Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)"

Αοιδή Χατζηιωάννου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche p = 1 υπόλοιπο Cauchy R n (x) = (x ξ)n 1 (x x 0 ) (n 1)! f (n) (ξ) p = n υπόλοιπο Lagrange R n (x) = (x x 0) n n! f (n) (ξ)

2 Απόδειξη. Θεωρούμε ότι x < x 0 (αν x > x 0 η απόδειξη είναι η ίδια) x t x 0 φ(t) ορ. f(t) + x t 1! (x t)2 + 2! + + f (t)+ f (t) + (x t)3 f (3) (t)+ 3! (x t)n 1 f (n 1) (t) + A (x t) p = (n 1)! n 1 (x t) k = f (k) (t) + A (x t) p Το A είναι διαλεγμένο έτσι ώστε φ(x) = φ(x 0 ). Εχουμε: φ(x 0 ) =f(x 0 ) + x x 0 f (x 0 )+ 1! + (x x 0) 2 f (x t)3 (x 0 ) + f (3) (x 0 )+ 2! 3! (x t)n f (n 1) (x 0 ) + A (x x 0 ) p = (n 1)! n 1 (x x 0 ) k = f (k) (x 0 ) + A (x x 0 ) p φ(x) =f(x) Η συνάρτηση φ(t) είναι συνεχής για t [x, x 0 ] και υπάρχει φ (t) για t (x, x 0 ) και φ(x) = φ(x 0 ) άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (x, x 0 ) τέτοιο ώστε φ (ξ) = 0. ( ) n 1 φ (x t) k (t) = f (k+1) (x t)k 1 (t) k f (k) (t) pa (x t) p 1 = ( (x t) =f (t) + 1! ( (x t) 2 + f (3) (t) 2! ( (x t) 3 + f (4) (t) 3! + + ( + (x t) n 1 f (n) (t) (n 1)! pa (x t) p 1 = = ) f (2) (t) f (t) + ) (x t) f (2) (t) 1! ) (x t)2 f (3) (t) 2! (x t)n 1 f (n) (t) pa (x t) p 1 (n 1)! φ (ξ) = 0 A = + + ) (x t)n 2 f (n 1) (t) + (n 2)! (x ξ)n p p(n 1)! f (n) (ξ) Το υπόλοιπο Sclömlich-Roche δίνεται από τον τύπο R n (x) = A (x x 0 ) p

3 Ανάπτυγμα Taylor Αν η συνάρτηση f(x) έχει φραγμένη παράγωγο κάθε τάξης, n N f (n) (x) για x (a, b) και f (n) (x) < M x, x 0 (a, b) f(x) = (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) Ανάπτυγμα Maclaurin Ανάπτυγμα Maclaurin Ανάπτυγμα Taylor για x 0 = 0 f(x) = x k f (k) (0)

4 exp x = e x = n=0 x n n! x <

5 Π 2 Π 3 Π sin x = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! = eix e ix 2i Π 2 Π 3 Π cos x = n=0 ( 1) n x 2n (2n)! = eix + e ix 2

6 ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN 1 1 x = n=0 ln (1 x) = exp x = e x = x n x < 1 n=1 n=0 cosh x ex + e x 2 sinh x ex e x cos x = sin x = n=0 n=0 2 ( 1) n = x n n x n n! = n=0 x < 1 x < n=0 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! x 2n (2n)! = eix + e ix 2 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! = eix e ix 2i

7 Ανάπτυγμα Taylor Αν η συνάρτηση f(x) έχει φραγμένη παράγωγο κάθε τάξης, n N f (n) (x) για x (a, b) και f (n) (x) < M x, x 0 (a, b) f(x) = (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) Απόδ: Χρησιμοποιούμε το υπόλοιπο Lagrange, οπότε έχουμε: (x ξ)n R n (x) = n! =f(x) n 1 f (n) (ξ) = (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) Επομένως a n a n = x ξ n n! R n (x) M a n+1 a n = 0 R n (x) 0 n n x ξ n n! x ξ n n f(x) = (x x 0 ) k

8 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ορισμός Δυναμοσειράσ-Ακτίνα σύγκλισης Ορισμός Δυναμοσειράς: a n (x x 0 ) n Ακτίνα σύγκλισης n=1 R = sup{ x x 0 : a n (x x 0 ) n συγκλίνει} n=1 x : x x 0 < R a n (x x 0 ) n συγκλίνει Σημείωση Συνήθως (ΟΧΙ ΠΑΝΤΑ!!!) η ακτίνα σύγκλισης R βρίσκεται εφαρμόζοντας είτε το κριτήριο του λόγου lim n a n+1 a n είτε το κριτήριο της ρίζας n=0 lim n n=1 x x 0 < 1 x x 0 < R = lim n an x x 0 < 1 x x 0 < R = x n = 1 1 x, R = 1 και n=0 x n n! = ex, R = n lim n a n a n+1 1 n an

9 Πρ: Αν η συνάρτηση f(x) έχει φραγμένη παράγωγο κάθε τάξης f (n) (x) για x (a, b) και f (n) (x) < M x, x 0 (a, b) f(x) = (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) Απόδ: Χρησιμοποιούμε το υπόλοιπο Lagrange, οπότε έχουμε: (x ξ)n R n (x) = n! =f(x) n 1 f (n) (ξ) = (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) Επομένως a n a n = x ξ n n! R n (x) M a n+1 a n = 0 R n (x) 0 n n x ξ n n! x ξ n n f(x) = (x x 0 ) k

