρα η f είναι συνεχής στο σημείο 0 = 0 και συνεπώς σε όλο το πεδίο ορισμού της.

5 ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5 5. Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: { ημ f() =, 0 1, = 0 Γράφουμε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής: f() = f() = ημ ( ) < 0 1 = 0 ημ > 0 ημ < 0 1 = 0 ημ > 0 Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων. Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε ως προς την συνέχεια την f στο σημείο 0 = 0. Υπολογίζουμε πλευρικά όρια: lim = lim ημ = 1 ημ lim f() = lim + + = 1 Παρατηρούμε ότι lim f() lim f() + οπότε η f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0 = Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: f() = e συν

6 6 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων e και συν. 7. Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: { (a 1)ημ f() =, 0 2, = 0 Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) ως λόγος συνεχών συναρτήσεων. Αρκεί να μελετήσουμε ως προς τη συνέχεια την f στο σημείο 0 = 0. Επειδή (a 1)ημ lim f() = lim ημ = (a 1) lim = a 1 Αν a 1 = 2 a = 3 τότε η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Αν a 3 η f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0 = Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: λ 2 2, < 2 f() = 3 5 λ, 2 < 3 λ R 2λ 2 + 4λ 15, 3

7 ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7 Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (, 2), (2, 3) και (3, + ). Θα μελετήσουμε τη συνέχεια στα σημεία 0 = 2 και 1 = 3. Για το σημείο 0 = 2: lim f() = lim 2) = 2(λ 2 1) 2 2 (λ2 lim 2 f() = lim + +(3 5 λ) = 1 λ 2 f(2) = 1 λ Για να είναι η f συνεχής στο 0 = 2 πρέπει 2(λ 2 1) = 1 λ 2λ 2 + λ 3 = 0 λ = 1 ± = 1 ± 5 4 Άρα η f είναι συνεχής στο 0 = 2 όταν λ = 1 ή όταν 3 2. Για το σημείο 1 = 3: lim 3 f() = lim (3 λ 5) = 4 λ 3 lim f() = lim +4λ 15) = 6λ 2 +12λ 15 = f(3) (2λ2 Για να είναι η f συνεχής στο 1 = 3 θα πρέπει 6λ λ 15 = 4 λ 6λ λ 19 = 0 λ = 13 ± = 13 ± Άρα η f είναι συνεχής στο 1 = 3 όταν λ = 1 ή λ = Συνεπώς, η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της όταν λ = 1.

8 8 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9. Να προσδιορίσετε το f(0), αν η f είναι συνεχής στο σημείο μηδέν και για κάθε αντιστρέψιμο R ισχύει η σχέση 3 + 2ημ f() ημ f() ημ f() ημ f() ( lim ημ ) lim f() lim( 2 + 2) 0+2 lim f() lim f() 2 lim f() = 2 Επειδή η f είναι συνεχής, f(0) = lim f() = Να δείξετε πως η f είναι συνεχής στο σημείο 0, αν ισχύει f( 0 + h) f( 0 ) lim h 0 h = a R ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θέτουμε g(h) = f( 0 + h) f( 0 ) h

9 ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 9 οπότε. Εχουμε: f( 0 + h) = hg(h) + f( 0 ) lim f( 0 + h) = lim f() = 0 a + f( 0 ) = f( 0 ) h 0 0 δηλαδή η f είναι συνεχής στο Αποδείξτε πως η εξίσωση = 3 έχει τρείς πραγματικές λύσεις, στο διάστημα ( 2, 2), από τις οποίες η μία είναι μεγαλύτερη της μονάδας. Θεωρούμε τη συνάρτηση ΑΠΟΔΕΙΞΗ: f() = η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [ 2, 2]. Εχουμε: f( 2) = = 1 f(0) = 1 f(1) = 1 f(2) = = 3 Επειδή f( 2)f(0) < 0 η f έχει (τουλάχιστον μία ) ρίζα στο ( 2, 0). Επειδή f(0)f(1) < 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο (0, 1). Επειδή f(1)f(2) < 0 η f έχει (τουλάχιστον μία) ρίζα στο (1, 2). 12. Αν η f : [0, 1] [0, 1] είναι συνεχής, να δείξετε πως υπάρχει 0 [0, 1], τέτοιο ώστε f( 0 ) = ν 0, ν N

10 10 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Θεωρούμε τη συνάρτηση Επειδή και ΑΠΟΔΕΙΞΗ: g() = f() ν g(0) = f(0) 0 g(1) = f(1) 1 0 Αν g(0) = 0, τότε f(0) = 0 = 0 ν. Αν g(1) = 0, τότε f(1) = 1 = 1 ν. Αν g(0)g(1) 0, τότε g(0)g(1) < 0 και επομένως υπάρχει 0 (0, 1) τέτοιο ώστε g( 0 ) = 0 f( 0 ) ν 0 = 0 f( 0 ) = ν Αποδείξτε πως η εξίσωση ln + e = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα μικρότερη της μονάδας. Θεωρούμε τη συνάρτηση ΑΠΟΔΕΙΞΗ: f() = ln + e η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Είναι f(1) = e > 0 και επειδή lim f() =

11 ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11 υπάρχει 0 (0, 1) με την ιδιότητα f( 0 ) < 0. Άρα, f(1)f( 0 ) < 0 οπότε υπάρχει ξ ( 0, 1) τέτοιο ώστε f(ξ) = 0 ln ξ + e ξ = Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει 0 < f() < 2, R, να δείξετε ότι η εξίσωση 2 + (f()) 2 2f() = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0, 2). Θέτουμε ΑΠΟΔΕΙΞΗ: g() = 2 + (f()) 2 2f() η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Εχουμε g(0) = (f(0)) 2 2f(0) = f(0)(f(0) 2) < 0 (διότι f(0) > 0 και f(0) < 2 f(0) 2 < 0) Επίσης, g(2) = 4 + (f(2)) 2 2f(2) = 4 + f(2)(f(2) 2) = = 4 f(2)(2 f(2)) > 4 2f(2) > 0 Επειδή g(0)g(2) < 0 υπάρχει ξ (0, 2) ώστε g(ξ) = 0 δηλαδή 2ξ + (f(ξ)) 2 2f(ξ) = Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο διάστημα [a, β] και f(a) f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (a, β) με την ιδιότητα f(a) + f(β) f( 0 ) = 2.

12 12 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, β] και δεν είναι σταθερή, επομένως f([a, β]) = [γ, δ], γ < δ. Άρα γ f(a) δ γ f(β) δ f(a) + f(β) 2γ f(a) + f(β) 2δ γ δ 2 Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο. 16. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια οι συναρτήσεις f g και g f όταν 1, < 0 f() = , και g() = 0, = 0 1, > 0 Είναι f( 1) = 10 < 0 (f g)() = g(g()) = f(0) = 5 = 0 f(1) = 2 > 0 Βλέπουμε άμεσα ότι η f g δεν είναι συνεχής στο σημείο 0. Είναι f() = = = ( 2) > 0 Συνεπώς, (g f)() = 1 οπότε η g f είναι συνεχής, ως σταθερή συνάρτηση.