Τελευταία ενημέρωση: 18 / 11 / 2014 Όλα τα θέματα της τράπεζας με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Παπαδόπουλος Παναγιώτης
|
|
|
- ψυχή Λαμπρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4-5 Τελευτί ενημέρωση: 8 / / 4 Όλ τ θέμτ της τράπεζς με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ππδόπουλος Πνγιώτης
2 [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ ο _8975 ) Ως γνωστόν το βρύκεντρο ενός τριγώνου πέχει πό κάθε κορυφή τ της ντίστοιχης διμέσου. Εφόσον το Θ είνι βρύκεντρο του τριγώνου, θ ισχύει: ΑΘ ΑΜ κι ΘΜ ΑΜ. Όμως ΔΕ//ΒΓ άρ πό το θεώρημ του Θλή έχουμε: ΑΘ ΔB ΘΜ Συνεπώς: ΑΘ AB AΜ AB AΜ ΑB AΘ AΜ Από το θεώρημ Θλή έχουμε επίσης: ΑB ΑE ΑΘ ΑΜ AΜ EΓ ΘΜ AΓ AΜ ΑB ΑΜ ΑE ΕΓ ΑE ΑΘ ΑE Συνεπώς: ΑE ΑΘ ΘΜ ΕΓ ΘΜ ΕΓ ΕΓ AΜ β) ΑB 9 ΑE ΕΓ ΑE ΕΓ ΕΓ EΓ ΕΓ 5 ΕΓ ΕΓ 5
3 [] ΘΕΜΑ ο _94 ) ΔΕ//ΒΓ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: β) ΔZ//ΒE άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: γ) () () ΑE ΑE () ΑΒ ΑΒ ΑZ ΑE ΑZ (4) ΑΒ ΑE ΑΒ Από () κι (4) έχουμε: ΑE ΑZ ΑE ΑE () ΑΒ ΑZ ΑE () ΑΒ
4 [4] ΘΕΜΑ ο _9 ) Στο τρίγωνο Β εφρμόζουμε το θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου κι έχουμε: ΔΕ EB AΔ 9 ΕΒ 7 ΕΒ 6 AB EB 8 β) Στο τρίγωνο ΒΓΔ, ισχύει ΕΖ//ΒΓ, άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΔΖ ΔΕ ΖΓ ΕB ΔΖ 9 6 ΔΖ ΔΖ 9 6 9
5 [5] ΘΕΜΑ ο _94 ) Α τρόπος : Εφρμόζουμε στο ΑΒΓ θεώρημ εξωτερικής διχοτόμου. EΒ EΓ AB Β τρόπος : Εφρμόζουμε στο ΑΒΓ θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου. ΔΒ ΔΓ AB β) ΔΕ ΒΕ ΒΔ 5- ΘΕΜΑ 4 ο 4_8994
6 [6] ) BE AB άρ προφνώς AE AB ME//BN άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: AM AE MN BE AM MN AE BE AM MN AE AE AM MN AM AM MN () MN Ομοίως, ΔΖ ΔΓ άρ προφνώς ZΓ ΔΓ ΖΝ//ΜΔ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΓN ΓZ MN ΔZ ΓN MN ΓZ ΔZ ΓN MN ΓΔ ΓΔ Από () κι () προκύπτει ότι: ΑΜ=ΓΝ=ΜΝ ΓN MN ΓN ΓN MN () MN β) =ΑΜ+ΜΝ+ΓΝ =ΜΝ+ΜΝ+ΜΝ =5ΜΝ ΜΝ= 5 AΓ
7 [7] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ ο _9 ) i) Τ τρίγων ΣΒΓ κι ΣΒΔ έχουν: B ΣΓ BΣΔ (κοινή γωνί) Γ BΣ ΣΔΒ (η Γ BΣ είνι γωνί πό χορδή κι εφπτομένη κι η ΣΔΒ είνι εγγε- γρμμένη γωνί που έχουν το ίδιο ντίστοιχο τόξο) ΣB ΣΓ BΓ Άρ ΣΒΓ ΣΔΒ () ΣΔ ΣB ΔΒ ii) Τ τρίγων Σ κι ΣΔΑ έχουν: A ΣΓ AΣΔ (κοινή γωνί) Γ AΣ ΣΔA (η ΣA AΓ ΣΓ Άρ Σ ΣΔΑ () ΣΔ ΔA ΣA β) Από τη σχέση () έχουμε: Γ AΣ είνι γωνί πό χορδή κι εφπτομένη κι η ΣΔ A είνι εγγεγρμμένη γωνί που έχουν το ίδιο ντίστοιχο τόξο) BΓ ΣΓ AΓ ΣΓ (). Από τη σχέση () έχουμε: (4) ΔΒ ΣB ΔA ΣA Επειδή τ εφπτόμεν τμήμτ ΣΑ κι ΣΒ είνι ίσ, πό τις σχέσεις () κι (4) προκύπτει: BΓ ΔΒ AΓ BΔ AΔ BΓ ΔA
8 [8] ΘΕΜΑ ο _96 ) Τ τρίγων ΒΔΕ κι ΑΒΓ έχουν: B B (κοινή) BΔ E Γ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των Άρ ΒΔΕ ΒΓΑ. πρλλήλων ΔΕ, ) Οπότε: β) Τ τρίγων ΓΔΖ κι ΑΒΓ έχουν: Γ Γ (κοινή) ΒΔ ΔE () ΒΓ ΓΔ Z Β (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΖ, ΑΒ) Άρ ΓΔΖ ΓΒΑ. Οπότε: ΔZ ΓΔ () ΑB ΒΓ ( ), ( ) Δ E ΔZ ΒΔ ΓΔ ΒΔ ΓΔ ΒΓ γ) ΑB ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ
9 [9] ΘΕΜΑ ο _94 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ έχουν: β) A Z (δεδομέν) B E (δεδομέν) Άρ ΑΒΓ ΖΕΔ AB ΖΕ AΓ ΖΔ ΓB ΕΔ 5 x 45 γ) 5x 585x 45 x x y 5 5y 55y y y 5 5
10 [] ΘΕΜΑ ο _95 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι Ε έχουν: β) A A (κοινή) B AΔE (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ κι ΒΓ) Άρ ΑΒΓ Ε AB BΓ ΔE γ) Η νλογί ΑE 4 5 είνι λάθος διότι οι όροι των κλσμάτων δεν ντιστοιχούν στ μήκη των 6 x ομόλογων πλευρών των όμοιων τριγώνων. Η σωστή νλογί είνι: AB BΓ ΔE 9 4 x 4x 54 x x 7
11 [] ΘΕΜΑ ο _97 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ έχουν: β) A Δ (=9 ) ΑB 4 4 ( ΔZ ΔE ΔZ 8 Άρ ΑΒΓ ΔΕΖ ΑB ΔE BΓ EZ ΔZ ΑB 8 4 κι ) ΔE BΓ BΓ 4 γ) 4EZ ΒΓ ΕΖ ΒΓ EZ ΔZ EZ 4 Άρ η σωστή πάντηση είνι η (iii)
12 [] ΘΕΜΑ ο _899 ) i. ii. 4 ΔΖ 5 BΓ 6 EΖ 4 5 BΑ 8 ΔE 48 8 B 8 Επομένως: A Δ B E άρ A Γ 8 ΔΖ 6 BΓ EΖ 8 άρ τ τρίγων είνι όμοι BΑ ΔE 4 οπότε τ τρίγων δεν είνι όμοι x y ω β) Αν x, y, ω τ μήκη των πλευρών του τριγώνου ΔΕΖ, με x<y<ω, τότε: AB AΓ ΒΓ x x 8 6 y y 7 ω ω 4 8 E
13 [] ΘΕΜΑ ο _8984 ) i ΔZ ΔE ΑΒ άρ ΔZ ΔΕ ΑΒ 5 Δ Α Άρ ΑΒΓΔΕΖ ii. Δ B Α Γ E A Άρ ΓΑΒΔΕΖ iii. Δ A ΔΖ) ΔΕ κι AB (διότι ΔΖ ΔE ΑΒ άρ ΑΒΓΔΕΖ β) i. 5 ΕΖ ΒΓ ΔZ ΔΕ ΑΒ ii. EZ AB ΔZ ΒΓ ΔE iii. ΕΖ ΒΓ ΔZ ΔΕ ΑΒ
14 [4] ΘΕΜΑ ο _899 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΔΓ έχουν: A E (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ κι ΔΕ) Β ΔΓE (κτκορυφήν) Άρ Β EΓΔ β) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΔΓ έχουν: ΒΓ AΓ ΒΓ AΓ (πό τ δεδομέν γνωρίζουμε ότι =) ΔΓ EΓ ΔΓ EΓ Β ΔΓE (κτκορυφήν) Άρ Β EΓΔ
15 [5] ΘΕΜΑ ο _99 ) Τ τρίγων ΑΕΒ κι ΕΔΓ έχουν: AEB ΔEΓ (κτκορυφήν) EAB ΕΓΔ (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ κι ΓΔ) β) Αποδείχθηκε ότι τ τρίγων ΑΕΒ κι ΔΕΓ έχουν δύο γωνίες ίσες μί προς μί άρ: EA AB EB ΕΑΒ ΕΓΔ () ΕΓ ΓΔ ΕΔ γ) () 8 5 ΓΔ Από τη σχέση () έχουμε: 6 EB 5 EB 6 EB 4 5 Από τη σχέση () έχουμε: ΓΔ ΓΔ 5 ΓΔ
16 [6] ΘΕΜΑ ο _9 ) ο ζεύγος τριγώνων : ΚΛΜ κι ΖΔΕ K Δ ( = 9 ) ΚΜ 6 ZΔ 9 ΚΛ ΕΔ 5 άρ Επομένως ΚΛΜ ΖΔΕ ΚΜ ZΔ ΚΛ ΕΔ ο ζεύγος τριγώνων : ΑΒΓ κι ΗΚΛ A 8 4 B 7 K H 65 άρ Λ Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΗΚΛ δεν είνι όμοι διότι δεν έχουν τις γωνίες τους μί προς μί ίσες. β) ΚΜ ZΔ ΚΛ ΕΔ MΛ ΕZ
17 [7] ΘΕΜΑ ο _9 ) Ο λόγος ομοιότητς των πολυγώνων είνι ο λόγος των ντίστοιχων πλευρών τους, άρ: AB λ ΚΛ 5 AE AB x β) x 6 x ΚΡ ΚΛ 8 γ) BΓ ΛM Άρ: ΓΔ MN ΔE ΡN BΓ ΒΓ 4 BΓ 8 ΓΔ ΓΔ 8 ΓΔ 6 9 BΓ ΓΔ ΔE 9 5 ΔE ΔΕ ΔΕ 5 Άρ η περίμετρος του ΑΒΓΔΕ είνι: ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ = = 46
18 [8] ΘΕΜΑ ο _9 ) Τ τρίγων ΟΑΕ κι ΟΒΔ έχουν: O O (Οδ διχοτόμος) A Δ ( = 9 ) Άρ ΟΑΕ ΟΔΒ β) Λόγω της ομοιότητς των τριγώνων έχουμε: Άρ: OA OΔ OE OB OA OΔ OE ΟΑ ΟΑ OA OΔ ΟΔ ΟΕ OE OB AE ΔB
19 [9] ΘΕΜΑ ο _9 ) Τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΕΖ έχουν: ΑΕ ΑZ (δεδομέν) ΑB A A (κοινή γωνί) Επομένως ΑΒΔ ΑΕΖ. Άρ: EZ BΔ ΑΕ ΑZ ΑB () κι AEZ AΔΒ AEZ AΔΒ EZ// ΔΒ () (διότι οι εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες είνι ίσες) Τ τρίγων ΓΘΗ κι ΒΓΔ έχουν: ΓH ΓΘ (δεδομέν) ΓB ΓΔ Γ Γ (κοινή γωνί) Επομένως ΓΘΗ ΒΓΔ. Άρ: ΘΗ ΒΔ ΓH ΓB ΓΘ ΓΔ () κι ΓΘΗ ΓΔΒ ΓΘΗ ΓΔΒ ΘΗ // BΔ (4) (διότι οι εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες είνι ίσες) Από () κι (4) έχουμε: ΕΖ//ΔΒ//ΘΗ.
20 [] β) Από () κι () έχουμε: EZ ΒΔ EZ BΔ ΘΗ ΒΔ ΘH ΒΔ άρ ΒΔ ΕΖ ΘΗ γ) Από τ προηγούμεν ερωτήμτ, δείξμε ότι ΕΖ//ΘΗ κι ΕΖ=ΘΗ, άρ ΕΖΗΘ είνι πρλληλόγρμμο. ΘΕΜΑ ο _95 ) Τ τρίγων Ε κι ΑΒΓ έχουν: β) AE (δεδομέν) ΑΒ AΓ A A (κοινή) Άρ Ε ΑΒΓ. ΔΕ ΒΓ ΑΒ Εφόσον ισχύει AE ΔΕ. Επομένως: ΒΓ ΔΕ () AΓ ΒΓ AE, άρ πό το θεώρημ του Θλή προκύπτει ότι ΔΕ//ΒΓ. ΑΒ AΓ Συνεπώς το τετράπλευρο ΔΕΖΒ είνι πρλληλόγρμμο κι ισχύει: ΔΕ=ΒΖ () Από () κι () έχουμε: ΒΓ ΔΕ ΒΓ BZ
21 [] ΘΕΜΑ ο _96 ) Α τρόπος : Τ τρίγων ΟΑΒ κι ΟΓΔ έχουν: ABO ΟΔΓ (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ, ΓΔ που τέμνοντι πό την ΒΔ) AOB ΓOΔ (κτκορυφήν) ΒΟ ΟΑ 9 Άρ ΒΟΑ ΔΟΓ ΟΔ 4 OΔ 7. ΔΟ OΓ ΔΟ 6 Β τρόπος : ΑΒ//ΓΔ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΒΟ ΟA ΔO OΓ β) Α τρόπος : ΒΟ ΔΟ ΟΑ OΓ 9 ΔΟ Τ τρίγων Ο κι ΟΒΜ έχουν: ΟΔ 4 OΔ 7 6 A ΔO ΟBM (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων, ΒΜ που τέμνοντι πό την ΒΔ) AO Δ BOM (κτκορυφήν) ΔΟ ΟΑ 7 Άρ ΔΟΑ ΒΟΜ 7ΟM 8 OM 4. BΟ OM 9 OM Β τρόπος : ΒΜ// άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΔΟ ΟA BΟ OM ΔΟ BΟ ΟΑ OM 7 7ΟM 8 OM 4 9 OM
22 [] ΘΕΜΑ 4 ο 4_8976 ) i) Τ τρίγων Γ κι ΒΕΓ έχουν: Γ Γ (κοινή) κι ΒΕΓ AΔΓ (= 9 ) Άρ ΓΕΒ ΓΔΑ ii) Αν τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ ήτν όμοι, τότε ο ΑΒ λόγος ομοιότητάς τους θ ήτν λ AB οπότε τ τρίγων θ ήτν ίσ. Τότε θ έπρεπε ν ισχύει A B ΑΒΓ ισοσκελές (άτοπο εφόσον το τρίγωνο ΑΒΓ δίνετι ότι είνι σκληνό). Άρ τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ δεν μπορεί ν είνι όμοι. β) Αν το ΑΒΓ είνι ισοσκελές με ΑΒ=, τότε θ ισχύει έχουν: A B, άρ τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ θ A B (ABΓ ισοσκελές) κι ΒΕ A AΔB (= 9 ). Οπότε: ΑΒΔ ΑΒΕ
23 [] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) i) Τ τρίγων ΒΔΕ κι ΑΒΜ έχουν: B B (κοινή γωνί) B ΔE BAM (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ κι ΑΜ) Άρ ΒΔΕ ΒΑΜ ΔE BΕ BΔ () AM ΒM ΑΒ ii) Τ τρίγων ΓΖΕ κι Μ έχουν: Γ Γ (κοινή γωνί) Γ EZ ΓMA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΖΕ κι ΑΜ) EZ ΓΕ ΓZ Άρ ΓΕΖ ΓΜΑ () AM ΓM ΓA β) Από τη σχέση () έχουμε: Από τη σχέση () έχουμε: ΔE BΕ () AM ΒM EZ ΓΕ (4) AM ΓM Προσθέτοντς κτά μέλη τις σχέσεις () κι (4) έχουμε: ΔE AM EZ AM BΕ ΒM ΓΕ ΓM ΔE EZ BΕ ΓΕ ΔE EZ BΓ ΔE EZ BM AM ΒM AM ΒM AM ΒM BMMΓ ΔE EZ ΔE EZ AM (στθερό ποτέλεσμ) AM
![[4] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) Τ τρίγων ΕΜΛ κι EΓΝ](/docs-images/68/59811425/images/24-0.jpg "έχουν: Λ Γ (=9 ) ΜΕΛ ΝΕΓ (η γωνί με")
24 [4] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) Τ τρίγων ΕΜΛ κι EΓΝ έχουν: Λ Γ (=9 ) ΜΕΛ ΝΕΓ (η γωνί με την οποί χτυπάει η μπάλ σε μι πλευρά ισούτι με τη γωνί με την οποί πομκρύνετι)
25 [5] Άρ ΛΕΜ ΓΕΝ ΛE ΛM ΛE, 75 ΛE ΓΕ, 75, 75, 75 ΓE ΓN ΓE ΓE ΓE, 75, 75 ΓΕ, 75 ΓΕ ΓΕ, 75 β) Θεωρούμε ότι το σημείο Κ στο οποίο θ προσκρούσει η μπάλ στην πλευρά ΓΔ, είνι εσωτερικό σημείο του τμήμτος ΔΝ. Γι ν κτφέρει ο πίκτης Π ν στείλει την μπάλ στη τρύπ Β, κολουθώντς τη διδρομή ΜΚΒ, θ πρέπει ν ισχύει Μ KΠ BKΓ διότι η γωνί με την οποί χτυπάει η μπάλ σε μι πλευρά ισούτι με τη γωνί με την οποί πό- μκρύνετι. Τότε τ τρίγων ΜΚΠ κι ΒΚΓ έχουν: Π Γ (=9 ) Μ KΠ BKΓ (δικιολογήθηκε) ΠΚ ΠM, 75 KN, 75, 75 KN Άρ ΠΚΜ ΓΚΒ, 75 ΓΚ ΓB KN KN, 75 KN, 75, 75KN ΚN, 75KN 75, KN KN Άρ το σημείο Κ θ πρέπει ν τυτιστεί με το σημείο Ν. Τότε όμως η μπάλ θ έμπινε στην τρύπ που βρίσκετι στη θέση Ν κι όχι στη θέση Β που ισχυρίζετι ο πίκτης Π. Ομοίως πρέπει ν εξετάσουμε ν το σημείο Κ στο οποίο θ προσκρούσει η μπάλ στην πλευρά ΓΔ, είνι εξωτερικό σημείο του τμήμτος ΔΝ. Τότε τ τρίγων ΜΚΠ κι ΒΚΓ ποδεικνύετι με τον ίδιο τρόπο ότι είνι όμοι κι θ ισχύει: ΠΚ ΠM, 75 KN, 75, 75 KN, 75 ΓΚ ΓB KN KN, 75 KN, 75, 75KN ΚN, 75KN 75, KN KN Τ συμπεράσμτ είνι ίδι με την προηγούμενη περίπτωση. Άρ ο ισχυρισμός του πίκτη Π είνι σωστός.
26 [6] ΘΕΜΑ 4 ο 4_96 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι Ε έχουν: A A (κοινή) ΑΕ AE ( AE κι ΑΒ Άρ ΑΒΓ Ε AΔ A Δ ΑB ) ΑΒ Συνεπώς οι γωνίες που είνι πένντι πό τις ομόλογες πλευρές είνι ίσες μετξύ τους. Άρ: AE Δ AΓΒ β) Εφόσον ποδείξμε ότι ΑΒΓ Ε, προκύπτει ότι ισχύει η σχέση: γ) Το τμήμ ΒΓ θ ήτν πράλληλο στο ΔΕ, ν ίσχυε γωνίες). Γνωρίζουμε όμως ότι AE EΔ ΓΒ AE Δ AΒΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά AE Δ AΓΒ. Άρ έπρεπε ν ισχύει A ΒΓ AΓΒ, δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ ν είνι ισοσκελές. Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι γνωστό πό τ δεδομέν ότι είνι σκληνό, επομένως τ τμήμτ ΒΓ κι ΔΕ δεν γίνετι ν είνι πράλληλ.
27 [7] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) ) Τ τρίγων Κ κι ΚΒΓ έχουν: ΑΚ Δ BΚΓ (κτκορυφήν) Α ΔΚ ΓBΚ (εντός ενλλάξ των πρλλήλων κι ΒΓ που τέμνοντι πό την ΔΒ) Άρ ΚΔΑ ΚΒΓ
28 [8] β) Τ τρίγων ΚΔΖ κι ΔΑΒ έχουν: Κ ZΔ BAΔ ( = 9 ) Δ Δ (κοινή γωνί) Άρ ΖΔΚ Β Επομένως: ZΔ ΔK ZK () ΔB ΑB ZΔ ZK ZΔ 4 ΖΔ 8 ΑB 8 4 ΖΔ ΖΔ,8 m 5 Άρ η πόστση του σημείου Κ πό το έδφος είνι: ΖΑ = ΖΔ =,8 =, m γ) Από το ( ) ερώτημ γνωρίζουμε ότι: KΔ ΚΔΑ ΚΒΓ ΚΒ Έχουμε λοιπόν: KΔ ΚΒ AΔ ΓΒ AΔ ΓΒ KA ΚΓ KΔ ΚΒ Από τις σχέσεις () κι () έχουμε: KΔ ΚΒ ΚΔ ZΔ ΔK ZΔ 4 5ZΔ 4 ΖΔ, 8 m ΔB 5 5 Επομένως, νεξρτήτως της πόστσης ΑΒ των δύο στήλων, η πόστση του σημείου Κ πό το έδφος είνι: ΖΑ = ΖΔ =,8 =, m KΔ ΒΔ 5 ()
29 [9] ΘΕΜΑ 4 ο 4_97 ) β) ΑE AB δηλ. ισχύει η νλογί του θεωρήμτος του Θλή, άρ ΔΕ//ΒΓ. AB AΓ ΑE AΓ AΒ AΒ ΔB Στο τρίγωνο ΑΒΖ, ΔΕ//ΑΖ, άρ έχουμε: γ) Τ τρίγων Ε κι ABΓ έχουν: Δ AΕ ΒAΓ (κοινή γωνί) ZE ΔΒ ΕΒ ΔΒ ZE ΕΒ ZE ΕΒ ZE A ΔΕ ΑBΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ΒΓ που τέμνοντι Άρ Ε ΑΒΓ πό την ΑΒ) AΔ AΔ AB άρ AB AΔ ΔΕ ΔΕ ΒΓ ΒΓ ΔΕ ΔΕ () AB BΓ ΒΓ Δ B Τ τρίγων ΑΒΖ κι ΒΔΕ έχουν: AB AB ΔΒ EB
30 [] ABZ ΔBE (κοινή γωνί) B ΑZ BΔΕ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ΑΖ που τέμνοντι Άρ ΒΑΖ ΒΔΕ πό την ΑΒ) Από () κι () έχουμε: BA ΒΔ AZ ΔE δ) Τ τρίγων Η κι ΓΔΕ έχουν: A ΓH ΔΓE (κοινή γωνί) AZ ΔE AZ ΔΕ AZ ΒΓ ΑΖ ΒΓ AZ () ΒΓ ΓΑ H ΓΕΔ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ε που τέμνοντι πό την ) AH Άρ ΓΑΗ ΓΕΔ ΔΕ Από () κι () προκύπτει ότι AΓ EΓ AH ΔΕ AH AH ΔΕ AZ AH AZ Γνωρίζουμε ότι ε//βγ, άρ τ σημεί Β, Γ ισπέχουν πό την ευθεί (ε). Συνεπώς τ τρίγων ΒΗΖ κι ΑΒΖ έχουν το ίδιο ύψος υ. AZ (ABZ) AZ υ υ ( BHZ) HZ υ AZ υ AZ υ Άρ (ΒΗΖ) = (ΑΒΖ) ()
31 [] ΘΕΜΑ 4 ο 4_99 ) Στο τρίγωνο Δ, ΜΚ//ΓΔ, άρ εφρμόζουμε θεώρημ Θλή: β) AM AK ΑK ΑK AM AΔ KΓ ΑK Τ τρίγων ΓΚΝ κι ΑΒΓ έχουν: KΓ ΚΓΝ Β (κοινή γωνί) ΓΝ K ΓΒA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΚΝ, ΑΒ που KΝ Άρ: ΓΝΚ ΓΒΑ AΒ ( ) K ΓK Ν AΒ ΓA KΝ AΒ () τέμνοντι πό την ΒΓ) ΓK ΓA γ) Τ τρίγων ΑΜΚ κι Γ έχουν: ΓN ΓB Κ AM Δ (κοινή γωνί) KΓ KΓ ()
32 [] AMK AΔΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΚΜ, ΓΔ που AM Άρ: ΑΜΚ Γ AΔ AM AΔ MK ΔΓ MK ΔΓ () KΝ AB Επομένως: τέμνοντι πό την ) MK ΔΓ AK AΓ MK ΓΔ MN MK KN ΓΔ AB δ) Τ τρπέζι δεν είνι όμοι, διότι δεν έχουν τις ντίστοιχες πλευρές τους νάλογες: ΑΜ ΒN ΑΒ, AΔ ΒΓ ΑΒ κι ΜΝ ΓΔ ΓΔ AB ΓΔ AB ΓΔ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο _8997
33 [] ) Ονομάζουμε Ε το σημείο στο οποίο βρίσκετι το κουτί. Τ τρίγων Ε κι ΑΒΓ έχουν: A A (κοινή γωνί) E ΑBΓ (=9 ) Άρ Ε ΑΒΓ ΑE ΔΕ () AΓ ΒΓ ΑΒ Επομένως πό τη σχέση () έχουμε: ΑE AΓ ΔΕ s y s y 5s s y 5s y y y s ΒΓ β) i) Αν y= m τότε y s s 8 m 4 ii) Εφρμόζουμε το Πυθγόρειο θεώρημ στο Ε κι έχουμε: ΔΕ AE m ΘΕΜΑ ο _9 ) 8 64 β γ 6 5 Άρ > β + γ A 9. Δηλδή το τρίγωνο ΑΒΓ είνι μβλυγώνιο. β) A 9, άρ εφρμόζουμε στο ΑΒΓ το θεώρημ μβλείς γωνίς. ΒΓ ΑΒ AΔ 64 6 A Δ 4
34 [4] Εφόσον A 9, προκύπτει ότι B 9, άρ εφρμόζουμε θεώρημ οξείς γωνίς. ΑΒ ΒΓ ΒΓ BE BE BE 6 BE BE 5 BE 5 6 ΘΕΜΑ ο _95 ) Η είνι διχοτόμος της γωνίς A, άρ εφρμόζουμε το θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου στο β) ΑΒΓ. ΒΔ ΔΓ ΒΓ ΑΒ AΒ 5 6 AΒ 9 6 ΑΒ ΒΓ ΑΒ Επομένως πό το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήμτος προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο με A = 9.
35 [5] ΘΕΜΑ ο _98 ) Φέρνουμε το ύψος ΑΖ. Το ΑΒΓΔ είνι ισοσκελές τρπέζιο άρ τ ορθογώνι τρίγων Ζ κι ΒΕΓ είνι ίσ (ΑΖ=ΒΕ κι =ΒΓ), οπότε: 7 ΔΖ=ΕΓ= Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο ΒΕΓ κι έχουμε: ΒΕ ΕΓ ΒΓ ΒΕ 4 6 ΒΕ ΒΕ ΒΕ β) ΑΒΓ ΑΒΓΔ Δ ΘΕΜΑ ο _98
36 [6] ) Πρτηρούμε ότι: i) 4 < 5 < 4+ άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί, 4, 5 μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Επιπλέον ισχύει πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 5 4, άρ ποτελούν μήκη ii) 4λλ < 5λ < 4λ+λ άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί λ, 4λ, 5λ μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Επιπλέον ισχύει λ 4 5λ λ, άρ ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. iii) 54 < 6 < 5+ 4 άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί 4, 5, 6 μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Όμως 6 5 4, άρ δεν ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ: x x x 5 x x 7 x x 7 6 x 7 4 x 7 4 x Άρ το x είνι κέριο πολλπλάσιο του x 7 4 ΘΕΜΑ ο _94 ) ΒΓ ΓΔ 64 BΓ ΒΓ ΒΓ 5 β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στ ΑΒΓ: γ) ΑΒ ΒΓ ΑΒ 64 ΑΒ 64 ΑΒ 6 ΑΒ ΔΒ ΒΓ ΔΓ 5 5 5
37 [7] ΔΓ ΔΒ ΘΕΜΑ ο _94 γ β 49 γ 6 ) μ β 98 γ γ 986 γ 5 γ 5 γ 5 β) β 49 άρ γ Άρ το ΑΒΓ είνι μβλυγώνιο. β γ A 9 ΘΕΜΑ ο _94
38 [8] ) Εφρμόζουμε το Πυθγόρειο θεώρημ στο Γ: β) ΔΓ ΔΓ ΔΓ 6 ΔΓ ΔΓ ΔΓ ΔΒ ΔΓ ΔB ΔB ΔΓ ΔB γ) (ΑΒΓ) ΒΓ AΔ 5 6 τ.μ ΘΕΜΑ ο _945 ) Στο ορθογώνιο ΑΒΔ: 6 ΒΔ ΒΔ συν ΒΔ 6 ΒΔ AΔ AΔ ημ AΔ AΔ ΔΓ = ΒΓ ΒΔ = 9 = 6 Πυθγόρειο στο Γ: β) ΔΓ 7 6 ΒΓ 8 άρ ΒΓ ΑΒ ΑΒ A 9 Συνεπώς το ΑΒΓ, έχει τη μεγλύτερη γωνί του οξεί, άρ είνι οξυγώνιο. γ) Αποδείχθηκε στο ( ) ερώτημ ότι ΒΔ=
39 [9] ΘΕΜΑ 4 ο 4_96 R ) ΚΜ ΛΜ ρ Το ΚΛΜ είνι ισοσκελές (ΚΛ=ΛΜ) άρ η διάμεσος ΟΜ (ΟΚ=ΟΛ) θ είνι κι ύψος του τριγώνου. Δηλ. ΟΜΚΛ. Γνωρίζουμε ότι η ευθεί της δικέντρου δύο εφπτόμενων κύκλων διέρχετι πό το σημείο επφής τους. Άρ η προέκτση της ΟΜ, διέρχετι πό το σημείο επφής Ν των κύκλων (Μ, ρ) κι (Ο, R). OM ON MN R - ρ β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο ΟΜΚ κι έχουμε: OM OK MK R 4 R R - ρ ρ
40 [4] R R R R R R ρ Rρ ρ ρ R ρ Rρ Rρ ρ R Rρ R R R R ρ R ρ ρ R ρ ΘΕΜΑ 4 ο 4_99 ) Οι ευθείες ΔΕ κι ΑΒ τέμνοντι στο σημείο Ζ. ΔΓ // ΑΖ ΔΓ ΕΖ άρ ΑΖ ΕΖ Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΖΕ: AE AZ ZE AE 7 4 AE AE 65 AE 5 km β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΕ: ΓΕ ΓΔ ΔΕ ΓΕ 696 ΓΕ ΓΕ 5 km
41 [4] Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ: ΑB ΒΓ 9 9 AΓ 9 km Πρτηρούμε ότι ΑΕ AΓ + ΓΕ επομένως τ σημεί Α, Γ, Ε δεν είνι συνευθεικά. ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 β γ β γ 4 4 ) μ μ μ 4 μ μ μ μ 4 β) Οι χορδές ΑΡ κι ΒΓ τέμνοντι στο σημείο Μ, άρ: MA MΡ ΜΒ ΜΓ MΡ MΡ 4 6 MΡ MΡ 4 γ) Φέρνουμε τ ύψη ΑΕ κι ΡΖ των τριγώνων ΑΒΓ κι ΜΓΡ ντίστοιχ. Τ τρίγων ΑΜΕ κι ΜΖΡ έχουν: E Z ( = 9 ) EMA ZMΡ ( κτκορυφήν ) 4 MΡ
42 [4] EM Άρ: ΕΜΑ ΖΜΡ ZM MA MΡ EA ZΡ EA MA EA 6 Επομένως: EA EA ZΡ MΡ ZΡ ZΡ ZΡ 6 BΓ AE ( ) ( ΑΒΓ) (ΑΒΓ) MΓ AE (ΑΒΓ) AE (ΑΒΓ) (MΡΓ) (MΡΓ) MΓ ZΡ (MΡΓ) ZΡ (MΡΓ) MΓ ZΡ (ΑΒΓ) 6 (ABΓ) 6(MΡΓ) (MΡΓ) () ΘΕΜΑ 4 ο 4_95 ) Οι χορδές κι ΒΔ τέμνοντι στο σημείο Μ άρ: ΔB ΔB MB ΜΔ MA ΜΓ MA ΜΓ ΔB MA ΜΓ ΔB 4MA ΜΓ 4 β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ, ΑΜ είνι διάμεσος άρ εφρμόζουμε το ο θεώρημ διμέσων: ΑΒ ( ) ΑΒ ( ) ΔΒ ΑΜ ΑΜ () 4ΜΑ MΓ ΑΒ ΑΜ ΜΓ ΑΒ ΑΜ ΑΒ ΑΜ ΑΜ ΜΑ MΓ ()
43 [4] γ) Στο τρίγωνο ΓΒΔ, ΓΜ είνι διάμεσος άρ εφρμόζουμε το ο θεώρημ διμέσων: ΓΒ ( ) ΓΒ ΓΔ ΓΔ ( ) ΔΒ ΓΜ ΓΜ 4ΜΑ MΓ ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΜA ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΓΜ Προσθέτοντς κτά μέλη τις σχέσεις () κι () έχουμε: ΑΒ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ ΓΔ ΓΔ ΔΑ ΓΔ ΔΑ ΔΑ AM ΓM AΓ ΑM ΓM AΓ ΜΑ MΓ () ΘΕΜΑ 4 ο 4_97 ) Α τρόπος Τ τρίγων ΑΕΗ κι Γ έχουν: AEH AΔΓ ( = 9 ) EAH ΔAΓ (κοινή γωνί) AE Άρ ΕΑΗ Δ AΔ AH AΓ EH ΓΔ AE AH AH ΑΕ () AΔ AΓ Β τρόπος Το τετράπλευρο ΓΔΗΕ έχει Δ E 9 9 8, άρ είνι εγγράψιμο. Συνεπώς τ τμήμτ ΗΔ, ΕΓ είνι χορδές κύκλου που τέμνοντι στο Α κι θ ισχύει: AH ΑΕ
44 [44] β) γ β γ β γ β μ 6 5 γ β γ β γ β Άρ: 9 A γ β γ β γ) Γνωρίζουμε ότι: γ β γ β () Αποδείξμε επίσης ότι 9 A, οπότε εφρμόζουμε το θεώρημ οξείς γωνίς στο ΑΒΓ κι έχουμε: H Α ΑΕ γ β ΑΕ AB ΒΓ ) ( ), ( ΑH ΑH ΑH ΘΕΜΑ 4 ο 4_99
45 [45] ) i) ii) 8 6 ΑΒΓ B 7 7 ΑΒΔ ΔBΓ 6 Τ τρίγων ΒΔΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΔΒΓ A ( = 6 ) Γ Γ (κοινή γωνί) Άρ ΒΓΔ AΓΒ ΒΓ Η γωνί Συνεπώς Ομοίως, ΓΔ ΒΓ ΓB ΓΔ () ΒΔΓ είνι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΔ, άρ: ΒΔΓ A AΒΔ ΒΔΓ Γ άρ το τρίγωνο ΒΔΓ είνι ισοσκελές με BΓ=ΒΔ (). ΔΒ A A 6 άρ το τρίγωνο ΑΒΔ είνι ισοσκελές με =ΒΔ (). Από () κι () προκύπτει ότι =ΒΓ. Επομένως η σχέση () γίνετι: ΒΓ ΓΔ ΓΔ β) Στο ΑΒΓ, A 9, άρ εφρμόζουμε το θεώρημ οξείς γωνίς: BΓ ΑΒ ΑΚ BΓ ΔΚ ΔΓ B Γ ΔΚ BΓ ΒΓ ΔΓ AΓ - - Δ=+4=5 = 5 Άρ = Αποδείξμε ότι ΓΔ πορρίπτετι ΓΔ επομένως έχουμε: ΓΔ ΔΓ ΔΓ 5 ΔΓ ΔΓ 5 5 4
46 [46] ΘΕΜΑ 4 ο 4_8985 ) i) Εφόσον ΑΒΓΔ κι Α είνι μέσο του θ είνι διάμετρος του κύκλου, οπότε εγγεγρμμένη που βίνει σε ημικύκλιο) Στο ορθογώνιο Β έχουμε: ΓΔ, η χορδή ΑΒ A ΓΒ 9 (ως AM ΑΒ ii) Τ τρίγων ΑΜΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΓΑΜ ΓΑB (κοινή γωνί) ΜΓΑ ΓBA (εγγεγρμμένες που βίνουν σε ίσ τόξ) Επομένως: Μ ΑΒΓ ΑΒ ΑM ΑΜ AB β) ΑΜ AB ΑΒ ΑM Τ τρίγων ΑΜΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΑM (ποδείχθηκε) κι ΓΑΜ ΓΑ B (κοινή γωνί) άρ είνι όμοι. ΑΒ Συνεπώς οι ντίστοιχες γωνίες των τριγώνων θ είνι ίσες, οπότε: ΜΓΑ ΓBA AB AΓ άρ το σημείο Α είνι μέσο του τόξου ΓΔ.
47 [47] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΜΒΑ ΘΕΜΑ ο _98 ) Τ τρίγων ΑΒΔ κι ΟΒΓ έχουν: B B (κοινή γωνί) A ΔB ΟΓB ( είνι ορθές ως εγγεγρμμένες σε Άρ ΒΔΑ ΒΓΟ ημικύκλιο) ΒΔ AΔ AB ΒΔ AΔ OB ΒΔ AΔ β) ΒΓ OΓ OB ΒΓ OΓ OB ΒΓ OΓ Επομένως: ΒΔ AΔ ΒΔ BΓ () κι OΓ () ΒΓ OΓ ( ), ( ) ΒΔ ΟΓ BΓ ΟΓ BΓ (Β) = 4 4 (OΓΒ)
48 [48] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) Γνωρίζουμε ότι οι κτίνες που κτλήγουν στ σημεί επφής είνι κάθετες στις εφπτομένες. Άρ: ΟΑΑΒ κι ΚΒΑΒ Συνεπώς: OA AB KB AB MN AB άρ ΟΑ // ΚΒ // ΜΝ Τ τρίγων ΚΛΜ κι ΟΚΑ έχουν: MK Λ OKA (κοινή γωνί) KM Λ KOA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΜΛ, ΟΑ που τέμνοντι πό την ΟΚ)
49 [49] KM Άρ: ΚΜΛ ΚΟΑ KO β β ΜΛ ΜΛ AO KΛ AK β β β β MΛ β MΛ β β KΛ β AK AΛ β AΛ AΛ β AΛ β β β) β AK β AK β AK AK β AK β AΛ () AK β Τ τρίγων ΑΛΝ κι ΒΚΑ έχουν: NA Λ KAB (κοινή γωνί) AN Λ KBA ( = 9 ) ( ) AN NΛ AΛ AN Άρ: ΑΝΛ ΑΒΚ AB BK AK AB NΛ β β Επομένως: β γ) Τ τρίγων ΑΛΝ κι ΚΜΛ έχουν Άρ: ΜΛ KΛ AK NΛ β β β ΛΝ β ΛΝ β ΑΛΝ KΛM (κτκορυφήν). θεώρημθλή ΑΛΝ ΑΛ ΛΝ MΛ ΛΝ ΑΛ OM π E ΚΜΛ ΛΜ ΛΚ ΛΚ MΚ β β π β E ΘΕΜΑ 4 ο 4_94
50 [5] ) Τ τρίγων ΑΜΛ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί A κοινή, άρ: (AMΛ) (ΑΒΓ) AM ΑΛ AB AB AB β) Τ τρίγων BMZ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί B κοινή, άρ: (BMZ) (ΑΒΓ) BM BZ AB AB BΓ AB BΓ 6 (AMΛ), άρ (ΑΜΛ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (BMZ), άρ (BΜZ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) 6 6 γ) Τ τρίγων ΓΖΛ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί Γ κοινή, άρ: (ΓZΛ) (ΑΒΓ) Επομένως: ΒΓ ΓZ ΓΛ ΒΓ AΓ ΒΓ AΓ 9 (ΓZΛ), άρ (ΓZΛ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) 9 9 ΜΖΛ ΑBΓ ΑΜΛ BΜZ ΓZΛ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ Άρ: ΜΖΛ ΑΒΓ AMZΛ ΑΒΓ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ AMΛ MZΛ ΑΒΓ ΜΖΛ 5 ΑΒΓ ΑΒΓ ABΓ ABΓ ABΓ ΑΒΓ 8
Τελευταία ενημέρωση: 23 / 1 / 2015 Όλα τα θέματα της τράπεζας με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Παπαδόπουλος Παναγιώτης
0-05 Τελευταία ενημέρωση: / / 05 Όλα τα θέματα της τράπεζας με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Παπαδόπουλος Παναγιώτης [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ ο _8975 α) Ως γνωστόν το βαρύκεντρο ενός τριγώνου απέχει
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ
ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά
Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε
Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε
και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει
Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται σε ένα σημείο Μ. α) Αν το σημείο Α είναι το μέσο του τόξου ΓΔ, να αποδείξετε ότι:
GI_V_GEO_4_8976 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ. α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και σκαληνό, τότε: i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια. (Μονάδες 0) ii. Να δικαιολογήσετε
Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.
1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι
ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το
1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε
Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που
Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................
2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB
2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε
0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Β τάξης Γενικού Λυκείου Θέμα 4ο. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (16/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου Θέμα 4ο Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών
0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων ASKISOPOLIS Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης, Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία, Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη, Μαρωνίτης Λάμπρος
Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για
3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.
Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο
Γˆ κοινή ˆ ˆ 1 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια.
VERSION 5--04 0:37 4_8976 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ. α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και σκαληνό, τότε: i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια. (Μονάδες 0) ii. Να
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών
Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου
Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 1η έκδοση: 30 11 014 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα
1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων
8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,
9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.
1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ.
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.
1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90 ο ) με γωνία B 30 ο. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: α) γ β 3 β) ΒΔ ΑΒ γ) η ΒΓ διχοτομεί
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.2-1.6 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και μια παράλληλη προς την ΑΔ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Ε, την ΑΓ στο Ζ και την ΑΒ στο Η. Να αποδείξετε ότι
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,
Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων
Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
VERSION :00. α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο
VERSION 16-11-014 17:00 _18975 α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του μήκους της αντίστοιχης
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ
ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ νλογιες Ομοιοτητ Μετρικες Σχεσεις Εμβδ Μετρηση Κυκλου Με πολυ μερκι ι τους κλους
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου 008 ΘΕΜΑ II Δίνονται ευθεία ε και τα διαδοχικά σημεία της Α, Β, Γ με ΑΒ < ΒΓ. Στο σημείο Β φέρουμε κάθετη ημιευθεία προς την ε, και πάνω σ'αυτήν τα σημεία Δ και Ε με ΒΔ = ΑΒ
Pi $2. Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑ PATHPHΣΕΙΣ ΥΠΟΑΕΙΞΕΙΣ Όταν έχουμε αναλογίες της μορφής = = θέτουμε Pi $2 = = λ, όπου λ > 0. β. 32 (Ασκήσεις: 7.6 Εμπέδωσης 1, 3, Αποδεικτικές 1) Αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)
Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται
Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης
Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου
Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση
µ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2
1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:.....Επώνυμο:...Ομάδα: Α μ 3x8 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: 3χ-1 Α. 40 Β. 60 Γ. 48 Δ. 24 Ε. 36 2χ 10 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ
Κ Κ ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ ρ ρ ι ι Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε ρ Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ θ η μ τ ι κ Κ τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς w w w d r m a t h s 5 8
Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =