TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA

Transcript

1 Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Prjekt kdas VP1-2.2-ŠMM-07-K VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 2012

2 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Praktinės uždutys ir metdiks nurdymai Vilnius Technika 2012

3 Z. Savickienė. Terinė elektrtechnika: praktinės uždutys ir metdiks nurdymai. Vilnius: Technika, p. [5,41 aut. l ]. Šis technlgijs mkslų srities, elektrniks ir elektrs mksl krypties leidinys skirtas Elektrniks fakultet pagrindinių nulatinių ir ištęstinių studijų studentams, studijujantiems terinės elektrtechniks kursą. Jame pateikiams uždutys ir metdiks nurdymai nulatinės srvės, kintamsis srvės vienfazių ir trifazių elektrs grandinių terinės elektrtechniks praktinėms uždutims atlikti. Leidiniu galės naudtis ir kitų fakultetų studentai. Leidinį rekmendav VGTU Elektrniks fakultet studijų kmitetas Recenzav: prf. dr. Vygaudas Kvedaras, VGTU Elektrtechniks katedra prf. habil. dr. Algimantas Juzas Pška, VGTU Autmatiks katedra Leidinys parengtas vykdant prjektą VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas. Leidini rengimą ir leidybą finansav Vilniaus Gedimin techniks universitetas ir Eurps scialinis fndas (sutarties Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K ). VGTU leidykls TECHNIKA 1324-S mkmsis metdinės literatūrs knyga Redaktrė Reda Asakavičiūtė Maketutjas Dnaldas Petrauskas eisbn di: /1324-s Zita Savickienė, 2012 Vilniaus Gedimin techniks universitetas, 2012

4 Turinys Įvadas Nulatinės srvės grandinių analizė Paprastų nulatinės srvės grandinių analizė Sudėtingų nulatinės srvės grandinių analizė Sudėtings grandinės analizė Kirchhf lygčių metdu Sudėtings grandinės analizė mazgų ptencialų metdu Sudėtings grandinės analizė kntūrų srvių metdu Sudėtings grandinės analizė ekvivalentini šaltini metdu Vienfazių kintamsis srvės grandinių analizė Paprastų kintamsis srvės grandinių analizė Nuseklis R, L, C grandinės analizė Lygiagrečis R, L, C grandinės analizė Sudėtingų kintamsis srvės grandinių analizė Sudėtingų grandinių su abipusiu induktyvumu analizė Trifazių grandinių analizė Žvaigžde sujungts trifazės grandinės analizė Žvaigžde sujungts simetrinės trifazės grandinės analizė Žvaigžde sujungts nesimetrinės trifazės grandinės analizė Trikampiu sujungts trifazės grandinės analizė Trikampiu sujungts simetrinės trifazės grandinės analizė Trikampiu sujungts nesimetrinės trifazės grandinės analizė Uždavinių atsakymai Literatūra

5 Įvadas Terinės elektrtechniks praktinių uždučių tikslas padėti studentams suvkti terinę paskaitų medžiagą, įgyti gebėjimų skaičiuti elektrs grandines, patikrinti terijje nagrinėtus reiškinius, išmkti palyginti terinius ir skaičiavimų rezultatus, gebėti skaičiuti elektrs grandines naudjantis kmpiuteriu, sufrmuluti išvadas, skatinti savarankiškai dirbti. Kiekvien skyreli pradžije yra pateikts savarankišk skaičiavim grandinės, grandinių elementų parametrai ir uždutys. Tliau nurdmas skaičiavim pavyzdys ir skaičiujams grandinės mdelis naudjant kmpiuterinę Multisim prgramą. Taikant šius mdelius, galima patikrinti skaičiavim rezultatus. Praktinių uždučių rinkinyje pateikiams uždutys nulatinės ir kintamsis srvės paprastms ir sudėtingms grandinėms, taip pat trifazėms kintamsis srvės grandinėms skaičiuti. Uždučių rinkini pabaigje yra nurdyti uždučių atsakymai. 4

6 1. NUOLATINĖS SROVĖS GRANDINIŲ ANALIZĖ 1.1. Paprastų nulatinės srvės grandinių analizė Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Grandinės atstjamąją varžą R a. 2. Šakų srves. 3. Įtampą tarp a ir b U ab pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.1 lentelėje. b R 3 R 4 E a R 3 R 7 E b a R 5 R 7 R 6 R 4 R 6 R pav. 1.2 pav. a E b R 3 R 4 R 6 E a R 7 b R 3 R 5 R 6 R 4 R 5 R pav. 1.4 pav. 5

7 E R 3 R 6 a b R 4 R 5 R 3 b E R 4 R 5 R 6 R 7 R pav. 1.6 pav. a a E R 4 R 3 b R 5 R 6 E b R 3 a R 4 R 5 R 6 R pav. 1.8 pav. R lentelė pav. pateiktų grandinių elementų parametrai pav. Nr. E, V, Ω, Ω R 3, Ω R 4, Ω R 5, Ω R 6, Ω R 7, Ω

8 R 6 a R 3 E b R 4 R pav. Pavyzdži grandinė Pavyzdys Duta: E = 150 V; = 20 Ω; = 50 Ω; R 3 = 60 Ω; R 4 = 40 Ω; R 5 = 60 Ω; R 6 = 70 Ω; R 7 = 80 Ω. R 5 Rasti: 1. Grandinės atstjamąją varžą R a. 2. Šakų srves. 3. Įtampą U ab. Sprendimas 1. Dutji grandinė (1.9 pav.) yra paprasta, nes jje yra tik vienas šaltinis, varžs sujungts nusekliai lygiagrečiai. Tdėl jai skaičiuti pakanka Om dėsni. Paprastje grandinėje reikia pažymėti tikras šakų srvių kryptis. Grandinėje yra 5 šaks (S = 5, čia S šakų skaičius), tdėl pažymims 5 srvės (1.10 pav.). Srvių indeksai sutampa su varžų indeksais: per varžą srvė I 1, per nusekliai sujungtas varžas ir R 6 srvė I 26, per varžą R 3 srvė I 3, per nusekliai sujungtas varžas R 4 ir R 7 srvė I 47 ir per varžą R 5 srvė I 5. Pradedama žymėti nu srvės I 3 per šaltinį. Paprastje grandinėje srvės per šaltinį kryptis turi sutapti su elektrvars šaltini E kryptimi. Srvė I 3 mazge c išsiskirst į dvi srves: I 1 ir I 26. Srvė I 1 įteka į mazgą b ir išsiskirst į dvi srves: I 5 ir I 47. Grandinė pradedama prastinti nu nusekliai sujungtų varžų (1.11 pav.): R26 = R2 + R6 = = 120 Ω ; R47 = R4 + R7 = = 120 Ω. Varžs R 47 ir R 5 yra prijungts prie ts pačis įtamps (prie tų pačių mazgų b ir d) js sujungts lygiagrečiai ir jų atstjamji varža R bd : R47 R Rbd = = = 40 Ω. R

9 c I 1 b c I 1 b R 3 R 4 I 5 I 26 R 3 I 47 I 5 I 26 R 6 a I 3 E I 47 R 7 R 5 6 a I 3 E R 47 R 5 d d 1.10 pav pav. Mazgas b tap tašku, varžs ir R bd sujungts nusekliai (1.12 pav.). Jų atstjamji varža R bd = R + Rbd = = 60 Ω. Varžs 6 ir bd yra prijungts prie ts pačis įtamps (prie tų pačių mazgų c ir d) (1.13 pav.) js sujungts lygiagrečiai ir jų atstjamji varža R cd c R cd R1 bd R = = = 40 Ω. R + R bd 26 b c I 26 R 3 I 1 I 26 R 3 I 1 6 a I 3 E U bd R bd 6 a I 3 E U cd bd d d 1.12 pav pav. Atlikus tkį pakeitimą, gaunama 1.14 pav. pateikta grandinė. Atstjamji grandinės varža (1.15 pav.) Ra = R3 + Rcd = = 100 Ω. 8

10 a c I 3 R 3 E U cd R cd a E I 3 R a d 1.14 pav pav. d 2. Pirmiausia galima apskaičiuti srvę I 3 (1.14 ir 1.15 pav.). Pagal Om dėsnį uždarai grandinei E 150 I3 = = = 1,5 a. R 00 a Lygiagrečių šakų varžs 6 ir bd (1.12 ir 1.13 pav.) yra prijungts prie įtamps U cd. Šią įtampą galima surasti pagal Om dėsnį grandinės daliai (1.14 pav.) Ucd = I3 Rcd = 1,5 40 = 60 V. Lygiagrečių šakų srvės (1.13 pav.) I I 26 Ucd 60 = = = A ; R 60 U cd bd 60 = = = 0,5 a Lygiagrečių šakų varžs R 47 ir R 5 (1.10 ir 1.11 pav.) yra prijungts prie įtamps U bd. Šią įtampą galima surasti pagal Om dėsnį grandinės daliai (1.12 pav.) Ubd = I Rbd = 1 40 = 40 V. Lygiagrečių šakų srvės (1.11 ir 1.12 pav.) 9

