t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

Transcript

1 LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe Jūs giliau susipažinsite su trignmetrijs taikymais gemetrijje, pakartsite žinmas trignmetrijs frmules ir teremas, išmksite naujų. Priminsime gemetrijs pamkse įrdytas sinusų ir ksinusų teremas. terema (ksinusų terema). Trikampi kraštinės kvadratas lygus kitų trikampi kraštinių kvadratų sums ir dvigubs tų kraštinių sandaugs, padaugints iš kamp tarp jų ksinus, skirtumui: + s, + s, + s. terema (sinusų terema). Trikampi kraštinės ir prieš ją esanči kamp sinus santykis yra lygus apibrėžt apie trikampį apskritim skersmeniui: R. sin sin sin terema (trikampi plt frmulė). Trikampi pltas lygus dviejų trikampi kraštinių ir kamp tarp jų sinus sandaugs pusei: S sin sin sin. Pateiksime keletą šių teremų taikym gemetrijs uždavinių sprendime pavyzdžių. pavyzdys. Įrdysime, kad lygiagretaini įstrižainių kvadratų suma lygi j kraštinių kvadratų sumai ( pav.). Trikampiams ir taikme ksinusų teremą ir gauname + s, + s. pav. Kadangi + 80, tai s s. Sudėję gautąsias lygybes ir atsižvelgę į tai, kad, gauname + ( + ), kas ir reikėj įrdyti. pavyzdys. Įrdysime, kad trikampi pusiaukraštinės ilgis randamas pagal frmulę +. Pratęskime pusiaukraštinę ir atidėkime atkarpą E, lygią atkarpai ( pav.). Keturkampi E įstrižainės E ir susikerta taške, kuriame abi dalijasi pusiau, tdėl šis keturkampis lygiagretainis. Pagal pavyzdyje įrdytą lygybę turime E + ( + ). pav. Iš čia ( + ) kas ir reikėj įrdyti. pavyzdys. Smailij trikampi pltas yra 8, atkarps P ir Q j aukštinės. Trikampi PQ pltas lygus, atkarps PQ ilgis lygus. pskaičiusime apie trikampį apibrėžt apskritim spinduli ilgį. P Q Iš stačiųjų trikampių P ir Q randame ( pav.): s, P t. y.. Iš čia seka, kad trikampiai PQ ir yra panašūs, jų Q panašum kefiientas lygus s. Kadangi panašiųjų trikampių pltų pav. santykis lygus panašum kefiient kvadratui, tai pagal sąlygą s. 8

2 PQ P Kadangi kampas smailusis, tai s. Iš minėtų trikampių panašum gauname, t. y. PQ PQ s. Iš čia. Tumet pagal sinusų teremą trikampiui turime R, s s 9 t. y. R. Spręsdami šį uždavinį, gavme tkį faktą: jei atkarps P ir Q yra trikampi aukštinės, tai Δ ~ Δ PQ. Ši trikampių aukštinių savybė dažnai taikma sprendžiant uždavinius. tliekant šią uždutį, Jums reikės prisiminti ( gal sužinti) visą eilę trignmetrinių frmulių. Kai kurias jų čia pateikiame: sin ( α ± β) sin α sβ ± s α sin β, s ( α ± β) s α sβ m sin α sin β, sin α + s α, s sin α α s, s α + α α sin α s α, tg. + s α sin α Taikant šias trignmetrines tapatybes, galima įrdyti ir naujų trikampi elementams būdingų lygybių. pavyzdys. Įrdysime, kad trikampiui yra teisinga lygybė a (s + s s) b(s + s s) (s + s s ), čia a, b, kraštinių, ir ilgiai. Kadangi trikampi kampų suma lygi 80, tai 80 ( + ), tumet a(s + s s) a( s( + ) + s s) a( s s + sin sin + s s) a sin sin. nalgiškai b (s + s s) b( s( + ) + s s) b sin sin. Lygybė a b a sin sin b sin sin ekvivalenti lygybei a sin b sin, t. y. Lygybei. Taigi pirmji sin sin įrdmji lygybė ekvivalenti sinusų teremai, t. y. ji įrdyta. nalgiškai įrdma ir antrji lygybė. Kartais gemetrini uždavini sprendimas yra suvedamas į trignmetrinės lygties sprendimą. Gavus trignmetrinės lygties sprendinių aibę, iš js atrenkami tie sprendiniai, kurie tenkina uždavini sąlygą. pavyzdys. Stačij trikampi ( 90 ) smailij kamp pusiaukampinė įbrėžt į trikampį apskritim entru O dalijama santykiu O :O ( + ) : ( ). Rasime trikampi smailiųjų kampų didumus. Kadangi taškas O trikampi pusiaukampinių sankirts taškas, tai atkarpa O taip pat pusiaukampinė ( pav.) ir pagal trikampi pusiaukampinių savybę O : O : tg. Taigi O ( ) tg. O + ( + )( ) s Pagal pusės kamp tangent frmulę tg, taigi gauname sin trignmetrinę lygtį s ( )sin. Pakėlę abi puses kvadratu turime s + s. ( )( s ), arba ( )s s + 0. O pav. Šis lygties sprendiniai s ir s. Kadangi smailusis stačij trikampi kampas, tai uždavini sąlygą tenkina tik antrasis sprendinys, t. y. s, 0, 0.

3 pavyzdys. Trikampi kraštinės viduri statmu kerta kraštinę taške M ir M : M. Kraštinės viduri statmu kerta kraštinę taške N ir N : N. Rasime trikampi kampus. Sakykime, kad trikampi kraštinės viduri taškas P, kraštinės taškas Q ( pav.). Jei a, b, atitinkamai kraštinių, ir ilgiai, tai pagal uždavini sąlygą M b, M b, N, P Q b b N. Iš stačiųjų trikampių MP ir QN seka, kad s, s. Taigi M b N b ir b. Tdėl s ir. Trikampiui taikme ksinusų teremą ir gauname 9 a b + bs b + b b b b, t. y. a b. 8 8 M Q a b a Tumet pagal sinusų teremą ir sin, ir sin sin sin sin P N sin. pav. 0 Kaip matme, dažnai gemetrijs uždaviniuse reikia naudti atvirkštines trignmetrines funkijas, jų savybes. Priminkime, kad skaičiaus x ( x ) arksinusu yra vadinamas kampas iš interval [ 90 ; 90 ], kuri sinusas lygus x; taigi pagal apibrėžimą sin(arsin x ) x, jei x. nalgiškai skaičiaus x ( x ) arkksinusas yra kampas, priklausantis intervalui [0 ;80 ], kuri ksinusas lygus x, t. y. s(arsx) x, jei x. e t, visiems x, ( x ) yra teisinga lygybė arsin x + ars x 90. pavyzdys. Skrituli išpjvs entrinis kampas O lygus α, skrituli spindulys lygus R. Per skrituli spinduli O viduri tašką nubrėžta tiesė, lygiagreti su spinduliu O, kuri lanką kerta taške. Rasime trikampi O pltą. Sakykime, kad taškas yra atkarps O viduri taškas ( pav.). Kadangi tiesės O ir lygiagrečis, tai O 80 α. Iš sinusų terems trikampiui O turime O O R. Kadangi O R, O, tai iš šis lygybės seka, kad sin O sin(80 α) O sin O sin α, t. y. O arsin sin α. Tumet pav. O 80 (80 α) arsin sin α α arsin sin α ir sin O sin α arsin sinαs arsin sαsin arsin sin sin α arsin sα sinα sin α sin α sα sin α. Taigi trikampi O pltas R S O O sin O R sinα sin α sα sinα sin α R sin s α α. 8 8 pavyzdys. Lygiašni trikampi ( ) aukštinė E yra tkia, kad E : :. Rasime trikampi kampus. E Iš stačij trikampi E ( pav.) turime s. Nubrėžiame aukštinę ir iš trikampių E

4 E x ir panašum gauname. Pažymėję x, E y, turime, x y E + E + E x + y. Taigi. Pertvarkę gauname lygtį x x + y E y + xy x 0. Tarę, kad y yra kintamasis, gauname x ± 9x + x x ± x y,. Kadangi x ir y teigiamieji skaičiai, tai pav. y y x. Tumet s, tdėl ars, 80 ars. x 9 pavyzdys. Rasime stačij trikampi smailiusius kampus, jei apibrėžt apie jį apskritim ir įbrėžt į jį apskritim spindulių santykis lygus :. Sakykime, kad taškas yra stačij trikampi įžambinės viduri taškas (8 pav.), t. y. apibrėžt apskritim spindulys. Sakykime, kad taškuse E, F ir H įbrėžtas į trikampį apskritimas liečia trikampi įžambinę ir statinius ir. Pažymėkime E F y, E H x, tai pagal apskritim liestinių, nubrėžtų iš vien tašk savybę trikampi perimetrui p galija lygybė x + y + r p, čia r F H įbrėžt į trikampį apskritim spindulys. Iš čia r p ( x + y) r a + b p ( a + b + ) ( a + b ). Iš uždavini sąlygs, t. y., arba a b a b +. Kadangi sin, s, tai turime trignmetrinę lygtį sin + s. Kadangi kampas smailusis, tai sin s, tdėl lygtis tampa tkia: s s. Iš čia 9 gauname, kad s s + s, arba s s + 0. Iš čia s, arba s. Tumet s sin, arba s. Taigi trikampi smailieji kampai lygūs ars ir ars. Spręsdami šį uždavinį gavme įbrėžt į statųjį trikampį apskritim spinduli frmulę r ( a + b ), čia a ir b trikampi statiniai, įžambinė. 8 pav. 0 pavyzdys. Į statųjį trikampį įbrėžt apskritim ir įžambinės lietimsi taškas dalija įžambinę į dalis, kurių ilgių santykis lygus k. Rasime trikampi smailiųjų kampų didumus. Tarkime, kad E : E k (8 pav.). Pažymėkime E x, tumet E kx, ( k + ) x. Tada s (k + ) x s, sin (k + ) xsin. Kaip įrdėme 9 pavyzdyje įbrėžt į statųjį trikampį apskritim spinduliui r teisinga lygybė r ( + ). Kita vertus H + H r + E, t. y. r E. Taigi ( + ) E, arba ( k + )x s x (( k + ) xsin + (k + ) x s ( k + )x). Suprastinę iš x 0, gauname trignmetrinę k + lygtį ( k + ) x s (sin + s ), arba (k + )(s sin ) k. Iš čia

5 ( k + ) (sin s s sin ) k, sin( ) arsin ( k) ( k). Iš čia arsin, ( + k) ( + k) ( k). Kadangi ( + k) (, ), ( k) 90 + arsin. ( + k) tai ŠEŠTOJI UŽUOTIS. Kampas tarp lygiašni trikampi kraštinių lygus α, įbrėžt į trikampį apskritim spindulys r. pskaičiukite trikampi pltą.. tkarps P ir Q yra smailij trikampi aukštinės. Trikampi perimetras lygus, 9 trikampi PQ perimetras lygus 9. pie trikampį PQ apibrėžt apskritim spindulys yra. pskaičiukite kraštinės ilgį.. Stačij trikampi stačij kamp pusiaukampinė įbrėžt į trikampį apskritim entru O dalijama santykiu O : O :. Raskite trikampi smailiusius kampus.. Lygiašnės trapeijs aukštinė lygi h, smailusis kampas tarp įstrižainių yra α. Raskite trapeijs vidurinę liniją.. Skrituli išpjvs O spindulys lygus R, entrinis kampas O lygus α. Į šią išpjvą įbrėžtas lygiakraštis trikampis, kuri viena viršūnė yra lank viduri taškas, kitas priklaus spinduliams O ir O. Raskite trikampi kraštinės ilgį.. pie apskritimą apibrėžta stačiji trapeija, kuris perimetras lygus P, smailusis kampas lygus α. Raskite trapeijs aukštinę.. tkarps ir yra smailij trikampi aukštinės. Taškai ir yra simetriški taškams ir atkarpų ir viduri taškų atžvilgiu, taškas O yra apie trikampį apibrėžt apskritim entras. Įrdykite, kad tiesė O kerta atkarpą js viduri taške. 8. Trikampi kraštinės lygis a ir b, jų sudarm kamp pusiaukampinės ilgis l. Raskite trikampi kampą, kurį sudar dutsis kraštinės. 9. viejų išriškai besiliečiančių apskritimų bendrji išrinė liestinė su jų entrų tiese sudar kampą α. Raskite apskritimų spindulių santykį. 0. Lygiagretaini kraštinių santykis : m : n, įstrižainių santykis : p : q. Raskite lygiagretaini kampus. Šeštsis užduties sprendimus prašme išsiųsti iki 009 m. lapkriči d. mkykls adresu: Lietuvs jaunųjų matematikų mkykla, Matematiks ir infrmatiks metdiks katedra, VU Matematiks ir infrmatiks fakultetas, Naugarduk g., LT-0 Vilnius. Mūsų mkykls internet svetainės adresas: LIETUVOS JUNŲJŲ MTEMTIKŲ MOKYKLOS TRY