Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε εν συντοµία δύο σηµαντικά ϑέµατα της Γραµµικής Άλγεβρας. Την ϑεωρία των γραµµικών µορφών και των δυϊκών χώρων, και την ϑεωρία των χώρων πηλίκων. Η ϑεωρία των δυϊκών χώρων σε συνάρτηση µε την ϑεωρία ϐαθµίδας γραµµικών απεικονίσεων ϑα είναι σηµαντική στα επόµενα Κεφάλαια όπου ϑα µελετήσουµε την ϑεωρία πινάκων. 6.1 υϊκοί Χώροι Στην παρούσα ενότητα σταθεροποιούµε ένα σώµα K, και συνήθως ϑα ϑεωρού- µε το K ως διανυσµατικό χώρο υπεράνω του εαυτού του. Υπενθυµίζουµε ότι αν E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K, τότε µια γραµµική µορφή επί του E είναι µια γραµµική απεικόνιση f : E K. Επίσης υπενθυµίζουµε ότι το σύνολο όλων των γραµµικών µορφών επί του K συµβολίζεται µε E := {f : E K η f είναι γραµµική} και είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K. Πρόταση Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ϐάση του διανυσµατικού χώ- ϱου E υπεράνω του σώµατος K. Τότε το σύνολο B := {ϑ 1, ϑ 2,, ϑ n } όπου i = 1, 2,, n, ϑ i είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση ϑ i : E K, για την οποία ισχύει : { } ϑ i 1, αν i = j ( e j ) = 1 j n 0, αν i j είναι µια ϐάση του δυϊκού χώρου E. 141

4 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Απόδειξη : Επειδή το σύνολο B είναι ϐάση του E, από το Θεώρηµα Γραµικής Επέκτασης 5.3.1, για κάθε i = 1, 2,, n, υπάρχει µοναδική γραµ- µική απεικόνιση, δηλαδή γραµµική µορφή, ϑ i : E K έτσι ώστε να ι- σχύει ϑ i ( e i ) = 1 και ϑ i ( e j ) = 0, j i. Εποµένως αν x E και x = κ 1 e κ n x n είναι η µοναδική γραφή του x ως πρός την ϐάση B, τότε ϑα έχουµε ϑ i ( x) = κ i, 1 i n. Θα δείξουµε ότι το σύνολο των γραµ- µικών µορφών B = {ϑ 1, ϑ 2,, ϑ n } είναι µια ϐάση του δυϊκού χώρου E. Εστω κ 1 ϑ 1 + κ 2 ϑ κ n ϑ n = 0. Υπολογίζοντας την παραπάνω ισότητα γραµµικών απεικονίσεων στο διάνυσµα e i B, και λαµβάνοντας υπ όψιν ότι ϑ i ( e i ) = 1 και ϑ i ( e j ) = 0, j i, ϑα έχουµε κ i = 0, i = 1, 2,, n. Εποµένως οι γραµµικές µορφές ϑ i, 1 i n, είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Εστω τώρα ξ µια τυχούσα γραµµική µορφή. Τότε για κάθε διάνυσµα x E το οποίο έχει µοναδική γραφή x = κ 1 e κ n x n ως πρός την ϐάση B, ϑα έχουµε ξ( x) = κ 1 ξ( e 1 ) + + κ n ξ( e n ). Οµως από τον ορισµό τους, οι γραµµικές µορφές ϑ i ικανοποιούν τις σχέσεις ϑ i ( x) = κ i, 1 i n. Άρα ξ( x) = κ 1 ξ( e 1 ) + + κ n ξ( e n ) = ξ( e 1 )ϑ 1 ( x) + + ξ( e n )ϑ n ( x) = (ξ( e 1 )ϑ ξ( e n )ϑ n )( x). Εποµένως επειδή το διάνυσµα x είναι τυχόν, ϑα έχουµε ξ = ξ( e 1 )ϑ ξ( e n )ϑ n, δηλαδή η γραµµική µορφή ξ είναι γραµµικών συνδυασµός των γραµµικών µορφών {ϑ 1,, ϑ n }. Συνοψίζοντας ϑα έχουµε ότι το σύνολο γραµµικών µορφών B είναι µια ϐάση του δυϊκού χώρου E. Ορισµός Εστω B = { e 1, e 2,, e n } µια ϐάση του διανυσµατικού χώ- ϱου E υπεράνω του σώµατος K. Τότε η ϐάση B = {ϑ 1, ϑ 2,, ϑ n } του δυϊκού χώρου E η οποία κατασκευάστηκε στην Πρόταση καλείται η δυϊκή ϐάση της B. Από την κατασκευή της τα στοιχεία της δυϊκής ϐάσης B της B ορίζονται ως εξής : Εστω x E. Τότε το x γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης B: x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Τότε i = 1, 2,, n, ϑ i ( x) = x i. Από την Πρόταση 6.1.1, και το Θεώρηµα έπεται άµεσα το ακόλουθο Πόρισµα. Πόρισµα Αν dim K E <, τότε dim K E = dim K E. Ιδιαίτερα κάθε διανυσµατικός χώρος E πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K είναι ισόµορφος µε τον δυϊκό του χώρο E : E = E. Σχόλιο Το Πόρισµα δεν ισχύει αν ο χώρος E έχει άπειρη διάσταση.