11 I 47 I 5 U bd 40 = = = 0,333 a ; 0 47 U bd 40 = = = 0,667 a. R 60 5 Srvių teisingumu galima įsitikinti, patikrinus pirmąjį Kirchhf dėsnį: Mazgui b: I1 I47 I5 = 1 0,333 0, 667 = 0 a. Mazgui c: I26 I3 + I1 = 0,5 1,5 + 1 = 0 a. Mazgui d: I26 I3 + I47 + I5 = 0,5 1,5 + 0, , 667 = 0 a. 3. Įtampą tarp a ir b galima skaičiuti dviem būdais: praeinant per c: Uab = I3 R3 + I1 R1 = 1, = 110 V. praeinant per d: U = E I5 R5 = 150 0, = 110 V. ab Atsakymas: 1. R a = 100 Ω. 2. I 3 = 1,5 A; I 1 = 1 A; I 26 = 0,5 A; I 47 = 0,333 A; I 5 = 0,667 A. 3. U ab = 110 V pav. pateiktas pavyzdži grandinės mdelis Multisim aplinkje. Šiu mdeliu galima patikrinti, ar teisingai išspręstas uždavinys. 10

12 R2 50 Ohm 70 Ohm R6 - A A + DC 1e-009Ohm - + R3 60 Ohm R1 20 Ohm A A DC 1e-009Ohm U V R4 40 Ohm V1 150 V DC 1GOhm R7 80 Ohm A A3A DC 1e-009Ohm A A47 DC 1e-009Ohm 1.16 pav. 1.9 pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje A A5 DC 1e-009Ohm R5 60 Ohm 11

13 1.2. Sudėtingų nulatinės srvės grandinių analizė Sudėtings grandinės analizė Kirchhf lygčių metdu Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Šakų srves Kirchhf lygčių metdu. 2. Įtampą U ab. 3. Patikrinti galių balansą pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.2 lentelėje. a R 3 J a b E E R 3 J R 4 b R pav pav. a R 4 J b R 3 E b a E R 3 R 4 J 1.19 pav pav. 12

14 E E J a b a R 3 J b R 4 R 3 R pav pav. a b E J R 3 b a E J R 3 R 4 R pav pav. 1.2 lentelė pav. pateiktų grandinių elementų parametrai pav. Nr. E, V J, A, Ω, Ω R 3, Ω R 4, Ω

15 a Pavyzdys R 3 d J b R 4 E R pav. Pavyzdži grandinė Duta: E = 24 V; J = 4 A; = 4 Ω; = 2 Ω; R 3 = 8 Ω; R 4 = R 5 = 3 Ω. Rasti: 1. Šakų srves Kirchhf lygčių metdu. 2. Įtampą U ab. 3. Patikrinti galių balansą. Sprendimas 1. Grandinė yra sudėtinga (jje yra daugiau kaip vienas skirtingse šakse įjungtas šaltinis). Tdėl laisvai parenkams grandinės šakų srvių kryptys ir js pažymims (1.26 pav.) (srvės I 1, I 2, I 3, I 4 ir I 5 ). c a R 3 I 3 d I 4 I 2 I 5 I J 1 R 4 E I II b III R pav. Pavyzdži grandinė, pažymėjus šakų srvių kryptis ir kntūrų apėjim kryptis 14 c

16 Grandinėje yra: mazgų m = 3 (a, c, d); šakų iš vis S = 6; šakų su elektrs srvės šaltiniais S J = 1; nežinmų srvių S S J = 5. Vadinasi, 5 nežinmms srvėms apskaičiuti reikės sudaryti penkių lygčių sistemą su penkiais nežinmaisiais. Pagal I Kirchhf dėsnį galima užrašyti m 1 = 3 1 = 2 nepriklausmas lygtis. Iš trijų mazgų (a, c, d) galima pasirinkti bet kuriems dviem, pvz., mazgams a ir d, kuriuse yra sujungta p mažiau šakų (lygčių sistems (1) ir (2) lygtys). Pagal II Kirchhf dėsnį reikia užrašyti likusias lygtis nepriklausmiems kntūrams, kurių grandinėje yra S S J (m 1) = 3. Nepriklausmi kntūrai ir jų apėjim kryptys parenkami laisvai. Kntūras gaunamas nepriklausmas, jei į jį įeina bent vienas naujas elementas, kuri nebuv ankstesniuse kntūruse. Į kntūrus negalima įtraukti šakų su elektrs srvės šaltiniais. Pavyzdži grandinėje visų trijų kntūrų (I, II, III) (1.26 pav.) apėjim kryptys yra parinkts prieš laikrdži rdyklės judėjim kryptį. Pagal II Kirchhf dėsnį lygčių sistemje (3) (5) lygtys. Taigi, gaunama tkia lygčių sistema: a: J I1 I2 I3 = 0; (1) d: I3 I4 + I5 = 0; (2) i: IR I2R2 = 0; (3) ii: I2R2 I3R3 I4 ( R4 + R5 ) = 0; (4) iii: I4 ( R4 + R5 ) = E. (5) Į gautą lygčių sistemą įrašmi elementų parametrai: I1 + I2 + I3 = 4; I3 I4 + I5 = 0; 4I 2R2 = 0; 2I2 8I3 6I4 = 0; 6I 4 =

17 Šią lygčių sistemą galima spręsti kmpiuteriu naudjantis prgrama Mathcad. E := 24 J := 4 R1 := 4 R2 := 2 R3 := 8 R4 := 3 R5 := J R := R1 R E := 0 0 R2 R3 ( R4 + R5) R4 + R5 0 E R = E = I := lslve( R, E) I = I1 := I 0 I2 := I 1 I3 := I 2 I4 := I 3 I5 := I 4 I1 = 2 I2 = 4 I3 = 2 I4 = 4 I5 = 6 Taigi, kmpiuteriu išsprendę šią 5 lygčių sistemą, gauname: I = 2 A ; I 2 = 4 a ; I 3 = 2 A ; I 4 = 4 a ; I 5 = 6 a. Srvę I 3 gavme su minus ženklu. Tai reiškia, kad iš tikrųjų šis srvės kryptis yra priešinga (ne iš mazg a į d, bet iš d į a). 2. Įtampą tarp a ir b U ab galima skaičiuti dviem būdais: praeinant per c: U = I2 R2 I4 R5 = = 4 V ; ab praeinant per d: U I R I R ( ) ab = = = 4 V. 16

18 Abiem būdais gaunama ta pati įtampa. Minus ženklas reiškia, kad mazg a ptencialas yra žemesnis negu b. 3. Pagal galių balans principą varžų galių suma turi būti lygi šaltinių galių sumai. Varžų galia lygi atskirų varžų galių sumai: R ( ) 2 ( ) ( ) P = I R + I R + I R + I R + R = = 176 W. Šaltinių galia apskaičiujama kaip elektrvars šaltini ir elektrs srvės šaltini galių suma: P = P + P = E I + J U. EJ E J 5 ac Srvės šaltini gnybtų įtampa, nukreipta iš plius į minusą, Tada Uac = I R = 2 4 = 8 V. P = = 176 W. EJ Gaunama, kad PR = PEJ. Atsakymas: 1. I = 2 A ; I 2 = 4 a ; I 3 = 2 A ; I 4 = 4 a ; I 5 = 6 a. 2. U ab = 4 V. 3. P R = P EJ = 176 W pav. pateiktas pavyzdži grandinės mdelis Multisim aplinkje. Šiu mdeliu galima patikrinti, ar teisingai apskaičiuts srvės ir įtampa U ab. 17

19 J 4 A A R1 4 Ohm R3 8 Ohm A A DC 1e-009Ohm R4 3 Ohm A1 DC 1e-009Ohm U V DC 1MOhm A A2 DC 1e-009Ohm R5 3 Ohm - + R2 2 Ohm A A4 DC 1e-009Ohm 1.27 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje E 24 V A U6A DC 1e-009Ohm 18

20 Sudėtings grandinės analizė mazgų ptencialų metdu Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Šakų srves mazgų ptencialų metdu. 2. Patikrinti galių balansą pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.3 lentelėje. E 1 E 6 R 4 E 2 R 5 R 3 E 1 E 3 R 3 R 4 R 5 R pav pav. R 3 R 6 E 4 E 3 E 1 R 4 R 5 R 5 E 6 R pav pav. 19

21 E 1 R 3 R 6 E 6 R 5 R 4 R 5 R 4 E 3 E 2 E 1 R pav pav. R 3 R 6 E 6 R 4 E 6 E 2 E 3 R 5 R 4 R pav pav. 1.3 lentelė pav. pateiktų grandinių elementų parametrai Pav. Nr. E 1, V E 2, V E 3, V E 4, V E 6, V, Ω, Ω R 3, Ω R 4, Ω R 5, Ω R 6, Ω

