(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης

Transcript

1 Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην x y z κατεύθυνση που ορίζουν η πολική γωνία,, και η αζιμουθιακή γωνία. Το ηλεκτρόνιο είναι εγκλωβισμένο σε μια πολύ μικρή περιοχή, έτσι ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t, η κατάσταση a z; b z;, όπου του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η κατάσταση a, b και a b 1 Βρείτε την κατάσταση εξής:. Γράψτε την κατάσταση t του σπιν τη χρονική στιγμή t κάνοντας τα στη βάση,, δηλαδή ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή S S. Γράψτε τον σπίνορα που αναπαριστά, στη βάση,, την κατάσταση. Λύστε την εξίσωση του Schrodiger για να υπολογίσετε τη χρονική εξέλιξη του προηγούμενου σπίνορα. Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο σπίνορα, γράψτε την κατάσταση t στη βάση,. t στην αρχική Κάντε πάλι αλλαγή βάσης, για να γράψετε την κατάσταση βάση z;, z;, και ελέγξτε ότι το αποτέλεσμα που βρήκατε σάς δίνει την a z; b z; για t. αρχική κατάσταση Λύση Έχουμε δείξει ανατρέξτε στην ανάρτηση «Σπιν 1/ μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης» ότι, στη βάση z;, z;, η προβολή του τελεστή του σπιν S στον άξονα που ορίζει το διάνυσμα, δηλαδή ο τελεστής S S cos si exp i, si exp i cos ο οποίος έχει ιδιοτιμές S, αναπαρίσταται από τον πίνακα και ιδιοδιανύσματα, αντίστοιχα,

2 cos (με ιδιοτιμή ) si expi και si (με ιδιοτιμή cos expi ) Επομένως, ο τελεστής S έχει τις ίδιες ιδιοτιμές, δηλαδή (αυτές είναι οι τιμές της προβολής του σπιν στον άξονα που ορίζει το διάνυσμα ), και ιδιοκαταστάσεις, ας τις συμβολίσουμε και, που αναπαρίστανται, αντίστοιχα, από τους προηγούμενους σπίνορες. Όμως cos 1 cos si exp i 1 si exp i 1 Ο σπίνορας αναπαριστά το 1 ο διάνυσμα βάσης, δηλαδή την κατάσταση z;, και ο σπίνορας αναπαριστά το ο διάνυσμα βάσης, δηλαδή την κατάσταση 1 z;. Επομένως, η προηγούμενη σχέση είναι η αναπαράσταση, στη βάση z;, z;, της σχέσης cos z; si exp i z; (1) Ομοίως, είναι si 1 si cos exp i 1 cos expi Η προηγούμενη σχέση είναι η αναπαράσταση, στη βάση z;, z;, της σχέσης si z; cos exp i z; () Οι σχέσεις (1) και () συνδέουν τη βάση, με τη βάση z;, z;.

3 Θα λύσουμε τώρα το σύστημα των (1) και () ως προς z; και z; για να εκφράσουμε τις καταστάσεις αυτές συναρτήσει των καταστάσεων και, και να κάνουμε αλλαγή βάσης, δηλαδή να εκφράσουμε την αρχική κατάσταση συναρτήσει των καταστάσεων και. Η ορίζουσα του συστήματος των (1) και () είναι cos si expi D cos expi si expi si cos expi si cos exp i exp i 1 Δηλαδή D exp i Επομένως, η μοναδική λύση του συστήματος είναι η si expi cos expi cos exp i si exp i z; exp i exp i cos si Δηλαδή z; cos si (3) Επίσης cos si cos si ; z cos exp i si exp i exp exp Δηλαδή i i z; si exp i cos exp i (4) Για να ελέγξουμε τις (3) και (4), ας δείξουμε ότι είναι πράγματι λύση του συστήματος των (1) και (). Αν αντικαταστήσουμε τις (3) και (4) στην (1), θα πάρουμε

4 cos cos si si expi si exp i cos exp i cos cos si si si cos cos si ; ; (ισχύει) 1 Αν αντικαταστήσουμε τις (3) και (4) στη (), θα πάρουμε si cos si cos exp i si exp i cos exp i si cos si cos si cos si cos si cos (ισχύει) 1 Επομένως, είμαστε εντάξει. Με τη βοήθεια των (3) και (4), μπορούμε να γράψουμε την αρχική κατάσταση a z; b z; στη βάση,. Είναι a cos si b si exp i cos exp i a cos b si exp i a si b cos exp i Δηλαδή a cos b si exp i a si b cos exp i Στη βάση,, η κατάσταση αναπαρίσταται από τον σπίνορα (5) 1, αφού 1. Ομοίως, η κατάσταση αναπαρίσταται από τον σπίνορα 1 Έτσι, αν με,, αφού 1. συμβολίσουμε τον σπίνορα που αναπαριστά, στη βάση, την αρχική κατάσταση την (5), του ηλεκτρονίου μας, θα έχουμε, από

5 1 a cos b si exp i a si b cos exp i 1 acos bsi expi asi bcos exp i Δηλαδή acos bsi expi (6) asi bcos exp i Βάζουμε τίλντα για να δείξουμε ότι η βάση της αναπαράστασης δεν είναι η συνήθης βάση z;, z;. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα την εξίσωση του Schrodiger για να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξη του σπίνορα. Οι καταστάσεις και είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή S, με ιδιοτιμές, αντίστοιχα, και αναπαρίσταται από τον πίνακα. Επομένως, στη βάση,, ο τελεστής S S, δηλαδή από έναν διαγώνιο πίνακα x με στοιχεία τις ιδιοτιμές του τελεστή S, με τη σειρά που θεωρούμε τα στοιχεία της βάσης, δηλαδή πρώτο στοιχείο βάσης την κατάσταση και δεύτερο στοιχείο βάσης την κατάσταση. Επομένως S 1 (7) 1 Εφόσον το ηλεκτρόνιο θεωρείται ακίνητο, ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του είναι το σπιν του. Έτσι, η μαγνητική ροπή του είναι S, όπου ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του ηλεκτρονίου, που είναι αρνητικός, επειδή το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι αρνητικό. Η δυναμική ενέργεια του σπιν μέσα στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο B είναι U B, και αυτή είναι και η Χαμιλτονιανή του ηλεκτρονίου μας, δηλαδή

6 H U B S B S B cos t B cos t S B cos t S Επομένως H B t S (8) cos Στη βάση,, η (8) γράφεται H B cos t S (9) Με τη βοήθεια της (7), η (9) γράφεται B cos t H (1) cost S Παρατηρήστε ότι ο χρονοεξαρτώμενος πίνακας (1) είναι διαγώνιος με πραγματικά στοιχεία, επομένως είναι ερμιτιανός, ως οφείλει. Με τη βοήθεια του πίνακα (1) μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση του Schrodiger για να βρούμε τη χρονική εξέλιξη του σπίνορα (6), δηλαδή τον σπίνορα t, για t. Αν t at bt (11) η εξίσωση του Schrodiger γράφεται t a t B cos t a t i H t i t b t cos tb t a i B cos t a b cos t b Επομένως i B da i B i B a i B at Cexp si t expc (1) a cos t a cos t dt l a si t C C και i B db i B i B b i B bt Dexp si t exp D (13) b cos t b cos t dt l b si t D D Με τη βοήθεια των (1) και (13), ο σπίνορας (11) γράφεται

7 t i B Cexp si t (14) i B Dexp si t Για t, ο σπίνορας (14) πρέπει να μάς δίνει τον αρχικό σπίνορα (6), δηλαδή i B C exp si a cos b si exp i i B D exp si asi bcos exp i i B C exp acos bsi expi i B D exp asi bcos exp i acos bsi exp i C D asi bcos exp i Επομένως C acos bsi exp i D asi bcos exp i Οπότε ο σπίνορας (14) γράφεται i B acos bsi expi exp si t t (15) i B asi bcos expi exp si t Ο σπίνορας (15) αναπαριστά, στη βάση,, την κατάσταση t του σπιν του ηλεκτρονίου μας κάθε χρονική στιγμή t. Για να διευκολυνθούμε στις πράξεις με τον σπίνορα (15), θέτουμε (ορίζουμε) B t si t (16) Η ποσότητα B έχει διαστάσεις (αντίστροφου χρόνου), επομένως το είναι αδιάστατο, και μπορεί να θεωρηθεί ως μια χρονοεξαρτώμενη γωνία. Με τη βοήθεια της (16), ο σπίνορας (15) γράφεται

8 acos bsi expi exp i (17) asi bcos expi expi Από τη (17) βλέπουμε ότι αντί του χρόνου t, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη (χρονοεξαρτώμενη) γωνία για να περιγράψουμε την εξέλιξη του σπίνορα Θα κάνουμε έναν έλεγχο του σπίνορα (17) εξετάζοντας αν είναι κανονικοποιημένος, ως οφείλει (γιατί;). Με τη βοήθεια της (17), παίρνουμε * * * * a cos b si expi expi a si b cos expi exp i * acos bsi exp i exp i asi bcos exp i exp i * * a cos b si exp i a cos b si exp i * * a si b cos exp i a si b cos exp i * * a cos a b cos si exp i b a si cos exp i b si * * a si a b si cos expi b a cos si exp i b cos a cos b si a si b cos a cos si b si cos a b 1 1 Όμως a b 1, αφού η αρχική κατάσταση κανονικοποιημένη. Επομένως 1 Εξάλλου, ο σπίνορας (17) γράφεται 1 acos bsi exp i exp i asi bcos exp i exp i 1 πρέπει να είναι

9 1 Όμως, ο σπίνορας αναπαριστά το διάνυσμα βάσης και ο σπίνορας 1 αναπαριστά το διάνυσμα βάσης. Επομένως, η κατάσταση του σπιν, την οποία αναπαριστά, στη βάση,, ο σπίνορας, γράφεται acos bsi exp i exp i asi bcos exp i exp i (18) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1) και (), μπορούμε να γράψουμε τη σχέση (18) ως γραμμικό συνδυασμό των καταστάσεων z; και z;. acos bsi expi expi cos z; si exp i z; asi bcos expi exp i si z; cos exp i z; (19) Ο συντελεστής της κατάστασης z; γράφεται a cos b si expi expi cos a si b cos expi exp isi a cos exp i b si cos exp i exp i a si exp i b cos si exp i exp i a cos exp i a si exp i b si cos expi exp i exp i acos exp i si exp i ibsi cos exp i si acos exp i si exp i ibsi exp i si Ο συντελεστής της κατάστασης z; γράφεται acos bsi exp i exp isi exp i a si b cos expi expi cos exp i a cos si expi expi b si expi a si cos exp iexp i b cos exp i asi cos expi expi exp i b si expi cos expi

10 iasi cos exp i si bsi exp i cos exp i iasi exp i si b si exp i cos exp i Έτσι, η (19) γράφεται acos expi si exp i ibsi exp i si z; bsi exp i cos exp i iasiexp i si z; () Η (18) μάς δίνει την κατάσταση ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης, ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης z;, z;. Θυμίζουμε ότι η γωνία είναι η γωνία που σχηματίζει το μαγνητικό πεδίο με τον άξονα z (πολική γωνία), ενώ η γωνία είναι η γωνία που σχηματίζει η προβολή του μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο xy με τον άξονα x (αζιμουθιακή γωνία). Για t, η γωνία είναι, από τη (16),, ενώ η () μάς δίνει την κατάσταση B B si Επομένως, από την () παίρνουμε acos exp si exp ib si exp i si z; bsi exp cos exp ia si exp i si z; a cos si z; b si cos z; a z; b z; a z; b z;, όπως Δηλαδή, καταλήγουμε στην αρχική συνθήκη πρέπει. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotmail.com