5 6.1. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 143 Επειδή η κατασκευή του δυϊκού χώρου ισχύει για κάθε διανυσµατικό χώ- ϱο, µπορούµε να ϑεωρήσουµε και τον δυϊκό χώρο (E ) του δυϊκού χώρου E του E. Ο διανυσµατικός χώρος (E ) ϑα συµβολίζεται µε E και ϑα καλείται ο διπλά δυϊκός χώρος του E. Εκ κατασκευής τα στοιχεία του διπλά δυϊκού χώρου E είναι γραµµικές µορφές (απεικονίσεις) φ : E K. Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα ϑα έχουµε την ακόλουθη άµεση συνέπεια. Πόρισµα Αν dim K E <, τότε dim K E = dim K E. Ιδιαίτερα κάθε διανυσµατικός χώρος E πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K είναι ισόµορφος µε τον διπλά δυϊκό του χώρο E : E = E. Ο διανυσµατικός χώρος E και ο διπλά δυϊκός του E συνδέονται µέσω µιας γραµµικής απεικόνισης η οποία ορίζεται µε ϕυσικό τρόπο. Πράγµατι, ϑεωρούµε την απεικόνιση όπου ι( x) είναι η γραµµική µορφή : ι : E E, x ι( x) ι( x) : E K, ξ ι( x)(ξ) := ξ( x). Θεώρηµα Αν dim K E <, τότε η απεικόνιση ι : E E ένας ισοµορ- ϕισµός διανυσµατικών χώρων. Απόδειξη : Επειδή οι χώροι E και E έχουν την ίδια διάσταση, για να δείξουµε ότι η ι είναι ισοµορφισµός, σύµφωνα µε την Πρόταση αρκεί να δείξουµε ότι η ι είναι µονοµορφισµός. είχνουµε πρώτα ότι η ι είναι γραµµική. Εστω κ 1, κ 2 K και x 1, x 2 E. Τότε για κάθε γραµµική µορφή ξ : E K, δηλαδή στοιχείο του διανυσµατικού χώρου E, ϑα έχουµε ι(κ 1 x 1 +κ 2 x 2 )(ξ) = ξ(κ 1 x 1 + κ 2 x 2 ) = κ 1 ξ( x 1 ) + κ 2 ξ( x 2 ) = κ 1 ι( x 1 )(ξ) + κ 2 ι( x 2 )(ξ) = [κ 1 ι( x 1 ) + κ 2 ι( x 2 )](ξ), και εποµένως επειδή η γραµµική µορφή ξ είναι τυχούσα, ϑα έχουµε ι(κ 1 x 1 + κ 2 x 2 ) = κ 1 ι( x 1 ) + κ 2 ι( x 2, δηλαδή η απεικόνιση ι είναι γραµµική. Εστω τώρα x Ker(ι), και έστω x = x 1 e x n e n, όπου B = { e 1,, e n } είναι µια ϐάση του E. Τότε για κάθε γραµµική µορφή ξ : E K, ϑα έχουµε ι( x)(ξ) = 0. Εποµένως για τις γραµµικές µορφές ϑ i, 1 i n, όπου B := {ϑ 1,, ϑ n } είναι η δυϊκή ϐάση της B, ϑα έχουµε : ι( x)(ϑ i ) = 0, 1 i n, δηλαδή ϑ i ( x) = x i = 0. Εποµένως x = 0 και άρα Ker(ι) = { 0}, δηλαδή η ι είναι µονοµορφισµός και συνεπακόλουθα ισοµορφισµός.

6 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Σχόλιο Το γεγονός ότι ένας διανυσµατικός χώρος E µε πεπερασµένη διάσταση υπεράνω του K είναι ισόµορφος µε τον διπλά δυϊκό του E προκύπτει όπως είδαµε και από το Πόρισµα Οµως ο ισοµορφισµός E = E του Πορίσµατος ορίζεται, όπως είναι ϕανερό από το Πόρισµα 6.1.3, µέσω µιας ϐάσης του E, και εποµένως εξαρτάται από την επιλογή της ϐάσης. Αντίθετα ο ισοµορφισµός ι : E = E του Θεωρήµατος είναι ανεξάρτητος της επιλογής ϐάσης και εποµένως είναι περισσότερο «ϕυσικός» µε µια έννοια η οποία µπορεί να γίνει αυστηρή, αλλά ξεφεύγει από τα όρια των παρόντων σηµειώσεων. Ουσιαστικά η ιοσοµορφισµός ι ορίζεται µε τον ίδιο τύπο για κάθε διανυσµατικό χώρο και συµπεριφέρεται οµαλά σε σχέση µε τις γραµµικές απεικονίσεις Μηδενιστές Στην παρούσα υποενότητα ϑα µελετήσουµε την συµπεριφορά υπόχωρων ως προς τους δυϊκούς χώρους. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Ορισµός Ο µηδενιστής V του υπόχωρου V ορίζεται να είναι το ακόλουθο υποσύνολο του δυϊκού χώρου E: V := {ξ E ξ( x) = 0, x V} Πρόταση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Τότε ο µηδενιστής V του V είναι ένας υπόχωρος του δυϊκού χώρου E του E. Επιπλέον αν dim K E <, τότε : dim K E = dim K V + dim K V Απόδειξη : Χρησιµοποιούµε την γραµµική απεικόνιση ι : E E, x ι( x) που ορίσαµε παραπάνω. Για κάθε διάνυσµα x V, ορίζεται η γραµµική µορφή ι( x) : E K, ξ ι( x)(ξ) = ξ( x). Προφανώς τότε ϑα έχουµε : V = x V Ker(ι( x)) Επειδή ο πυρήνας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι υπόχωρος και η τοµή υπόχωρων είναι υπόχωρος, έπεται από την παραπάνω περιγραφή ότι ο µηδενιστής V του V είναι ένας υπόχωρος του E.