22 R 6 R 7 Pavyzdys E E 2 J8 R R3 R4 E pav. Pavyzdži grandinė Duta: E 1 = 50 V; E 2 = 20 V; E 5 = 100 V; J 8 = 1 A; = 40 Ω; = 20 Ω; R 3 = 50 Ω; R 4 = 10 Ω; R 6 = 10 Ω; R 7 = 10 Ω. Rasti: 1. Šakų srves mazgų ptencialų metdu. 2. Patikrinti galių balansą. Sprendimas 1. Pirmiausia laisvai parenkams ir pažymims grandinės šakų srvių kryptys (I 1 I 7 ) (1.37 pav.). Grandinėje yra 8 šaks (S = 8), viena šaka su srvės šaltiniu (S J = 1). Nežinmų srvių yra S S J = 8 1 = 7. Grandinėje yra 4 mazgai (m = 4). Tkis grandinės analizei taikant Kirchhf lygčių metdą reikėtų sudaryti ir spręsti septynių lygčių sistemą (S S J = 8 1 = 7). Lygčių, kartu ir nežinmųjų skaičių galima sumažinti iki m 1 = 4 1 = 3 taikant mazgų ptencialų metdą. 21

23 2 I 1 I 2 E 1 E 2 R 6 R 7 J 8 I 6 I 7 R 3 I 3 R 4 I E 5 I pav. Pavyzdži grandinė, laisvai parinkus ir pažymėjus srvių kryptis ir sunumeravus mazgus Šis grandinės 1, 2, 3 ir 4 mazgų ptencialai V 1, V 2, V 3 ir V 4. Pasirinkime vien grandinės mazg ptencialą, lygų nuliui. Kadangi grandinės penktje šakje yra tik idealus elektrvars šaltinis, tai reikia prilyginti nuliui kuri nrs mazg (3 arba 4), prie kuri yra prijungtas šis šaltinis, ptencialą. Pvz., V 4 = 0, tada praėjus per šaką su idealiu EV šaltiniu E 5 treči mazg ptencialas V3 = V4 + E5 = 00 V. Vadinasi, lieka nežinmi tik dviejų mazgų ptencialai V 1 ir V 2. Tdėl reikia sudaryti dviejų lygčių sistemą šiems dviem nežinmiems mazgų ptencialams apskaičiuti: G V + G V + G V = J G V + G V + G V = J M M 2 Tliau skaičiujami laidžiai ir mazgų srvės. Mazgų laidžiai (savieji) (su viendais indeksais, visada teigiami) lygūs visų, prie atitinkam mazg prijungtų šakų laidžių sumai: 22 ;.

24 prie 1-j mazg prijungts 3 šaks, tdėl = + + = 0 0,2 s R + R + = = ; G11 G3 G4 G J 3 4 prie 2-j mazg prijungts 5 šaks, tdėl = = = R R R R G22 G1 G2 G6 G7 G J = 0,275 S Mazgų abipusiai laidžiai (su neviendais indeksais) lygūs atitinkamus mazgus tiesigiai jungiančių šakų laidžių sumai su minus ženklu: 1-ąjį ir 2-ąjį mazgus tiesigiai jungia viena šaka šaka su idealiu elektrs srvės šaltiniu J 8 : G2 = G2 = G J = = 0 s ; 1-ąjį ir 3-iąjį mazgus tiesigiai jungia viena šaka šaka su rezistriumi R 3 : G13 = G31 = G3 = = = 0,02 s ; R ąjį ir 3-iąjį mazgus tiesigiai jungia dvi šaks šaka su rezistriumi ir šaka su rezistriumi R 6 : G23 = ( G1 + G6 ) = + = + = 0,125 S. R1 R Mazgų srvės: prie 1-j mazg prijungtų šakų su EV šaltiniais nėra, yra viena šaka su idealiu elektrs srvės šaltiniu J 8, kuris nukreiptas į pirmąjį mazgą, tdėl srvę rašme su plius ženklu: J = EG + J = 0 + J = A ; M1 8 (1) (1) 23

25 prie 2-j mazg yra prijungts dvi šaks su EV šaltiniais ir viena su elektrs srvės šaltiniu: EV šaltiniai E 1 ir E 2 yra nukreipti į mazgą, tdėl sandaugs EG ir E2G2 užrašms su plius ženklu; elektrs srvės šaltinis J 8 nukreiptas nu antrj mazg, tdėl rašmas su minus ženklu: E E J = EG + J = E G + E G J = + J = 2 M (2) (2) R R = 1,25 a Viss apskaičiuts laidžių ir mazgų srvių vertės įrašms į lygčių sistemą. Ją išsprendus, randami mazgų ptencialai V 1 ir V 2 : 0,12 V 0 V2 0, = 1; 0 V + 0, 275 V2 0, = 1, 25. 0,12 V = 3; 0, 275 V2 = 13,75. Išsprendę gauname: V 1 = 25 V; V 2 = 50 V. Grandinės šakų srvės apskaičiujams pagal Om dėsnį grandinės daliai U I = I I 2 ab ab b + E a : R V3 V2 + E = = = 2,5 a ; R 40 V4 V2 + E = = = 1,5 a; R 20 2 V3 V I3 = = = 1,5 a; R

26 I 4 V1 V = = = 2,5 a. R 0 4 Penkts šaks srvės pagal Om dėsnį kl kas negalima apskaičiuti. Ją bus galima surasti, kai bus apskaičiuts likusis srvės. V2 V I6 = = = 5,0 a ; R 0 I 7 6 V2 V = = = 5,0 a. R 0 7 Penkts šaks srvę I 5 galima apskaičiuti užrašius I Kirchhf dėsnį 3-iajam arba 4-ajam mazgui. Pvz., jei užrašytume 3-iajam mazgui: I1 + I6 I3 + I5 = 0, 25 ( ) I5 = I1 I6 + I3 = 2,5 5,0 + 1,5 = 9 a. Srvės I 2 ir I 6 gauts su minus ženklu, reiškia jų kryptys yra priešings, negu buv parinkts (1.37 pav.). 2. Grandinės varžų galia: P = I R + I R + I R + I R + I R + I R = R ( ) ( ) , , , , , ,0 10 = 970 W. Grandinės šaltinių galia: P = P + P = E I + E I + E I + J ( V V ) = EJ E J ( ) 50 2, , (25 50) = 970 W. Gauts varžų ir šaltinių galis yra viends: PR = PEJ. Atsakymas: 1. I = 2,5 a ; I 2 = 1,5 a ; I 3 = 1,5 a ; I 4 = 2,5 a ; I 5 = 9 A ; I 6 = 5 a ; I 7 = 5 a ; 2. PR = PEJ = 970 W pav. pateiktas pavyzdži grandinės mdelis Multisim aplinkje.

27 R1 40 Ohm A A - A A DC 1e-009Ohm DC 1e-009Ohm E1 50 V A6 A A A DC 1e-009Ohm I2 1 A DC 1e-009Ohm R6 R7 10 Ohm 10 Ohm A A DC 1e-009Ohm R3 50 Ohm A A DC 1e-009Ohm R4 10 Ohm E5 A A DC 1e-009Ohm 100 V 1.38 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje E2 20 V R2 20 Ohm 26

28 Sudėtings grandinės analizė kntūrų srvių metdu Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Šakų srves kntūrų srvių metdu. 2. Įtampą U ab. 3. Patikrinti galių balansą pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.4 lentelėje. R 3 b R 4 E 5 R 3 a E 1 a R 4 E 5 b E pav pav. R 3 a E 2 E 5 R 6 E 3 R 5 E 4 a R 4 b b R pav pav. 27

29 E 6 E 4 R 5 a E 2 a R 4 R 3 b E 5 R 3 b 1.43 pav pav. E 3 a R 6 R 5 E 6 a E 2 b E 3 R 5 b R 4 R pav pav. 1.4 lentelė pav. pateiktų grandinių elementų parametrai Pav. Nr. E 1, V E 2, V E 3, V E 4, V E 5, V E 6, V, Ω, Ω R 3, Ω R 4, Ω R 5, Ω R 6, Ω

30 Pavyzdys E 1 E 3 E 2 b R 6 R 4 R 5 a E pav. Pavyzdži grandinė Duta: E 1 = 100 V; E 2 = 30 V; E 3 = 10 V; E 4 = 6 V; = 10 Ω; = 10 Ω; R 4 = 7 Ω; R 5 = 5 Ω; R 6 = 15 Ω. Rasti: 1. Šakų srves kntūrų srvių metdu. 2. Įtampą U ab. 3. Patikrinti galių balansą. Sprendimas 1. Pirmiausia laisvai parenkams ir pažymims grandinės šakų srvių kryptys. Grandinėje yra 6 šaks (S = 6), šakų su srvės šaltiniais nėra (S J = 0). Nežinmų srvių yra S S J = 6. Grandinėje yra 4 mazgai (m = 4). Tkis grandinės analizei taikant Kirchhf lygčių metdą reikėtų sudaryti ir spręsti 6 lygčių sistemą S S J = 6. Lygčių, kartu ir nežinmųjų skaičių galima sumažinti iki S S ( m 1) = 6 0 (4 1) = 3 taikant kntūrų srvių metdą. J 29

