ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης."

Δράκων Γούσιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1

2 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν το M μπορούμε να επιλέξουμε πεπερασμένα από αυτά τα σύνολα ώστε κι αυτά να καλύπτουν το M. Αποδείξαμε, επίσης, ότι: κάθε συμπαγές είναι κλειστό και φραγμένο. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω μετρικός χώρος (X, d και N M X. Αν το M είναι συμπαγές και το N κλειστό, τότε το N είναι συμπαγές. Απόδειξη. Έστω τυχούσα συλλογή Σ ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το N. Θεωρούμε μαζί με τα σύνολα A της συλλογής Σ και το σύνολο N c. Όλα αυτά τα σύνολα καλύπτουν ολόκληρο το X και επομένως, καλύπτουν το M. Επίσης, όλα αυτά τα σύνολα είναι ανοικτά και, επειδή το M είναι συμπαγές, μπορούμε να επιλέξουμε πεπερασμένα από αυτά ώστε να καλύπτουν το M. Διακρίνουμε, τώρα, δύο περιπτώσεις σε σχέση με το αν το N c είναι ή δεν είναι ένα από τα πεπερασμένα σύνολα που επιλέγουμε. Στην πρώτη περίπτωση μπορούμε να επιλέξουμε κάποια A 1,..., A n της αρχικής συλλογής Σ ώστε αυτά μαζί με το N c να καλύπτουν το M. Δηλαδή: οπότε, επειδή N M, έχουμε Όμως, N N c =, οπότε M A 1 A n N c, N A 1 A n N c. N A 1 A n. Στην δεύτερη περίπτωση μπορούμε να επιλέξουμε κάποια A 1,..., A n της αρχικής συλλογής Σ ώστε αυτά (χωρίς το N c να καλύπτουν το M. Δηλαδή: οπότε, επειδή N M, έχουμε M A 1 A n, N A 1 A n. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι σε κάθε περίπτωση υπάρχουν πεπερασμένα σύνολα της αρχικής συλλογής Σ που καλύπτουν το N. Άρα το N είναι συμπαγές. Η τελευταία Πρόταση λέει ότι: κλειστό υποσύνολο συμπαγούς είναι συμπαγές. Το επόμενο Θεώρημα είναι πολύ βασικό και πολύ χρήσιμο, αφού παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο χειρισμού της έννοιας της συμπάγειας, ανάγοντάς την στην έννοια της σύγκλισης ακολουθιών. ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d και M X. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα. (i Το M είναι συμπαγές. (ii Κάθε ακολουθία στο M έχει τουλάχιστον μια υποακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του M.

3 Απόδειξη. [i ii]. Έστω ότι το M είναι συμπαγές. Έστω τυχαία ακολουθία (x n στο M. Ας υποθέσουμε ότι για κάθε x M υπάρχει περιοχή N x (ɛ x του x (το ɛ x εξαρτάται από το x, η οποία περιέχει το πολύ πεπερασμένου πλήθους όρους της (x n. Προφανώς, όλες αυτές οι περιοχές είναι ανοικτά σύνολα και καλύπτουν το M. (Κάθε x M περιέχεται στην αντίστοιχη N x (ɛ x. Επειδή το M είναι συμπαγές, υπάρχουν πεπερασμένα από αυτά τα σύνολα που καλύπτουν το M. Δηλαδή, υπάρχουν x 1,..., x n ώστε M N x1 (ɛ x1 N xn (ɛ xn. Αφού καθεμιά από αυτές τις περιοχές περιέχει πεπερασμένου πλήθους όρους της (x n, η ένωσή τους και, επομένως, και το M, περιέχει πεπερασμένου πλήθους όρους της (x n. Αυτό, όμως, είναι άτοπο διότι ολόκληρη η (x n περιέχεται στο M. Επομένως, η αρχική υπόθεση δεν ισχύει, οπότε υπάρχει κάποιο x 0 M ώστε για κάθε ɛ > 0 η N x0 (ɛ να περιέχει άπειρους όρους της (x n. Άρα η N x0 (1 περιέχει άπειρους όρους της (x n, οπότε υπάρχει n 1 1 ώστε x n1 N x0 (1. Ομοίως, η N x0 περιέχει άπειρους όρους της (x n, οπότε υπάρχει n > n 1 ώστε x n N x0 Ομοίως, η N x0 3 περιέχει άπειρους όρους της (x n, οπότε υπάρχει n 3 > n ώστε x n3 N x0 3 Συνεχίζοντας επαγωγικά, βρίσκουμε υποακολουθία (x nk της (x n έτσι ώστε να ισχύει ή, ισοδύναμα, x nk N x0 k d(x nk, x 0 < 1 k για κάθε k. Άρα x nk x 0 στον (X, d. [ii i]. Έστω ότι κάθε ακολουθία στο M έχει τουλάχιστον μια υποακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του M. Βήμα 1. Έστω ɛ > 0. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένου πλήθους στοιχεία x 1,..., x n του M ώστε M N x1 (ɛ N xn (ɛ. Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Διαλέγουμε οποιοδήποτε x 1 M. Τότε M N x1 (ɛ. Άρα υπάρχει x M με x N x1 (ɛ. Τότε M N x1 (ɛ N x (ɛ. Άρα υπάρχει x 3 M με x 3 N x1 (ɛ N x (ɛ. Τότε M N x1 (ɛ N x (ɛ N x3 (ɛ. Άρα υπάρχει x 4 M με x 4 N x1 (ɛ N x (ɛ N x3 (ɛ. Συνεχίζοντας επαγωγικά δημιουργείται ακολουθία (x n στο M ώστε να ισχύει.. d(x n, x m ɛ για κάθε n, m με n m. 3

4 Τώρα, όμως, πρέπει να υπάρχει υποακολουθία (x nk η οποία να συγκλίνει σε κάποιο x 0 M. Συνεπάγεται: 0 d(x nk, x nl d(x nk, x 0 + d(x nl, x = 0 όταν k, l + και άρα d(x nk, x nl 0 Αυτό, όμως, είναι άτοπο διότι ισχύει όταν k, l +. d(x nk, x nl ɛ για κάθε k, l με k l. Άρα ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε. Βήμα. Έστω τυχούσα ανοικτή κάλυψη Σ του M. Δηλαδή τα σύνολα A της συλλογής είναι ανοικτά και καλύπτουν το M. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ɛ > 0 με την ιδιότητα: για κάθε x M η περιοχή N x (ɛ περιέχεται σε κάποιο από τα A Σ. Έστω ότι δεν υπάρχει ɛ > 0 με την ιδιότητα αυτή. Δηλαδή, για κάθε ɛ > 0 υπάρχει αντίστοιχο x M ώστε η N x (ɛ να μην περιέχεται σε κανένα από τα A Σ. Εφαρμόζουμε με ɛ = 1 για κάθε n N και έχουμε ότι για κάθε n υπάρχει x n n M ώστε η περιοχή N xn να μην περιέχεται σε κανένα από τα A Σ. Έτσι δημιουργείται ακολουθία (x n στο M, οπότε θα υπάρχει υποακολουθία (x nk της (x n η οποία συγκλίνει n σε κάποιο x 0 M. Το x 0 ανήκει σε κάποιο απο τα A Σ. Έστω x 0 A 0 Σ. Αφού το A 0 είναι ανοικτό, συνεπάγεται ότι το x 0 είναι εσωτερικό σημείο του A 0, οπότε υπάρχει δ 0 > 0 ώστε Επιλέγουμε αρκετά μεγάλο ώστε N x0 (δ 0 A 0. d(x nk, x 0 < δ 0 και 1 < δ 0. Τότε: x N xnk d(x, x 0 d(x, x nk +d(x nk, x 0 < 1 +d(x nk, x 0 < δ 0 +δ 0 = δ 0 δηλαδή και, επομένως, x N xnk x N x0 (δ 0 N xnk N x0 (δ 0 A 0 και καταλήγουμε σε άτοπο, διότι η περιοχή N xnk δεν πρέπει να περιέχεται σε κανένα από τα A Σ. Άρα ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε. Βήμα 3. Έστω τυχαία ανοικτή κάλυψη Σ του M. Τότε, σύμφωνα με το βήμα, υπάρχει ɛ > 0 ώστε για κάθε x M η N x (ɛ να περιέχεται σε κάποιο από τα A Σ. Σύμφωνα με το βήμα 1, υπάρχουν πεπερασμένου πλήθους στοιχεία x 1,..., x n του M ώστε M N x1 (ɛ... N xn (ɛ. 4

5 Καθένα, όμως, από τα N xk (ɛ περιέχεται σε κάποιο από τα A Σ. Άρα υπάρχουν αντίστοιχα σύνολα A 1,..., A n της Σ ώστε Άρα N x1 (ɛ A 1,..., N xn (ɛ A n. M A 1 A n. Επομένως, η Σ = {A 1,..., A n } είναι πεπερασμένη κάλυψη του M μικρότερη ή ίση της Σ. Παράδειγμα. Θεωρούμε το [a, b] στο R με την Ευκλείδεια μετρική. Έστω τυχαία ακολουθία (x n στο [a, b]. Η (x n είναι φραγμένη. Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano - Weierstrass στο R, η (x n έχει τουλάχιστον μια υποακολουθία (x nk η οποία συγκλίνει σε κάποιο x R. Επειδή ισχύει a x nk b για κάθε k, συνεπάγεται ότι a x b. Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι κάθε ακολουθία στο [a, b] έχει υποακολουθία η οποία συγκλίνει σε στοιχείο του [a, b]. Επομένως, βάσει του Θεωρήματος, το [a, b] είναι συμπαγές. 5

Σχετικά έγγραφα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y