1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:

Transcript

1 1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο f(), D { 1,0,1} και g() D { 1,0,1} f f έχουμε D D και f( 1) g( 1), f(0) g(0), f(1) g(1) g Άρα f()=g() για Df =Dg άρα f=g. g. Ισχύει f() g() 0, A f() 0, A ή g() 0, A, 3 0, 3 Για τις συναρτήσεις f() και g() έχουμε 0, 3, 3 ότι καμία από τις δύο δεν είναι η μηδενική συνάρτηση αλλά ισχύει f() g() 0, IR ( H σωστή πρόταση είναι f() g() 0, A f() 0, ή g() 0, A δηλαδή για κάποια είναι μηδέν οι τιμές της f και για τα υπόλοιπα είναι μηδέν οι τιμές της g. ) 3. Για τις συναρτήσεις f,g : IR IR ισχύει f() g() f() g() IR ή f() g() IR

2 1, για τις συναρτήσεις f() και 1, g() 1, IR ισχύει f() g(), IR (θα μπορούσε να ζητήσει να χαρακτηρίσουμε σωστή ή λανθασμένη την πρόταση f () g () f() g() IR ή f() g() IR στην οποία θα μπορούσαμε να δώσουμε ακριβώς την ίδια απάντηση.) 4. Αν f, g είναι 1-1 στο IR τότε και η f g είναι 1-1 στο ΙR. Η πρόταση είναι Σωστή. Απόδειξη: για κάθε, με (f g)( ) (f g)( ) f(g( )) f(g( )) g( ) g( ) (αφού f 11) (αφού g 1 1) 1 5. Αν η f είναι 1-1 σε διάστημα Δ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Δ. 1, 0 Η συνάρτηση f(), 0 είναι 1-1 στο ΙR αφού κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση το πολύ μία φορά. Δεν είναι όμως γνησίως μονότονη στο ΙR αφού για >0 είναι γνησίως φθίνουσα και για 0 γνησίως αύξουσα. 6. Αν η f γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ τότε η f είναι 1-1 στο διάστημα Δ. Η πρόταση είναι Σωστή.

3 Απόδειξη: υποθέτουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Τότε για κάθε 1, Δ με 1 f( 1) f( ) δηλαδή για 1 f( 1) f( ) άρα f είναι 1-1 στο Δ. Αντίστοιχα προκύπτει το συμπέρασμα και στην περίπτωση που υποθέσουμε ότι f είναι γνησίως φθίνουσα. 7. Aν μία περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο 0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. Η πρόταση είναι Σωστή Απόδειξη: f παρουσιάζει μέγιστο για =0 άρα ισχύει f() f(0) Df άρα και για, f( ) f( 0) f() f( 0) f() f( 0) f() f( 0) Df. 8. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα Δ1, Δ τότε f είναι αντίστοιχα γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα και στο Δ1 Δ. Αντιπαράδειγμα 1 όπως και για Δ (,0) είναι γνησίως φθίνουσα. * Η f(), ορίζεται για IR και για Δ 1 (0, ) είναι γνησίως φθίνουσα * Δεν είναι όμως γνησίως φθίνουσα στο Δ1 Δ IR αφού f( 1) f(1)

4 9. Αν lim f () l 0 τότε lim f() l ή lim f() l Η πρόταση θα ήταν σωστή αν γνωρίζαμε σίγουρα ότι υπάρχει το, αφού μπορεί να υπάρχει το αλλά να μην υπάρχει το lim f() 0 lim f() 0 lim f () 1, 0 f() με lim f() 1 και lim f() 1 1, limf() δεν υπάρχει 1 ενώ f () 1 0 με limf () 1. 0 άρα το 10. Aν η f είναι συνεχής στο (-,1] και συνεχής στο (1, + ) τότε είναι σίγουρα συνεχής στο ΙR. Η πρόταση είναι Λάθος. 3, 1 για την f(), 1 ισχύει lim f() 4 f(1) 1 Επιπλέον η f είναι συνεχής για <1 ως πολυωνυμική. Άρα η f είναι συνεχής στο (-,1] Η f είναι συνεχής στο (1,+ ) ως πολυωνυμική όμως η f δεν είναι συνεχής στο IR αφού lim f() 1 lim f() 4 άρα δεν υπάρχει το 1 1 limf() 1 και η f δεν είναι συνεχής στο 0= Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (α,β) ώστε f( 0) 0 τότε ισχύει πάντα ότι f(α)f(β)<0. Η πρόταση είναι Λάθος.

5 η f()= -1 είναι συνεχής στο [-,] με f(-1)=f(1)=0 όμως f(-)=f()=3>0 δηλαδή f()f(-)>0. 1. Αν η f είναι συνεχής στο 0 τότε είναι και παραγωγίσιμη στο 0., 0 Η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο 0, 0 lim f() lim f() f(0) 0 αλλά δεν είναι 0 0 f() f(0) παραγωγίσιμη στο 0, αφού lim lim 1 ενώ 0 0 f() f(0) lim lim Αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0 τότε μπορούμε (f g)'( ) f( ) g( ) ' να γράψουμε f( 0), g( 0) είναι αριθμοί σταθεροί όπως και το άθροισμά τους άρα η παράγωγός τους θα είναι πάντα 0 ανεξάρτητα από τις f,g 3 f() και g() τότε f g '() f'() g'() 3 άρα για 0=1 έχουμε f g '(1) 3 5 ενώ f(1) g(1) ' (1 1)' Αν f g παραγωγίσιμη στο 0 τότε μπορούμε να πούμε f, g παραγωγίσιμες στο 0.

6 Αντιπαράδειγμα F() F(0) ημ ημ F() ημ παραγωγίσιμη στο0 (lim lim lim( ) 01 0.) f() f(0) 1 f() όχι παραγωγίσιμη στο 0 αφού lim lim lim lim 0και 0 για κοντά στο Aν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, η g όχι παραγωγίσιμη στο f(0) τότε σίγουρα η g f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Η θεωρία του σχολικού βιβλίου μας λέει ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και η g παραγωγίσιμη στο f(0) τότε η συνάρτηση g f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Δηλαδή μπορεί η συνάρτηση g f να είναι παραγωγίσιμη στο 0, χωρίς όμως να ισχύουν ταυτόχρονα και ότι f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και η g παραγωγίσιμη στο f(0). f() παραγωγίσιμη στο 0, g() όχι παραγωγίσιμη στο f(0)=0 όμως (g f)() παραγωγίσιμη στο