31 Pavyzdži grandinėje yra 3 nepriklausmi kntūrai. Tegul kiekviename kntūre teka savs kntūr srvės I 11, I 22 ir I 33 (1.48 pav.). Jų kryptys parenkams laisvai. Tarkime, pirms kntūr srvės I 11 kryptis yra pagal laikrdži rdyklės judėjim kryptį, antrs I 22 ir trečis I 33 prieš laikrdži rdyklės judėjim kryptį. I 1 E 1 I 4 I 11 R 6 R 4 I 3 E 3 I 2 E 2 R 5 b I 33 a I 22 E 4 I 6 I pav. Pavyzdži grandinė, parinkus šakų ir kntūrų srves Lygčių sistema trims nežinmų kntūrų srvėms skaičiuti: R11I11 + R12I22 + R13I33 = E11; R21I11 + R22I22 + R23I33 = E22; R31I11 + R32I22 + R33I33 = E33. Tliau skaičiujams kntūrų varžs, kntūrų bendrsis varžs ir kntūrų elektrvars. Kntūrų varžs (su viendais indeksais) lygis visų atitinkam kntūr varžų sumai (visada teigiams): 1-j kntūr varža R = R + R2 = = 20 Ω ; 2-j kntūr varža R22 = R2 + R4 + R5 = = 22 Ω ; 3-ij kntūr varža R33 = R4 + R6 = = 22 Ω. 30

32 Kntūrų bendrsis varžs (su neviendais indeksais) lygis dviejų kntūrų bendrs grandinės dalies varžai, užrašytai su pliusu arba minusu. Kai kntūrų srvių kryptys bendrje varžje sutampa, rašmas pliusas, kai priešings minusas: 1-j ir 2-j kntūrų bendra varža R2 = R2 = R2 = 0 Ω ; 1-j ir 3-ij kntūrų bendra varža R13 = R31 = 0 Ω ; 2-j ir 3-ij kntūrų bendra varža R23 = R32 = R4 = 7 Ω. Kntūrų elektrvars lygis tuse kntūruse esančių elektrvars šaltinių EV algebrinei sumai. Kai EV kryptis sutampa su kntūr srvės kryptimi, E rašma su pliusu, kai kryptys priešings su minusu: 1-j kntūr elektrvara E11 = E1 E2 E3 = = 60 V ; 2-j kntūr elektrvara E22 = E2 + E4 = = 24 V ; 3-ij kntūr elektrvara E33 = E3 E4 = 10 6 = 16 V. Į lygčių sistemą įrašę visas apskaičiutas kntūrų varžų, kntūrų bendrųjų varžų ir kntūrų elektrvarų vertes gauname: 20I I22 + 0I33 = 60; 10I I22 7I33 = 24; 0I11 7I I33 = 16. Pirmąją lygtį galima suprastinti iš 10. Tada gauname: 2 I11 + I I33 = 6; 10I I22 7I33 = 24; 0 I11 7I I33 = 16. Tkią lygčių sistemą galima spręsti įvairiai. Pvz., taikant Krameri metdą: D = = 650; D = = 3250 ;

33 D = = 2600 ; D = = Kntūrų srvės: D 3250 I = = = 5 a ; D 650 D I22 = = = 4 a ; D 650 D I33 = = = 2 A. D 650 Grandinės tikrs šakų srvės: I = I = 5 a ; ( ) I2 = I I22 = 5 4 = 1 a ; ( ) I3 = I11 + I33 = = 3 a ; ( ) ( ) I4 = I22 I33 = 4 2 = 2 a ; I5 = I22 = 4 a ; I6 = I33 = 2 A. Lygčių sistemą galima spręsti ir naudjant, pvz., prgramų paketą Mathcad: R K : = ; E K : = 24 ; ( ) I : = lslve R ; E ; K K K I K 5 : = 4. 2

34 Srvės I 2, I 4 ir I 6 gauts su minus ženklu, reiškia jų kryptys yra priešings, negu buv parinkts (1.48 pav.). 2. Įtampą tarp a ir b U ab galima skaičiuti dviem būdais: praeinant per R 4, ir E 2 : Uab = I4 R4 + I2 R2 E2 = ( 2) 7 + ( 1) = 26 V; praeinant per E 4 ir R 5 : Uab = E4 I5 R5 = = 26 V. Abiem būdais gaunama ta pati įtampa. Minus ženklas reiškia, kad a ptencialas yra žemesnis negu b. 3. Grandinės galių balans tikrinimas: a) grandinės varžų galia: ( ) ( ) ( ) P = I R + I R + I R + I R + I R = R = 428 W. b) grandinės šaltinių galia 2 ( ) PE = PE = E1I1 + E2I2 E3I3 + E4I4 = ( 2) = 428 W. Gauts grandinės varžų ir šaltinių galis yra viends PR = PEJ. Atsakymas: 1. I = 5 a ; I 2 = A ; I 3 = 3 a ; I 4 = 2 A ; I 5 = 4 a ; I 6 = 2 A. 2. U ab = 26 V. 3. P = P = 428 W. R E 1.49 pav. pateiktas pavyzdži grandinės mdelis Multisim aplinkje. 33

35 R6 15 Ohm R1 10 Ohm E1 100 V A A + - DC 1e-009Ohm - U7A A + E3 R2 E2 DC 1e-009Ohm 10 V 10 Ohm 30 V A A4A DC 1e-009Ohm R4 7 Ohm U V DC 1MOhm A A V4 6 V - A A + DC 1e-009Ohm DC 1e-009Ohm 1.49 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje A A + - DC 1e-009Ohm R5 5 Ohm 34

36 Sudėtings grandinės analizė ekvivalentini šaltini metdu Uždučių grandinės pateikts pav. E 4 R 6 I 3 R 3 R 5 E 2 Duta: E 2 = 9 V; E 4 = 12 V; = 3 Ω; R 5 = 4 Ω; R 6 = 6 Ω. Rasti: 1. I 3 ekvivalentini šaltini metdu, kai R 3 = 0; 2; 4; 6; 8; 10 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 3 =f(r 3 ) pav. E 4 R 6 I 2 R 3 E 5 Duta: E 4 = 16 V; E 5 = 8 V; = 3 Ω; R 3 = 6 Ω; R 6 = 12 Ω. Rasti: 1. I 2 ekvivalentini šaltini metdu, kai = 0; 2; 4; 6; 8; 10 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 2 = f( ) pav. 35

37 R 6 R 3 E 5 R 4 I 4 E 1 Duta: E 1 = 15 V; E 5 = 12 V; = 6 Ω; R 3 = 4 Ω; R 6 = 5 Ω. Rasti: 1. I 4 ekvivalentini šaltini metdu, kai R 4 = 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 4 = f(r 4 ) pav. E 1 R 4 I 5 R 6 E 3 R 5 Duta: E 1 = 10 V; E 3 = 8 V; = 4 Ω; R 4 = 9 Ω; R 6 = 6 Ω. Rasti: 1. I 5 ekvivalentini šaltini metdu, kai R 5 = 0; 5; 10; 15; 20; 25 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 5 = f(r 5 ) pav. I 1 E 4 R 5 R 3 E 1 R 6 Duta: E 2 = 9 V; E 4 = 12 V; R 3 = 2 Ω; R 5 = 4 Ω; R 6 = 6 Ω. Rasti: 1. I 1 ekvivalentini šaltini metdu, kai = 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 1 = f( ) pav. 36

38 I 1 E 4 R 6 R 3 E 5 Duta: E 4 = 16 V; E 5 = 8 V; = 4 Ω; R 3 = 6 Ω; R 6 = 12 Ω. Rasti: 1. I 1 ekvivalentini šaltini metdu, kai = 0; 3; 6; 9, 12, 15 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 1 = f( ) pav. E 5 R 4 R 3 I 3 R 6 E 1 Duta: E 1 = 15 V; E 5 = 12 V; = 6 Ω; R 4 = 3 Ω; R 6 = 5 Ω. Rasti: 1. I 3 ekvivalentini šaltini metdu, kai R 3 = 0; 4; 8; 12; 16; 20 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 3 = f(r 3 ) pav. I 2 R 5 R 6 E 3 R 4 E 1 Duta: E 1 = 15 V; E 3 = 10 V; R 4 = 20 Ω; R 5 = 5 Ω; R 6 = 6 Ω. Rasti: 1. I 2 ekvivalentini šaltini metdu, kai = 0; 2; 4; 6; 8; 10 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 2 = f( ) pav. 37

39 Pavyzdys 1.58 pav. pateikts grandinės E 1 =50 V; E 3 =120 V; =50 Ω; =40 Ω; R 3 =25 Ω; R 5 =30 Ω; R 6 =80 Ω. Rasti: 1. Srvę I 4, keičiant varžs R 4 dydį p 10 Ω nu 0 iki 500 Ω. 2. Nubraižyti priklausmybę I 4 = f(r 4 ). R 3 E 1 E 3 I 4 R 4 R 5 R pav. Pavyzdži grandinė Kai reikia apskaičiuti srvę tik kurije nrs vienje sudėtings grandinės šakje, rekmendujama laikytis tkis darb tvarks: 1. Išskiriama ta šaka, kuris srvė yra skaičiujama, arba js dalis. Kita grandinės dalis laikma aktyviuju dvipliu. 2. Laisvai parenkama ir pažymima ieškmsis srvės kryptis. 3. Aktyvusis dviplis pakeičiamas ekvivalentiniu EV šaltiniu, kuri elektrvara yra E ekv ir varža R i. EV kryptį patgiausia parinkti atsižvelgiant į anksčiau parinktą srvės kryptį. 4. Apskaičiujama ekvivalentini šaltini EV E ekv. Kuriu nrs žinmu grandinių analizės metdu apskaičiujama aktyvij dvipli tuščisis veiks įtampa U 0ab. Tuščisis veiks įtamps kryptis turi atitikti anksčiau parinktą ekvivalentini šaltini EV E ekv kryptį. 5. Apskaičiujama ekvivalentini šaltini varža R i. Iš aktyvij dvipli pašalinami visi šaltiniai, paliekant jų vidines varžas, t. y. 38

40 aktyvus dviplis pakeičiamas pasyviuju, ir apskaičiujama j varža gnybtų a ir b atžvilgiu R ab. 6. Grandinėje, kurije yra ekvivalentinis šaltinis, apskaičiujama srvė Eekv U0 ab I = =. R + R R + R Sprendimas 1. Išjungiame šaką su varža R 4 (1.59 pav.), likusią grandinės dalį laikme aktyviuju dvipliu ir pakeičiame ekvivalentiniu šaltiniu, kuri EV yra E ekv, varža R i (1.60 pav.). Tada srvė I 4 apskaičiujama pagal frmulę: E I4 = ekv. R + R i i 4 ab I 16 E 1 1 I 25 R 3 I 3E E 3 R i I 4 a a U 0ab b R 5 2 E ekv U 0ab R 4 R 6 b 1.59 pav. Grandinė, atjungus šaką su varža R pav. Grandinė, gauta aktyvųjį dviplį pakeitus ekvivalentiniu šaltiniu Ekvivalentini šaltini EV E ekv pagal ekvivalentini šaltini teremą lygi aktyvij dvipli tuščisis veiks įtampai: E ekv = U. 39 0ab Šią įtampą galima apskaičiuti 1.59 pav. grandinėje: U = V V = I R I R. 0ab a b

41 Įtamps skaičiavim frmulėje nežinms srvės I 16 ir I 25. Jas galima rasti bet kuriu žinmu grandinių analizės metdu. Gautji grandinė (1.59 pav.), atjungus šaką su varža R 4, yra sudėtinga, nes jje yra du skirtingse šakse įjungti EV šaltiniai E 1 ir E 3. Šis grandinės srves I 16 ir I 25, pvz., galima apskaičiuti mazgų ptencialų metdu pav. grandinėje yra 2 mazgai (1 ir 2). Prilyginkime nuliui antrj mazg ptencialą V 2 = 0. Tumet lygtis pirmj mazg ptencialui apskaičiuti: V G = J M ; čia pirmj mazg laidis G = 0, 0620 S R1 + R + 6 R2 + R + 5 R = = ; pirmj mazg srvė E E JM = + = + = 4, 42 a. R1 + R6 R Įrašę mazg laidži ir mazg srvės vertes, gauname: J 4, 42 V = M = = 71, 2 V. G 0, 0620 Šakų srvės randams pagal Om dėsnį grandinės daliai: I I 16 3E V V2 + E 71, = = = 0, 933 a ; R + R I V V2 71, 2 0 = = = 1, 02 a; R + R V1 V2 E3 71, = = = 1, 95 a. R 25 Aktyvij dvipli tuščisis veiks įtampa U0ab = I16 R6 I25 R5 = 0, , = 44, 1 V. Ekvivalentini šaltini varžą R ab galima apskaičiuti remiantis grandine, kurią gauname iš dvipli pašalinę visus EV šaltinius ir 40

42 palikę šių šaltinių vidines varžas. Ši schema pateikta 1.61 a pav. Iš schems matyti, kad, nrint rasti varžą R ab, varžų jungimą trikampiu reikia pakeisti varžų jungimu žvaigžde. Keičiame trikampi, R 3 ir R 6 varžas į varžų 6, R 31 ir R 63 žvaigždę. Gautji schema pateikta 1.23 b pav. 1 R 3 1 a b R 6 a R 5 2 a 1 R R 63 R 3 R 6 R 5 2 b b a 6 R 31 0 b R 63 R 5 c 1.61 pav. Varžų, R 3 ir R 6 jungim trikampiu (a, b) pakeitimas varžų 6, R 31 ir R 63 jungimu žvaigžde (c) Žvaigždės varžs randams taip: R1 R R16 = = = 25, 8 Ω ; R + R + R

43 R R R3 R = = = 8, 06 Ω ; R + R + R R6 R = = = 2, 9 Ω. R + R + R Ekvivalentini šaltini varža (1.61, c pav.) i ab ( R31 + R2 ) ( R63 + R5 ) 16 ( R31 + R2 ) + ( R63 + R5 ) ( 8, ) ( 12, ) ( 8, ) + ( 12, ) R = R = R + = Ieškmji srvė I 4 : 25, 8 + = 46, 5 Ω. Eekv 44 1 kai R = 0 Ω, I4 0 = A R R =, ( ) =, ;,... i 4 Eekv 44, 1 kai R = 50 Ω, I4( 50) = 0, 448 a R + R = 48, = ;... i Eekv 44 1 kai R = 500 Ω, I4 500 = 0 08 a R R =, ( ) =,., i 4 Kits srvės I 4 vertės pateikts 1.5 lentelėje. 2. Srvės I 4 priklausmybė nu varžs R 4 pateikta 1.62 pav pav. pateiktas 1.58 pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje, kai R 4 = 10 Ω. 4 42

44 1.5 lentelė. Srvės I 4 vertės, keičiant R 4 dydį p 10 Ω nu 0 iki 500 Ω R4: = 0,10 100, Ώ i4( r4) = R4: = 100, , Ώ R4: = 200, , Ώ r4 := 00, i4( r4) = i4( r4) R4: = 300, , Ώ = i4( r4) R4: = 400, , Ώ = i4( r4) = r4 := 0, i4( r4) pav. Srvės I 4 priklausmybė keičiant varžs R 4 dydį p 10 Ω nu 0 iki 500 Ω 43 r4

45 R1 E1 R3 50 Ohm 50 V 25 Ohm R2 40 Ohm R4 10 Ohm A4A A DC 1e-009Ohm R5 30 Ohm R6 80 Ohm 1.63 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje, kai R 4 = 10 Ω E3 120 V 44

46 2. VIENFAZIŲ KINTAMOSIOS SROVĖS GRANDINIŲ ANALIZĖ 2.1. Paprastų kintamsis srvės grandinių analizė Nuseklis R, L, C grandinės analizė Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Z 1 ; Z 2 ; Z; ϕ; u; u 1 ; u Nubraižyti srvių ir įtampų vektrių diagramą, pardant visų elementų įtampas. 3. Nubraižyti u(t) ir i(t) grafikus. 4. Patikrinti galių balansą. 5. Apskaičiuti, kks turėtų būti L 1 arba L 2, kad grandinėje būtų įtampų reznansas. u 1 u i C 1 u R1 u C1 u R2 u L2 L 2 Duta: i = 2,828 sin(ωt 30 ) A; = 10 Ω; C 1 = 318 µf; = 5 Ω; L 2 = 95,5 mh; f = 50 Hz. u pav. u 1 u i L 1 C 1 u R1 u L1 u C1 u R2 u 2 Duta: i = 4,243 sin(ωt + 45 ) A; = 2 Ω; L 1 = 38,22 mh; C 1 = 354 µf; = 2 Ω; f = 50 Hz. 2.2 pav. 45

47 u 1 u i L 1 u L1 u R2 u L2 u C2 L 2 u 2 C 2 Duta: i = 11,31 sin(ωt 60 ) A; L 1 = 31,85 mh; = 4 Ω; L 2 = 25,48 mh; C 2 = 212 µf; f = 50 Hz. 2.3 pav. u 1 u i L 1 C 1 u R1 u L1 u C1 u C2 C 2 u 2 Duta: i = 9,9 sin(ωt + 30 ) A; = 6 Ω; L 1 = 31,85 mh; C 1 = 796 µf; C 2 = 227 µf; f = 50 Hz. 2.4 pav. u 1 u i L 1 u R1 u L1 u R2 u C2 C 2 Duta: i = 5,66 sin(ωt + 60 ) A; = 3 Ω; L 1 = 31,85 mh; = 5 Ω; C 2 = 199 µf; f = 50 Hz. u pav. 46

48 u 1 u i u R1 u R2 u L2 u C2 L 2 u 2 C 2 Duta: i = 7,071 sin(ωt 45 ) A; = 4 Ω; = 2 Ω; L 2 = 31,86 mh; C 2 = 176,8 µf; f = 50 Hz. 2.6 pav. u 1 u i L 1 C 1 u R1 u L1 u C1 u L2 L 2 u 2 Duta: i = 8,485 sin(ωt + 30 )A; = 20 Ω; L 1 = 63,69 mh; C 1 = 318 µf; L 2 = 15,92 mh; f = 50 Hz. 2.7 pav. u 1 u i C 1 u C1 u R2 u L2 u C2 L 2 u 2 C 2 Duta: i = 12,73 sin(ωt 60 ) A; C 1 = 637 µf; = 6 Ω; L 2 = 79,62 mh; C 2 = 265 µf; f = 50 Hz. 2.8 pav. 47

