Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.

Transcript

1 Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius

2 Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą judėjią sukėlusių priežasčių, tai dinaika tiria priežastis (kūnų sąveiką), kurios leia judėjią. Dinaikos pagrindą sudaro trys Niutono dėsniai, kurių esę suforulavo Niutonas 687. Niutono dėsniai (kaip, beje, ir visi kiti fizikos dėsniai) atsirado, apibendrinus daugybę eksperiento faktų. Jų teisinguą įrodo (nors ir daugybės, bet vis dėlto riboto skaičiaus reiškinių) eksperientiškai patvirtintos pasekės, kurios išplaukia iš šių dėsnių. Jau buvo inėta, kad Niutono echanika per dviejų šitų etų istoriją pasiekė ilžiniškų laiėjių, todėl jau buvo laikoa, kad šie dėsniai turi paaiškinti bet kurį fizikinį reiškinį. Tačiau okslo vystyasis ir naujų faktų atskleidias pakoregavo šią išvadą. Čia vėlgi tektų prisiinti didelių greičių echaniką (reliatyvistinę echaniką) ir ikropasaulio echaniką (kvantinę echaniką). Vis dėlto šie naujieji pasiekiai nenubraukė klasikinės echanikos reikšės, bet pakoregavo tik jos taikyo ribas. Pirasis Niutono dėsnis Jis teigia: bet koks kūnas yra rities būsenoje arba juda tolygiai tiese, kol nėra pašalinio kitų kūnų poveikio, keičiančio šią būseną. Abie atvejais (rities arba tolyginio tiesiaeigio judėjio būsena) pagreitis lygus nuliui. Todėl šį dėsnį galia suforuluoti ir taip: bet kokio kūno greitis nekinta (atskiru atveju jis gali būti lygus ), kol išoriniai kūnai sąveikaudai jo nepakeičia. Čia atsiranda svarbi inercinės sisteos sąvoka. Iš tikrųjų net intiniu eksperientu galia įsitikinti, kad pirasis Niutono dėsnis galioja ne visose sisteose. Pvz., turie dvi sisteas, kurių viena nejudaa, o kita pirosios atžvilgiu juda su pagreičiu. Jei kūnas vienos iš tų sisteų atžvilgiu nejuda, tai kitos atžvilgiu jis, akivaizdu, judės su pagreičiu. Tai prieštaravias piraja Niutono dėsniui, nes jis negali būti tenkinaas abiejose sisteose. Sistea, kurioje galioja pirasis Niutono dėsnis, vadinaa inercine sistea. Pirasis Niutono dėsnis dar vadinaas inercijos dėsniu. Sisteos, kuriose šis dėsnis negalioja, vadinaos neinercinėis sisteois. Ar Žeės atskaitos sistea yra inercinė? Bandyų būdu patikrinta, kad Saulės atskaitos sistea yra inercinė. Tai heliocentrinė atskaitos sistea. Masė ir kūno judesio kiekis (ipulsas) Veikiant kities kūnas, duotasis kūnas pradeda judėti su pagreičiu. Esant vienoda poveikiui, įvairūs kūnai įgyja skirtingą pagreitį. Bet kuris kūnas priešinasi išorės poveikiui. Ši kūno savybė vadinbaa inertiškuu. Inertiškuo atas kūno asė.

3 Dinaikoje įvedaa svarbi uždarosios sisteos sąvoka. Tai nagrinėjaų kūnų sistea, kurioje sąveikauja tik šie nagrinėjai kūnai, o išorinio poveikio (sąveikos su išoriniais kūnais) nėra. Praktiškai tai sąlyginė sistea, bet dažnai šį odelį galia taikyti gana dideliu tiksluu. Pvz., dvie sąveikaujančio tik tarpusavyje dalelės (dviejų dalelių uždaroji sistea) galioja eksperiente patikrintas faktas Δv Δ v ir Δ v turi priešingus ženklus, o. Δv Arba Δv Δv. (-) Jei dalelių asė nekinta, Δ ( v ) Δ( v ) Įvedaa judesio kiekio (ipulso) sąvoka. Jusesio kiekis (ipulsas) apibūdinaas kaip dydis p v (-) Bendru atveju uždarajai sisteai iš i dalelių sisteos (pvz., kietasis kūnas) visas ipulsas v ivi. (-) i Dabar dvies dalelės lygtį su v pokyčiais galia perrašyti p p + p Const. (-4) Taigi, pilnutinis uždarosios sisteos iš dviejų sąveikaujančių dalelių ipulsas išlieka pastovus. Tai ipulso (judesio kiekio) tverės dėsnis. Antrasis Niutono dėsnis Įprastinė antrojo Niutono dėsnio fora a (-5) Čia kūną veikianti atstojaoji jėga, kūno asė, a pagreitis, kuriuo juda asės kūnaas, veikiaas jėgos. Dažnai naudojaa ir kita šio dėsnio fora, kuri iš esės yra ta pati, bet operuojaa jusesio kiekio (ipulso) pokyčiu. Judesio kiekio kitio greitis lygus veikiančiai tą kūną jėgai, t.y. Δp Δt (-6)

4 4 Perėję prie ribos, kai Δt, gaunae diferencialinę forą: dp dt (-7) Tai kūno judėjio lygtis (antrasis Niutono dėsnis). Priėę (nereliatyvistiniu atveju), kad asė pastovi, gautue a Kaip atyti, tai kita antrojo Niutono dėsnio foruluotė: kūno asės ir jo pagreičio sandauga lygi veikiančiai tą kūną jėgai. Čia reikėtų atkreipti dėesį, kad šioje forulėje pakankaai suprantaai ir griežtai apibrėžtas pagreitis, bet tiek asė, tiek jėga galėtų būti nusakoi būtent iš šio antrojo Niutono dėsnio. Tai lyg ir tautologijos atvejis. (Tautologija - tai apibrėžio arba įrodyo loginė klaida apibrėžiaoji sąvoka apibrėžiaa ta pačia sąvoka, tezė įrodinėjaa reiantis ta pačia teze). Išeitų, kad asė gali būti apibrėžta per jėgą, o jėga per asę. Siekdai išeiti iš šio užburto rato, pritaikykie šį dėsnį asės etalonui, o po to jau galie lyginti kitas ases. Baigtinias pokyčias reikėtų suuoti jėgos ipulsus, t.y. skaičiuoti integralą: t p p dt. (-8) t Atskiru atveju, kai Const, p p dt ( t t), (-9) t t t.y. judesio kiekio pokytis per baigtinį laiko tarpą yra lygus jėgos ipulsui per laiko tarpą. 4

5 5 Pavyzdys askite visų sviedinį veikiančių jėgų atstojaosios ipulsą per laiką, kol sviedinys iš pradinės padėties O pasiekė aukščiausią tašką A. v 5 / s, α 6, v / s, kg. y A v v α Sprendias Visų veikiančių kūną jėgų ipulsas per laiko tarpą tarp A ir O yra judesio kiekio pokytis per tą patį laiko tarpą, t.y. p A po v v. Brėžinyje galie pereiti prie judesio kiekio, kurį gautue tiesiog padauginę greitį kaip vektorių ir kūno asės. Judesio kiekio pokytis pavaizduotas kaip vektorių skirtuas ( v ). v y A v v (v v ) α v 5

6 6 Veikiančių kūną jėgų ipulso per inėtą laiko tarpą odulį galie surasti per projekcijas. Jei pažyėtue S v v ), tai Taigi, S v v cos ), ( α S y v sinα. ( S S 4, 6 + S 4 y kg / s v + v v v cosα + 5 5, 5 Trečiasis Niutono dėsnis Jis skaba taip: Jėgos, kuriois veikia vienas kitą sąveikaujantys kūnai, yra lygios ir priešingų krypčių. (-) Klausias: Jei arklys traukia vežią jėga, tai ir vežias traukia arklį tokia pat jėga, bet priešingos krypties. Kodėl tuoet vežias pajuda? Jėgos ir jų rūšys bei klasifikacija Šiuokaikinėje fizikoje skiriaos keturios fundaentalių sąveikų (jėgų) rūšys: ) Gravitacijos (sąveika, atsirandanti dėl visuotinės traukos) ) Elektroagnetinė (vyksta per elektrinius ir agnetinius laukus) ) Striprioji branduolinė (laiko daleles branduolyje) 4) Silpnoji branduolinė (atsakinga už daugelį eleentariųjų dalelių skilių). 6

7 7 Galias ir kitoks jėgų skirstyas, tačiau tos jėgos nėra fundaentinės. undaentinių jėgų negalia pakeisti kitois. Apskritai echanikoje vyrauja elektroagnetinės kilės jėgos (pvz., trinties) arba gravitacinės (paprastai tarp astronoinių objektų). Kai kurios jėgų išraiškos Gravitacijos jėga tarp dviejų taškinių kūnų G (-) Beje, tokia pat išraiška galioja sferiškai sietriškies kūnas. Tuoet atstuas tai atstuas tarp tų kūnų asės centrų. Masės centras bendru atveju apibrėžiaas kaip r c i i r i i i (-) Pavyzdys Ka lygi gravitacijos sąveikos jėga tarp taškinio kūno, kurio asė, ir vienalyčio tankio ρ ir spindulio rutulio, turinčio tuščiavidurę sferinę spindulio r < / ertę, kurios centras yra atstuu / nuo rutulio centro ir ašyje, jungiančioje rutulio centrą su taškiniu kūnu. Atstuas tarp taškinio kūno ir rutulio centro L >. 7

8 8 8 L r > < /? ρ Sprendias L r L G L r G L G ert v πρ ρ π ρ π. Pavyzdys Kokia gravitacijos jėga veikia tarp taškinio asės kūno ir asės M bei ilgio l plono strypelio, jei kūnas yra strypelio ašies tęsinyje atsuu L nuo artiiausio strypelio galo? L l M? r L ρ /

9 9 Sprendias M d l L l G ( L ) l + ( L + ) GM l M d l GM l GM L( L + l) L( L + l) l d GM l L + l GM l L L + l Pavyzdys Koks slėgis spindulio vandens planetos centre? Išreikškite šį slėgį per laisvojo kritio pagreitį g planetos paviršiuje. Sprendias Piriausia pastebėsie, kad sferinio sluoksnio viduje gravitacijos suinė jėga lygi nuliui. Bet kuriae taške Δ Δ Δ - vienoda ir nepriklauso nuo taško (žr. brėž.). r Δ ΔS - nepriklauso nuo r. r r Δ Δ r Δ S Δ S r 9

10 Tada slėgį galie skaičiuoti kaip: 4 ρ 4π d ρ π 4πGρ πgρ p G d 4π. Laisvojo kritio pagreitis planetos paviršiuje 4π ρ 4πGρ ρg g G, todėl p. Trintes jėgos Kasdieniae gyvenie visur susiduriae su trintii. Tai elektroagnetinės kilės jėgos. Jos gali būti ir naudingos, ir nepageidautinos. Skiriaa vidinė trintis (dujose, skysčiuose, kietųjų kūnų judėjias skysčiuose ar dujose) bei sausoji trintis (trintis tarp kietųjų kūnų). Trintis apibūdinaa trinties koeficientu (gali būti žyias ir k, ir μ ) tr k n (-4) Paprastai raybės trintis šiek tiek didesnė už slydio trintį, kuri apskritai priklauso ir nuo judėjio greičio. Dažnai uždaviniuose į tai neatsižvelgiaa. tr v Sunkio jėga (sunkis) ir svoris Jėga, kuria Žeė traukia bet kokį asės kūną, vadinaa sunkio jėga arba sunkiu. Jei Žeės paviršiuje laisvojo kritio pagreitis yra g, sunkio jėga lygi P g (-5) Paprastai kūnai turi atraą (stalo paviršius, virvės įtepio jėga ir pan.). Jei Žeės atžvilgiu kūnas nejuda, tai suinė jėga lygi nuliui, vadinasi, atraa tuo atveju turi veikti kūną jėga r P. (-6)

11 Pagal trečiąjį Niutono dėsnį ir kūnas turi veikti atraą tokio pat dydžio, bet priešingos krypties jėga G r. Taigi pusiausvyros sąlygois G P g (-7) Jėga G, kuria kūnas veikia atraą, vadinaa kūno svoriu. Ji lygi g tik tuo atveju, kai kūnas ir atraa Žeės atžvilgiu nejuda (arba juda tiesiai pastoviu greičiu čia neatsižvelgiaa į Žeę kaip neinercinę atskaitos sisteą, nes paprastai tai nedaro didelės įtakos vienok griežtai kalbant reikėtų daryti atitinkaas pataisas). Neinercinės sisteos Niutono dėsniai galioja tik inercinėse sisteose (esančiose rityje arba judančiose pastoviu greičiu tokių sisteų pagreitis lygus ). Kūnas, judantis pagreičiu a, šiuo pagreičiu juda visų inercinių sisteų atžvilgiu. Bet kuri neinercinė sistea juda inercinių sisteų atžvilgiu. Tegul šis pagreitis w. Tuoet kūno pagreitis neinercinėje sisteoje a skirsis nuo kūno pagreičio inercinėje sisteoje a. Čia galioja ryšys a a w (-8) Pvz., štrichuota sistea O y (neinercinė) juda neštrichuotos sisteos Oy (inercinės) atžvilgiu pagreičiu w, o kūnas K juda pagreičiu a Oy sisteos atžvilgiu ir pagreičiu a O y sisteos atžvilgiu. Čia paitas judėjias išilgai ašies. y y K a w a Jei neinercinė sistea juda tiesiai greitėdaa (lėtėdaa), tai visi tos siteos taškai turi vienodą pagreitį w. Jei neinercinė sistea sukasi, įvairūs tos neinercinės siteos taškai judės skirtingu pagreičiu ir w w(r ), kur r - taško radiusas vektoriuis neinercinės sisteos atžvilgiu. Jei tašką veikia atstojaoji jėga, tai jis juda vienodu pagreičiu bet kurios inercinės siteos atžvilgiu: a (-9) Tuoet neinercinėje sisteoje to taško pagreitis a a - w w. (-) Iš čia aišku, kad net esant, taškas neinercinės sisteos atžvigiu judės su pagreičiu w, t.y. kūną lyg ir veiktų jėga w. Taigi, neinercinėje sisteoje galėtue taikyti inercinės sisteos Niutono dėsnius, įvesdai inercijos jėgą. in in ( a a ) w. (-)

12 Taigi, anttrasis Niutono dėsnis neinercinėje sisteoje atrodo kaip a + in (-) Dar šis principas vadinaas Dalabero principu. Pavyzdys Vežiėlis su ant jo įtaisyta degančia žvake nedideliu greičiu rieda horizontalia plokštua taip, kad žvakės liepsna vertikali. Staiga vežiėlis atsitrenkia į kliūtį. Kaip sūgio etu pakryps žvakės liepsna? Žvakė ant vežiėlio išlieka įtvirtinta, o dėl nedidelio greičio į oro asės judėjią vežiėlio su žvake atžvilgiu galia nekreipti dėesio. Ats.: Žvakės liepsnos viršūnė atsilenks atgal. Sprendias Žvakės liepsnos kryptį inercinėje sisteoje nuleia Archiedo jėgos kryptis, nes karštas liepsnos oras kyla šios jėgos veikio kryptii, o ši jėga yra priešinga Žeės traukos jėgai (g krypčiai). Jei persikelsie į sisteą, surištą su vežiėliu, stabdyo etu tai bus neinercinė sistea, judanti pagreičiu a, priešingu vežiėlio greičio prieš atsitrenkią v krypčiai (žr. brėž.). Tuoet pagal Dalabero principą šioje sisteoje turie įvesti priešingos krypties pagreitį a' (tai bus kryptis, sutapanti su vežiėlio pradinio greičio kryptii). v a a g g Atstojaasis pagreitis g ir rodys kryptį, kuri bus priešinga liepsnos krypčiai sūgio etu. Pavyzdys Mateatinė ilgio l švytuoklė įtaisyta vežiėlyje, kuris juda horizontalia kryptii, turėdaas pastovų pagreitį a. Ka lygus šios švytuoklės periodas? Ats. : T π l. g + a

13 Pavyzdys Važiuojanti traukiniu ergaitė už siūlo, kurio ilgis,, laiko pripildytą heliu balionėlį. Traukinys važiuoja k/h greičiu bėgiais, kurie sudaro, k spindulio lanką. Balionėlio siūlas atsilenkia nuo vertikalės. Kokia siūlo į horizontalią plokštuą projekcija? Kokia jos kryptis? Kokiu kapu atsilenkia siūlas? Sprendias Traukinio trajektorija a įc a v α g g L α L sinα Patogu nagrinėti reiškiniuis sisteoje, nejudaai surištoje su traukiniu. Tačiau tai neinercinė sistea, kuri juda inercinės sisteos (pvz., Žeės) atžvilgiu pagreičiu, lygiu įcentrinia pagreičiui a įc : v a įc. Norėdai nagrinėti echaninius reiškinius traukinyje kaip inercinėje sisteoje, pagal Dalabero principą turie įvesti inercinį pagreitį a' a įc. Tuoet traukineje veikia laukas, nusakoas pagreičiu g ' g + a' (žiūr. brėž.). Pripildytą helio balionėlį veikia atstojaoji jėga (tai sunkio ir Archiedo jėgų vektorinė sua) į priešingą pagreičiui g pusę, nes helio tankis aždaug septintadaliu ažesnis už oro tankį. Taigi, traukinyje siūlas nukrypsta link trajektorijos kreivuo centro (žiūr. brėž.) ir lygi L Lsinα Nuokrypio kapą apskaičiuojae iš sąryšio a' v tgα,9, t.y. α,5 5'. g g,6 9,8 Projekcija lygi L,9c.

14 4 Paskaita #4 Tverės dėsniai Kinetinė energija ir darbas Jėgų laukas. Konservatyviosios jėgos. Potencinis laukas Centrinės jėgos Tverės dėsniai Jau apibūdinoe uždarąją sisteą kaip sisteą, kurios neveikia išorinės jėgos. Uždarosiose sisteose egzistuoja tokios koordinačių ir greičių funkcijos, kurios išsilaiko. Tos funkcijos vadinaos judėjio integralais. Svarbiausi yra taip vadinai adityvieji judėjio integralai, t.y. tie, kuries sisteos judėjio integralas lygus atskirų nesąveikaujančių dalių judėjio integralų suai. Tokių judėjio integralų yra trys. Tai energija, ipulsas (judesio kiekis) ir ipulso (judesio kiekio) oentas. Šie judėjio integralai surišti su erdvės ir laiko savybėis. Energijos tverė reiasi laiko vienalytiškuu. Tai reiškia, kad pakeitus laiko oentą t laiko oentu t, nekeičiant koordinačių ir greičių, sisteos echaninės savybės nesikeičia. Ipulso tverė susijusi su erdvės vienalytiškuu. Tai reiškia, kad perkėlus lygiagrečiai uždarąją sisteą į kitą ervės vietą, nekeičiant sisteos vidinio išsidėstyo (koordinačių) ir greičių, echaninės sisteos savybės nepakinta. Šį dėsnį jau aptarėe. Pagaliau ipulso oento tverės dėsnis susijęs su erdvės izotropiškuu, t.y. erdvės savybės visois kryptiis vienodos. Pažyėtina, kad šie tverės dėsniai yra tikslūs ir bendresni, negu Niutono dėsniai. Pvz., jie galioja tiek klasikinėje echanikoje, tiek reliatyvistiniu atveju. Kinetinė energija ir darbas Panagrinėkie procesą išilgai tiesės, jei veikia jėga (visų dalelę veikiančių jėgų atstojaoji): v (4-) Padauginae šią lygybę skaliariškai iš vektoriaus ds vdt ( ds - tai poslinkio vektorius) v v v vd t ds. Bet vdt vdv d d v. (4-) Taigi v ds d. (4-) Jei sistea uždara, tai. Tada dydis 4

15 5 v T lieka pastovus. Šis dydis vadinaas kinetine energija. Ji susijusi su dalelės (kūno) judėjiu. Darbu kelyje ds vadinaas dydis, kurį atlieka jėga : d A ds (4-4) Tai skaliarinis dydidis. Darbas da tai skaliarinė vektorių ir ds sandauga. Jei jėga veikia, kūnui persikeliant iš taško į tašką, tai d v ds (4-5) arba v v T T ds (4-6) Dydis A ds d s s - tai darbas, kurį atlieka jėga kelyje -. Taigi visų atstojaųjų jėgų, veikiančių dalelę, darbas naudojaas kinetinei dalelės energijai didinti. Panagrinėkie darbą kiek detaliau. Jau inėta iš apibrėžio, kad da ds scosαds (4-7) π Čia α - kapas tarp vektorių ir s. Jei α < (kapas sailus), da>. Tai reiškia, kad π darbą atlieka išorinės jėgos sisteos atžvilgiu. Jei kapas bukas, t.y. α >, da <. Tai π reiškia, kad sistea atlieka darbą išorės atžvilgiu. Įdou tai, kad esant α, darbas neatliekaas. Buitiškai kasdieniae gyvenie būna kitaip. Pvz., jei pernešae krovinį horizontalia kryptii, jį laikydai rankose (veikianti jėga statena poslinkiui), echanikoje darbo neatliekae, bet kasdieniae gyvenie tai asocijuojasi su darbu (kartais gana neažu). izikoje privaloe nuosekliai sekti priitus apibrėžius ir susitarius. Taigi, jei jėga statena poslinkiui arba poslinkis lygus, echaninis darbas neatliekaas. Panagrinėkie, kokį darbą atlieka išorinė jėga, ištepdaa arba suspausdaa spyruoklę, paklūstančią Huko dėsniui. Jei teigiaas poslinkis išilgai -ašies, tai 5

16 6 H k. (4-8) Išorinė jėga turi nugalėti Huko jėgą, t.y. k. i H i i - k k -k k i Jei ištepiaa dydžiu, visas išorinės jėgos atliktas darbas k A kd (4-9) Jei suspaudžiaa tokiu pat dydžiu, darbas toks pat (taip pat teigiaas). Jo prasė plotas po kreive (šiuo atveju tiese) () - geltonos sritys brėžinyje. i Jėgų laukas. Konservatyviosios jėgos. Potencinis laukas Jei kiekvienae erdvės taške dalelę per atstuą veikia kiti kūnai, sakoa, kad dalelė yra jėgų lauke. Tokių laukų pavyzdžiu galėtų būti gravitacijos jėgų laukas, kuris Žeėje pasireiškia sunkio jėga (kiekvienae erdvės taške asės kūną veikia sunkio jėga g ). Kitas pavyzdys - elektrostatinis Kulono laukas, kurį sukelia statiniai krūviai. Jėgų lauko jėgos, veikiančios aterialųjį tašką arba kūną, atlieka darbą, perkeliant tą tašką ar kūną iš vienos vietos į kitą, kuris nepriklauso nuo perkėlio kelio, vadinaos konservatyviosiois jėgois. Darbas priklauso tik nuo pradinio ir galutinio taško. Mateatiškai tai reikštų, kad 6

17 7 y z ) dr ( d + dy + dz, (4-) t.y. jei tokiae jėgų lauke grižtae į pradinę padėtį, darbas neatliekaas. Konservatyviųjų jėgų pavyzdys tos pačios gravitacijos jėgos. Nekonservatyviųjų jėgų pavyzdys galėtų būti trinties jėgos. Iš tikrųjų, trinties jegų darbas priklauso nuo kelio, kuriuo dalelė patenka iš vieno taško į kitą. Taigi iš (4-) seka, kad konservatyviosios jėgos turi egzistuoti tokia funkcija Π, kuriai d + dy + dz dπ y z (4-) Tai pilnasis funkcijos diferencialas. Konservatyviosios jėgos būdinga, kad Π, Π y, y Π z, kur Π(, y, z) z Π. (4-) Toks jėgų laukas vadinaas potenciniu, o funkcija Π(, y, z) - potencine funkcija arba potencialo funkcija. Jei ši funkcija laikui bėgant kinta, laukas vadinaas nestacionarioju (nenuostoviuoju), o jei nekinta (priklauso tik nuo koordinačių), laukas vadinaas stacionariuoju (nuostoviuoju). Dažnai trupuo dėlei naudojaas taip vadinaas nabla ( ) operatorius arba gradientas: ϕ ϕ ϕ ϕ grad ϕ i + j + k. (4-) y z Π Π Π i + j + k gradπ y z (4-4) Akivaizdu, kad jei d A ds, tai da dπ(, y, z). Taigi, jei dalelė stacionariojo potencinio lauko jėgų perkeliaa iš taško į tašką, galioja ryšys A (4-5) Π Π Jau turėjoe, kad toks darbas sunaudojaas dalelės kinetinei energijai didinti: T T Π (4-6) Π Čia patogu įvesti funkciją U (, y, z) Π(, y, z) Tada (4-7) 7

18 8 T T U U T +, arba U T U + (4-8) T + U Matoe, kad dalelei, esančiai konservatyviųjų jėgų lauke dydis išsilaiko, t.y. dydis E T + U yra judėjio integralas. U(,y,z) tai potencinė dalelės energija. Dydis E pilnutinė echaninė dalelės energija. Nesunku įsitikinti, kad galioja ryšys A U U, (4-9) kuris reiškia, kad konservatyviųjų jėgų atliekaas darbas dalelės atžvilgiu suažina dalelės potencinę energiją. Kitais žodžiais darbas atliekaas potencinės energijos sąskaita. Taip pat galioja gradu, arba (4-) U, y U, y z U (4-) z Jei dalelę be stacionariojo potencinio lauko veikia kokia nors nekonservatyvi išorinė jėga *, tai dalelei persikeliant iš taško į tašką dalelės atžvilgiu atliekaas darbas A * A. (4-) ds + * ds Akonserv + * Čia A - nekonservatyviosios jėgos atliktas darbas. Pasinaudoję tuo, kad Akonserv U U, ir tuo, kad T T A (visų dalelę veikiančių jėgų atstojaosios jėgos atliekaas darbas sunaudojaas dalelės kinetinės energijos padidėjiui), gaunae T + arba * T U U A ( U + A arba T ) ( U T ) * E. (4-) * E A Tai reiškia, kad visų nekonservatyviųjų jėgų darbas yra sunaudojaas sisteos echaninės energijos didiniui (jei A * ). > 8

19 9 Jei A * <, sistea atlieka darbą išorės atžvilgiu, veikiant nekonservatyviosios jėgos. Pvz., veikiant trinčiai kūnas perkeliaas iš taško į tašką, kuries U > U. Jei kūno kinetinė energija nekinta, tuoet visas potencinės energijos pokytis virsta šilua (dėl trinties). Centrinės jėgos Vienas dažnai pasitaikančių konservatyviųjų jėgų pavyzdys centrinės jėgos (centrinių jėgų laukas). Šios jėgos būdinga, kad dalelę, esančią bet kuriae šių jėgų lauke, veikiančios jėgos kryptis eina per vieną nejudaą centrą, o jėgos dydis priklauso tik nuo atstuo iki to centro, t.y. (r). Pavyzdys gravitacijos laukas. Jei centras yra labai toli nuo dalelės (kūno) tiek, kad visi charakteringi atsuai žyiai ažesni už atstuą iki centro, jėgų kryptys aždaug lygiagrečios. Tuoet sakoa, kad laukas vienalytis (hoogeniškas). Pavyzdys gravitacijos (sunkio) laukas Žeės paviršiuje, kai atstuai kinta nedaug, lyginant su Žeės spinduliu (apie 67 k). Kitas pavyzdys vienalytis yra veikiantis elektringą dalelę jėgų laukas tarp plokščiojo kondensatoriaus plokštelių. 9