10 x 0 Τοπικό Ακρότατο (Local Extremum) δ : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) έχει σταθερό πρόσημο Τοπικό Μέγιστο (Local Maximum) Τοπικό Ελάχιστο (Local Minimum) δ : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) δ : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT f(x) συνεχής γύρω από το x 0 Υπάρχει το f (x 0 ) Το x 0 είναι τοπικό ακρότατο } f (x 0 ) = 0

11 ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT, απόδειξη f(x) συνεχής γύρω από το x 0 Υπάρχει το f (x 0 ) Το x 0 είναι τοπικό ακρότατο f (x 0 ) = 0 Απόδειξη. f (x 0 ) g(x, x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 { } Αν f (x 0 ) > 0 0 < g(x, x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 x < x 0 ɛ = f (x 0 ) 2 f (x 0 ) x x0 δ : x 0 δ < x < x 0 + δ 0 < f (x 0 ) < g(x, x 0 ) 2 f(x) f(x 0) < 0 0 < g(x, x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 x > x 0 f(x) f(x 0) > 0 Το f(x 0 ) δεν είναι ακρότατο. Το ίδιο συμβαίνει αν f (x 0 ) <). Αρα f (x 0 ) = 0.

12 f (0) = 0 αλλά το x 0 = 0 δεν είναι extremum f (x 0 ) δεν ορίζεται, όχι extremum

13 f (x 0 ) δεν ορίζεται, υπάρχει extremum

14 x 0 κρίσιμο σημείο (critical point) f (x 0 ) = 0 ή f (x 0 ) δεν υπάρχει x 0 τοπικό μέγιστο x 0 κρίσιμο σημείο SOS Τα κρίσιμα σημεία δεν ειναι πάντα τοπικά ακρότατα

15 ΠΡΟΤΑΣΗ f(x) συνεχής στο [a, b] x (a, x 0 ) (x 0, b) f (x) δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 ) f (x) > 0 x (x 0, x 0 + δ) f (x) < 0 Το x 0 είναι τοπικό μέγιστο ΠΡΟΤΑΣΗ νιοστής παραγώγου f(x) συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο [a, b] x [a, b] f n 1 (x) και είναι συνεχής x (a, b) f n (x) f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 και f (n) (x 0 ) 0 f (n) (x) συνεχής γύρω από το x 0 Αν n άρτιος το x 0 είναι τοπικό μέγιστο Αν f (n) (x 0 ) > 0 τοπικό ελάχιστο Αν f (n) (x 0 ) < 0 τοπικό μέγιστο

16 ΠΡΟΤΑΣΗ νιοστής παραγώγου f(x) συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο [a, b] x [a, b] f n 1 (x) και είναι συνεχής x (a, b) f n (x) f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 και f (n) (x 0 ) 0 f (n) (x) συνεχής γύρω από το x 0 Αν n άρτιος το x 0 είναι τοπικό μέγιστο Αν f (n) (x 0 ) > 0 τοπικό ελάχιστο Αν f (n) (x 0 ) < 0 τοπικό μέγιστο Απόδειξη. Απόδ: Με τις προυποθέσεις ισχύει το ανάπτυγμα Taylor με υπόλοιπο Lagrange f(x) = n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) = = f(x 0 ) + (x x 0) n f (n) (ξ), ξ (a, b) n! n = 2k. Αν f (n) (ξ) > 0 τότε f(x) f(x 0 ) 0 άρα το x 0 τοπικό minimum.

17 Ορισμός κυρτής συνάρτησης f(x) κυρτή (convex) a x < x b 0 λ 1 f ( λx + (1 λ)x ) λf(x) + (1 λ)f(x ) λf(x)+(1-λ) f(x') f(x') f(x) f(λ x+(1-λ) x') x λ x+(1-λ) x' x'

18 Πρ: f(x) κυρτή x 1 <x 2 < x 3 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 3) f(x 1 ) x 2 x 1 x 3 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 f(x 2)< λf(x 1)+(1-λ) f(x 3) f(x ) 3 f(x 1 ) f(x ) 2 x 1 x = λ x +(1-λ) x x

19 Πρ: f(x) κυρτή g(x) = f(x) f(x 0) x x 0 είναι αύξουσα συνάρτηση. f(x)<λf(x 0)+(1-λ) f(x') f(x') f(x ) 0 f(x) x 0 x=λ x 0+(1-λ) x' x' Πρ: f(x) κυρτή f (x) f +(x) Πρ: f(x) κυρτή f (x) αύξουσα f (x) 0

20 Πρ: f(x) κυρτή x 1 <x 2 < x 3 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 3) f(x 1 ) x 2 x 1 x 3 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 f(x 2)< λf(x 1)+(1-λ) f(x 3) f(x ) 3 f(x ) 1 f(x ) 2 x 1 x 3 x = λ x +(1-λ) x f(x) κυρτή f (x) αύξουσα f (x) 0

21 f(x) κυρτή ( ) x1 + x x n f n f(x 1) + f(x 2 ) + + f(x n ) n f(x) κυρτή a k > 0 ( ) a1 x 1 + a 2 x a n x n f a 1 + a a n a 1f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + + a n f(x n ) a 1 + a a n f(x) = e x f (x) > 0 f(x) κυρτή a k > 0 n n k=1 1 a k n n a k k=1 n a k k=1 n

22 Σημείο καμπής (turning point) f (x 0 h) f (x 0 + h) < 0 f''(x) > 0 κυρτή f''(x) < 0 κοίλη x 0 x 0 σημείο καμπής f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 (Σημ. το αντίστροφο δεν ισχύει)

23 Πρ: f (n) (x) συνεχής στο (a, b) f (x 0 ) = f (3) (x 0 ) = = = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0 n περιττός x 0 σημείο καμπής

Σχετικά έγγραφα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0