7 6.1. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 145 Εστω ότι dim K E = n και dim K V = r. Επιλέγουµε µια τυχούσα ϐάση B V = { e 1,, e r } του V και την συµπληρώνουµε σε µια ϐάση B E = { e 1,, e r, e r+1,, e n } του E. Θεωρούµε επίσης την επαγόµενη δυϊκή ϐάση B E = {ϑ1,, ϑ r, ϑ r+1,, ϑ n } του E. Θα δείξουµε ότι το σύνολο C := {ϑ r+1,, ϑ n } είναι µια ϐάση του υπόχωρου V. Εστω x = x 1 e x r e r ένα διάνυσµα του V. Θεωρώντας το x σαν δθιάνυσµα του E, αυτό ϑα γράφεται x = x 1 e x r e r + 0 e r e n σαν γραµµικός συνδυασµός της ϐάσης B E του E. Τότε για κάθε i = r + 1,, n, ϑα έχουµε : ϑ i ( x) = 0. Άρα οι γραµµικές µορφές ϑ i, r + 1 i n, µηδενίζουν όλα τα διανύσµατα του υπόχωρου V και εποµένως ανήκουν στον υπόχωρο V. Επειδή το σύνολο γραµµικών µορφών B E είναι µια ϐάση του E και V E, κάθε γραµµική µορφή ξ V ϑα γράφεται µοναδικά ως γραµµικός συνδυασµός της ϐάσης B E : ξ = λ 1 ϑ λ r ϑ r + λ r+1 ϑ r λ n ϑ n, όπου όπως είδαµε λ j = ξ( e j ), 1 j n. Επειδή όµως τα διανύσµατα e 1,, e r ανήκουν στον υπόχωρο V, ϑα έχουµε λ i = ξ( e i ) = 0, i = 1, 2,, r. Άρα ξ = λ r+1 ϑ r λ n ϑ n, και εποµένως το σύνολο γραµµικών µορφών C παράγει τον υπόχωρο V. Από την άλλη πλευρά το σύνολο C είναι γραµµµικά ανεξάρτητο ως υποσύνολο του γραµµικά ανεξάρτητου συνόλου B E. Άρα το C είναι µια ϐάση του V και εποµένως dim K V = n r = dim K E dim K V. Συνοψίζονατς ϑα έχουµε την Ϲητούµενη σχέση : dim K E = dim K V + dim K V. Πρόταση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός : φ : V = V Απόδειξη : Από την Πρόταση ϑα έχουµε : dim K E = dim K V + dim K V Αντικαθιστώντας τους διανυσµατικούς χώρους E και V E µε τους διανυσµατικούς χώρους E και V E, από την ίδια Πρόταση ϑα έχουµε : dim K E = dim K V + dim K V Επειδή από το Πόρισµα έχουµε dim K E = dim K E, έπεται ότι : dim K V+ dim K V = dim K V + dim K V, και άρα dim K V = dim K V.

8 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Τέλος η γραµµική απεικόνιση ι : E E, x ι( x), περιορίζεται σε µια γραµµική απεικόνιση ι V : V V. Πράγµατικά : για κάθε διάνυσµα x V και κάθε γραµµική µορφή ξ V, ϑα έχουµε : ι( x)(ξ) = ξ( x) = 0. Αυτό σηµαίνει ότι ι( x) V = {ζ E ζ(ξ) = 0, ξ V }. Επειδή η ι V = ι V είναι ο περιορισµός της ι στον υπόχωρο V, και η ι είναι µονοµορφισµός, έπεται ότι η ι V : V V ϑα είναι επίσης µονοµορφισµός. Επειδή όµως όπως είδαµε ισχύει dim K V = dim K V, από τα κριτήρια ισοµορφισµών, ϐλέπε Πρόταση 5.4.7, ϑα έχουµε ότι η ι V είναι ισοµορφισµός Η υϊκή µιας Γραµµικής Απεικόνισης Στην παρούσα υπο - ενότητα ϑα µελετήσουµε την συµπεριφορά των γραµµικών απεικονίσεων σε σχέση µε τους δυϊκούς χώρους. Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των διανυσµατικών χώρων E και F υπεράνω του σώµατος K. Είναι ϕυσικό να ϑέσουµε το ερώτηµα αν οι δυϊκοί χώροι E και F συνδέονται µέσω µιας γραµµικής απεικόνισης ( η οποία ϕυσικά περιµένουµε να εξαρτάται από την f µε κάποιον τρόπο). Αυτό πράγµατι συµβαίνει αν και η ϕορά της γραµµικής απεικόνισης η οποία τους συνδέει είναι αντίθετη µε την ϕορά της f. Ορίζουµε µια απεικόνιση t f : F E, ξ t f(ξ) = f ξ Περισσότερο παραστατικά η απεικόνιση t f ορίζεται ως εξής : E f F t f(ξ)=ξ f ξ K ηλαδή η απεικόνιση t f στέλνει µια γραµµική µορφή ξ στην σύνθεση της µε την f. Παρατηρούµε ότι η απεικόνιση t f(ξ) = ξ f είναι µια γραµµική µορφή διότι είναι γραµµική απεικόνιση ως σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων. Ορισµός Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των διανυσµατικών χώρων E και F. Η απεικόνιση t f : F E καλείται η δυϊκή ή ανάστροφη απεικόνιση της f. Παρατηρούµε ότι µπορούµε να ορίσουµε και την διπλά δυϊκή απεικόνιση t ( t f) : E F της f ως την δυϊκή απεικόνιση της t f : F E. Χάριν απλότητας ϑα συµβολίζουµε t ( t f) := tt f : E F.

9 6.1. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 147 Θεώρηµα Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των διανυσµατικών χώρων E και F. Τότε η δυϊκή απεικόνιση t f : F E είναι γραµµική. Επιπλέον αν ι E : E E και ι F : F F είναι οι γραµµικές απεικονίσεις του Θεωρήµατος για τους διανυσµατικούς χώρους E και F, τότε οι συνθέσεις ι F f : E F και tt f ι E : E F ταυτίζονται : tt f ι E = ι F f ( ) ηλαδή για κάθε διάνυσµα x E, ισχύει : tt f(ι E ( x)) = ι F (f( x)). Απόδειξη : Εστω ξ, ζ F δύο γραµµικές µορφές υπεράνω του F και έστω κ, λ K. Τότε από την Πρόταση έχουµε : t f(κξ + λζ) = (κξ + λζ) f = (κξ) f + (λζ) f = κ(ξ f) + λ(ζ f) = κ t f(ξ) + λ t f(ζ). Εποµένως η t f είναι γραµµική. Εστω x E τότε, εξ ορισµού, για κάθε γραµµική µορφή ξ F επί του F ϑα έχουµε : tt f[ι E ( x)](ξ) = [ι E ( x) t f](ξ) = ι E ( x)( t f(ξ)) = ι E (ξ f) = (ξ f)( x) = ξ(f( x)) = ι F (f( x))(ξ) Εποµένως tt f[ι E ( x)] = ι F (f( x)), x E, και άρα tt f ι E = ι F f. Σχόλιο Η σχέση ( ) στο Θεώρηµα µπορεί να κατανοηθεί περισσότερο παραστατικά µε το παρακάτω διάγραµµα γραµµικών απεικονίσεων : E ι E E ttf ( ) F f ι F F Τότε η σχέση ( ) είναι ισοδύναµη µε την αντιµεταθετικότητα του διαγράµµατος ( ). ηλαδή οι δύο δυνατοί τρόποι να πάµε µέσω γραµµικών απεικονίσεων από τον διανυσµατικό χώρο E στον διανυσµατικό χώρο F συµπίπτουν. Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση και έστω t f : F E η δυϊκή της. Η επόµενη πρόταση µας δίνει έναν τρόπο υπολογισµού του πυρήνα της γραµµικής απεικόνισης t f. Λήµµα Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση και έστω t f : F E η δυϊκή της. Τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση : Ker( t f) = Im(f) F

10 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Απόδειξη : Εστω ξ Ker( t f), δηλαδή ξ : F K είναι µια γραµµική µορφή επί του F έτσι ώστε t f(ξ) = ξ f = 0. Τότε για κάθε διάνυσµα x E ϑα έχουµε (ξ f)( x) = ξ(f( x)) = 0, και αυτό σηµαίνει ότι η γραµµική µορφή ξ µηδενίζει κάθε διάνυσµα το οποίο ανήκει στην εικόνα της f. Εποµένως ξ Im(f), και άρα Ker( t f) Im(f). Αντίστροφα αν ξ Im(f), τότε για κάθε διάνυσµα x E, ϑα έχουµε ξ(f( x)) = 0 ή ισοδύναµα (ξ f)( x) = 0, x E. Τότε όµως ξ f = 0 ή ισοδύναµα t f(ξ) = 0, δηλαδή ξ Ker( t f) και άρα Ker( t f) Im(f). Συµπεραίνουµε ότι Ker( t f) = Im(f). Είµαστε τώρα σε ϑέση να διατυπώσουµε και να αποδείξουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα το οποίο ϑα το χρησιµοποιήσουµε στην ϑεωρία πινάκων. Θεώρηµα Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των διανυσµατικών χώρων E και F, και έστω t f : F E η δυϊκή απεικόνιση της f. Αν dim K E < και dim K F <, τότε : r(f) = r( t f) Απόδειξη : Θεωρούµε την Θεµελιώδη Εξίσωση ιαστάσεων για την γραµµική απεικόνιση t f : F E : dim K F = dim K Ker( t f) + dim K Im( t f) = dim K Ker( t f) + r( t f) Από το Λήµµα έχουµε Ker( t f) = Im(f) και άρα dim K Ker( t f) = dim K Im(f). Εποµένως, επειδή από το Πόρισµα έχουµε dim K F = dim K F, από την παραπάνω εξίσωση έπεται ότι : r( t f) = dim K F dim K Ker( t f) = dim K F dim K Im(f) Τέλος από την Πρόταση έχουµε dim K F = dim K Im(f) + dim K Im(f), και άρα : r( t f) = dim K F (dim K F dim K Im(f)) = dim K Im(f)) = r(f) 6.2 Χώροι Πηλίκα Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε µια σηµαντική κατασκευή στην ϑεωρία διανυσµατικών χώρων : την κατασκευή του διανυσµατικού χώρου πηλίκο E/V ενός διανυσµατικού χώρου E ως προς έναν υπόχωρο του V E. Ενα από ερωτήµατα τα οποία απετέλεσαν κίνητρο για µελέτη της κατασκευής του χώρου πηλίκο ήταν και το εξής :

11 6.2. ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ 149 «οθέντος διανυσµατικού χώρου E και ενός υπόχωρου V E, υπάρχει διανυσµατικός χώρος F και γραµµική απεικόνιση π : E F έτσι ώστε Ker(π) = V;» Θα δούµε ότι η απάντηση είναι καταφατική και επιπλέον ο διανυσµατικός χώρος F και η γραµµική απεικόνιση είναι µοναδικές. Από τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε έναν διανυσµατικό χώρο E υπεράνω ενός σώµατος K, και έναν υπόχωρο V E. Ορισµός Ενα σύµπλοκο του υπόχωρου V επί του χώρου E είναι ένα σύνολο της µορφής : όπου x E είναι ένα διάνυσµα του E. x + V := { x + v v V} E Παρατήρηση Ενα σύµπλοκο της µορφής x + V, όπου x E, συνήθως δεν είναι υπόχωρος. Αυτό το οποίο ισχύει είναι ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Το σύµπλοκο x + V είναι ένας υπόχωρος του E. 2. x V (και τότε x + V = V). Πράγµατικα : αν το σύµπλοκο x + V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε 0 x + V και άρα υπάρχει y V έτσι ώστε : 0 = x + y. Τότε όµως, επειδή ο V είναι υπόχωρος, ϑα έχουµε : x = y V. Αντίστροφα αν x V, τότε προφανώς x + V = V και άρα το σύµπλοκο x + V είναι ένας υπόχωρος του E. Το παρακάτω λήµµατα περιγράφουν κάποιες ϐασικές ιδιότητες των συµπλόκων. Λήµµα Εστω x, y E. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. x + V = y + V. 2. x y + V. 3. x y V. Απόδειξη : Θα έχουµε : x = x + 0 x + V = y + V Θα έχουµε : x y + V w V : x = y + w. Εποµένως x y = w V Θα έχουµε : x y V w V: x y = w V, και άρα x = y + w. Τότε όµως : x + V = y + w + V και άρα x + V = y + V, διότι σύµφωνα µε την παραπανω Παρατήρηση 6.2.2, ϑα έχουµε w + W = W διότι w V.

12 150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Λήµµα Εστω x, y E. Τότε τα σύµπλοκα x + V και y + V είτε ϑα ταυτίζονται ή ϑα είναι ξένα. ηλαδή : είτε : x + V = y + V. ή : ( x + V) ( y + V) =. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι ( x + V) ( y + V). Τότε υπάρχει z ( x + V) ( y + V) και εποµένως από το παραπάνω Λήµµα ϑα έχουµε : 1. z x + V z + V = x + V. 2. z y + V z + V = y + V. Άρα x + V = y + V. Συµβολισµός Από τώρα και στο εξής ένα σύµπλοκο της µορφής x + V, όπου x E, ϑα συµβολίζεται ως εξής : [ x] := x + V = { x + v v V} Χρησιµοποιώντας τον παραπανω συµβολισµό και τα Λήµµατα και 6.2.4, ϑα έχουµε ως άµεση συνέπεια το ακόλουθο Πόρισµα Το σύνολο όλων των συµπλόκων του υπόχωρου V επί του χώ- ϱου E ορίζει µια διαµέριση του συνόλου E, δηλαδή ισχύουν τα ακόλουθα : 1. E = x E [ x]. 2. Αν [ x] [ y], τότε : [ x] [ y] =. Ορισµός Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Ο χώρος πηλίκο E/V του χώρου E ως προς τον υπόχωρο V ορίζεται να είναι το σύνολο όλων των συµπλόκων του Vεπί του E: E/V := {[ x] E x E} Βασικός σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι ο χώρος πηλίκο E/V είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K, καθώς και να αναλύσουµε κάποιες ϐασικές ιδιότητες του. Πρίν περάσουµε όµως σ αυτήν την ανάλυση ϑα δούµε µια διαφορετική, αλλά ισοδύναµη, προσέγγιση στον ορισµό του χώρου πηλίκο.

13 6.2. ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ 151 Παρατήρηση ιατηρώντας τις παραπάνω υποθέσεις και συµβολισµούς, ορίζουµε στο σύνολο E µια σχέση R V ως εξής : x, y E : x y(r V ) x y V Ισχυρισµός : Η σχέση R V είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο E και οι κλάσεις ισοδυναµίας της R V συµπίπτουν µε τα σύµπλοκα του υπόχωρου V επί του χώρου E. Πραγµατικά χρησιµοποιώντας τον ορισµό της σχέσης R V και το γεγονός ότι ο V ειναι υπόχωρος, ϑα έχουµε : Ανακλαστική Ιδιότητα : x x(r V ) διότι x x = 0 V. Συµµετρική Ιδιότητα : Αν x y(r V ), τότε x y V y x V και άρα y x(r V ). Μεταβατική Ιδιότητα : Αν x y(r V ) και y z(r V ), τότε x y V και y z V. Τοτε όµως ( x y) + ( y z) = x z V και εποµένως : x z(r V ). Ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού στον χώρο πηλίκο E/V ως εξής : Πρόσθεση : Αν [ x], [ y] E/V, τότε ορίζουµε το άθροισµα [ x] + [ y] των [ x] και [ y] να είναι το σύµπλοκο : [ x] + [ y] := [ x + y] Η παραπάνω πράξη είναι καλά ορισµένη διότι αν επίσης έχουµε [ x] = [ x ] και [ y] = [ y ], τότε x + V = x + V και y + V = y + V. Εποµένως x x V και y y V και άρα ( x + y) ( x + y ) V το οποιο σηµαίνει ότι ( x + y) + V = ( x + y ) + V, δηλαδή [ x + y] = [ x + y ]. Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός : Αν [ x] E/V και k K, τότε ορίζουµε τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό k[ x] του συµπλόκου [ x] µε τον αριθµό k να είναι το σύµπλοκο : k[ x] := [k x] Η παραπάνω πράξη είναι καλά ορισµένη διότι αν επίσης έχουµε [ x] = [ x ], τότε x + V = x + V και άρα x x V. Εποµένως k( x x ) V k x λ x V το οποίο σηµαίνει ότι (k x)+v = (k x )+V δηλαδή : [k x] = [k x ].

14 152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Θεώρηµα Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Τότε το σύνολο E/V των συµπλόκων του V επί του E, εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K. Απόδειξη : Η απόδειξη είναι εύκολη και αφήνεται ώς Ασκηση στον αναγνώστη. Σηµειώνουµε µόνο τα εξής : Το µηδενικό διάνυσµα 0 E/V του E/V είναι το σύµπλοκο V, δηλαδή : 0 E/V = [ 0] = 0 + V = V. Επίσης αν [ x] E/V, τότε το αντίθετο του [ x] είναι το σύµπλοκο [ x]. Θα δούµε τώρα ότι ο χώρος E και ο χώρος πηλίκο E/V ως προς έναν υπόχωρο V E συνδέονται µέσω µιας γραµµικής απεικόνισης η οποία έχει σηµαντικές ιδιότητες. Ορίζουµε µια απεικόνιση ως εξής : π V : E E/V, x π V ( x) = [ x] Ορισµός Η απεικόνιση π V : E E/V καλείται η κανονική προβολή του χώρου E στον χώρο πηλίκο E/V. Οταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουµε απλά π αντί για π V. Θεώρηµα Η απεικόνιση π : E E/V είναι ένας επιµορφισµός µε πυρήνα τον υπόχωρο V: Ker(π) = V. 2. Αν ο χώρος E έχει πεπερασµένη διάσταση, τότε και ο χώρος E/V έχει πεπερασµένη διάσταση και επιπλέον : dim K E/V = dim K E dim K V Απόδειξη : 1. Προφανώς η απεικόνιση π προφανώς είναι καλά ορισµένη. Επίσης από την κατασκευή της η π είναι απεικόνιση επί. Εποµένως αρκεί να δείξουµε ότι η π είναι γραµµική. Εστω x 1, x 2 E και k K. Τότε απο τον ορισµό της πρόσθεσης ϑα έχουµε : π( x 1 + x 2 ) = [ x 1 + x 2 ] = [ x 1 ] + [ x 2 ] = π( x 1 ) + π( x 2 ). Επίσης από τον ορισµό του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ϑα έχουµε : π(k x 1 ) = [k x 1 ] = k[ x 1 ] = kπ( x 1 ). Συµπεραίνουµε ότι η π είναι γραµµική και άρα επιµορφισµός διότι είναι επί. 2. Εστω dim K E = n και έστω B = { e 1,, e n } µια ϐάση του E. Εστω [ x] E/V ένα τυχόν διάνυσµα του E/V. Επειδή x = k 1 e k n e n, για κάποια µοναδικά k 1,, k n K, ϑα έχουµε : [ x] = [k 1 e k n e n ] = k 1 [ e 1 ] + + k n [ e n ]. Συµεραίνουµε ότι το σύνολο C = {[ e 1 ],, [ e n ]} είναι ένα πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων του διανυσµατικού χώρου E/V και άρα από το Πόρισµα έπεται ότι dim K E/V <. Εποµένως µπορούµε να

15 6.2. ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ 153 εφαρµόσουµε την Θεµελιώδη Εξίσωση ιαστάσεων, ϐλέπε Θεώρηµα 5.4.2, για την γραµµική απεικόνιση π : E E/V: dim K E = dim K Ker(π) + dim K Im(π) (1) Επειδή η π είναι επιµορφισµός ϑα έχουµε Im(π) = E/V και άρα : dim K Im(π) = dim K E/V, δηλαδή dim K E = dim K Ker(π) + dim K E/V (2) Μένει να προσδιορίσουµε τον πυρήνα της π. Θα έχουµε Ker(π) = { x E π( x) = [ x] = [ 0] = V} = { x E x V} = V Εποµένως ϑα έχουµε dim K Ker(π) = dim K V, και άρα από την σχέση (2) ϑα έχουµε : dim K E/V = dim K E dim K V Πόρισµα Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K και έστω V E ένας υπόχωρος του E. Τότε η απεικόνιση συνόλων Π : { υπόχωροι W του E έτσι ώστε V W } { υπόχωροι G του E/V } η οποία ορίζεται ως Π(W) := π(w) = V/W είναι 1-1 και επί. Η αντίστροφη της Π είναι η απεικόνιση Π 1 (G) := π 1 (G). Ιδιαίτερα κάθε υπόχωρος του E/V είναι της µορφής W/V, όπου W είναι ένας υπόχωρος του E µε V W. Απόδειξη : Η απόδειξη είναι άµεση απόρροια της Πρότασης 5.2.5, διότι η απεικόνιση π : E E/V είναι επιµορφισµός. Ασκηση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K. 1. είξτε ότι : E/{ 0} = E. 2. είξτε ότι : E/E = { 0}. Θα κλείσουµε την παρούσα ενότητα µε κάποιες σηµαντικές ιδιότητες γραµ- µικών απεικονίσεων οι οποίες σχετίζονται µε την ϑεωρία των χώρων πηλίκο. Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση. Τότε όπως έχουµε δει η εικόνα Im(f) είναι ένας υπόχωρος του F. Συµβολίζουµε µε µ : Im(f) F την κανονική έγκλειση συνόλων µ( y) = y, y Im(f) η οποία είναι προφανώς

16 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ ένας µονοµορφισµός. Επιπρόσθετα ορίζεται και η γραµµική απεικόνιση ε : E Im(f), όπου ε( x) = f( x). 1 Προφανώς η ε είναι ένας επιµορφισµός και η γραµµική απεικόνιση f είναι σύνθεση των ε και µ, δηλαδή το ακόλουθο διάγραµµα γραµµικών απεικονίσεων είναι αντιµεταθετικό : E ε Im(f) f = µ ε f F µ Η παραπάνω ανάλυση της γραµµικής απεικόνισης f ως σύνθεση ενός µονο- µορφισµού και ενός επιµορφισµού, καλείται κανονική ανάλυση της f. Από την άλλη πλευρά γνωρίζουµε ότι ο πυρήνας Ker(f) είναι ένας υπόχω- ϱος του E, και εποµένως ορίζεται ο χώρος πηλίκο E/ Ker(f). Θα δούµε τώρα µια σηµαντική ιδιότητα του χώρου E/ Ker(f). Πρόταση Εστω E και F δύο διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώ- µατος K, και έστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση. Αν V είναι ένας υπόχωρος του E ο οποίος περιέχεται στον πυρήνα της f: V Ker(f), τότε υ- πάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση f : E/V F έτσι ώστε f = f π V, όπου π V : E E/V είναι η κανονική προβολή. Με άλλα λόγια το ακόλουθο διάγραµµα γραµµικών απεικονίσεων είναι αντιµεταθετικό : E π V E/V f = f π V f F! f Ιδιαίτερα µπορούµε να διαλέξουµε V = Ker(f). Απόδειξη : Ορίζουµε µια απεικόνιση ως εξής : f : E/V F, f ([ x]) := f( x) 1. είχνουµε ότι η f είναι καλά ορισµένη. Αν [ x 1 ] = [ x 2 ], τότε x 1 x 2 V. Επειδή V Ker(f), έπεται ότι x 1 x 2 Ker(f) και άρα f( x 1 x 2 ) = 0, ή ισοδύναµα f( x 1 ) = f( x 2 ). Τότε όµως εξ ορισµού f ([ x 1 ]) = f ([ x 2 ]) και άρα η f είναι καλά ορισµένη. 2. είχνουµε ότι η f είναι γραµµική και ικανοποιεί την Ϲητούµενη σχέση f = f π V. Εστω [ x 1 ], [ x 2 ] E/V και έστω k 1, k 2 K. Τότε από τον 1 Οι απεικονίσεις f : E F και ε : E Im(f) αν και έχουν τον ίδιο τύπο ορισµού, είναι διαφορετικές διότι γενικά F Im(f).

17 6.2. ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ 155 ορισµό της f και την γραµµικότητα της f, ϑα έχουµε : f (k 1 [ x 1 ] + k 2 [ x 2 ]) = f ([k 1 x 1 ] + [k 2 x 2 ]) = f ([k 1 x 1 + k 2 x 2 ]) = f([k 1 x 1 + k 2 x 2 ]) = k 1 f( x 1 ) + k 2 f( x 2] ) = k 1 f ([ x 1 ]) + k 2 f ([ x 2 ]). Συµπεραίνουµε ότι η f είναι γραµµική. Επίσης για κάθε x E ϑα έχουµε (f π V )( x) = f (π V ( x)) = f ([ x]) = f( x). Εποµένως f = f π V. 3. Τέλος δείχνουµε ότι η f είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση E/V F έτσι ώστε f = f π V. Αν g : E/V F είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε να ισχύει f = g π V, τότε για κάθε διάνυσµα [ x] E/V, χρησιµοποιώντας ότι π V ( x) = [ x] ϑα έχουµε g([ x]) = g(π V ( x)) = (g π V )( x) = f( x) = f ([ x]). Επειδή αυτή η σχέση ισχύει για κάθε [ x] E/V, έπεται ότι g = f και άρα η f είναι µοναδική. Ασκηση Να εξετασθεί αν ισχύει το αντίστροφο της Πρότασης ηλαδή αν f : E F είναι µια γραµµική απεικόνιση, V είναι ένας υπόχωρος του E, και f : E/V F είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε f = f π V, να εξετασθεί αν ισχύει ότι V Ker(f). Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα είναι γνωστό ως Πρωτο Θεωρηµα Ισο- µορφισµου για διανυσµατικούς χώρους. Θεώρηµα Εστω E και F δύο διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K, και έστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση. 1. Η f επάγει έναν ισοµορφισµό f του χώρου πηλίκο E/ Ker(f) µε τον υπόχωρο Im(f) του F: f : E/ Ker(f) = Im(f), [ x] f ([ x]) := f( x) 2. Η γραµµική απεικόνιση f : E F γράφεται ως σύνθεση µ f π Ker(f) του επιµορφισµού π Ker(f) : E E/ Ker(f), του ισοµορφισµού f : E/ Ker(f) = Im(f), και του µονοµορφισµού µ : Im(f) F. ηλαδή f = µ f π Ker(f) είναι η σύνθεση : E f F = E π Ker(f) E/ Ker(f) f Im(f) µ F Απόδειξη : 1. Θεωρούµε την γραµµική απεικόνιση f : E/ Ker(f) F της Πρότασης , όπου f ([ x]) = f( x), και έστω E/ Ker(f) f Im(f) f = µ f f F µ

18 156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ η κανονική ανάλυση της f. Θα δείξουµε ότι η f είναι ισοµορφισµός. Εκ κατασκευής η f, δίνεται από τον τύπο f ([ x]) = f( x), είναι επιµορφισµός και ισχύει f = µ f, ϐλέπε την συζήτηση πρίν από την Πρόταση Εποµένως αρκεί να δείξουµε η f είναι µονοµορφισµός. Εστω [ x] Ker(f ). Τότε f ([ x]) = 0 και εποµένως f( x) = 0, δηλαδή x Ker(f). Αυτό ϐέβαια σηµαίνει ότι [ x] = [Ker(f)] = 0 E/ Ker(f), δηλαδή το διάνυσµα [ x] είναι το µηδενικό διάνυσµα του χώρου E/ Ker(f). Αντίστροφα αν [ x] = [Ker(f)] = 0 E/ Ker(f), δηλαδή x Ker(f), τότε f ([ x]) = f( x) = 0. Συµπεραίνουµε ότι Ker(f ) = {[Ker(f)]} = { 0 E/ Ker(f) } και άρα η f είναι µονοµορφισµός. Εποµένως η f είναι ισοµορφισµός. 2. Εχουµε ήδη δείξει ότι η απεικόνιση µ : Im(f) F είναι µονοµορ- ϕισµός, η απεικόνιση f : E/ Ker(f) Im(f) είναι ισοµορφισµός, και η απεικόνιση π Ker(f) : E E/ Ker(f) είναι επιµορφισµός. Επιπλέον για κά- ϑε διάνυσµα x E, ϑα έχουµε : (µ f π Ker(f) )( x))) = µ(f (π Ker(f) ( x)) = µ(f ([ x]) = µ(f( x)) = f( x). Επειδή οι απεικονίσεις f, µ f π Ker(f) : E F παίρνουν τις ίδιες τιµές, έπεται ότι f = µ f π Ker(f). Το ακόλουθο είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Πόρισµα Εστω E και F δύο διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K, και έστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση. Αν η f είναι επιµορφισµός, τότε η f ορίζει έναν ισοµορφισµό : f : E/ Ker(f) = F, [ x] f([ x]) := f( x) Πρόταση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω V και W δύο υπόχωροι του E. 1. Η απεικόνιση f : E E/V E/W, x f( x) := ( π V ( x), π W ( x) ) είναι µια γραµµική απεικόνιση µε πυρήνα τον υπόχωρο V W: Ker(f) = V W 2. Αν V + W = E, τότε η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός και επάγει έναν ισοµορφισµό : f : E/V W = ( E/V E/W, x f([ x]) := πv ( x), π W ( x) )

19 6.2. ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Αν V W = E, τότε η απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός : f : E = E/V E/W, x f( x) := (π V ( x), π W ( x) Απόδειξη : 1. Η απόδειξη ότι η f είναι γραµµική είναι άµεση απόρροια των ορισµών και αφήνεται ως Ασκηση στον αναγνώστη. είχνουµε ότι Ker(f) = V W. Αν x V W, τότε επειδή από το Θεώρηµα έπεται ότι Ker(π V ) = V και Ker(π W ) = W, ϑα έχουµε π V ( x) = 0 E/V και π W ( x) = 0 E/W. Εποµένως f( x) = ( 0 E/V, 0 E/W ) το οποίο, όπως έχουµε δει στο Κεφάλαιο 1, είναι το µηδενικό διάνυσµα του διανυσµατικού χώρου E/V E/W. Άρα V W Ker(f). Αντίστροφα αν x Ker(f), τότε (π V ( x), π W ( x)) = ( 0 E/V, 0 E/W ) και άρα : π V ( x) = 0 E/V και π W ( x) = 0 E/W. Οι τελευταίες σχέσεις είναι ϕυσικά ισοδύναµες µε τις ακόλουθες σχέσεις x V και x W. Άρα x V W και εποµένως Ker(f) V W. Συνοψίζοντας ϑα έχουµε την Ϲητούµενη σχέση : Ker(f) = V W. 2. Σύµφωνα µε το Πόρισµα αρκεί να δείξουµε ότι η f είναι επιµορ- ϕισµός. Εστω ([ y], [ z]) E/V E/W. Τότε y, z E και άρα από την υπόθεση E = V + W, ϑα έχουµε : y = v 1 + w 1 και z = v 2 + w 2, όπου v 1, v 2 V και w 1, w 2 W. Τότε στον χώρο E/V ϑα έχουµε [ y] = [ v 1 + w 1 ] = [ v 1 ]+[ w 1 ] = [ w 1 ] διότι [ v 1 ] = 0 E/V καθώς v 1 V. Παρόµοια στον χώρο E/V ϑα έχουµε [ z] = [ v 2 + w 2 ] = [ v 2 ] + [ w 2 ] = [ v 2 ] διότι [ w 2 ] = 0 E/W καθώς w 2 W. Εποµένως ([ y], [ z]) = ([ w 1 ], [ v 2 ]). Θέτοντας x = w 1 + v 2, ϑα έχουµε εκ κατασκευής f( x) = ([ x], [ x]) = ([ w 1 + v 2 ], [ w 1 + v 2 ]) = ([ w 1 ] + [ v 2 ], [ w 1 ] + [ v 2 ]). Οµως [ w 1 + v 2 ] = [ w 1 ] + [ v 2 ] = [ w 1 ] στον χώρο E/V διότι [ v 2 ] = 0 E/V καθώς v 2 V. Παρόµοια [ w 1 ] + [ v 2 ] = [ w 1 ] + [ v 2 ] = [ v 2 ] στον χώρο E/W διότι [ w 1 ] = 0 E/W καθώς w 1 W. Εποµένως f( x) = ([ x], [ x]) = ([ w 1 ], [ v 2 ]) = ([ y], [ z]) και άρα η f είναι επιµορφισµός. 3. Αν E = V W, τότε V W = { 0} και E = V + W. Εποµένως σύµφωνα µε το 2. και το γεγονός ότι E/{ 0} = E, ϑα έχουµε ότι η f είναι ισοµορφισµός. Ασκηση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω V και W δύο υπόχωροι του E. Να δείξετε ότι αν V W = E, τότε : E/V = W και E/W = V Υπόδειξη : είξτε ότι οι απεικόνισεις f : E/V W, [ x] f([ x]) = x και g : E/W V, [ x] g([ x]) = x είναι καλά ορισµένες και επιπλέον είναι ισοµορφισµοί.

20 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ Κλείνουµε το παρόν Κεφάλαιο µε το ακόλουθο αποτέλεσµα, γνωστό ως Τριτο Θεωρηµα Ισοµορφισµου για διανυσµατικούς χώρους. Θεώρηµα Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω V και W δύο υπόχωροι του E, έτσι ώστε : V W. Τότε ο χώρος πηλίκο W/V είναι υπόχωρος του χώρου πηλίκο E/V και υπάρχει ένας ισοµορφισµός : E/V / W/V = E/W Απόδειξη : Είναι εύκολο να δειχθεί (δείξτε το σαν Ασκηση) ότι ο χώρος πηλίκο W/V E/V είναι υπόχωρος του χώρου πηλίκο E/V. Θεωρούµε την κανονική προβολή π W : E E/W, x f( x) = [ x] η οποία γνωρίζουµε ότι είναι επιµορφισµός µε πυρήνα Ker(π W ) = W. Επειδή V W, από την Πρόταση , έπεται ότι υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση πv : E/V E/W έτσι ώστε : π V π V = π W. Επειδή η π W είναι επιµορφισµός, έπεται άµεσα ότι και η πv είναι επιµορφισµός. Από την Πρόταση η απεικόνιση πv ορίζεται ως εξής : π V ([ x]) = π W( x) = [ x], δηλαδή η πv στέλνει σύµπλοκα του E ως προς τον υπόχωρο V σε σύµπλοκα του E ως προς τον υπόχωρο W. Σύµφωνα µε το Πόρισµα αρκεί να δείξουµε ότι Ker(πV ) = W/V. Εστω [ x] W/V, δηλαδή [ x] E/V µε x W. Τότε πv ([ x]) = [ x] = 0 E/W διότι x W. Άρα W/V Ker(πV ). Αντίστροφα αν [ x] Ker(πV ), τότε π V ([ x]) = [ x] = 0 E/W και αυτό συµβαίνει αν και µόνον αν x W. Αυτό όµως σηµαίνει ότι [ x] W/V και εποµένως Ker(πV ) W/V. Ετσι τελικά ϑα έχουµε Ker(πV ) = W/V και το Πόρισµα ολοκληρώνει την απόδειξη. Η ακόλουθη Άσκηση περιγράφει ένα αποτέλεσµα το οποίο είναι γνωστό ως ευτερο Θεωρηµα Ισοµορφισµου για διανυσµατικούς χώρους. Ασκηση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω V και W δύο υπόχωροι του E. Τότε ο W είναι υπόχωρος του V + W, ο V W είναι υπόχωρος του V και υπάρχει ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων : V + W/W = V/V W 6.3 Ασκήσεις Ασκηση Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των διανυσµατικών χώρων E και F υπεράνω ενός σώµατος K.

21 6.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

22 160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΠΗΛΙΚΑ

23 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

24 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Γραμμική Άλγεβρα Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 ιανυσµατικοι Χωροι Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα ορίσουµε την πολύ ϐασική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή 11 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα αναφορικά µε : (α) τις σχέσεις µερικής διάταξης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = e x g(y) = log e y f(x 1 ) = f(x) 1 f(x k ) = f(x) k

f(x) = e x g(y) = log e y f(x 1 ) = f(x) 1 f(x k ) = f(x) k 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε απεικονίσεις µεταξύ οµάδων οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν τη σύγκριση και την ταξινόµηση διάφορων κλάσεων οµάδων, ως προς τις δοµικές τους ιδιότητες.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα