Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)

Transcript

1 Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 1 /

2 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x). a f(x)dx (1) Ο υπολογισµός του I(f) ϑα γίνει από τον τύπο I(f) n a i f(x i ). () i= Η f(x) προσεγγίζεται µε ένα πολυώνυµο παρεµβολής f(x) p n (x). (3) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 /

3 Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Υποθέτουµε ότι τα σηµεία x i, i = (1)n ισαπέχουν, δηλ. ( θ p n (x) = f + 1 x i = x + h, ) ( θ f + i = (1)n ) ( θ f + + n ) n f (4) Για x = a, x n = b έχουµε x = x + θh θ = x x h I(f) = b a f(x)dx xn x p n (x)dx (5) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 3 /

4 Κλειστοί τύποι Εχουµε για x = x θ =, x = x n θ = n και dx = hdθ. n [ ( θ ) ( θ ) ( ] θ I n (f) h f + f + f + + ) n f dθ. (6) 1 n Πολυώνυµο παρεµβολής p 1 (x) κανόνας του Τραπεζίου Για n = 1 η (6) παράγει Τελικά I 1 (f) = x1 x f(x)dx h 1 I 1 (f) = [ ( θ f + 1 x1 ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας του Τραπεζίου. ] ) ) f dθ = h (f θ + θ 1 f x f(x)dx h (f + f 1 ), (7) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 4 /.

5 Πολυώνυµο παρεµβολής p 1 (x) y y= f (x) y=p 1 ( x) f 1 f a= x = b x 1 x Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 5 /

6 Παράδειγµα I = 1 dx 1 + x, x =, x 1 = 1, h = 1, f(x) = x T 1 (f) = 1 [ ] = =.75 I = 1 dx 1 + x = ln(1 + x) 1 = ln E = I T 1 (f) = = Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 6 /

7 y a= x 1 b= x x x 3 x Βελτίωση της προσέγγισης Το διάστηµα [a, b] διαιρείται σε n ίσα υποδιαστήµατα µήκους h = b a. n Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 7 /

8 Βελτίωση της προσέγγισης Τα x i ορίζονται από τον τύπο x i = a + ih, i = (1)n I(f) h I(f) = = b a x1 f(x)dx = x f(x)dx + xn x x f(x)dx x 1 f(x)dx + + xn x n 1 f(x)dx [ ] f(x ) + f(x 1 ) + h [ ] f(x 1 ) + f(x ) + + h [ ] f(x n ) + f(x n 1 ) [ I(f) = T n (f) h n 1 f + f i + f n ], (8) i=1 ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 8 /

9 Σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου Στην πράξη ξεκινούµε µε n = 1 και διπλασιάζουµε το n, δηλ. n =, 4, 8, 16,..., οπότε υπολογίζονται οι ποσότητες T 1, T, T 4, T 8 κ.τ.λ. Αν T n T n < ɛ τότε διακόπτονται οι υπολογισµοί. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου 15 9 /

10 Παράδειγµα Να εφαρµοστεί σε δύο υποδιαστήµατα ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου στο ολοκλήρωµα του προηγούµενου παραδείγµατος. Λύση Από την (8) και για n = έχουµε T (f) = h [f + f 1 + f ] όπου x =, x 1 = x + 1h = + h = b a = 1 = 1 και x = 1. Αρα T (f) = 1 [ / + 1 ] = 1 4 και το αριθµητικό σφάλµα είναι [ ] = E T = I(f) T (f).15, Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) 15 1 /

11 Πολυώνυµο παρεµβολής p (x) κανόνας του Simpson Για n = η (6) παράγει I(f) = b f(x)dx x a x p (x)dx, όπου και x = a, x 1 = a + h, x = b, h = b a I(f) = h x x p (x)dx [ f + ( θ 1 ) f + ( θ ) f ] dθ (9) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

12 [ θ(θ 1) I(f) h f + θ f + f ]dθ [ ( ] = h f θ + θ f θ 3 + ) 6 θ f 4 = h [f + f + 1 ] 3 f [ = h f + f 1 f + 1 ] 3 (f f 1 + f ). Τελικά I(f) h 3 [f + 4f 1 + f, ] (1) ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας του Simpson. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) 15 1 /

13 Παράδειγµα Να εφαρµοστεί ο κανόνας του Simpson στο ολοκλήρωµα του προηγούµενου παραδείγµατος. Λύση Εχουµε κσι η (1) δίνει Αρα h = b a = 1 S (f) = h 1 [ 3 [f + 4f1 + f] = 3 I(f) = 1 dx 1 + x = 1, x =, x1 = x + h = + 1 = 1, x = ] = αριθµητικό σφάλµα E S = I(f) S (f) = log = =.13. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

14 Σύνθετος κανόνας του Simpson Αν n είναι άρτιος τότε h = b a n και x i = x + ih, i = (1)n I(f) = xn x x4 xn f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx x x x x n I(f) h 3 [f + 4f1 + f] + h 3 [f + 4f3 + f4] + + h [fn + 4fn 1 + fn] 3 ή I(f) h [f + 4f1 + f + 4f3 + f4 + + fn + 4fn 1 + fn], (11) 3 I(f) S n(f) = h (n/) 1 3 [f + ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Simpson. i=1 n/ f i + 4 f i 1 + f n], (1) i=1 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

15 Η γεωµετρική ερµηνεία του σύνθετου κανόνα του Simpson y y = p (x) y = f(x) x x x 3 x 4 x 1 x ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Simpson. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

16 Πολυώνυµο παρεµβολής p 3 (x) Κανόνας των 3/8 Για n = 3 από την (6) έχουµε I(f) = τελικά = h = h = h x3 x 3 3 [ f(x)dx [ f + ( θ 1 ) f + ( θ ) ( θ f + 3 ) 3 f ] [ θ(θ 1) f + θ f + θ(θ 1)(θ ) f + 3 f ]dθ 6 ( ) ( ] f θ + θ f θ θ f + 1 θ θ3 + θ ) 3 f I(f) = x3 ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας των 3 8. dθ x f(x)dx 3h 8 (f + 3f 1 + 3f + f 3 ), (13) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

17 Σύνθετος κανόνας των 3/8 Αν n = 3k δηλ. πολλαπλάσιο του 3 τότε ο σύνθετος κανόνας των 3 8 είναι ο I(f) 3h 8 [f +3f 1 +3f +f 3 +3f 4 +3f 5 +f 6 + +f n 3 +3f n +3f n 1 +f n ]. (14) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

18 Σφάλµα αποκοπής στην Αριθµητική Ολοκλήρωση όπου E n (f) = 1 (n + 1)! b a E n (f) = b a [f(x) p n (x)]dx (15) (x x )(x x 1 ) (x x n )f (n+1) (ξ 1 (x))dx (16) ξ 1 [x, x n ], x = a, x i = x + ih, i = (1)n, Αλλά h = b a, x n = b, x = x + θh. n x x i = (θ i)h, dx = hdθ άρα E n (f) = hn+ (n + 1)! n θ(θ 1)(θ ) (θ n)f (n+1) (ξ (θ))dθ. (17) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

19 Σφάλµα στον κανόνα Τραπεζίου Για n = 1 η (17) δίνει E T 1(f) = I(f) T 1 (f) = h3! 1 θ(θ 1)f () (ξ 1 (θ))dθ. Λόγω όµως του Θεωρήµατος Μέσης τιµής για Ολοκληρώµατα b f(x)g(x)dx = f(η) b a a g(x)dx, (αν g(x) ή αν g(x) ) άρα ή E T 1(f) = h3 f () (ξ) E T 1(f) = h3 f () (ξ) 1 1 θ(θ 1)dθ, ξ (x, x 1 ) τοπικό σφάλµα αποκοπής (18) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) /

20 Παρατηρήσεις 1 Αν h = b a δεν είναι αρκετά µικρό τότε ο κανόνας του τραπεζίου δεν παράγει ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Αν max f () (ξ) M τότε a<ξ<b E T 1(f) h3 M 1. (19) Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) 15 /

21 Σφάλµα στον σύνθετο τύπο του Τραπεζίου ή E T n(f) = = b a + { x1 f(x)dx T n(f) = xn f(x)dx h (f + f1) x { xn x f(x)dx T n(f) } f(x)dx h (fn 1 + fn) x n 1 { x + f(x)dx h } (f1 + f) x 1 } E T n(f) = h3 1 f (ξ 1) h3 1 f (ξ ) h3 1 f (ξ n). Λόγω, όµως, του Θεωρήµατος Ενδιάµεσης Τιµής + Αλλά hn = b a συνεπώς E T n(f) = h3 1 [nf (ξ)], ξ [a, b]. En(f) T (b a)h = f (ξ), ξ [a, b] ολικό σφάλµα αποκοπής () 1 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) 15 1 /

22 Ταχύτητα σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του Τραπεζίου Από την () έχουµε En(f) T (b a)h M. (1) 1 Ο τύπος (1) δηλώνει ότι αν f(x) C [a, b], τότε ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου έχει ταχύτητα σύγκλισης O(h ). Επίσης, επειδή η δεύτερη παράγωγος κάθε σταθεράς και κάθε πολυωνύµου πρώτου ϐαθµού είναι µηδέν, τότε, λόγω της (1), το απόλυτο ολικό σφάλµα αποκοπής είναι µηδέν και ο τύπος του Τραπεζίου για σταθερές και γραµµικά πολυώνυµα ϑα παράγει ακριβή αποτελέσµατα. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1 εκεµβρίου Υπολογισµοί) 15 /