49 Pavyzdys u 1 i L 1 C 1 u R1 u L1 u C1 u u R2 u L2 u C2 L 2 C 2 u pav. Pavyzdži grandinė Duta: u = 141,4 sin(ωt 30 ) V; f = 50 Hz; = 80 Ω; L 1 = 318 mh; C 1 = 79,5 μf; = 120 Ω; L 2 = 64 mh; C 1 = 39,8 μf. Rasti: 1. Z 1 ; Z 2 ; Z; ϕ; i; u 1 ; u Nubraižyti srvių ir įtampų vektrių diagramą, pardant visų elementų įtampas. 3. Nubraižyti u(t) ir i(t) grafikus. 4. Patikrinti galių balansą. 5. Apskaičiuti, kks turėtų būti L 1 arba L 2, kad grandinėje būtų įtampų reznansas. Sprendimas 1. Kampinis dažnis ω = 2π f = 2 3,14 50 = 314s. Pirmj imtuv varžs: induktyviji 3 X L = ω L = = 100 Ω ; 48

50 talpinė kmpleksinė = = = 40 Ω ; X C ωc , ( L C) 80 (100 40) j Z = R + j X X = + j = + j = e Ω. Antrj imtuv varžs: induktyviji talpinė kmpleksinė 49 3 X L2 = ω L2 = = 20 Ω ; = = = 80 Ω ; X C 2 ωc ,8 10 j27 Z R2 j X L2 XC2 j j e 2 = + ( ) = (20 80) = = 134 Ω. Imtuvai sujungti nusekliai, tdėl viss grandinės kmpleksinė varža lygi abiejų imtuvų kmpleksinių varžų sumai: Z = Z + Z 2 = 80 + j j60 = j0 = 200e j0 Ω. Prijungts įtamps efektinės vertės kmpleksas rdikline ir algebrine frmmis: U m jψ 141,4 u j30 j30 U = e = e = 100e = 86,6 j50 V. 2 2 Įtamps efektinė vertė U 141,4 U = m = = 00 V. 2 2 Srvės kmpleksinė efektinė vertė apskaičiujama pagal Om dėsnį: j30 U 00e j30 I = = = 0,5e = 0,433 j0,25 a. Z j0 200e Grandinės įtamps ir srvės fazių skirtumas Pirmj imtuv įtampa ϕ = ψ ψ = 30 ( 30) = 0. u i

51 j30 j37 j7 0, ,6 5,9 V U = I Z = e e = e = + j. Antrj imtuv įtampa j30 j27 j , ,9 V U = I Z = e e = e = j. Patikrinimas pagal II Kirchhf dėsnį: j30 U U U j j j e = + 2 = 49,6 + 5, ,9 = 86,6 50 = 100 V. Srvės i ir imtuv įtampų u 1, u 2 akimirkinės vertės: i = I sin( ωt ψ ) = 0,5 2 sin(314 t 30 ) = m 0,707 sin(314 t 30 ) a; m u i u = U sin( ωt ψ ) = 50 2 sin(314 t+7 ) = 70,7 sin(314 t+7 ) V; 2 2m u2 u = U sin( ωt ψ ) = 67 2 sin(314t 57 ) = 94,8 sin(314t 57 ) V. 2. Srvės ir įtampų vektrių diagrams braižymas. Atskirų elementų įtampų kritimų kmpleksai: pirmj imtuv j30 j30 U R = I R = 0,5e 80 = 40e = 35 j20 V ; j30 j60 U L = I jx L = 0,5e j100 = 50e = 25 + j43 V ; j ( ) ( ) j120 C C 0, ,3 V U = I jx = e j = e = j ; antrj imtuv j30 j30 U R2 = I R2 = 0,5e 120 = 60e = 52 j30 V ; j30 j60 U L2 = I jx L2 = 0,5e j20 = 10e = 5 + j8,7 V ; j30 j120 U C2 = I ( jxc2 ) = 0,5e ( j80) = 40e = 20 j35 V. Vektrių diagramą galima braižyti dviem būdais: a. Stačiakampėje krdinačių sistemje laik mmentu t = 0 visi vektriai atidedami nu abscisių ašies kampais, lygiais jus atitinkanči sinusini dydži pradinei fazei (2.10 pav.).

52 b. Jei dydžių akimirkinės vertės nedmina, vektrių diagramje visi vektriai atidedami vien kuri nrs pasirinkt pagrindini vektriaus atžvilgiu (krdinačių ašių galima net nevaizduti). Šiu atveju vertinams ne sinusinių dydžių pradinės fazės, jų fazių skirtumai (2.11 pav.). Nuseklaus elementų jungim atveju pagrindiniu vektriumi reikia rinktis srvės vektrių. U C1 20 V U 1 U L1 0,1 A U R2 U R1 U L2 U U 2 U C2 I 2.10 pav. Vektrių diagrama stačiakampėje krdinačių sistemje 20 V U C1 U L1 U R2 U L2 0,1 A U 1 U R1 U U 2 U C pav. Vektrių diagrama, kai pagrindiniu vektriumi pasirinktas srvės vektrius 51 I

53 3. Srvės ir įtamps akimirkinių verčių išraišks: i = 0,707 sin(314t 30 ) A; u = 141,4 sin(314t 30 ) V. Jų grafikai pateikti 2.12 pav. 150 V ,5 A 1 u(t) i(t) u(t) 50 u( t) 0 i( t) ,5 0 0,5 0.5 i(t) , t, s t 2.12 pav. Srvės ir įtamps akimirkinių verčių grafikai 4. Galių skaičiavimas: pirmj imtuv aktyviji galia 2 2 PR = I R = 0,5 80 = 20 W ; pirmj imtuv reaktyviji galia 2 2 Q = I ( X L XC) = 0,5 ( ) = 15 var ; antrj imtuv aktyviji galia 2 2 PR2 = I R2 = 0,5 120 = 30 W ; antrj imtuv reaktyviji galia 2 2 Q2 = I ( X L2 XC2 ) = 0,5 ( 20 80) = 15 var ; visa grandinės imtuvų aktyviji galia PR = PR + PR 2 = = 50 W ; visa grandinės imtuvų reaktyviji galia QLC = Q + Q2 = = 0var. Imtuvų kmpleksinė galia: pirmj 52

54 2 2 ( ) S Z = I Z = 0, j60 = 20 + j15v a ; antrj ( ) S Z 2 = I Z = 0,5 120 j60 = 30 j15v a. Abiejų grandinės imtuvų kmpleksinė galia S Z = S Z + S Z 2 = 20 + j j15 = 50 V a. Šaltini aktyviji galia PE = UI csϕ = 100 0,5 cs 0 = 50 W ; šaltini reaktyviji galia QE = UI sin ϕ = 100 0,5 sin 0 = 0 var ; šaltini kmpleksinė galia S E = U I ; čia I srvės jungtinis kmpleksas. j30 Jei srvės kmpleksas I = 0,5e = 0,433 j0,25 a, tai jungtinis kmpleksas skiriasi menamsis dalies, kartu ir srvės j30 argument ženklu I = 0,5e = 0,433 + j0,25 a. Taigi šaltini kmpleksinė galia j30 j30 S E = U I = 100e 0,5e = 50 V a. 5. Grandinėje vyksta įtampų reznansas, nes įtampa ir srvė sutampa fazėmis. Įtampų reznans sąlyga X L = XC ; ω L =. Reznansinis induktyvumas ω C XC Lrez = =. 2 ω C ω Atsakymas: Z 1 = 80 + j60 = 100e j37 Ω; Z 2 = 120 j60 = 134e j27 Ω; Z = 200e j0 Ω; ϕ = 53 ; i = 0,707 sin(314t 30 ) A; u 1 = 70,7 sin(314t+7 ) V; u 2 = 94,8 sin(314t 57 ) V; P R = P E = 50 W; Q LC = Q E = 0 var; S Z = S E = 50e j0 V A pav. pateiktas pavyzdži grandinės mdelis Multisim aplinkje. 53

55 V + - A A AC 1e-009Ohm E R1 80 Ohm L1 318mH AC 1MOhm 100 V 50 Hz -30Deg R2 L2 120 Ohm 64mH V V AC 1MOhm 2.13 pav. 2.9 pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje C1 79uF C2 39uF 54

56 Lygiagrečis R, L, C grandinės analizė Rasti 2.14 pav. pateikts grandinės: 1. I 1 ; I 2 ; I 3 ; I; ϕ. 2. i 1 ; i 2 ; i 3 ; i. 3. P, Q, S. 4. Nubraižyti vektrių diagramą, pardant visus vektrius ir fazių skirtumą pav. pateikts grandinės elementų parametrai nurdyti 2.1 lentelėje. i u i i R L i C 2.14 pav. Skaičiavimų grandinė 2.1 lentelė pav. grandinės elementų parametrai Var. Nr. u, V R, Ω X L, Ω X C, Ω 1 33,94 sin(314t + 20 ) ,4 sin(314t 60 ) ,8 sin(314t + 30 ) ,7 sin(314t 45 ) ,71 sin(314t + 60 ) ,91 sin(314t 25 ) ,1 sin(314t + 45 ) ,43 sin(314t 30 ) pavyzdys 2.14 pav. grandinės u = 141,4 sin314t V; R = 40 Ω; X L = 50 Ω; X C = 20 Ω. Rasti: 1. Grandinės šakų srves, fazių skirtumą. 2. Patikrinti galių balansą. 3. Nubraižyti vektrių diagramą. 55

57 Sprendimas Šaltini gnybtų įtamps kmpleksinė efektinė vertė (laik mmentu t = 0): U m jψ 141,4 u j0 j0 U = e = e = 00 e V. 2 2 R, L, C elementai yra sujungti lygiagrečiai, t. y. prie ts pačis įtamps u. Tdėl šakų srvių kmpleksinės efektinės vertės skaičiujams pagal Om dėsnį grandinės daliai: j0 U 00e j0 I = = = 2,5e = 2,5 a ; Z 40 j0 j0 U 00e 00e j90 I = = = = 2e = j2 A ; 2 Z 90 2 j50 j 50e j0 j0 U 00e 00e j90 I = = = = 5e = j5 a. 3 Z 90 3 j20 j 20e Srvės I 1 efektinės vertės mdulis I 1 = 2,5 A; srvės argumentas, kartu ir srvės akimirkinės vertės pradinė fazė ψ i1 = 0 ; antrs šaks srvės I 2 = 2 A, ψ i2 = 90 ; trečis šaks srvės I 3 = 5 A, ψ i3 = 90. Srvių amplitudės: I m I = 2 I = 2 2,5 = 3,54 a ; = 2 I = 2 2 = 2,83 a ; 2m 2 I = 2 I = 2 5 = 7,07 a. 3m 3 Srvių akimirkinės vertės: i = I sin( ω t + ψ ) = 3,54sin 314 t a ; m i i = I sin( ω t + ψ ) = 2,83sin(314t 90 ) a ; 2 2m i2 i3 = I3m sin( ω t + ψ i3) = 7, 07sin(314t + 90 ) a. Įėjim srvės kmpleksinė efektinė vertė (I Kirchhf dėsnis) 56 j50 I = I1 + I 2 + I 3 = 2,5 j2 + j5 = 2,5 + j3 = 3,91 e a. Srvės I efektinės vertės mdulis I = 3,91 A; srvės argumentas, kartu ir srvės akimirkinės vertės pradinė fazė ψ i = 50 ; amplitudė I = 2 I = 2 3,91 = 5,53 a. Akimirkinė vertė m

58 i = I sin( ω t + ψ ) = 5,53sin(314t + 50 ) a. m i Jei reikia apskaičiuti tik įėjim srvės efektinės vertės kmpleksą I, tai jį galima apskaičiuti pagal Om dėsnį lygiagrečiai grandinei iš pradžių apskaičiavus grandinės atstjamąjį kmpleksinį laidį Y = Y1 + Y 2 + Y 3 = + + = 0,025 j0,02 + j0,05 = 40 j50 j20 j50 0, 25 + j0,03 = 0,0391e S. Srvės kmpleksas 57 j50 j50 I = U Y = 100 0, 0391e = 3,91e a. Grandinės įtamps ir srvės fazių skirtumas ϕ = ψu ψ i = 0 50 = Galių skaičiavimas: imtuv aktyviji galia 2 2 PR = I R = 2,5 40 = 250 W ; šaltini aktyviji galia PE = UI csϕ = 100 3,91 cs( 50 ) = 250 W ; imtuvų reaktyviji galia LC L C Q = I2 X I3 X = = 300 var ; šaltini reaktyviji galia QE = UI sin ϕ = 100 3,91 sin( 50 ) = 300 var ; imtuvų kmpleksinė galia Z Z1 Z 2 Z S = S + S + S = I Z + I Z + I Z = ( ) j50 2, j j20 = 250 j300 = 391e V a; šaltini kmpleksinė galia * j50 j50 S E = U I = 100 3,91e = 391e = 250 j300 V a. Taigi gaunamas galių balansas S Z = S E ; PR = PE ; QLC = QE. 3. Srvių ir įtamps vektrių diagrama pateikta 2.15 pav. Pirmiausia atidedamas įtamps vektrius U. P t jam lygiagre-

59 čiai atidedamas srvės I 1 vektrius, nes aktyvijje varžje įtampa ir srvė fazėmis sutampa. Srvės I 2 vektrius atidedamas žemyn nu įtamps vektriaus, nes induktyvijje varžje įtampa pralenkia srvę kampu π/2 (arba srvė atsilieka nu įtamps kampu π/2). Srvės I 3 vektrius atidedamas aukštyn, nes talpinėje varžje srvė pralenkia įtampą kampu π/2. Suminis srvės I vektrius gaunamas sujungus pirms srvės vektriaus I 1 pradžią su treči vektriaus I 3 viršūne. Fazių skirtum kampas ϕ atidedamas nu srvės link įtamps vektriaus. I I 3 5 V 0,1 A ϕ I 1 U I pav pav. grandinės srvių ir įtamps vektrių diagrama Atsakymas: 1. I 1 = 2,5e j0 A; I 2 = j2 = 2e j90 A; I 3 = j5 = 5e j90 A; I = 2,5 + j3 = 3,91e j50 A; ϕ = P R = P E = 250 W; Q LC = Q E = 300 var; S Z = S E = 250 j300 = 250e j0 V A pav. grandinės L = 120 mh; C = 39,8 μf. 2 pavyzdys u = 28, 28sin(314t + 15 ) V ; R = 16 Ω; 58

60 Rasti: 1. Šakų srves. 2. Prietaisų rdmenis. 3. Patikrinti galių balansą. 4. Kkią talpą C rez reikėtų jungti, kad grandinėje įvyktų srvių reznansas? 5. Nubraižyti vektrių diagramą pav. Antr pavyzdži grandinė Sprendimas 1. Grandinės šakų srvių skaičiavimas. Įtamps kmpleksinė efektinė vertė U m jψ 28,28 u j15 j15 U = e = e = 20e = 19,3 + j5,18 V. 2 2 Lygiagrečių šakų kmpleksinės varžs 3 67 Z R j L 16 j j37,7 41e j = + ω = + = + = Ω ; j90 Z 2 = j = j = j80 = 80e Ω. ωc ,8 10 Lygiagrečių šakų srvės j15 U 20e j52 I = = = 0, 488e = 0,301 j0,385 a ; Z j67 41e 59

61 j15 U 20e j105 I = = = 0,25e = 0,065 + j0,242 a. 2 Z j e Įėjim srvės kmpleksinė efektinė vertė pagal I Kirchhf dėsnį I = I + I = 0,301 j0, ,065 + j0, 242 = 2 60 ( ) 0, 236 j0,143 = 0, 276e a. Srvę I galima rasti ir pagal Om dėsnį, prieš tai apskaičiavus grandinės atstjamąją kmpleksinę varžą 2 j67 j90 Z Z 2 41e 80e j46 Z2 = = = 72,5e = 50,1+ j52, 4 Ω; Z + Z 16 + j37,7 + j80 j15 ( ) U 20e j31 I = = = 0, 276e = 0, 236 j0,143 a. Z j ,5e 2. Srvės ir įtamps matavim prietaisai yra sugraduti efektinėmis vertėmis. Jie rd efektinių verčių mdulių vertes. Pirmj ampermetr rdmenys I 1 = 0,488 A; antrj I 2 = 0,25 A; grandinės įėjime įjungt ampermetr I = 0,276 A. Vatmetr rdmenis galima apskaičiuti pagal frmulę: P j 31 ( ) = U I cs ψ ψ = 20 0, 276 cs(15 ( 31 )) = 3,82 W. 3. Galių balans tikrinimas. Imtuvų aktyviji galia 2 2 PR = I R = 0, = 3,82 W ; imtuvų reaktyviji galia QLC = I X L I2 XC = 0, , 7 0, = 3,99 var. Imtuvų kmpleksinė galia j67 2 j90 S = I Z + I Z = 0, e + 0, 25 80e = W u i Z 2 2 j46 3,82 + j3,99 = 5,52e V a. Šaltini aktyviji galia PE = UI csϕ = 20 0, 276 cs 46 = 3,82 W ; šaltini reaktyviji galia = UI sin ϕ = 20 0, 488 sin 46 = 3,99 var ; QE

62 šaltini kmpleksinė galia S E = U I ; čia I srvės jungtinis kmpleksas. j31 Jei srvės kmpleksas I = 0, 276e = 0, 236 j0,143 a, tai jungtinis kmpleksas skiriasi menamsis dalies, kartu ir srvės argument ženklu j31 I = 0, 276e = 0, j0,143 a. Taigi šaltini kmpleksinė galia j15 j31 j46 S = U I = 20e 0, 276e = 5,52e = 3,82 + j3,99 V a. E Gavme, kad imtuvų ir šaltini galis yra viends, galių balansas tenkinamas. 4. Reznansinės talps C rez skaičiavimas. Lygiagrečije grandinėje vykstantis srvių reznansas yra tks reiškinys, kai įėjim įtamps ir srvės pradinės fazės sutampa. Srvių reznans sąlyga B L = B C, čia B L induktyvusis laidis, B C ωl talpinis laidis. Šie laidžiai BL = ; B 2 C = ωc = ω C. Įrašius šias 2 Z Z2 išraiškas į srvių reznans sąlygą ir išreiškus reznansinę talpą L 0,12 Crez = = = 71,6 μf. 2 2 Z1 41 Tada j90 Z 2rez = j = j = j44,5ω = 44,5e Ω. ωc 6 rez ,6 10 Pirmje šakje niek nekeičiame, js varža ir srvė išlieka ta pati, antrs šaks srvė reznans metu j15 U 20e j105 I = = = 0,45e = 0,116 + j0,434 a. 2rez Z j90 2rez 44,5e Įėjim srvės kmpleksas pagal I Kirchhf dėsnį 61

63 2rez j15 ( ) I = I + I = 0,301 j0, ,116 + j0, 434 = rez 0,84 + j0,05 = 0,191e a. Taigi, įėjim srvės pradinė fazė irgi 15, kaip ir įtamps. 5. Vektrių diagrams braižymas. Pirmiausia atidedamas įtamps vektrius U (2.17 pav.). P t atidedami lygiagrečių šakų srvių vektriai I 1 ir I 2. Sudėjus šius vektrius gaunamas srvės I vektrius. Fazių skirtum kampas atskaitmas nu srvės link įtamps vektriaus. Jis yra teigiamas (gaunamas prieš laikrdži rdyklę) ϕ = ψ ψ = 15 ( 31 ) = 46. u i I 2 U 5 V 0,1 A ϕ I I 2 I pav pav. grandinės srvių ir įtamps vektrių diagrama Atsakymas: 1. I 1 = 0,488e j52 = 0,301 j0,385 A; I 2 = 0,25e j105 = 0,065 + j0,242 A; I = 0,276e j31 = 0,236 j0,143 A; 2. I 1 = 0,488 A; I 2 = 0,25 A; I = 0,276 A; P W = 3,82 W. 3. P R = P E = 3,82 W; Q LC = Q E = 3,99 var; S Z = S E = 3,82 + j3,99 = 5,52e j46 V A. 4. C rez = 71,6 µf pav. pateiktas 1 pavyzdži grandinės (2.14 pav.) mdelis, 2.19 pav. 2 pavyzdži (2.16 pav.) mdelis Multisim aplinkje. 62

64 E 100 V 50 Hz 0Deg A A AC 1e-009Ohm R 40 Ohm L mH A A2 AC 1e-009Ohm A A1 AC 1e-009Ohm 2.18 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje + - C uF A A3 AC 1e-009Ohm 63

65 XWM1 A A V I AC 1e-009Ohm E 20 V 50 Hz 45Deg R 16 Ohm L 120mH + - C 39.8uF A A A1 AC 1e-009Ohm 2.19 pav pav. grandinės mdelis Multisim aplinkje A2 AC 1e-009Ohm 64

66 2.2. Sudėtingų kintamsis srvės grandinių analizė Rasti pav. pateiktų grandinių: 1. Šakų srvių kmpleksus. 2. Ampermetrų rdmenis. 3. Vltmetr rdmenis. 4. Patikrinti galių balansą. A2 E 2 E 1 E 1 V L 3 C 1 A1 L 2 R 3 C pav. L 1 C 1 V C 2 E 2 E 3 R 3 L 3 Duta: C 1 = 132,5 µf; = 50 Ω; L 2 = 21,2 mh; R 3 = 20 Ω; L 3 = 50 mh; C 3 = 80,3 µf; f = 60 Hz; e 1 = 82,5 sin(ωt 59 ) V; e 2 = 63,2 sin(ωt + 27 ) V. Duta: = 100 Ω; L 1 = 136,5 mh; C 1 = 94,6 µf; C 2 = 32,5 µf; R 3 = 120 Ω; L 3 = 54,6 mh; f = 70 Hz; e 1 = 167,5 sin(ωt 32 ) V; e 2 = 213,2 sin(ωt + 42 ) V; e 3 = 141,4 sin(ωt + 90 ) V pav. 65

67 A2 C 1 E 2 L 1 V C 2 E 3 L 3 A pav. E 1 L 1 V E C 2 2 L 3 R 3 C 3 E pav. C 1 A1 L 2 V E C 2 2 E 3 R 3 L pav. Duta: = 150 Ω; L 1 = 248,7 mh; C 1 = 79,6 µf; = 100 Ω; C 2 = 39,8 µf; L 3 = 139,25 mh; f = 80 Hz; e 2 = 339 sin(ωt + 45 ) V; e 3 = 282,8 sin(ωt 90 ) V. Duta: = 40 Ω; L 1 = 49,6 mh; = 25 Ω; C 2 = 35,4 µf; R 3 = 50 Ω; L 3 = 24,8 mh; C 3 = 55,2 µf; f = 90 Hz; e 1 = 116 sin(ωt 41 ) V; e 2 = 70,7 sin(ωt + 37 ) V. Duta: = 200 Ω; C 1 = 15,9 µf; L 2 = 47,9 mh; C 2 = 31,8 µf; R 3 = 100 Ω; L 3 = 95,5 mh; f = 100 Hz; e 1 = 141,4 sin(ωt 45 ) V; e 2 = 169,7 sinωt V; e 3 = 141,4 sin(ωt + 37 ) V. 66

68 E 1 L 2 E 3 V A pav. C 3 L 1 L 1 C 1 L 2 E 2 V A2 C 2 E 3 R 3 C 3 Duta: = 50 Ω; L 1 = 52,1 mh; = 20 Ω; L 2 = 34,7 mh; C 2 = 30 µf; C 3 = 90,2 µf; f = 110 Hz; e 1 = 100 sin(ωt + 45 ) V; e 3 = 63,2 sin(ωt 63 ) V. Duta: = 60 Ω; L 1 = 145,5 mh; C 1 = 44,6 µf; L 2 = 79,6 mh; R 3 = 90 Ω; C 3 = 11,05 µf; f = 120 Hz; e 2 = 158,1 sin(ωt + 27 ) V; e 3 = 282,8 sin(ωt 53 ) V. L 2 E pav. V C 3 R pav. C 1 A1 C 2 E 3 Duta: C 1 = 15,3 µf; = 32 Ω; L 2 = 52,6 mh; C 2 = 64,6 µf; R 3 = 50 Ω; C 3 = 30,6 µf; f = 130 Hz; e 1 = 212,1 sin(ωt 53 ) V; e 3 = 212,1 sinωt V. 67

69 Pavyzdys 2.28 pav. pateikts grandinės e 1 = 28,3 sin(314t) V; e 3 = 45,3 sin(314t) V; = 16 Ω; L 1 = 120 mh; C 1 = 100 µf; = 20 Ω; C 2 = 80 µf; R 3 = 10 Ω, f = 50 Hz. Rasti: 1. Šakų srvių kmpleksus. 2. Ampermetrų rdmenis. 3. Vltmetr rdmenis. 4. Patikrinti galių balansą. E 1 L 1 C 1 A1 A2 V C 2 A3 E 3 R pav. Pavyzdži grandinė Sprendimas 1. Kampinis dažnis ω = 2π f = 2 3,14 50 = 314 s. Grandinės šakų varžų kmpleksai: 3 Z = R + j ωl = 16 + j C 6 = ω j j5,87 = 17 e Ω; Z 2 = R2 + j = 20 + j c 6 = ω j j 39, 8 =44,5 e Ω; j0 Z = R = = e Ω.

70 Elektrvars šaltinių efektinių verčių kmpleksai: E m j ψ 28, 3 e j 0 j 0 E = e = e = 20e = 20 V; 2 2 E 3m j ψ 45, 3 e3 j 0 j 0 E3 = e = e = 32e = 32 V. 2 2 Grandinė yra sudėtinga, tdėl laisvai parenkams ir pažymims grandinės šakų srvių I, I 2 bei I 3 kryptys (2.29 pav.). Grandinėje yra du mazgai (m = 2) ir trys šaks (S = 3). E 1 L 1 C I 1 a 1 b 2 1 I II I 2 C 2 E 3 I 3 R pav. Grandinės skaičiavimas Kirchhf lygčių metdu su pažymėtmis šakų srvių kryptimis ir kntūrų apėjim kryptimis Šakų srves tkije grandinėje galima skaičiuti Kirchhf lygčių metdu, kntūrų srvių metdu arba mazgų ptencialų metdu. a. Kirchhf lygčių metdas. Grandinėje yra trys nežinms srvės, tdėl šiu metdu reikia sudaryti ir spręsti trijų lygčių sistemą: viena lygtis pagal I Kirchhf dėsnį, nes, jei grandinėje yra 2 mazgai, tai nepriklausmų lygčių m = 2 =, likusis dvi nepriklausmiems kntūrams (I ir II). Taigi gaunama tkia lygčių sistema: I1 I 2 + I 3 = 0; IZ + I 2 Z 2 = E; I 2 Z 2 + I 3 Z 3 = E3. 69