AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA"

Transcript

1 Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1

2 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Kursinių projektų rengimo metodika Vilnius Technika 1

3 S. Lisauskas. Automatinio valdymo teorija: kursinių projektų rengimo metodika. Vilnius: Technika, p. [3,97 aut. l ]. Šis technologijos mokslų srities, elektronikos ir elektros mokslo krypties leidinys skirtas Elektronikos fakulteto pagrindinių nuolatinių ir ištęstinių studijų studentams, studijuojantiems automatinio valdymo teorijos kursą. Jame pateikiama kursinio darbo metodika ir reikalingos teorinės žinios. Leidiniu galės naudotis ir kitų fakultetų studentai. Leidinį rekomendavo VGTU Elektronikos fakulteto studijų komitetas Recenzavo: prof. habil. dr. Roma Rinkevičienė, VGTU Automatikos katedra prof. habil. dr. Algimantas Juozas Poška, VGTU Automatikos katedra Leidinys parengtas vykdant projektą VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas. Leidinio rengimą ir leidybą finansavo Vilniaus Gedimino technikos universitetas ir Europos socialinis fondas (sutarties Nr. VP1-.-ŠMM-7-K-1-47). VGTU leidyklos TECHNIKA 139-S mokomosios metodinės literatūros knyga Redaktorė Reda Asakavičiūtė Maketuotojas Donaldas Petrauskas eisbn doi:1.3846/139-s Saulius Lisauskas, 1 Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 1

4 Turinys Įvadas Automatinio valdymo sistemų sandara Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas Automatinio valdymo sistemų klasifikacija Atviroji automatinio valdymo sistema Reguliavimo pagal trikdį principas Uždaroji automatinio valdymo sistema Kombinuoto reguliavimo principas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys Diferencialinių lygčių ištiesinimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos Laplaso transformacija Sistemos operacinių lygčių sudarymas Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinių sistemų statika Statinis reguliavimas Astatinis reguliavimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų dinaminės ir dažninės charakteristikos Automatinio valdymo sistemų signalai

5 6.. Automatinio valdymo sistemų dinaminės charakteristikos Dažninės charakteristikos Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos Grandžių klasifikacija Ideali stiprinimo grandis Aperiodinė (inercinė) grandis Integravimo grandis Diferencijavimo grandis Švytavimo grandis Vėlinimo grandis Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinių valdymo sistemų stabilumo tyrimas Sistemų stabilumas Algebriniai stabilumo kriterijai Rauso ir Hurvico stabilumo kriterijai Michailovo stabilumo kriterijus Naikvisto stabilumo kriterijus Logaritminis stabilumo kriterijus Automatinių sistemų koregavimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Literatūra

6 Įvadas Automatinio valdymo teorijos kursinių projektų metodikos tikslas padėti studentams suvokti teorinę paskaitų medžiagą, įgyti gebėjimų projektuoti, analizuoti automatinio valdymo sistemas, praktiškai pritaikyti teorines žinias, išmokti sudaryti automatinių sistemų matematinius ir kompiuterinius modelius, jų struktūrines schemas, gauti dinamines charakteristikas, tirti sistemų stabilumą. Kursinį projektą sudaro tokie pagrindiniai skyriai: automatinio valdymo sistemos veikimo principo aprašymas, elementų diferencialinių ir operacinių lygčių sudarymas, atvirosios sistemos stiprinimo koeficiento skaičiavimas, logaritminių dažninių charakteristikų gavimas, sistemos koregavimas, sistemos modeliavimas ir dinaminių charakteristikų gavimas, kokybinių pereinamojo proceso rodiklių skaičiavimas, sistemos stabilumo tyrimas, išvados ir grafinė dalis. Kursinių projektų metodikoje išnagrinėti visi minėti automatinio valdymo sistemų projektavimo ir tyrimo etapai. Kiekvieno skyriaus pradžioje pateikiama reikalinga teorinė medžiaga. Toliau nurodomi pavyzdžiai ir MATLAB Simulink modeliai ar skaičiavimo programos. Skyriaus pabaigoje pateikiami kontroliniai klausimai ir savarankiškam darbui skirtos užduotys. 5

7 1. Automatinio valdymo sistemų sandara 1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas Visos sistemos turi įėjimo ir išėjimo kintamuosius. Sistemos reakcija yra aprašoma išėjimo kintamojo priklausomybe nuo įėjimo kintamojo. Tokios priklausomybės tarp vieno ar kelių kintamųjų paprastai aprašomos matematinėmis lygtimis, kurios yra pagrįstos fizikiniais dėsniais arba gaunamos eksperimentiškai. Sistema apima įvairius komponentus, valdymo algoritmus, įrenginius ir prietaisus, kurie sąveikauja tarpusavyje. Ji gali turėti bet kokį skaičių įėjimų ir išėjimų. Tokia sistemos koncepcija parodyta 1.1 paveiksle. 1.1 pav. Sistemos koncepcija Valdymo sistemos esmė yra stebėti kintamuosius, rasti sprendimus, kaip efektyviai reguliuoti įėjimus, kad būtų galima gauti pageidaujamą išėjimą. Valdymo sistemos užduotis sąlygiškai galime suskirstyti į tris dalis: 1. Išėjimo kintamųjų stebėjimas juos matuojant.. Racionalių valdymo sprendimų priėmimas ar algoritmų taikymas, atsižvelgiant į situaciją ir remiantis informacija apie esamą ir pageidaujamą sistemos būseną. 3. Efektyvus tokių sprendimų įgyvendinimas. Paprasčiausią valdymo sistemą sudaro du komponentai valdiklis (reguliatorius) ir valdomas objektas. Įrenginys, kuriame vyksta 6

8 reguliavimas ar valdymas, vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos. Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos trikdžių, valdymo poveikių ir valdomų kintamųjų, kurie bendru atveju yra vektoriai: ( i) (1) (1) (1) u y z () () () u y z u =, y =, z =, ( p) ( l) ( r) u y z (1.1) čia u valdymo poveikis, i = 1,,..., p; y valdomas kintamasis, j = 1,,..., l; z trikdis, m = 1,,..., r. Valdomo objekto bloki- ( m) nė schema parodyta 1. paveiksle. ( j) 1. pav. Valdomo objekto blokinė schema Valdymo poveikiai tai kintamieji, kuriuos galime keisti ir jie turi įtakos valdomiems kintamiesiems. Pvz., keisdami įtampą, keičiame variklio greitį ar elektrinio šildytuvo temperatūrą. Trikdžiai tai kintamieji, kurie taip pat turi įtakos valdomam objektui. Pvz., apkrova elektros pavarai, generatoriui, išorės temperatūros pokytis 7

9 temperatūros reguliavimo sistemoje. Juos galima suskirstyti į dvi rūšis: kontroliuojamus (matuojamus darbo metu) ir nekontroliuojamus išorinius poveikius. Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, valdomuosius kintamuosius susiejanti su visais išoriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal išorinius užduotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius y( u, z). Paprastuose objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis u ir vienas valdomas kintamasis y. Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai z ir valdantieji poveikiai u yra pastovūs ir nekinta laikui bėgant. Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės y ( u, z ), charakterizuojamos diferencialinėmis objekto lygtimis ir esant užduoties poveikiams u( t), z( t). Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei šio lygtys yra tiesinės, tai valdymo objektas vadinamas tiesiniu. Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus. Objektas yra stabilus, jei, pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią nulemia jo statinė charakteristika. Nestabiliame objekte, pasibaigus poveikiui, kad ir koks mažas jis bebūtų, išėjimo dydis tebekinta ir objektas negrįžta į nusistovėjusią padėtį. Neutralūs tai yra tokie objektai, kuriuose, pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio. Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą skysčio lygį, esant skirtingam skysčio panaudojimui; elektros pavara, kur reikia palaikyti pastovų sukimosi greitį ar momentą. 8

10 1.. Automatinio valdymo sistemų klasifikacija Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir astatines. Jeigu esant pastoviam nuostatui ( u = const ) arba trikdančiam ( z = const ) poveikiui sistemoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui st, tai tokia automatinio valdymo sistema (AVS) nagrinėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė. Jeigu esant pastoviam poveikiui paklaida yra lygi nuliui, tuomet tokia sistema yra astatinė. Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos taip: 1. Stabilizavimo sistema tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų reguliuojamąjį parametrą, su paklaida, ne didesne už leistiną.. Programinio valdymo sistema tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nustatytą programą, priklausančią nuo duotojo poreikio. 3. Sekos sistema vadinama automatinio reguliavimo sistema (ARS), kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu. Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sekti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija. Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal: 1) fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis); ) naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elektroninės, pneumatinės, hidraulinės); 3) signalų, veikiančių sistemoje, pobūdį (tolydžios, diskrečiosios); 4) diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės); 5) sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kintamais parametrais). Sistemos su pastoviais parametrais 9

11 vadinamos determinuotos, arba stacionarios; su kintamais laike nestacionarios; 6) valdomų kintamųjų skaičių; 7) pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą, remiantis sukaupta patirtimi (paprastos ir susiderinančios). AVS taip pat galima suskirstyti į: 1) atvirąją AVS; ) atvirąją AVS, įvertinant trikdžius; 3) uždarąją AVS; 4) kombinuotas AVS Atviroji automatinio valdymo sistema Atviroji AVS neturi grįžtamojo ryšio. Paprasčiausia automobilio greičio reguliavimo sistema parodyta 1.3 paveiksle. 1.3 pav. Paprasčiausia atviroji AVS Tokioje sistemoje nėra galimybės palyginti esamą ir norimą greitį. Dėl įvairių priežasčių aktualus greitis gali nutolti nuo užduotos reikšmės, pvz., dėl vėjo, kalno ar nuokalnės ir pan Reguliavimo pagal trikdį principas Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį. Sistemos, sudarytos šiuo principu, neturi grįžtamojo ryšio, t. y. jos yra atviros. Tokios sistemos skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema parodyta 1.4 paveiksle. 1

12 1.4 pav. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiškai ar gerokai kompensuotų trikdžio poveikį reguliuojamam objektui. Pagrindinis šio principo privalumas didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes sistema šiuo atveju reaguoja ne į pasekmę, t. y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį. Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompensavimo grandys. Tačiau ne visus trikdžius galima išmatuoti ir kompensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas Uždaroji automatinio valdymo sistema Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pagal reguliuojamojo parametro nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma, jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palyginamos reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas valdymo signalas. Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu. Jų struktūrinė schema atskleidžiama 1.5 paveiksle. 11

13 1.5 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas atsižvelgiant į skirtumą ε ( t) tarp nuostato ynu ( t) ir esamosios reguliuojamojo parametro y( t ) reikšmių: u = F( ε ). (1.) Grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių reguliavimo pagal nuokrypą principu, būdingas bruožas. Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato nuokrypą ε ( t) = ynu ( t) y( t). Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efektyvus, nes juo galima valdyti nestabilius objektus, keisti reguliuojamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida ε gana maža, neatsižvelgiant į ją sukėlusias priežastis. Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams Kombinuoto reguliavimo principas Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu, panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą ir pagal trikdį savybes. Tokios sistemos struktūrinė schema parodyta 1.6 paveiksle. 1

14 1.6 pav. Kombinuoto valdymo sistema Kombinuoto valdymo sistemose, be pagrindinio grįžtamojo ryšio, yra pagrindinio trikdančiojo poveikio z( t ) kompensavimo grandis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra sistema?. Kokia valdymo sistemos užduotis? 3. Iš ko susideda paprasčiausia AVS? 4. Nuo ko priklauso valdomo objekto darbas? 5. Koks objektas yra stabilus, nestabilus ir neutralus? 6. Apibrėžkite statinę ir astatinę valdymo sistemą ir skirtumą tarp jų? 7. Kaip klasifikuojamos AVS pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį? 8. Apibrėžkite uždarąją ir atvirąją AVS. Koks pagrindinis skirtumas tarp jų? 9. Apibrėžkite reguliavimo pagal trikdį principą. Koks pagrindinis šio principo privalumas ir trūkumas? 13

15 . Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys.1. Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys Sistemų dinamika tiria pereinamuosius vyksmus. Pereinamasis vyksmas tai objekto išėjimo parametro kitimas laike veikiant nuostatui arba trikdančiajam poveikiui. Pereinamasis vyksmas gali būti surastas žinant visos sistemos elementų diferencialines lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lygčių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė. n = n n F ( y, y, y,, y ) F ( z, z, z, z, u, u, u,, u ). (.1) Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet F ( y, y, y,, y ) = F ( z, z, z, z ) + + F ( u, u, u,, u ); n n n n (.) čia y, y, y,, y valdomas dydis ir jo išvestinės; u, u, u,, u n įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės; z, z, z, z trikdantysis poveikis ir jo išvestinės. Sistemos pereinamąjį vyksmą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant kompiuteriu. Klasikinis diferencialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį. Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys: x = x + x (.3) iš iš n laisv; čia x iš bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike; x priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė; iš n n 14

16 x laisv laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė lygi nuliui: n n d xiš d xiš dxiš n n n 1 n 1 iš a + a + + a + a x =. (.4) dt dt dt Šios lygties sprendinys: n αt αt αnt laisv = n = i i= α t x C e C e C e C e i ; (.5) čia C i integravimo konstantos; α i būdingosios lygties šaknys. Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus d α : dt n n a α + a α + + a α + a = (.6) n n. Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą Matlab, šaknys randamos taip: 1. Sudaroma matrica A iš lygties koeficientų: a = [ an an an a a].. Panaudojama komanda roots(a)..1 pavyzdys 4 3 Duotos būdingosios lygtys: s 5s + 1; s + 3s 15s s + 9 ; 4 s +. Raskime jų šaknis. Matlab kodas: A1=[1-5 1] roots(a1) A=[ ] roots(a) A3=[1 1] roots(a3). 15

17 Pirmos lygties šaknys: 4,7913,,87. Antros: 5,5745,,5836,,7951,,786. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės:,771 +,771i,,771,77,,771 +,77,,771,77.. pavyzdys Užrašykime.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę lygtį. i1 i 3 i uį I II u i š.1 pav. Elektrotechninė schema Naudodami Kirchhofo dėsnius.1 paveiksle parodytai schemai galime užrašyti: Pirmam kontūrui: di1 1 uį ( t) = L Ri. dt + + C (.7) Antram kontūrui: t uiš ( t) = Ri + i ( τ) dτ + uc (). (.8) C Mazgui a: i1 i i3 =. (.9) Jei schema nebus apkrauta, tai i 3 =. Tuomet: i = i = i. (.1) 16

18 Iš (.7) ir (.8) formulių gauname: tada galime užrašyti: di uį ( t) L u ( t), dt 1 = + iš (.11) t 1 i ( t) = u ( ) u ( ) d. L τ τ τ (.1) 1 į iš Įvertindami (.1) lygtį, i įrašome į (.8) lygtį: 1 u ( t) = R u ( τ) u ( τ) dτ + iš į iš L t τ1 1 + uį ( τ) uiš ( τ) dτdτ 1 + uc (). CL t Du kartus diferencijavę (.13) lygtį gauname: iš d u dt pertvarkę gauname: R duį duiš 1 = + L dt dt CL ( uį uiš ), (.13) (.14) d uiš du du iš į CL + CR + u iš = CR + uį. (.15) dt dt dt Pažymėkime T = RC ir T = LC. Gauname, kad tokios schemos matematinis modelis aprašomas antros eilės diferencialine lygtimi: d uiš du du iš į T + T 1 + uiš = T1 + uį. (.16) dt dt dt.3 pavyzdys. paveiksle parodyta automatinė nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimo sistema, kai greitis reguliuojamas keičiant va- 17

19 riklio inkaro įtampą. Parodytoje schemoje darbo mašiną sukančio variklio greičiui matuoti naudojamas tachogeneratorius, kurio išėjimo įtampa U BR lyginama su etalonine (užduota) įtampa U e. Gautą įtampų skirtumą U galime sustiprinti pridėdami įtampą U. Tuomet įtampa U s tiekiama į stiprintuvą, kuri formuoja tiristorinio lygintuvo valdymo įtampą U v. Atsižvelgiant į šią įtampą, keičiasi valdomo lygintuvo išėjimo įtampa, o kartu ir variklio greitis. V =co n st T G V ŽA M T L k s { U v Ts Us U + - U e U pav. Nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimas, kai keičiama variklio inkaro įtampa Užrašykime. paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Palyginimo mazgas: u = u. e ubr (.17) 18

20 Stiprintuvui: u = u + u. (.18) s du v T uv ksus dt Tiristoriniam keitikliui: + =. (.19) U = k U (.) k v. Nuolatinės srovės variklio inkarui: diin u( t) = e( t) + Riniin + Lin ; (.1) dt Variklio dinamikos lygtis: Grįžtamojo ryšio lygtis: e = cφω ; (.) U ω = ; (.3) c Φ M = cφ i in. (.4) dω M M = J. (.5) dt u BR s = k ω. (.6) BR.4 pavyzdys.3 paveiksle pateikta erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema. Erdvėlaivio saulės sekimo sistema skirta erdvėlaivio padėčiai valdyti saulės atžvilgiu dideliu tikslumu..3 paveiksle pateikta schema paaiškina aprašytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos veikimo bei valdymo principus. Priimta, kad saulė juda tik viena plokštuma. 19

21 Saulės spindulys Paklaidos diskriminatorius C a W α b L B A f oto elem en ta s fo to elem en tas ia ib θ Išėjimo reduktorius 1/n R _ θv R Saulės ašis α Įrenginio ašis θv R + + e _ + e s _ S tip rin tu va s K s + e a _ M Nuolatinės srovės variklis _ e t + BR Tachogeneratorius.3 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema Pagrindiniai saulės sekimo sistemos paklaidų diskriminatoriaus elementai yra du stačiakampiai silicio fotogalvaniniai elementai (A fotoelementas ir B fotoelementas), montuojami už stačiakampio plyšio gaubte. Fotoelementai įrengti taip, kad fotojutikliai būtų nuolat nukreipti į saulę, o šviesos spindulys kristų pro plyšį ant abiejų fotoelementų. Pro plyšį patekęs W pločio saulės spindulys (šviesos spindulys) krenta ant abiejų fotoelementų (A ir B). Spindulio kritimo kampas yra α, o kiekvieno fotoelemento aukštis yra C. Šviesos spindulys nuo plyšio vietos iki fotoelementų praeina atstumą, lygų L. Šviesos virtimas elektros energija dėl fotogalvaninio efekto: fotono energija sužadina elektronus (fotonai absorbuojami, o jų energija panaudojama elektronams sužadinti). Kadangi į fotoelementus krenta skirtingos vertės fotonų srautai, fotoelementų išėjimuose kuriamos skirtingo dydžio srovės: i a (iš A fotoelemento) ir i b (iš B fotoelemento). Kai fotoelementai yra nukreipti tiksliai į saulę, tuomet srovės lygios ir jų skirtumas lygus nuliui, ir kampas α (t) =. Šios srovės priešingu poliarumu patenka į integralinio sumatoriaus su grįžtamojo ryšio varža R įėjimus. Jo išėjime gaunama sustiprinta įtampa e. Ši įtampa sumuojama su tachogeneratoriaus įtampa e t

22 ir gaunama suminė stiprintuvo įėjimo įtampa e s. Stiprintuvo išėjime gaunama įtampa e a, kuria maitinamas nuolatinės srovės variklis M. Variklis tam tikru kampu suka θ m išėjimo reduktorių sistema pozicionuojasi (sistema tiksliai atsukama į didžiausio apšviestumo padėtį). Projektuojama valdymo sistema tarp kampų θ r (t) ir θ (t) turi palaikyti paklaidą, artimą. Užrašykime.3 paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Paklaidos diskriminatorius: α = θ ( ) θ ( t ). (.7) r t Kai šviesai jautrūs elementai nukreipti į saulę α ( t) =, i ( t) = i ( t) arba i ( t) i ( t) =, tada: a b a Operacinis stiprintuvas: Stiprintuvas: b α k = i ( t) i ( t);. (.8) α a b [ ] e = R ia ( t) ib ( t). (.9) e ( t) = k e ( t). (.3) a s s Reduktoriaus išėjimo posūkio kampas siejasi su variklio posūkio kampu: θ m = ω m dt; (.31) θ = θ m N. (.3) Nuolatinės srovės variklis aprašomas lygtimis: diin ea ( t) = eb ( t) + Riniin + Lin ; (.33) dt e ( t) = k ω ( t); (.34) b b m e = cφω ; (.35) 1

23 M ( t) = cφ i ( t); (.36) in dωm ( t) M ( t) M s ( t) = J + Bω m ( t). (.37) dt Į inkaro apvijos induktyvumą L in, variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B ir statinį apkrovos momentą M st neatsižvelgsime. Todėl L in =, B = ir M st =. Tachogeneratorius: e ( t) = k ω ( t). (.38) t t m.. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Lygčių ištiesinimas tai netiesinių diferencialinių lygčių pakeitimas apytikrėmis tiesinėmis su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo nusistovėjusių reikšmių (.4 paveikslas). Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, naudojamas analitinės funkcijos skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių reikšmių. Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma leidžia gauti nulines pradines sąlygas. Tiesinant lygtis priimama, kad x = x + x, x kintamasis, x jo pradinė reikšmė, x prieaugis. Tuomet: n x x x ( n) f ( x) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ). (.39)!! n! Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsižvelgiama, todėl galima laikyti, kad: f ( x) = f ( x ) + f ( x ) x. (.4)

24 f ( x) f ( x ) A f ( x ) x x x.4 pav. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Toliau iš (.39) formulės atimamos nusistovėjusio režimo funkcijos reikšmės f ( x ) ir gaunami funkcijos prieaugiai: f ( x) = f ( x) f ( x ); (.41) f ( x) = x f ( x ); (.4) čia f ( x ) = tgα funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taške A, esant įėjimo dydžiui x (.5 paveikslas). f ( x) f ( x ) A α.5 pav. Charakteristikos polinkio kampas x x 3

25 .3. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra pereinamasis vyksmas? Kaip galime gauti sistemos pereinamąjį vyksmą?. Naudodami programinį paketą Matlab, raskite duotų charakteringųjų lygčių šaknis: 1s 5s 3s s + 1, 6s 16s 1, s 16s Kas yra diferencialinių lygčių ištiesinimas? 4. Užrašykite.6 paveiksle parodytų schemų diferencialines lygtis. uį uiš uį u iš.6 pav. Schemos 4

26 3. Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos 3.1. Laplaso transformacija Laplaso transformacija skirta spręsti tiesines diferencialines lygtis. Šis metodas turi du privalumus: 1. Homogeninės lygtys ir daliniai integralai sprendžiami naudojant vieną operaciją.. Diferencialinės lygtys paverčiamos į algebrines ir joms spręsti galima taikyti algebrinių lygčių sprendimo metodus, o galutinį sprendimą gauti naudojant atvirkštinę Laplaso transformaciją. Duota funkcija f ( t ), kuri tenkina sąlygas: f ( t) e dt <, (3.1) σt tuomet realiems σ tiesioginė Laplaso transformacija bus: arba simboliškai F( s) = L[ f ( t)]. F( s) = f ( t) e dt, (3.) Čia s = σ + jω yra kompleksinis kintamasis, vadinamas Laplaso operatoriumi. Grafiškai s galime pavaizduoti, kaip parodyta 3.1 paveiksle, kur σ yra realioji dalis, o ω menamoji dalis. st 5

27 Im( s) ω σ Re( s) 3.1 pav. Grafinis Laplaso operatoriaus vaizdavimas Svarbiausios Laplaso transformacijos teoremos: 1. Daugyba iš konstantos:. Suma ir atimtis: [ ] L kf ( t) = kf( s). (3.3) L[ f ( s) ± f ( s)] = F ( s) ± F ( s). (3.4) 3. Diferencijavimas: df ( t) L sf( s) lim f ( t) sf( s) f (); dt = = t (3.5) n d f ( t) n n ( ) () n = L s F s s f dt n (1) ( n 1) s f () f (). (3.6) 4. Integravimas: t F( s) L f ( τ) dτ = ; s (3.7) t t tn tn F( s) L f ( τ) dτ dtdt dtn dtn =. n s (3.8) 6

28 5. Poslinkis laike: [ ] Ts L f ( t T ) u ( t T ) = e F( s). (3.9) 6. Pradinių reikšmių teorema: t s lim f ( t) = lim sf( s). (3.1) s 7. Galutinių reikšmių teorema: lim f ( t) = lim sf( s). (3.11) t 8. Complex shifting: ± at 9. Kompleksų daugyba: s L[ e f ( t)] = F( s ± a). (3.1) t F ( s) F ( s) = L f( τ) f( t τ) dτ = t = f( τ) f( t τ) dτ = L[ f( t) f( t) ]; čia yra kompleksų sandauga. (3.13) 3.1 pavyzdys Apibrėžkime funkciją f ( t ), kurios reikšmė lygi konstantai, kai t, ir lygi nuliui, kai t <. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: st st F( s) = f ( t) e dt = e = [ 1 ] =. (3.14) s s s 3. pavyzdys Funkcija f ( t) = e at, kai t ir a = const. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: 7

29 st at st ( s+ a) t F( s) = f ( t) e dt = e e = e dt = ( s+ a) = e =. s + a s + a (3.15) Funkcijos f ( t ) gavimas iš transformuotos F( s ) vadinamas atvirkštine Laplaso transformacija: σ+ jω st f ( t) = F( s) e ds. (3.16) π j σ jω Simboliškai tai žymima: f ( t) = L [ F( s) ]. Funkcijos pirmavaizdis randamas naudojant Laplaso transformaciją atskirai kiekvienam poveikiui. Tam pasitelkiamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės. Daugelį inžinerinių problemų galima spręsti naudojant Laplaso transformacijų lentelę. 3.1 lentelėje pateiktos pagrindinės Laplaso transformacijos. 3.1 lentelė. Laplaso transformacijos Laplaso transformacija, F( s) 8 Laiko funkcija f ( t) δ( t) (impulsas, kai t = ) s s n! n s + s + a us ( t ) (šuolinė funkcija, kai t = ) t (Ramp at t = ) n t ( n teigiamas skaičius) e at

30 s ( s + a)( s + b) s ω n + ωn s n s + ω ( s + a) n! ( s + a ) n+ ω n n ( s + a) + ω s + a ( s + a) + ωn (1 + st ) n ωn + ζω ns + ωn ωn + ζω ns + ωn s( s ) ω n T ζ n e e e at e b a sin ω cos ω bt n t n t te at n at t e at at sin ω t n cosω t t ( n 1)! e ζωn t n n sin ω e n t T ζ t ( n t ) 1 ζω 1+ e n t sin ω 1 ζ φ ; 1 ζ čia φ = tan ζ ζ 9

31 s ω ( ) n ζω e n t sin ωn 1 ζ t + φ + ζω + ω s ωn ns n 1 ζ ; čia φ = tan ζ ζ t s(1 + st ) e T s(1 + st ) s (1 + st ) t + T e T t T t T + ( t + T ) e T t + as t s (1 + st ) t ( a T ) 1 e + T s ( s + ω ) n ( s + ω n1 ) ( s + ωn ) s s n ( s + ω ) ω ω n ωn ω n n t sin ω t n ( cosω t cosω t) n n ( sin ω t + ω cosω t) n n n 3.3 pavyzdys s + 3 Gaukime perdavimo funkcijos G( s) = ( s + 1)( s + ) Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: s + 3 A B G( s) = = + ; ( s + 1)( s + ) s + 1 s + atvirkštinę (3.17) 3

32 čia: s A = ( s + 1) G( s) s= = = = ; s + + s= s B = ( s + ) G( s) s= = = = 1; s + + s= (3.18) (3.19) tuomet gauname: s G( s) = = +. ( s + 1)( s + ) s + 1 s + (3.) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + L s s = s t t L = e 1 e, kai t. s pavyzdys Gaukime perdavimo funkcijos Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: G( s) = s ( s + 1) A A B G( s) = ; s ( s + 1) = s + s + s + (3.1) atvirkštinę (3.) čia d d A = s G( s) s= = = dt dt s + = 1; = ( s + 1) s= A s G s s= 31 s= s= = ( ) = = 1; s + (3.3) (3.4)

33 B = ( s + 1) G( s) s= = = 1. (3.5) s s= Tuomet galime užrašyti: G( s) = = + +. s ( s + 1) s s s + (3.6) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + + L s s s = s + +. (3.7) t + L + L = + t + e s s + Tiesioginę ir atvirkštinę Laplaso transformaciją galima atlikti pasitelkiant Matlab programinį paketą. Tam naudojamos komandos laplace tiesioginei ir ilaplace atvirkštinei transformacijai gauti. 3.5 pavyzdys t Raskime funkcijos f ( t) = 5e Laplaso transformaciją. Matlab kodas: Pirmiausia reikia aprašyti simbolinį kintamąjį t. Todėl rašome komandą: >>syms t. t Tuomet įvedame funkciją f ( t) = 5e : >>f=5*exp(-*t) ir užrašome laplaso transformacijos komandą: L=laplace(f). Gaunamas rezultatas: L = 5/(s + ). 3

34 3.6 pavyzdys Raskime funkcijos f ( t) = 1 d y Laplaso transformaciją. Matlab kodas: dt >>laplace(1*diff(sym( y(t) ),)). Gaunamas rezultatas: 1*s^*laplace(y(t), t, s) - 1*s*y() - 1*D(y)(); čia y() pradinės sąlygos. 3.7 pavyzdys s 5 Gaukime funkcijos F( s) = atvirkštinę Laplaso transformaciją. s( s + ) Matlab kodas: >> syms t s >> F=(s-5)/(s*(s+)^); >> ilaplace(f) ans = 5/(4*exp(*t)) + (7*t)/(*exp(*t)) - 5/4 >>pretty(ans) 5 7 t exp( t) exp( t) Sistemos operacinių lygčių sudarymas Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis, reikia žinoti pradines sąlygas. Jei duota diferencialinė lygtis: dxiš ( t) T + xiš ( t) = kxį ( t), (3.8) dt tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir integralo ženklus operatoriumi: 33

35 n d d d n = s, = s, = s, dt. dt n = (3.9) dt dt s Tuomet iš (3.8) lygties gauname: iš iš į t TsX ( s) + X ( s) = kx ( s). (3.3) Sudarant AVS, susidedančias iš kelių elementų operacinių lygčių, pirmiausia užrašoma sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių lygčių sistema, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu: n n 1 ( n n L ) i m m 1 ( m m L ) a s + a s + + a s + a X ( s) = 1 1 š = b s + b s + + b s + b X ( s) + k 1 1 į k 1 k 1 L 1 + ( C s + C s + + C s + C ) Z( s). k (3.31) Iš šios lygties, esant užduotam įėjimo dydžiui xá ( t ) ar trikdžiui z( t ), gauname išėjimo dydžio operacinę lygtį: X iš B( s) Xį ( s) + C( s) Z( s) ( s) = ; (3.3) A( s) čia A( s), B( s), C( s ) kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai. 3.8 pavyzdys Duota diferencialinė lygtis. Ją užrašykime operacine forma ir gaukime jos sprendimą naudodami atvirkštinę Laplaso transformaciją: d d t f ( t) + 3 f ( t) + f ( t) = e, (3.33) dt dt d pradinės sąlygos f () = f ( t) =. Užrašome operacinę lygtį pagal (3.33) dt formulę: s F( s) + 3 sf( s) + F( s) =. (3.34) s + 34

36 Iškeliame F( s ) : F( s) =. s + s + 3s + Norėdami gauti lygties sprendimą, turime ją išskaidyti: F( s) = +. s + s + ( s + 1) Naudodamiesi 3.1 lentele gauname: t t t (3.35) (3.36) f ( t) = e e + te. (3.37) 3.3. Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nulinėms sąlygoms, galima gauti operacinę lygtį: A( s) X ( s) = B( s) X ( s) + C( s) Z( s). (3.38) iš Perdavimo funkcija tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradinėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemų perdavimo funkcijos. Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas X į : į į Xiš ( s) B( s) W ( s) = =. (3.39) X ( s) A( s) Veikiant trikdžiui Z, perdavimo funkcija užrašoma taip: Xiš ( s ( ) ) C ( s W ) z s =. Z( s) = A( s) (3.4) AVS sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struktūrinėms schemoms sudaryti. 35

37 3.9 pavyzdys Užrašykime. pavyzdyje nagrinėtos sistemos perdavimo funkciją. Užrašome operacinę lygtį: Sutvarkę gauname: iš 1 iš iš 1 į į. T s u + T su + u = T su + u (3.41) 1 iš 1 į ( T s + T s + 1) u = ( T s + 1) u. (3.4) Užrašome perdavimo funkciją: u ( s) T s + 1 W ( s) = =. u ( s) T s + T s + 1 iš 1 į 1 (3.43) 3.1 pavyzdys Užrašykime. paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Naudodamiesi anksčiau užrašytomis sistemos diferencialinėmis lygtimis (.13.) gauname: Palyginimo mazgas: U ( s) = Ue ( s) UBR ( s); (3.44) Us ( s ) U ( s ) U ( s ). = + (3.45) Pagal (3.44) ir (3.45) lygtis sudaryta struktūra parodyta 3. paveiksle. 3. pav. Sumavimo mazgai 36

38 Stiprintuvo, kaip periodinės grandies, operacinė lygtis: ( Ts + 1) U ( s) = k U ( s). (3.46) v s s Iš (3.46) lygties gauname stiprintuvo perdavimo funkciją: Uv ( s) ks Ws ( s) = =. (3.47) Us ( s) Ts + 1 Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu pateikta 3.3 paveiksle. 3.3 pav. Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu Variklio inkaro grandinės operacinė lygtis: U ( s) = E( s) + RinIin ( s) + LinsIin ( s). (3.48) Kitos lygtys, susiejančios variklio parametrus: E( s) = cφ ω( s); (3.49) U ( s) ω ( s) = ; cφ (3.48) lygtį perrašome tokia forma: (3.5) M ( s) = cφ Iin ( s). (3.51) Lin U ( s) E( s) = Rin (1 + s) Iin ( s). (3.5) Rin Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš c Φ ir pažymime U ( s) E( s) Rin = (1 + T e s) Iin( s). cφ cφ cφ L i n T e = : Rin (3.53) 37

39 Pritaikę (3.49) ir (3.5) lygtis, gauname: Rin ( s) ( s) = (1 + T e s) Iin ( s). cφ ω ω (3.54) Inkaro srovė išreiškiama iš (3.51) lygties: ir įrašoma į (3.54) lygtį: ( ) in ( ) M s I s = cφ (3.55) Rin ω ( s) ω( s) = (1 + T ) ( ). e s M s c Φ (3.56) Variklio dalies, kai įėjimas yra greitis, o išėjimas sukuriamas momentas, perdavimo funkcija yra: M ( s) c Φ Wm ( s) = =, ω ( s) ω( s) Rin ( Te s + 1) o gauta struktūrinė schema parodyta 3.4 paveiksle. (3.57) 3.4 pav. Variklio inkaro grandinės struktūrinė schema Variklio tuščiosios eigos greitis ω su inkaro įtampa siejamas lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 paveiksle. U 1 C 3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys 38

40 Pavaros dinamikos lygtis: M ( s) M s ( s) = Jsω( s). (3.58) Iš (3.58) lygties randame variklio mechaninę inerciją įvertinančią perdavimo funkciją: ω( s) 1 Wd ( s) = =. M ( s) M s ( s) Js (3.59) Šios dalies struktūra parodyta 3.6 paveiksle. 3.6 pav. Variklio struktūrinės schemos dalis Tachogeneratoriaus operacinė lygtis: UBR ( s) = kbrω( s). (3.6) Iš (3.6) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koeficientas: U k BR BR =. (3.61) ω Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis parodyta 3.7 paveiksle. U BR ω 3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis 39

41 3.11 pavyzdys Užrašykime.3 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Į inkaro apvijos induktyvumą L in ir variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B neatsižvelgsime. Paklaidos diskriminatorius: θ ( ) θ ( ) = α ( ); (3.6) r s s s Ia ( s) Ib ( s) α( s) kα = Ia ( s) Ib ( s) W ( s) = = kα. α( s) Operacinis stiprintuvas: [ ] a b Ia ( s) Ib ( s) (3.63) E ( s) I ( s) I ( s) R = E ( s) W = = R. (3.64) Stiprintuvas: E ( s ) Et ( s ) = Es ( s ); (3.65) E ( s) E ( s) k = E ( s) W ( s) = = k. (3.66) a s s a 3 s Es ( s) Nuolatinės srovės variklis: I ( s) ( ) ( ) ( ) ; (3.67) E in a s E b s = R in I in s W 4 = = E a ( s ) E b ( s ) R in E ( s) E ( s) k ( s) W ( s) k ; b b = bω m 5 = = b ωm ( s) (3.68) M ( s) M ( s) = C Φ Iin ( s) W6 ( s) = C ki; I ( s) = Φ = (3.69) M ( s) M ( s) = Jsω ( s) + Bω ( s) ωm ( s) W7 ( s) = =. M ( s) M ( s) Js + B in s m m s (3.7) 4

42 Reduktorius: θm ( s) θ m ( s) = ωm ( s) W8 = = ; s ω ( s) s θ( s) θ ( s) = θm ( s) W9 = =. N θ ( s) N m m (3.71) (3.7) Tachogeneratorius: Et ( s) = ktωm ( s) Et ( s) θ m ( s) = θ m ( s) = ωm ( s) s kt s Et ( s) W = = skt. θ ( s) m (3.73) 3.4. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Užrašykite tiesioginės ir atvirkštinės Laplaso transformacijos formules.. Kas yra perdavimo funkcija? 3. Raskite Laplaso transformacija funkcijų: f ( t) = cos t ; f ( t) = sin t ; f ( t) = cos(3 t) ; 5t f ( t) = t e ; x f ( x) = e sin x Gaukite atvirkštinę Laplaso transformaciją perdavimo funkcijų: G( s) = s 3 s + G( s) =. ( s + 5)( s + 1s + 5) + s ; 1 6 G( s) = + 3 s s + 4 ; G( s) = ; s( s + 4) 5. Užrašykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų (elementų) diferencialines ir operacines lygtis, perdavimo funkcijas. 41

43 F k R R 3 m y i C R 4 i3 f u r R 1 i 1 R u c a) b) + ur R 1 R 1 R R3 R ua M u k U f Trigeris Lygintuvas NS variklis ω Apkrova M - Tachogeneratorius + c) 3.8 pav. Sistemos: a) mechaninė; b) operacinis stiprintuvas; c) nuolatinės srovės pavaros automatinio valdymo sistema 4

44 4. Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos 4.1. Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas Dėl savo paprastumo ir universalumo struktūrinės schemos dažnai naudojamos aprašyti įvairias AVS. Struktūrinės schemos leidžia paprastai aprašyti sistemos sudėtį ir ryšius tarp jos elementų. Sudarant šias schemas naudojamos perdavimo funkcijos, kurias pasitelkiant aprašoma elemento išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo signalo paveiksle parodyti trys pagrindiniai struktūrinių schemų jungimo būdai ir jų prastinimas. R( s ) C( s) G ( s) G ( s) 4.1 pav. Nuoseklus jungimas R( s) C( s) = G ( s) G ( s) R( s), (4.1) G ( s) G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = (4.) 43

45 G ( s) + R( s ) C( s) G ( s) + 4. pav. Lygiagretus jungimas [ ] C( s) = G ( s) + G ( s) R( s), (4.3) R( s) G ( s) + G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = + (4.4) R( s ) ε( s) C( s) G( s) H ( s) 4.3 pav. Uždaroji AVS C( s) = G( s) E( s); (4.5) E( s) = R( s) H ( s) C( s); (4.6) [ ] C( s) = G( s) R( s) H ( s) C( s) ; (4.7) 44

46 G( s) C( s) = R( s); (4.8) 1 + G( s) H ( s) R ( s ) G ( s ) 1 + G( s) H ( s) C( s) C( s) G( s) =. (4.9) R( s) 1 + G( s) H ( s) Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės pateiktos 4.1 lentelėje. 4.1 lentelė. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės Nr. Originali schema Ekvivalentinė schema R( s ) 1 G ( s) G ( s) C( s) R( s ) C( s) G ( s) G ( s) G ( s) R( s ) C( s) G ( s) ± + R( s ) C( s) G ( s) ± G ( s) R( s ) ε( s) C( s) G( s) 3 ± R ( s ) G ( s ) 1 ± G( s) H ( s) C( s) H ( s) W Z Y 4 W Z X Y X 45

47 5 X Y G Z X Y G G Z 6 X Y G Z X Y G G Z 7 G G G 8 G G G 4.1 pavyzdys Raskime 4.4 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s ) + 4 s + s C( s) - Pritaikę 1 taisyklę gauname: 4.4 pav. AVS struktūrinė schema R( s ) + 4 C( s) s( s + 1) 46

48 Pagal 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: 4 C( s) s( s + 1) 4 = =. R( s) 4 + s + s + 4 s( s + 1) (4.1) 4. pavyzdys Raskime 4.5 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s) + G ( s) + G ( s) C( s) - - H ( s) 4.5 pav. AVS struktūrinė schema Naudodami 3 taisyklę suprastiname sistemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 + G ( s) H ( s) C( s) Remdamiesi 1 taisykle gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) - 47

49 Pasitelkdami 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) = = R( s) 1 + G ( s) H ( s) + G ( s) G ( s) 1 ( ) ( ). (4.11) G ( s) G ( s) + + G s H s 4.3 pavyzdys Raskime 4.6 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: G 5 ( s) R( s) + G ( s) + + G ( s) G 3 ( s) C( s) - G 4 ( s) 4.6 pav. AVS struktūrinė schema Struktūrinėje schemoje G ir G 5 sudaro uždarąją sistemą. Todėl surandame jos perdavimo funkciją, naudodami 3 taisyklę. R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) 48

50 Remdamiesi 8 taisykle gauname tokią struktūrinę schemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) G ( s) 3 Naudodami 1 taisyklę gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) G ( s) C( s) G ( s) G ( s) 5 G4 ( s) G ( s) 3 Pasitelkdami 3 taisyklę randame uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G1 ( s) G ( s) G3 ( s) C( s) 1 G ( s) G5 ( s) = = R( s) G1 ( s) G ( s) G3 ( s) G4 + 1 G ( s) G ( s) G 5 3 G1 ( s) G ( s) G3 ( s) =. 1 G ( s) G ( s) + G ( s) G ( s) G ( s) (4.1) 4.4 pavyzdys Gaukime sistemos su dviem įėjimais perdavimo funkciją. Vienas sistemos įėjimas yra nuostato signalas, o kitas apkrovos trikdžio signalas: 49

51 D( s) R( s ) + + G ( + ( C( s) - H ( s) Pagal superpozicijos principą galima užrašyti, kad sistemos išėjimo dalis C ( s), kurią kuria nuostato signalas, egzistuoja tik tada, kai D( s ) = : G ( s) G ( s) ( ) = R( s). (4.13) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) C s Kita dalis C ( s), kuriama trikdžio, egzistuoja tik tada, kai R( s ) = : G ( s) C ( s) = D( s). (4.14) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) Bendrą perdavimo funkciją gauname: G ( s) G ( s) C( s) = C ( s) + C ( s) = R( s) G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) + D( s). 1 + G ( s) G ( s) H ( s) (4.15) G ( s) G ( s) H ( s ) yra atvirosios sistemos perdavimo funkcija, o 1 + G ( s) G ( s) H ( s) = charakteringoji lygtis. 4.5 pavyzdys Nubraižykime. paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

52 Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis ir paveikslus sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.7 paveiksle. M s U U Us Uv e k s u U BR Ts+ k k u CΦ ω ω ω C Φ R ( T s + ) in e M M Js ω k BR 4.7 pav. Variklio greičio reguliatoriaus struktūrinė schema Sistemai tirti laikome, kad atsiranda įtampos U e pokytis U e, o įtampa U 1 ir apkrovos momentas nekinta ir t. y. M s =. Perbraižome struktūrinę schemą pokyčiams (4.8 paveikslas). U v 4.8 pav. Reguliatoriaus struktūrinė schema, perbraižyta pokyčiams Suprastinkime 4.7 paveiksle parodytą struktūrinę schemą. Pirmiausia suprastiname variklio uždarą struktūrą: ( CΦ) Rin ( Te s + 1) Js ( CΦ) Wvu = = ( CΦ ) JRinTe s + JRin s + ( CΦ) + Rin ( Te s + 1) Js. (4.16) 51

53 (4.16) padaliję iš ( CΦ ), gauname: Wvu =, JRin JR T in es + s + ( CΦ) ( CΦ) (4.17) pažymėję T m = JRin ( ), CΦ gauname: Wvu =. TmTe s + Tm s + (4.18) Suprastinę uždarą variklio struktūrą, gauname tokią struktūrinę schemą: U e U k s Ts + U v k k U ω CΦ TmTe s + Tm s + ω U BR k BR Užrašykime atvirosios sistemos perdavimo funkciją: k W s = k k = s a ( ) k BR Ts + CΦ TmTe s + Tm s + (4.19) k k k =. C Φ ( Ts + 1)( T T s + T s + 1) s k BR m e m 4.6 pavyzdys Nubraižykime.3 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

54 Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis, sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.9 paveiksle. θ r + - α k α ia i b R e es e t k s e a e b Ra ia M k ωm i Js+ B k b s θm θ N sk t 4.9 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos struktūrinė schema Erdvėlaivio saulės sekimo sistemoje veikia tokie signalai: - θ r apkrovos kampas tarp saulės ašies ir atskaitymo ašies; - θ m apkrovos kampas tarp variklio ašies ir atskaitymo ašies; - θ apkrovos kampas tarp fotoelementų korpuso ašies ir atskaitymo ašies; - α kampas tarp įrenginio ašies ir saulės ašies; - i a srovė, tekanti iš A fotoelemento; - i b srovė, tekanti iš B fotoelemento; - e integralinio sumatoriaus išėjimo įtampos signalas; - e s stiprintuvo įėjimo įtampos signalas; - e t tachogeneratoriaus BR įtampos signalas; - e a stiprintuvo išėjimo įtampos signalas; - e b tachogeneratoriaus išėjimo įtampos signalas; - M variklio kuriamas momentas; - ω m variklio išėjimo veleno kampinis greitis. 4.9 paveiksle pateikta struktūrinė schema gali būti suprastinta ir užrašyta analitiškai. Tam tikslui signalus užrašome kaip signalų pokyčius (i a i a ir t. t.). Naudodami 4.1 lentelės 3 taisyklę, suprastiname vidinius grįžtamuosius ryšius: 53

55 W u ki ki Ra Js Ra Js = = = R ajs + kik + k b i kb R Js R Js a kira Js ki = = R Js( R Js + k k ) R Js + k k a a i b a i b a. (4.) Gautą funkciją padaliję iš ( cφ ) = kkkb, gausime: W u kb kv ( s) = = ; Ra Js T ms + + k k i b (4.1) čia T m laiko pastovioji; k v variklio konstanta. Nutraukus išorinį grįžtamąjį ryšį galima gauti atvirosios saulės sekimo sistemos perdavimo funkciją: kα R ks ki 1/ N kα R ks ki 1/ N Wa ( s) = =. (4.) R Js + k k s s( R Js + k k ) a i b a i b 4.. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kam naudojamos struktūrinės schemos?. Sudarykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų struktūrines schemas. 3. Suprastinkite 4.1 paveiksle parodytas struktūrines schemas. 54

56 H ( s) R( s) + G ( s) G ( s) G 3 ( s) C( s) - H ( s) a) R( s) + - G ( s) + G ( s) G 3 ( s) C( s) H ( s) H 3 ( s) H ( s) b) H 3 ( s) R( s) + - G ( s) + G ( s) G 3 ( s) G 4 ( s) C( s) H ( s) H ( s) c) 4.1 pav. AVS struktūrinės schemos 55

57 5. Automatinių sistemų statika 5.1. Statinis reguliavimas Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiūriu, visi sistemos parametrai laiko atžvilgiu yra pastovūs. Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika, yra: sistemos tikslumas; sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė. Sistemos statinė charakteristika tai jos išėjimo dydžio priklausomybė nuo įėjimo dydžio ar trikdžio nusistovėjusio režimo atveju. Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astatines. Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nustatytą išėjimo dydį su leistina statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami įvairiems parametrams stabilizuoti: greičiui, įtampai, srovei, lygiui ir t. t. Kai reguliatorius atjungtas, sistema vadinama atvirąja. Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios sistemos stiprinimo koeficientu: xiš ka =. (5.1) xį Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama reguliavimo paklaida. Santykinė statinė paklaida: xiš δ = ; (5.) xišv čia x išv išėjimo parametro vardinė reikšmė. Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo dydžio santykis, esant didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S. 56

58 Atvirajai sistemai: S atv uždarajai sistemai: xišatv + xiš xiš min atv xišatv = = 1 = ; (5.3) x x x išatv išatv išatv S uzd xišužd =. (5.4) x išužd Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis negu uždarosios. Jei Sužd, tai reguliavimas (valdymas) vadinamas statiniu, o sistema statinė, jei S užd =, tai reguliavimas vadinamas astatiniu, o sistema astatine. Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą, parodytą. paveiksle. Statinės reguliatoriaus charakteristikos parodytos 5.1 paveiksle ω ω ωmin už ω min atv δ ω gr. r tr = ω uždaroji atviroji M max M 5.1 pav. Statinės reguliatoriaus charakteristikos Jei sistema yra atviroji (t. y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu: ω = = ω ω (5.5) tr 57 min atv; čia ω tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; ω min atv variklio sukimosi greitis esant maksimaliai apkrovai; ω sukimosi

59 greičio nuokrypa atvirojoje sistemoje (t. y. tr reguliuojamo parametro nuokrypa atvirojoje sistemoje). Kai reguliavimo sistema uždaroji (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti idealiai pastovus ir, keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu: ω = ω ω = δ (5.6) už min už. Uždarojoje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, atsiradęs veikiant trikdžiui, vadinamas reguliavimo paklaida δ. Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja tr = ω, o veikiant grįžtamajam ryšiui padidėja dydžiu: Statinė paklaida lygi: ω = δ (5.7) gr. r. ka. Tuomet (5.7) įrašę į (5.8) gauname: δ = ω (5.8) tr gr. r.. δ = tr δ ka ; (5.9) k a tr = 1. (5.1) δ 5.. Astatinis reguliavimas Sistemos, kurių išėjimo dydis esant nusistovėjusiam režimui palaikomas pastovus, vadinamos astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinės sistemos stiprinimo koeficientu: xi š ka = ; (5.11) x čia dxiš xi š = išėjimo dydžio kitimo greitis. dt 58 į

60 Minimali stiprinimo koeficiento reikšmė randama iš nusistovėjusio režimo reikalavimų. Apskaičiuokime.3 paveiksle parodytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos stiprinimo koeficientą. Užduoti tokie reikalavimai: 1. Nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) (į vienetinį augantį θ r signalą) turi būti ne didesnė už,1 rad/s nuo nusistovėjusios greičio vertės, t. y α ( t) < 1%.. Maksimali dinaminė nuokrypa į šuolinį vienetinį įėjimą neturi viršyti 5 % arba turi būti kiek galima mažesnė 3. Pereinamojo proceso trukmė t p <. s. Pagal galutinės (nusistovėjusios) reikšmės teoremą dydžiui α ( t) nurodoma: lim α ( t ) = lim s A ( s ) = lim s θr ( ) 1 + W ( s) s ; (5.1) t s s čia = Wε ( s) + ( s) W a a paklaidos perdavimo funkcija; A( s) = Wε ( s) θr ( s) išėjimo signalo (paklaidos) vaizdas; θ r (s) sistemos įėjimo signalas. Vienetinis augantis θ (s) poveikis parodytas 5. paveiksle. r θ r t, s 5. pav. Vienetinis augantis θ (s) poveikis 59 r

61 Kai θ ( ) = t, tai θ ( ) : r t r s θ r ( s ) =. (5.13) s Tarkime, kad apskaičiuota atvirosios saulės sekimo sistemos 5ks perdavimo funkcija: Wa ( s) =. Tuomet tokios sistemos sti- s( s + 5) prinimo koeficientas apskaičiuojamas taip: lim α ( t) = lim s = 5k + s s( s + 5) t s s s( s + 5) 1 = lim s = s s ( s + 5) + 5 k s s s + 5,1 = lim =. s s( s + 5) + 5k k s s (5.14) Pagal sistemos reikalavimus nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) turi būti mažesnė nei,1. Tuomet,1,1. Vadinasi, k s turi būti didesnis už vienetą arba blogiausiu atveju lygus vienam ( ks ). Galima sudaryti būdingąją lygtį (perdavimo funkcijos s( s + 5) s( s + 5) + 5k s k s vardiklį prilyginus nuliui): s s( s + 5) + 5 = ; (5.15) + 5s + 5 = / 5;,4s +,1+ 1 = ; T s + T s + 1 =. 6

62 Remiantis tuo galima teigti, kad laiko pastoviosios: T =,4 =, s; T =,1s. Iš gautos lygties galima išskaičiuoti slopinimo koeficientą ξ : T,1 ξ = = =,5. T, (5.16) Galima daryti išvadą, kad pereinamojo proceso pobūdis yra švytuojamasis Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kokius klausimus nagrinėja statika?. Kas yra sistemos statinė charakteristika? 3. Kaip skirstomos sistemos pagal statines charakteristikas? 4. Kas yra statinis reguliatorius? 5. Kas yra statizmas? 6. Kas yra atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas? 7. Kas yra santykinė statinė paklaida? 61

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

PUSLAIDININKINIŲ PRIETAISŲ TYRIMAS

PUSLAIDININKINIŲ PRIETAISŲ TYRIMAS laboratorinis darbas PSLAIDININKINIŲ PIETAISŲ TIMAS Darbo tikslas susipažinti su puslaidininkinių diodų, stabilitronų ir švietukų struktūra, veikimo principu, ištirti jų charakteristikas. Teorinės žinios

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

PNEUMATIKA - vožtuvai

PNEUMATIKA - vožtuvai Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

1 teorinė eksperimento užduotis

1 teorinė eksperimento užduotis 1 teorinė eksperimento užduotis 2015 IPhO stovykla DIFERENCINIS TERMOMETRINIS METODAS Šiame darbe naudojame diferencinį termometrinį metodą šiems dviems tikslams pasiekti: 1. Surasti kristalinės kietosios

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai

A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

KURKIME ATEITĮ DRAUGE! FIZ 414 APLINKOS FIZIKA. Laboratorinis darbas SAULĖS ELEMENTO TYRIMAS

KURKIME ATEITĮ DRAUGE! FIZ 414 APLINKOS FIZIKA. Laboratorinis darbas SAULĖS ELEMENTO TYRIMAS EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRONIKOS VADOVĖLIS

ELEKTRONIKOS VADOVĖLIS ELEKTRONIKOS VADOVĖLIS Įvadas Mokomoji knyga skiriama elektros inžinerijos bei mechatronikos programų moksleiviams. Knygoje pateikiami puslaidininkinių elementų diodų, tranzistorių, tiristorių, varistorių,

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4

Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Techninis aprašymas Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Aprašymas HRB rotacinius vožtuvus galima naudoti kartu su elektros pavaromis AMB 162 ir AMB 182. Savybės: Mažiausias pratekėjimas šioje klasėje Uniklalus

Διαβάστε περισσότερα

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka. Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

C47. ECL Comfort sistemos tipas: 5 sistemos tipas: 6a sistemos tipas: 6 sistemos tipas:

C47. ECL Comfort sistemos tipas: 5 sistemos tipas: 6a sistemos tipas: 6 sistemos tipas: ECL Comfort 300 C47 Tiekiamo termofikacinio vandens temperatūros reguliavimas su lauko oro temperatūros kompensacija ir kintama grąžinamo srauto temperatūros riba. Pastovios temperatūros palaikymas karšto

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI

PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI VILNIAUS UNIVERSITETAS Fizikos fakultetas Radiofizikos katedra ČESLOVAS PAVASARIS PUSLAIDININKINIAI ĮTAISAI. VEIKIMO IR TAIKYMO PAGRINDAI (1 dalis- radiotechninių grandinių pasyvieji ir aktyvieji elementai)

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

3 Srovės ir įtampos matavimas

3 Srovės ir įtampos matavimas 3 Srovės ir įtampos matavimas Šiame skyriuje nagrinėjamos srovės ir įtampos matavimo priemonės. Srovė ir įtampa yra vieni iš svarbiausių elektrinių virpesių parametrų. Srovės dažniausiai matuojamos nuolatinės

Διαβάστε περισσότερα

1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios

1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios . Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir

Διαβάστε περισσότερα

6 laboratorinis darbas DIODAS IR KINTAMOSIOS ĮTAMPOS LYGINTUVAI

6 laboratorinis darbas DIODAS IR KINTAMOSIOS ĮTAMPOS LYGINTUVAI Kauno technologijos universitetas...gr. stud... Elektros energetikos sistemų katedra p =..., n =... 6 laboratorinis darbas DIODAS IR KINTAMOSIOS ĮTAMPOS LYGINTUVAI Darbo tikslas Susipažinti su diodo veikimo

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

ECL Comfort V AC ir 24 V AC

ECL Comfort V AC ir 24 V AC Techninis aprašymas 230 V AC ir 24 V AC Aprašymas ir pritaikymas Individualaus gyvenamojo namo šildymo sistemose, naudojant DLG sąsają, ECL Comfort 110 galima integruoti su Danfoss Link sprendimu. Valdiklio

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotechnikos pagrindai

Elektrotechnikos pagrindai Valentinas Zaveckas Elektrotechnikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Vilnius Technika 2012 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

MATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI

MATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra. Juozas Navickas FIZIKA. I dalis MOKOMOJI KNYGA LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Fizikos katedra Juozas Navickas FIZIKA I dalis MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 8 UDK 53(75.8) Na95 Juozas Navickas FIZIKA, I dalis

Διαβάστε περισσότερα

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai) 0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje

Διαβάστε περισσότερα

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE

SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės

Διαβάστε περισσότερα

Rankinio nustatymo ventiliai MSV-F2, PN 16/25, DN

Rankinio nustatymo ventiliai MSV-F2, PN 16/25, DN Rankinio nustatymo ventiliai MSV-F2 PN 16/25 DN 15-400 Aprašymas MSV-F2 DN 15-150 MSV-F2 DN 200-400 MSV-F2 yra rankinio nustatymo ventiliai. Jie naudojami srautui šildymo ir šaldymo įrenginiuose balansuoti.

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

Nauji dviejų vamzdžių sistemos balansavimo būdai

Nauji dviejų vamzdžių sistemos balansavimo būdai Techninis straipsnis. Hidraulinis sistemų balansavimas Nauji dviejų vamzdžių sistemos balansavimo būdai Kaip pasiekti puikų hidraulinį sistemų balansavimą šildymo sistemose naudojant Danfoss Dynamic Valve

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

DYZELINIAI GENERATORIAI NEPERTRAUKIAMO MAITINIMO ŠALTINIAI (UPS)

DYZELINIAI GENERATORIAI NEPERTRAUKIAMO MAITINIMO ŠALTINIAI (UPS) DYZELINIAI GENERATORIAI NEPERTRAUKIAMO MAITINIMO ŠALTINIAI (UPS) Mes siūlome: Plataus spektro generatorius, nepertraukiamo maitinimo šaltinius (UPS) bei technines konsultacijas Derinimo ir paleidimo darbus

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

4 Elektroniniai oscilografai ir jų taikymas

4 Elektroniniai oscilografai ir jų taikymas 4 Elektroniniai oscilografai ir jų taikymas Šiame skyriuje nagrinėjamos labai plačiai naudojamos matavimo priemonės skirtos virpesių formos stebėjimui ir jų amplitudžių ir laiko parametrų matavimui elektroniniai

Διαβάστε περισσότερα

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba

Διαβάστε περισσότερα

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof. Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą

Διαβάστε περισσότερα

Classic serija: GroE, OPzS-LA, OCSM-LA, OGi-LA, Energy Bloc Stacionarių švino rūgšties akumuliatorių naudojimo instrukcija

Classic serija: GroE, OPzS-LA, OCSM-LA, OGi-LA, Energy Bloc Stacionarių švino rūgšties akumuliatorių naudojimo instrukcija Classic serija: GroE, OPzS-LA, OCSM-LA, OGi-LA, Energy Bloc Stacionarių švino rūgšties akumuliatorių naudojimo instrukcija Vardiniai duomenys Vardinė įtampa U N Vardinė talpa C N = C 10 Vardinė iškrovimo

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC 60364-6 standartą TURINYS 1. Įžanga 2. Standartai 3. Iki 1000V įtampos skirstomojo tinklo sistemos 4. Kada turi būti atliekami bandymai?

Διαβάστε περισσότερα

Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes.

Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes. Atomų sąveikos molekulėje rūšys (joninis ir kovalentinis ryšys). Molekulė mažiausia medžiagos dalelė, turinti esmines medžiagos chemines savybes. Ji susideda iš vienodų arba skirtingų atomų. Molekulėje

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

2. Omo ir Džaulio dėsnių tikrinimas

2. Omo ir Džaulio dėsnių tikrinimas Užduotis.. Omo ir Džaulio dėsnių tikrinimas 1. Patikrinti Omo dėsnį uždarai grandinei ir jos daliai.. Nustatyti elektros šaltinio vidaus varžą ir elektrovarą 3. Išmatuoti srovės šaltinio naudingos galios

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Krūvio pernašos vyksmų skaitinis modeliavimas Darbas Nr. 1 Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas Parengė A. Poškus 214-9-3 Turinys

Διαβάστε περισσότερα